2016届高考数学经典例题集锦数列(含答案)

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2016年高考真题(数列)

2016年高考真题------数列1已知等差数列{}n a 前9项的和为27，810=a ，则=100a （）A.100B.99C.98D.972.n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且，28,171==S a 记[]n n a b lg =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][].199lg 09.0==，（1）求;,,101111b b b（2）求数列{}n b 的前1000项和。

3.已知数列{}n a 的前n 项和,1n n a S λ+=其中0≠λ（1）证明：{}n a 是等比数列，并求其通项公式。

（2）若5S =3231,求λ4.已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若_______,0,66531==+=S a a a 则5.已知数列{}n a 的前n 项和{}n n b n n S ,832+=是等差数列，且.1++=n n n b b a（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）令{}n n n n n n c b a c 求数列,)2()1(1++=+的前n 项和.n T6.记{}100...,2,1，=U .对数列{})(*∈N n a n 和U 的子集T ，若φ=T ,定义{},,...,,;021k T t t t T S ==若定义....21k t t t T a a a S +++=假如：{}6631，，=T 时，.6631a a a S T ++=现设{})(*∈N n a n 是公比为3的等比数列，且当T={}42，时，.30=T S（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意正整数),1001(≤≤k k 若{},,...,2,1k T ⊆求证：;1+<k T a S（3）设,,,D C S S U D U C ≥⊆⊆求证：D D C C S S S 2≥+7.已知{}n a 是各项均为正数的等差数列，公差为d ，对任意的*∈N n ,1+n n n a a b 和是的等比中项（1）设,,221*+∈-=N n b b c n n n 求证：数列{}n c 是等差数列。

2016年高考真题--数列(含答案)

2016年高考真题--数列一．选择题（共5小题）1．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（）（参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30）A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年2．已知无穷等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，且=S，下列条件中，使得2S n＜S（n∈N*）恒成立的是（）A．a1＞0，0.6＜q＜0.7 B．a1＜0，﹣0.7＜q＜﹣0.6C．a1＞0，0.7＜q＜0.8 D．a1＜0，﹣0.8＜q＜﹣0.73．已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10=8，则a100=（）A．100 B．99 C．98 D．974．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（）A．B．5 C．7 D．95．在等差数列{a n}中，若a2=4，a4=2，则a6=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．6二．填空题（共5小题）6．设数列{a n}的前n项和为S n，若S2=4，a n+1=2S n+1，n∈N*，则a1=，S5=．7．已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和．若a1=6，a3+a5=0，则S6=．8．已知{a n}是等差数列，S n是其前n项和，若a1+a22=﹣3，S5=10，则a9的值是．9．设等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…a n的最大值为．10．在数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n，S n为{a n}的前n项和，若S n=126，则n=．三．解答题（共6小题）11．等差数列{a n}中，a3+a4=4，a5+a7=6．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=[a n]，求数列{b n}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[2.6]=2．12．已知数列{a n}的前n项和S n=3n2+8n，{b n}是等差数列，且a n=b n+b n+1．（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c n=，求数列{c n}的前n项和T n．13．已知{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1=1，b2=，a n b n+1+b n+1=nb n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{b n}的前n项和．14．设数列{a n}的前n项和为S n，已知S2=4，a n+1=2S n+1，n∈N*．（Ⅰ）求通项公式a n；（Ⅱ）求数列{|a n﹣n﹣2|}的前n项和．15．S n为等差数列{a n}的前n项和，且a1=1，S7=28，记b n=[lga n]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1．（Ⅰ）求b1，b11，b101；（Ⅱ）求数列{b n}的前1000项和．16．已知数列{a n}的首项为1，S n为数列{a n}的前n项和，S n+1=qS n+1，其中q＞0，n∈N+（Ⅰ）若a2，a3，a2+a3成等差数列，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设双曲线x2﹣=1的离心率为e n，且e2=2，求e12+e22+…+e n2．2016年高考真题--数列参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．（2016•四川）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（）（参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30）A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年【分析】设第n年开始超过200万元，可得130×（1+12%）n﹣2015＞200，两边取对数即可得出．【解答】解：设第n年开始超过200万元，则130×（1+12%）n﹣2015＞200，化为：（n﹣2015）lg1.12＞lg2﹣lg1.3，n﹣2015＞=3.8．取n=2019．因此开始超过200万元的年份是2019年．故选：B．【点评】本题考查了等比数列的通项公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2．（2016•上海）已知无穷等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，且=S，下列条件中，使得2S n＜S（n∈N*）恒成立的是（）A．a1＞0，0.6＜q＜0.7 B．a1＜0，﹣0.7＜q＜﹣0.6C．a1＞0，0.7＜q＜0.8 D．a1＜0，﹣0.8＜q＜﹣0.7【分析】由已知推导出，由此利用排除法能求出结果．【解答】解：∵，S==，﹣1＜q＜1，2S n＜S，∴，若a1＞0，则，故A与C不可能成立；若a1＜0，则q n，在B中，a1＜0，﹣0.7＜q＜﹣0.6故B成立；在D中，a1＜0，﹣0.8＜q＜﹣0.7，此时q2＞，D不成立．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．3．（2016•新课标Ⅰ）已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10=8，则a100=（）A．100 B．99 C．98 D．97【分析】根据已知可得a5=3，进而求出公差，可得答案．【解答】解：∵等差数列{a n}前9项的和为27，∴9a5=27，a5=3，又∵a10=8，∴d=1，∴a100=a5+95d=98，故选：C【点评】本题考查的知识点是数列的性质，熟练掌握等差数列的性质，是解答的关键．4．（2015•新课标Ⅱ）已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（）A．B．5 C．7 D．9【分析】由等差数列{a n}的性质，a1+a3+a5=3=3a3，解得a3．再利用等差数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：由等差数列{a n}的性质，a1+a3+a5=3=3a3，解得a3=1．则S5==5a3=5．故选：B．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质、前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．（2015•重庆）在等差数列{a n}中，若a2=4，a4=2，则a6=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．6【分析】直接利用等差中项求解即可．【解答】解：在等差数列{a n}中，若a2=4，a4=2，则a4=（a2+a6）==2，解得a6=0．故选：B．【点评】本题考查等差数列的性质，等差中项个数的应用，考查计算能力．二．填空题（共5小题）6．（2016•浙江）设数列{a n}的前n项和为S n，若S2=4，a n+1=2S n+1，n∈N*，则a1=1，S5=121．【分析】运用n=1时，a1=S1，代入条件，结合S2=4，解方程可得首项；再由n =S n+1﹣S n，结合条件，计算即可得到所求和．＞1时，a n+1【解答】解：由n=1时，a1=S1，可得a2=2S1+1=2a1+1，又S2=4，即a1+a2=4，即有3a1+1=4，解得a1=1；由a n=S n+1﹣S n，可得+1S n+1=3S n+1，由S2=4，可得S3=3×4+1=13，S4=3×13+1=40，S5=3×40+1=121．故答案为：1，121．【点评】本题考查数列的通项和前n项和的关系：n=1时，a1=S1，n＞1时，a n=S n ，考查运算能力，属于中档题．﹣S n﹣17．（2016•北京）已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和．若a1=6，a3+a5=0，则S6=6．【分析】由已知条件利用等差数列的性质求出公差，由此利用等差数列的前n 项和公式能求出S6．【解答】解：∵{a n}为等差数列，S n为其前n项和．a1=6，a3+a5=0，∴a1+2d+a1+4d=0，∴12+6d=0，解得d=﹣2，∴S6==36﹣30=6．故答案为：6．【点评】本题考查等差数列的前6项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．8．（2016•江苏）已知{a n}是等差数列，S n是其前n项和，若a1+a22=﹣3，S5=10，则a9的值是20．【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a9的值．【解答】解：∵{a n}是等差数列，S n是其前n项和，a1+a22=﹣3，S5=10，∴，解得a1=﹣4，d=3，∴a9=﹣4+8×3=20．故答案为：20．【点评】本题考查等差数列的第9项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．9．（2016•新课标Ⅰ）设等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…a n的最大值为64．【分析】求出数列的等比与首项，化简a1a2…a n，然后求解最值．【解答】解：等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，可得q（a1+a3）=5，解得q=．a1+q2a1=10，解得a1=8．则a1a2…a n=a1n•q1+2+3+…+（n﹣1）=8n•==，当n=3或4时，表达式取得最大值：=26=64．故答案为：64．【点评】本题考查数列的性质数列与函数相结合的应用，转化思想的应用，考查计算能力．10．（2015•新课标Ⅰ）在数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n，S n为{a n}的前n项和，若S n=126，则n=6．=2a n，结合等比数列的定义可知数列{a n}是a1=2为首项，以2为【分析】由a n+1公比的等比数列，代入等比数列的求和公式即可求解．【解答】解：∵a n=2a n，+1∴，∵a1=2，∴数列{a n}是a1=2为首项，以2为公比的等比数列，∴S n===2n+1﹣2=126，∴2n+1=128，∴n+1=7，∴n=6．故答案为：6【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，解题的关键是熟练掌握基本公式．三．解答题（共6小题）11．（2016•新课标Ⅱ）等差数列{a n}中，a3+a4=4，a5+a7=6．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=[a n]，求数列{b n}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[2.6]=2．（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，根据已知构造关于首项和公差方程组，【分析】解得答案；（Ⅱ）根据b n=[a n]，列出数列{b n}的前10项，相加可得答案．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3+a4=4，a5+a7=6．∴，解得：，∴a n=；（Ⅱ）∵b n=[a n]，∴b1=b2=b3=1，b4=b5=2，b6=b7=b8=3，b9=b10=4．故数列{b n}的前10项和S10=3×1+2×2+3×3+2×4=24．【点评】本题考查的知识点是等差数列的通项公式，等差数列的性质，难度中档．12．（2016•山东）已知数列{a n}的前n项和S n=3n2+8n，{b n}是等差数列，且a n=b n+b n+1．（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c n=，求数列{c n}的前n项和T n．【分析】（Ⅰ）求出数列{a n}的通项公式，再求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）求出数列{c n}的通项，利用错位相减法求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）S n=3n2+8n，∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=6n+5，n=1时，a1=S1=11，∴a n=6n+5；∵a n=b n+b n+1，∴a n=b n﹣1+b n，﹣1=b n+1﹣b n﹣1．∴a n﹣a n﹣1∴2d=6，∴d=3，∵a1=b1+b2，∴11=2b1+3，∴b1=4，∴b n=4+3（n﹣1）=3n+1；（Ⅱ）c n===6（n+1）•2n，∴T n=6[2•2+3•22+…+（n+1）•2n]①，∴2T n=6[2•22+3•23+…+n•2n+（n+1）•2n+1]②，①﹣②可得﹣T n=6[2•2+22+23+…+2n﹣（n+1）•2n+1]=12+6×﹣6（n+1）•2n+1=（﹣6n）•2n+1=﹣3n•2n+2，∴T n=3n•2n+2．【点评】本题考查数列的通项与求和，着重考查等差数列的通项与错位相减法的运用，考查分析与运算能力，属于中档题．13．（2016•新课标Ⅰ）已知{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1=1，b2=，a n b n+1+b n+1=nb n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{b n}的前n项和．【分析】（Ⅰ）令n=1，可得a1=2，结合{a n}是公差为3的等差数列，可得{a n}的通项公式；（Ⅱ）由（1）可得：数列{b n}是以1为首项，以为公比的等比数列，进而可得：{b n}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）∵a n b n+1+b n+1=nb n．当n=1时，a1b2+b2=b1．∵b1=1，b2=，∴a1=2，又∵{a n}是公差为3的等差数列，∴a n=3n﹣1，（Ⅱ）由（I）知：（3n﹣1）b n+1+b n+1=nb n．即3b n+1=b n．即数列{b n}是以1为首项，以为公比的等比数列，∴{b n}的前n项和S n==（1﹣3﹣n）=﹣．【点评】本题考查的知识点是数列的递推式，数列的通项公式，数列的前n项和公式，难度中档．14．（2016•浙江）设数列{a n}的前n项和为S n，已知S2=4，a n+1=2S n+1，n∈N*．（Ⅰ）求通项公式a n；（Ⅱ）求数列{|a n﹣n﹣2|}的前n项和．【分析】（Ⅰ）根据条件建立方程组关系，求出首项，利用数列的递推关系证明数列{a n}是公比q=3的等比数列，即可求通项公式a n；（Ⅱ）讨论n的取值，利用分组法将数列转化为等比数列和等差数列即可求数列{|a n﹣n﹣2|}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）∵S2=4，a n+1=2S n+1，n∈N*．∴a1+a2=4，a2=2S1+1=2a1+1，解得a1=1，a2=3，=2S n+1，a n=2S n﹣1+1，当n≥2时，a n+1﹣a n=2（S n﹣S n﹣1）=2a n，两式相减得a n+1即a n=3a n，当n=1时，a1=1，a2=3，+1=3a n，满足a n+1∴=3，则数列{a n}是公比q=3的等比数列，则通项公式a n=3n﹣1．（Ⅱ）a n﹣n﹣2=3n﹣1﹣n﹣2，设b n=|a n﹣n﹣2|=|3n﹣1﹣n﹣2|，则b1=|30﹣1﹣2|=2，b2=|3﹣2﹣2|=1，当n≥3时，3n﹣1﹣n﹣2＞0，则b n=|a n﹣n﹣2|=3n﹣1﹣n﹣2，此时数列{|a n﹣n﹣2|}的前n项和T n=3+﹣=，则T n==．【点评】本题主要考查递推数列的应用以及数列求和的计算，根据条件建立方程组以及利用方程组法证明列{a n}是等比数列是解决本题的关键．求出过程中使用了转化法和分组法进行数列求和．15．（2016•新课标Ⅱ）S n为等差数列{a n}的前n项和，且a1=1，S7=28，记b n=[lga n]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1．（Ⅰ）求b1，b11，b101；（Ⅱ）求数列{b n}的前1000项和．【分析】（Ⅰ）利用已知条件求出等差数列的公差，求出通项公式，然后求解b1，b11，b101；（Ⅱ）找出数列的规律，然后求数列{b n}的前1000项和．【解答】解：（Ⅰ）S n为等差数列{a n}的前n项和，且a1=1，S7=28，7a4=28．可得a4=4，则公差d=1．a n=n，b n=[lgn]，则b1=[lg1]=0，b11=[lg11]=1，b101=[lg101]=2．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：b1=b2=b3=…=b9=0，b10=b11=b12=…=b99=1．b100=b101=b102=b103=…=b999=2，b10，00=3．数列{b n}的前1000项和为：9×0+90×1+900×2+3=1893．【点评】本题考查数列的性质，数列求和，考查分析问题解决问题的能力，以及计算能力．16．（2016•四川）已知数列{a n}的首项为1，S n为数列{a n}的前n项和，S n+1=qS n+1，其中q＞0，n∈N+（Ⅰ）若a2，a3，a2+a3成等差数列，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设双曲线x2﹣=1的离心率为e n，且e2=2，求e12+e22+…+e n2．【分析】（Ⅰ）根据题意，由数列的递推公式可得a2与a3的值，又由a2，a3，a2+a3成等差数列，可得2a3=a2+（a2+a3），代入a2与a3的值可得q2=2q，解可得q的=2S n+1，进而可得S n=2S n﹣1+1，将两式相减可得a n=2a n﹣1，即可值，进而可得S n+1得数列{a n}是以1为首项，公比为2的等比数列，由等比数列的通项公式计算可得答案；（Ⅱ）根据题意S n=qS n+1，同理有S n=qS n﹣1+1，将两式相减可得a n=qa n﹣1，分析+1可得a n=q n﹣1；又由双曲线x2﹣=1的离心率为e n，且e2=2，分析可得e2==2，解可得a2的值，由a n=q n﹣1可得q的值，进而可得数列{a n}的通项公式，再次由双曲线的几何性质可得e n2=1+a n2=1+3n﹣1，运用分组求和法计算可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，数列{a n}的首项为1，即a1=1，=qS n+1，则S2=qa1+1，则a2=q，又由S n+1又有S3=qS2+1，则有a3=q2，若a2，a3，a2+a3成等差数列，即2a3=a2+（a2+a3），则可得q2=2q，（q＞0），解可得q=2，=2S n+1，①则有S n+1进而有S n=2S n﹣1+1，②①﹣②可得a n=2a n﹣1，则数列{a n}是以1为首项，公比为2的等比数列，则a n=1×2n﹣1=2n﹣1；=qS n+1，③（Ⅱ）根据题意，有S n+1同理可得S n=qS n﹣1+1，④③﹣④可得：a n=qa n﹣1，又由q＞0，则数列{a n}是以1为首项，公比为q的等比数列，则a n=1×q n﹣1=q n﹣1；若e 2=2，则e2==2，解可得a2=，则a2=q=，即q=，a n=1×q n﹣1=q n﹣1=（）n﹣1，则e n2=1+a n2=1+3n﹣1，故e12+e22+…+e n2=n+（1+3+32+…+3n﹣1）=n+．【点评】本题考查数列的递推公式以及数列的求和，涉及双曲线的简单几何性质，注意题目中q＞0这一条件．。

【三维设计】2016届(新课标)高考数学(文)大一轮复习精品讲义：第五章数列 Word版含答案

第五章数列第一节数列的概念与简单表示法对应学生用书P71基础盘查一数列的有关概念 (一)循纲忆知了解数列的概念(定义、数列的项、通项公式、前n 项和) (二)小题查验 1．判断正误(1)1,2,3,4和1,2,4,3是相同的数列( ) (2)同一个数在数列中可以重复出现( ) (3)a n 与{a n }是不同的概念( )(4)所有的数列都有通项公式，且通项公式在形式上一定是唯一的( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×2．(人教A 版教材例题改编)写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(1)1，－12，13，－14；(2)2,0,2,0.答案：(1)a n ＝(－1)n ＋1n(2)a n ＝(－1)n ＋1＋1基础盘查二数列的表示方法 (一)循纲忆知1．了解数列三种简单的表示方法(列表法、图象法、通项公式法)； 2．了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数． (二)小题查验 1．判断正误(1)数列是一种特殊的函数( )(2)毎一个数列都可用三种表示法表示( )(3)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对∀n ∈N *，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n ( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√2．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n2a n ＋3，则a 5等于________．答案：1161基础盘查三数列的分类 (一)循纲忆知了解数列的分类(按项数分、按项间的大小等)． (二)小题查验1．(人教B 版教材例题改编)已知函数f (x )＝x －1x ，设a n ＝f (n )(n ∈N *)，则{a n }是________数列(填“递增”或“递减”)答案：递增2．对于数列{a n }，“a n ＋1＞|a n |(n ＝1,2…)”是“{a n }为递增数列”的________条件．答案：充分不必要对应学生用书P71考点一由数列的前几项求数列的通项公式(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．[提醒] 不是所有的数列都有通项公式，若有，也不一定唯一．[题组练透]1．已知n ∈N *，给出4个表达式：①a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n 为奇数，1，n 为偶数，②a n ＝1＋(－1)n 2，③a n ＝1＋cos n π2，④a n ＝⎪⎪⎪⎪sin n π2.其中能作为数列：0,1,0,1,0,1,0,1，…的通项公式的是( ) A ．①②③ B ．①②④ C ．②③④D ．①③④解析：选A 检验知①②③都是所给数列的通项公式． 2．根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式： (1)4,6,8,10，…； (2)－11×2，12×3，－13×4，14×5，…；(3)a ，b ，a ，b ，a ，b ，…(其中a ，b 为实数)； (4)9,99,999,9 999，….解：(1)各数都是偶数，且最小为4，所以通项公式a n ＝2(n ＋1)，n ∈N *.(2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式a n ＝(－1)n ×1n (n ＋1)，n ∈N *.(3)这是一个摆动数列，奇数项是a ，偶数项是b ，所以此数列的一个通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，b ，n 为偶数. (4)这个数列的前4项可以写成10－1,100－1,1 000－1，10 000－1，所以它的一个通项公式a n ＝10n －1，n ∈N *.[类题通法]用观察法求数列的通项公式的技巧(1)根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n 之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用(－1)n 或(－1)n＋1来调整．(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．考点二由a n 与S n 的关系求通项a n (重点保分型考点——师生共研)[必备知识]数列的前n 项和通常用S n 表示，记作S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则通项a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.[提醒] 若当n ≥2时求出的a n 也适合n ＝1时的情形，则用一个式子表示a n ，否则分段表示．[典题例析]已知下面数列{a n }的前n 项和S n ，求{a n }的通项公式： (1)S n ＝2n 2－3n ；(2)S n ＝3n ＋b . 解：(1)a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5，由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5. (2)a 1＝S 1＝3＋b ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1.当b ＝－1时，a 1适合此等式．当b ≠－1时，a 1不适合此等式．∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b ≠－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋b ，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.[类题通法]已知S n 求a n 的三个步骤 (1)先利用a 1＝S 1求出a 1；(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式；(3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1与n ≥2两段来写．[演练冲关]已知数列{a n }的前n 项和为S n . (1)若S n ＝(－1)n ＋1·n ，求a 5＋a 6及a n ；(2)若S n ＝3n ＋2n ＋1，求a n .解：(1)a 5＋a 6＝S 6－S 4＝(－6)－(－4)＝－2，当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(－1)n ＋1·n －(－1)n ·(n －1)＝(－1)n ＋1·[n ＋(n －1)]＝(－1)n ＋1·(2n －1)，又a 1也适合于此式，所以a n ＝(－1)n ＋1·(2n －1)．(2)因为当n ＝1时，a 1＝S 1＝6；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋2n ＋1)－[3n －1＋2(n －1)＋1]＝2·3n －1＋2，由于a 1不适合此式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，2·3n －1＋2，n ≥2.考点三由递推关系式求数列的通项公式(常考常新型考点——多角探明)[必备知识]递推公式：如果已知数列{a n }的第一项(或前几项)，且任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．[多角探明]递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数列中的项时，不如通项公式直接.n ＋1n n 1．在数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .求数列{a n }的通项公式．解：由题设知，a 1＝1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1. ∴a n a n －1＝n ＋1n －1. ∴a n a n －1＝n ＋1n －1，…，a 4a 3＝53，a 3a 2＝42，a 2a 1＝3.以上n －1个式子的等号两端分别相乘，得到a n a 1＝n (n ＋1)2.又∵a 1＝1，∴a n ＝n (n ＋1)2.角度二：形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，求a n2．(1)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1)，求数列{a n }的通项公式．(2)若数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n ，求数列{a n }的通项公式．解：(1)由题意，得a n ＋1－a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＋⎝⎛⎭⎫1n －2－1n －1＋…＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫1－12＋2＝3－1n . (2)由题意知a n ＋1－a n ＝2n ，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2n －1＋2n －2＋…＋2＋1＝1－2n 1－2＝2n－1.角度三：形如a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0且A ≠1)，求a n3．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，求数列{a n }的通项公式．解：∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，∴a n ＋1＋1a n ＋1＝3，∴数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3，又a 1＋1＝2，∴a n ＋1＝2·3n －1， ∴a n ＝2·3n －1－1.角度四：形如a n ＋1＝Aa n Ba n ＋C(A ，B ，C 为常数)，求a n4．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，求数列{a n }的通项公式．解：∵a n ＋1＝2a na n ＋2，a 1＝1，∴a n ≠0，∴1a n ＋1＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n ＝12，又a 1＝1，则1a 1＝1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公差的等差数列．∴1a n ＝1a 1＋(n －1)×12＝n 2＋12， ∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *)．[类题通法]由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为a n ＋1＝a n ＋f (n )或a n ＋1＝f (n )·a n ，则可以分别通过累加、累乘法求得通项公式，另外，通过迭代法也可以求得上面两类数列的通项公式，(如角度二)，注意：有的问题也可利用构造法，即通过对递推式的等价变形，(如角度三、四)转化为特殊数列求通项．对应A 本课时跟踪检测(二十九)一、选择题1．数列1，23，35，47，59，…的一个通项公式a n ＝( )A.n 2n ＋1B.n 2n －1C.n 2n －3D.n 2n ＋3解析：选B 由已知得，数列可写成11，23，35，…，故通项为n2n －1.2．数列{a n }的前n 项积为n 2，那么当n ≥2时，a n ＝( ) A ．2n －1 B ．n 2 C.(n ＋1)2n 2D.n 2(n －1)2解析：选D 设数列{a n }的前n 项积为T n ，则T n ＝n 2，当n ≥2时，a n ＝T n T n －1＝n 2(n －1)2.3．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21为( )A ．5 B.72 C.92D.132解析：选B ∵a n ＋a n ＋1＝12，a 2＝2，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－32，n 为奇数，2， n 为偶数.∴S 21＝11×⎝⎛⎭⎫－32＋10×2＝72.故选B. 4．在各项均为正数的数列{a n }中，对任意m ，n ∈N *，都有a m ＋n ＝a m ·a n .若a 6＝64，则a 9等于( )A ．256B ．510C ．512D ．1 024 解析：选C 在各项均为正数的数列{a n }中，对任意m ，n ∈N *，都有a m ＋n ＝a m ·a n .∴a 6＝a 3·a 3＝64，a 3＝8.∴a 9＝a 6·a 3＝64×8，a 9＝512.故选C.5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝kn 2，若对所有的n ∈N *，都有a n ＋1＞a n ，则实数k 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，0)解析：选A 由S n ＝kn 2得a n ＝k (2n －1)．因为a n ＋1＞a n ，所以数列{a n }是递增的，因此k ＞0，故选A.6．(2015·北京海淀区期末)若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选B ∵a 1＝19，a n ＋1－a n ＝－3，∴数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列， ∴a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n . 设{a n }的前k 项和数值最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a k ≥0，a k ＋1≤0，k ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧22－3k ≥0，22－3(k ＋1)≤0， ∴193≤k ≤223， ∵k ∈N *，∴k ＝7.∴满足条件的n 的值为7. 二、填空题7．在数列－1,0，19，18，…，n －2n 2，…中，0.08是它的第____________项．解析：令n －2n 2＝0.08，得2n 2－25n ＋50＝0，即(2n －5)(n －10)＝0. 解得n ＝10或n ＝52(舍去)．答案：108．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3－3×2n ，n ∈N *，则a n ＝________. 解析：分情况讨论：①当n ＝1时，a 1＝S 1＝3－3×21＝－3；②当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3－3×2n )－(3－3×2n －1)＝－3×2n －1.综合①②，得a n ＝－3×2n －1.答案：－3×2n －19．(2015·大连双基测试)数列{a n }满足：a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －1)·a n ＝(n －1)·3n ＋1＋3(n∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析：a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －3)·a n －1＋(2n －1)·a n ＝(n －1)·3n ＋1＋3，把n 换成n －1得，a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －3)·a n －1＝(n －2)·3n ＋3，两式相减得a n ＝3n .答案：3n10．在一个数列中，如果∀n ∈N *，都有a n a n ＋1a n ＋2＝k (k 为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k 叫做这个数列的公积．已知数列{a n }是等积数列，且a 1＝1，a 2＝2，公积为8，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝________.解析：依题意得数列{a n }是周期为3的数列，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，因此a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝4(a 1＋a 2＋a 3)＝4×(1＋2＋4)＝28.答案：28 三、解答题11．已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)． (1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)由S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)，可得 a 1＝12a 21＋12a 1，解得a 1＝1； S 2＝a 1＋a 2＝12a 22＋12a 2，解得a 2＝2；同理，a 3＝3，a 4＝4. (2)S n ＝12a 2n ＋12a n ，① 当n ≥2时，S n －1＝12a 2n －1＋12a n －1，② ①－②得(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0. 由于a n ＋a n －1≠0，所以a n －a n －1＝1，又由(1)知a 1＝1，故数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，故a n ＝n . 12．已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋2(n －1)(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)．(1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围．解：(1)∵a n ＝1＋1a ＋2(n －1)(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)，又∵a ＝－7，∴a n ＝1＋12n －9.结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性，可知1>a 1>a 2>a 3>a 4， a 5>a 6>a 7>…>a n >1(n ∈N *)．∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0. (2)a n ＝1＋1a ＋2(n －1)＝1＋12n －2－a2.∵对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，结合函数f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性，知5<2－a 2<6，∴－10<a <－8.故a的取值范围为(－10，－8)．第二节等差数列及其前n项和对应学生用书P73基础盘查一等差数列的有关概念(一)循纲忆知理解等差数列的概念(定义、公差、等差中项)．(二)小题查验1．判断正误(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列()(2)等差数列的公差是相邻两项的差()(3)数列{a n}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2a n＋1＝a n＋a n＋2()答案：(1)×(2)×(3)√2．(人教A版教材例题改编)判断下面数列是否为等差数列．(只写结果)(1)a n＝2n－1；(2)a n＝pn＋q(p、q为常数)．答案：(1)是(2)是基础盘查二等差数列的有关公式(一)循纲忆知1．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；2．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；3．了解等差数列与一次函数的关系．(二)小题查验1．判断正误(1)等差数列{a n}的单调性是由公差d决定的()(2)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数()(3)已知数列{a n}的通项公式是a n＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{a n}一定是等差数列()答案：(1)√(2)√(3)√2．(人教A 版教材例题改编)已知等差数列5,427，347，…，则前n 项和S n ＝________.答案：114(75n －5n 2)基础盘查三等差数列的性质 (一)循纲忆知掌握等差数列的性质及其应用． (二)小题查验 1．判断正误(1)在等差数列{a n }中，若a m ＋a n ＝a p ＋a q ，则一定有m ＋n ＝p ＋q ( ) (2)数列{a n }，{b n }都是等差数列，则数列{a n ＋b n }也一定是等差数列( )(3)等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，一定还是等差数列( )(4)数列{a n }的通项公式为a n ＝3n ＋5，则数列{a n }的公差与函数y ＝3x ＋5的图象的斜率相等( )答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√2．(北师大版教材例题改编)已知等差数列{a n }，a 5＝－20，a 20＝－35，则a n ＝________ 答案：－15－n3．在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11等于________．答案：88对应学生用书P74考点一等差数列的基本运算(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]等差数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝(a 1＋a n )n2. [题组练透]1．(2014·福建高考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( ) A ．8 B ．10 C ．12D ．14解析：选C 设等差数列{a n }的公差为d ，则S 3＝3a 1＋3d ，所以12＝3×2＋3d ，解得d＝2，所以a 6＝a 1＋5d ＝2＋5×2＝12，故选C.2．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝________. 解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 12＝a 1＋11d ＝－8，S 9＝9a 1＋9d ×82＝－9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝－1. ∴S 16＝16×3＋16×152×(－1)＝－72.答案：－723.在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d . 由a 1＝1，a 3＝－3，可得1＋2d ＝－3，解得d ＝－2. 从而a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n . (2)由(1)可知a n ＝3－2n ，所以S n ＝n [1＋(3－2n )]2＝2n －n 2.由S k ＝－35，可得2k －k 2＝－35，即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5.又k ∈N *，故k ＝7.[类题通法]等差数列的基本运算的解题策略(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程组解决问题的思想．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．考点二等差数列的判断与证明(题点多变型考点——全面发掘)[必备知识](1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．[提醒] 要注意定义中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．[一题多变][典型母题][题点发散1] 试说明本例中数列{a n }是不是等差数列．解：当n ≥2时，a n ＋1＝－12n (n ＋1)，而a n ＋1－a n ＝－12n (n ＋1)－－12n (n －1)＝－12n ⎝⎛⎭⎫1n ＋1－1n －1＝1n (n －1)(n ＋1).∴当n ≥2时，a n ＋1－a n 的值不是一个与n 无关的常数，故数列{a n }不是等差数列． [题点发散2] 若将本例条件改为“a 1＝2，S n ＝S n －12S n －1＋1(n ≥2)”，问题不变，试求解．解：(1)∵S n ＝S n －12S n －1＋1，∴1S n ＝2S n －1＋1S n －1＝1S n －1＋2. ∴1S n －1S n －1＝2. ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以12为首项，以2为公差的等差数列．(2)由(1)知1S n ＝12＋(n －1)×2＝2n －32，即S n ＝12n －32.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －32－12n －72 ＝－2⎝⎛⎭⎫2n －32⎝⎛⎭⎫2n －72；当n ＝1时，a 1＝2不适合上式，故a n＝⎩⎨⎧2(n ＝1)，－2⎝⎛⎭⎫2n －32⎝⎛⎭⎫2n －72(n ≥2).[题点发散3] 若本例变为：已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，设b n＝1a n －1(n ∈N *)．求证：数列{b n }是等差数列．证明：∵a n ＝2－1a n －1， ∴a n ＋1＝2－1a n.∴b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝12－1a n－1－1a n －1＝a n －1a n －1＝1， ∴{b n }是首项为b 1＝12－1＝1，公差为1的等差数列． [类题通法]等差数列的判定方法(1)定义法：对于n ≥2的任意自然数，验证a n －a n －1为同一常数； (2)等差中项法：验证2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)成立； (3)通项公式法：验证a n ＝pn ＋q ； (4)前n 项和公式法：验证S n ＝An 2＋Bn .[提醒] 在解答题中常应用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n 项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断．考点三等差数列的性质及最值(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d ，(n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n ，(k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n .(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．(4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列.[典题例析]1．等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则2a 9－a 10的值是( ) A ．20 B ．22 C ．24D ．－8解析：选C ∵a 1＋3a 8＋a 15＝5a 8＝120，∴a 8＝24， ∴2a 9－a 10＝a 10＋a 8－a 10＝a 8＝24.2．(2014·北京高考)若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．解析：∵数列{a n }是等差数列，且a 7＋a 8＋a 9＝3a 8＞0，∴a 8＞0.又a 7＋a 10＝a 8＋a 9＜0，∴a 9＜0.∴当n ＝8时，其前n 项和最大．答案：83．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝________. 解析：∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列，且S 10＝10，S 20＝30，S 20－S 10＝20，∴S 30－30＝10＋2×10＝30，∴S 30＝60. 答案：604．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知前6项和为36，最后6项的和为180，S n ＝324(n ＞6)，求数列{a n }的项数及a 9＋a 10.解：由题意知a 1＋a 2＋…＋a 6＝36，① a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a n －5＝180，②①＋②得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a 6＋a n －5)＝6(a 1＋a n )＝216，∴a 1＋a n ＝36，又S n ＝n (a 1＋a n )2＝324，∴18n ＝324，∴n ＝18.∵a 1＋a n ＝36，n ＝18，∴a 1＋a 18＝36，从而a 9＋a 10＝a 1＋a 18＝36.[类题通法]1．等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{a n }中，a m －a n ＝(m －n )d ⇔a m －a nm －n＝d (m ≠n )，其几何意义是点(n ，a n )，(m ，a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差．(2)和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 2n －1＝(2n －1)a n .2．求等差数列前n 项和S n 最值的两种方法(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)邻项变号法：①a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .[演练冲关]1．设数列{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37等于( ) A ．0 B ．37 C ．100D ．－37解析：选C 设{a n }，{b n }的公差分别为d 1，d 2，则(a n ＋1＋b n ＋1)－(a n ＋b n )＝(a n ＋1－a n )＋(b n＋1－b n )＝d 1＋d 2，∴{a n ＋b n }为等差数列，又a 1＋b 1＝a 2＋b 2＝100，∴{a n ＋b n }为常数列，∴a 37＋b 37＝100.2．已知等差数列{a n }的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为( )A ．10B ．20C ．30D ．40解析：选A 设这个数列有2n 项，则由等差数列的性质可知：偶数项之和减去奇数项之和等于nd ，即25－15＝2n ，故2n ＝10，即数列的项数为10.3．在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n取得最大值，并求出它的最大值．解：∵a 1＝20，S 10＝S 15，∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，∴d ＝－53.法一：由a n ＝20＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫－53＝－53n ＋653. 得a 13＝0.即当n ≤12时，a n ＞0，n ≥14时，a n ＜0. ∴当n ＝12或13时，S n 取得最大值，且最大值为S 12＝S 13＝12×20＋12×112×⎝⎛⎭⎫－53＝130.法二：∴S n ＝20n ＋n (n －1)2·⎝⎛⎭⎫－53＝－56n 2＋1256n ＝－56⎝⎛⎭⎫n －2522＋3 12524. ∵n ∈N *，∴当n ＝12或13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130. 法三：由S 10＝S 15得a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0. ∴5a 13＝0，即a 13＝0.∴当n ＝12或13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130.对应B 本课时跟踪检测(三十)[A 卷——夯基保分]一、选择题1．设S n 为等差数列的前n 项和，公差d ＝－2，若S 10＝S 11，则a 1＝( ) A ．18 B ．20 C ．22D ．24解析：选B 由S 10＝S 11，得a 11＝0.又已知d ＝－2，则a 11＝a 1＋10d ＝a 1＋10×(－2)＝0，解得a 1＝20.2．(2015·兰州、张掖联考)等差数列{a n }中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，则该数列前13项的和是( )A ．13B ．26C ．52D ．156解析：选B ∵3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24， ∴6a 4＋6a 10＝24，∴a 4＋a 10＝4，∴S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13(a 4＋a 10)2＝13×42＝26，故选B.3．已知等差数列{a n }满足a 2＝3，S n －S n －3＝51(n ＞3)，S n ＝100，则n 的值为( )A ．8B ．9C ．10D ．11解析：选C 由S n －S n －3＝51得， a n －2＋a n －1＋a n ＝51，所以a n －1＝17，又a 2＝3，S n ＝n (a 2＋a n －1)2＝100，解得n ＝10.4．(2015·辽宁鞍山检测)已知S n 表示数列{a n }的前n 项和，若对任意的n ∈N *满足a n ＋1＝a n ＋a 2，且a 3＝2，则S 2 014＝( )A ．1 006×2 013B ．1 006×2 014C ．1 007×2 013D ．1 007×2 014解析：选C 在a n ＋1＝a n ＋a 2中，令n ＝1，则a 2＝a 1＋a 2，a 1＝0，令n ＝2，则a 3＝2＝2a 2，a 2＝1，于是a n ＋1－a n ＝1，故数列{a n }是首项为0，公差为1的等差数列，S 2 014＝2 014×2 0132＝1 007×2 013. 5．(2015·洛阳统考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＞0，a 3＋a 10＞0，a 6a 7＜0，则满足S n ＞0的最大自然数n 的值为( )A ．6B ．7C ．12D ．13解析：选C ∵a 1＞0，a 6a 7＜0，∴a 6＞0，a 7＜0，等差数列的公差小于零，又a 3＋a 10＝a 1＋a 12＞0，a 1＋a 13＝2a 7＜0，∴S 12＞0，S 13＜0，∴满足S n ＞0的最大自然数n 的值为12.6．(2015·河北唐山一模)各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且3S n ＝a n a n ＋1，则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝( )A.n (n ＋5)2B.n (5n ＋1)2C.3n (n ＋1)2D.(n ＋3)(n ＋5)2解析：选C 当n ＝1时，3S 1＝a 1a 2,3a 1＝a 1a 2，∴a 2＝3.当n ≥2时，由3S n ＝a n a n ＋1，可得3S n －1＝a n －1a n ，两式相减得3a n ＝a n (a n ＋1－a n －1)，又∵a n ≠0，∴a n ＋1－a n －1＝3，∴{a 2n }为一个以3为首项，3为公差的等差数列，∴a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝3n ＋n (n －1)2×3＝3n (n ＋1)2，选C.二、填空题7．(2014·江西高考)在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前 n 项和为S n ，当且仅当n ＝8 时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．解析：由题意，当且仅当n ＝8时S n 有最大值，可得⎩⎪⎨⎪⎧d <0，a 8>0，a 9<0，即⎩⎪⎨⎪⎧d <0，7＋7d >0，7＋8d <0，解得－1<d <－78.答案：⎝⎛⎭⎫－1，－78 8．已知等差数列{a n }中，a n ≠0，若n ≥2且a n －1＋a n ＋1－a 2n ＝0，S 2n －1＝38，则n 等于________．解析：∵2a n ＝a n －1＋a n ＋1，又a n －1＋a n ＋1－a 2n ＝0，∴2a n －a 2n ＝0，即a n (2－a n )＝0.∵a n ≠0，∴a n ＝2.∴S 2n －1＝2(2n －1)＝38，解得n ＝10. 答案：109．(2015·无锡一模)已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，当整数n ≥2时，S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)都成立，则S 15＝________.解析：由S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)得(S n ＋1－S n )－(S n －S n －1)＝2S 1＝2，即a n ＋1－a n ＝2(n ≥2)，所以数列{a n }从第二项起构成等差数列，则S 15＝1＋2＋4＋6＋8＋…＋28＝211.答案：21110．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a n b n为整数的正整数n 的个数是________．解析：由等差数列前n 项和的性质知，a n b n ＝A 2n －1B 2n －1＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1＝7＋12n ＋1，故当n ＝1,2,3,5,11时，a n b n 为整数，故使得a nb n为整数的正整数n 的个数是5.答案：5 三、解答题11．(2015·长春调研)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，其中a 1＝3，S 5－S 2＝27. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若S n,22(a n ＋1＋1)，S n ＋2成等比数列，求正整数n 的值．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则S 5－S 2＝3a 1＋9d ＝27，又a 1＝3，则d ＝2，故a n ＝2n ＋1.(2)由(1)可得S n ＝n 2＋2n ，又S n ·S n ＋2＝8(a n ＋1＋1)2，即n (n ＋2)2(n ＋4)＝8(2n ＋4)2，化简得n 2＋4n －32＝0，解得n ＝4或n ＝－8(舍)，所以n 的值为4.12．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22. (1)求a n 和S n ；(2)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S n n ＋c ，求非零常数c .解：(1)∵数列{a n }为等差数列，∴a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22. 又a 3·a 4＝117，∴a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两实根，又公差d ＞0，∴a 3＜a 4，∴a 3＝9，a 4＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝9，a 1＋3d ＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4.∴通项公式a n ＝4n －3.∴S n ＝na 1＋n (n －1)2×d ＝2n 2－n .(2)由(1)知S n ＝2n 2－n ，∴b n ＝S nn ＋c ＝2n 2－n n ＋c ，∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c .∵数列{b n }是等差数列，∴2b 2＝b 1＋b 3，即62＋c ×2＝11＋c ＋153＋c，∴2c 2＋c ＝0， ∴c ＝－12或c ＝0(舍去)，故c ＝－12.[B 卷——增分提能]1．已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，且a 3＝10，S 6＝72，若b n ＝12a n －30，设数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n 的最小值．解：∵2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，∴a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1，故数列{a n }为等差数列．设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由a 3＝10，S 6＝72得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝10，6a 1＋15d ＝72，解得a 1＝2，d ＝4. ∴a n ＝4n －2，则b n ＝12a n －30＝2n －31，令⎩⎪⎨⎪⎧ b n ≤0，b n ＋1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧2n －31≤0，2(n ＋1)－31≥0，解得292≤n ≤312，∵n ∈N *，∴n ＝15，即数列{b n }的前15项均为负值，∴T 15最小．∵数列{b n }的首项是－29，公差为2， ∴T 15＝15(－29＋2×15－31)2＝－225，∴数列{b n }的前n 项和T n 的最小值为－225.2．(2015·安徽宿州调研)已知函数f (x )＝x 2－2(n ＋1)x ＋n 2＋5n －7.(1)设函数y ＝f (x )的图象的顶点的纵坐标构成数列{a n }，求证：{a n }为等差数列； (2)设函数y ＝f (x )的图象的顶点到x 轴的距离构成数列{b n }，求{b n }的前n 项和S n . 解：(1)证明：∵f (x )＝x 2－2(n ＋1)x ＋n 2＋5n －7 ＝[x －(n ＋1)]2＋3n －8， ∴a n ＝3n －8，∵a n ＋1－a n ＝3(n ＋1)－8－(3n －8)＝3， ∴数列{a n }为等差数列． (2)由题意知，b n ＝|a n |＝|3n －8|， ∴当1≤n ≤2时，b n ＝8－3n ，S n ＝b 1＋…＋b n ＝n (b 1＋b n )2＝n [5＋(8－3n )]2＝13n －3n 22；当n ≥3时，b n ＝3n －8，S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝5＋2＋1＋…＋(3n －8) ＝7＋(n －2)[1＋(3n －8)]2＝3n 2－13n ＋282.∴S n＝⎩⎨⎧13n －3n 22，1≤n ≤2，3n 2－13n ＋282，n ≥3.3．设同时满足条件：①b n ＋b n ＋22≤b n ＋1(n ∈N *)；②b n ≤M (n ∈N *，M 是与n 无关的常数)的无穷数列{b n }叫“特界”数列．(1)若数列{a n }为等差数列，S n 是其前n 项和，a 3＝4，S 3＝18，求S n ； (2)判断(1)中的数列{S n }是否为“特界”数列，并说明理由．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 1＋2d ＝4，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝3a 1＋3d ＝18，解得a 1＝8，d ＝－2，∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－n 2＋9n .(2){S n }是“特界”数列，理由如下：由S n ＋S n ＋22－S n ＋1＝(S n ＋2－S n ＋1)－(S n ＋1－S n )2 ＝a n ＋2－a n ＋12＝d2＝－1<0，得S n ＋S n ＋22<S n ＋1，故数列{S n }适合条件①. 而S n ＝－n 2＋9n ＝－⎝⎛⎭⎫n －922＋814(n ∈N *)，则当n ＝4或5时，S n 有最大值20，即S n ≤20，故数列{S n }适合条件②. 综上，数列{S n }是“特界”数列．第三节等比数列及其前n 项和对应学生用书P76基础盘查一等比数列的有关概念 (一)循纲忆知理解等比数列的概念(定义、公比、等比中项)． (二)小题查验 1．判断正误(1)常数列一定是等比数列( ) (2)等比数列中不存在数值为0的项( )(3)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列( ) (4)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab ( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)×2．已知数列a ，a (1－a )，a (1－a )2，…是等比数列，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≠1 B ．a ≠0或a ≠1 C ．a ≠0 D ．a ≠0且a ≠1答案：D基础盘查二等比数列的有关公式 (一)循纲忆知1．掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式；2．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；3．了解等比数列与指数函数的关系． (二)小题查验 1．判断正误(1)若等比数列{a n }的首项为a 1，公比是q ，则其通项公式为a n ＝a 1q n ( ) (2)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )1－a( )答案：(1)× (2)×2．(人教A 版教材习题改编)在等比数列{a n }中，已知a 1＝－1，a 4＝64，则q ＝________，S 4＝________.答案：－4 51基础盘查三等比数列的性质 (一)循纲忆知掌握等比数列的性质及应用． (二)小题查验 1．判断正误(1)q ＞1时，等比数列{a n }是递增数列( )(2)在等比数列{a n }中，若a m ·a n ＝a p ·a q ，则m ＋n ＝p ＋q ( )(3)在等比数列{a n }中，如果m ＋n ＝2k (m ，n ，k ∈N *)，那么a m ·a n ＝a 2k ( )(4)若数列{a n }是等比数列，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等比数列( )(5)如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×2．(北师大版教材习题改编)将公比为q 的等比数列a 1，a 2，a 3，a 4…依次取相邻两项的乘积组成新的数列a 1a 2，a 2a 3，a 3a 4，….此数列是( )A ．公比为q 的等比数列B ．公比为q 2的等比数列C ．公比为q 3的等比数列D ．不一定是等比数列答案：B对应学生用书P76考点一等比数列的基本运算(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]等比数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.[提醒] 运用等比数列的前n 项和公式时，必须对q ＝1与q ≠1分类讨论．[题组练透]1．(2015·东北三校联考)已知数列{a n }满足2a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝1，则数列{a n }的前10项和S 10为( )A.43(210－1) B.43(210＋1) C.43(2－10－1) D.43(2－10＋1) 解析：选C ∵2a n ＋1＋a n ＝0，∴a n ＋1a n ＝－12.又a 2＝1，∴a 1＝－2，∴数列{a n }是首项为－2，公比为q ＝－12的等比数列，∴S 10＝a 1(1－q 10)1－q＝－2(1－2－10)1＋12＝43(2－10－1)，故选C. 2．在等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值为( ) A ．1 B ．－12C ．1或－12D ．－1或12解析：选C 根据已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝7，a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝21， ∴1＋q ＋q 2q 2＝3.整理得2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12.3．(2015·唐山一模)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n＝( )A ．4n －1B ．4n －1C ．2n －1D ．2n －1 解析：选D 设{a n}的公比为q ，∵⎩⎨⎧a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，∴⎩⎨⎧a 1＋a 1q 2＝52①，a 1q ＋a 1q 3＝54②，由①②可得1＋q 2q ＋q3＝2，∴q ＝12，代入①得a 1＝2，∴a n ＝2×⎝⎛⎭⎫12n －1＝42n ， ∴S n ＝2×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝4⎝⎛⎭⎫1－12n ，∴S na n ＝4⎝⎛⎭⎫1－12n 42n＝2n －1，选D.4．设数列{a n }的前n 项和S n 满足6S n ＋1＝9a n (n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝1a n ，求数列{b n }前n 项和T n .解：(1)当n ＝1时，由6a 1＋1＝9a 1，得a 1＝13.当n ≥2时，由6S n ＋1＝9a n ，得6S n －1＋1＝9a n －1，两式相减得6(S n －S n －1)＝9(a n －a n －1)，即6a n ＝9(a n －a n －1)，∴a n ＝3a n －1.∴数列{a n }是首项为13，公比为3的等比数列，其通项公式为a n ＝13×3n －1＝3n －2.(2)∵b n ＝1a n ＝⎝⎛⎭⎫13n －2，∴{b n }是首项为3，公比为13的等比数列，∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝3⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n 1－13＝92⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n .[类题通法]解决等比数列有关问题的常用思想方法(1)方程的思想：等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a 1和q ，问题可迎刃而解．(2)分类讨论的思想：等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q.考点二等比数列的判定与证明(题点多变型考点——全面发掘)[必备知识]1．定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．定义的表达式为a n ＋1a n＝q .2．等比中项G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab . [提醒] 在等比数列中每项与公比都不为0.[一题多变][典型母题][题点发散1] 在本例条件下，若数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2), 证明：{b n }是等比数列．证明：∵由(2)知a n ＝1－⎝⎛⎭⎫12n ， ∴当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1 ＝1－⎝⎛⎭⎫12n －⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n －1 ＝⎝⎛⎭⎫12n －1－⎝⎛⎭⎫12n ＝⎝⎛⎭⎫12n .又b 1＝a 1＝12也符合上式，∴b n ＝⎝⎛⎭⎫12n . ∴b n ＋1b n ＝12，数列{b n }是等比数列． [题点发散2] 本例条件变为：已知数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝a (a ≠0)，a n ＋2＝p ·a 2n ＋1a n(其中p 为非零常数，n ∈N *)．试判断数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1a n 是不是等比数列．解：由a n ＋2＝p ·a 2n ＋1a n ，得a n ＋2a n ＋1＝p ·a n ＋1a n .令c n ＝a n ＋1a n，则c 1＝a ，c n ＋1＝pc n .∵a ≠0，∴c 1≠0，c n ＋1c n＝p (非零常数)，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1a n 是等比数列． [类题通法]等比数列的判定方法(1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N *)或a na n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(2)中项公式法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列． (3)通项公式法：若数列通项公式可写成a n ＝c ·q n －1(c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(4)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n －k (k 为常数且k ≠0，q ≠0,1)，则{a n }是等比数列．[提醒] (1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明，而后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．考点三等比数列的性质(重点保分型考点——师生共研)[必备知识](1)若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k ；(2)若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n bn (λ≠0)仍然是等比数列；(3)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k ；(4)公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n ，当公比为－1时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 4n 不一定构成等比数列．[典题例析]1．(2015·长春调研)在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n ＝________.解析：设数列{a n }的公比为q ，由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12，可得q 9＝3，a n －1a n a n ＋1＝a 31q3n －3＝324，因此q 3n －6＝81＝34＝q 36，所以n ＝14，答案：142．(2014·广东高考)若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________.解析：因为a 10a 11＋a 9a 12＝2a 10a 11＝2e 5，所以a 10a 11＝e 5.所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln(a 1a 2…a 20) ＝ln [(a 1a 20)·(a 2a 19)·…·(a 10a 11)]＝ln(a 10a 11)10＝10ln(a 10a 11)＝10ln e 5＝50. 答案：50[类题通法]等比数列常见性质的应用等比数列的性质可以分为三类：①通项公式的变形，②等比中项的变形，③前n 项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．[演练冲关]1．(2014·江苏高考)在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________．解析：设等比数列{a n }的公比为q ，q >0，则a 8＝a 6＋2a 4即为a 4q 4＝a 4q 2＋2a 4，解得q 2＝2(负值舍去)，又a 2＝1，所以a 6＝a 2q 4＝4.答案：42．等比数列{a n }的首项a 1＝－1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则公比q ＝________.解析：由S 10S 5＝3132，a 1＝－1知公比q ≠1，S 10－S 5S 5＝－132.由等比数列前n 项和的性质知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，且公比为q 5，故q 5＝－132，q ＝－12.答案：－12对应A 本课时跟踪检测(三十一)[A 卷——夯基保分]一、选择题1．(2014·重庆高考)对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列D ．a 3，a 6，a 9成等比数列解析：选D 由等比数列的性质得，a 3·a 9＝a 26≠0，因此a 3，a 6，a 9一定成等比数列，选D.2．(2015·昆明、玉溪统考)等比数列{a n }中，a 1＝1，q ＝2，则T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1的结果可化为( )A ．1－14nB ．1－12nC.23⎝⎛⎭⎫1－14n D.23⎝⎛⎭⎫1－12n 解析：选C 依题意，a n ＝2n －1，1a n a n ＋1＝12n －1·2n ＝122n －1＝12×14n －1，所以T n ＝12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫14n 1－14＝23⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫14n . 3．若正项数列{a n }满足lg a n ＋1＝1＋lg a n ，且a 2 001＋a 2 002＋a 2 003＋…＋a 2 010＝2 014，则a 2 011＋a 2 012＋a 2 013＋…＋a 2 020的值为( )A ．2 014×1010B ．2 014×1011C ．2 015×1010D ．2 015×1011解析：选A 由条件知lg a n ＋1－lg a n ＝lga n ＋1a n ＝1，即a n ＋1a n＝10，所以{a n }是公比为10的等比数列．因为(a 2 001＋…＋a 2 010)·q 10＝a 2 011＋…＋a 2 020，所以a 2 011＋…＋a 2 020＝2 014×1010，选A.4．(2015·山西四校联考)等比数列{a n }满足a n ＞0，n ∈N *，且a 3·a 2n －3＝22n (n ≥2)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 2n －1＝( )A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2解析：选A 由等比数列的性质，得a 3·a 2n －3＝a 2n ＝22n ，从而得a n ＝2n.法一：log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 2n －1＝log 2[(a 1a 2n －1)·(a 2a 2n －2)·…·(a n －1a n ＋1)a n ]＝log 22n (2n－1)＝n (2n －1)．法二：取n ＝1，log 2a 1＝log 22＝1，而(1＋1)2＝4，(1－1)2＝0，排除B ，D ；取n ＝2，log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＝log 22＋log 24＋log 28＝6，而22＝4，排除C ，选A.5．已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若存在m ∈N *，满足S 2m S m ＝9，a 2m a m ＝5m ＋1m －1，则数列{a n }的公比为( )A ．－2B ．2C ．－3D ．3解析：选B 设公比为q ，若q ＝1，则S 2m S m ＝2，与题中条件矛盾，故q ≠1.∵S 2mS m ＝a 1(1－q 2m )1－q a 1(1－q m )1－q ＝q m ＋1＝9，∴q m ＝8.∴a 2m a m ＝a 1q2m －1a 1q m 1＝q m ＝8＝5m ＋1m －1，∴m ＝3，∴q 3＝8， ∴q ＝2.6．设{a n }是各项为正数的无穷数列，A i 是边长为a i ，a i ＋1的矩形的面积(i ＝1,2，…)，则{A n }为等比数列的充要条件是( )A ．{a n }是等比数列B ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…或a 2，a 4，…，a 2n ，…是等比数列C ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列D ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列，且公比相同解析：选D ∵A i ＝a i a i ＋1，若{A n }为等比数列，则A n ＋1A n ＝a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝a n ＋2a n 为常数，即A 2A 1＝a 3a 1，A 3A 2＝a 4a 2，….∴a 1，a 3，a 5，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…成等比数列，且公比相等．反之，若奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相等，设为q ，则A n ＋1A n ＝a n ＋2a n ＝q ，从而{A n }为等比数列．二、填空题7．(2014·安徽高考)数列{a n }是等差数列，若a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________.解析：法一：因为数列{a n }是等差数列，所以a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5也成等差数列，又a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，所以a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5是常数列，故q ＝1.法二：因为数列{a n }是等差数列，所以可设a 1＝t －d ，a 3＝t ，a 5＝t ＋d ，故由已知得(t ＋3)2＝(t －d ＋1)(t ＋d ＋5)，得d 2＋4d ＋4＝0，即d ＝－2，所以a 3＋3＝a 1＋1，即q ＝1.答案：18．(2015·兰州模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝m ·2n －1－3，则m ＝________.解析：a 1＝S 1＝m －3，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝m ·2n －2，。

数列说题16年全国卷15题只是分享

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n?1) 2
2
? ? ? 2 ?2 ? 2 ? 2 3 n
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7 2
)
2
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49 4
? ??
? 当n ? 3或n ? 4时，a1a2 ?
04
变式拓展
变式拓展
基本量法
性质
变式1：设等比数列?an?满足a1 - a5 ? -15，a2 ? a4 ? 10, 求an的通
.
变式2：设正项等比数列?an?满足a1 ?a5 ? 16，a2 ? a4 ? 10, 求an的通
.
变式3：设等比数列?an?满足a1 ? a3 ? 10, a2 ? a4 ? 5, 求a1 ? a2 ? ? ? an的
.
变式4：设等差数列?an?满足a1 ? a3 ? 10, a2 ? a4 ? 5, 求a1 ? a2 ? ? ? an的
.
变式5：设正项等比数列?an?满足a5a6 ? a4a7 ? 18, 求 log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? log3 a10的 .
变式拓展
(2013江苏14)在正项等比数列?a n ?中，a5
能力
推理论证能力考查运算求解能力
必修五 P48等差数列前n项和例4 P53等比数列课后题1
来源出处
等比数列通项公式知识等差数列求和公式考查指数幂的运算

2016年高考数学理试题分类汇编：数列(含解析)

2016年高考数学理试题分类汇编数列一、选择题1、（2016年上海高考）已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞→lim .下列条件中，使得()*∈<N n S S n 2恒成立的是（）（A ）7.06.0,01<<>q a （B ）6.07.0,01-<<-<q a （C ）8.07.0,01<<>q a （D ）7.08.0,01-<<-<q a 【答案】B【解析】试题分析：由题意得：11112,(0|q |1)11n q a a q q -<<<--对一切正整数恒成立，当10a >时12n q >不恒成立，舍去；当10a <时21122n q q <⇒<，因此选B. 考点：1.数列的极限；2.等比数列的求和.2、（2016年全国I 高考）已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a（A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97【答案】C 【解析】试题分析：由已知，1193627,98a d a d +=⎧⎨+=⎩所以110011,1,9919998,a d a a d =-==+=-+=故选C.考点：等差数列及其运算3、（2016年全国III 高考）定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,k a a a 中0的个数不少于1的个数.若m =4，则不同的“规范01数列”共有（A ）18个（B ）16个（C ）14个（D ）12个【答案】C 【解析】试题分析：由题意，得必有10a =，81a =，则具体的排法列表如下：0[1 1 1 1[1 0 1 1 10 11 01 00 1 1111 01 00 11 01 00 1 110 11 01 00 11 0考点：计数原理的应用．4、（2016年浙江高考）如图，点列{A n}，{B n}分别在某锐角的两边上，且1122,,n n n n n nA A A A A A n++++=≠∈*N，1122,,n n n n n nB B B B B B n++++=≠∈*N，（P Q P Q≠表示点与不重合）.若1n n n n n n nd A B S A B B+=，为△的面积，则A．{}nS是等差数列 B．2{}nS是等差数列C．{}nd是等差数列 D．2{}nd是等差数列【答案】A【解析】nS表示点nA到对面直线的距离（设为nh）乘以1n nB B+长度一半，即112n n n nS h B B+=，由题目中条件可知1n nB B+的长度为定值，那么我们需要知道nh的关系式，过1A作垂直得到初始距离1h，那么1,nA A和两个垂足构成了等腰梯形，那么11tann n nh h A Aθ+=+⋅，其中θ为两条线的夹角，即为定值，那么1111(tan)2n n n nS h A A B Bθ+=+⋅，111111(tan)2n n n nS h A A B Bθ+++=+⋅，作差后：1111(tan)2n n n n n nS S A A B Bθ+++-=⋅，都为定值，所以1n nS S+-为定值．故选A．二、填空题1、（2016年北京高考）已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则6=S _______.. 【答案】6 【解析】试题分析：∵{}n a 是等差数列，∴35420a a a +==，40a =，4136a a d -==-，2d =-， ∴616156615(2)6S a d =+=⨯+⨯-=，故填：6．考点：等差数列基本性质.2、（2016年上海高考）无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________. 【答案】4【解析】试题分析：要满足数列中的条件，涉及最多的项的数列可以为2,1,1,0,0,0,-⋅⋅⋅，所以最多由4个不同的数组成. 考点：数列的项与和.3、（2016年全国I 高考）设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则12...n a a a ⋅⋅⋅的最大值为 . 【答案】64【解析】由于{}n a 是等比数列，设11n n a a q -=，其中1a 是首项，q 是公比．∴2131132411101055a a a a q a a a q a q ⎧+=+=⎧⎪⇔⎨⎨+=+=⎪⎩⎩，解得：1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩．故412n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴()()()()21174932 (472)22412111...222n n n n n a a a ⎡⎤⎛⎫-+-++----⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅=== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当3n =或4时，21749224n ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦取到最小值6-，此时2174922412n ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎛⎫ ⎪⎝⎭取到最大值62．所以12...n a a a ⋅⋅⋅的最大值为64．考点：等比数列及其应用4、（2016年浙江高考）设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4，a n +1=2S n +1，n ∈N *，则a 1= ，S 5= .【答案】1 121三、解答题1、（2016年北京高考）设数列A ：1a ，2a ,…N a (N ≥).如果对小于n (2n N ≤≤)的每个正整数k 都有k a ＜n a ，则称n 是数列A 的一个“G 时刻”.记“)(A G 是数列A 的所有“G 时刻”组成的集合. （1）对数列A ：-2，2，-1，1，3，写出)(A G 的所有元素；（2）证明：若数列A 中存在n a 使得n a >1a ，则∅≠)(A G ；（3）证明：若数列A 满足n a -1n a - ≤1（n=2,3, …,N）,则)(A G 的元素个数不小于N a -1a . 【答案】（1）()G A 的元素为2和5；（2）详见解析；（3）详见解析.如果∅≠i G ，取i i G m min =，则对任何i i m n k i a a a m k <≤<≤,1. 从而)(A G m i ∈且1+=i i n m .又因为p n 是)(A G 中的最大元素，所以∅=p G.考点：数列、对新定义的理解.2、（2016年山东高考）已知数列{}n a 的前n 项和S n =3n 2+8n ，{}n b 是等差数列，且1.n n n a b b +=+（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令1(1).(2)n n n nn a c b ++=+ 求数列{}n c 的前n 项和T n.【解析】(Ⅰ)因为数列{}n a 的前n 项和n n S n 832+=，所以111=a ，当2≥n 时，56)1(8)1(383221+=----+=-=-n n n n n S S a n n n ，又56+=n a n 对1=n 也成立，所以56+=n a n ．又因为{}n b 是等差数列，设公差为d ，则d b b b a n n n n +=+=+21．当1=n 时，d b -=1121；当2=n 时，d b -=1722，解得3=d ，所以数列{}n b 的通项公式为132+=-=n da b n n ． (Ⅱ)由1112)33()33()66()2()1(+++⋅+=++=++=n nn n n n n n n n n b a c ，于是14322)33(2122926+⋅+++⋅+⋅+⋅=n n n T ，两边同乘以２，得21432)33(2)3(29262++⋅++⋅++⋅+⋅=n n n n n T ，两式相减，得214322)33(23232326++⋅+-⋅++⋅+⋅+⋅=-n n n n T2222)33(21)21(2323+⋅+---⋅+⋅=n n n222232)33()21(2312++⋅=⋅++-⋅+-=n n n n n n T ．考点：数列前n 项和与第n 项的关系；等差数列定义与通项公式；错位相减法3、（2016年上海高考）若无穷数列{}n a 满足：只要*(,)p q a a p q N =∈，必有11p q a a ++=，则称{}n a 具有性质P .（1）若{}n a 具有性质P ，且12451,2,3,2a a a a ====，67821a a a ++=，求3a ；（2）若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比为正数的等比数列，151b c ==，5181b c ==，n n n a b c =+判断{}n a 是否具有性质P ，并说明理由；（3）设{}n b 是无穷数列，已知*1sin ()n n n a b a n N +=+∈.求证：“对任意1,{}n a a 都具有性质P ”的充要条件为“{}n b 是常数列”.【答案】（1）316a =．（2）{}n a 不具有性质P ．（3）见解析．【解析】试题分析：（1）根据已知条件，得到678332a a a a ++=++，结合67821a a a ++=求解．（2）根据{}n b 的公差为20，{}n c 的公比为13，写出通项公式，从而可得520193n n n n a b c n -=+=-+．通过计算1582a a ==，248a =，63043a =，26a a ≠，即知{}n a 不具有性质P ．（3）从充分性、必要性两方面加以证明，其中必要性用反证法证明．试题解析：（1）因为52a a =，所以63a a =，743a a ==，852a a ==．于是678332a a a a ++=++，又因为67821a a a ++=，解得316a =．（2）{}n b 的公差为20，{}n c 的公比为13，所以()12012019n b n n =+-=-，1518133n n n c --⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭．520193n n n n a b c n -=+=-+． 1582a a ==，但248a =，63043a =，26a a ≠，所以{}n a 不具有性质P ．（3）[证]充分性：当{}n b 为常数列时，11sin n n a b a +=+．对任意给定的1a ，只要p q a a =，则由11sin sin p q b a b a +=+，必有11p q a a ++=．充分性得证．必要性：用反证法证明．假设{}n b 不是常数列，则存在k *∈N ，使得12k b b b b ==⋅⋅⋅==，而1k b b +≠．下面证明存在满足1sin n n n a b a +=+的{}n a ，使得121k a a a +==⋅⋅⋅=，但21k k a a ++≠．设()sin f x x x b =--，取m *∈N ，使得m b π>，则()0f m m b ππ=->，()0f m m b ππ-=--<，故存在c 使得()0f c =．取1a c =，因为1sin n n a b a +=+（1n k ≤≤），所以21sin a b c c a =+==，依此类推，得121k a a a c +==⋅⋅⋅==．但2111sin sin sin k k k k a b a b c b c ++++=+=+≠+，即21k k a a ++≠．所以{}n a 不具有性质P ，矛盾．必要性得证．综上，“对任意1a ，{}n a 都具有性质P ”的充要条件为“{}n b 是常数列”．考点：1.等差数列、等比数列的通项公式；2.充要条件的证明；3.反证法.4、（2016年四川高考）已知数列{n a }的首项为1，n S 为数列{n a }的前n 项和，11n n S qS +=+ ，其中q>0，*n N ∈ .（I ）若2322,,2a a a + 成等差数列，求a n 的通项公式；(ii)设双曲线2221n y x a -= 的离心率为n e ，且253e = ，证明：121433n n n n e e e --++⋅⋅⋅+>.【答案】（Ⅰ）1=n n a q -；（Ⅱ）详见解析.试题解析：（Ⅰ）由已知，1211,1,n n n n S qS S qS +++=+=+ 两式相减得到21,1n n a qa n ++=?. 又由211S qS =+得到21a qa =，故1n n a qa +=对所有1n ³都成立. 所以，数列{}n a 是首项为1，公比为q 的等比数列. 从而1=n n a q -.由2322+2a a a ，，成等比数列，可得322=32a a +，即22=32,q q +，则(21)(2)0q +q -=，由已知,0q >，故 =2q . 所以1*2()n n a n -=?N .（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，1n n a q -=.所以双曲线2221ny x a -=的离心率 22(1)11n n n e a q -=+=+ . 由2513q q =+=解得43q =. 因为2(1)2(1)1+k k q q -->，所以2(1)1*1+k k q q k -->?N （）. 于是11211+1n n n q e e e q q q --++鬃?>+鬃?=-，故1231433n nn e e e --++鬃?>. 考点：数列的通项公式、双曲线的离心率、等比数列的求和公式.5、（2016年天津高考）已知{}n a 是各项均为正数的等差数列，公差为d ，对任意的,b n n N ∈*是n a 和1n a +的等比中项.(Ⅰ)设22*1,n n n c b b n N +=-∈，求证：{}n c 是等差数列；(Ⅱ)设()22*11,1,nnn n k a d T b n N ===-∈∑，求证：2111.2nk kT d =<∑【解析】⑴22112112n n n n n n n n C b b a a a a d a +++++=-=-=⋅21212()2n n n n C C d a a d +++-=-=为定值． ∴{}n C 为等差数列⑵2213211(1)nk n k n k T b C C C -==-=++⋅⋅⋅+∑21(1)42n n nC d -=+⋅212(1)nC d n n =+-（*）由已知22212123122122()4C b b a a a a d a d a d d =-=-=⋅=+= 将214C d =代入（*）式得22(1)n T d n n =+ ∴2111112(1)nnk k kT d k k ===+∑∑212d <，得证考点：等差数列、等比中项、分组求和、裂项相消求和6、（2016年全国II 高考）n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且17=128.a S =，记[]=lg n n b a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]0.9=0lg99=1，．（Ⅰ）求111101b b b ，，；（Ⅱ）求数列{}n b 的前1 000项和．【答案】（Ⅰ）10b =，111b =， 1012b =；（Ⅱ）1893. 【解析】⑴设{}n a 的公差为d ，74728S a ==，∴44a =，∴4113a a d -==，∴1(1)n a a n d n =+-=． ∴[][]11lg lg10b a ===，[][]1111lg lg111b a ===，[][]101101101lg lg 2b a ===． ⑵ 记{}n b 的前n 项和为n T ，则1000121000T b b b =++⋅⋅⋅+[][][]121000lg lg lg a a a =++⋅⋅⋅+．当0lg 1n a <≤时，129n =⋅⋅⋅，，，；当1lg 2n a <≤时，101199n =⋅⋅⋅，，，；当2lg 3n a <≤时，100101999n =⋅⋅⋅，，，；当lg 3n a =时，1000n =．∴1000091902900311893T =⨯+⨯+⨯+⨯=．考点：等差数列的的性质，前n 项和公式，对数的运算.7、（2016年全国III 高考）已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a λ=+，其中0λ≠．（I ）证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式；（II ）若53132S =，求λ．【答案】（Ⅰ）1)1(11---=n n a λλλ；（Ⅱ）1λ=-．【解析】考点：1、数列通项n a 与前n 项和为n S 关系；2、等比数列的定义与通项及前n 项和为n S ．8、（2016年浙江高考）设数列{}n a 满足112n n a a +-≤，n *∈N ．（I ）证明：()1122n n a a -≥-，n *∈N ；（II ）若32n n a ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，n *∈N ，证明：2n a ≤，n *∈N ．【试题分析】（I ）先利用三角形不等式得1112n n a a +-≤，变形为111222n n n n na a ++-≤，再用累加法可得1122n n a a -<，进而可证()1122n n a a -≥-；（II ）由（I ）可得11222n m n m n a a --<，进而可得3224m n n a ⎛⎫<+⋅ ⎪⎝⎭，再利用m 的任意性可证2n a ≤．（II ）任取n *∈N ，由（I ）知，对于任意m n >， 1121112122222222n m n n n n m m n m n n n n m m a a a a a a a a +++-+++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11111222n n m +-≤++⋅⋅⋅+ 112n -<，故11222m n n n m a a -⎛⎫<+⋅ ⎪⎝⎭ 11132222m n n m -⎡⎤⎛⎫≤+⋅⋅⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 3224m n ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭．从而对于任意m n >，均有。

2016年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含解析版)

2016 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5 分）设集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2x﹣3＞0}，则A∩B=（）A．（﹣3，﹣）B．（﹣3，）C．（1，）D．（，3）2．（5 分）设（1+i）x=1+yi，其中x，y 是实数，则|x+yi|=（）A．1 B．C．D．23．（5 分）已知等差数列{a n}前9 项的和为27，a10=8，则a100=（）A．100 B．99 C．98 D．974．（5 分）某公司的班车在7：00，8：00，8：30 发车，小明在7：50 至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10 分钟的概率是（）A．B．C．D．5．（5 分）已知方程﹣=1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，）C．（0，3）D．（0，）6．（5 分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．20πD．28π7．（5分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．8．（5 分）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A．a c＜b c B．ab c＜ba cC．alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c9．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y 的值满足（）A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x10．（5 分）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A、B 两点，交C 的准线于D、E 两点．已知|AB|=4，|DE|=2，则C 的焦点到准线的距离为（）A．2 B．4 C．6 D．811．（5 分）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1 的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n 所成角的正弦值为（）A．B．C．D．12．（5 分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω 的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．5二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分.13．（5 分）设向量=（m，1），=（1，2），且|+|2=||2+||2，则m=．14．（5 分）（2x+）5的展开式中，x3的系数是．（用数字填写答案）15．（5分）设等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…a n 的最大值为．16．（5 分）某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5 个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3 个工时，生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900 元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600 个工时的条件下，生产产品A、产品B 的利润之和的最大值为元．三、解答题：本大题共5 小题，满分60 分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12 分）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC 的面积为，求△ABC 的周长．18．（12 分）如图，在以A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E 与二面角C﹣BE﹣F 都是60°．（I）证明平面ABEF⊥平面EFDC；（II）求二面角E﹣BC﹣A 的余弦值．19．（12 分）某公司计划购买2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200 元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500 元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这100 台机器更换的易损零件数的频率代替1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2 台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2 台机器的同时购买的易损零件数．（I）求X 的分布列；（II）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n 的最小值；（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19 与n=20 之中选其一，应选用哪个？20．（12 分）设圆x2+y2+2x﹣15=0 的圆心为A，直线l 过点B（1，0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E．（I）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II）设点E 的轨迹为曲线C1，直线l 交C1 于M，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．21．（12 分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2有两个零点．（I）求a 的取值范围；（II）设x1，x2 是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2．请考生在22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10 分）如图，△OAB 是等腰三角形，∠AOB=120°．以O 为圆心，OA 为半径作圆．（I）证明：直线AB 与⊙O 相切；（II）点C，D 在⊙O 上，且A，B，C，D 四点共圆，证明：AB∥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy 中，曲线C1 的参数方程为（t 为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．（I）说明C1 是哪种曲线，并将C1 的方程化为极坐标方程；（II）直线C3 的极坐标方程为θ=α0，其中α0 满足tanα0=2，若曲线C1 与C2 的公共点都在C3 上，求a．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．（I）在图中画出y=f（x）的图象；（II）求不等式|f（x）|＞1 的解集．2016 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5 分）设集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2x﹣3＞0}，则A∩B=（）A．（﹣3，﹣）B．（﹣3，）C．（1，）D．（，3）【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；4O：定义法；5J：集合．【分析】解不等式求出集合A，B，结合交集的定义，可得答案．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣4x+3＜0}=（1，3），B={x|2x﹣3＞0}=（，+∞），∴A∩B=（，3），故选：D．【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题．2．（5 分）设（1+i）x=1+yi，其中x，y 是实数，则|x+yi|=（）A．1 B．C．D．2【考点】A8：复数的模．【专题】34：方程思想；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数．【分析】根据复数相等求出x，y 的值，结合复数的模长公式进行计算即可．【解答】解：∵（1+i）x=1+yi，∴x+xi=1+yi，即，解得，即|x+yi|=|1+i|= ，故选：B．【点评】本题主要考查复数模长的计算，根据复数相等求出x，y 的值是解决本题的关键．3．（5 分）已知等差数列{a n}前9 项的和为27，a10=8，则a100=（）A．100 B．99 C．98 D．97【考点】83：等差数列的性质．【专题】11：计算题；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．【分析】根据已知可得a5=3，进而求出公差，可得答案．【解答】解：∵等差数列{a n}前9 项的和为27，S9===9a5．∴9a5=27，a5=3，又∵a10=8，∴d=1，∴a100=a5+95d=98，故选：C．【点评】本题考查的知识点是数列的性质，熟练掌握等差数列的性质，是解答的关键．4．（5 分）某公司的班车在7：00，8：00，8：30 发车，小明在7：50 至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10 分钟的概率是（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【专题】5I：概率与统计．【分析】求出小明等车时间不超过10 分钟的时间长度，代入几何概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：设小明到达时间为y，当y 在7：50 至8：00，或8：20 至8：30 时，小明等车时间不超过10 分钟，故P==，故选：B．【点评】本题考查的知识点是几何概型，难度不大，属于基础题．5．（5 分）已知方程﹣=1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，）C．（0，3）D．（0，）【考点】KB：双曲线的标准方程．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知可得c=2，利用4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得m2=1，又（m2+n）（3m2﹣n）＞0，从而可求n 的取值范围．【解答】解：∵双曲线两焦点间的距离为4，∴c=2，当焦点在x 轴上时，可得：4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2=1，∵方程﹣=1 表示双曲线，∴（m2+n）（3m2﹣n）＞0，可得：（n+1）（3﹣n）＞0，解得：﹣1＜n＜3，即n 的取值范围是：（﹣1，3）．当焦点在y 轴上时，可得：﹣4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2=﹣1，无解．故选：A．【点评】本题主要考查了双曲线方程的应用，考查了不等式的解法，属于基础题．6．（5 分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．20πD．28π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离．【分析】判断三视图复原的几何体的形状，利用体积求出几何体的半径，然后求解几何体的表面积．【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉后的几何体，如图：可得：=，R=2．它的表面积是：×4π•22+=17π．故选：A．【点评】本题考查三视图求解几何体的体积与表面积，考查计算能力以及空间想象能力．7．（5 分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】27：图表型；48：分析法；51：函数的性质及应用．【分析】根据已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性，利用排除法，可得答案．【解答】解：∵f（x）=y=2x2﹣e|x|，∴f（﹣x）=2（﹣x）2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|，故函数为偶函数，当x=±2 时，y=8﹣e2∈（0，1），故排除A，B；当x∈[0，2]时，f（x）=y=2x2﹣e x，∴f′（x）=4x﹣e x=0 有解，故函数y=2x2﹣e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，故选：D．【点评】本题考查的知识点是函数的图象，对于超越函数的图象，一般采用排除法解答．8．（5 分）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A．a c＜b c B．ab c＜ba cC．alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c【考点】R3：不等式的基本性质．【专题】33：函数思想；35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用；5T：不等式．【分析】根据已知中a＞b＞1，0＜c＜1，结合对数函数和幂函数的单调性，分析各个结论的真假，可得答案．【解答】解：∵a＞b＞1，0＜c＜1，∴函数f（x）=x c在（0，+∞）上为增函数，故a c＞b c，故A 错误；函数f（x）=x c﹣1 在（0，+∞）上为减函数，故a c﹣1＜b c﹣1，故ba c＜ab c，即ab c ＞ba c；故B 错误；log a c＜0，且log b c＜0，log a b＜1，即=＜1，即log a c＞log b c．故D错误；0＜﹣log a c＜﹣log b c，故﹣blog a c＜﹣alog b c，即blog a c＞alog b c，即alog b c＜blog a c，故C 正确；故选：C．【点评】本题考查的知识点是不等式的比较大小，熟练掌握对数函数和幂函数的单调性，是解答的关键．9．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y 的值满足（）A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x【考点】EF：程序框图．【专题】11：计算题；28：操作型；5K：算法和程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x，y 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：输入x=0，y=1，n=1，则x=0，y=1，不满足x2+y2≥36，故n=2，则x=，y=2，不满足x2+y2≥36，故n=3，则x=，y=6，满足x2+y2≥36，故y=4x，故选：C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．10．（5 分）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A、B 两点，交C 的准线于D、E 两点．已知|AB|=4，|DE|=2，则C 的焦点到准线的距离为（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】K8：抛物线的性质；KJ：圆与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】画出图形，设出抛物线方程，利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即可．【解答】解：设抛物线为y2=2px，如图：|AB|=4，|AM|=2，|DE|=2，|DN|=，|ON|=，x A==，|OD|=|OA|，=+5，解得：p=4．C 的焦点到准线的距离为：4．故选：B．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线与圆的方程的应用，考查计算能力．转化思想的应用．11．（5 分）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1 的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n 所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5G：空间角．【分析】画出图形，判断出m、n 所成角，求解即可．【解答】解：如图：α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，可知：n∥CD1，m∥B1D1，∵△CB1D1 是正三角形．m、n 所成角就是∠CD1B1=60°．则m、n 所成角的正弦值为：．故选：A．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．12．（5 分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω 的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．5【考点】H6：正弦函数的奇偶性和对称性．【专题】35：转化思想；4R：转化法；57：三角函数的图像与性质．【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f（x）在（，）上单调，可得ω 的最大值．【解答】解：∵x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω=2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（，）上单调，则﹣=≤，即T=≥，解得：ω≤12，当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=﹣，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω=9 时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω 的最大值为9，故选：B．【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，本题转化困难，难度较大．二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分.13．（5 分）设向量=（m，1），=（1，2），且|+|2=||2+||2，则m=﹣2 ．r +1【考点】9O ：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5A ：平面向量及应用．【分析】利用已知条件，通过数量积判断两个向量垂直，然后列出方程求解即可．【解答】解：|+|2=||2+||2，可得•=0．向量=（m ，1），=（1，2），可得 m +2=0，解得 m=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直条件的应用，考查计算能力．14．（5 分）（2x +）5 的展开式中，x 3 的系数是 10 ．（用数字填写答案）【考点】DA ：二项式定理．【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5P ：二项式定理．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第 r +1 项，令 x 的指数为 3，求出 r ，即可求出展开式中 x 3 的系数．【解答】解：（2x +）5 的展开式中，通项公式为：T = =25﹣r，令 5﹣=3，解得 r=4 ∴x 3 的系数 2=10．故答案为：10．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．（5 分）设等比数列{a n }满足 a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则 a 1a 2…a n 的最大值为 64 ．1 2 n 1 【考点】87：等比数列的性质；8I ：数列与函数的综合．【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；54：等差数列与等比数列．【分析】求出数列的等比与首项，化简 a 1a 2…a n ，然后求解最值．【解答】解：等比数列{a n }满足 a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，可得 q （a 1+a 3）=5，解得 q=． a 1+q 2a 1=10，解得 a 1=8．则 a a …a =a n •q1+2+3+…+（n ﹣1）=8n • = = ，当 n=3 或 4 时，表达式取得最大值： =26=64．故答案为：64．【点评】本题考查数列的性质数列与函数相结合的应用，转化思想的应用，考查计算能力．16．（5 分）某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品 A 需要甲材料 1.5kg ，乙材料 1kg ，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg ，乙材料 0.3kg ，用 3 个工时，生产一件产品 A 的利润为 2100元，生产一件产品 B 的利润为 900 元．该企业现有甲材料 150kg ，乙材料 90kg ，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A 、产品 B 的利润之和的最大值为 216000元．【考点】7C ：简单线性规划．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；33：函数思想；35：转化思想．【分析】设 A 、B 两种产品分别是 x 件和 y 件，根据题干的等量关系建立不等式组以及目标函数，利用线性规划作出可行域，通过目标函数的几何意义，求出其最大值即可；【解答】解：（1）设 A 、B 两种产品分别是 x 件和 y 件，获利为 z 元．由题意，得，z=2100x+900y．不等式组表示的可行域如图：由题意可得，解得：，A（60，100），目标函数z=2100x+900y．经过A 时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100×60+900×100=216000 元．故答案为：216000．【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，不等式组解实际问题的运用，不定方程解实际问题的运用，解答时求出最优解是解题的关键．三、解答题：本大题共5 小题，满分60 分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12 分）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC 的面积为，求△ABC 的周长．【考点】HU：解三角形．【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC 不为0 求出cosC 的值，即可确定出出C 的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a+b 的值，即可求△ABC 的周长．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC 中，0＜C＜π，∴sinC≠0已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，即2cosCsin（π﹣（A+B））=sinC2cosCsinC=sinC∴cosC=，∴C=；（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab•，∴（a+b）2﹣3ab=7，∵S=absinC=ab=，∴ab=6，∴（a+b）2﹣18=7，∴a+b=5，∴△ABC 的周长为5+．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角函数的恒等变形，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．（12 分）如图，在以A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E 与二面角C﹣BE﹣F 都是60°．（I）证明平面ABEF⊥平面EFDC；（II）求二面角E﹣BC﹣A 的余弦值．【考点】MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5H：空间向量及应用；5Q：立体几何．【分析】（Ⅰ）证明AF⊥平面EFDC，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）证明四边形EFDC 为等腰梯形，以E 为原点，建立如图所示的坐标系，求出平面BEC、平面ABC 的法向量，代入向量夹角公式可得二面角E﹣BC﹣A 的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵ABEF 为正方形，∴AF⊥EF．∵∠AFD=90°，∴AF⊥DF，∵DF∩EF=F，∴AF⊥平面EFDC，∵AF⊂平面ABEF，∴平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）解：由AF⊥DF，AF⊥EF，可得∠DFE 为二面角D﹣AF﹣E 的平面角；由ABEF 为正方形，AF⊥平面EFDC，∵BE⊥EF，∴BE⊥平面EFDC即有CE⊥BE，可得∠CEF 为二面角C﹣BE﹣F 的平面角．可得∠DFE=∠CEF=60°．∵AB∥EF，AB✪平面EFDC，EF⊂平面EFDC，∴AB∥平面EFDC，∵平面EFDC∩平面ABCD=CD，AB⊂平面ABCD，∴AB∥CD，∴CD∥EF，∴四边形EFDC 为等腰梯形．以E 为原点，建立如图所示的坐标系，设FD=a，则E（0，0，0），B（0，2a，0），C（，0，a），A（2a，2a，0），∴=（0，2a，0），=（，﹣2a，a），=（﹣2a，0，0）设平面BEC 的法向量为=（x1，y1，z1），则，则，取=（，0，﹣1）．设平面ABC 的法向量为=（x2，y2，z2），则，则，取=（0，，4）．设二面角E﹣BC﹣A 的大小为θ，则cosθ===﹣，则二面角E﹣BC﹣A 的余弦值为﹣．【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查用空间向量求平面间的夹角，建立空间坐标系将二面角问题转化为向量夹角问题是解答的关键．19．（12 分）某公司计划购买2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200 元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500 元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这100 台机器更换的易损零件数的频率代替1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2 台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2 台机器的同时购买的易损零件数．（I）求X 的分布列；（II）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n 的最小值；（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19 与n=20 之中选其一，应选用哪个？【考点】CG：离散型随机变量及其分布列．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）由已知得X 的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列．（II）由X 的分布列求出P（X≤18）=，P（X≤19）=．由此能确定满足P （X≤n）≥0.5 中n 的最小值．（III）法一：由X 的分布列得P（X≤19）=．求出买19 个所需费用期望EX1和买20 个所需费用期望EX2，由此能求出买19 个更合适．法二：解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，分别求出n=19 时，费用的期望和当n=20时，费用的期望，从而得到买19 个更合适．【解答】解：（Ⅰ）由已知得X 的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，P （X=16）=（）2=，P（X=17）=，P（X=18）=（）2+2（）2=，P（X=19）= =，P（X=20）= ==，P（X=21）= =，P（X=22）= ，∴X 的分布列为：（Ⅱ）由（Ⅰ）知：P（X≤18）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）==．P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）=+=．∴P（X≤n）≥0.5 中，n 的最小值为19．（Ⅲ）解法一：由（Ⅰ）得P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）=+=．买19 个所需费用期望：EX1=200×+（200×19+500）×+（200×19+500×2）×+（200×19+500×3）×=4040，买20 个所需费用期望：EX2= +（200×20+500）×+（200×20+2×500）×=4080，∵EX1＜EX2，∴买19 个更合适．解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，当n=19 时，费用的期望为：19×200+500×0.2+1000×0.08+1500×0.04=4040，当n=20 时，费用的期望为：20×200+500×0.08+1000×0.04=4080，∴买19 个更合适．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．20．（12 分）设圆x2+y2+2x﹣15=0 的圆心为A，直线l 过点B（1，0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E．（I）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II）设点E 的轨迹为曲线C1，直线l 交C1 于M，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．【考点】J2：圆的一般方程；KL：直线与椭圆的综合．【专题】34：方程思想；48：分析法；5B：直线与圆；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）求得圆A 的圆心和半径，运用直线平行的性质和等腰三角形的性质，可得EB=ED，再由圆的定义和椭圆的定义，可得E 的轨迹为以A，B 为焦点的椭圆，求得a，b，c，即可得到所求轨迹方程；（Ⅱ）设直线l：x=my+1，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得|MN|，由PQ⊥l，设PQ：y=﹣m（x﹣1），求得A 到PQ 的距离，再由圆的弦长公式可得|PQ|，再由四边形的面积公式，化简整理，运用不等式的性质，即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：圆x2+y2+2x﹣15=0 即为（x+1）2+y2=16，可得圆心A（﹣1，0），半径r=4，由BE∥AC，可得∠C=∠EBD，由AC=AD，可得∠D=∠C，即为∠D=∠EBD，即有EB=ED，则|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|=4，故E 的轨迹为以A，B 为焦点的椭圆，且有2a=4，即a=2，c=1，b==，则点E 的轨迹方程为+=1（y≠0）；（Ⅱ）椭圆C1：+=1，设直线l：x=my+1，由PQ⊥l，设PQ：y=﹣m（x﹣1），由可得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），可得y1+y2=﹣，y1y2=﹣，则|MN|=•|y1﹣y2|=•= •=12•，A 到PQ 的距离为d==，|PQ|=2 =2=，则四边形MPNQ 面积为S= |PQ|•|MN|= ••12•=24•=24，当m=0 时，S 取得最小值12，又＞0，可得S＜24•=8 ，即有四边形MPNQ 面积的取值范围是[12，8）．【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用椭圆和圆的定义，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及直线和圆相交的弦长公式，考查不等式的性质，属于中档题．21．（12 分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2有两个零点．（I）求a 的取值范围；（II）设x1，x2 是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2．【考点】51：函数的零点；6D：利用导数研究函数的极值．【专题】32：分类讨论；35：转化思想；4C：分类法；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）由函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2可得：f′（x）=（x﹣1）e x+2a （x﹣1）=（x﹣1）（e x+2a），对a 进行分类讨论，综合讨论结果，可得答案．（Ⅱ）设x1，x2 是f（x）的两个零点，则﹣a==，令g（x）=，则g（x1）=g（x2）=﹣a，分析g（x）的单调性，令m＞0，则g（1+m）﹣g（1﹣m）=，设h（m）=，m＞0，利用导数法可得h（m）＞h（0）=0 恒成立，即g（1+m）＞g（1﹣m）恒成立，令m=1﹣x1＞0，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2，∴f′（x）=（x﹣1）e x+2a（x﹣1）=（x﹣1）（e x+2a），①若a=0，那么f（x）=0⇔（x﹣2）e x=0⇔x=2，函数f（x）只有唯一的零点2，不合题意；②若a＞0，那么e x+2a＞0 恒成立，当x＜1 时，f′（x）＜0，此时函数为减函数；当x＞1 时，f′（x）＞0，此时函数为增函数；此时当x=1 时，函数f（x）取极小值﹣e，由f（2）=a＞0，可得：函数f（x）在x＞1 存在一个零点；当x＜1 时，e x＜e，x﹣2＜﹣1＜0，∴f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2＞（x﹣2）e+a（x﹣1）2=a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e，令a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e=0 的两根为t1，t2，且t1＜t2，则当x＜t1，或x＞t2 时，f（x）＞a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e＞0，故函数f（x）在x＜1 存在一个零点；即函数f（x）在R 是存在两个零点，满足题意；③若﹣＜a＜0，则ln（﹣2a）＜lne=1，当x＜ln（﹣2a）时，x﹣1＜ln（﹣2a）﹣1＜lne﹣1=0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0 恒成立，故f（x）单调递增，当ln（﹣2a）＜x＜1 时，x﹣1＜0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＜0 恒成立，故f（x）单调递减，当x＞1 时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0 恒成立，故f（x）单调递增，故当x=ln（﹣2a）时，函数取极大值，由f（ln（﹣2a））=[ln（﹣2a）﹣2]（﹣2a）+a[ln（﹣2a）﹣1]2=a{[ln（﹣2a）﹣2]2+1}＜0 得：函数f（x）在R 上至多存在一个零点，不合题意；④若a=﹣，则ln（﹣2a）=1，当x＜1=ln（﹣2a）时，x﹣1＜0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0 恒成立，故f（x）单调递增，当x＞1 时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0 恒成立，故f（x）单调递增，故函数f（x）在R 上单调递增，函数f（x）在R 上至多存在一个零点，不合题意；⑤若a＜﹣，则ln（﹣2a）＞lne=1，当x＜1 时，x﹣1＜0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0 恒成立，故f（x）单调递增，当1＜x＜ln（﹣2a）时，x﹣1＞0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＜0 恒成立，故f（x）单调递减，当x＞ln（﹣2a）时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0 恒成立，故f（x）单调递增，故当x=1 时，函数取极大值，由f（1）=﹣e＜0 得：函数f（x）在R 上至多存在一个零点，不合题意；综上所述，a 的取值范围为（0，+∞）证明：（Ⅱ）∵x1，x2 是f（x）的两个零点，∴f（x1）=f（x2）=0，且x1≠1，且x2≠1，∴﹣a==，令g（x）=，则g（x1）=g（x2）=﹣a，∵g′（x）=，∴当x＜1 时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x＞1 时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；设m＞0，则g（1+m）﹣g（1﹣m）=﹣=，设h（m）= ，m＞0，则h′（m）= ＞0 恒成立，即h（m）在（0，+∞）上为增函数，h（m）＞h（0）=0 恒成立，即g（1+m）＞g（1﹣m）恒成立，令m=1﹣x1＞0，则g（1+1﹣x1）＞g（1﹣1+x1）⇔g（2﹣x1）＞g（x1）=g（x2）⇔2﹣x1＞x2，即x1+x2＜2．【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的极值，函数的零点，分类讨论思想，难度较大．请考生在22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10 分）如图，△OAB 是等腰三角形，∠AOB=120°．以O 为圆心，OA 为半径作圆．（I）证明：直线AB 与⊙O 相切；（II）点C，D 在⊙O 上，且A，B，C，D 四点共圆，证明：AB∥CD．【考点】N9：圆的切线的判定定理的证明．【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；5M：推理和证明．【分析】（Ⅰ）设K 为AB 中点，连结OK．根据等腰三角形AOB 的性质知OK⊥ AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，则AB 是圆O 的切线．（Ⅱ）设圆心为T，证明OT 为AB 的中垂线，OT 为CD 的中垂线，即可证明结论．【解答】证明：（Ⅰ）设K 为AB 中点，连结OK，∵OA=OB，∠AOB=120°，∴OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，∴直线AB 与⊙O 相切；（Ⅱ）因为OA=2OD，所以O 不是A，B，C，D 四点所在圆的圆心．设T 是A，B，C，D 四点所在圆的圆心．∵OA=OB，TA=TB，∴OT 为AB 的中垂线，同理，OC=OD，TC=TD，∴OT 为CD 的中垂线，∴AB∥CD．【点评】本题考查了切线的判定，考查四点共圆，考查学生分析解决问题的能力．解答此题时，充分利用了等腰三角形“三合一”的性质．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy 中，曲线C1 的参数方程为（t 为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．（I）说明C1 是哪种曲线，并将C1 的方程化为极坐标方程；（II）直线C3 的极坐标方程为θ=α0，其中α0 满足tanα0=2，若曲线C1 与C2 的公共点都在C3 上，求a．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QE：参数方程的概念．【专题】11：计算题；35：转化思想；4A：数学模型法；5S：坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）把曲线C1 的参数方程变形，然后两边平方作和即可得到普通方程，可知曲线C1 是圆，化为一般式，结合x2+y2=ρ2，y=ρsinθ 化为极坐标方程；（Ⅱ）化曲线C2、C3 的极坐标方程为直角坐标方程，由条件可知y=x 为圆C1 与C2 的公共弦所在直线方程，把C1 与C2 的方程作差，结合公共弦所在直线方程为y=2x 可得1﹣a2=0，则a 值可求．【解答】解：（Ⅰ）由，得，两式平方相加得，x2+（y﹣1）2=a2．∴C1 为以（0，1）为圆心，以a 为半径的圆．化为一般式：x2+y2﹣2y+1﹣a2=0．①由x2+y2=ρ2，y=ρsinθ，得ρ2﹣2ρsinθ+1﹣a2=0；（Ⅱ）C2：ρ=4cosθ，两边同时乘ρ得ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，②即（x﹣2）2+y2=4．由C3：θ=α0，其中α0 满足tanα0=2，得y=2x，∵曲线C1 与C2 的公共点都在C3 上，∴y=2x 为圆C1 与C2 的公共弦所在直线方程，①﹣②得：4x﹣2y+1﹣a2=0，即为C3 ，∴1﹣a2=0，∴a=1（a＞0）．【点评】本题考查参数方程即简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，训练了两圆公共弦所在直线方程的求法，是基础题．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．（I）在图中画出y=f（x）的图象；（II）求不等式|f（x）|＞1 的解集．【考点】&2：带绝对值的函数；3A：函数的图象与图象的变换．【专题】35：转化思想；48：分析法；59：不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）运用分段函数的形式写出f（x）的解析式，由分段函数的画法，即可得到所求图象；（Ⅱ）分别讨论当x≤﹣1 时，当﹣1＜x＜时，当x≥时，解绝对值不等式，取交集，最后求并集即可得到所求解集．【解答】解：（Ⅰ）f（x）= ，由分段函数的图象画法，可得f（x）的图象，如右：（Ⅱ）由|f（x）|＞1，可得当x≤﹣1 时，|x﹣4|＞1，解得x＞5 或x＜3，即有x≤﹣1；当﹣1＜x＜时，|3x﹣2|＞1，解得x＞1 或x＜，即有﹣1＜x＜或1＜x＜；当x≥时，|4﹣x|＞1，解得x＞5 或x＜3，即有x＞5 或≤x＜3．综上可得，x＜或1＜x＜3 或x＞5．则|f（x）|＞1 的解集为（﹣∞，）∪（1，3）∪（5，+∞）．【点评】本题考查绝对值函数的图象和不等式的解法，注意运用分段函数的图象的画法和分类讨论思想方法，考查运算能力，属于基础题．。

人教版【三年高考】(2016-2018)数学(理科)真题分类解析：专题14-与数列相关的综合问题(含答案)

专题14 与数列相关的综合问题考纲解读明方向分析解读 1.会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和.2.能综合利用等差、等比数列的基本知识解决相关综合问题.3.数列递推关系、非等差、等比数列的求和是高考热点,特别是错位相减法和裂项相消法求和.分值约为12分,难度中等.2018年高考全景展示1．【2018年浙江卷】已知成等比数列，且．若，则 A. B.C.D.【答案】B【解析】分析:先证不等式，再确定公比的取值范围，进而作出判断. 详解：令则，令得，所以当时，，当时，，因此，若公比，则，不合题意；若公比，则但，即，不合题意；因此，，选B.点睛：构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如2．【2018年浙江卷】已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________．【答案】27【解析】分析：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值.点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如），符号型（如），周期型（如）. 3．【2018年理数天津卷】设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列.已知，，，.（I）求和的通项公式；（II）设数列的前n项和为，（i）求；（ii）证明.【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)（i）.（ii）证明见解析.【解析】分析：（I）由题意得到关于q的方程，解方程可得，则.结合等差数列通项公式可得（II）（i）由（I），有，则.（ii）因为，裂项求和可得.详解：（I）设等比数列的公比为q.由可得.因为，可得，故.设等差数列的公差为d，由，可得由，可得从而故所以数列的通项公式为，数列的通项公式为（II）（i）由（I），有，故.（ii）因为，所以.点睛：本题主要考查数列通项公式的求解，数列求和的方法，数列中的指数裂项方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．【2018年江苏卷】设，对1，2，···，n的一个排列，如果当s<t时，有，则称是排列的一个逆序，排列的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231的逆序数为2．记为1，2，···，n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数．（1）求的值；（2）求的表达式(用n表示)．【答案】（1）2 5 2）n≥5时，【解析】分析：（1）先根据定义利用枚举法确定含三个元素的集合中逆序数为2的个数，再利用枚举法确定含四个元素的集合中逆序数为2的个数；（2）先寻求含n个元素的集合中逆序数为2与含n+1个元素的集合中逆序数为2的个数之间的关系，再根据叠加法求得结果.详解：解：（1）记为排列abc的逆序数，对1，2，3的所有排列，有，所以．对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，．点睛：探求数列通项公式的方法有观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.寻求相邻项之间的递推关系，是求数列通项公式的一个有效的方法.5．【2018年江苏卷】设是首项为，公差为d的等差数列，是首项为，公比为q的等比数列．（1）设，若对均成立，求d的取值范围；（2）若，证明：存在，使得对均成立，并求的取值范围（用表示）．【答案】（1）d的取值范围为．（2）d的取值范围为，证明见解析。

2018-2016数列高考题

2018-2016高考题a n1.已知数列｛a n｝满足a i=1 , na n+i=2（n+1）a n,设b n= - •n⑴求b i, b2, b3；⑵判断数列｛b n｝是否为等比数列，并说明理由；⑶求｛a n｝的通项公式.2.已知｛a n｝为等差数列，前n项和为S n（n N ），｛b n｝是首项为2的等比数列，且公比大于0, b> b312,鸟a4 2a1, S）111b4.（I）求｛a n｝和｛b n｝的通项公式；（n）求数列｛a2n b n｝的前n项和（n N*）.3. 已知等差数列｛a n｝的前n项和为3，等比数列｛b n｝的前n项和为T n, a1= -1 , b1=1 , a2 d 2. （1）若a3b35，求｛b n｝的通项公式；（2）若T3=21，求S3.4. 已知等差数列可和等比数列bn满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5.（【）求a n的通项公式；（n）求和：b1 b3 b5 K b2n 1 .5. 设数列｛a n ｝满足 a i +3a 2+…+(2n — 1)a n =2n.1 b l = 1, b 2=, a n b n+1 + b n+1 = nb n .3(I) 求｛a n ｝的通项公式；(n)求｛b n ｝的前n 项和.1 12 c “7.已知a n 是等比数列，前n 项和为S n nN ，且一,S 6 63.a 1 a 2 a 3(I )求a n 的通项公式；(n )若对任意 n N ,b n 是 log 2 a n 和 log 2 a n1的等差中项，求数列n 21 b n 的前2n 项和8.等差数列｛a n ｝中，a 3+ a 4=4, a 5+ a 7=6. (I )求｛a n ｝的通项公式；(n )设b n =［a n ］，求数列｛b n ｝的前10项和，其中［x ］表示不超过 X 的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2.(1 )求｛a n ｝的通项公式；(2)求数列a n 2n 1的前n 项和.6.已知｛a n ｝是公差为3的等差数列，数列｛b n ｝满足3.1.解：(1)由条件可得a n+i =2(n "a n .n将 n=1 代入得，a 2=4a i ，而 a i =1,所以，a 2=4. 将n=2代入得，a 3=3a 2，所以，a 3=12 . 从而 b 1=1, b 2=2, b 3=4 .(2) ｛b n ｝是首项为1，公比为2的等比数列.由条件可得电！经，即b n+1=2b n ，又b 1 = 1，所以｛b n ｝是首项为1，公比为2的等比数 n 1 n 列.(3) 由(2)可得空 2n 1，所以 a n =n 2n-1.n2.(I)解：设等差数列｛a n ｝的公差为d ，等比数列｛b n ｝的公比为•由已知b 2 b 3 12，得 b 1(q q 2)12，而 b, 2，所以 q 2 q 6 0.又因为 q 0,解得 q 2•所以，b n 2n . 由b 3 a 4 2a 1，可得3d a 8①.由S 11血，可得6 5d 16②，联立①②，解得a 1 1,d 3，由此可得a n 3n 2.所以，｛a n ｝的通项公式为a n 3n 2 , ｛b n ｝的通项公式为b n 2n .(n)解：设数列｛a 2n b n ｝的前项和为T n ，由a 2n 6n 2，有T n 4 2 1 0 221 623 L (6n 2) 2n ,2342T n 4 2210 2316 24L23上述两式相减，得T n 4 2 6 2 6 2 L得T n(3n 4)2n 2 16.所以，数列｛ a 2n b n ｝的前项和为(3n 4)2n 2 16 .(1)设险矣的公差为d ，阳;的公比为q ，则一一：一，］. —厂-：.由试卷答案(6n 8) 2n (6n 2) 2n 1nn 16 2 (6n 2) 212 (1 2n ) 1 24 (6n 2) 2n 1(3n 4)2n 216.一- _ ■得d+q=3.①(1)由-一--得＞：-1…今-橙②因此｛I 謀［的通项公式 -戸心 (2)由-I . /：-；.得—一—… .解得C --'.当2 - 一丄时，由①得:•二：,则举：卑当巾一总时，由①得--，^叮L X .4.(I )设公差为 d ， 1 d 1 3d 10,所以 d 2，所以 a . a i (n 1)d 2n 1 . (U)设 b h 的公比为 q , b 2 . b 4 = a 5qq 3 9，所以 q 2 3所以b 2n-1是以bi 1为首项,q 1 q 2 3为公比的等比数列,5.解：(1) T 绚十3曲十一十(2弄一1)4二加， ①.1用±2曰寸』巾+2田 ----- (加—3上斗］=2(用一1)②2①一②得* (2«一 1)口” =2j 角三 ---2«-|又用=1时》现=2适台上式. 2…厲= --------- ■2n-lv y v a K2 1 1 (2)由｛1) ---------- = ------------------- -- ----------------- )亦十 1 (2/1—1)(如 + 1) 2«-1 2« + 1 :、g = —-F —+ -(1 --) + (i-i) + --+(——-^―) = J -^― 3 52科+ 1 3 3 5 2«-1 2« + 12« + 1所以 bi + b 3+ b 5+ + b 2n-11 (1 3h ) 1 33h 1 2『(］=3 联立①和②解得［；=彳(舍去)， 4 = 1^2n2n+l6.1(I )由已知，a i b 2+b 2=b i ,b i =1,b 2= -，得a i =2，所以数列｛a n ｝是首项为2,公差为3的等差数3列，通项公式为a n =3n-1.bi(II )由(I )和a n b n+i + b n+i = nb n ，得b n+i = n，因此｛ b n ｝是首项为i ，公比为-的等比数列3 3记｛ b n ｝的前n 项和为S n ，则7.(I) a n 2n i (n) 2n 2【解析】1 1 2试腿分析；(I )求等比数列通阪一般利用待定系数法；先由丄- —=^4解得§ = 2电二井别 q 硼口凶代入孔二一 =63得= 1〔［【)先根据等差中项得1 —爭氏=£盹 "+ 1&U12£他呂工计+los算-,再利用分组求和;去抽口：jiLr抵=(£ +动+ (-3孑+话)+ -+(^_14址)=妇+毎+ +瓦J 叱;瓦)“J1 1 7试题解析：门)解：设数列3」的公IWM J 由已知育一—一=—；解之可得§二2应=—1」又由比=^10_^_) =63知q 工一1』所以碣""’ =63 ,解之得御=1 7所以呵=旷、1—q1-2iii(n)解：由题意得b n (log 2a n log 2a ni )(log 22ni log 22n ) n ，即1 数列｛b n ｝是首项为一，公差为1的等差数列. 2设数列｛( 1)n bn ｝的前n 项和为T n ，则S n3 i2 2 3n ii i8.2d ,由题意有 2a 1+5d=4, a 1+5d=3，解得 a 1,d5所以｛a n ｝的通项公式为a n所以数列｛b n ｝的前10项和为1 >3+2 X2+3 >3+4 >2=24.T 2n (『bf)( b 3 b i )(b ；nib fn ) b \ b fb 2n 卷(n)由(I)知 b n2n 3当 n=1,2,3 时，1 2n 3 5 2,b n1；当 n=4,5 时，2 2n 3 5 3,b n 当 n=6,7,8 时，3 2n 3 5 4,b n 当 n=9,10 时，42n 3 55,b n(I )设数列｛a n ｝的公差为。

2016届高考数学经典例题集锦：数列(含答案)

数列题目精选精编【典型例题】（一）研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质例题1. 已知数列}{n a 满足1111,3(2)n n n a a a n --==+≥.（1）求32,a a ；（2）证明：312n n a -=. 解：（1）21231,314,3413a a a =∴=+==+=Q . （2）证明：由已知113--=-n n n a a ，故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=---Λ1213133312n n n a ---+=++++=L ，所以证得312n n a -=.例题2. 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T .解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥，两式相减得：112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥，又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列∴13n n a -=（Ⅱ）设{}n b 的公差为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+，又1231,3,9a a a ===，由题意可得2(51)(59)(53)d d -+++=+，解得122,10d d ==∵等差数列{}n b 的各项为正，∴0d > ∴2d =∴2(1)3222n n n T n n n -=+⨯=+例题3. 已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且212322...aa a +++128n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立，数列{}n n b b -+1是等差数列.⑴求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；⑵是否存在N k *∈，使得(0,1)k k b a -∈，请说明理由.点拨：（1）2112322...28n n a a a a n -++++=左边相当于是数列{}12n n a -前n 项和的形式，可以联想到已知n S 求na 的方法，当2n ≥时，1n n n S S a --=.（2）把k k a b -看作一个函数，利用函数的思想方法来研究k k a b -的取值情况.解：（1）已知212322a a a +++ (1)2n n a -+8n =(n ∈*N ）① 2n ≥时，212322a a a +++ (2)128(1)n n a n --+=-(n ∈*N ）②①－②得，128n n a -=，求得42n n a -=，在①中令1n =，可得得41182a -==，所以42nn a -=(n ∈N*）. 由题意18b =，24b =，32b =，所以214b b -=-，322b b -=-， ∴数列}{1n n b b -+的公差为2)4(2=---， ∴1n nb b +-=2)1(4⨯-+-n 26n =-，121321()()()n n n b b b b b b b b -=+-+-++-L(4)(2)(28)n =-+-++-L 2714n n =-+(n ∈*N ）.（2）k k b a -=2714k k -+-42k-，当4k ≥时，277()()24f k k =-+-42k-单调递增，且(4)1f =，所以4k ≥时，2()714f k k k =-+-421k -≥，又(1)(2)(3)0f f f ===，所以，不存在k ∈*N ，使得(0,1)k k b a -∈.例题4. 设各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足：a n 、b n 、a n+1成等差数列，b n 、a n+1、b n+1成等比数列，且a 1 = 1， b 1 = 2 ， a 2 = 3 ，求通项a n ，b n 解：依题意得：2b n+1 = a n+1 + a n+2 ① a 2n+1 = b n b n+1 ②∵ a n 、b n 为正数，由②得21211,+++++==n n n n n n b b a b b a ，代入①并同除以1+n b 得：212+++=n n n b b b ， ∴}{n b 为等差数列∵ b 1 = 2 ， a 2 = 3 ，29,22122==b b b a 则，∴ 2)1(),1(22)229)(1(22+=∴+=--+=n b n n b n n ，∴当n ≥2时，2)1(1+==-n n b b a n n n ，又a 1 = 1，当n = 1时成立， ∴2)1(+=n n a n2. 研究前n 项和的性质例题5. 已知等比数列}{n a 的前n 项和为2nn S a b =⋅+，且13a =. （1）求a 、b 的值及数列}{n a 的通项公式；（2）设n n nb a =，求数列}{n b 的前n 项和n T .解：（1）2≥n 时，a S S a n n n n ⋅=-=--112.而}{n a 为等比数列，得a a a =⋅=-1112，又31=a ，得3=a ，从而123-⋅=n n a .又123,3a a b b =+=∴=-Q .（2）132n n n n n b a -==⋅， 21123(1)3222n n n T -=++++L231111231(2322222n n n n n T --=+++++L ），得2111111(1)232222n n n n T -=++++-L ， 111(1)2412[](1)13232212n n n n n n n T +⋅-=-=---.例题6. 数列{}n a 是首项为1000，公比为110的等比数列，数列{b }n 满足121(lg lg lg )k k b a a a k =+++L*()N k ∈，（1）求数列{b }n 的前n 项和的最大值；（2）求数列{|b |}n 的前n 项和n S '. 解：（1）由题意：410nn a -=，∴lg 4n a n =-，∴数列{lg }n a 是首项为3，公差为1-的等差数列，∴12(1)lg lg lg 32k k k a a a k -+++=-L ，∴1(1)7[3]22n n n nb n n --=-=由100n n b b +≥⎧⎨≤⎩，得67n ≤≤，∴数列{b }n 的前n 项和的最大值为67212S S ==.（2）由（1）当7n ≤时，0n b ≥，当7n >时，0n b <，∴当7n ≤时，212731132()244n n n S b b b n n n -+'=+++==-+L当7n >时，12789n n S b b b b b b '=+++----L L 27121132()2144n S b b b n n =-+++=-+L∴22113(7)4411321(7)44n n n n S n n n ⎧-+≤⎪⎪'=⎨⎪-+>⎪⎩.例题7. 已知递增的等比数列{n a }满足23428a a a ++=，且32a +是2a ，4a 的等差中项. （1）求{n a }的通项公式n a ；（2）若12log n n nb a a =，12n n S b b b =+++L 求使1230n n S n ++⋅>成立的n 的最小值.解：（1）设等比数列的公比为q （q ＞1），由a 1q +a 1q 2+a 1q 3=28，a 1q +a 1q 3=2（a 1q 2+2），得：a 1=2，q =2或a 1=32，q =12（舍）∴a n =2·2（n －1）=2n（2） ∵12log 2nn n n b a a n ==-⋅，∴S n =－（1·2+2·22+3·23+…+n ·2n ） ∴2S n =－（1·22+2·23+…+n ·2n +1），∴S n =2+22+23+…+2n －n ·2n +1=－（n －1）·2n +1－2，若S n +n ·2n +1＞30成立，则2n +1＞32，故n ＞4，∴n 的最小值为5.例题8. 已知数列}{n a 的前n 项和为S n ，且11,,n n S a +-成等差数列，*1,1N n a ∈=. 函数3()log f x x =.（I ）求数列}{n a 的通项公式；（II ）设数列{}n b 满足1(3)[()2]n n b n f a =++，记数列{}n b 的前n 项和为T n ，试比较52512312n n T +-与的大小. 解：（I ）11,,n n S a +-Q 成等差数列，121n n S a +∴=-① 当2n ≥时，121n n S a -=-②. ①－②得：112()n n n n S S a a -+-=-，13+=∴n n a a ，13.n na a +∴=当n =1时，由①得112221S a a ∴==-，又11,a =2213,3,a a a ∴=∴={}n a ∴是以1为首项3为公比的等比数列，13.n n a -∴=（II ）∵()x log x f 3=，133()log log 31n n n f a a n -∴===-， 11111()(3)[()2](1)(3)213n n b n f a n n n n ===-++++++，1111111111111()224354657213n T n n n n ∴=-+-+-+-++-+-+++L11111()22323n n =+--++525,122(2)(3)n n n +=-++比较52512312n n T +-与的大小，只需比较2(2)(3)n n ++与312 的大小即可. 222(2)(3)3122(56156)2(5150)n n n n n n ++-=++-=+-又2(15)(10)n n =+-∵*,N n ∈∴当*19N n n ≤≤∈且时，5252(2)(3)312,;12312nn n n T +++<<-即当10n =时，5252(2)(3)312,;12312n n n n T +++==-即当*10N n n >∈且时，5252(2)(3)312,12312nn n n T +++>>-即.3. 研究生成数列的性质例题9. （I ）已知数列{}n c ，其中nn n c 32+=，且数列{}n n pc c -+1为等比数列，求常数p ；（II ）设{}n a 、{}n b 是公比不相等的两个等比数列，n n n b a c +=，证明数列{}n c 不是等比数列.解：（Ⅰ）因为{c n +1－pc n }是等比数列，故有（c n +1－pc n ）2=（ c n +2－pc n+1）（c n －pc n －1），将c n =2n ＋3n 代入上式，得 [2n ＋1+3n ＋1－p （2n ＋3n ）]2=[2n ＋2+3n ＋2－p （2n +1＋3n +1）]·[2n +3n －p （2n －1＋3n －1）]，即[（2－p ）2n +（3－p ）3n ]2=[（2－p ）2n+1+（3－p ）3n+1][ （2－p ）2n －1+（3－p ）3n －1]，整理得61（2－p ）（3－p ）·2n ·3n =0，解得p =2或p =3. （Ⅱ）设{a n }、{b n }的公比分别为p 、q ，p ≠q ，c n =a n +b n .为证{c n }不是等比数列只需证22c ≠c 1·c 3.事实上，22c =（a 1p ＋b 1q ）2=21a p 2＋21b q 2＋2a 1b 1pq ，c 1·c 3=（a 1＋b 1）（a 1p 2＋b 1q 2）=21a p 2＋21b q 2＋a 1b 1（p 2＋q 2）.由于p ≠q ，p 2＋q 2>2pq ，又a 1、b 1不为零，因此≠22c c 1·c 3，故{c n }不是等比数列.例题10. n 2（ n ≥4）个正数排成n 行n 列：其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等已知a 24=1，163,814342==a a 求S=a 11 + a 22 + a 33 + … + a nn解：设数列{1k a }的公差为d ，数列{ik a }（i=1，2，3，…，n ）的公比为q则1k a = a 11 + （k －1）d ， a kk = [a 11 + （k －1）d]q k －1依题意得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+==+==+=163)2(81)(1)3(31143311421124q d a a q d a a q d a a ，解得：a 11 = d = q = ±21 又n 2个数都是正数，∴a 11 = d = q = 21 ， ∴a kk = kk2n n S 212132122132⨯++⨯+⨯+=Λ，1432212132122121+⨯++⨯+⨯+=n n S Λ，两式相减得：n n nS 22121--=-例题11. 已知函数3()log ()f x ax b =+的图象经过点)1,2(A 和)2,5(B ，记()*3,.f n n a n N =∈（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设n n n nn b b b T a b +++==Λ21,2，若)(Z m m T n ∈<，求m 的最小值；（3）求使不等式12)11()11)(11(21+≥+++n p a a a nΛ对一切*N n ∈均成立的最大实数p .解：（1）由题意得⎩⎨⎧=+=+2)5(log 1)2(log 33b a b a ，解得⎩⎨⎧-==12b a ，)12(log )(3-=∴x x f *)12(log ,1233N n n a n n ∈-==- （2）由（1）得n n n b 212-=， nn n n n T 2122322523211321-+-++++=∴-Λ ① 1132212232252232121+--+-+-+++=n n n n n n n T Λ ② ①－②得)21212121(2121n 22222222221T 211n 2n 2111n n 1n 321n --+-+++++=--+++++=ΛΛ1n 1n 1n 21n 2212321n 2+-+---=--.n n 2n n 23n 2321n 2213T +-=---=∴-，设*,232)(N n n n f n ∈+=，则由1512132121)32(252232252)()1(1<+≤++=++=++=++n n n n n n f n f n n 得*,232)(Nn n n f n ∈+=随n 的增大而减小+∞→∴n 当时，3→n T 又)(Z m m T n ∈<恒成立，3min =∴m（3）由题意得*21)11()11)(11(121N n a a a n p n ∈++++≤对Λ恒成立记)11()11)(11(121)(21n a a a n n F ++++=Λ，则 ()()11n 21n 2)1n ()1n (4)1n (2)3n 2)(1n 2(2n 2)a 11()a 11)(a 11(1n 21)a 11)(a 11()a 11)(a 11(3n 21)n (F )1n (F 2n 211n n 21=++>+-++=+++=+++++++++=++ΛΛ)(),()1(,0)(n F n F n F n F 即>+∴>Θ是随n 的增大而增大)(n F 的最小值为332)1(=F ，332≤∴p ，即332max =p .（二）证明等差与等比数列 1. 转化为等差等比数列.例题12. 数列{}n a 中，2,841==a a 且满足n n n a a a -=++122，*N n ∈. ⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵设||||||21n n a a a S +++=Λ，求n S ；⑶设n b =1(12)n n a -**12(),()N N n n n T b b b n ∈=+++∈L ，是否存在最大的整数m ，使得对任意*N n ∈，均有>n T 32m成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.解：（1）由题意，n n n n a a a a -=-+++112，}{n a ∴为等差数列，设公差为d ，由题意得2832d d =+⇒=-，82(1)102n a n n ∴=--=-. （2）若50210≤≥-n n 则，||||||,521n n a a a S n +++=≤Λ时21281029,2n na a a n n n +-=+++=⨯=-L6n ≥时，n n a a a a a a S ---+++=ΛΛ765212555()2940n n S S S S S n n =--=-=-+故⎪⎩⎪⎨⎧+--=40n 9n n n 9S 22n 56n n ≤≥ （3）11111()(12)2(1)21n n b n a n n n n ===--++Q ，∴n T 1111111111[(1)()()()()]22233411n n n n =-+-+-++-+--+L .2(1)n n =+若32n m T >对任意*N n ∈成立，即116n mn >+对任意*N n ∈成立，*()1N n n n ∈+Q的最小值是21，1,162m ∴<m ∴的最大整数值是7.即存在最大整数,7=m 使对任意*N n ∈，均有.32n m T >例题13. 已知等比数列{}n b 与数列{}n a 满足3,n an b n =∈N *. （1）判断{}n a 是何种数列，并给出证明；（2）若8131220,a a m b b b +=L 求.解：（1）设{}n b 的公比为q ，∵3n an b =，∴()q log 1n a a 3q 331n a 1n a n 1-+=⇒=⋅-。

2016年高考数学四川省(理科)试题及答案【解析版】

2016年四川省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．【2016四川（理）】设集合A={x|﹣2≤x≤2}，Z为整数集，则A∩Z中元素的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】解：∵A={x|﹣2≤x≤2}，Z为整数集，∴A∩Z={﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩Z中元素的个数是5，【2016四川（理）】设i为虚数单位，则（x+i）6的展开式中含x4的项为（）A．﹣15x4B．15x4C．﹣20ix4D．20ix4【答案】A【解析】解：（x+i）6的展开式中含x4的项为x4•i2=﹣15x4，【2016四川（理）】（2016•自贡校级模拟）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度【答案】D【解析】解：把函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度，可得函数y=sin2（x﹣）=sin （2x﹣）的图象，【2016四川（理）】用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（）A．24 B．48 C．60 D．72【答案】D【解析】解：要组成无重复数字的五位奇数，则个位只能排1，3，5中的一个数，共有3种排法，然后还剩4个数，剩余的4个数可以在十位到万位4个位置上全排列，共有=24种排法．由分步乘法计数原理得，由1、2、3、4、5组成的无重复数字的五位数中奇数有3×24=72个．【2016四川（理）】某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（）（参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30）A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年【答案】B【解析】解：设第n年开始超过200万元，则130×（1+12%）n﹣2015＞200，化为：（n﹣2015）lg1.12＞lg2﹣lg1.3，n﹣2015＞=3.8．取n=2019．因此开始超过200万元的年份是2019年．【2016四川（理）】秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（）A．9 B．18 C．20 D．35【答案】B【解析】解：初始值n=3，x=2，程序运行过程如下表所示：v=1i=2 v=1×2+2=4i=1 v=4×2+1=9i=0 v=9×2+0=18i=﹣1 跳出循环，输出v的值为18．【2016四川（理）】设p：实数x，y满足（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2，q：实数x，y满足，则p是q的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2表示以（1，1）为圆心，以为半径的圆内区域（包括边界）；满足的可行域如图有阴影部分所示，故p是q的必要不充分条件，【2016四川（理）】设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px（p＞0）上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|=2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为（）A．B．C．D．1【答案】C【解析】解：由题意可得F（，0），设P（，y0），显然当y0＜0，k OM＜0；当y0＞0，k OM＞0．要求k OM的最大值，设y0＞0，则=+=+=+（﹣）=+=（+，），可得k OM==≤=，当且仅当y02=2p2，取得等号．【2016四川（理）】（2016•四川）设直线l1，l2分别是函数f（x）=图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，2）C．（0，+∞）D．（1，+∞）【答案】A【解析】解：设P1（x1，y1），P2（x2，y2）（0＜x1＜1＜x2），当0＜x＜1时，f′（x）=，当x＞1时，f′（x）=，∴l1的斜率，l2的斜率，∵l1与l2垂直，且x2＞x1＞0，∴，即x1x2=1．直线l1：，l2：．取x=0分别得到A（0，1﹣lnx1），B（0，﹣1+lnx2），|AB|=|1﹣lnx1﹣（﹣1+lnx2）|=|2﹣（lnx1+lnx2）|=|2﹣lnx1x2|=2．联立两直线方程可得交点P的横坐标为x=，∴|AB|•|x P|==．∵函数y=x+在（0，1）上为减函数，且0＜x1＜1，∴，则，∴．∴△PAB的面积的取值范围是（0，1）．【2016四川（理）】在平面内，定点A，B，C，D满足==，•=•=•=﹣2，动点P，M满足=1，=，则||2的最大值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】解：由==，可得D为△ABC的外心，又•=•=•，可得•（﹣）=0，•（﹣）=0，即•=•=0，即有⊥，⊥，可得D为△ABC的垂心，则D为△ABC的中心，即△ABC为正三角形．由•=﹣2，即有||•||cos120°=﹣2，解得||=2，△ABC的边长为4cos30°=2，以A为坐标原点，AD所在直线为x轴建立直角坐标系xOy，可得B（3，﹣），C（3，），D（2，0），由=1，可设P（cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），由=，可得M为PC的中点，即有M（，），则||2=（3﹣）2+（+）2=+==，当sin（θ﹣）=1，即θ=时，取得最大值，且为．故选：B．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．【2016四川（理）】（2013秋•南开区期末）﹣=．【答案】【解析】解：cos2﹣sin2=cos（2×）=cos=．故答案为：【2016四川（理）】同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是．【答案】【解析】解：∵同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，∴这次试验成功的概率p=1﹣（）2=，∴在2次试验中成功次数X～B（2，），∴在2次试验中成功次数X的均值E（X）==．故答案为：．【2016四川（理）】已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是．【答案】【解析】解：∵三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，结合给定的三棱锥的正视图，可得：三棱锥的底面是底为2，高为1，棱锥的高为1，故棱锥的体积V=×（×2×1）×1=，【2016四川（理）】已知函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f （x）=4x，则f（﹣）+f（1）=．【答案】﹣2【解析】解：∵f（x）是定义在R上周期为2的奇函数，∴f（﹣）=f（﹣2﹣）=f（﹣）=﹣f（）∵x∈（0，1）时，f（x）=4x，∴f（﹣）=﹣2，∵f（x）是定义在R上周期为2的奇函数，∴f（﹣1）=f（1），f（﹣1）=﹣f（1），∴f（1）=0，∴f（﹣）+f（1）=﹣2．【2016四川（理）】在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为P′（，）；当P是原点时，定义P的“伴随点“为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线C′定义为曲线C的“伴随曲线”．现有下列命题：①若点A的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A；②单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”C′关于y轴对称；④一条直线的“伴随曲线”是一条直线．其中的真命题是（写出所有真命题的序列）．【答案】②③【解析】解：①若点A（x，y）的“伴随点”是点A′（，），则点A′（，）的“伴随点”是点（﹣x，﹣y），故不正确；②由①可知，单位圆的“伴随曲线”是它自身，故正确；③若曲线C关于x轴对称，点A（x，y）关于x轴的对称点为（x，﹣y），“伴随点”是点A′（﹣，），则其“伴随曲线”C′关于y轴对称，故正确；④设直线方程为y=kx+b（b≠0），点A（x，y）的“伴随点”是点A′（m，n），则∵点A（x，y）的“伴随点”是点A′（，），∴，∴x=﹣，y=∵m=，∴代入整理可得n﹣1=0表示圆，故不正确．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【2016四川（理）】我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中a的值；（Ⅱ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（Ⅲ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由．【解析】解：（Ⅰ）∵0.5×（0.08+0.16+0.4+0.52+0.12+0.08+0.04+2a）=1，∴a=0.3；（Ⅱ）由图可得月均用水量不低于3吨的频率为：0.5×（0.12+0.08+0.04）=0.12，由30×0.12=3.6得：全市居民中月均用水量不低于3吨的人数约为3.6万；（Ⅱ）由图可得月均用水量低于2.5吨的频率为：0.5×（0.08+0.16+0.3+0.4+0.52）=0.73＜85%；月均用水量低于3吨的频率为：0.5×（0.08+0.16+0.3+0.4+0.52+0.3）=0.88＞85%；则x=2.5+0.5×=2.9吨【2016四川（理）】（2016•四川）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC；（Ⅱ）若b2+c2﹣a2=bc，求tanB．【解析】（Ⅰ）证明：在△ABC中，∵+=，∴由正弦定理得：，∴=，∵sin（A+B）=sinC．∴整理可得：sinAsinB=sinC，（Ⅱ）解：b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理可得cosA=．sinA=，=+==1，=，tanB=4．【2016四川（理）】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°．（Ⅰ）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；（Ⅱ）若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．【解析】解：（I）延长AB交直线CD于点M，∵点E为AD的中点，∴AE=ED=AD，∵BC=CD=AD，∴ED=BC，∵AD∥BC，即ED∥BC．∴四边形BCDE为平行四边形，即EB∥CD．∵AB∩CD=M，∴M∈CD，∴CM∥BE，∵BE⊂平面PBE，∴CM∥平面PBE，∵M∈AB，AB⊂平面PAB，∴M∈平面PAB，故在平面PAB内可以找到一点M（M=AB∩CD），使得直线CM∥平面PBE．（II）如图所示，∵∠ADC=∠PAB=90°，异面直线PA与CD所成的角为90°，AB∩CD=M，∴AP⊥平面ABCD．∴CD⊥PD，PA⊥AD．因此∠PDA是二面角P﹣CD﹣A的平面角，大小为45°．∴PA=AD．不妨设AD=2，则BC=CD=AD=1．∴P（0，0，2），E（0，1，0），C（﹣1，2，0），∴=（﹣1，1，0），=（0，1，﹣2），=（0，0，2），设平面PCE的法向量为=（x，y，z），则，可得：．令y=2，则x=2，z=1，∴=（2，2，1）．设直线PA与平面PCE所成角为θ，则sinθ====．【2016四川（理）】已知数列{a n}的首项为1，S n为数列{a n}的前n项和，S n+1=qS n+1，其中q＞0，n∈N*．（Ⅰ）若2a2，a3，a2+2成等差数列，求a n的通项公式；（Ⅱ）设双曲线x2﹣=1的离心率为e n，且e2=，证明：e1+e2+⋅⋅⋅+e n＞．【解析】解：（Ⅰ）∵S n+1=qS n+1 ①，∴当n≥2时，S n=qS n﹣1+1 ②，两式相加你可得a n+1=q•a n，即从第二项开始，数列{a n}为等比数列，公比为q．当n=1时，∵数列{a n}的首项为1，∴a1+a2=S2=q•a1+1，∴a2=q=a1•q，∴数列{a n}为等比数列，公比为q．∵2a2，a3，a2+2成等差数列，∴2q+q+2=2q2，求得q=2，或q=﹣．根据q＞0，故取q=2，∴a n=2n﹣1，n∈N*．（Ⅱ）证明：设双曲线x2﹣=1的离心率为e n，∴e n==．由于数列{a n}为首项等于1、公比为q的等比数列，∴e2===，q=，∴a n=，∴e n==＞=．∴e1+e2+⋅⋅⋅+e n＞1+++…+==，原不等式得证．【2016四川（理）】已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线l：y=﹣x+3与椭圆E有且只有一个公共点T．（Ⅰ）求椭圆E的方程及点T的坐标；（Ⅱ）设O是坐标原点，直线l′平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P．证明：存在常数λ，使得|PT|2=λ|PA|•|PB|，并求λ的值．【解析】解：（Ⅰ）设短轴一端点为C（0，b），左右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），其中c＞0，则c2+b2=a2；由题意，△F1F2C为直角三角形，∴=+，解得b=c=a，∴椭圆E的方程为+=1；代人直线l：y=﹣x+3，可得3x2﹣12x+18﹣2b2=0，又直线l与椭圆E只有一个交点，则△=122﹣4×3（18﹣2b2）=0，解得b2=3，∴椭圆E的方程为+=1；由b2=3，解得x=2，则y=﹣x+3=1，所以点T的坐标为（2，1）；（Ⅱ）设P（x0，3﹣x0）在l上，由k OT=，l′平行OT，得l′的参数方程为，代人椭圆E中，得+2=6，整理得2t2+4t+﹣4x0+4=0；设两根为t A，t B，则有t A•t B=；而|PT|2==2，|PA|==|t A|，|PB|==|t B|，且|PT|2=λ|PA|•|PB|，∴λ===，即存在满足题意的λ值．【2016四川（理）】设函数f（x）=ax2﹣a﹣lnx，其中a∈R．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）确定a的所有可能取值，使得f（x）＞﹣e1﹣x在区间（1，+∞）内恒成立（e=2.718…为自然对数的底数）．【解析】解：（Ⅰ）由题意，f′（x）=2ax﹣=，x＞0，①当a≤0时，2ax2﹣1≤0，f′（x）≤0，f（x）在（0，+∞）上单调递减．②当a＞0时，f′（x）=，当x∈（0，）时，f′（x）＜0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．（Ⅱ）原不等式等价于f（x）﹣+e1﹣x＞0在x∈（1．+∞）上恒成立，一方面，令g（x）=f（x）﹣+e1﹣x=ax2﹣lnx﹣+e1﹣x﹣a，只需g（x）在x∈（1．+∞）上恒大于0即可，又∵g（1）=0，故g′（x）在x=1处必大于等于0．令F（x）=g′（x）=2ax﹣+﹣e1﹣x，g′（1）≥0，可得a．另一方面，当a时，F′（x）=2a+≥1+=+e1﹣x，∵x∈（1，+∞），故x3+x﹣2＞0，又e1﹣x＞0，故F′（x）在a时恒大于0．∴当a时，F（x）在x∈（1，+∞）单调递增．∴F（x）＞F（1）=2a﹣1≥0，故g（x）也在x∈（1，+∞）单调递增．∴g（x）＞g（1）=0，即g（x）在x∈（1，+∞）上恒大于0．综上，a．2016年四川省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．【2016四川（理）】设集合A={x|﹣2≤x≤2}，Z为整数集，则A∩Z中元素的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．62．【2016四川（理）】设i为虚数单位，则（x+i）6的展开式中含x4的项为（）A．﹣15x4B．15x4C．﹣20ix4D．20ix43．【2016四川（理）】为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度4．【2016四川（理）】用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（）A．24 B．48 C．60 D．725．【2016四川（理）】某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（）（参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30）A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年6．【2016四川（理）】秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（）A．9 B．18 C．20 D．357．【2016四川（理）】设p：实数x，y满足（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2，q：实数x，y满足，则p是q的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．【2016四川（理）】设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px（p＞0）上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|=2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为（）A．B．C．D．19．【2016四川（理）】设直线l1，l2分别是函数f（x）=图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，2）C．（0，+∞）D．（1，+∞）10．【2016四川（理）】在平面内，定点A，B，C，D满足==，•=•=•=﹣2，动点P，M满足=1，=，则||2的最大值是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．【2016四川（理）】﹣=．12．【2016四川（理）】同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是．13．【2016四川（理）】已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是．14．【2016四川（理）】已知函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=4x，则f（﹣）+f（1）=．15．【2016四川（理）】在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为P′（，）；当P是原点时，定义P的“伴随点“为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线C′定义为曲线C的“伴随曲线”．现有下列命题：①若点A的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A；②单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”C′关于y轴对称；④一条直线的“伴随曲线”是一条直线．其中的真命题是（写出所有真命题的序列）．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．【2016四川（理）】我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中a的值；（Ⅱ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（Ⅲ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由．17．【2016四川（理）】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC；（Ⅱ）若b2+c2﹣a2=bc，求tanB．18．【2016四川（理）】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°．（Ⅰ）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；（Ⅱ）若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．19．【2016四川（理）】已知数列{a n}的首项为1，S n为数列{a n}的前n项和，S n+1=qS n+1，其中q＞0，n∈N*．（Ⅰ）若2a2，a3，a2+2成等差数列，求a n的通项公式；（Ⅱ）设双曲线x2﹣=1的离心率为e n，且e2=，证明：e1+e2+⋅⋅⋅+e n＞．20．【2016四川（理）】已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线l：y=﹣x+3与椭圆E有且只有一个公共点T．（Ⅰ）求椭圆E的方程及点T的坐标；（Ⅱ）设O是坐标原点，直线l′平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l 交于点P．证明：存在常数λ，使得|PT|2=λ|PA|•|PB|，并求λ的值．21．【2016四川（理）】设函数f（x）=ax2﹣a﹣lnx，其中a∈R．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）确定a的所有可能取值，使得f（x）＞﹣e1﹣x在区间（1，+∞）内恒成立（e=2.718…为自然对数的底数）．。

2016年全国高考数学试题分类汇编5数列(理)

1.已知等差数列{}n a 前9项的和为27，108a =，则100a =（） A ．100 B ．99 C ．98 D ．972.公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（）（参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg2≈0.30）A ．2018年B ．2019年C ．2020年D ．2021年3.设{}n a 是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“0q <”是“对任意的正整数n ，2120n n a a -+<”的（）A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件 4.无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且lim n n S S →∞=，下列条件中，使得2n S S<（*n N ∈）恒成立的是( ) A ．10a >, 0.60.7q << B ．10a <, 0.70.6q -<<- C ．10a >，0.70.8q <<D ．10a <，0.80.7q -<<-5.“规范01数列”{}n a 如下：{}n a 共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,k a a a L 中0的个数不少于1的个数．若4m =，则不同的“规范01数列”共有（）A ．18个B ．16个C ．14个D ．12个6.点列{}n A ，{}n B 分别在某锐角的两边上，且112||||n n n n A A A A +++=，2n n A A +≠，n N *∈，112||||n n n n B B B B +++=，2n n B B +≠，n N *∈．（P Q ≠表示点P 与Q 不重合）若n n n d A B =，n S 为1n n n A B B +∆的面积，则（）A ．{}n S 是等差数列B ．{}2n S 是等差数列C ．{}n d 是等差数列D ．{}2n d 是等差数列7.已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则6=S _______.8.已知{}n a 是等差数列，{}n S 是其前n 项和，若2123a a +=-，5=10S ，则9a 的值是 . 9.数列{}n a 的前n 项和为n S ，若24S =，121n n a S +=+，n N *∈，则1a = ，5S = .10.设等比数列{}n a 满足1310a a +=，245a a +=，则12n a a a ⋅⋅⋅的最大值为 . 11.数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和，若对任意的n N *∈，{2,3}n S ∈，则k 的最大值为 .4 三、解答题：12.（2016年高考新课标Ⅱ卷）n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且1=1a ，728S =．记[]=lg n n b a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]0.9=0lg99=1，．（1）求111101b b b ，，；（2）求数列{}n b 的前1 000项和．13.（2016年高考新课标Ⅲ卷）已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a λ=+，其中0λ≠．（1）证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式；（2）若53132S = ，求λ．14.（2016年高考山东卷）已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1.n n n a b b +=+（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）令1(1)(2)n n n nn a c b ++=+，求数列{}n c 的前n 项和n T .15.（2016年高考四川理）已知数列{n a }的首项为1，n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n S qS +=+，其中0q >，*n N ∈.（1）若22a ，3a ，22a +成等差数列，求{}n a 的通项公式；（2）设双曲线2221ny x a -=的离心率为n e ，且253e =，证明：121433n n n n e e e --++⋅⋅⋅+>16.（2016年高考天津理）已知{}n a 是各项均为正数的等差数列，公差为d ，对任意的n N *∈，n b 是n a 和1n a +的等差中项.（1）设221n n n c b b +=-，*n N ∈，求证：{}n c 是等差数列；（2）设 1a d =，()2211nnn n k T b ==-∑，*n N ∈，求证：2111.2nk kT d =<∑17.（2016年高考浙江卷理）数列{}n a 满足112n n a a +-≤，*n N ∈．（1）证明：()1122n n a a -≥-，*n N ∈；（2）若32nn a ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，*n N ∈，证明：2n a ≤，*n N ∈．答案：一、选择题：C B C ；B C A二、填空题：6、20.、1与121、64、4 三、解答题：12.答：（Ⅰ）10b =，111b =， 1012b =；（Ⅱ）1893. 13.答：（Ⅰ）1)1(11---=n n a λλλ；（Ⅱ）1λ=-． 14.答：（Ⅰ）13+=n b n ；（Ⅱ）223+⋅=n n n T . 15.答：（Ⅰ）1=n n a q -；（Ⅱ）详见解析. 16.答：（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析 17.答：（I ）证明见解析；（II ）证明见解析．。

高考数学《数列》专题好题集锦(100道)含详细解答

全国各地数学模拟试卷《数列》题集锦1.已知数列｛n a ｝中，111,22n n a n a a +=-,点（）在直线y=x 上，其中n=1,2,3…. （1）令11n n n b a a ,+=--求证数列{}n b 是等比数列; （2）求数列{}的通项；n a⑶ 设分别为数列、n n T S {}、n a {}n b 的前n 项和,是否存在实数λ，使得数列n n S T n λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列？若存在，试求出λ.若不存在,则说明理由。

解：（I ）由已知得 111,2,2n n a a a n +==+2213313,11,4424a a a =--=--=- 又11,n n n b a a +=--1211,n n n b a a +++=--11112111(1)111222.1112n n n n n n n n n n n n n n a n a n a a b a a b a a a a a a +++++++++++-----∴====------ {}n b ∴是以34-为首项，以12为公比的等比数列.（II）由（I）知，13131(),4222n n n b -=-⨯=-⨯1311,22n n n a a +∴--=-⨯21311,22a a ∴--=-⨯ 322311,22a a --=-⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅11311,22n n n a a --∴--=-⨯将以上各式相加得：1213111(1)(),2222n n a a n -∴---=-++⋅⋅⋅+11111(1)31313221(1)(1) 2.12222212n n n n a a n n n ---∴=+--⨯=+---=+--32.2n n a n ∴=+-（III ）解法一：存在2λ=，使数列{}n nS T nλ+是等差数列. 12121113()(12)2222n n n S a a a n n =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+-11(1)(1)22321212n n n n -+=⨯+--2213333(1) 3.2222n n n n n n --=-+=-++ 12131(1)313342(1).1222212n n n n n T b b b +--=++⋅⋅⋅+==--=-+- 数列{}n n S T n λ+是等差数列的充要条件是,(n nS T An B A n λ+=+、B 是常数)即2,n n S T An Bn λ+=+又2133333()2222n n n n n n S T λλ+-+=-+++-+2313(1)(1)222n n n λ-=+--∴当且仅当102λ-=，即2λ=时，数列{}n nS T nλ+为等差数列. 解法二：存在2λ=，使数列{}n nS T nλ+是等差数列. 由（I ）、（II ）知，22n n a b n +=-(1)222n n n S T n +∴+=- (1)222n nn n n n n T T S T n nλλ+--++=322n n T n λ--=+ 又12131(1)313342(1)1222212n n n n n T b b b +--=++⋅⋅⋅+==--=-+- 13233()222n n n S T n n n λλ++--=+-+∴当且仅当2λ=时，数列{}nn S T n λ+是等差数列. 2.已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且公比不等于1，数列{}n b 对任意正整数n ，均有：1221223125()log ()log ()log 0n n n n n n b b a b b a b b a ++++-⋅+-+-=成立，又171,13b b ==。

2016年高考数学浙江(文科)试题及答案【解析版】

2016年浙江省高考数学试卷（文科）一．选择题（共8小题）1．【2016浙江（文）】已知全集U=｛1，2，3，4,5，6｝，集合P=｛1，3，5}，Q=｛1，2,4},则（∁U P）∪Q=（）A．{1｝ B．{3,5} C．｛1,2，4，6｝D．｛1，2，3，4，5｝【答案】C【解析】解:∁U P=｛2,4，6}，（∁U P）∪Q=｛2，4，6}∪｛1，2，4}=｛1,2，4，6}．2．【2016浙江（文）】已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m,n满足m∥α,n⊥β，则（）A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n【答案】C【解析】解:∵互相垂直的平面α，β交于直线l，直线m,n满足m∥α，∴m∥β或m⊂β或m⊥β，l⊂β,∵n⊥β，∴n⊥l．3．【2016浙江（文）】函数y=sinx2的图象是(）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：∵sin（﹣x)2=sinx2，∴函数y=sinx2是偶函数，即函数的图象关于y轴对称，排除A，C；由y=sinx2=0，则x2=kπ,k≥0，则x=±，k≥0，故函数有无穷多个零点，排除B,4．【2016浙江（文)】若平面区域，夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（）A．B．C． D．【答案】B【解析】解：作出平面区域如图所示：∴当直线y=x+b分别经过A，B时，平行线间的距离相等．联立方程组，解得A（2,1）,联立方程组，解得B（1,2）．两条平行线分别为y=x﹣1，y=x+1，即x﹣y﹣1=0,x﹣y+1=0．∴平行线间的距离为d==，5．【2016浙江（文)】已知a,b＞0且a≠1，b≠1,若log a b＞1，则（)A．（a﹣1)（b﹣1）＜0B．(a﹣1）（a﹣b）＞0 C．（b﹣1）（b﹣a）＜0 D．（b﹣1）（b﹣a）＞0【答案】D【解析】解：若a＞1，则由log a b＞1得log a b＞log a a,即b＞a＞1，此时b﹣a＞0，b＞1，即(b﹣1）（b﹣a)＞0，若0＜a＜1，则由log a b＞1得log a b＞log a a，即b＜a＜1，此时b﹣a＜0，b＜1，即(b﹣1）（b ﹣a）＞0，综上（b﹣1)（b﹣a)＞0，6．【2016浙江（文）】已知函数f(x）=x2+bx，则“b＜0”是“f(f（x)）的最小值与f（x）的最小值相等”的（)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解:f(x）的对称轴为x=﹣，f min（x)=﹣．（1）若b＜0，则﹣＞﹣，∴当f(x）=﹣时，f(f（x)）取得最小值f（﹣）=﹣,即f(f（x）)的最小值与f（x）的最小值相等．∴“b＜0”是“f（f(x））的最小值与f（x）的最小值相等"的充分条件．(2）若f（f(x））的最小值与f（x)的最小值相等,则f min（x）≤﹣,即﹣≤﹣，解得b≤0或b≥2．∴“b＜0”不是“f(f（x)）的最小值与f(x）的最小值相等”的必要条件．7．【2016浙江（文）】已知函数f（x)满足：f（x）≥｜x｜且f（x)≥2x，x∈R．（) A．若f（a）≤|b|，则a≤b B．若f(a）≤2b，则a≤bC．若f(a)≥|b｜,则a≥b D．若f（a）≥2b，则a≥b【答案】B【解析】解：A．若f（a）≤|b｜,则由条件f（x)≥|x｜得f(a）≥｜a|，即｜a｜≤|b｜，则a≤b不一定成立，故A错误,B．若f(a）≤2b，则由条件知f（x）≥2x，即f(a）≥2a，则2a≤f（a）≤2b,则a≤b，故B正确，C．若f（a）≥｜b|，则由条件f（x）≥｜x|得f(a）≥｜a｜,则|a｜≥|b｜不一定成立，故C错误，D．若f（a）≥2b，则由条件f(x）≥2x，得f(a）≥2a，则2a≥2b,不一定成立，即a≥b不一定成立，故D错误，8．【2016浙江（文）】如图,点列｛A n｝、{B n｝分别在某锐角的两边上，且|A n A n+1|=｜A n+1A n+2|，A n≠A n+1，n∈N*,|B n B n+1|=｜B n+1B n+2|,B n≠B n+1，n∈N*,(P≠Q表示点P与Q不重合)若d n=｜A nB n|，S n为△A n B n B n+1的面积,则(）A．{S n｝是等差数列B．｛S n2}是等差数列C．｛d n｝是等差数列D．｛d n2｝是等差数列【答案】A【解析】解:设锐角的顶点为O，|OA1｜=a，|OB1|=b，｜A n A n+1|=｜A n+1A n+2｜=b，|B n B n+1｜=|B n+1B n+2|=d，由于a,b不确定，则｛d n｝不一定是等差数列，{d n2}不一定是等差数列，设△A n B n B n+1的底边B n B n+1上的高为h n，由三角形的相似可得==，==,两式相加可得，==2，即有h n+h n+2=2h n+1,由S n=d•h n，可得S n+S n+2=2S n+1,即为S n+2﹣S n+1=S n+1﹣S n，则数列｛S n}为等差数列．故选:A．二．填空题（共7小题）9．【2016浙江(文）】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是cm2,体积是cm3．【答案】80;40．【解析】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是下部为长方体,其长和宽都为4,高为2，表面积为2×4×4+2×42=64cm2，体积为2×42=32cm3;上部为正方体，其棱长为2，表面积是6×22=24 cm2，体积为23=8cm3；所以几何体的表面积为64+24﹣2×22=80cm2,体积为32+8=40cm3．10．【2016浙江（文）】已知a∈R，方程a2x2+(a+2）y2+4x+8y+5a=0表示圆，则圆心坐标是，半径是．【答案】（﹣2,﹣4），5【解析】解：∵方程a2x2+（a+2）y2+4x+8y+5a=0表示圆,∴a2=a+2≠0,解得a=﹣1或a=2．当a=﹣1时，方程化为x2+y2+4x+8y﹣5=0，配方得（x+2)2+（y+4）2=25,所得圆的圆心坐标为（﹣2，﹣4），半径为5；当a=2时，方程化为，此时，方程不表示圆,11．【2016浙江（文)】已知2cos2x+sin2x=Asin（ωx+φ）+b（A＞0），则A=，b=．【答案】；1．【解析】解：∵2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=1+（cos2x+sin2x）+1=sin(2x+）+1，∴A=,b=1，12．【2016浙江（文)】设函数f（x）=x3+3x2+1,已知a≠0，且f（x）﹣f（a）=（x﹣b）（x ﹣a）2，x∈R,则实数a=，b=．【答案】﹣2；1．【解析】解：∵f（x）=x3+3x2+1,∴f(x）﹣f（a)=x3+3x2+1﹣（a3+3a2+1）=x3+3x2﹣（a3+3a2）∵（x﹣b）（x﹣a）2=（x﹣b）（x2﹣2ax+a2）=x3﹣（2a+b）x2+（a2+2ab）x﹣a2b，且f(x）﹣f（a）=(x﹣b）（x﹣a）2，∴，解得或(舍去)，13．【2016浙江（文）】设双曲线x2﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2，若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则｜PF1|+|PF2|的取值范围是．【答案】（）．【解析】解：如图,由双曲线x2﹣=1,得a2=1，b2=3，∴．不妨以P在双曲线右支为例,当PF2⊥x轴时，把x=2代入x2﹣=1，得y=±3，即｜PF2｜=3，此时|PF1|=|PF2｜+2=5，则｜PF1｜+｜PF2|=8；由PF1⊥PF2,得，又|PF1|﹣｜PF2|=2，①两边平方得：,∴｜PF1｜｜PF2｜=6,②联立①②解得：，此时｜PF1｜+｜PF2｜=．∴使△F1PF2为锐角三角形的｜PF1｜+｜PF2｜的取值范围是（）．14．【2016浙江（文）】如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=，∠ADC=90°，沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′，直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是．【答案】【解析】解:如图所示，取AC的中点O，∵AB=BC=3，∴BO⊥AC，在Rt△ACD′中，=．作D′E⊥AC，垂足为E，D′E==．CO=，CE===，∴EO=CO﹣CE=．过点B作BF∥BO,作FE∥BO交BF于点F，则EF⊥AC．连接D′F．∠FBD′为直线AC与BD′所成的角．则四边形BOEF为矩形,∴BF=EO=．EF=BO==．则∠FED′为二面角D′﹣CA﹣B的平面角，设为θ．则D′F2=+﹣2×cosθ=﹣5cosθ≥，cosθ=1时取等号．∴D′B的最小值==2．∴直线AC与BD′所成角的余弦的最大值===．故答案为:．15．【2016浙江（文）】已知平面向量，，｜|=1，｜|=2,=1,若为平面单位向量，则||+|｜的最大值是．【答案】【解析】解:||+｜｜=,其几何意义为在上的投影的绝对值与在上投影的绝对值的和，当与共线时，取得最大值．∴=．三．解答题（共5小题）16．【2016浙江（文）】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b,c,已知b+c=2acosB．（1）证明：A=2B；(2）若cosB=，求cosC的值．【解析】(1)证明：∵b+c=2acosB，∴sinB+sinC=2sinAcosB，∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B）,由A，B∈（0，π），∴0＜A﹣B＜π，∴B=A﹣B，或B=π﹣（A﹣B）,化为A=2B，或A=π(舍去）．∴A=2B．（II）解：cosB=，∴sinB==．cosA=cos2B=2cos2B﹣1=，sinA==．∴cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB=+×=．17．【2016浙江（文)】设数列{a n}的前n项和为S n，已知S2=4，a n+1=2S n+1，n∈N*．(Ⅰ）求通项公式a n；（Ⅱ)求数列｛｜a n﹣n﹣2|｝的前n项和．【解析】解：（Ⅰ)∵S2=4，a n+1=2S n+1，n∈N＊．∴a1+a2=4，a2=2S1+1=2a1+1，解得a1=1，a2=3，当n≥2时,a n+1=2S n+1,a n=2S n﹣1+1,两式相减得a n+1﹣a n=2（S n﹣S n﹣1)=2a n，即a n+1=3a n,当n=1时，a1=1，a2=3，满足a n+1=3a n,∴=3，则数列｛a n｝是公比q=3的等比数列，则通项公式a n=3n﹣1．（Ⅱ）a n﹣n﹣2=3n﹣1﹣n﹣2，设b n=|a n﹣n﹣2｜=|3n﹣1﹣n﹣2｜，则b1=|30﹣1﹣2|=2，b2=|3﹣2﹣2|=1，当n≥3时，3n﹣1﹣n﹣2＞0，则b n=|a n﹣n﹣2｜=3n﹣1﹣n﹣2，此时数列｛|a n﹣n﹣2｜}的前n项和T n=3+﹣=，则T n==．18．【2016浙江（文）】如图,在三棱台ABC﹣DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°,BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3．（Ⅰ）求证：BF⊥平面ACFD；（Ⅱ）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值．【解析】解：（Ⅰ）证明：延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示：∵平面BCFE⊥平面ABC，且AC⊥BC；∴AC⊥平面BCK,BF⊂平面BCK；∴BF⊥AC；又EF∥BC，BE=EF=FC=1，BC=2；∴△BCK为等边三角形，且F为CK的中点；∴BF⊥CK,且AC∩CK=C；∴BF⊥平面ACFD;(Ⅱ)∵BF⊥平面ACFD；∴∠BDF是直线BD和平面ACFD所成的角；∵F为CK中点，且DF∥AC；∴DF为△ACK的中位线，且AC=3；∴；又；∴在Rt△BFD中，，cos;即直线BD和平面ACFD所成角的余弦值为．19．【2016浙江（文）】如图，设抛物线y2=2px(p＞0)的焦点为F,抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|﹣1,（Ⅰ)求p的值；（Ⅱ）若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围．【解析】解：（Ⅰ）由题意可得，抛物线上点A到焦点F的距离等于A到直线x=﹣1的距离，由抛物线定义得，，即p=2;（Ⅱ）由（Ⅰ）得，抛物线方程为y2=4x，F（1，0）,可设(t2,2t）,t≠0，t≠±1，∵AF不垂直y轴,∴设直线AF:x=sy+1(s≠0),联立，得y2﹣4sy﹣4=0．y1y2=﹣4,∴B（）,又直线AB的斜率为，故直线FN的斜率为，从而得FN:,直线BN：y=﹣，则N（），设M（m,0）,由A、M、N三点共线，得,于是m==，得m＜0或m＞2．经检验，m＜0或m＞2满足题意．∴点M的横坐标的取值范围为（﹣∞,0）∪（2，+∞）．20．【2016浙江(文)】设函数f(x）=x3+，x∈［0，1]，证明：（Ⅰ）f（x)≥1﹣x+x2（Ⅱ)＜f（x)≤．【解析】解：（Ⅰ)证明：因为f（x）=x3+,x∈［0,1]，且1﹣x+x2﹣x3==，所以≤,所以1﹣x+x2﹣x3≤，即f（x）≥1﹣x+x2；（Ⅱ）证明：因为0≤x≤1，所以x3≤x，所以f（x）=x3+≤x+=x+﹣+=+≤;由（Ⅰ）得，f(x)≥1﹣x+x2=+≥，且f(）=+=＞，所以f（x）＞;综上，＜f（x）≤．绝密★启封前2016年浙江省高考数学试卷(文科）一、选择题（本大题8小题，每题5分，共40分)1．已知全集U={1，2，3，4,5,6}，集合P=｛1，3，5},Q={1,2,4}，则（∁U P）∪Q=(）A．｛1｝B．{3，5}C．｛1,2，4，6}D．{1，2，3，4，5｝2．已知互相垂直的平面α,β交于直线l，若直线m，n满足m∥α,n⊥β,则() A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n3．函数y=sinx2的图象是（)A．B．C．D．4．若平面区域，夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是（）A．B．C．D．5．已知a,b＞0且a≠1，b≠1，若log a b＞1，则（）A．(a﹣1)（b﹣1）＜0 B．（a﹣1）（a﹣b）＞0C．（b﹣1）（b﹣a）＜0 D．(b﹣1）（b﹣a）＞06．已知函数f（x）=x2+bx,则“b＜0"是“f（f（x）)的最小值与f（x）的最小值相等”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．已知函数f（x）满足:f（x）≥|x|且f（x)≥2x，x∈R．（)A．若f（a）≤｜b｜，则a≤b B．若f（a)≤2b，则a≤bC．若f（a）≥|b｜，则a≥b D．若f（a）≥2b,则a≥b8．如图，点列｛A n}、{B n｝分别在某锐角的两边上，且|A n A n+1|=|A n+1A n+2｜，A n≠A n+1，n∈N*，｜B n B n+1｜=|B n+1B n+2|，B n≠B n+1,n∈N＊，（P≠Q表示点P与Q不重合)若d n=|A n B n|，S n为△A n B n B n+1的面积，则(）A．｛S n｝是等差数列B．{S n2}是等差数列C．{d n}是等差数列D．｛d n2}是等差数列二、填空题(本大题7小题，9、10、11、12每题6分,13、14、15每题4分，共36分) 9．某几何体的三视图如图所示(单位:cm），则该几何体的表面积是cm2,体积是cm3．10．已知a∈R，方程a2x2+（a+2）y2+4x+8y+5a=0表示圆，则圆心坐标是，半径是．11．已知2cos2x+sin2x=Asin（ωx+φ）+b（A＞0），则A=，b=．12．设函数f（x)=x3+3x2+1,已知a≠0,且f(x）﹣f（a）=(x﹣b）（x﹣a）2，x∈R，则实数a=,b=．13．设双曲线x2﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2，若点P在双曲线上,且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1｜+｜PF2｜的取值范围是．14．如图,已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=，∠ADC=90°，沿直线AC 将△ACD翻折成△ACD′,直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是．15．已知平面向量，,｜|=1，||=2，=1，若为平面单位向量，则|｜+||的最大值是．三、解答题（本大题5小题，共74分）16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．（1）证明：A=2B;（2）若cosB=,求cosC的值．17．（15分)设数列｛a n}的前n项和为S n,已知S2=4,a n+1=2S n+1,n∈N＊．（Ⅰ）求通项公式a n；（Ⅱ）求数列｛|a n﹣n﹣2｜｝的前n项和．18．(15分）如图，在三棱台ABC﹣DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3．(Ⅰ）求证：BF⊥平面ACFD；（Ⅱ）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值．19．(15分)如图,设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|﹣1,（Ⅰ）求p的值；(Ⅱ)若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围．20．(15分）设函数f（x）=x3+,x∈［0，1]，证明：（Ⅰ)f(x）≥1﹣x+x2（Ⅱ）＜f（x）≤．2016年浙江省高考数学试卷(文科）一、选择题1．【解答】解：∁U P=｛2,4，6｝，(∁U P)∪Q=｛2，4，6｝∪{1，2，4｝=｛1，2，4,6｝．故选C．2．【解答】解:∵互相垂直的平面α，β交于直线l，直线m,n满足m∥α，∴m∥β或m⊂β或m⊥β，l⊂β，∵n⊥β，∴n⊥l．故选:C．3．【解答】解：∵sin（﹣x）2=sinx2，∴函数y=sinx2是偶函数，即函数的图象关于y轴对称,排除A,C；由y=sinx2=0,则x2=kπ,k≥0，则x=±,k≥0,故函数有无穷多个零点，排除B, 故选：D4．【解答】解：作出平面区域如图所示：∴当直线y=x+b分别经过A，B时，平行线间的距离相等．联立方程组,解得A（2，1）,联立方程组,解得B（1，2)．两条平行线分别为y=x﹣1，y=x+1,即x﹣y﹣1=0，x﹣y+1=0．∴平行线间的距离为d==,故选:B．5．【解答】解：若a＞1，则由log a b＞1得log a b＞log a a，即b＞a＞1，此时b﹣a＞0，b＞1，即（b﹣1）（b﹣a）＞0，若0＜a＜1，则由log a b＞1得log a b＞log a a，即b＜a＜1，此时b﹣a＜0，b＜1,即（b﹣1）（b﹣a)＞0，综上（b﹣1）（b﹣a）＞0,故选：D．6．【解答】解:f（x)的对称轴为x=﹣，f min(x）=﹣．（1）若b＜0，则﹣＞﹣，∴当f（x)=﹣时，f（f（x)）取得最小值f（﹣）=﹣，即f(f（x））的最小值与f(x)的最小值相等．∴“b＜0”是“f(f（x））的最小值与f（x）的最小值相等"的充分条件．（2)若f（f(x）)的最小值与f（x）的最小值相等，则f min(x）≤﹣，即﹣≤﹣，解得b≤0或b≥2．∴“b＜0"不是“f（f（x）)的最小值与f(x）的最小值相等”的必要条件．故选A．7．【解答】解：A．若f（a）≤|b|，则由条件f(x）≥｜x|得f（a）≥｜a|，即｜a|≤｜b|，则a≤b不一定成立，故A错误，B．若f（a）≤2b，则由条件知f(x）≥2x，即f(a)≥2a，则2a≤f（a）≤2b,则a≤b，故B正确，C．若f（a）≥|b｜，则由条件f（x）≥|x｜得f（a）≥|a|，则｜a｜≥|b｜不一定成立，故C错误,D．若f（a）≥2b，则由条件f（x）≥2x，得f（a）≥2a，则2a≥2b，不一定成立，即a≥b 不一定成立，故D错误,故选：B8．【解答】解：设锐角的顶点为O，|OA1|=a，｜OB1|=c，｜A n A n+1｜=｜A n+1A n+2|=b，｜B n B n+1|=|B n+1B n+2｜=d，由于a，c不确定,则｛d n}不一定是等差数列，｛d n2｝不一定是等差数列，设△A n B n B n+1的底边B n B n+1上的高为h n，由三角形的相似可得==，==,两式相加可得，==2,即有h n+h n+2=2h n+1,由S n=d•h n，可得S n+S n+2=2S n+1，即为S n+2﹣S n+1=S n+1﹣S n，则数列{S n｝为等差数列．故选:A．二、填空题9．【解答】解:根据几何体的三视图，得；该几何体是下部为长方体，其长和宽都为4，高为2，表面积为2×4×4+2×42=64cm2,体积为2×42=32cm3；上部为正方体,其棱长为2,表面积是6×22=24 cm2，体积为23=8cm3;所以几何体的表面积为64+24﹣2×22=80cm2，体积为32+8=40cm3．故答案为:80；40．10．【解答】解：∵方程a2x2+（a+2）y2+4x+8y+5a=0表示圆，∴a2=a+2≠0，解得a=﹣1或a=2．当a=﹣1时，方程化为x2+y2+4x+8y﹣5=0，配方得（x+2）2+（y+4）2=25，所得圆的圆心坐标为（﹣2，﹣4），半径为5;当a=2时,方程化为，此时，方程不表示圆，故答案为：（﹣2,﹣4），5．11．【解答】解:∵2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=1+（cos2x+sin2x）+1=sin（2x+）+1，∴A=，b=1，故答案为：;1．12．【解答】解:∵f（x）=x3+3x2+1，∴f（x）﹣f(a）=x3+3x2+1﹣（a3+3a2+1）=x3+3x2﹣（a3+3a2）∵（x﹣b）（x﹣a）2=(x﹣b）（x2﹣2ax+a2）=x3﹣（2a+b）x2+（a2+2ab）x﹣a2b，且f（x）﹣f（a)=(x﹣b）（x﹣a)2,∴，解得或（舍去），故答案为：﹣2；1．13．【解答】解:如图，由双曲线x2﹣=1，得a2=1,b2=3，∴．不妨以P在双曲线右支为例，当PF2⊥x轴时，把x=2代入x2﹣=1，得y=±3,即｜PF2｜=3,此时|PF1｜=｜PF2｜+2=5，则｜PF1|+｜PF2｜=8;由PF1⊥PF2，得，又|PF1｜﹣|PF2|=2，①两边平方得:，∴｜PF1｜|PF2｜=6，②联立①②解得：,此时|PF1｜+｜PF2｜=．∴使△F1PF2为锐角三角形的|PF1｜+｜PF2｜的取值范围是（）．故答案为:（）．14．【解答】解：如图所示，取AC的中点O,∵AB=BC=3，∴BO⊥AC，在Rt△ACD′中，=．作D′E⊥AC,垂足为E，D′E==．CO=，CE===，∴EO=CO﹣CE=．过点B作BF∥AC，作FE∥BO交BF于点F，则EF⊥AC．连接D′F．∠FBD′为直线AC 与BD′所成的角．则四边形BOEF为矩形，∴BF=EO=．EF=BO==．则∠FED′为二面角D′﹣CA﹣B的平面角,设为θ．则D′F2=+﹣2×cosθ=﹣5cosθ≥，cosθ=1时取等号．∴D′B的最小值==2．∴直线AC与BD′所成角的余弦的最大值===．故答案为：．15．【解答】解：｜|+||=，其几何意义为在上的投影的绝对值与在上投影的绝对值的和，当与共线时，取得最大值．∴=．故答案为：．三、解答题16．【解答】（1)证明：∵b+c=2acosB，∴sinB+sinC=2sinAcosB，∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin(A﹣B），由A，B∈（0，π），∴0＜A﹣B＜π，∴B=A﹣B，或B=π﹣（A﹣B)，化为A=2B，或A=π（舍去)．∴A=2B．（II）解:cosB=,∴sinB==．cosA=cos2B=2cos2B﹣1=,sinA==．∴cosC=﹣cos（A+B)=﹣cosAcosB+sinAsinB=+×=．17．【解答】解:（Ⅰ）∵S2=4,a n+1=2S n+1,n∈N*．∴a1+a2=4，a2=2S1+1=2a1+1，解得a1=1，a2=3，当n≥2时，a n+1=2S n+1，a n=2S n﹣1+1，两式相减得a n+1﹣a n=2（S n﹣S n﹣1）=2a n, 即a n+1=3a n,当n=1时，a1=1，a2=3，满足a n+1=3a n，∴=3，则数列｛a n}是公比q=3的等比数列，则通项公式a n=3n﹣1．（Ⅱ)a n﹣n﹣2=3n﹣1﹣n﹣2，设b n=|a n﹣n﹣2｜=|3n﹣1﹣n﹣2｜，则b1=｜30﹣1﹣2｜=2，b2=|3﹣2﹣2|=1，当n≥3时，3n﹣1﹣n﹣2＞0，则b n=|a n﹣n﹣2|=3n﹣1﹣n﹣2，此时数列｛｜a n﹣n﹣2｜}的前n项和T n=3+﹣= ，则T n==．18．【解答】解：（Ⅰ）证明：延长AD，BE，CF相交于一点K,如图所示：∵平面BCFE⊥平面ABC，且AC⊥BC；∴AC⊥平面BCK,BF⊂平面BCK; ∴BF⊥AC；又EF∥BC,BE=EF=FC=1，BC=2；∴△BCK为等边三角形，且F为CK的中点；∴BF⊥CK,且AC∩CK=C; ∴BF⊥平面ACFD;（Ⅱ）∵BF⊥平面ACFD；∴∠BDF是直线BD和平面ACFD所成的角；∵F为CK中点，且DF∥AC；∴DF为△ACK的中位线，且AC=3；∴；又；∴在Rt△BFD中，，cos；即直线BD和平面ACFD所成角的余弦值为．19．【解答】解：(Ⅰ）由题意可得，抛物线上点A到焦点F的距离等于A到直线x=﹣1的距离，由抛物线定义得，，即p=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，抛物线方程为y2=4x，F（1，0),可设（t2，2t)，t≠0，t≠±1，∵AF不垂直y轴，∴设直线AF:x=sy+1（s≠0）,联立，得y2﹣4sy﹣4=0．y1y2=﹣4, ∴B(）,又直线AB的斜率为，故直线FN的斜率为，从而得FN：，直线BN:y=﹣，则N（）,设M（m，0)，由A、M、N三点共线,得，于是m==，得m＜0或m＞2．经检验,m＜0或m＞2满足题意．∴点M的横坐标的取值范围为（﹣∞,0）∪（2,+∞）．20．【解答】解:（Ⅰ)证明：因为f（x)=x3+,x∈[0,1］，且1﹣x+x2﹣x3==，所以≤，所以1﹣x+x2﹣x3≤,即f(x)≥1﹣x+x2；（Ⅱ）证明：因为0≤x≤1，所以x3≤x,所以f（x)=x3+≤x+=x+﹣+=+≤；由（Ⅰ）得,f(x)≥1﹣x+x2=+≥,且f（)=+=＞,所以f（x）＞；综上,＜f（x）≤．。

【备战2016】(北京版)高考数学分项汇编专题06 数列(含解析)理

专题06 数列1. 【2006高考北京理第7题】设4710310()22222()n f n n N +=+++++∈，则()f n 等于（）（A ）2(81)7n- （B ）12(81)7n +- （C ）32(81)7n +-（D ）42(81)7n +- 【答案】D2. 【2008高考北京理第6题】已知数列{}n a 对任意的*p q ∈N ，满足p q p q a a a +=+，且26a =-，那么10a 等于（） A ．165- B ．33-C ．30-D ．21-【答案】C考点：数列3. 【2010高考北京理第2题】在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m 等于( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 【答案】C考点：等比数列的通项公式.4. 【2014高考北京理第5题】设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1>q ”是“{}n a 为递增数列”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D考点：等比数列的性质，充分条件与必要条件的判定，容易题.5. 【2007高考北京理第10题】若数列{}n a 的前n 项和210(123)n S n n n =-=，，，，则此数列的通项公式为；数列{}n na 中数值最小的项是第项．6. 【2008高考北京理第14题】某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k 棵树种植在点()k k k P x y ，处，其中11x =，11y =，当2k ≥时，111215551255k k k k k k x x T T k k y y T T --⎧⎡--⎤⎛⎫⎛⎫=+--⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎨--⎛⎫⎛⎫⎪=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，． ()T a 表示非负实数a 的整数部分，例如(2.6)2T =，(0.2)0T =．按此方案，第6棵树种植点的坐标应为；第2008棵树种植点的坐标应为．【答案】(1,2) (3, 402)考点：数列的通项7. 【2009高考北京理第14题】已知数列{}n a 满足：434121,0,,N ,n n n n a a a a n *--===∈则2009a =________；2014a =_________.【答案】1，0考点：周期数列等基础知识.8. 【2011高考北京理第11题】在等比数列{}n a 中，若112a =，44a =-，则公比q =________；12||||||n a a a +++=________.【答案】2- 1122n --9. 【2012高考北京理第10题】已知}{n a 等差数列n S 为其前n 项和。

2016届高考数学经典例题集锦数列(含答案)

数列题目精选精编【典型例题】(一)研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质n i例题1.已知数列｛an｝满足a i =1,a n =3 一乜」(n X2).(1) 求 a 2,a 3 ； a 3n -1(2) 证明：% _ 22解：(1) I a 1 二匕二比=4,a 3 =3 +4=13.n(2)证明：由已知 a n _ a n 1 =3，故 a n = (a n - a nd ) (a n 」- a n2)(a 2 - a 1 )例题2.数列'a n '的前n 项和记为T,a n 1=20 ■ 1(n 一1)(I)求'aj 的通项公式；(n)等差数列'b n"的各项为正，其前n 项和为T n ，且T 3 =15，又a 1 +d,a 2 +b2,a 3成等比数列，求T n .解：(I)由 a n 1 =2£ 1 可得 a n =2S n 」• 1(n —2), 两式相减得：a n 1 一 a n =2a n ,a n 1 二 3a n (n - 2), 又比=2S +1 =3 比=3a故Q ｝是首项为1,公比为3的等比数列... a n M(n)设 E 的公差为d ，由T 3 =15得，可得b 1 b 2 b 3 =15，可得b 2 = 5 故可设 b 1 =5 -d,b 3 -5 d ，又 a 1 =1,a 2 - 3,a 3 二9 ,2由题意可得(5 -d 1)(5 d ・9)二(5・3),解得4=2^二10 •••等差数列 *n*的各项为正，d 0 d =2T n =3n 2 二n 2 2n2例题3.已知数列"Gn '的前三项与数列"bj 的前三项对应相同，且 a 1 2a 2 22氐 … •2n 」a n =8n 对任意的n ，N *都成立，数列＜bn 1 ~b n*是等差数列.⑴求数列"GJ 与in 匚的通项公式；⑵是否存在k ・N ,使得b k -比• (0,1)，请说明理由.2nJJ n 』、点拨：(1) a 1 2a 2 2 a 3 ... 2n a^8n 左边相当于是数列 2 an‘前n 项和的形式，可以联想到已知S n 求a n的方法，当n 占2时，5丄=可.(2)把b k -a k 看作一个函数，利用函数的思想方法来研究bk-a k 的取值情况.解：(1)已知 a 1 2a 2 22 a s • (2)^a n =8n (n ■ N* )① n _2时，印 2a 2 22a 3 …2n 'a n 」.=8(n — 1) (n N * ［② ①—②得，2务=8，求得弘二2, 4 _1在①中令n =1，可得得a 1 =8 =2,”尹皿31=，3n -1a n = ---------------所以证得 24』/所以 a n =2 (n w N* ).由题意 bi=8 , b 2 =4 , b 3 = 2，所以 b 2 - 3 1 -4 , b 3 -b2 - -2 ,数列｛bn 1-b n ｝的公差为-2-(/) =2 , bn 1- -4 (n -1) 2=2n _6 ,b n -b i(b 2 -b i ) (b^-b 2)(b n -b n J= (4) (「2)州(2n -8)二 n 2-7n 14 (n N * ).(2) d -比二 k 2 -7k 14 _ 24 上,当k _4时，f(k) =(k _7)27 _4 k124 24丞单调递增，且仁4)/ ,2所以 k _4时，f(k) =k -7k 14-24-k _1 又 f (1) = f (2) = f (3) =0 , 所以，不存在k E N *，使得b k —a k 乏(0,1).9 -、、2) = '2(n 1), b 2n(n 1)2.研究前n 项和的性质已知等比数列｛a n｝的前n 项和为S n =a '2n +b ，且a 1 =3. b 的值及数列｛a n｝的通项公式；. nb n=%，求数列｛bn｝的前门项和T n .解：(1) n^2时，a n = 5 —S nd a.而｛a n ｝为等比数列，得 a^ 21^1 = a ,又 a 1 — 3，得 a = 3，从而 a n —3 2 又■ a 1 =2a +b=3,,.b = —3,)b n 寸二+ "詁£弓彩) (2) a n 3 2 ,3 2 2 2例题4.设各项均为正数的数列｛a n ｝和｛b n ｝满足：a n 、b n 、a n+1成等差数列，b n 、a *+1、b n+1成等比数列，且a 1 =1， b 1 = 2 , a 2 = 3，求通项 a n , b n 解：依题意得：2b n+1 : =a n+1 + a n+2 ①2 a n+1 = b n b n+1 ②••• a n 、 b n 为正数，由②得 a n 1 二 \ b n b n 1 , a n 2 ' b n .1b n 2 代入①并同除以 b n 1得： 2「J b n 1 = b n ■ bn 2 || ••• ｛ b n ｝为等差数列•/ b 1=2 , a 2 = 3 ,2 a2 - 9 :db 2,则 b 2 二 2又a 1= 1，当n = 1时成立,an2 ，n(n 1)2(n 1) 2例题5. (1)求(2 )设n -4T n ( J 4 ■二1• ~n 2 3(2 22 23 2n - 2n ) ^T n =](1 1 4 L 二) ，得 2 3(222 IH 2n-2n)，T n12[1(19 2 上]=4(1 一丄一丄2 n 3' 2 n 2 n 1例题 6.数列｛a n ｝是首项为1000，公比为10的等比数列，数列1d =k (lga 1 lga 2 山 IgaJ (k . N *)｛bn ｝满足 (1)求数列｛b n ｝的前n 项和的最大值；(2)求数列｛|b n |｝的前n 项和S n . 解: ( 1)由题意：a n "°4」，.•• lga n = 4-门，•数列｛lg a n ｝是首项为3，公差为-1的等差数列, 1 n(n —1) 7 — n.b n[3 n ]：n22Iga 1 Iga 2 川 lg a k2b n -021由d 1乞0，得6乞n 岂7 ,.••数列｛bn ｝的前n 项和的最大值为S ^^=7.(2)由(1)当 n _7 时，b n _0，当 n .7 时，b n : 0 ,3+SSn二b 1 b 2 ||| b n =(d)n n n.•.当n 上7时，24 4当n • 7时，1 13S n=b1b 2 111 b 7 -b8 -d -川-b n =2—4b 2山 h) =：n ?蔦 n 211 2 13 n n (n_7)S n 〔n 2 —®n 21 (n 7)14 4S n =例题7.已知递增的等比数列｛ a n ｝满足a 2 a 3 a ° =28，且a 3 2是a ：, q 的等差中项• A ”n切号,S^b 1 ■ b^ J11 - b n 求使S nn -2n 1 - 30成立的n 的最小值.2(1)求｛ a n ｝的通项公式a n ； (2)若解：(1)设等比数列的公比为 q ( q > 1),由 2 3 小小 3 小 / 2 — x /冃 a 1q+a 1q +a 1q =28, a 1q+a 1q =2 (a 1q +2),得： (n — 1) n …a n =2 2=2 b n =a n log m a n =-n 2n(2) ••• 2 ,••• Sn= —( 1 1a i =2，q=2 或 a 1=32, q= 2(舍)2 3 n 、 2+2 2 +3 2 +••计 n 2 )n+1=-( n _ 1) 2n+1 - 2,n+1>32,故n >4,••• n 的最小值为5. •- 2S n = —( 1 22+2 23 +...+n 2n+1), • S n =2+22+23+ (2)— n 2 若 S n +n 2n+1 > 30 成立，则 2 例题8.已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,且—1,S n ,a n 十成等差数列，n ^ N *,创=1.函数f(x) = log 3X . (I )求数列｛a n｝的通项公式； 1 bn —(II )设数列｛b n｝满足(n 3)[ f (a n) 2]，记数列｛b n ｝的前n 项和为T n ，试比较因此C2 "C 1 C 3,故｛C n ｝不是等比数列5 2n 5Tn与衫解：(I ) ■ _1，S n ，a n 1成等差数列,312的大小.①一②得：2(S n -Sn 丄)二 a n 1 - an二2S n =a n 申一1① 当n 启2时，2S n 」=a n -1②.an l^3. a na 2二 a? =3,”■” 一 =3,-1，又 a 1 二1,｛a n｝是以1为首项3为公比的等比数列，• a n =3n'、n 1(II )v f X =log 3X ，f (a n ) rg a n =log 33 ■'二 n-1，1 1 111b n ( ) (n 3)[f(a n ) 2] (n 1)(n 3) 2 n 1 n 31 1 小 1 1 1 一一 +lll +— ---- + ---- 5 7 n n2 n 1 2n +5 当n=1时，由①得.2S i =2a i =a 2a i111111 T n ( 2 2 4 3 5 4 1 1 1 1 1( … )2 23 n 2 n 3T 与空一沁比较n12312的大小，只需比较2(n 2)(n 3)与312的大小即可.又2(n 2)(n 3) -312 =2(n 2 5n 6 -156) =2(n 2 5n -150) =2(n 15)(n -10)5 2n +5口 2(n+2)(n+3)<312，即「v ------------- ;n 匸 N , .•.当 1 En 兰9且n 匸 N 时， 12 3121 . —+ 6 _ 5 一12 2(n 2)(n -3)'1 n 3) 5 t丄 2(n +2)( n+3)=312,即 T =— 当 n =10 时, 12 3125 * 2(n 2)(n 3) 312,即人当 n >10 且 n N 时，123122n 5 2n 53.研究生成数列的性质例题9. ( I )已知数列匕］其中C n =2 -，且数列匕1 -卩6 '为等比数列，求常数P ；(II )设"a n\"5 •'是公比不相等的两个等比数列， C n 二a nb n，证明数列心*不是等比数列解：(I)因为｛C n+1- pC n ｝是等比数列，故有2(C n+1 一 pc n ) = ( C n+2 一 pc n+1)(c n一 pc n -1 )，将C n =2n + 3n 代入上式，得[2n +1+3n +1 - p (2n + 3n ) ]2=[2n +2+3n +2- p (2n+1 + 3n+1) ] • [2n +3n - p (2n -1+ 3n -1)]，即[(2 - p ) 2n +( 3-p ) 3n ]2n+1n+1n -1n -1=[(2 - p ) 2 + (3 -p ) 3 ][ (2-p ) 2 + (3 - p ) 3 ]，1整理得 6 (2- p ) (3- p ) 2n 3n =0,解得p=2或p=3.(fl)设｛ an ｝、｛ b n ｝的公比分别为 P 、q ， p 半 q ， C n =a n +bn2为证｛C n ｝不是等比数列只需证 C2丰C 1 C 3.事实上,2c2 = ( a 1p + b 1q )2 22=a 1 p 2+ b 1q 2 + 2a 1b 1 pq ,22C 1 C 3= (a 1 + b 1) (a 1 p + bg )= 由于p z q , p 2 + q 2>2pq ，又 a 1、 2 2 a 1p 2+ b 1 q 2 + a 1b 1b 1不为零, (p 2+ q 2)例题10. n 2 ( n 》4)个正数排成n 行n 列：其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比_1_ 3 a @2 = —, a @3 —— 相等已知a 24=1, 816求 S=an + a 22 + a 33 +… + a nn解设数列 { a 1k ｝的公差为d , 数列｛则 a 1k = an +(k 占 —1) d , a kk = [an +a24=(a 11 +3d)q : =1*a 42=(a“ + d)q 31~8a 43=(a11+ 2d)q 33aik } (i=1 , 2, 3,…,n )的公比为 qk — 1(k — 1) d]q，解得:1an = d = q = ± 2又n 2个数都是正数,1 2 二 an = d = q =12两式相减得:kk--akk = 21 ...n12 n 1厶?n2nJ 2n例题11.已知函数f(x) Jog 3(a x F)的图象经过点求数列｛a n｝的通项公式；a n^,T n F b2 •…b nA(2,1)和 B(5,2)，记 a n =3f(n),n N *.(1) (2) (3)1 1 1 _____________________ (1 十一)(1 + ——)…(1 十——)X pJ2n +1求使不等式a1a2an,若T n : m(m Z)，求m 的最小值;1 、 ---------对一切n = N *均成立的最大实数 P .Iog 3(2a+b)=1Iog 3(5a +b) =2 l o£2n 」)解：(1)由题意得-f (x) =log 3(2x-1)a . =32n —1 bn =1)得丄22 (2)1T n2nA 23a = 2，解得A = -1=2n _1,n135T =n 1221 22 22n - 5 2n - 3 2n -1 2门4*N…+ 2n -3 + 2n 一12介 J2n2n2n1 jn 2n -12 n 11 -21 32 2 22 1 n 4 2 23 2n -1 2* 1 2 2 十…十 + _ 2门4 2 nT =3- 1 1 n 3 2^2_ 1 21 ，则由2n -1 2 n 1 2n -1 c 3- 2n ②(11 212n 3 ①—②得1 1 1 )2 2 2 n ""2 2 n 4 2n ,(3)2n 5f (n 1) 2n 1 2n 5f (n) = 2n 3 二 2(2n 3)2n（二）证明等差与等比数列 1.转化为等差等比数列• 例题12.数列｛a n｝中，印=8月4=2且满足a nd2=2a n 卅一a n ，n 乏N * .⑴求数列｛a n｝的通项公式；⑵设 S n =| a 1 | ' | a 2 ' | a n |，求 S n ；1⑶设b n = n （12-a n ）（n ，N *）,T n 二b 1• b 2 •0（n ，N *），是否存在最大的整数m ，使得对任意nN *，均有mTn- 32成立？若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由解: （ 1）由题意，a n -2 _a n 1二a n 1 - a n ，｛a n ｝为等差数列，设公差为 d ，由题意得 2 =8 +3d 二 d = -2，二 a n =8 _2（n _“ =10 _2n .（2）若10—2 n 兰0则n 兰5，n 兰5时，S n =冋| + | a ? |十…十| a . | a 5 - a 6 - a 7a *二 n 2 -9n 40丄丄2 2n 32 52n +3f (n)随n的增大而减小p （3）由题意得 1Tn > 3 又 Tn:: m(m Z)恒成立，.m min =31 1 1 ::: --------- (1 )(1 ) (1 r 『2n ■:，1 a 1a 2mina i 1 * )对 n ：= Na n 恒成立F(n) 记1 1 1 ”1(1 和 /(1( F(n 1)F(n)，则 1) 1 1 1 1 ---------- (1 —)(1 ―) (1 —)(1 - .2n 九3 a 1 a 2 a n a 二 1 1 1 1—(1 )(1 ) (1 ) ,2 n 1 a 1 a 2 a “2n 2 2(n 1) 2 n 11 "i 1_.. (2n 1)(2n 3^ . 4(n 1)2 -(n 1) 2nF(n)Q. F(n 1)F(n),即F(n)是随n 的增大而增大2 2 2 F(n )F(1)3p'3 P max3F (n )的取小值为3,3 ，即3_8 10 -2nn =9n 「n 2,2n 二6时，S n =印*去+…*- (Sn -S 5)=2S5七29n 「n n 2 -9n 40<5 -6 1」(丄n(12-a n )2n(n 1)2(n1 11111 1111 n—T n7(1一2)r厂3)飞一1)创一百厂2(n+1)(3)m若T 32对任意nN *成立,n *1(n N )n -1的最小值是2-H-n mn 116对任意nN *成立，m 1 ■ --- < —16 VI m 的最大整数值是7.即存在最大整数 m=7,使对任意n •二N ，均有T n m > —32例题13.已知等比数列｛b n ｝与数列｛a n ｝满足b n 虫(1) 判断｛a n ｝是何种数列，并给出证明； (2)若 a 8 a 13 =m,求^①丨)％.解：(“设｛b n ｝的公比为 q ,v b n =3a n,••• 3 所以｛a n｝是以log 3 q 为公差的等差数列.(2)： a $乜伯二m,所以由等差数列性质可得(a 1 a 2o ) 2010m= a 1 ~ n _1 q n 」=3% 二.a n =a _!亠in -1 log 3 q 。

2016年高考数学文试题分类汇编：数列

2016年高考数学文试题分类汇编数列一、选择题1、（2016年浙江高考）如图，点列{}{},n n A B 分别在某锐角的两边上，且*1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈N ，*1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈N .(P ≠Q 表示点P 与Q 不重合)若n n n d A B =，n S 为1n n n A B B +△的面积，则（）A.{}n S 是等差数列B.{}2n S 是等差数列C.{}n d 是等差数列D.{}2n d 是等差数列【答案】A二、填空题学科网1、（2016年江苏省高考）已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和.若a 1+a 22=-3，S 5=10，则a 9的值是 ▲ . 【答案】20.2、（2016年上海高考）无穷数列{a n }由k 个不同的数组成，S n 为{a n }的前n 项和.若对任意的*n ÎN ，{23}n S Î，则k 的最大值为 .【答案】4三、解答题1、（2016年北京高考）已知{a n }是等差数列，{b n }是等差数列，且b 2=3，b 3=9，a 1=b 1，a 14=b 4. （Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）设c n = a n + b n ，求数列{c n }的前n 项和. 解：（I ）等比数列{}n b 的公比32933b q b ===，所以211b b q==，4327b b q ==．设等差数列{}n a 的公差为d ．因为111a b ==，14427a b ==，所以11327d +=，即2d =．所以21n a n =-（1n =，2，3，⋅⋅⋅）．（II ）由（I ）知，21n a n =-，13n n b -=．因此1213n n n n c a b n -=+=-+．从而数列{}n c 的前n 项和()11321133n n S n -=++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+()12113213n n n +--=+-学科网2312n n -=+．2、（2016年江苏省高考）记{}1,2,100U =…，.对数列{}()*n a n N ∈和U 的子集T ，若T =∅,定义0T S =;若 {}12,,k T t t t =…，，定义12+k T t t t S a a a =++….例如：{}=1,3,66T 时，1366+T S a a a =+.现设{}()*n a n N ∈是公比为3的等比数列，且当{}=2,4T 时，=30T S .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意正整数()1100k k ≤≤，若{}1,2,k T ⊆…，，求证：1T k S a +<；（3）设,,C D C U D U S S ⊆⊆≥,求证：2C C D D S S S +≥ . （1）由已知得1*13,n n a a n N -=∙∈.于是当{2,4}T =时，2411132730r S a a a a a =+=+=. 又30r S =，故13030a =，即11a =. 所以数列{}n a 的通项公式为1*3,n n a n N -=∈. （2）因为{1,2,,}T k ⊆ ，1*30,n n a n N -=>∈，所以1121133(31)32k kk r k S a a a -≤+++=+++=-< . 因此，1r k S a +<.（3）下面分三种情况证明.①若D 是C 的子集，则2C C D C D D D D S S S S S S S +=+≥+= . ②若C 是D 的子集，则22C C D C C C D S S S S S S +=+=≥ . ③若D 不是C 的子集，且C 不是D 的子集.令U E C C D = ，U F D C C = 则E φ≠，F φ≠，E F φ= . 于是C E C D S S S =+ ，D F C D S S S =+ ，进而由C D S S ≥，得E F S S ≥. 设k 是E 中的最大数，l 为F 中的最大数，则1,1,k l k l ≥≥≠.由（2）知，1E k S a +<，于是1133l k l F E k a S S a -+=≤≤<=，所以1l k -<，即l k ≤. 又k l ≠，故1l k ≤-，从而11121131311332222l k l k E F l a S S a a a ------≤+++=+++=≤=≤ ，故21E F S S ≥+，所以2()1C C D D C D S S S S -≥-+ ，即21C C D D S S S +≥+ .综合①②③得，2C C D D S S S +≥ .3、（2016年山东高考）已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+.（I ）求数列{}n b 的通项公式；（II ）令1(1)(2)n n n nn a c b ++=+.求数列{}n c 的前n 项和n T .【解析】（Ⅰ）由题意得⎩⎨⎧+=+=322211b b a b b a ，解得3,41==d b ，得到13+=n b n 。

全国卷历年高考数列真题归类分析(含答案)

全国卷历年高考数列真题归类分析(含答案)1.（2016年1卷3）已知等差数列{an}前9项的和为27，a10=8，则求a100.解析：由已知，9a1+36d=27，a1+9d=8，解得a1=-1，d=1，a100=a1+99d=-1+99=98，选C。

2.（2017年1卷4）记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a4+a5=24，S6=48，则{an}的公差为多少？解析：S6=48，即a1+a6=16，a4+a5=24，代入公差d的通项公式an=a1+(n-1)d，得到a8-a6=8=2d，故d=4，选C。

3.（2017年3卷9）等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2、a3、a6成等比数列，则{an}前6项的和为多少？解析：设公差为d，则a3(a1+2d)=(a1+d)(a1+5d)，代入a1=1解得d=-2，故a6=a1+5d=-9，前6项和为S6=6a1+15d=-24，选A。

4.（2017年2卷15）等差数列{an}的前项和为Sn，则1=∑k=1nSk，求an。

解析：设a1=1，d=2，Sn=n(2a1+(n-1)d)/2=n(n+1)，代入an=a1+(n-1)d=2n-1，故1=∑k=1nSk=∑k=1n(k+1)-(k-1)=2n，故n=1/2，代入an=2n-1=-1，选D。

5.（2016年2卷17）Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1=1，S7=28.记bn=[lga1+2Sn-1]/[lga1+2]，求b7.解析：由等差数列前n项和的通项公式Sn=n(2a1+(n-1)d)/2=n(2+(n-1)d)/2，代入a1=1，S7=28，得到d=4，an=1+4(n-1)=4n-3，代入bn=[lga1+2Sn-1]/[lga1+2]，得到b7=[XXX(2×28-1)]/[lg3]=2，选B。

题目一：求等比数列中的数值要求：改写成完整的句子，避免使用符号表示1.求b1，b11，b101；2.求数列{bn}的前1000项和。

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数列题目精选精编【典型例题】（一）研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质例题1. 已知数列}{n a 满足1111,3(2)n n n a a a n --==+≥. （1）求32,a a ；（2）证明：312n n a -=. 解：（1）21231,314,3413a a a =∴=+==+=.（2）证明：由已知113--=-n n n a a ，故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=---1213133312n n n a ---+=++++=，所以证得312n n a -=.例题2. 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T .解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥，两式相减得：112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥，又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列∴13n n a -=（Ⅱ）设{}n b 的公差为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+，又1231,3,9a a a ===，由题意可得2(51)(59)(53)d d -+++=+，解得122,10d d ==∵等差数列{}n b 的各项为正，∴0d > ∴2d =∴2(1)3222n n n T n n n -=+⨯=+例题3. 已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且212322...a a a +++128n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立，数列{}n n b b -+1是等差数列.⑴求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；⑵是否存在N k *∈，使得(0,1)k k b a -∈，请说明理由.点拨：（1）2112322...28n n a a a a n -++++=左边相当于是数列{}12n n a -前n 项和的形式，可以联想到已知n S 求na 的方法，当2n ≥时，1n n n S S a --=.（2）把k k a b -看作一个函数，利用函数的思想方法来研究k k a b -的取值情况.解：（1）已知212322a a a +++…12n n a -+8n =(n ∈*N ）① 2n ≥时，212322a a a +++ (2)128(1)n n a n --+=-(n ∈*N ）②①－②得，128n n a -=，求得42n n a -=，在①中令1n =，可得得41182a -==，所以42nn a -=(n ∈N*）. 由题意18b =，24b =，32b =，所以214b b -=-，322b b -=-， ∴数列}{1n n b b -+的公差为2)4(2=---， ∴1n nb b +-=2)1(4⨯-+-n 26n =-，121321()()()n n n b b b b b b b b -=+-+-++-(4)(2)(28)n =-+-++-2714n n =-+(n ∈*N ）.（2）k k b a -=2714k k -+-42k-，当4k ≥时，277()()24f k k =-+-42k-单调递增，且(4)1f =，所以4k ≥时，2()714f k k k =-+-421k -≥，又(1)(2)(3)0f f f ===，所以，不存在k ∈*N ，使得(0,1)k k b a -∈.例题4. 设各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足：a n 、b n 、a n+1成等差数列，b n 、a n+1、b n+1成等比数列，且a 1 = 1， b 1 = 2 ， a 2 = 3 ，求通项a n ，b n 解：依题意得：2b n+1 = a n+1 + a n+2 ① a 2n+1 = b n b n+1 ②∵ a n 、b n 为正数，由②得21211,+++++==n n n n n n b b a b b a ，代入①并同除以1+n b 得：212+++=n n n b b b ， ∴}{n b 为等差数列∵ b 1 = 2 ， a 2 = 3 ，29,22122==b b b a 则，∴ 2)1(),1(22)229)(1(22+=∴+=--+=n b n n b n n ，∴当n ≥2时，2)1(1+==-n n b b a n n n ，又a 1 = 1，当n = 1时成立， ∴2)1(+=n n a n2. 研究前n 项和的性质例题5. 已知等比数列}{n a 的前n 项和为2nn S a b =⋅+，且13a =. （1）求a 、b 的值及数列}{n a 的通项公式；（2）设n n nb a =，求数列}{n b 的前n 项和n T .解：（1）2≥n 时，a S S a n n n n ⋅=-=--112.而}{n a 为等比数列，得a a a =⋅=-1112，又31=a ，得3=a ，从而123-⋅=n n a .又123,3a a b b =+=∴=-.（2）132n n n n n b a -==⋅， 21123(1)3222n n nT -=++++231111231(2322222n n n n n T --=+++++），得2111111(1)232222nn n n T -=++++-，111(1)2412[](1)13232212n n n n n n n T +⋅-=-=---.例题6. 数列{}n a 是首项为1000，公比为110的等比数列，数列{b }n 满足121(lg lg lg )k k b a a a k=+++*()N k ∈，（1）求数列{b }n 的前n 项和的最大值；（2）求数列{|b |}n 的前n 项和n S '. 解：（1）由题意：410nn a -=，∴lg 4n a n =-，∴数列{lg }n a 是首项为3，公差为1-的等差数列，∴12(1)lg lg lg 32k k k a a a k -+++=-，∴1(1)7[3]22n n n nb n n --=-=由100n n b b +≥⎧⎨≤⎩，得67n ≤≤，∴数列{b }n 的前n 项和的最大值为67212S S ==.（2）由（1）当7n ≤时，0n b ≥，当7n >时，0n b <，∴当7n ≤时，212731132()244n n n S b b b n n n -+'=+++==-+当7n >时，12789n n S b b b b b b '=+++----27121132()2144n S b b b n n =-+++=-+∴22113(7)4411321(7)44n n n n S n n n ⎧-+≤⎪⎪'=⎨⎪-+>⎪⎩.例题7. 已知递增的等比数列{n a }满足23428a a a ++=，且32a +是2a ，4a 的等差中项. （1）求{n a }的通项公式n a ；（2）若12log n n nb a a =，12n n S b b b =+++求使1230n n S n ++⋅>成立的n 的最小值.解：（1）设等比数列的公比为q （q ＞1），由a 1q +a 1q 2+a 1q 3=28，a 1q +a 1q 3=2（a 1q 2+2），得：a 1=2，q =2或a 1=32，q =12（舍）∴a n =2·2（n －1）=2n（2） ∵12log 2nn n n b a a n ==-⋅，∴S n =－（1·2+2·22+3·23+…+n ·2n ） ∴2S n =－（1·22+2·23+…+n ·2n +1），∴S n =2+22+23+…+2n －n ·2n +1=－（n －1）·2n +1－2，若S n +n ·2n +1＞30成立，则2n +1＞32，故n ＞4，∴n 的最小值为5.例题8. 已知数列}{n a 的前n 项和为S n ，且11,,n n S a +-成等差数列，*1,1N n a ∈=. 函数3()log f x x =.（I ）求数列}{n a 的通项公式；（II ）设数列{}n b 满足1(3)[()2]n n b n f a =++，记数列{}n b 的前n 项和为T n ，试比较52512312n n T +-与的大小. 解：（I ）11,,n n S a +-成等差数列，121n n S a +∴=-① 当2n ≥时，121n n S a -=-②. ①－②得：112()n n n n S S a a -+-=-，13+=∴n n a a ，13.n na a +∴=当n =1时，由①得112221S a a ∴==-，又11,a =2213,3,a a a ∴=∴={}n a ∴是以1为首项3为公比的等比数列，13.n n a -∴=（II ）∵()x log x f 3=，133()log log 31n n n f a a n -∴===-，11111()(3)[()2](1)(3)213n n b n f a n n n n ===-++++++，1111111111111()224354657213n T n n n n ∴=-+-+-+-++-+-+++11111()22323n n =+--++525,122(2)(3)n n n +=-++比较52512312n n T +-与的大小，只需比较2(2)(3)n n ++与312 的大小即可. 222(2)(3)3122(56156)2(5150)n n n n n n ++-=++-=+-又2(15)(10)n n =+-∵*,N n ∈∴当*19N n n ≤≤∈且时，5252(2)(3)312,;12312n n n n T +++<<-即当10n =时，5252(2)(3)312,;12312n n n n T +++==-即当*10N n n >∈且时，5252(2)(3)312,12312n n n n T +++>>-即.3. 研究生成数列的性质例题9. （I ）已知数列{}n c ，其中nn n c 32+=，且数列{}n n pc c -+1为等比数列，求常数p ；（II ）设{}n a 、{}n b 是公比不相等的两个等比数列，n n n b a c +=，证明数列{}n c 不是等比数列.解：（Ⅰ）因为{c n +1－pc n }是等比数列，故有（c n +1－pc n ）2=（ c n +2－pc n+1）（c n －pc n －1），将c n =2n ＋3n 代入上式，得 [2n ＋1+3n ＋1－p （2n ＋3n ）]2=[2n ＋2+3n ＋2－p （2n +1＋3n +1）]·[2n +3n －p （2n －1＋3n －1）]，即[（2－p ）2n +（3－p ）3n ]2=[（2－p ）2n+1+（3－p ）3n+1][ （2－p ）2n －1+（3－p ）3n －1]，整理得61（2－p ）（3－p ）·2n ·3n =0，解得p =2或p =3. （Ⅱ）设{a n }、{b n }的公比分别为p 、q ，p ≠q ，c n =a n +b n .为证{c n }不是等比数列只需证22c ≠c 1·c 3.事实上，22c =（a 1p ＋b 1q ）2=21a p 2＋21b q 2＋2a 1b 1pq ，c 1·c 3=（a 1＋b 1）（a 1 p 2＋b 1q 2）= 21a p 2＋21b q 2＋a 1b 1（p 2＋q 2）.由于p ≠q ，p 2＋q 2>2pq ，又a 1、b 1不为零，因此≠22c c 1·c 3，故{c n }不是等比数列.例题10. n 2（ n ≥4）个正数排成n 行n 列：其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等已知a 24=1，163,814342==a a 求S=a 11 + a 22 + a 33 + … + a nn解：设数列{1k a }的公差为d ，数列{ik a }（i=1，2，3，…，n ）的公比为q则1k a = a 11 + （k －1）d ， a kk = [a 11 + （k －1）d]q k －1依题意得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+==+==+=163)2(81)(1)3(31143311421124q d a a q d a a q d a a ，解得：a 11 = d = q = ±21 又n 2个数都是正数，∴a 11 = d = q = 21 ， ∴a kk = kk2n n S 212132122132⨯++⨯+⨯+=，1432212132122121+⨯++⨯+⨯+=n n S ，两式相减得：n n nS 22121--=-例题11. 已知函数3()log ()f x ax b =+的图象经过点)1,2(A 和)2,5(B ，记()*3,.f n n a n N =∈ （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设n n n nn b b b T a b +++==21,2，若)(Z m m T n ∈<，求m 的最小值；（3）求使不等式12)11()11)(11(21+≥+++n p a a a n对一切*N n ∈均成立的最大实数p .解：（1）由题意得⎩⎨⎧=+=+2)5(log 1)2(log 33b a b a ，解得⎩⎨⎧-==12b a ，)12(log )(3-=∴x x f *)12(log ,1233N n n a n n ∈-==-（2）由（1）得n n n b 212-=，n n n n n T 2122322523211321-+-++++=∴- ① 1132212232252232121+--+-+-+++=n n n n n n n T ② ①－②得)21212121(2121n 22222222221T 211n 2n 2111n n 1n 321n --+-+++++=--+++++= 1n 1n 1n 21n 2212321n 2+-+---=--.n n 2n n 23n 2321n 2213T +-=---=∴-，设*,232)(N n n n f n ∈+=，则由 1512132121)32(252232252)()1(1<+≤++=++=++=++n n n n n n f n f n n 得*,232)(Nn n n f n ∈+=随n 的增大而减小+∞→∴n 当时，3→n T 又)(Z m m T n ∈<恒成立，3min =∴m（3）由题意得*21)11()11)(11(121N n a a a n p n ∈++++≤对恒成立记)11()11)(11(121)(21n a a a n n F ++++=，则 ()()11n 21n 2)1n ()1n (4)1n (2)3n 2)(1n 2(2n 2)a 11()a 11)(a 11(1n 21)a 11)(a 11()a 11)(a 11(3n 21)n (F )1n (F 2n 211n n 21=++>+-++=+++=+++++++++=++)(),()1(,0)(n F n F n F n F 即>+∴> 是随n 的增大而增大)(n F 的最小值为332)1(=F ，332≤∴p ，即332max =p .（二）证明等差与等比数列 1. 转化为等差等比数列.例题12. 数列{}n a 中，2,841==a a 且满足n n n a a a -=++122，*N n ∈. ⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵设||||||21n n a a a S +++= ，求n S ；⑶设n b =1(12)n n a -**12(),()N N n n n T b b b n ∈=+++∈，是否存在最大的整数m ，使得对任意*N n ∈，均有>n T 32m成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.解：（1）由题意，n n n n a a a a -=-+++112，}{n a ∴为等差数列，设公差为d ，由题意得2832d d =+⇒=-，82(1)102n a n n ∴=--=-.（2）若50210≤≥-n n 则，||||||,521n n a a a S n +++=≤ 时21281029,2n na a a n n n +-=+++=⨯=-6n ≥时，n n a a a a a a S ---+++= 765212555()2940n n S S S S S n n =--=-=-+故⎪⎩⎪⎨⎧+--=40n 9n n n 9S 22n 56n n ≤≥ （3）11111()(12)2(1)21n n b n a n n n n ===--++， ∴n T 1111111111[(1)()()()()]22233411n n n n =-+-+-++-+--+.2(1)n n =+ 若32n m T >对任意*N n ∈成立，即116n m n >+对任意*N n ∈成立， *()1N n n n ∈+的最小值是21，1,162m ∴<m ∴的最大整数值是7.即存在最大整数,7=m 使对任意*N n ∈，均有.32n m T >例题13. 已知等比数列{}n b 与数列{}n a 满足3,n an b n =∈N *. （1）判断{}n a 是何种数列，并给出证明；（2）若8131220,a a m b b b +=求.解：（1）设{}n b 的公比为q ，∵3n an b =，∴()q log 1n a a 3q 331n a 1n a n 1-+=⇒=⋅-。

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