专题10 与函数单调性有关的恒成立问题(原卷版)

备战2020高考数学冲刺秘籍之恒成立与有解问题解法大全第一篇

专题十 与函数单调性有关的恒成立问题

一、问题指引

与函数单调性有关的恒成立问题主要有两大类，一是形如()()()()

f g x f h x >的恒成立问题，利用()f x 的单调性转化为()()g x h x >或()()g x h x <恒成立问题，二是()()()()112211

0f x g x f x g x x x ---⎡⎤⎣⎦

>-恒

成立问题，转化为()()y f x g x =-是增函数。

二、方法详解

(一) 形如()()()()

f g x f h x >的恒成立问题。

【例】（2020·甘肃兰州高三期末）函数()f x 对任意的()1212,x x R x x ∈≠，都有

()()

1212

0f x f x x x -<-，若对所有[]

1,1t ∈-都有(

)2

(3)f t t f k t -≥+-成立，则k 的最小值为________.

【例】（2020·河北高三期末）已知函数.

（1）当时，求的最小值；

（2）若函数在区间上为单调函数，求实数的取值范围；

（3）当时，不等式

恒成立，求实数的取值范围.

【类题展示】已知函数f (x )=1−2

2x +1，当x ≥0时，不等式f (ax 2+x )+f (1−e x )≤0恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(−∞,1]

B ．(0,1]

C ．(−∞,1

2]

D ．(0,1

2]

(二) 形如

()()()()112211

0f x g x f x g x x x ---⎡⎤⎣⎦

>-（或<0）恒成立问题

【例】已知函数f (x )=e x +bx . （1）讨论f (x )的单调性；

（2）若曲线y =f (x )的一条切线方程为2x −y +1=0， （i ）求b 的值； （ii ）若x 2>x 1>0时，f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2

>mx 1+mx 2+1恒成立，求实数m 的取值范围.

【类题展示】已知f(x)=ae x x ，x ∈[1,3]，且∀x 1,x 2∈[1,3]，x 1≠x 2，

f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2

<2恒成立，则实数a 的取

值范围是（ ）

A ．(−∞,8

e

2] B ．[9

e

3,+∞)

C ．[8

e

2,+∞)

D ．(−∞,9

e

3]

三、跟踪训练

1．（2019·河南高一月考）已知函数(

)(

ln f x x x =，

若()()211f a f -<，则a 的取值范围是（ ） A ．1a <

B ．1a >

C ．0a <或1a >

D ．01a <<

2．（2019·广西蒙山中学高一月考）函数f(x)满足()()0f x f x +-=，且0x >对任意的12,x x 都满

1221()()0f x f x x x ->-，(3)0,f =则()()0f x f x x

-->的解集是（ ） A ．{|03x x <<或30}x -<< B ．{|33}-<或30}x -<<

D ．{\3x x >或3}x <-

3.已知定义在R 上的奇函数f(x)在[0,+∞)上是减函数，且对于任意的θ∈[0,π]都有f(sin 2θ−msinθ)+f(2m −3)<0恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m >2

B ．m <2

C ．m ≥2

D ．m ≤2

4．【福建省龙岩市2020届高三期末】已知函数f(x)=4|x|+cosπx ，对于x ∈[0,2]，都有f (ax −e x +1)⩽3，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[1

2e 2−1,1

2e 2]

B ．[12e 2−1

2,e]

C ．[1

2e 2,e]

D ．[e,+∞)

5．（2019·湖北沙市中学高一期末）已知函数(

))

()11f x sinx lg x x =⋅-≤≤，若()112f a f ⎛⎫

-≥ ⎪⎝⎭

，

则a 的取值范围是______．

6．（2016·福建高三月考（文））已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤+-=2,1)1(log 2,54)(2

1

2x x x x x x f ，若)62()3(2

->-a f a a f ，则实

数a 的取值范围是 .

7. 【江西省宜春市2020届高三模拟】函数f (x +1

2)=x 3+2019x −2019−x +1，若f(sinθ+cosθ)+f(sin2θ−t)<2对∀θ∈R 恒成立，则实数t 的取值范围是_____．

8.【安徽省江淮十校2020届高三联考】已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ⩾0时，f(x)=3x 2，且不等式f (x +m 2)⩾4f(x)对任意的x ∈[m,m +2]恒成立，则实数m 的取值范围是_____. 9.已知f (x )=2|x |+cosx ,x ∈R ，若f (t −1)−f (1−2t )≥0成立，则实数t 的取值范围是_____．