分数裂项 (1)

分数裂项 一、“裂差”型运算

将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法。裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分。

(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b

⨯形式的，这里我们把较

小的数写在前面，即a b <，那么有

1111

()a b b a a b

=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：

1(1)(2)

n n n ⨯+⨯+，1

(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)

n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++

1111

[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)

n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+

裂差型裂项的三大关键特征：

（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 （2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”

（3）分母上几个因数间的差是一个定值。

二、“裂和”型运算：

常见的裂和型运算主要有以下两种形式：

（1）11a b a b a b a b a b b a

+=+=+⨯⨯⨯ （2）

2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 分数裂项计算

裂和型运算与裂差型运算的对比：

裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

【例 1】

11111

1223344556

++++=

⨯⨯⨯⨯⨯

。

【例 2】1111 11212312100 ++++

++++++

【例 3】

1111 133******** ++++=⨯⨯⨯⨯

【例 4】

11111111

()128 8244880120168224288

+++++++⨯=

【例 5】

1111 135357579200120032005 ++++

⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯

例题精讲

【例 6】

7

4.50.16

1111

18

13153563 13 3.75 3.2

3

⨯+

⎛⎫

⨯+++=

⎪

⎝⎭-⨯

【例 7】

11111 123420 261220420 +++++

【例 8】

111 123234789 +++

⨯⨯⨯⨯⨯⨯

【例 9】

11111 123423453456678978910 +++⋅⋅⋅++

⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯

【例 10】

5719

1232348910

+++=

⨯⨯⨯⨯⨯⨯

．

【例 11】12349 223234234523410 +++++

⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯

【例 12】

123456

121231234123451234561234567

+++++

⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯

【例 13】 234

50

1(12)(12)(123)(123)(1234)

(12349)(1250)

+++

+

⨯++⨯++++⨯++++++

+⨯++

+

【例 14】 222222111111

31517191111131

+++++=------ .

【例 15】 56677889910

56677889910

+++++-+-+

⨯⨯⨯⨯⨯

【例 16】 22222222

122318191920122318191920

++++++⋯⋯++

⨯⨯⨯⨯

【例 17】

111111 23459899515299 +++++++=⨯⨯⨯

【例 18】24612 335357357911 ++++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯

【例 19】计算：

283411 1222222 1335571719135357171921

⎛⎫++++-+++=

⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯

⎝⎭

【巩固】 111

(101111125960)

+++

⨯⨯⨯

【巩固】 22

2210998

5443

++

+

+=⨯⨯⨯⨯

【巩固】

1

11125133557

2325⎛⎫

⨯++++

= ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭

【巩固】 251251251

251251

488121216

2000200420042008

+++

+

+

⨯⨯⨯⨯⨯

【巩固】 3245671

255771111161622222929

++++++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯

【巩固】 11111111

612203042567290

+++++++=_______

【巩固】 111111

136********

+

+++++=

【巩固】 111111111

2612203042567290--------＝

【巩固】 11111

104088154238

++++= 。