高中新课程数学(新课标人教B)必修1《有理指数幂及其运算》课件

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数学

第三章基本初等函数（I）

3. 1指数与指数函数

3. 1.1实数指数幕及其运算

【课标要求】

1.理解有理指数幕的含义，会用幕的运算法则进行有关运算.

2.了解实数指数幕的意义.

【核心扫描】

1-根式与分数指数幕的互化.（重点）

2.根式的性质.（易混点）

3.有理指数幕运算性质的应用.（难点）

KEQIANTANJIUXUEXI

》课前探究学习挑战自我［点点落实

自学导引

1."次方根的概念

（1）如果存在实数兀，使得心,则X叫做。的〃次方根.

（2）当紡有意义的时候，式子黑叫做根式,这里"叫做根指

数,a叫做被开方数.

2.根式的性质

（1）（般）"=丄（卅＞1 且〃UN+）；

（卅为奇数且〃＞1, 〃WN+）

（〃为偶数且卅＞1, 〃UN+）

\a\

3.分数指数幕的定义:(1)规定正数的正分数指数幕的意义是：

in _

Q 去二(Q〉() 9 "、m w N 9 且刃〉1 )；

(2)规定正数的负分数指数幕的意义是(°〉()山、

m. e N * ,且几 > 1)；

(3)0的正分数指数幕为(),0的负分数指数幕

4.有理数指数幕的运算性质(l}aa=ar+s(a>0,厂、泻Q)；

(2)@丫= _(a>0,厂、$WQ)；

(3YabY=arbr(a>0, b>0,胆Q)・

试一试：分数指数幕血及（乙（nN,且叫"互质）的底数有何取值范围？

提不（帀='Q,当m为奇数时，底数a e R,当m为偶数时,

dM（）;

_2l_ [

"〃‘二石亍当尬为奇数时，HO且＜/ e R，当肌为偶数时，a > 0.

想一想：防（〃WN+）与（裁）"（”WN+）对任意实数a都有意义吗？

提示式子勺刁（“WN+）对任意实数a都有意义；而式子（第）"（〃WN+）,当n为奇数时，对任意实数a都有意义；当n 为偶数时，对负数a没有意义.

名师点睛

1.根式紡的符号：

根式紡的符号由根指数〃的奇偶性及被开方数Q的符号共同确定；当〃为偶数时，。上0,紡为非负实数；当〃为奇数时, 第的符号与。的符号一致.

2.进行幕的运算方法：

在进行幕和根式的化简时，一般是先将根式化成幕的形式, 并化小数指数幕为分数指数幕，并尽可能地统一成分数指数幕形式，再利用幕的运算性质进行化简、求值、计算，以利于运算，达到化繁为简的目的.

对于根式计算结果，并不强求统一的表示形式.一般地用分数指数幕的形式来表示.如果有特殊要求，则按要求给出结果.但结果中不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，即结果必须化为最简形式.

拓展：有关指数幕的几个结论

①°>0 时,a h>0；

②aHO 时，a°=l；

③若 a =a,贝lj r=5（hl7^1,且Q H0）・

IIA KETANGJIANGLIANHUDONG ・・

02》课堂讲练互动循循善诱i触类旁通

题型一根式的运算

【例1】求下列各式的值：

(1)(V(3-7T)6；

4 I ------------------------ --「

(2)V81 x \/9T；

(3)(迈V125)三坂

［思路探索］属于“根式”的运算.

解(1)(V(3 -7T)6 = 13-TT I=TT-3；

(2)Vsi X = ；34 X (3T X T) ]T

21 14 I

4

二(34+T)T =3T X T

= 3T=3(^.

(3)原式二(5T -5T) 4-5T

2 1

3 1

=5T三5兀一5丁三5丁

2 I

3 1 5 5

二5了—丁-5T_T =5i2 一5丁

二垢-5板

规律方法对于既含有分数指数幕，又含有根式的式子，一般把根式统一化成分数指数幕的形式，以便于计算.如果根式中的根指数不同，也应化成分数指数幕的形式.

【训练1】求下列各式的值: ⑴慣乔(2)勺(—9)2； (3)p(a—疔；(4) p5_2&+ 解(1)勺(-3)—-3.

(2)A/C-9?=A/81= A/3?==3.

a~b (a〉b) (3)寸(a—疔彳0 (a=b)

b~a

(oVb)

2©

寸5+2&・

+边）2 = （羽一边）+ （书+边

题型二分数指数幕的运算

【例2】求下列各式的值

(1)( - 3 寻)峙+ (0. 002)4 -10 x ( J5-2)-1 + ( J2-

I 7

(2)(0. ()08 [厂丁 _ [ 3 x (丄」x 飞1 -(x 25 + ( 3

8

3、丄「丄|

〒厂了飞 - 1() x()・()27丁；

8 9

(3)(2 斗)。+2J ・(2+)詁一(().()1 严.

［思路探索］属于幕的运算性质及分数指数幕的运算.

（2）原式二［（咅）4

_丄

_ 4

(3 x 1 )-•

34X (

4> +

1() 3" 1() T

2 0 I i I （）

解 （1）原式二（- 1厂亍（3疋厂亍+（时厂丁 一」-+ 1 8 500 5-2

27 2 I l

二（W ）「丁+（5（）0）丁 一1（）（ 6 + 2） +1 ———I-10、尺—10 ^5 — 2() + 1 = ——-.

1

X(3