函数图象对称性的研究
函数与图像的对称性
函数与图像的对称性在数学中，函数与图像之间存在着一种特殊的关系，那就是对称性。
对称性是数学中一个重要的概念，它可以帮助我们更好地理解函数的性质和图像的形态。
一、关于对称轴的对称性首先，我们来讨论一下函数关于对称轴的对称性。
对称轴是指函数图像上的一条直线，当函数关于该直线对称时，我们称之为关于对称轴的对称性。
以二次函数为例，二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c。
当二次函数的二次项系数a为正数时，函数图像开口向上，此时函数关于y轴对称；当a为负数时，函数图像开口向下，此时函数关于x轴对称。
对于一般的函数，我们可以通过观察函数的表达式来判断其是否具有关于对称轴的对称性。
例如，对于函数y=sin(x)，我们知道正弦函数的图像关于原点对称。
同样地，对于函数y=cos(x)，我们知道余弦函数的图像关于y轴对称。
二、关于原点的对称性除了对称轴的对称性，函数还可以具有关于原点的对称性。
当函数图像关于原点对称时，我们称之为关于原点的对称性。
对于奇函数来说，它具有关于原点的对称性。
奇函数的特点是f(-x)=-f(x)，也就是说，当x取相反数时，函数值也取相反数。
例如，函数y=x^3就是一个奇函数，它的图像关于原点对称。
相比之下，偶函数具有关于y轴的对称性。
偶函数的特点是f(-x)=f(x)，也就是说，当x取相反数时，函数值保持不变。
例如，函数y=x^2就是一个偶函数，它的图像关于y轴对称。
三、关于倒影的对称性除了对称轴和原点的对称性，函数还可以具有关于倒影的对称性。
当函数图像关于某一直线倒影时，我们称之为关于倒影的对称性。
以指数函数为例，指数函数的一般形式为y=a^x。
当指数函数的底数a大于1时，函数图像是递增的，没有关于倒影的对称性。
然而，当底数a小于1时，函数图像是递减的，并且关于y轴有关于倒影的对称性。
此外，对数函数也具有关于倒影的对称性。
对数函数的一般形式为y=log_a(x)，当底数a大于1时，函数图像是递增的，没有关于倒影的对称性。
一次函数图像的对称性
一次函数图像的对称性一次函数是数学中的基础函数之一，其图像通常为一条直线。
当我们研究一次函数的图像时，不仅需要了解其特点和性质，还需要关注其对称性。
一次函数的对称性是指其图像在坐标轴上的某种对称关系，下面将从水平对称和垂直对称两个方面来探讨一次函数图像的对称性。
首先，我们来看水平对称。
一次函数的普遍表达式为 y = kx + b，其中 k 表示斜率，b 表示截距。
如果一次函数的图像在直线 y = m（m为常数）关于 x 轴对称，即函数图像与 x 轴关于直线 y = m 对称，那么这个函数具有水平对称性。
水平对称是指当函数图像关于某条水平直线对称时，函数的图像在这条水平直线两侧完全重合。
在数学上，我们可以通过一次函数的表达式来确定函数图像是否具有水平对称性。
当 k = 0 时，即函数为 y = b（b 为常数）时，函数的图像是一条水平线，具有水平对称性。
当k ≠ 0 时，即函数为 y = kx + b（b ≠ 0）时，函数的图像在直线 y = b 关于 x 轴对称，则具有水平对称性。
接下来，我们来看垂直对称。
一次函数的图像如果在直线 x = n（n为常数）关于 y 轴对称，那么这个函数具有垂直对称性。
垂直对称是指当函数图像关于某条垂直直线对称时，函数的图像在这条垂直直线两侧完全重合。
在数学上，我们可以通过一次函数的表达式来确定函数图像是否具有垂直对称性。
当 k = 0 时，即函数为 y = b（b 为常数）时，函数的图像是一条水平线，不具有垂直对称性。
当k ≠ 0 且 b = 0 时，即函数为 y = kx 时，函数的图像在原点处关于 y 轴对称，则具有垂直对称性。
总结一次函数的对称性，水平对称是指函数图像关于某条水平直线对称，垂直对称是指函数图像关于某条垂直直线对称。
掌握一次函数的对称性可以帮助我们更好地理解函数的性质和特点，对数学的学习和应用具有重要意义。
希望通过本文的介绍，读者能够更深入地了解一次函数图像的对称性。
三角函数的像对称性与对称轴分析
三角函数的像对称性与对称轴分析三角函数是数学中常见的函数类型之一，它包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）等。
其中，正弦函数和余弦函数在图像上展现出像对称性，并且在对称轴上具有特殊的性质。
本文将着重分析三角函数的像对称性以及对称轴的特点。
一、正弦函数的像对称性与对称轴分析正弦函数的表达式为：y = sin(x)。
我们可以通过对其图像进行观察来探究其像对称性和对称轴的情况。
1. 像对称性观察正弦函数的图像，我们可以发现它在原点（0,0）处具有像对称性。
即，对于任意实数a，都有sin(-a) = -sin(a)。
这意味着，如果一个角度a使得sin(a)等于某个特定的值，那么角度-a也将使得sin(-a)等于这个特定的值。
这种像对称性在数学运算和图像分析中具有重要的作用。
2. 对称轴正弦函数的图像相对于x轴是关于原点对称的。
也就是说，如果通过将正弦函数的图像沿着x轴翻转，那么翻转后的图像与原图像完全重合。
因此，x轴即为正弦函数的对称轴。
二、余弦函数的像对称性与对称轴分析余弦函数的表达式为：y = cos(x)。
我们同样可以通过观察余弦函数的图像来研究其像对称性和对称轴的特点。
1. 像对称性余弦函数也具有像对称性，即对于任意实数a，都有cos(-a) = cos(a)。
如果一个角度a使得cos(a)等于某个特定的值，那么角度-a也将使得cos(-a)等于这个特定的值。
这种像对称性与正弦函数的像对称性相似，可以在数学运算和图像分析中发挥重要作用。
2. 对称轴余弦函数的图像相对于y轴是关于原点对称的。
也就是说，如果通过将余弦函数的图像沿着y轴翻转，那么翻转后的图像与原图像完全重合。
因此，y轴即为余弦函数的对称轴。
三、三角函数的常见性质除了像对称性和对称轴这两个特点之外，三角函数还具有其他一些常见的性质。
以下列举其中几个重要的性质：1. 周期性正弦函数和余弦函数是周期函数，它们的周期都是2π。
函数图像的对称性与单调性的研究与应用
函数图像的对称性与单调性的研究与应用函数是数学中的重要概念，用于描述变量之间的关系。
而函数图像的对称性与单调性是研究函数特性的重要内容。
本文将从理论和实际应用的角度，探讨函数图像的对称性与单调性。
一、对称性的研究与应用1.1 点对称性在函数图像中，如果存在一点P，对于图像上任意一点Q，都有关于点P对称的点R，那么称函数图像具有点对称性。
点对称轴就是过点P的垂直线。
点对称性在数学中有广泛的应用，如求解方程、证明等。
例如，对于函数y = x^2，其图像关于y轴对称，这意味着当x取正值和负值时，函数值相等，这种对称性可以简化计算。
1.2 奇偶对称性函数图像的奇偶性是指函数关于y轴或原点的对称性。
如果函数满足f(-x) =f(x)，则称其为偶函数；如果满足f(-x) = -f(x)，则称其为奇函数。
奇偶性在函数的积分计算、函数的性质证明等方面有重要应用。
例如，函数y = x^3是一个奇函数，其图像关于原点对称，这意味着当x取正值和负值时，函数值的正负相等。
二、单调性的研究与应用2.1 单调递增性函数图像的单调递增性是指函数在定义域上的任意两个点，若x1 < x2，则有f(x1) ≤ f(x2)。
单调递增性在优化问题、最值求解等方面有应用。
例如，对于函数y = x^2，在定义域上是单调递增的，这意味着当x1 < x2时，x1^2 ≤ x2^2。
2.2 单调递减性函数图像的单调递减性是指函数在定义域上的任意两个点，若x1 < x2，则有f(x1) ≥ f(x2)。
单调递减性也在优化问题、最值求解等方面有应用。
例如，对于函数y = -x^2，在定义域上是单调递减的，这意味着当x1 < x2时，-x1^2 ≥ -x2^2。
三、对称性与单调性的应用举例3.1 函数图像的变换对称性与单调性的研究可以帮助我们理解函数图像的变换规律。
例如，对于函数y = x^2，我们知道它关于y轴对称，那么当我们对其进行平移、缩放等变换时，可以利用对称性来简化计算。
函数的对称性
一、函数自身的对称性探究定理1.函数y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是f (x) + f (2a－x) = 2b证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P'（2a－x，2b－y）也在y = f (x)图像上，∴2b－y = f (2a－x)即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证。
（充分性）设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0)∵ f (x) + f (2a－x) =2b∴f (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 。
故点P'（2a－x0，2b－y0）也在y = f (x) 图像上，而点P与点P'关于点A (a ,b)对称，充分性得征。
推论：函数y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (－x) = 0定理2. 函数y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x) （证明留给读者）推论：函数y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) = f (－x)定理3. ①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。
②若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。
③若函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称又关于直线x =b成轴对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期。
函数图像分析：分析函数图像
函数图像分析：分析函数图像函数图像是数学中一个重要的概念，通过分析函数图像，我们可以深入理解函数的性质和特点。
本文将从图像的对称性、增减性、极值点、拐点以及特殊函数的图像等角度，进行函数图像的详细分析。
一、图像的对称性函数图像的对称性可以帮助我们更好地理解函数的性质。
主要有以下几种对称性：1. 奇对称：函数图像关于坐标原点对称。
例如，y = sin(x)函数的图像就是奇对称的，即在原点处对称。
2. 偶对称：函数图像关于y轴对称。
例如，y = x^2函数的图像是偶对称的，即在y轴上对称。
3. 平移对称：函数图像在某一平移变换下保持不变。
例如，y = 2^x 中的图像在平移变换2单位向上后保持不变。
二、图像的增减性通过观察函数图像的增减性，我们可以了解函数在不同区间内的增减趋势。
主要有以下几种情况：1. 递增：函数图像在某一区间上单调递增。
例如，y = x函数在整个定义域上都是递增的。
2. 递减：函数图像在某一区间上单调递减。
例如，y = -x函数在整个定义域上都是递减的。
3. 局部极值点：函数图像在某一区间上有极大值或极小值。
通过求导可确定函数图像的极值点。
三、图像的极值点函数图像的极值点反映了函数的最值情况。
可以通过求导数的方式来确定函数图像的极值点。
1. 极大值点：函数图像在该点附近局部最大。
求导数后，导数为0，且由正变负。
2. 极小值点：函数图像在该点附近局部最小。
求导数后，导数为0，且由负变正。
四、图像的拐点函数图像的拐点是指函数曲线的凹凸性发生改变的点。
可以通过求导数的二阶导数来确定函数图像的拐点。
1. 凹点：函数图像在该点附近向下凹陷。
求二阶导数后，导数大于0。
2. 凸点：函数图像在该点附近向上凸起。
求二阶导数后，导数小于0。
五、特殊函数的图像1. 幂函数：幂函数的图像可以分为几种情况。
当指数n为正数时，幂函数图像随着自变量的增大而增大；当指数n为负数时，幂函数图像随着自变量的增大而减小。
寻找函数的图像对称
寻找函数的图像对称对于函数的图像对称，我们可以通过以下几种方法进行寻找。
一、关于y轴对称如果一个函数f(x)关于y轴对称，那么对于任意x值，有f(x)=f(-x)。
以一元二次函数y=ax^2为例，其中a为常数。
我们可以通过代入法来验证函数是否关于y轴对称。
将x代为-x，即有f(-x)=a(-x)^2=ax^2=f(x)。
因此，一元二次函数关于y轴对称。
二、关于x轴对称如果一个函数f(x)关于x轴对称，那么对于任意x值，有f(x)=-f(-x)。
以正弦函数y=sin(x)为例。
我们可以使用代入法验证函数是否关于x轴对称。
将x代为-x，即有f(-x)=sin(-x)=-sin(x)=-f(x)。
因此，正弦函数关于x轴对称。
三、关于原点对称如果一个函数f(x)关于原点对称，那么对于任意x值，有f(x)=-f(-x)。
以绝对值函数y=|x|为例。
我们可以使用代入法验证函数是否关于原点对称。
将x代为-x，即有f(-x)=|-x|=|x|=f(x)。
因此，绝对值函数关于原点对称。
除了以上三种常见的对称性，还有其他特殊的函数图像对称形式。
四、奇函数和偶函数对于奇函数，当x属于定义域时，有f(-x)=-f(x)。
奇函数的图像关于坐标原点对称。
对于偶函数，当x属于定义域时，有f(-x)=f(x)。
偶函数的图像关于y轴对称。
最后，需要注意的是，某些函数具有多种对称性，而某些函数可能没有对称性。
通过寻找函数的图像对称，可以帮助我们更好地理解函数的性质，并在数学问题中减少计算的复杂度。
这对于解题和分析函数的行为非常有帮助。
因此，在数学学习中，掌握并运用函数的图像对称性是很重要的。
函数图像的对称性与拐点的研究与应用
函数图像的对称性与拐点的研究与应用函数是数学中的重要概念，它描述了数值之间的关系。
在函数图像的研究中，对称性和拐点是两个重要的概念。
它们不仅有助于我们理解函数的性质，还在实际应用中发挥着重要的作用。
对称性是指函数图像在某个轴或某个点上具有镜像对称的性质。
常见的对称性包括关于x轴对称、关于y轴对称和关于原点对称。
对称轴可以是x轴、y轴或者是斜线。
对称性的研究可以帮助我们快速了解函数的图像，从而更好地分析函数的性质。
首先，考虑关于x轴对称的函数。
对于这类函数，如果对于任意x，有f(x) = f(-x)，那么函数图像关于x轴对称。
例如，对于函数y = x^2，我们可以发现它关于x轴对称。
这种对称性可以帮助我们快速确定函数的图像形状，从而更好地理解函数的行为。
其次，考虑关于y轴对称的函数。
对于这类函数，如果对于任意x，有f(x) = f(-x)，那么函数图像关于y轴对称。
例如，对于函数y = sin(x)，我们可以发现它关于y轴对称。
这种对称性可以帮助我们确定函数的图像在y轴两侧的对称性，从而更好地分析函数的周期性和对称性。
最后，考虑关于原点对称的函数。
对于这类函数，如果对于任意x，有f(x) = -f(-x)，那么函数图像关于原点对称。
例如，对于函数y = x^3，我们可以发现它关于原点对称。
这种对称性可以帮助我们确定函数的图像在四个象限的对称性，从而更好地了解函数的整体形状。
除了对称性，拐点也是函数图像研究中的重要概念。
拐点是指函数图像在某个点处由凹转凸或由凸转凹的点。
在数学上，我们可以通过求函数的二阶导数来确定函数的拐点。
如果函数的二阶导数存在且在某个点处为零，那么该点就是函数的拐点。
拐点在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在工程设计中，我们常常需要确定一条曲线的最高点或最低点，这就需要找出函数的拐点。
此外，在经济学和物理学中，拐点也常常用于分析曲线的变化趋势和临界点。
总之，函数图像的对称性与拐点是函数研究中的重要概念。
知识点：函数的对称性总结
知识点：函数的对称性总结函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。
函数的性质是竞赛和高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美。
本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质。
一、函数自身的对称性探究定理1.函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是f (x) + f (2a－x) = 2b证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P'（2a－x，2b－y）也在y = f (x)图像上， 2b－y = f (2a－x)即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证。
（充分性）设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0)∵ f (x) + f (2a－x) =2bf (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 。
故点P'（2a－x0，2b－y0）也在y = f (x) 图像上，而点P与点P'关于点A (a ,b)对称，充分性得征。
推论：函数 y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (－x) = 0定理2. 函数 y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x) （证明留给读者）推论：函数 y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) = f (－x)定理3. ①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（ab），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。
高中数学函数图像的对称与周期性
高中数学函数图像的对称与周期性在高中数学中，函数图像的对称性和周期性是一个非常重要的概念。
对称性是指函数图像关于某个轴或点对称，而周期性是指函数在一定区间内以某个固定的周期重复。
一、对称性1. 关于y轴对称当一个函数图像关于y轴对称时，意味着对于函数中的任意一点(x, y)，点(-x, y)也在函数图像上。
这种对称性可以用来简化函数图像的绘制和分析。
例如，考虑函数y = x^2，它是一个二次函数，具有关于y轴对称的性质。
我们可以通过绘制函数图像的一部分，再利用对称性得到完整的图像。
2. 关于x轴对称当一个函数图像关于x轴对称时，意味着对于函数中的任意一点(x, y)，点(x, -y)也在函数图像上。
这种对称性也可以用来简化函数图像的绘制和分析。
例如，考虑函数y = sin(x)，它是一个正弦函数，具有关于x轴对称的性质。
我们可以通过绘制函数图像的一部分，再利用对称性得到完整的图像。
3. 关于原点对称当一个函数图像关于原点对称时，意味着对于函数中的任意一点(x, y)，点(-x, -y)也在函数图像上。
这种对称性同样可以用来简化函数图像的绘制和分析。
例如，考虑函数y = x^3，它是一个三次函数，具有关于原点对称的性质。
我们可以通过绘制函数图像的一部分，再利用对称性得到完整的图像。
二、周期性1. 周期函数周期函数是指在一定区间内以某个固定的周期重复的函数。
周期函数的图像具有一定的规律性，可以通过观察周期来简化函数图像的绘制和分析。
例如，考虑函数y = sin(x)，它是一个周期为2π的正弦函数。
我们可以通过绘制一个周期内的函数图像，再利用周期性得到完整的图像。
2. 非周期函数非周期函数是指在任意区间内不以固定周期重复的函数。
非周期函数的图像通常没有明显的规律性，需要通过其他方法进行分析和绘制。
例如，考虑函数y = x^2，它是一个非周期函数。
我们需要根据函数的性质和变化规律来绘制函数图像。
三、举一反三通过对函数图像的对称性和周期性的分析，我们可以得到一些解题技巧和方法。
函数图像的对称性分析
函数图像的对称性分析在数学的世界里，函数图像的对称性是一个十分有趣且重要的概念。
它不仅有助于我们更深入地理解函数的性质，还能在解决数学问题时提供巧妙的思路和方法。
首先，让我们来谈谈什么是函数图像的对称性。
简单来说，就是如果函数图像沿着某条直线或者某个点进行翻转或折叠后，能够与原图像完全重合，那么就称这个函数图像具有对称性。
函数图像的对称性主要包括轴对称和中心对称两种类型。
轴对称就好比我们把一张纸沿着中间的一条直线对折，两边能够完全重合。
对于函数来说，如果存在一条直线 x ＝ a，使得对于函数定义域内的任意x，都有 f(a ＋ x) ＝ f(a x)，那么函数 f(x) 的图像就关于直线 x ＝ a 对称。
比如说，二次函数 f(x) ＝ x²的图像就关于 y 轴对称。
中心对称则类似于我们把一个图形绕着某个点旋转 180 度后能与原图形重合。
对于函数，如果存在一个点（a, b)，使得对于函数定义域内的任意 x，都有 f(a ＋ x) ＋ f(a x) ＝ 2b，那么函数 f(x) 的图像就关于点（a, b) 对称。
例如，函数 f(x) ＝ x ＋ 1/x 的图像就关于点（0, 0)对称。
为什么我们要研究函数图像的对称性呢？这是因为它能给我们带来很多好处。
从理论角度来看，对称性可以帮助我们更深入地理解函数的本质。
通过研究函数图像的对称性，我们能够发现函数的一些内在规律和特点，从而更好地把握函数的性质。
在实际应用中，对称性也有着广泛的用途。
比如在求解函数的最值问题时，如果我们知道函数图像具有对称性，那么就可以利用这一性质来简化计算，更快地找到最值。
再比如，在解决函数方程的问题时，对称性也能提供有用的线索。
如果我们能判断出函数图像的对称性，就可以根据对称点或对称轴上的函数值来推导其他点的函数值，从而更容易地求解方程。
接下来，让我们通过一些具体的例子来进一步感受函数图像对称性的魅力。
考虑函数 f(x) ＝ sin x，它的图像是一个周期函数，并且具有轴对称性。
函数对称性的总结
参考一：函数对称性总结函数的对称性一、三角函数图像的对称性1、y =f (x ) 与y =-f (x ) 关于x 轴对称。
换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) =-g (x ) ，即它们关于y =0对称。
2、y =f (x ) 与y =f (-x ) 关于Y 轴对称。
换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) =g (-x ) ，即它们关于x =0对称。
3、y =f (x ) 与y =f (2a -x ) 关于直线x =a 对称。
换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) =g (2a -x ) ，即它们关于x =a 对称。
4、y =f (x ) 与y =2a -f (x ) 关于直线y =a 对称。
换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) +g (x ) =2a ，即它们关于y =a 对称。
5、y =f (x ) 与y =2b -f (2a -x ) 关于点(a , b ) 对称。
换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) +g (2a -x ) =2b ，即它们关于点(a , b ) 对称。
6、y =f (a -x ) 与y =f (x -b ) 关于直线x =二、单个函数的对称性一、函数的轴对称：定理1：如果函数y =f (x )满足f (a +x )=f (b -x )，则函数y =f (x )的图象关于直线x =a +b2a +b 2对称。
对称.推论1：如果函数y =f (x )满足f (a +x )=f (a -x )，则函数y =f (x )的图象关于直线x =a 对称. 推论2：如果函数y =f (x )满足f (x )=f (-x )，则函数y =f (x )的图象关于直线x =0（y 轴）对称. 特别地，推论2就是偶函数的定义和性质. 它是上述定理1的简化.二、函数的点对称：定理2：如果函数y =f (x )满足f (a +x )+f (a -x )=2b ，则函数y =f (x )的图象关于点(a , b )对称.推论3：如果函数y =f (x )满足f (a +x )+f (a -x )=0，则函数y =f (x )的图象关于点(a , 0)对称.推论4：如果函数y =f (x )满足f (x )+f (-x )=0，则函数y =f (x )的图象关于原点(0, 0)对称. 特别地，推论4就是奇函数的定义和性质. 它是上述定理2的简化.性质5：函数y =f (x ) 满足f (a +x ) +f (b -x ) =c 时，函数y =f (x ) 的图象关于点（a +b ，c ）对称。
抽象函数图像的对称性与周期性初探
抽象函数图像的对称性与周期性初探抽象函数f（x），由于不知道其解析式，因而不能画出其图像的全貌，对它的研究成了中学生学习的一个难点.本文介绍有关抽象函数图像对称性与函数周期性的几个定理，帮助同学们提高解决此类函数问题的能力.一、对称性定理1：函数y=f（x）图像关于点A（a，b）对称的充要条件是f（x）+f（2a-x）=2b恒成立.证明：在y=f（x）图像上任取一点，设为P（x，y），则y=f（x）.点P（x，y）关于点A（a，b）的对称点为P′（2a-x，2b-y）.1.必要性若y=f（x）图像关于点A（a，b）对称，则点P′也在y=f（x）图像上，2b-y=f（2a-x），又y=f（x），f（x）+f（2a-x）=2b成立.由P点的任意性得f（x）+f（2a-x）=2b恒成立.2.充分性若f（x）+f（2a-x）=2b恒成立，则f（x）+f（2a-x）=2b，2b-y=f （2a-x），点P′也在y=f（x）图像上.由P点的任意性得y=f（x）图像关于点A对称.说明：f（x）+f（2a-x）=2b有许多等价形式，如f（a+x）+f（a-x）=2b，应用时关键看横坐标之和、纵坐标之和皆为常数.以上证法是证明函数图像对称性的一般方法，以后几个结论可以仿此证明.推论：函数y=f（x）图像关于原点对称的充要条件是f（x）+f（-x）=0恒成立（即函数为奇函数）.定理2：函数y=f（x）图像关于直线x=a对称的充要条件是f（x）=f（2a-x）恒成立.说明：f（x）=f（2a-x）也有许多等价形式，如f（a+x）=f（a-x），应用时关键看横坐标之和为常数、纵坐标相等.推论：函数y=f（x）图像关于y轴对称的充要条件是f（x）=f（-x）恒成立（即函数为偶函数）.例1.如果二次函数y=f（x）满足f（3+x）=f（3-x），且方程f（x）=0有两个实根x、x，那么x+x=（）A. 0B.3C.6D.不能确定解析：f（3+x）=f（3-x），f（x）图像关于直线x=3对称（定理2），f（x）图像与x轴两交点关于直线x=3对称，x+x=6，故选C.例2.设f（x）是定义在R上的函数，F（x）=f（x）-f（a-x），求证：y=F（x）图像关于点（a/2，0）中心对称.解析：仿定理1的证明.在y=F（x）图像上任取一点P（x，F（x）），它关于（a/2，0）的对称点为（a-x，-F（x））.F（a-x）=f（a-x）-f[a-（a-x）]=f（a-x）-f（x）=-F（x），点P′也在y=F（x）图像上.由P点的任意性得结论成立.二、周期性定理3：若函数y=f（x）恒满足下列条件之一，则它是周期函数.|2T|是它的一个周期.（1）f（x+T）=-f（x）；（2）f（x+T）=；（3）f（x+T）=-；（4）f （x+T）=；（5）f（x+T）=，其中T≠0.下面对第四个进行证明，其他类似，请同学们自己完成.（4）证明：f（x+2T）=f[（x+T）+T]===f（x），又T≠0，|2T|是f （x）的一个周期.例3.f（x）是R上的偶函数，且满足f（x+2）=-，当2≤x≤3时，f （x）=x，那么f（5.5）= .解析：由f（x+2）=-，根据定理3，得4为f（x）的一个周期.f （5.5）=f（5.5-8）=f（-2.5）=f（2.5）=2.5.三、对称性与周期性定理4：若函数y=f（x）图像满足下列条件之一，则y=f（x）是周期函数.其中前两个的一个周期为2|a-b|，第三个为4|a-b|.（1）同时关于点A（a，c）和点B（b，c）（a≠b）中心对称.（2）同时关于直线x=a和直线x=b（a≠b）轴对称.（3）既关于点A（a，c）中心对称，又关于直线x=b（a≠b）轴对称.下面对第三条进行证明，其他类似.（3）证明：y=f（x）图像关于点A（a，c）中心对称f（x）+f（2a-x）=2c①y=f（x）图像关于直线x=b轴对称f（2a-x）=f[2b-（2a-x）]=f（2b-2a+x）②②代入①得f（x）+f（2b-2a+x）=2c③把上式中x换成2b-2a+x得f（2b-2a+x）+f（4b-4a+x）=2c④由③④得f（x）=f（4b-4a+x）a≠b4b-4a≠04|a-b|为f（x）的一个周期.例4.设函数f（x）在（-∞，+∞）上满足f（2-x）=f（2+x），f（7-x）=f（7+x），则函数y=f（x）的一个周期为.解析：由f（2-x）=f（2+x），f（7-x）=f（7+x），根据定理2得函数y=f（x）的对称轴为x=2和x=7.再根据定理4得y=f（x）的一个周期为T=2|7-2|=10.例5.f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x-2）=-f（x），给出下列4个结论：①f（2）=0；②f（x）是以4为周期的函数；③f （x）图像关于y轴对称；④f（x+2）=f（-x），其中正确结论的序号是.解析：①在f（x-2）=-f（x）中令x=2得f（0）=-f（2）；又f（x）是奇函数，f（0）=0f（2）=0正确；②根据定理3知一个周期为4正确；③若正确，则f（x）又为偶函数，应有f（x）恒为0，不正确；④根据周期为4，f（x+2）=f（x-2），再根据题设f（x-2）=-f（x），f （x+2）=-f（x）=f（-x）正确.因此答案是①②④.。
函数图像的对称性问题
x=1 对称，故 xi= ×2=m，
故选：B 【2016 全国卷 2 理】 12．（ 5 分 ）已 知 函 数 f（ x）（ x∈R）满 足 f（ ﹣ x）=2﹣ f（ x），若 函 数 y= 与 y=f（ x） 图 象 的 交 点 为 （ x1， y1），（ x2， y2）， …，（ xm，
ym）， 则 （ xi+yi） =（
2
2
（b－x），由轴对称的定义可知：点（a＋x，f（a＋x））与点（b－x，f（b
－x））关于直线成轴对称，又由 x 的任意性可知：函数 y =f（x）关于直线
成轴对称。反之亦然。
特例： 函数 y f (x) 的图象关于直线 x a 对称
f (a x) f (a x) f (2a x) f (x)
A．关于直线 x＝0 对称
B．关于直线 x＝1 对称
C．关于(1,0)点对称
D．关于(0,1)点对称
解：D
【依题意，将 h(x)＝2sin(2x＋π)的图象向右平移π个单位，再向
4
4
上平移 2 个单位后得 y＝2sin[2(x－π)＋π]＋2，即 f(x)＝2sin(2x－π)
44
4
＋2 的图象，又∵h(－x)＋f(x)＝2，∴函数 f(x)的图象与函数 h(x)的图象
图象关于
对称
解：由 f（x）+f（2－x）+2 = 0 得：f（x）+1 = －[f（2－x）+1]
令φ（x）= f（x）+1，则φ（2－x）=f（2－x）+1
∴φ（x）=－φ（2－x）
∴ φ（x）关于点（1，0）对称，又 f（x）=φ（x）－1
故由平移知识可得：f（x）关于点（1，－1）对称。 典例 5：【可不看】已知函数 f (x) a x 的反函数 f 1(x) 的图象的对称中心
初中数学 如何通过函数的图像判断其是否具有对称性
初中数学如何通过函数的图像判断其是否具有对称性通过函数的图像来判断其是否具有对称性是初中数学中的一个重要概念。
在本文中，我们将详细讨论如何通过函数的图像来判断其是否具有对称性。
要通过函数的图像来判断其是否具有对称性，我们可以按照以下步骤进行：1. 观察图像的形状：首先，我们需要观察函数图像的整体形状。
函数图像可能是关于x 轴、y 轴或原点对称的。
2. 关于x 轴的对称性：如果函数图像关于x 轴对称，那么对于任意一个点(a, b) 在图像上，点(a, -b) 也在图像上。
也就是说，如果一个点在图像上，那么与该点关于x 轴对称的点也在图像上。
通过观察图像可以判断是否关于x 轴对称。
3. 关于y 轴的对称性：如果函数图像关于y 轴对称，那么对于任意一个点(a, b) 在图像上，点(-a, b) 也在图像上。
也就是说，如果一个点在图像上，那么与该点关于y 轴对称的点也在图像上。
通过观察图像可以判断是否关于y 轴对称。
4. 关于原点的对称性：如果函数图像关于原点对称，那么对于任意一个点(a, b) 在图像上，点(-a, -b) 也在图像上。
也就是说，如果一个点在图像上，那么与该点关于原点对称的点也在图像上。
通过观察图像可以判断是否关于原点对称。
需要注意的是，对称性是一种函数的性质，通过观察函数的图像可以得出初步的结论，但并不能给出准确的判断。
如果想要更准确地判断函数是否具有对称性，可以使用函数的数学定义和性质进行分析。
通过了解如何通过函数的图像判断其是否具有对称性，你可以更好地理解函数的性质和变化。
这对于解决实际问题和进一步深入学习数学非常重要。
希望本文能够帮助你更好地理解和应用这一概念。
函数图像的对称性和转折点的性质研究
函数图像的对称性和转折点的性质研究函数是数学中的重要概念，它描述了数值之间的关系。
在函数的图像中，我们可以发现一些有趣的性质，比如对称性和转折点。
本文将对这些性质进行研究和探讨。
一、对称性的研究对称性是一种重要的数学性质，它在函数图像中起到了重要的作用。
在函数的图像中，我们可以发现三种常见的对称性：关于x轴对称、关于y轴对称和关于原点对称。
首先，我们来研究关于x轴对称的函数。
对于一个函数f(x)，如果对于任意的x，都有f(x)=f(-x)，那么这个函数就是关于x轴对称的。
在图像上，这意味着函数图像在x轴上对称。
比如，对于函数f(x)=x^2，它的图像就是关于x轴对称的。
无论我们选择哪个x值，都可以找到对应的-x值，使得f(x)=f(-x)。
接下来，我们来研究关于y轴对称的函数。
对于一个函数f(x)，如果对于任意的x，都有f(x)=f(-x)，那么这个函数就是关于y轴对称的。
在图像上，这意味着函数图像在y轴上对称。
比如，对于函数f(x)=sin(x)，它的图像就是关于y轴对称的。
无论我们选择哪个x值，都可以找到对应的-x值，使得f(x)=f(-x)。
最后，我们来研究关于原点对称的函数。
对于一个函数f(x)，如果对于任意的x，都有f(x)=-f(-x)，那么这个函数就是关于原点对称的。
在图像上，这意味着函数图像在原点上对称。
比如，对于函数f(x)=x^3，它的图像就是关于原点对称的。
无论我们选择哪个x值，都可以找到对应的-x值，使得f(x)=-f(-x)。
二、转折点的性质研究转折点是函数图像中的一个重要概念，它代表了函数图像由凹向上还是凹向下的转变。
在函数的图像中，我们可以发现两种常见的转折点：上凹转折点和下凹转折点。
首先，我们来研究上凹转折点。
对于一个函数f(x)，如果在某个点x=a处，函数图像由凹向上转变为凹向下，那么这个点就是上凹转折点。
在图像上，这意味着函数图像在该点处由下方向上弯曲。
比如，对于函数f(x)=x^2，它的图像在x=0处有一个上凹转折点。
函数图象关于点对称性
函数图象关于点对称性函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。
函数的性质是高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质之一，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷的是问题得到解决，对称关系还充分体现了数学的之美。
对称性，在几何中研究的较多，在代数中研究的较少。
本文只探讨函数的关于点对称性。
I.函数自身关于点对称性命题1：函数的图像关于点对称的充要条件是(或者)证明：（必要性）设是图像上任一点，∵点关于点的对称点也在图像上，∴，即故，必要性得证。
（充分性）设点是图像上任一点，则，∵，∴，即，故点也在图像上，而点与点关于点对称，充分性得证。
推论1：奇函数的图像关于原点对称。
证明：设函数是奇函数，则奇函数定义有f(x) f( x) 0，由命题1可得函数图像关于源点对称。
推论2：如果函数满足,则函数图象关于点对称。
（证明略）推论3：函数的图像关于点。
证明：∵，，∴由命题1有函数的图像关于点对称。
例 1 已知定义域为的函数满足且函数在区间上单调递增，如果且，则的值（）A.恒小于0 B.恒大于0 C.可能为零 D.可正可负分析：先代替，使变形为，它的特征就是推论2，因此函数的图像关于点对称。
在区间上单调递增，在区间上也单调递增。
我们可以把该函数想象成是奇函数的图象向右平移了两个单位。
解：∵且在区间上单调递增，∴，∵∴函数的图像关于点对称，∴∴.所以选A例2如果函数满足，求该函数的对称中心。
（因为自变量加起来为7时函数值的和始终为6，所以中点固定为（3.5，3），这就是它的对称中心）如果为奇函数，并且，求该函数的所有对称中心和对称轴。
（由周期性定义知周期为4，又，从而，按上例知x=-1为对称轴，所以为对称轴，为对称中心其中k∈Z）例3定义在上的函数满足，则解：由命题1可得函数关于点对称，所以点关于点的对称点也在函数图象上，所以，即；同理可得，，；于是.例4 已知定义在上的函数的图象关于点成中心对称，对任意的实数都有，且、，则的值为（）。
函数图像的对称性问题
函数图像的对称性问题函数图象的对称性反映了函数的特性,是研究函数性质的一个重要方面，现通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数对称性有关的性质。
1.函数自身的对称性探究（1）奇函数的图象关于原点成中心对称；偶函数的图象关于y 轴对称.45.8.4.2.ππππ==-=-=x D x C x B x A 解：函数252sin(π+=x y 的图像的所有对称轴的方程是2252πππ+=+k x ，所以ππ-=2k x ，显然取1=k 时的对称轴方程是2π-=x ，故选（A ）。
()(b )()()f a x f x f a b x f x ⇔-=+⇔+-=证明：对任意x∈R，都有f（a＋x）=f（b－x）时，有点（a＋x，f（a ＋x））与点（b－x，f（b－x））存在关系：22b a x b x a +=-++，f（a＋x）=f （b－x），由轴对称的定义可知：点（a＋x，f（a＋x））与点（b－x，f（b －x））关于直线成轴对称，又由x 的任意性可知：函数y =f（x）关于直线成轴对称。
反之亦然。
特例：函数)(x f y =的图象关于直线a x =对称)()2()()(x f x a f x a f x a f =-⇔-=+⇔函数)(x f y =的图像关于y 轴对称⇔)()(x f x f -=【偶函数是4的特例】典例2：二次函数f （x ）满足f （2＋x ）=f （2－x ），又f （2）=1，f （0）=3，若在[0，m]有最小值1，最大值3，则的取值范围（）（A ）0＜m ≤2（B ）m ≥2（C ）m ＞0（D ）2≤m ≤4解：由函数的轴对称性可知：二次函数f （x ）关于直线x =2对称，又f （2）=1，f （0）=3，∴f （x ）在[0，2]上是减函数，∴f （x ）在[2，+∞）上增函数，又由轴对称可知：f （2+2）=f （2－2）即f （4）=f （0）∵f （x ）在[0，m]上有最小值1，最小值3，∴2≤m ≤4选（D ）典例3：函数f （x ）对一切实数x 都满足)43()41(x f x f -=+，并且f （x ）=0有3个实根，求这3个实根之和。
三角函数图像的对称性研究
余弦函数对称性的应用
1.在信号处理中，利用余弦函数的对称性可以进行频谱分析和 滤波设计。 2.在电子工程中，余弦函数的对称性被用于设计和分析电路中 的振荡器和谐振器。 3.在数学和物理中，余弦函数的对称性经常被用于解决各种复 杂的问题，如微分方程和积分方程的求解。 余弦函数的对称性不仅具有理论价值，还有广泛的实际应用。 通过深入理解和利用余弦函数的对称性，我们可以更好地分析 和解决实际问题，推动科学和技术的发展。
三角函数的基本性质
1.周期性：三角函数具有周期性，即它们的值随着角度的增加而呈现出周期性的变化。 2.振幅和相位：三角函数的振幅和相位是描述函数图像的重要参数，它们决定了函数图像 的形状和位置。 3.奇偶性：三角函数具有奇函数和偶函数的性质，即正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函 数。
三角函数简介
三角函数的图像
1.广义正切函数的对称性：除了常见的正切函数，还有一些广 义的正切函数，如双曲正切函数等，这些函数的对称性也有一 定的研究价值。 2.正切函数与其他函数的对称性比较：正切函数的对称性与其 他三角函数（如正弦函数、余弦函数）的对称性有所不同，对 比研究可以更深入地理解这些函数的性质。 以上内容仅供参考，具体内容可以根据您的需求进行调整优化 。
1.绘制三角函数图像的基本方法和步骤，包括设置坐标轴、确 定函数表达式、计算函数值等。 2.使用计算机软件绘制三角函数图像的方法和技巧，如 MATLAB、Excel等。 3.三角函数图像的变换和操作，如平移、伸缩、翻转等。
三角函数图像基础
▪ 三角函数图像的对称性
1.三角函数图像的对称性和周期性之间的关系。 2.常见三角函数图像的对称轴和对称中心的确定方法。 3.利用对称性解决三角函数问题的方法和技巧。
三角函数对称性
函数图象关于点对称性
函数图象关于点对称性函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。
函数的性质是高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质之一，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷的是问题得到解决，对称关系还充分体现了数学的之美。
对称性，在几何中研究的较多，在代数中研究的较少。
本文只探讨函数的关于点对称性。
I.函数自身关于点对称性命题1：函数的图像关于点对称的充要条件是(或者)证明：（必要性）设是图像上任一点，∵点关于点的对称点也在图像上，∴，即故，必要性得证。
（充分性）设点是图像上任一点，则，∵，∴，即，故点也在图像上，而点与点关于点对称，充分性得证。
推论1：奇函数的图像关于原点对称。
证明：设函数是奇函数，则奇函数定义有，由命题1可得函数图像关于源点对称。
推论2：如果函数满足,则函数图象关于点对称。
（证明略）推论3：函数的图像关于点。
证明：∵，，∴由命题1有函数的图像关于点对称。
例1 已知定义域为的函数满足且函数在区间上单调递增，如果且，则的值（）A.恒小于0B. 恒大于0C. 可能为零D. 可正可负分析：先代替，使变形为，它的特征就是推论2，因此函数的图像关于点对称。
在区间上单调递增，在区间上也单调递增。
我们可以把该函数想象成是奇函数的图象向右平移了两个单位。
解：∵且在区间上单调递增，∴，∵∴函数的图像关于点对称，∴∴.所以选A例2 如果函数满足，求该函数的对称中心。
（因为自变量加起来为7时函数值的和始终为6，所以中点固定为（3.5，3），这就是它的对称中心）如果为奇函数，并且，求该函数的所有对称中心和对称轴。
（由周期性定义知周期为4，又，从而，按上例知x=-1为对称轴，所以为对称轴，为对称中心其中k∈Z）例3 定义在上的函数满足，则解：由命题1可得函数关于点对称，所以点关于点的对称点也在函数图象上，所以，即；同理可得，，；于是.例4 已知定义在上的函数的图象关于点成中心对称，对任意的实数都有，且、，则的值为（）。
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函数图象对称性的研究
摘要:在高中阶段,函数图象的对称性是其中的热点和难点,本文通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探
讨这个问题。
关键词:函数图象;对称
在高中阶段,函数图象主要研究平移、对称、伸缩等变形,函数图象的对称性是其中的热点和难点,本文通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨这个问题。
一、一个函数自身的对称问题
1.定义:
(1)关于某直线对称(轴对称,即绕轴对称翻折图象不变):函数
f(x)上任意一点(x,y)关于直线l对称的点也一定在函数f (x)上。
也可以理解为:函数y=f(x)关于直线l对称的函数仍为y=f(x)。
(2)关于某点对称(中心对称,即绕点旋转180度图象不变):函数f(x)上任意一点(x,y)关于点(a,b)对称的点(2a-x,2b-y)也一定在函数f(x)上。
也可以理解为:函数f(x)关于点(a,b)对称的函数仍为f(x)。
例1:求证:函数y=f(x)关于点a(a,b)成中心对称图形。
(供读者参考)
a问题一:f(x)+f(2a-x)=2b?圳函数f=f(x)的图像关于点a(a,b)对称。
特例:a=b=0时, f(x)+f(-x)=0 y=f(x)是奇函数。
证明:(必要性)设点p(x,y)是y=f(x)图像上任一点,
∵点p( x,y)关于点a(a,b)的对称点p(2a-x,2b-y)也在y=f(x)图像上,
∴2b-y=f(2a-x),
即y+f(2a-x)=2b,
故f(x)+f(2a-x)=2b,必要性得证。
(充分性)设点p(x0,y0)是y=f(x)图像上任一点,则y0=f(x0),
∵f(x)+f(2a-x)=2b,
∴f(x0)+f(2a-x0)=2b,
即2b-y0=f(2a-x0) 。
故点p′(2a-x0,2b-y0)也在y=f(x)图像上,而点p与点p′关于点a(a,b)对称。
思考:f(x)+f(2a-x)=2b?圳f(a+x)+f(a-x)=2b。
例2:函数y=f(x)满足f(x)+f(2-x)=0,则y=f(x)图象关于
________对称。
b问题二:f(a+x)=f(b-x)?圳函数y=f(x)的图像关于直线x= 对称,特例:a=b=0时f(x)=f(-x) y=f(x)是偶函数。
分析理解:自变量a+x、b-x的和为a+b,函数值相等。
区别记忆:f(a+x)=f(b-x) f(x)?
f(x+a)=f(b+x) f(x)?
一个函数时:x系数同正,一正一负才说明对称。
结论:一个函数时,x系数相同说明函数y=f(x)是周期函数,相反
说明两函数对称。
c问题三:
结论1:若函数y=f(x)图像同时关于点a(a,c)和点b(b,c)成中心对称(a≠b),则y=f(x)是周期函数,且2|a-b|是其一个周期。
推论1:若函数y=f(x)图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称(a≠b),则y=f(x)是周期函数,且2|a-b|是其一个周期。
推论2:若函数y=f(x)图像既关于点a(a,c)成中心对称又关于直线x=b成轴对称(a≠b),则y=f(x)是周期函数,且4|a-b|是其一个周期。
推论1、2的证明留给读者,以下给出推论3的证明:
∵函数y=f(x)图像既关于点a(a,c)成中心对称,
∴y=f(x)+f(2a-x)=2c,用2b-x代x得:
f(2b-x)+f[2a-(2b-x)]=2c………………(*)
又∵函数y=f(x)图像直线x=b成轴对称,
∴f(2b-x)=f(x),代入(*)得:
f(x)=2c-f[2(a-b)+x]…………(**),
用2(a-b)-x代x,得
f[2(a-b)+x]=2c-f[4(a-b)+x]
代入(**)得:f(x)=f[4(a-b)+x],
故y=f(x)是周期函数,且4|a-b|是其一个周期。
例3:定义在r上的非常数函数满足:f(10+x)为偶函数,且
f(5-x)=f(5+x),则f(x)一定是( )
(第十二届希望杯高二第二试题)
(a)是偶函数,也是周期函数
(b)是偶函数,但不是周期函数
(c)是奇函数,也是周期函数
(d)是奇函数,但不是周期函数
解:∵f(10+x)为偶函数,
∴f(10+x)=f(-10-x).
∴f(x)有两条对称轴x=5与x=10,
因此f(x)是以10为其一个周期的周期函数,
∴x=0即y轴也是f(x)的对称轴,
因此f(x)还是一个偶函数。
故选(a)。
二、两个函数对称问题
定义:1、关于某点对称(即y=f(x)图象绕点旋转180度与g (x)图象重合):函数f(x)上任意一点(x,y)关于点(a,b)的对称点
(2a-x,2b-y)一定在函数y=g(x)上。
2、关于某直线对称(即y=f(x)的图象绕轴对称翻折后与g (x)图象重合):函数f(x)上任意一点(x,y)关于直线l对称的点一定在函数y=g(x)上。
问题一:函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图像关于点a(a,b)对称。
分析理解:y=2b-f(2a-x)即2b-y=f(2a-x),也就是说函数y=f(x)中x换成2a-x,y换成2b-y。
即满足定义。
下证点p′(a+b-x,a+b-y)一定在函数f(b-x)上,
设g(x)=f(b-x),则g(a+b-x)=f(x-a)=y,
(同理可证y=f(b-x)上任意一点的对称点一定在y=f(x-a)上) 区别记忆:f(a+x)=f(b-x) f(x)?
f(x+a)=f(b+x) f(x)?
y=f(x+a)与y=f(b-x)关于什么对称?
y=f(x+a)与y=f(x+b)说明什么?(t=|a-b|)
结论:两个函数时:x系数相同说明两函数具有平移关系,相反说明两函数对称。
对称关系充分体现了数学之美。
通过以上分析我们看到解决函数图象的对称性问题关键是数形之间的转化,体现了数形结合的数学思想,这样往往能更简捷地使问题得到解决。