行列式概念

行列式的认识

行列式的认识行列式（Determinant）是线性代数中的重要概念，它是一个方阵的一个标量值。

行列式可以用于描述线性方程组的解的情况，它能够衡量矩阵的几何性质和线性方程组的解的个数。

一、行列式的定义对于一个n阶方阵A = [a_ij]，其中i和j的取值范围都是1到n，行列式的定义如下：当n=1时，行列式的取值就是矩阵中唯一的元素a_11。

当n>1时，行列式的取值等于所有排列的乘积之和，即det(A) = a_11 * a_22 * ... * a_nn + a_11 * a_23 * ... * a_nn-1 + ... + (-1)^(1+n) * a_1n * a_22 * ... * a_n-1n在上述定义中，排列的符号为(-1)^(1+i)。

二、行列式的性质1. 行列式与转置：行列式的值不变，当A的转置记为A_T时，有det(A) = det(A_T)。

2. 行列式与倍数：若将矩阵A的某一行（列）的元素都乘以一个数k，则行列式的值也会乘以k，即det(kA) = k^n * det(A)。

3. 行列式与行（列）的互换：若交换矩阵A的两行（列），则行列式的值变号，即det(A') = -det(A)，其中A'是A经过行（列）交换得到的矩阵。

4. 行列式与行（列）的线性组合：若将矩阵A的两行（列）相加（减），则行列式的值不变，即det(A'') = det(A)，其中A''是A的两行（列）进行线性组合后得到的矩阵。

5. 上三角矩阵和下三角矩阵的行列式：上三角矩阵的行列式等于主对角线上的元素的乘积，下三角矩阵的行列式也同样。

三、行列式的应用1. 判断矩阵是否可逆：若一个n阶矩阵A的行列式不等于0，那么矩阵A可逆，有唯一解。

2. 线性方程组的解：对于一个n阶的线性方程组，如果系数矩阵的行列式不为0，那么此方程组有唯一解。

当行列式等于0时，方程组可能有无穷多个解或无解。

行列式原始定义

行列式原始定义行列式是线性代数中的一个重要概念，它是一个数学工具，用于描述一个矩阵的性质和特征。

行列式的原始定义是通过矩阵的元素进行计算的。

它是一个标量值，可以用来衡量矩阵的体积、面积或者某种特定性质。

在介绍行列式的原始定义之前，我们先来了解一下什么是矩阵。

矩阵是线性代数中的一个基本概念，它由m行n列的数按一定顺序排列而成。

矩阵可以用来表示一组线性方程的系数或者表示一个线性变换。

行列式的原始定义可以通过递归的方式来构造。

对于一个2x2的矩阵：\[A = \begin{bmatrix}a &b \\c &d \\\end{bmatrix}\]它的行列式定义为：\[det(A) = ad - bc\]其中，a、b、c、d分别为矩阵A的元素。

这个定义可以很直观地理解为矩阵的主对角线上的元素的乘积减去副对角线上的元素的乘积。

对于一个3x3的矩阵：\[A = \begin{bmatrix}a &b &c \\d &e &f \\g & h & i \\\end{bmatrix}\]它的行列式定义为：\[det(A) = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh\]其中，aei、bfg、cdh分别为矩阵A的三个主对角线上的元素的乘积，ceg、bdi、afh分别为矩阵A的三个副对角线上的元素的乘积。

可以看出，随着矩阵的大小增加，行列式的计算变得越来越复杂。

因此，我们需要一种更简洁的方法来计算行列式。

这就引出了行列式的性质和定理。

行列式有许多重要的性质和定理，它们可以用来简化行列式的计算。

其中最重要的性质是行列式的线性性质。

对于一个n阶矩阵A，如果将它的第i行的元素乘以一个数k，并加到第j行上，得到一个新的矩阵B，那么两个矩阵的行列式之间有以下关系：\[det(B) = det(A) + k \cdot det(C)\]其中C是将A的第i行的元素乘以k之后得到的矩阵。

行列式与矩阵的概念

行列式和矩阵是线性代数中的两个核心概念。

1. 行列式：
行列式是一个与方阵相关的标量值。

对于一个n×n的方阵A，其行列式通常用|A| 来表示。

行列式的计算涉及到对矩阵的元素进行排列组合，并按照一定的规则进行相乘和求和。

行列式在线性代数中有着广泛的应用，例如计算矩阵的逆、解线性方程组、判断矩阵是否可逆、计算线性变换的缩放因子等。

行列式的值可以为零，非零行列式表示方阵是可逆的，而零行列式表示方阵是奇异的（不可逆）。

2. 矩阵：
矩阵是由m 行n 列的元素所构成的矩形数组。

通常用大写字母来表示矩阵，例如A、B、C 等。

矩阵中的元素可以是实数或复数。

矩阵的行数和列数分别决定了矩阵的维度。

例如，一个2×3 的矩阵有两行三列，一个3×3 的矩阵具有三行三列。

通过矩阵可以表示线性变换、解线性方程组、描述向量空间的基等。

矩阵之间的运算包括加法、减法和乘法，矩阵与标量之间也可以进行数乘运算。

行列式和矩阵在线性代数中密切相关。

通过行列式，我们可以判断一个矩阵是否可逆，并计算其逆矩阵。

矩阵的行列式还可以帮助我们求解线性方程组。

另外，矩阵的乘法运算也是通过行列式进行定义的。

矩阵的转置、求迹、特征值和特征向量等也是线性代数中重要的概念和运算。

总之，行列式和矩阵是线性代数中的基本概念，它们在数学和应用领域都有着重要的作用。

它们的理论和应用广泛应用于数学、物理、工程、计算机科学等领域。

线性代数知识点总结

线性代数知识点总结1 行列式（一）行列式概念和性质1、逆序数：所有的逆序的总数2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和3、行列式性质：（用于化简行列式）（1）行列互换（转置），行列式的值不变（2）两行（列）互换，行列式变号（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。

（5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。

（6）两行成比例，行列式的值为0。

（二）重要行列式4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则7、n阶（n≥2）范德蒙德行列式数学归纳法证明★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值：（三）按行（列）展开9、按行展开定理：（1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0（四）行列式公式10、行列式七大公式：（1）|kA|=k n|A|（2）|AB|=|A|·|B|（3）|A T|=|A|（4）|A-1|=|A|-1（5）|A*|=|A|n-1（6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则（7）若A与B相似，则|A|=|B|（五）克莱姆法则11、克莱姆法则：（1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解（2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0（3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。

2 矩阵（一）矩阵的运算1、矩阵乘法注意事项：（1）矩阵乘法要求前列后行一致；（2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律）（3）AB=O不能推出A=O或B=O。

行列式的性质及求解方法

行列式的性质及求解方法行列式是线性代数中的一个重要概念，具有广泛的应用领域，例如矩阵求逆、线性方程组的解法、空间向量的叉积等。

在本文中，我们将探讨行列式的性质及其求解方法。

一、行列式的定义及性质1.1 行列式的定义对于一个$n$阶方阵$A=[a_{ij}]$，定义它的行列式为：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\sum_{\sigma \in S_n}(-1)^{\mathrm{sgn}(\sigma)}a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdotsa_{n\sigma(n)}$$其中，$\sigma$是$n$个元素的全排列，$S_n$表示$n$个元素的置换群，$\mathrm{sgn}(\sigma)$表示$\sigma$的符号，即$(-1)^k$，其中$k$为$\sigma$的逆序数。

1.2 行列式的性质- 行列式的值不变性行列式的值只与矩阵的元素有关，而与矩阵的行列变换或线性组合无关。

- 互换矩阵的两行或两列，行列式变号将矩阵的两行（列）互换，则该行列式的值取相反数。

- 矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，行列式的值乘以$k$将矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，则该行列式的值乘以$k$。

- 矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式不变将矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式的值不变。

- 方阵的行列式等于其转置矩阵的行列式$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}$$二、行列式的求解方法2.1 按定义计算法按照上述定义，计算行列式涉及到全排列的遍历与逆序数的计算，这种方法虽然理论上可行，但计算量较大，不适用于较大的矩阵。

行列式的计算方法及其应用

行列式的计算方法及其应用行列式是线性代数中一种非常重要的概念，出现在许多领域中，如数学、物理、工程等。

它是一个方阵中各个元素的代数和，具有非常重要的几何和代数特征，因此也是线性代数学习的基础之一。

一、行列式的定义设有n阶行列式，写成如下形式：$$\Delta_n = \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} \\\vdots &\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} &\cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}$$其中，$a_{ij}$代表矩阵中第i行第j列的元素。

行列式的定义是这样的：设$A$为$n$阶方阵，$a_{i,j}$是$A$的元素，那么行列式$\Delta(A)$定义为：$$\Delta(A) =\sum_{\sigma}{(-1)^\sigma\cdot{a_{1,{\sigma(1)}}}\cdot{a_{2,{\sigma(2)}}}\cdots{a_ {n,{\sigma(n)}}}}$$其中，$\sum_{\sigma}$代表对所有$n$个元素的所有排列求和，$\sigma$是一个排列，并且$\sigma(k)$表示k在$\sigma$中的位置。

二、行列式的计算方法计算行列式有三种方法：直接定义法、代数余子式法和高斯消元法。

直接定义法随着矩阵维度的增加，计算量呈指数级增长，因此较少使用。

代数余子式法和高斯消元法可以将计算行列式的时间复杂度降低到$O(n^3)$，被广泛应用于实际问题中。

1. 直接定义法直接定义法是按照定义计算行列式的方法。

线性代数-行列式(完整版)

01
对于二元一次方程组，可以直接应用克拉默法则求解
未知数。
02
对于三元一次方程组，需要先判断系数矩阵的行列式
是否为零，若不为零，则可以使用克拉默法则求解。
03
对于更高元次的线性方程组，克拉默法则同样适用，
但计算量会随着元次的增加而急剧增大。
矩阵可逆性判别方法
01
一个方阵可逆的充分必要条件是其行列式不等于零。
行列式基本性质
行列式中如果有两行（或两列）元素成比例，则此行列式等于零。
若行列式的某一行（或某一列）的元素都是两数之和，例如第i行的元素都是两数之和：$a_{ij}=b_{ij}+c_{ij}$，则此行列式等于两个行列式之和，这两个行列式的第i行分别为$b_{ij}$和$c_{ij}$，其余各行与原行列式的相应的行相同。
对于一个n阶方阵A，其行列式记作|A|或det(A)，是一个数值。
行列式的值可以通过对矩阵元素进行特定的运算得到，该运算满足一定的性质。
行列式基本性质
行列式与它的转置行列式相等。
交换行列式的两行（或两列），行列式变号。行列式的某一行（或某一列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式。
克拉默法则介绍
克拉默法则（Cramer's Rule）是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理。
该法则适用于具有相同数量方程的方程组，且系数矩阵的行列式不为零的情况。
克拉默法则通过计算系数矩阵的行列式以及将系数矩阵的某一列替换为常数项列后得到的新矩阵的行列式，来求解方程组的解。
克拉默法则在方程组求解中应用
应用领域
范德蒙德行列式在多项式插值、数值分析等领域有广泛应用。
范德蒙德行列式在多项式拟合中应用

同济大学线性代数第六版行列式的定义与性质

同济大学线性代数第六版行列式的定义与性质行列式是线性代数中的一个重要概念，广泛应用于各个领域。

在同济大学线性代数教材的第六版中，对行列式的定义和性质进行了详细的介绍和讲解。

本文将按照该教材的要求，对行列式的定义和性质进行论述，以便帮助读者更好地理解和掌握这一概念。

一、行列式的定义在同济大学线性代数第六版中，行列式的定义如下：给定一个n阶方阵 A = (a[i][j])，其中1≤i, j ≤ n，我们定义A的行列式为Det(A)，记作|A|。

对于一阶方阵来说，其行列式即为该方阵的唯一元素。

对于二阶方阵来说，其行列式的计算公式为：Det(A) = a[1][1]·a[2][2] -a[1][2]·a[2][1]。

对于三阶及以上的方阵，行列式的计算通过递推公式进行。

二、行列式的性质同济大学线性代数第六版还介绍了行列式的一系列性质，我们将逐一进行论述。

性质1：互换行（列）则行列式变号行列式Det(A)中，如果将A中的两行（列）进行互换，则行列式的值会发生变号。

性质2：行/列与常数相乘，则行列式乘以相应的常数行列式Det(A)中，如果将A的某一行（列）的所有元素都乘以一个常数k，则行列式的值也会乘以k。

性质3：行/列成比例，则行列式为0行列式Det(A)中，如果A的某行（列）的元素之间成比例，则行列式的值为0。

性质4：两行（列）相同，则行列式为0行列式Det(A)中，如果A的两行（列）完全相同，则行列式的值为0。

性质5：行列式的任意一行（列）可以表示为其他行（列）的线性组合行列式Det(A)中，任意一行（列）可以表示为其他行（列）的线性组合。

性质6：行列式的行（列）元素交换，行列式变号行列式Det(A)中，如果将A的两行（列）进行交换，则行列式的值会发生变号。

除了以上性质，同济大学线性代数第六版中还介绍了更多关于行列式的性质，这里不再一一列举。

三、行列式的应用行列式在线性代数中具有广泛的应用。

行列式概念及其关键概念1. 定义行列式（determinant）是矩阵的一个重要指标，在线性代数中起到了至关重要的作用。

行列式是一个标量（scalar），用于表示一个矩阵的性质和特征。

对于一个n阶方阵A，其行列式的定义如下：设A为n阶矩阵，A的元素 aij 是一个n行n列的矩阵则A的行列式记作 |A| 或 det(A)，定义为： |A| = {p} (-1)^p a{1p1} a_{2p2} … a_{npn} 其中p是Sn的元素，Sn是n个元素的置换群。

p1, p2, …, pn是一个排列。

(-1)^p表示符号，若p的逆序数为偶数，则取正号，否则取负号。

此定义适用于n阶矩阵A，其中n为正整数。

2. 关键概念2.1 代数余子式对于矩阵A的元素a_{ij}，其代数余子式定义为M_{ij}: M_{ij} = (-1)^{i+j}|A_{ij}| A_{ij}表示将第i行和第j列剔除后的(n-1)阶矩阵。

计算代数余子式时，我们需要递归地计算小于n阶矩阵的行列式。

2.2 余子式矩阵对于n阶矩阵A，其余子式矩阵C定义为： C = (M_{ij}) 即，矩阵C的每一个元素都是A的代数余子式。

2.3 伴随矩阵对于n阶矩阵A，其伴随矩阵A定义为： A = C^T 即，伴随矩阵是余子式矩阵的转置。

2.4 逆矩阵对于n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵，则称A为可逆矩阵，B称为A的逆矩阵，记作A^{-1}。

利用行列式，我们可以得到矩阵的逆矩阵的计算公式： A^{-1} = A^其中，|A|表示矩阵A的行列式，A 表示矩阵A的伴随矩阵。

3. 重要性3.1 线性方程组的解行列式在解线性方程组时起到了重要的作用。

对于线性方程组Ax=b，其中A是一个n阶方阵，b是一个n维向量，x是一个n维向量。

如果行列式|A|不为零，则方程组有唯一解x=A^{-1}b。

如果|A|=0，方程组可能无解或有无穷多个解。

线性代数计算行列式

线性代数计算行列式行列式是线性代数中的一个重要概念，用于刻画矩阵的性质和运算。

行列式可以看做是一个线性变换对体积的放缩比例，它可以用来描述矩阵的可逆性、线性相关性、多项式方程的根等。

本文将从行列式的定义、性质、计算方法以及一些应用等方面详细介绍线性代数中行列式的相关知识。

首先，我们来定义什么是行列式。

给定一个n阶矩阵A = [a_ij]（其中i表示行数，j表示列数），则A的行列式记作，A，或det(A)，它是一个标量，表示一个n维线性变换的放缩比例。

根据矩阵的行列数不同，行列式可以分为一阶行列式、二阶行列式、三阶行列式等。

一阶行列式就是一个数本身，即，a，=a。

二阶行列式的计算公式如下：，A，=a_11*a_22-a_12*a_21三阶行列式的计算公式如下：，A，=a_11*a_22*a_33+a_12*a_23*a_31+a_13*a_21*a_32-a_13*a_22*a_31-a_11*a_23*a_32-a_12*a_21*a_33根据行列式的定义，我们可以推导出一些重要的性质：1. 行列式与转置：对于任意的n阶矩阵A，有det(A) = det(A^T)。

2. 行列式的性质：如果A的行元素全为0，则det(A) = 0。

如果A的两行元素相同，则det(A) = 0。

如果A的行元素与另一行元素成比例，则det(A) = 0。

3. 行列式的性质：行列式的值不变，当交换A的两行或两列的顺序时。

即det(A) = det(A')，其中A'是A的两行或两列交换后得到的矩阵。

4. 行列式的性质：如果A的行元素加上行元素的k倍得到B，则det(B) = det(A)。

有了这些性质，我们可以通过行列式的性质进行计算，并进行一些变换，使得计算行列式的过程更加简单。

下面，我们来介绍一些行列式的计算方法：1.二阶行列式的计算：根据二阶行列式的计算公式，直接计算即可。

2.三阶及以上的行列式的计算：一般采用代数余子式和按行展开的方法。

行列式的定义计算方法

行列式的定义计算方法行列式是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵和向量运算中起着重要的作用。

行列式的定义和计算方法是线性代数学习中的基础知识之一，下面我们将详细介绍行列式的定义和计算方法。

首先，行列式是一个关于矩阵的特征量，它是一个标量，可以用来描述矩阵的某些性质。

对于一个n阶方阵A，其行列式记作det(A)或|A|，其中n表示矩阵的阶数。

行列式的计算方法有多种，下面我们将介绍最常用的方法之一——按行（列）展开法。

假设有一个3阶方阵A，其行列式记作|A|，按行展开法的计算步骤如下：1. 选择第一行（或第一列）的元素，记为a11，并在其上方画一条横线和一条竖线，将矩阵A分成n-1个n-1阶的子矩阵。

2. 对每个n-1阶子矩阵重复上述步骤，直到计算出n-1阶行列式。

3. 将每个n-1阶行列式与其对应的元素相乘，并根据正负号规则相加，得到最终的n阶行列式的值。

例如，对于一个3阶方阵A，其行列式计算公式如下：|A| = a11 |A11| a12 |A12| + a13 |A13|。

其中，A11、A12、A13分别表示去掉第一行和第一列后的2阶子矩阵，a11、a12、a13分别表示第一行的元素。

根据这个公式，我们可以依次计算出每个2阶子矩阵的行列式，然后按照公式相乘并相加，最终得到3阶方阵A的行列式的值。

除了按行展开法，还有其他计算行列式的方法，如拉普拉斯展开法、特征值法等。

不同的方法适用于不同的情况，但按行（列）展开法是最基础、最常用的方法之一。

在实际应用中，行列式的计算方法可以帮助我们求解线性方程组的解、判断矩阵的可逆性、计算矩阵的逆等问题。

因此，掌握行列式的定义和计算方法对于理解线性代数的基本原理和应用具有重要意义。

总之，行列式是线性代数中的重要概念，其定义和计算方法是线性代数学习的基础知识。

通过本文的介绍，相信读者对行列式的定义和计算方法有了更清晰的认识，希望能够对大家的学习和应用有所帮助。

什么是行列式,如何用行列式求解方程组？

什么是行列式，如何用行列式求解方程组？2033年，人工智能技术已经飞跃式发展，但是在数学领域，行列式的相关概念仍然是必不可少的基础知识。

正如我们所知，行列式是矩阵所独有的一个量，它的大小能够反映出矩阵的很多特征，比如线性变换中的体积伸缩因子，或者矩阵中的线性无关方程组的解的情况。

在这篇文章中，我们就来深入了解一下什么是行列式，以及如何运用行列式来解决复杂的线性方程组。

什么是行列式？行列式是一种非常重要的概念，它与矩阵密切相关。

行列式可以帮助我们判断一个矩阵是否可逆，也可以用来求解线性方程组的解。

在数学中，行列式被定义为一个二次矩阵的标量值。

行列式的大小通常被用来定义线性系统的“体积”，这个体积反映了矩阵的重要特征。

我们来看看一个2x2的矩阵A（A=[a11, a12; a21, a22]）的行列式的计算方式，如下图所示：![image.png](attachment:image.png)其中，|A|表示矩阵A的行列式值，对角线乘积之差的结果即为所求。

而对于任意n x n的矩阵A的行列式，其计算方式如下所示：![image-2.png](attachment:image-2.png)可以看出，行列式的计算需要通过相邻行/列的线性组合来求解，其运算过程比较繁琐，需要细致的运算和推导。

行列式的求解实例现在我们来看看一个例子，如何用行列式求解一个线性方程组。

假设我们有一个线性方程组，如下所示：x + 2y + 3z = 12x + 5y + 2z = -1y + z = 1这是一个3 x 3的线性方程组，我们可以将其表示为矩阵形式：![image-3.png](attachment:image-3.png)现在我们来计算这个矩阵的行列式：![image-4.png](attachment:image-4.png)计算后得到的结果为-5，也就是说，这个矩阵的行列式值为-5。

这表明，这个矩阵是可逆的，同时我们也可以得到它的逆矩阵，即下面的矩阵：![image-5.png](attachment:image-5.png)接下来，我们就可以用这个逆矩阵来解决原始的线性方程组了。

第二讲行列式

i =2 n
a1 D2 = c1
n
b1 = a1d1 b1c1 d1
得
D2 n = ∏ (ai di bi ci )
i =1
计算下列行列式: 例3. 计算下列行列式:
x b1 D = b2 M bn a1 c1 0 M 0 a2 L an 0 L 0 0 M c2 L M O 0
L cn
解:该行列式的特点是:非零元素分布在第一行,列该行列式的特点是:非零元素分布在第一行, 及主对角线上, 形分布.根据这一特点, 及主对角线上,成"爪"形分布.根据这一特点,可借助主对角线上的元素利用倍加变换将第一行(列)元素化为主对角线上的元素利用倍加变换将第一行( 即可. 零.即可.
aj cj r j +1 + r1
D
j =1,L, n
=
n a b j j ∏ ci x ∑ c j =1 i =1 j n
1 + x12 x2 x1 L xn x1 2 x1 x2 1 + x2 L xn x2 例4 计算 Dn = M M M 2 x1 xn x2 xn L 1 + xn
bn
0 N
a b c d
1 1
0 O
d n 1 0 0 dn
c c
n
n 1
d
0
n 1
0
都按最后一行展开
an d n D2 n2 bn cn D2 n2
由此得递推公式: 由此得递推公式: D2 n = (an d n bn cn ) D2 n 2 即而
D2 n = ∏ (ai di bi ci ) D2
(8)计算 (8)计算 D2 n = 0
;
an O

行列式的定义是什么

行列式的定义是什么行列式在数学中，是由解线性方程组产生的一种算式。

行列式的定义是什么?以下是店铺为大家整理的关于行列式的定义，欢迎大家前来阅读!行列式的定义一个矩阵A的行列式有一个乍看之下很奇怪的定义：其中s g n(σ)是排列σ的符号差。

对于比较小的矩阵，比如说二阶和三阶的矩阵，行列式表达如下，有些像是主对角线(左上至右下)元素的乘积减去副对角线(右上至左下)元素的乘积(见图中红线和蓝线)。

2阶： 3阶：。

但对于阶数较大的矩阵，行列式有 n!项，并不是这样的形式。

二维向量组的行列式行列式是向量形成的平行四边形的面积设P是一个二维的有向欧几里得空间，即一个所谓的欧几里得平面。

两个向量 X和X’的行列式是：经计算可知，行列式表示的是向量 X和X ’形成的平行四边形的有向面积。

并有如下性质：行列式为零当且仅当两个向量共线(线性相关)，这时平行四边形退化成一条直线。

如果以逆时针方向为正向的话，有向面积的意义是：平行四边形面积为正当且仅当向量X和X’逆时针排列(如图)。

行列式是一个双线性映射。

三维向量组的行列式设E是一个三维的有向欧几里得空间。

三个三维向量的行列式是：这时的行列式表示 X、X’和X’’三个向量形成的平行六面体的有向体积，也叫做这三个向量的混合积。

同样的，可以观察到如下性质：行列式为零当且仅当三个向量共线或者共面(三者线性相关)，这时平行六面体退化为平面图形，体积为零。

这时行列式是一个“三线性映射”，也就是说，对第一个向量有，对第二、第三个向量也是如此。

基底选择在以上的行列式中，我们不加选择地将向量在所谓的正交基下分解，实际上在不同的基底之下，行列式的值并不相同。

这并不是说平行六面体的体积不唯一。

恰恰相反，基底变换可以看作线性映射对基的作用，而不同基底下的行列式代表了基底变换对“体积”的影响。

可以证明，对于所有同定向的标准正交基底，向量组的行列式的值是一样的。

也就是说，如果我们选择的基底都是“单位长度”，并且两两正交，那么在这样的基底之下，平行六面体的体积是唯一的。

行列式按行列展开法则

行列式按行列展开法则行列式是线性代数中的一个重要概念，它是一个数学对象，用于描述矩阵的性质和特征。

行列式按行列展开法则是计算行列式的一种方法，它可以帮助我们快速准确地求解任意阶行列式的值。

本文将介绍行列式按行列展开法则的基本原理和具体计算步骤。

1. 行列式的定义在介绍行列式按行列展开法则之前，首先需要了解行列式的定义。

一个n阶方阵A的行列式记作|A|，它是一个数值，表示由矩阵A的元素所确定的一个量。

对于2阶矩阵：A = |a11 a12||a21 a22|其行列式的计算公式为：|A| = a11 * a22 - a12 * a21对于3阶矩阵：A = |a11 a12 a13||a21 a22 a23||a31 a32 a33|其行列式的计算公式为：|A| = a11 * a22 * a33 + a12 * a23 * a31 + a13 * a21 * a32 - a13 * a22 * a31 - a11 * a23 * a32 - a12 * a21 * a33对于n阶矩阵，行列式的计算公式较为复杂，因此需要借助行列式按行列展开法则来简化计算过程。

2. 行列式按行列展开法则的基本原理行列式按行列展开法则是通过递归的方式将一个n阶行列式的计算问题转化为n-1阶行列式的计算问题，从而简化计算过程。

具体来说，对于一个n阶矩阵A，其行列式的计算可以按照以下步骤进行：（1）选择矩阵A的第i行（或第j列）进行展开，记作Ai （或Aj）；（2）对于展开后的行列式Ai（或Aj），将其每个元素乘以对应的代数余子式，并加上符号因子后相加，得到展开后的行列式的值。

符号因子的计算规则为：若i+j为偶数，则符号因子为正号；若i+j为奇数，则符号因子为负号。

通过以上步骤，可以将一个n阶行列式的计算问题转化为n-1阶行列式的计算问题，从而简化计算过程。

3. 行列式按行列展开法则的具体计算步骤接下来，我们以一个3阶矩阵的行列式为例，介绍行列式按行列展开法则的具体计算步骤。

数学三【线性代数】第一章行列式(概念整理)

7. 行列式的某行（或列）元素与另一行（或列）元素的代数余子式之积的和为零.
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二、行列式理论在线性方程组中的应用——克莱姆法则
对方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0, a x a x a x 0, 21 1 22 2 2n n an1 x1 an 2 x2 ann xn 0
a12 a1n a11 ai 2 bi 2 ain bin ai1 an 2 ann an1
a12 a1n a11 ai 2 ain bi1 an 2 ann an1
a12 a1n bi 2 bin . an 2 ann
原来的排列次序构成的 n 1 阶行列式,称为元素 aij 的余子式,记为 M ij ,称
Aij (1)i j M ij 为元素 aij 的代数余子式.
（二）几个特殊的高阶行列式
a1 0 1. 对角行列式——形如 0
于其对角线上元素之积.
0 0 a2 0 ,称为对角行列式,对角行列式等 0 an a12 a1n a11 a22 a2 n a21 及 0 ann an1 0 0 a22 0 为 an 2 ann
5. 行列式的某行（或列）的倍数加到另一行（或列）,行列式不变,即
a1n a11 ain ai1 ka j1 a jn a j1 ann an1
a12 ai 2 ka j 2 a j2 an 2
a1n ain ka jn , 其中 k 为任 a jn ann
a11 0 2. 上（下）角行列式——称 0
上三角行列式和下三角行列式,他们都等于主对角线上的元素之积.

行列式概要

a11 a12 a1n
a21
a22
a2n
＝ai1 Ai1
ai 2
Ai 2
ain
Ain
an1 an2 ann
Aij表示所有含有aij的项在提出公因子aij之后的代数和
a11 a12 a13 a21 a22 a23
行列式按某行展开
a31 a32 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a21 a22
表示代数和 a11a22 a12a21 称为二阶行列式, 即
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21
二元一次方程组
a11a22 a12a21 0,
的唯一解为
aa2111xx11
a12 a22
x2 x2
b1 b2
b1 a12
a11 b1
x1
b2 a11
a22 , a12
性质6 把一行的倍数加到另一行，行列式不变。
a11
a12
a1n
a11 a12 a1n
ai1
ai 2
ain
ai1 ai2 ain
ak1 cai1 ak 2 cai2 akn cain
ak1 ak 2 akn
a11 a12 a1n
kai1 kai2 kain ＝k ai1 ai2 ain
an1 an2 ann
an1 an2 ann
推论 :如果行列式中某一行为零，那么行列式为零。
性质3
a11
a12
b1 c1 b2 c2
an1
an2
a11 a12 a1n a11
b1 b2 bn c1
an1 an2 ann an1

行列式的定义计算方法

行列式的定义计算方法行列式是线性代数中一个重要的概念，用于描述线性方程组的解的性质。

行列式广泛应用于数学、物理、工程等领域，具有重要的理论和实际价值。

本文将详细介绍行列式的定义和计算方法，并通过实例加以说明。

行列式是线性代数中独特的一个概念，它起源于19世纪初，由日本数学家关孝和引入并发展起来。

行列式在线性代数中具有非常重要的地位，它与线性方程组的解有密切的关联。

掌握行列式的定义和计算方法，对于理解线性代数的相关概念和解决实际问题具有重要的意义。

一、行列式的定义行列式是一个方阵的一个标量值，它可以用来判断矩阵的很多性质和计算线性方程组的解。

对于一个n阶矩阵A=(a_ij)，它的行列式记作det(A)，其中a_ij表示在矩阵A中第i行、第j列的元素。

二、行列式的计算方法1. 二阶行列式的计算：对于一个2x2的矩阵A=(a_11 a_12; a_21 a_22)，它的行列式计算公式为：det(A) = a_11 * a_22 - a_12 * a_212. 三阶行列式的计算：对于一个3x3的矩阵A=(a_11 a_12 a_13; a_21 a_22 a_23; a_31 a_32 a_33)，它的行列式计算公式为：det(A) = a_11 * a_22 * a_33 + a_12 * a_23 * a_31 + a_13 * a_21 * a_32- a_31 * a_22 * a_13 - a_32 * a_23 * a_11 - a_33 * a_21 * a_123. 高阶行列式的计算：对于高于三阶的行列式，我们通常使用拉普拉斯展开法来计算。

选择行或列，然后对该行或列的元素依次乘以其代数余子式，再按正负号加和，即可得到行列式的值。

【举例说明】为了更好地理解行列式的计算方法，我们通过一个实例来进行说明。

考虑一个3x3的矩阵A=(1 2 3; 4 5 6; 7 8 9)，我们将按照上述的计算方法来求解其行列式值。

行列式的三种定义

行列式的三种定义
行列式是矩阵理论中的一个重要概念，它在线性代数、微积分、微分方程等数学领域中都有广泛的应用。

行列式的概念可以通过三种不同的方式进行定义。

第一种定义是代数定义，即行列式是一个多项式，它的系数是矩阵中不同行不同列元素的乘积。

例如，一个2×2矩阵的行列式可以表示为(ad-bc)。

这种定义方法可以通过展开式来计算行列式的值。

第二种定义是几何定义，即行列式表示由矩阵列向量组成的平行六面体的有向体积。

例如，一个2×2矩阵的行列式可以表示为由列向量组成的平行四边形的面积。

这种定义方法非常直观，也可以用来解释行列式的一些性质。

第三种定义是线性映射定义，即行列式是一个线性映射对空间体积的缩放因子。

例如，一个2×2矩阵的行列式表示由线性映射所作用的空间体积的缩放因子。

这种定义方法适用于更高维的矩阵，也可以解释为行列式的性质。

这三种定义方法可以互相转化，可以根据具体情况选择不同的定义方法来计算行列式的值。

在实际应用中，三种定义方法都有其独特的优势。

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