4差分法建模

即
xk1 (1 r1)xk m.
初始条件为
x0 p.
模型求解
直接求解得到
xk
p(1 r1)k
m r1
[(1
r1
)
k
1].
令xk=0, 求得
m
pr1(1 r1)k (1 r1)k 1
.
这就是每月还款数的计算公式. 例如, 当p=10000,
r1=0.00521255, k=24时, m=444.3563, 总还款额10664.5508.
假设
设60岁前每月所交保费为p, 60岁后每月领取养老金为q. 交保费的总月数为n,领取养老金的总月数为m. 每月的收益率为r. 到第k月止所交保费及收益的累计总
额为xk.
模型建立
根据xk的变化规律, 有
xk1 (1 r)xk p, k 0,1,, n 1,
xk
1
(1
r ) xk
xn c1r n cos n c2r n sin n , 其中 r 2 2 , arctan .
线性差分方程的平衡点及稳定性
一阶线性差分方程的平衡点及稳定性 一阶线性差分方程
xk+1+axk=b, 的平衡点由x+ax=b解得, 为x*=b/(1+a).
若
lim
n
xn
x * , 则称平衡点x*是稳定的, 否则称x*是不
若
lim
n
xn
x * , 则称平衡点x*是稳定的, 否则称x*是不
稳定的.
其对应的齐次方程的特征方程为
λ2+a1λ+a2=0, 记它的要根为λ1, λ2, 则当且仅当|λ1|<1且|λ2|<1时平衡点x* 是稳定的.
一阶非线性差分方程
若 f(x)为非线性函数, 形如 xk+1=f(xk),
的方程称为一阶非线性差分方程.
axn+bxn-1+cxn-2=0, n≥2 其中a, b, c为实数, 且a, c非零. 它的特征方程为
aλ2+bλ+c=0, 特征根为λ1, λ2.则有
1. 若λ1≠ λ2且都为实数, 则
xn c11n c2n2.
2. 若λ1= λ2, 则
xn (c1 c2n)1n.
3. 若λ1, λ2为一对共轭的虚根, 即λ1 =δ+ρi, λ2 = δ-ρi, 则
4 差分法建模
实现中的问题通常是连续变化, 但我们常常只能在离散 的时间点上对其进行观测和描述. 为了表述这一类数学 模型, 本章引入了差分方程建模方法.
差分方程
定义: 对一实数数列{xn}, 称形如
an xn an1xn1 ank xnk b
的方程为线性差分方程, 其中an, an-1,..., an-k是实数, an≠0, an-k≠0, 整数k称为差分方程的阶.
进一步讨论
若采用等额本金的方式逐月偿还(即每月等额偿还本金， 贷款利息随本金逐月递减), 问各月份所需要偿还的金 额是多少?
例2 养老保险
养老保险是保险中的一种重要险种, 保险公司为客户提 供各种不同的方案以供选择. 请你分析保险品种的实际 投资价值.
若某人从25岁起投保, 每月交费200元, 到60岁停止交费 并开始领取养老金, 每月2282元. 求该投保人的收益率.
例如xn-xn-1-xn-2=0, n≥2就是一个2阶差分方程.
若给定初值, 可通过迭代的方法求出有限项的值. 例如, 若
则有
xx0n
xn1 xn2 , 1, x1 1.
n 2,
x2=2, x3=3, x4=5, ....
线性差分方程的解
有没有办法求出差分方程的解? 对于二阶线性差分方程 的解, 有下面的结论: 设二阶线性差分方程
q],
k
n,,
n
m
1.
当k=m+n-1时, xk=0, 因此
1 [ p(1 r)nm2 ( p q)(1 r)m1 q] 0, r
解此方程可得收益率r.
取p=200, q=2282, n=35×12, m=15×12, 解得r=0.00485. 取p=200, q=1056, n=25×12, m=15×12, 解得r=0.00461.
稳定的.
显然, 若数列{xn}收敛, 则必有
lim
n
xn
x*.
又因为
xn =anx0+anb . 当|a|<1时, {xn}收敛, 此时平衡点x*=b/(1+a)是稳定的.
二阶线性差分方程的平衡点及稳定性 二阶线性差分方程
xk+2+a1xk+1+a2xk=b, 的平衡点为方程x+a1x+a2=b的解x*.
2. 若要加快进程, 第二阶段增加运动, 试安排计划.
3. 给出达到目标后维持体重的方案.
每小时每千克体重消耗的热量(kcal)
跑步
跳舞
乒乓球 自行车
游泳
7.0
3.0
4.4
2.5
7.9
假设
1. 第k周体重为wk, 吸收的热量为ck. 2. 除了正常代谢及运动消耗的热量之外, 人体过多的热
-3
-2
-1
0
Βιβλιοθήκη Baidu
1
2
3
4
例1 贷款还款问题
现有一笔p万元的贷款，贷款期是n年，年利率为r. 若 采用等额本息（即每月还款数相同）的方式逐月偿还， 问每月还款的数额是多少？
假设
设第k个月欠款数为xk, 月还款m元，月利率为r1.
模型建立
根据还款及欠款的数量变化关系有
xk r1xk m xk1,
例3 减肥计划
某人体重100kg, 目前每周吸收20000kcal的热量, 体重 维持不变. 现欲减肥到75kg.
1. 在不运动的情况下安排一个两阶段计划. 第一阶段: 每周减肥1kg, 每周吸收热量逐渐减少, 直至达到下限 10000kcal. 第二阶段: 每周吸收热量保持10000kcal, 减肥达到目标.
q,
k
n, n
1,, n
m
1.
模型求解
易求得通解为
xk 1
x0
(1
xn
(1
r)k r)k
p [(1 r)k r q [(1 r)k r
1], 1],
k k
0,1,, n 1, n, n 1,, n
m
1.
利用x0=0可得
xk 1
p r
[(1
r)k
1],
1 r
[
p(1
r
)k
1
k 0,1,, n 1, ( p q)(1 r)kn
方程x=f(x)的解称x*为平衡点.
若
lim
n
xn
x*
,
则称平衡点x*是稳定的,
否则称x*是不
稳定的.
1. 当 | f (x*) | 1 时, x*是稳定的. 2. 当 | f (x*) | 1 时, x*是不稳定的.
4
4
3
3
2
2
1
1
0
0
-1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4 -4