经典立体几何(解答题)中的向量方法

变式：如何证明 B1F
AE 呢？？？
证明： 如图建立空间直角坐标系 A－xyz， 令 AB＝AA1＝4，
则 A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)，B(4,0,0)，B1(4,0,4)． (1)取 AB 中点为 N，则 N(2,0,0)， 又 C(0,4,0)，D(2,0,2)， → → ∴DE＝(－2,4,0)，NC ＝(－2,4,0)， → → ∴DE＝NC. ∴DE∥NC，又 NC 在平面 ABC 内， 故 DE∥平面 ABC.
因此可取 n＝( 3，1， 3)．
→ m· PB＝0， 设平面 PBC 的法向量为 m，则 → m· BC＝0. －4 2 7 可取 m＝(0，－1，－ 3)，则 cos〈m，n〉＝ ＝－ . 7 2 7 2 7 故二面角 A－PB－C 的余弦值为－ . 7
方法点睛
求二面角最常用的方法就是分别求出二面角
→ → → ∴PC＝(2,2 2，－2)，BF＝(－1， 2，1)，EF＝(1,0,1)． → → → → ∴PC· BF＝－2＋4－2＝0，PC· EF＝2＋0－2＝0. → → → → ∴PC⊥BF，PC⊥EF. ∴PC⊥BF，PC⊥EF.又 BF∩EF＝F， ∴PC⊥平面 BEF.
→ (2)由(1)知平面 BEF 的一个法向量 n1＝PC＝(2,2 2，－ → 2)，平面 BAP 的一个法向量 n2＝AD＝(0,2 2，0)， ∴n1· n2＝8. 设平面 BEF 与平面 BAP 的夹角为 θ，则 |n1· n2 | 8 2 cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝|n ||n |＝ ＝2， 4 × 2 2 1 2 ∴θ＝45° . ∴平面 BEF 与平面 BAP 的夹角为 45° .
→ → → (2)B1F＝(－2,2，－4)，EF＝(2，－2，－2)，AF＝(2,2,0)， → → B1F· EF＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4)×(－2)＝0， → → 则B1F⊥EF，∴B1F⊥EF， → → ∵B1F· AF＝(－2)×2＋2×2＋(－4)×0＝0， → → ∴B1F⊥AF，即 B1F⊥AF. 又∵AF∩EF＝F，∴B1F⊥平面 AEF.
解析： (1) 因为∠ DAB＝ 60° ， AB＝ 2AD ，由余弦定理得 BD＝ 3AD. 从而 BD2＋AD2＝AB2，故 BD⊥AD. 又 PD⊥底面 ABCD，可得 BD⊥PD，又 AD∩PD＝D. 所以 BD⊥平面 PAD.故 PA⊥BD.
(2)如图，以 D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线 DA 为 x 轴的正半轴建立空间直角坐标系 D－xyz，
(2)求直线与平面所成的角 ：设直线 l 的方向向量为 a，平 面α的法向量为 n， 直线 l 与平面α所成的角为θ， 则 sinθ＝|cos
〈a，n〉|＝____________.
(3)求二面角 的大小： (Ⅰ)若 AB 、CD 分别是二面角α－l－β的两个半平面内与 → → 棱 l 垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量AB 、CD的夹 角(如图①所示)．
变式训练 1 (2014·南京、盐城一模)如图，在四棱锥 P－ A BCD 中，四边形 A BCD 是菱形，PA ＝PC，E 为 PB 的中点． (1)求证：PD∥平面 A EC； (2)求证：平面 A EC⊥平面 PDB .
证明：(1)设 AC∩BD＝O，连接 EO， ∵O，E 分别是 BD，PB 的中点，∴PD∥EO. 而 PD⊄平面 AEC，EO⊂平面 AEC，∴PD∥平面 AEC. (2)连接 PO，∵PA＝PC，∴AC⊥PO. 又四边形 ABCD 是菱形，∴AC⊥BD. 而 PO∩BD＝O，∴AC⊥面 PBD. 又 AC⊂平面 AEC，∴平面 AEC⊥平面 PBD.
考点二
利用空间向量求线线角和线面角
[例 2]
如图，已知点 P 在正方体 ABCD－A′B′C′D′
的对角线 BD′上，∠PDA＝60° . (1)求 DP 与 CC′所成角的大小； (2)求 DP 与平面 AA′D′D 所成角的大小．
解析：如图，以 D 为原点，DA 为单位长建立空间直角 坐标系 D－xyz.
变式训练 2 已知三棱锥 P－ABC 中，PA⊥平面 ABC， 1 AB⊥AC，PA＝AC＝ AB，N 为 AB 上一点，AB＝4AN，M，S 2 分别为 PB，BC 的中点．(1)证明：CM⊥SN； (2)求 SN 与平面 CMN 所成角的大小．
解析：设 PA＝1，以 A 为原点，射线 AB，AC，AP 分别 为 x，y，z 轴正向建立空间直角坐标系如图．
(2)设 DP 与平面 A A ′D′D 夹角为 θ，平面 AA ′D′D → 的一个法向量DC＝(0,1,0)． → → 因为 sinθ＝|cos〈DH， DC〉| 2 2 ×0＋ ×1＋1×0 2 2 ＝ 1× 2
|
|
1 ＝ ， 2 可得 DP 与平面 AA ′D′D 所成的角为 30°.
方法点睛 ①异面直线的夹角与向量的夹角有所不同， 应 注意思考它们的区别与联系． ②直线与平面的夹角可以转化成 直线的方向向量与平面的法向量的夹角，由于向量方向的变 化，所以要注意它们的区别与联系．
(Ⅱ)设 n1、n2 分别是二面角 α－l－β 的两个半平面 α、β 的法向量，则向量 n1 与 n2 的夹角(或其补角)的大小就是二面 角的大小(如图②③)．
①
②
③
考点一
利用空间向量证明平行与垂直关系
[例 1] 如图，已知直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，△ABC 为等腰 直角三角形，∠BAC＝90° ，且 AB＝AA1，D、E、F 分别为 B1A、 C1C、BC 的中点．求证： (1)DE∥平面 ABC； (2)B1F⊥平面 AEF.
(1)证明：PC⊥平面 BEF； (2)求平面 BEF 与平面 BA P 夹角的大小．
解析：(1)如图，以 A 为坐标原点，AB，AD，AP 所在直 线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系． ∵AP＝AB＝2，BC＝AD＝2 2，四边形 ABCD 是矩形， ∴A，B，C，D，P 的坐标为 A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2 2， 0)，D(0,2 2，0)，P(0,0,2)． 又 E，F 分别是 AD，PC 的中点， ∴E(0， 2，0)，F(1， 2，1)．
Hale Waihona Puke Baidu
则 A(1,0,0)，B(0， 3，0)，C(－1， 3，0)，P(0,0,1)． → → → AB＝(－1， 3，0)，PB＝(0， 3，－1)，BC＝(－1,0,0)． → n· AB＝0， 设平面 PAB 的法向量为 n＝(x，y，z)，则 → n· PB＝0.
－x＋ 3y＝0， 即 3y－z＝0.
2． 直线的方向向量与平面的法向量在确定直线和平面位 置关系中的应用 (1)直线 l1 的方向向量为 u1＝(a1，b1，c1)，直线 l2 的方向 向量为 u2＝(a2，b2，c2)． 如果 l1∥l2，那么 u1∥u2⇔u1 ＝λ u2 ⇔______________； 如果 l1⊥l2，那么 u1⊥u2⇔u1 ·u2＝0⇔____________.
立体几何中的向量方法 （解 答 题）
[高考调研 明确考向]
考 纲 解 读 •理解直线的方向向量与平面的法向量． •能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、 平面与平面的垂直、平行关系． •利用向量法求空间角 的大小是命题的热 考 情 分 析
•能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的 点．着重考查学生建立 一些定理． 空间坐标系及空间向量 •能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、 坐标运算的能力．题型 平面与平面的夹角的计算问题， 了解向量方法在 多为解答题，难度中档. 研究立体几何问题中的应用.
的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的 夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角 是锐角还是钝角．
变式训练 3 如图，在四棱锥 P－A BCD 中，底面 A BCD 是矩形， PA ⊥平面 ABCD ，AP＝AB ＝ 2 ，BC＝ 2 2 ， E ， F 分别是 A D，PC 的中点． (1)证明：PC⊥平面 BEF； (2)求平面 BEF 与平面 BA P 夹角的大小．
1 －1－2 2 → ＝ ， 因为|cos〈a，SN〉|＝ 3× 2 2 2 所以 SN 与平面 CMN 所成角为 45° .
考点三
利用空间向量求二面角
[例 3]
(2011·全国新课标 )如图，四棱锥 P－A BCD 中，底
面 A BCD 为平行四边形，∠DA B ＝60°，A B ＝2AD，PD⊥底面 A BCD. (1)证明：PA ⊥BD； (2)若 PD＝A D，求二面角 A －PB －C 的余弦值．
基础知识梳理 1.两个重要向量 (1)直线的 方向向量：直线的方向向量是指和这条直线平 行(或重合)的向量，一条直线的方向向量有______个． (2)平面的法向量 ：直线 l⊥平面α，取直线 l 的方向向量， 则这个向量叫做平面 α 的法向量．显然一个平面的法向量有 ______个，它们是共线向量．
→ → 则DA＝(1,0,0)，CC′＝(0,0,1)． 连接 BD，B′D′. 在平面 BB′D′D 中，延长 DP 交 B′D′于 H. → 设DH＝(m，m,1)(m＞0)， → → 由已知〈DH，DA〉＝60° ， → → → → → → 由DA· DH＝|DA||DH|cos〈DA，DH〉 ，可得
→ 1 (2)NC＝－2，1，0，
设 a ＝ (x ， y ， z) 为 平 面 CMN 的 一 个 法 向 量 ， 则 → CM· a＝0， → NC a＝0， · 1 x－y＋2z＝0， ∴ －1x＋y＝0， 2
取 x＝2，得 a＝(2,1，－2)．
则
1 1 P(0,0,1)， C(0,1,0)， B(2,0,0)， M1，0，2， N2，0，0，
1 S1，2，0. 1 → 1 1 → (1)证明：CM＝1，－1，2，SN＝－2，－2，0，
1 1 → → 因为CM· SN＝－2＋2＋0＝0，所以 CM⊥SN.
(2)直线 l 的方向向量为 u＝(a1，b1，c1)，平面 α的法向量 为 n＝(a2，b2，c2)． 若 l∥α，则 u⊥n⇔u·n＝0⇔______________. 若 l⊥α，则 u∥n⇔u＝kn⇔______________.
(3)平面α的法向量为 u1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为 u2＝(a2，b2，c2)． 若α∥β，u1 ∥u2⇔u1＝ku2⇔(a1 ，b1，c1)＝__________； 若α⊥β，则 u1 ⊥u2⇔u1·u2＝0⇔______________.
2m ＝ 2m 2＋1. 2 2 → ， ，1 2 解得 m ＝ ，所以DH＝ 2 . 2 2 2 2 × 0 ＋ ×0＋1×1 → → 2 2 2 (1)因为 cos〈DH， CC′〉＝ ＝ ， 2 1× 2 → → 所以 〈DH， CC′〉 ＝45°， 即 DP 与 CC′所成的角为 45°.
方法点睛
①证明直线与平面平行，只须证明直线的方
向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量 与平面内的不共线的两个向量共面，然后说明直线在平面外 即可．这样就把几何的证明问题转化为了数量的计算问题； ②证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂 直，而直线与平面垂直，平面与平面垂直可转化为直线与直 线垂直证明．
3．利用空间向量求空间角 (1)求两条异面直线所成的角 ：设 a、b 分别是两异面直线 l1、l2 的方向向量，则
l1 与 l2 所成的角θ 范围 0， π 2
a 与 b 的夹角 〈a， b〉 0≤〈a，b〉≤π
求法
cos θ＝|cos〈a，b〉|＝
__________
cos〈a，b〉＝
________