行列式概念

媒体
讲授内容主 线
黑板与投影
全排列
定义运算与特征
标准列 3阶行列式 n阶行列式
逆序数
2阶行列式 历史知识 计算应用
定义运算与特征
行列平等
对角行列式计算
定义与特点
三角行列式计算
内容概括
以可排列的逆序奇偶性为基础，行列式是行列地位 相同的不重复行列元素乘积项的代数和。
1
第一讲
行列式概念
几点说明
1. 平时成绩（作业和听课）占20％. 2. 线性代数是高等工科院校的一门基础理论课，是以研 究有限空间线性理论为主要内容。由于线性问题广泛存 在于技术科学的各个领域，所以应用广泛。
t 132 0 0 1 1
t 312 0 1 1 2
（4）奇排列、偶排列：逆序数为奇数（偶数）的排列
4
第一讲
行列式概念
３.求逆序数的基本方法：因为逆序数是所有逆序之和，因此，联想
数列求和公式，要明确排列的元素个数、第一项和最后一项
例1 求排列32514的逆序数。 解 t 0 1 0 3 1 5 3的逆序数 2的逆序数 5的逆序数 1的逆序数
(1) ( p1 p2 ) a1 p1 a2 p2 a11a22 a12 a21
1 － 1 例如： 2 (2) 0 2 －2
分析行列式定义
a11 a21
a12 a22
行列式实际上是元素乘积的代数和，这一代数和具有如下三个特点 1.每一乘积项均有2个元素，共有2项.
2.每一乘积项中，元素之间行标不同，列标也不同，说明各元素的位 置均处于不同行不同列.
3.每一乘积项的符号由列标排列的逆序数所决定.
10
第一讲
（2）二阶行列式的起源
行列式概念
a11 x1 + a12 x2 = b1 a21 x1 + a22 x2 = b2

2
解： t 1 3 5 2n 1
n( 2n 1 1) 2 ＝ n 2 ｎ为奇数时为奇排列，ｎ为偶数时为偶排列
6
第一讲
行列式概念
12345
４.对换的定义与结论 例 13 2 4 5 对换 15243；1 3 2 4 5 相邻对换 定理1
一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。
奇排列 这一例 告诉我们求 一个排列的 逆序数的办 法： 从第一 个数开始求， 一个一个求 出，然后相 加
5
4的逆序数
第一讲
解：
行列式概念
例２：求n(n 1)(n 2)2 1的逆序数
n(n 1)(n 2)2 1
n( n 1) 0 1 2 3 ( n 2 ) ( n 1 ) t
0，1，
2, （n-2),(n-1)
例3 求 246 · · · 2n(2n-1) ···31 的逆序数，并指出是奇 排列还是偶排列。
元素总数有２n项，从最后往前看逆序。1前面有2n-1个逆序， 3前面除2以外均为逆序，共有逆序2n-3, ,2n-1前只有2n为 逆序，逆序为1,2n前所有逆序为0,因此，只有后n项有逆序， 逆序数计算如下：
3
123; 132; 213; 231; 312; 321;
本书所指排列均指正整数排列 （１）全排列的种数
Pn n n 1 n 2 3 2 1 n!
3
第一讲
行列式概念
２．逆序数 (1)标准列:按照自然数顺序排列，无逆序，也称逆序为0 (2)逆序：例如：132，〔3，2〕为一个逆序，这个排列只有 1个逆序。 再如：312，〔3，2〕，〔3，1〕均为逆序， 这个排列有2个逆序 (3)逆序数: 一个排列中所有元素逆序之和,一般用t或希腊字 母表示
证明： （1）相邻情形 设 a1 al a b b1 bm 对换a与b成：
a1 alb a b1 bm
当 a b(a b) 时两排列的逆序数相差1，因此奇偶性不同。 （2） 一般地 设 a1 al a b1 bm b c1 cn 经（2m+1)次相邻对换调成 a1 al b b1 bm a c1 cn 仍成立。显然（2m+1)是奇数，相邻对换1次改变1次奇偶性， 对换奇数次改变了奇数次，即改变了奇偶性
7
第一讲
行列式概念
推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成 标准排列的对换次数为偶数。

分析：设奇排列逆序数为奇数r,说明该排列共有r个
逆序，对每一对逆序进行一次对换调成０（无）逆序， 全部r个逆序对换r次，则所有元素全部调成０（无） 逆序，即排列成标准列。即：奇排列对换奇数次调成 标准排列，同理，偶排列对换偶数次调成偶排列。
它是高级技术人员必备的基础理论知识之一。
研究生考试占20％. 作为非数学专业的学生，重点是掌握定义、计算、定 理的结论。
2
第一讲
行列式概念
一、 预备知识：全排列及其逆序数 1.全排列：从ｎ个元素中取ｎ个元素（全取）进行不重复 排列，称作ｎ个元素的全排列。例如：1、2、3三个数的全 排列：有： P 3 2 1 6种，具体是：
8
第一讲
二、行列式定义： 1.二阶行列式定义 （1）定义：表达式：
所确定的二阶行列式 记为 a11 a 21
行列式概念
a11a22 a12a21 称为由
a11 a 21
a12 a 22
a12 a a a a ＝ (1)t ( p p ) a a 11 22Βιβλιοθήκη Baidu12 21 1p 2 p a 22
1 2 1
2
（其中p1 , p2为1、 2的全排列）
数aij 称为行列式的元素（元），有时记为（i, j )元。 其中第一个下标i称为行标，第二个下标称为列标。
（2）计算：对角线法则
根据定义，2阶行列式 符合如右的计算法则：
a11 a12 a21 a22
主对角线 副对角线
9
第一讲
行列式概念
1 3 6 (12) 18 4 6
第一讲
班级：
行列式概念
时间： 年 月 日；星期
教学目的 重点 难点
掌握二阶、三阶及n阶行列式的定义，掌握逆序数 的概念及求法，理解对换概念及性质，熟练掌握特 殊行列式的求法及转置、加法数乘性质
作业
练习册 第1 -1页 第1 题 至 第3 题
注：不交
行列式的定义，特殊行列式的求法 逆序数的定义与求法、行列式定义解析