角动量角动量守恒PPT课件

o r
vdt
为一不变量
L r p 为一恒量，即角动量守恒
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二、力矩
设力的作用点在P点，P点相对于固定点
O 的位矢为 r ，定义力对O点的力矩
M rF
大小: M rFsin
M
方向：右手螺旋
在直角坐标系中
o

r
F
P
M r F (xi yj zk ) (Fxi Fy j Fzk )
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将角动量定理的微分形式 M dL 两边乘以
dt 并积分得
t
dt
0 M dt L L0
t
0 M
dt :
质点或质点系的合外力矩的冲量矩；
L0 与L 分别是质点或质点系始末状态的角动量。
在一段时间内，质点（系）角动量的增量
等于作用于质点（系）的合外力矩的冲量
矩——质点（系）角动量定理的积分形式
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角动量守恒定律是一条普遍的规律，存在
于很多自然现象中，例如，行星受恒星引力作
用作椭圆轨道运动，引力的作用线始终通过恒
星中心，这样的力称为有心力。由于有心力对
力心的力矩恒为零，因此，受有心力作用的质
点对力心的角动量守恒。 掠面速度
·m
f
r
dS 1 r v dt 2
o r
vdt
dpi dt
)
式中第一项
dri dt

pi
vi
pi

0
式中第二项
n i 1
ri

dpi dt

n
ri Fi
i 1

n
Mi
i 1
Fi : 第 i 个质点上全部外力和全部内力的矢量和。
n
由于任何一对内力矩的矢量和为零，故 Mi为合外力矩。
i 1
M
dL dt
—质点系角动量定理
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mr0 v0 mrv
即
v

r0 r
v
0
质点的动能变化为
Ek

1 mv 2 2
1 2
mv
2 0

1 2
mv
2 0
[(
r0 r
)2 -1]
按动能定理，拉力所作的功为
W

Ek

1 2
mv
2 0
[(
r0 r
)2 -1]
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小结：本节内容主要探讨了力矩的时间积累效应
关键字：力矩 角动量 冲量矩 角动量守恒定律
2-4 角动量 角动量守恒
一 、质质量点为的m角的动质量点以速度v
在为r空,间定L运义 动r质,点某p对时O对r的O角m点v动位量矢
L
的方向符合右手法则
x L
大小 L rmvsin
zL
v

rm
o
y
v
r
注意：质点的角动量必须明确是对哪个点（或轴）
1
在直角坐标系中
Lrp
(xi yj zk ) (pxi py j pzk )
各坐标轴的分量
Lx ypz zpy Ly zpx xpz Lz xpy ypx
分别称为对 x、y 、z 轴的角动量
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例 质点L沿某r一 p方向r作 m直v线运动，对O点的角动量 角动量大小为
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例一水平光滑的桌面中心开有一小孔，质量 为m的小方块系于绳的一端并置于桌面上，绳 子的另一端穿过小孔并受拉力F作用，开始小 方块以初始速率v0 绕 o点作半径为r0的圆周运 动，现在拉力F通过绳子使小球的半径减少到r， 问小球的速率为多少？拉力F 作了多少功？
解：水平面内，小球受绳子 拉力的作用通过o点，以o点为 参考点，合力矩为零，因此小 球对o点的角动量守恒:
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3.角动量守恒 由角动量定理 M dL 知道：
dt
如果合外力矩 M 0 ，则角动量 L L 0 ------质点(系)角动量守恒定律
由于角动量是矢量，角动量守恒意味着角 动量的大小和方向均保持不变。
如果力矩但对某个轴（例如z 轴）的分量为 零，则质点(系)对该轴的角动量守恒。这就是 质点(系)对轴的角动量守恒定律。
M M1 M2 M3
（2）刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消．
M ij
rj
j

O
d ri
i Fji
Fij
Mij M ji
M ji
（3）力矩必须明确是对哪个点（或轴） 8
三、角动量定理 角动量守恒
1.质点的角动量定理
将角动量 L r p 两边对时间求导
dL r dp dr p
dt
dt dt
其中第一项 r dp r F M
dt
M 为合外力对同一固定点的力矩
第二项 dr p v m v 0
dt 9
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所以
M dL dt
质点所受的合外力矩等于其角动量对时间
的变化率——质点的角动量定理（微分形式）。
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M 在各坐标轴的分量
M x yFz zFy M y zFx xFz M z xFy yFx
分别称为对 x 、y、z 轴的力矩
如果 r 与F 在xoy平面内, 则对转轴 z 的力矩
M z rF sin
Fd 式中d 称为力臂
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注意 （1）合力矩等于各分力矩的矢量和
下章立足于力矩，围绕力矩的瞬时效应及
积x0 累效应展开。
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2.质点系的角动量定理
对于由n个质点组成的质点系，系统对固
定点o的总角动量为各质点对o点角动量的矢
量和，即系统对点的总角动量为:
n
n
L Li ri pi
i 1
i 1
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两边对时间求导
dL
dt

d dt
n
ri
i 1
pi

n ( dri i1 dt

pi

ri

L rm vsin m v d
质点以 作半径为 r 的圆
周运动，相对圆心的角动量
L rm v mr2
L
p
o
m r
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开普勒第二定律
讨论：行星的掠面速度与角动量
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矢径 r 在d t 时间内扫过的面积为dS。
d S 1 r vdt 2
掠面速度
·m
f
r
dS 1 r v dt 2