北师大版选修1-1高中数学第2章《圆锥曲线与方程》2.2.2抛物线的简单性质导学案

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高中数学第2章圆锥曲线与方程2.2抛物线的简单性质课件北师大版选修1_1

• A．y2＝8x
B．y2＝－8x
• C．y2＝8x或y2＝－8x D．x2＝8y或x2＝－8y
• 解析：由题意知通径长2p＝8，且焦点在x轴上，但开口向左或右不确定，故方程为y2＝8x或y2＝－8x.
• 答案： C
2．抛物线的顶点在坐标原点，焦点是椭圆 x2＋4y2＝1 的一
个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离为( )
答案： (±4,8)
4．已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为 x 轴，且与圆 x2＋y2＝4 相交的公共弦长等于 2 3，求这条抛物线的方程．
解析：设所求抛物线方程为 y2＝ 2px(p>0)或 y2＝－ 2px(p>0)，设交点 A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，
即 3x－y－11＝0.
又由3y2x＝－6yx－11＝0 得：9x2－72x＋121＝0，①
Δ＝722－4×9×121＝828.
直线与抛物线交于两个不同的点，
故 3x－y－11＝0 即为所求直线．
由①可得：x1＋x2＝8，x1·x2＝1921.
∴|P1P2|＝
1＋9·
82－4×1921＝2
设弦 AB 端点 A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∴y1＋y2＝8k. 又 Q(4,1)为弦 AB 中点， ∴y1＋2 y2＝1，即 y1＋y2＝2， ∴8k＝2，∴k＝4. 所以所求直线方程是 y＝4x－15.
• 求过定点P(0,1)，且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线方程．
【错解】设直线方程为 y＝kx＋1，由yy＝2＝k2xx＋，1，得 k2x2＋2(k－1)x＋1＝0. 当 k＝0 时，解得 y＝1，即直线 y＝1 与抛物线只有一个公共点．

高中数学第二章圆锥曲线与方程 2.2.2 抛物线的简单性质课件4 北师大版选修1-1

第5课时抛物线的简单性质
K12课件
1
1.根据图像理解抛物线的对称性、顶点坐标和离心率并展开应用.了解“p”的意义,会求简单的抛物线方程. 2.通过与双曲线、椭圆的类比,体会探究的乐趣,激发学生的学习热情.
K12课件
2
某公园要建造一个如图1的圆形喷水池,在
水池中央垂直于水面安装一个花形柱子
OA,O恰在水面中心,OA=0.81米,安置在柱子
线的轴 .
K12课件
4
(3)顶点:抛物线和它的轴的交点叫作抛物线的顶点 .
在方程y2=2px(p>0)中,当y=0时,x=0,因此这条抛物线的顶点就是坐标原点 .
(4)离心率:抛物线上的点与焦点和准线的距离的比,叫作抛物线的离心率 ,用e表示,按照抛物线的定义,e= 1 .
(5)通径:过抛物线的焦点且垂直于抛物线对称轴的一条弦,称
点到定点的最值问题.
(2)方法:以抛物线 y2=2px(p>0)为例,设 P(x0,y0)是 y2=2px 上
一点,则 x0 =
y
2 0
,即
P
点坐标为
2p

(
y
2 0
2p
,y0
),由两点间的距离公
式、点到直线的距离公式表示出所求距离,再用函数最值的方
法求解.
K12课件
6
1 抛物线y=x2的对称轴是( B ). A.x轴 B.y轴 C.y=x D.y=-x
问题2 (1)范围:若p>0,由方程y2=2px可知,这条抛物线上任意一点M的坐标(x,y)满足等式.所以这条抛物线在y轴的右侧
;当x的值增大时,|y|也增大 ,这说明抛物线向右上方和
右下方无限延伸,它开口越开阔 .

高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2抛物线的简单性质课件北师大版选修110830396

渐近线.
(3)抛物线的离心率定义为抛物线上的点到焦点的距离和该点到准线的距
离的比,所以抛物线的离心率是确定的,为1.
(4)抛物线的焦点在对称轴上,准线垂直于对称轴,焦点到准线的距离为p,它
是一个不变量,不随抛物线位置的变化而变化,焦点与准线分别在顶点的两侧,
且它们到顶点的距离相等,均为 .

2
第四页，共27页。
探究
(tànjiū)二
探究(tànjiū)
三
思维辨析
解如下图所示,
若直线的斜率不存在,则过点 P(0,1)的直线方程为 x=0,
= 0,
= 0,
由 2
得 = 0,
= 2
即直线 x=0 与抛物线只有一个公共点.
若直线的斜率存在,则设直线方程为 y=kx+1,代入 y2 =2x 整理得
- 2 ,0
与 F1 重合,
1
2
3
4
2.已知点A(0,2),B(2,0).若点C在函数y=x2的图像上,则使得(shǐ
de)△ABC的面积为2的点C的个数为(
)
A.4
B.3
C.2
D.1
解析:设点 C(t,t2 ),直线 AB 的方程是 x+y-2=0,|AB|=2 2,由于△ABC
的面积为 2,则这个三角形中 AB 边上的高
此时过(-3,2)的直线方程为y=2,满足条件.
由
第二十二页，共27页。
探究
(tànjiū)一
探究(tànjiū)
二
探究
(tànjiū)三
思维辨析
≠ 0,
≠ 0,
1
由
即
得 k= 或 k=-1.

北师大版高中数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程第2节抛物线第一课时《抛物线及其标准方程》教学课件 (共18张

解:(1)由已知p=6，故抛物线的焦点坐标是(0,3)，
准线方程为y=－3.
l
(2)设抛物线的标准方程为y2=2px（p＞0），
其焦点坐标为
(
p 2
, 0)
，由已知得
p 2
2
，故p=4.
所求抛物线的标准方程为y2=8x. 待定系数法
y P
F
O
x
K
ly P
KO F
x
巩固提升：理解方程
1. 抛物线的标准方程为 4 y2 3x ，则其焦点坐标和准线方程为（ C ）
2如何将方程2 与图像对应2 记忆？ 2
准线
x p 2
x p 2
y p 2
y p 2
方
程 y2 2 px
y2 2 px
x2 2 py
x2 2 py
巩固提升：理解方程
例 (1)已知抛物线的方程为x2=12y ，求抛物线的焦点坐标和准线方程；
(2)已知抛物线的焦点 F(2,0) ，求抛物线的标准方程.
B
.
CP
A
.F
看图说话：运用概念
经过定点且与定直线相切的圆的圆心轨迹是什么？为什么？
l F
自主建系：推导方程
建立直角坐标系，求出抛物线方程.
l
dP
F
思考交流：归纳方程
图
像
ly P
图
KO F
x
像
y P
l
F OK
x l
y Pl
F
O
x
K
y
K
O
F
x
P
焦点
F( p ,四0) 种方F (程 p有, 0什) 么结F(0构, p特) 征？F(0, p )

(北师大版)选修1-1课件：第2章-抛物线(第2课时)参考课件(2)

探究2 既然过抛物线焦点的直线与其相交，交点的纵坐标的乘积是一个定值，那么过抛物线对称轴上其他任意一定点，是否也有这个性质呢?
探究3 设抛物线 y 2 px 上两动点 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y2 ) ，且满足 y1 y2 k ( k为常数)，问AB是否恒过某一定点？
x0 2 p P(x0，y0)在x2=2py上, PF y0 2 p 2 P(x0，y0)在x =-2py上, PF －y0
2
抛物线的几何性质： 1、抛物线的对称性 y2=2px Y 关于x轴对称没有对称中心，因此，抛物线又 X 叫做无心圆锥曲线。怎样说明其对称性？
2、抛物线的范围: y2=2px
探究8 若M为抛物线 y 2 px( p 0) 上一个定点，A、B是抛物线上的两个动点，且直线MA与直线MB的倾斜角互补，求证：直线AB的斜率为定值。
2
设计意图：培养我们研究数学问题的一般思想方法：一是考虑原命题的逆命题是否成立；二是考虑能否把原命题进行一般推广；三是考虑从原命题条件中还能推出什么结论？四是考虑把原命题进行适当变式进行拓展。
变式3 如图，抛物线 y 2 px( p 0) ，过点 P(1,0) 作斜率为 k 的直线 l 交抛物线于 A 、 B 两点， A 关于 x 轴的对称点为C，直线BC交x轴于Q点，当 k变化时，探究点Q是否为定点？
变式1过抛物线 y 2 px( p 0)上一定点 P ( x0 , y0 )( y0 0)，作两条直线分别交抛物线于 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y2 ) ，若 p 直线AB的斜率为定值 y ，证明直 0 线PA与PB的倾斜角互补.

高二数学北师大版选修1 1课件2 22抛物线的简单性质

成才之路 ·数学
北师大版·选修1-1
路漫漫其修远兮吾将上下而求索
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·选修1-1
第二章圆锥曲线与方程
第二章圆锥曲线与方程
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第二章 §2 抛物线
2.2 抛物线的简单性质
第二章 §2 2.2
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直线与抛物线的位置关系及抛物线的焦点弦 1.将直线方程与抛物线方程联立，消元后得到一元二次方程，若 Δ＝0，则直线与抛物线 _相__切__，若Δ>0，则直线与抛物线_相__交__，若Δ<0，则直线与抛物线 _没__有__公__共__点__．特别地，当直线与抛物线的轴平行时，直线与抛物线有__一___个公共点． 2．在求解直线与抛物线的位置关系的问题时，要注意运用函数与方程思想，将位置关系问题转化为方程 __根___的问题．
(p>0)
(p>0)
焦半径|AF|
|AF|＝x0＋p2
|AF|＝p2－x0
|AF|＝y0＋p2
|AF|＝p2－y0
第二章 §2 2.2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·选修1-1
2.焦点弦问题如图所示：AB是抛物线y2＝2px(p>0)过焦点F的一条弦，设 A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，抛物线的准线为l.
∴x1＋x2＝12，弦长＝x1＋x2＋p＝12＋4＝16.
第二章 §2 2.2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·选修1-1
4．顶点在原点，对称轴是 x轴，并且顶点到焦点的距离等于6的抛物线方程是________．

高二数学北师大版选修1-1课件：2.2.2抛物线的简单性质

2 .2
抛物线的简单性质
-1-
2.2
抛物线的简单性质
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学习目标
1.了解抛物线的轴、顶点、离心
率、通径的概念.
2.掌握抛物线上的点的坐标的取值范
围,抛物线的对称性、顶点、离心率等
简单性质.
3.会用顶点及通径的端点画抛物线的
草图.
X 新知导学 Z 重难探究
INZHI DAOXUE
HONGNAN TANJIU
=4x-2p.
2 = 2,
由
得 16x2-18px+4p2=0,
= 4-2,
18
9
∴xA+xB=16p=8p.
由焦半径公式知,
|AB|=|AF|+|BF|= +
17
8

2
+ +

2
=xA+xB+p= p=17.
∴p=8.
答案:8
-10-
2.2
探究一
抛物线的简单性质
探究二
图形
焦点
p
p
,0
2
p
p
- ,0
2
p
p
0,
2
准线
x=-
范围
x≥0,y∈R
对称轴
顶点
x轴
(0,0)
离心率
e=1
开口
通径
向右
向左
向上
经过焦点且垂直于对称轴的弦,通径长为 2p
2
x=
2
x≤0,y∈R
y=-
2
y≥0,x∈R
y=
p
p
0,2
2
y≤0,x∈R

2018年高中数学第二章圆锥曲线与方程 2.2.2 抛物线的简单性质课件8 北师大版选修1-1

____________
你能用几种方法？
【例2】斜率为1的直线l经过抛物线y2 4x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点，求线段AB的长.
精彩回放
(1)抛物线只有一条对称轴,没有对称中心; (2)抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线； (3)抛物线的离心率e是确定的，为１; (4)抛物线的通径为2p, 2p的绝对值越大，抛物线的张口越大. （5）抛物线的焦半径是本节的重难点。
（2）准线方程x=－2.5 2.在同一平面直角坐标系中画出下列抛物线的草图：
（1） y2=x （2） y2=2x （3） y2=4x 比较这些图形，说明抛物线开口的大小与方程中x的系数有怎样的关系？
想
一
你会吗？
想？
类比椭圆的几何性质，你认为可以讨论抛物线的哪些几何性质？
课堂探究
小组合作探究：
|AB|=2p 利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图. 2p的绝对值越大，抛物线张口越大.
y
y2=2px
A p , p
2
2p
OF
x
B
( p , p) 2
焦半径
连接抛物线上任意一点与焦点的线段叫做抛
物线的焦半径. y2=2px焦半径公式：
y
P
p
PF

x0

. 2
OF
x
巩固提升
例1（1）已知抛物线关于x轴对称，它的顶点为坐标
原点，并且经过点M（２，2 2），求它的标准方程.
(2)求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程： 1、过点（－3，2）；____________， ____________

高中数学北师大版选修1-1第二章圆锥曲线与方程第二节抛物线2.2抛物线的简单性质教学课件(共21张PPT)

功地把自己推销给别人之前，你必须百分之百的把自己推销给自己。即使爬到最高的山上，一次也只能脚踏实地地迈一步。
抛物线的简单几何性质
一、温故知新
抛物线的定义
及标准方程
定义：在平面内,与一个定点 F和一条定直线l(l不经过点 F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.
图形
标准方程焦点坐标
ly
y2 2px p
( ,0)
O F x (p0) 2
准线方程
x p 2
yl
y2 2px (
p
,0)
x p
F O x (p0)
由已知得抛物线的焦为F点(1,0), 所以直线AB的方程为y x1
A’
y
A
代入 y2 方 4x,得 (程 x1)24x,
化简 x26得 x10.
OF
x
x1 x2 6
B’ B
AB x1 x2 2 8 所以，A 线B的段长8。是
练习：
1、已知抛物线的顶点在原点，对称轴为 x轴，焦点在
准l线 :x1.
2
A’
y
A
设A(x1,y1),B(x2,y2),A,B到
准线 l的距离分d别 A,d为 B.
由抛物线的定义可知
OF
x
AF d A x1 1,
B’ B
BF dB x2 1, 所 A以 B A F B F x 1 x 2 2
例 2、斜 1 的率直 l经为线过y抛 24x的物焦 F 线 ,且点与抛物线 A ,B 两相点交， A 于的 B 求长线。段
9, 4
故所求抛物线的方程为 y216x或x29y.
3
4
例 2、斜 1 的率直 l经为线过y抛 24x的物焦 F 线 ,且点与抛物线 A ,B 两相点交， A 于的 B 求长线。段

2019_2020学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2抛物线2.2抛物线的简单性质课件北师大版选修1_1

[解析] 解法一由题意知，点N的坐标为(0，－p)，可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线
AB的方程为y＝kx＋p，与x2＝2py联立得
x2＝2py， y＝kx＋p，
消去y，得x2－2pkx－2p2＝0，
由根与系数的关系，得x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p2.于是S△ABN＝S△BCN＋S△ACN＝
又直线A2P的方程为y＝x0y－0 2(x－2)，令x＝2 2，则y＝2 x20－－22y0，即|DF|＝(2 2－2)|x0|y－0|2|. 所以|DE|·|DF|＝(2 2＋2)|x0|y＋0|2|·(2 2－2)|x0|y－0|2|＝|x204－y204|＝4－4y20x20. (*) 又P(x0，y0)在椭圆C上，所以3x20＋4y20＝12，即4y20＝12－3x20，代入(*)式，得|DE|·|DF|＝344－－xx2020＝3，所以|DE|·|DF|为定值3.
探究三抛物线中的定点、定值(最值)、焦点弦问题
— 对称问题
— 最值问题
抛物线中的定点、定值、焦点弦问题
——
—
焦点弦问题定值问题
—
定点问题
5．等腰直角△ABO内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则
△ABO的面积是( )
A．8p2
B．4p2
∴ 2－p22＋y20＝2＋p2＝3.解得p＝2，y0＝±2 2，∴抛物线的标准方程为y2＝4x. (2)由(1)知点M(2，±2 2)，根据两点间的距离公式有|OM|＝ 22＋±2 22＝2 3.
探究二直线与抛物线相交问题 [典例2] 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，过定点C(0，p)作直线与抛物线x2＝ 2py(p>0)相交于A，B两点．若点N是点C关于坐标原点O的对称点．求△ABN面积的最小值．

北师大版高中数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程第2节抛物线第一课时《抛物线及其标准方程》教学课件 (

2如何将方程2 与图像对应2 记忆？ 2
准线
x p 2
x p 2
y p 2
y p 2
方
程 y2 2 px
y2 2 px
x2 2 py
x2 2 py
巩固提升：理解方程
例 (1)已知抛物线的方程为x2=12y ，求抛物线的焦点坐标和准线方程；
(2)已知抛物线的焦点 F(2,0) ，求抛物线的标准方程.
O
x
解：设P(x,y)，由|PF|=d得化简得 x2 = 4y，即 y 1 x2 .
x2 y 12 y 1 ，
y2 x 12 x 1
故其轨迹是抛物线.
动点P满足的y= 条1 件有什么共性？
y
4
P
y2 = 4x
2.已知动点P到定点F(1,0)的距离与它到直线 x= 1 O F x x=－1的距离相等，则点P的轨迹是什么？
则|AF|=（ B ）
形→数
A. 2
B. 3
C. 17
D. 5 数→形
ly A
OF x
y2 8x 焦点(2, 0) 准线x 2
1.课本P76页A组，2题，3题，4题
2.求顶点在原点，经过点P(4,2)，且焦点在坐标轴上的抛物线的标准方程.
3.为什么二次函数的图像是一条抛物线？谈谈二次函数与抛物线的联系与区别？
y P
l
F OK x
y2 3 x 4
转化为标准方程数→形
巩固提升：理解方程
2. 抛物线的准线为y=2,则其标准方程是（ D ）
y
l
K
O
F
x
P
作图形→数
x2 2 py
数学、物理、生活

2019-2020高中北师大版数学选修1-1 第2章 §2 2.2 抛物线的简单性质

2．2 抛物线的简单性质学习目标：1.掌握抛物线标准方程的四种形式.2.掌握抛物线的简单性质．(重点)3.会用抛物线的性质解决与抛物线有关的综合问题．(难点)抛物线的性质1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)抛物线是中心对称图形，也是轴对称图形．( ) (2)抛物线的范围是x ∈R ，y ≥0.( ) (3)抛物线是二次函数的图像．( )[答案](1)×(2)×(3)×2．已知抛物线x2＝2py(p>0)的准线经过点(1，－1)，则抛物线的焦点坐标为()A．(0,1)B．(0,2)C．(1,0) D．(2,0)A[由抛物线x2＝2py(p>0)的准线为y＝－p2＝－1，得p＝2，故所求抛物线的焦点坐标为(0,1)．]3．过抛物线y2＝8x的焦点作倾斜角为π4的直线l，直线l与抛物线相交于A，B两点，则弦AB的长是________．[解析]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，焦点F(2,0)，直线l的方程为y＝x－2，代入y2＝8x得x2－12x＋4＝0，x1＋x2＝12，|AB|＝x1＋x2＋p＝12＋4＝16.[答案]164．若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是________．[解析]M到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为y＝－1 16，设M(x，y)，则y＋116＝1，∴y＝1516.[答案]1516利用抛物线性质求标准方程【例1】已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长等于23，求这条抛物线的方程．[解]如图，设所求抛物线的方程为y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)，设交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1>0，y 2<0)，则|y 1|＋|y 2|＝23，即y 1－y 2＝23.由对称性知y 2＝－y 1，∴y 1＝3. 将y 1＝3代入x 2＋y 2＝4得x ＝±1，∴点(1，3)，(－1，3)分别在抛物线y 2＝2px ， y 2＝－2px 上．∴3＝2p 或3＝(－2p )×(－1)，p ＝32.故所求抛物线的方程为y 2＝3x 或y 2＝－3x .利用抛物线的性质求抛物线的方程一般采用待定系数法，其步骤是： (1)定位置.根据条件确定抛物线的焦点在哪条对称轴上及开口方向； (2)设方程.根据所定位置，设出抛物线的标准方程； (3)寻关系.根据条件列出关于参数p 的方程； (4)得结论.解方程求得p 的值，从而得到其标准方程.1．已知抛物线的焦点F 在x 轴上，直线l 过F 且垂直于x 轴，l 与抛物线交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 的面积等于4，求此抛物线的标准方程．[解] 由题意，抛物线方程为y 2＝2px (p ≠0)，焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，直线l ：x ＝p 2，∴A 、B 两点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ，⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，－p .∴|AB |＝2|p |.∵△OAB 的面积为4，∴12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪p 2·2|p |＝4. ∴p ＝±22.∴抛物线方程为y2＝±42x.抛物线性质的应用【例2】已知正三角形AOB的一个顶点O位于坐标原点，另外两顶点A，B在抛物线y2＝2px(p＞0)上，求这个三角形的边长．思路探究：设法证明三角形的另外两个顶点应满足什么关系，进而利用抛物线的性质求解边长．[解]如图所示，设正三角形OAB的顶点A，B在抛物线上，且坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，y21＝2px1，y22＝2px2.又因为|OA|＝|OB|，所以x21＋y21＝x22＋y22，即x21－x22＋2px1－2px2＝0.所以(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0.因为x1＞0，x2＞0,2p＞0，所以x1＋x2＋2p≠0.所以x1＝x2.即A，B两点关于x轴对称，则∠AOx＝30°，所以AB⊥x轴，所以y1＝x1tan 30°＝33x1.又因为x1＝y212p，所以y1＝23p.而|AB|＝2y1＝43p，即为所求边长．利用抛物线的性质可以解决的问题：(1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题；(2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题；(3)范围：解决与抛物线有关的最值问题；(4)焦点：解决焦点弦问题.2．已知A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上两点，O为坐标原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线AB的方程．[解]根据题意可以知道，AB垂直于x轴，即A，B关于x轴对称．设AB 的方程为x＝x0，则A(x0，2px0)，B(x0，－2px0)，由k OA·k BF＝－1得2px0x0·－2px0x0－p2＝－1，解得x0＝52p，故直线AB的方程为x＝52p.抛物线的焦点弦问题[探究问题]1．已知抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，焦点为F，过F且垂直于x轴的直线交抛物线于A、B两点，且|AB|＝8，求抛物线的标准方程．[提示]设抛物线标准方程为y2＝2px(p≠0)，则|AB|＝|2p|＝8，∴p＝±4，故标准方程为y2＝±8x.2．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，能否求|AB|的值？[提示]如图，∵y2＝4x，∴2p＝4，p＝2.∴由抛物线定义知：|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝6＋2＝8.【例3】已知抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝52p，求AB所在直线的方程．思路探究：方法1：设出直线方程，用弦长公式求解；方法2：由于直线过抛物线的焦点，可利用抛物线定义转化为到准线的距离的和求解．[解] 法一：(代数法)焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，若AB ⊥x 轴，则|AB |＝2p ＜52p .所以直线AB 的斜率存在，设为k ，则直线AB 的方程为：y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去x ，整理得ky 2－2py －kp 2＝0.由根与系数的关系得，y 1＋y 2＝2pk ，y 1y 2＝－p 2. ∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2·(y 1－y 2)2 ＝1＋1k 2(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2＝52p ，解得k ＝±2.∴AB 所在直线方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2或y ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2.法二：(几何法)如图所示，抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线为x ＝－p2，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，设A ，B 到准线的距离分别为d A ，d B ，由抛物线的定义知， |AF |＝d A ＝x 1＋p 2，|BF |＝d B ＝x 2＋p2，于是|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝52p ，x 1＋x 2＝32p .当x 1＝x 2时，|AB |＝2p ＜52p ，所以直线AB 与x 轴不垂直．设直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，得k 2x 2－p (k 2＋2)x ＋14k 2p 2＝0，x 1＋x 2＝p (k 2＋2)k 2＝32p ，解得k ＝±2，所以直线AB 的方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2或y ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2.求抛物线弦长问题的方法： (1)一般弦长公式|AB |＝|x 1－x 2|1＋k 2＝|y 1－y 2| 1＋1k 2.(2)焦点弦长设AB 是抛物线y 2＝2px (p ＞0)的一条过焦点F 的弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长：|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p .即求抛物线的焦点弦长，通常是利用焦半径，把点点距转化为点线距(点到准线的距离)解决，这体现了抛物线的特殊性以及求抛物线焦点弦的便捷特点.1．顶点在原点，对称轴是y 轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程为( )A ．x 2＝±3yB ．y 2＝±6xC ．x 2＝±12yD ．x 2＝±6yC [依题意，p2＝3，∴p ＝6. ∴抛物线的标准方程为x 2＝±12y .]2．(2019·全国卷Ⅱ)若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p ＝1的一个焦点，则p ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．8 [答案] D3．函数y ＝ax 2＋1的图像与直线y ＝x 相切，则a 的值等于________．[解析] 由⎩⎨⎧y ＝ax 2＋1，y ＝x得ax 2－x ＋1＝0，由Δ＝0得1－4a ＝0， ∴a ＝14. [答案] 144．设抛物线y 2＝16x 上一点P 到对称轴的距离为12，则点P 与焦点F 的距离|PF |＝______.[解析] 设P (x,12)，代入到y 2＝16x 得x ＝9， ∴|PF |＝x ＋p2＝9＋4＝13. [答案] 135．已知抛物线y 2＝6x ，过点P (4,1)引一条弦P 1P 2使它恰好被点P 平分，求这条弦所在直线的方程及|P 1P 2|.[解] 设弦两端点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)．∵P 1，P 2在抛物线上，∴y 21＝6x 1，y 22＝6x 2.两式相减，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝6(x 1－x 2)． ∵y 1＋y 2＝2，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝6y 1＋y 2＝3， ∴直线的方程为y －1＝3(x －4)，即3x －y －11＝0.由⎩⎨⎧y 2＝6x ，y ＝3x －11，得y 2－2y －22＝0， ∴y 1＋y 2＝2，y 1·y 2＝－22. ∴|P 1P 2|＝1＋1922－4×(－22)＝22303.。

高中数学第二章圆锥曲线与方程 2 抛物线 2.2 抛物线的简单性质实用课件北师大版选修1-1

2.2
第 §2
二
抛物
抛物线的
章线简单
性质
理解教材新知
把握热点考向
应用创新演练
K12课件
考点一考点二考点三
1
§2
抛物线
2．2 抛物线的简单性质
K12课件
2
太阳能是最清洁的能源．太阳能灶是日常生活中应用太阳能的典型例子．太阳能灶接受面是抛物线一部分绕其对称轴旋转一周形成的曲面．它的原理是太阳光线 (平行光束)射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都经过抛物线的焦点，这就是太阳能灶把光能转化为热能的理论依据．
由yy2＝＝22xpx，得三角形的一顶点为2p，p，
y2＝2px，由y＝－12x 得三角形的另一个顶点为(8p，－4p)，
由已知，得8p－p22＋(－4p－p)2＝(2 13)2. 解得 p＝45.故所求抛物线的方程为 y2＝85x.
K12课件
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抛物线的定义及性质的应用 [例 2] 若动点 M 到点 F(4,0)的距离比它到直线 x＋5＝0 的距离小 1，求动点 M 的轨迹方程． [思路点拨] “点 M 与点 F 的距离比它到直线 l：x＋5＝0 的距离小 1”，就是“点 M 与点 F 的距离等于它到直线 x＋4＝0 的距离”，由此可知点 M 的轨迹是以 F 为焦点，直线 x＋4＝0 为准线的抛物线．
_e_＝__1___
_向__左__
_向__上__Байду номын сангаас
_向__下__
通径
过焦点垂直于对称轴的直线与抛物线交于两点P1， P2，线段P1P2叫抛物线的通径，长度|P1P2|＝_2_p__
K12课件
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1．抛物线只有一条对称轴，没有对称中心； 2．抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线； 3．抛物线的离心率是确定的，e＝1； 4．抛物线的焦点和准线分别在顶点的两侧，且它们到顶点的距离相等，均为p2.