安徽省安庆市第一中学高一数学上学期期末考试试题
安庆一中高一数学期末数学试题
安庆一中高一数学试题（必修4模块检测）命题教师 吴显上一 .选择题：本大题共11小题，每小题3分，共33分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．0tan 600的值是（ ） A．-．2.若α、β的终边关于y 轴对称，则下列等式正确的是( )A.sin α=sin βB.cos α=cos βC.tan α=tan βD.tan α·tan β=13. 下列命题正确的是（ ）A 若→a ·→b =→a ·→c ，则→b =→c B 若|||b -=+，则→a ·→b =0 C 若→a //→b ，→b //→c ，则→a //→c D 若→a 与→b 是单位向量，则→a ·→b =1 4．函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间ππ2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的简图是（ ）5．已知O 是在四边形ABCD 所在平面内的一点，且22OA OC OB OD +=+，则四边形ABCD 是（ ）A ．矩形 B.平行四边形 C. 梯形 D. 菱形xＡ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．6．在锐角△ABC 中，设.cos cos ,sin sin B A y B A x ⋅=⋅=则x,y 的大小关系为（ ） （A ）y x ≤（B ）y x >（C ）y x <（D ）y x ≥7．在下列四个函数中，在区间），（20π上为增函数，且以π为最小正周期的偶函数是（ ） A ．y=tanx; B ．y=sin|x| C ．y=cos2x; D ．y=|sinx|;8. 计算下列几个式子，① 35tan 25tan 335tan 25tan ++, ②2(sin35︒cos25︒+sin55︒cos65︒), ③15tan 115tan 1-+ , ④6tan16tan2ππ-，结果为3的是（ ）A.①②B. ①③C. ①②③D. ①②③④ 8．把函数y=cos （3x+4π）的图象适当变换可以得到y=sin （-3x ）的图象。
2022-2023学年安徽省安庆市高一上数学期末教学质量检测试题含解析
【详解】（1）依题意可设 ，因为线段 被点 平分，所以 ，
则 ，解得 ， ，即 ，
又 过点 ，易得 方程为
（2）设圆 半径为 ，则 ，其中 为弦心距，
，可得 ，
故所求圆的方程为 .
20、 (1) ， ；(2) .
【解析】(1)利用诱导公式化简f(α)即可；
故选：B
9、B
【解析】利用函数 是偶函数，可得 ，解出 ．再利用二次函数的单调性即可得出单调区间
【详解】解： 函数 是偶函数，
，
，
化为 ，
对于任意实数 恒成立，
，
解得 ；
，
利用二次函数的单调性，
可得其单调递增区间为
故选：B
【点睛】本题考查函数的奇偶性和对称性的应用，熟练掌握函数的奇偶性和二次函数的单调性是解题的关键.
12．设 ，用 表示不超过 的最大整数.则 称为高斯函数.例如： ， ，已知函数 ，则 的值域为___________.
13．已知函数 则 ________
14．若函数 （常数 ），对于任意两个不同的 、 ，当 、 时，均有 （ 为常数， ）成立，如果满足条件的最小正整数 为 ，则实数 的取值范围是___________.
连接 交 于 ，连接 ，
因为四边形 为平行四边形，
所以 ，
因为点E是PD的中点，
所以 ∥ ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ∥平面 ，
【小问2详解】
因为 ∥ ， ，
所以 ， ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，
因为 ， 、 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，
所以 ，
在直角 中， ，
2019-2020学年安徽省安庆市高一上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年安徽省安庆市高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知全集{}2357111319U 71=，，，，，，，,集合{}2711A =，，,集合{}51113B =，，,则()UA B ⋂=ð( )A ．{}5B ．{}13C ．{}513，D ．{}1113， 【答案】C【解析】根据补集和交集定义,即可求得()U A B ⋂ð答案. 【详解】{}2357111319U 71=，，，，，，，,{}2711A =，，∴ {}U 3,5,13,17,19A =ð则(){}U 5,13A B ⋂=ð. 故选:C. 【点睛】本题考查了集合的交集和补集运算,在集合运算比较复杂时,可以使用韦恩图来辅助分析问题.2．计算:33log 2log 6-=( ) A ．1 B ．1-C ．3log 2-D ．32log 2-【答案】B【解析】根据log log log a a a MM N N-=,化简33log 2log 6-即可求得答案. 【详解】log log loga a a M M N N-= 则333321log 2log 6log log 163-===- ∴ 33log 2log 61-=-故选:B. 【点睛】本题考查了对数运算.掌握对数公式log log log a a aMM N N-=,是解本题关键,属于基础题.3．已知幂函数()()222af x a a x =--⋅在区间()0,∞+上是单调递增函数,则a 的值为( ) A ．3 B ．1- C ．3- D ．1【答案】A【解析】因为()()222af x a a x =--⋅是幂函数,则2221a a --=,解得3a =或1a =-,结合()f x 在区间()0,∞+上是单调递增函数,即可求得a 的值.【详解】()()222af x a a x =--⋅是幂函数,则2221a a --=解得3a =或1a =- 又()f x 在区间()0,∞+上是单调递增函数∴ 3a =故选:A. 【点睛】本题考查了幂函数相关知识,掌握幂函数基础知识是解题关键,属于基础题. 4．在ABC 中,已知sin 2sin cos A B C =,则此三角形一定为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．钝角三角形【答案】C【解析】将sin 2sin cos A B C =,化简为()sin sin sin cos cos sin 2sin cos A B C B C B C B C =+=+=,即()sin 0B C -=,即可求得答案. 【详解】sin 2sin cos A B C =∴ ()sin sin sin cos cos sin 2sin cos A B C B C B C B C =+=+=故sin cos cos sin 0B C B C -=,即()sin 0B C -=∴ B C =,故此三角形是等腰三角形故选:C. 【点睛】本题考查三角形形状的判定,考查诱导公式与正弦两角和公式,考查运算能力与推理能力,属于中档题.5．若实数m ,n 满足22m n <,则下列不等关系成立的是( )A ．22log log m n <BC ．11m n> D ．33m n <【答案】D【解析】根据22m n <可得:m n <,逐一验证每个选项,即可得出答案. 【详解】22m n m n <\<对于A,因为无法判断,m n 的正负性,故无法保证22log ,log m n 真数有意义,故A 错误; 对于B, 因为无法判断,m n 的正负性,故无法保证二次根式下非负,故B 错误; 对于C, 因为当1m =-,1n =满足m n <,此时11m n<,故C 错误; 对于D, 因为3y x =在R 上单调递增,所以可得33m n <,故D 正确. 故选:D. 【点睛】本题考查了指数函数的单调性，考查了对数和二次根式的定义，考查了幂函数的单调性，掌握基本初等函数的性质和利用特殊值法是解题关键,考查了分析能力,属于基础题. 6．下列关系式一定正确的是( ) A ．sin20<B ．cos30>C ．()sin π3sin3-=- D ．sin 22sin αα≤【答案】D【解析】根据诱导公式,正弦二倍角公式等基础知识,逐项判断,即可得出答案. 【详解】对于A,因为2弧度的角是第二象限角,所以sin20>,故A 错误; 对于B,因为3弧度的角是第二象限角,所以cos30<,故B 错误; 对于C,因为根据诱导公式可得:()sin 3sin3π-=,故C 错误; 对于D,因为sin 22sin cos 2sin αααα=≤,故D 正确. 故选:D. 【点睛】本题考查了判断三角函数象限符号,诱导公式和正弦二倍角公式.掌握三角函数基础知识是解本题关键,属于基础题.7．若函数sin 2y x =的图像经过点()00,P x y ,则其图像必经过点( ) A ．()00,x y - B ．00,2x y π⎛⎫+⎪⎝⎭C ．00,2x y π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．()00π,x y -【答案】C【解析】因为函数sin 2y x =的图像经过点()00P x y ，,可得00sin 2y x =,根据诱导公式逐项检验,即可得出答案. 【详解】函数sin 2y x =的图像经过点()00,P x y ,∴ 可得:00sin 2y x =对于A,将()00,x y -代入sin 2y x =,可得()000sin 2sin 2x x y -=-=-,则函数sin 2y x =不一定经过点()00,x y -,故A 错误;对于B,将00,2x y π⎛⎫+⎪⎝⎭代入sin 2y x =,可得()0000sin 2sin 2sin 22x x x y ππ⎛⎫+=+=-=- ⎪⎝⎭,则函数sin 2y x =不一定经过点00,2x y π⎛⎫+ ⎪⎝⎭,故B 错误; 对于C,将00,2x y π⎛⎫-⎪⎝⎭代入sin 2y x =,可得()0000sin 2sin 2sin 22x x x y ππ⎛⎫-=-== ⎪⎝⎭,则函数sin 2y x =经过点00,2x y π⎛⎫- ⎪⎝⎭,故C 正确;对于D,将()00π,x y -代入sin 2y x =,可得()()0000sin 2sin 22sin 2x x x y ππ-=-=-=-,则函数sin 2y x =不一定经过点()0π,x y -,故D 错误.故选:C. 【点睛】本题考查了判断点是否在已知直线上,熟练使用诱导公式是解题关键,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.8．已知tan 2α=,则tan tan 24παα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭( ) A ．1- B ．1C ．53D ．1715【答案】A【解析】根据tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+和22tan tan21tan ααα=- ,化简tan tan 24παα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,结合已知,即可求得答案.【详解】 根据tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+和22tan tan21tan ααα=- 化简2tan 12tan 2122tan tan 241tan 1tan 1214παααααα--⨯⎛⎫-+=+=+ ⎪+-+-⎝⎭ 14133=-=-. 故选:A. 【点睛】本题考查了三角函数化简求值,掌握正切的差角公式和二倍角公式是解题关键,考查了计算能力,属于基础题.9．函数()()sin f x A x =+ωϕ(其中0,0,A ωϕπ>><)的图像如图所示,则ω,ϕ的值为( )A ．3ω=,π4ϕ=B ．3ω=,π4ϕ=- C ．6ω=,π2ϕ=- D ．6ω=,π2ϕ=【答案】A【解析】由函数的图像的顶点坐标求出A ,由周期求出ω, 点,04π⎛⎫⎪⎝⎭在函数()f x 的图像上,结合已知即可求得答案. 【详解】由函数()f x 的图像的顶点坐标,可求得1A =541246T πππ=-= ∴ 223T ππω==，故3ω=，又点,04π⎛⎫⎪⎝⎭在函数()f x 的图像上，知34πϕπ+=解得4πϕ=,符合ϕπ<.故选:A.【点睛】本题主要考查由函数()()sin f x A x =+ωϕ的部分图像求解析式,由函数的图像的顶点坐标求出A ,由周期求出ω,考查了分析能力,属于中档题. 10．某数学课外兴趣小组对函数()12x f x -=的图像与性质进行了探究,得到下列四条结论：① 该函数的值域为()0,∞+; ② 该函数在区间[)0,+∞上单调递增;③ 该函数的图像关于直线1x =对称;④ 该函数的图像与直线()2y a a R =-∈不可能有交点.则其中正确结论的个数为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】画出()12x f x -=,逐项判断,即可求得答案.【详解】 画出()12x f x -=如图:对于①,根据()f x 图像可知,函数()f x 的值域为[)1,+∞,①错误;对于②, 根据()f x 图像可知,函数()f x 在区间[)0,1上单调递减,在[)1,+∞上单调递增,②错误;对于③, 根据()f x 图像可知,函数()f x 的图像关于直线1x =对称,③正确;对于④,因20y a =-≤,所以函数()f x 的图像与直线()2y aa R =-∈不可能有交点,④正确.综上所述,正确结论的个数为2 故选:B. 【点睛】本题考查根据函数解析式画出函数图像.掌握函数的基础知识和数形结合是解题关键,考查了分析能力,属于基础题. 11．函数2019sin log 22x xxy -=-在区间[)(]3,00,3-上的图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】利用函数的奇偶性和函数图像上的特殊点对选项进行排除，由此得出正确选项. 【详解】 令()2019sin log 22x xxf x -=-（[)(]3,00,3x -∈），()()2019sin log 22x xxf x f x --=-=--，所以函数为奇函数，图像关于原点对称，由此排除A,D 两个选项. 当3x =时，2019sin 363log 8y =，而3为第二象限角，所以sin30>，而201963log 08>，所以2019sin 3063log 8y =>，由此排除C 选项.故B 选项符合.故选：B. 【点睛】本小题主要考查根据函数的奇偶性和函数图像上的特殊点，判断函数的图像，属于基础题.12．已知函数()f x 是定义在R 上的函数,()11f =.若对任意的1x ,2x R ∈且12x x <有()()12123f x f x x x ->--,则不等式()()222log 32log 163log 32f x x -<--⎡⎤⎣⎦的解集为( ) A ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．4,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．24,33⎛⎫⎪⎝⎭D ．4,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】C 【解析】因为等式()()12123f x f x x x ->--可化为()()()12123f x f x x x -<--,即()()112233f x x f x x +<+,令函数()()3F x f x x =+,根据函数()F x 是R 上的增函数,即可求得答案. 【详解】不等式()()12123f x f x x x ->--可化为()()()12123f x f x x x -<--即()()112233f x x f x x +<+令函数()()3F x f x x =+,由()()112233f x x f x x +<+ 可得()()21>F x F x ,结合12x x <∴ 函数()()3F x f x x =+是R 上的增函数又()14F =不等式()()222log 32log 163log 32f x x -<--⎡⎤⎣⎦∴ ()()2log 321F x F -<⎡⎤⎣⎦ ∴ ()2log 321x -<,即0322x <-<∴2433x << 不等式()()222log 32log 163log 32f x x -<--⎡⎤⎣⎦的解集为:24,33⎛⎫⎪⎝⎭. 故选:C. 【点睛】利用函数性质解抽象函数不等式,解题关键是根据已知构造函数,利用对应函数单调性进行求解函数不等式,考查了转化能力和分析能力,属于中档题.二、填空题13．函数()()2lg 12f x x x =++-的定义域为______________. 【答案】()()1,22,-+∞U【解析】根据对数函数真数大于零和分式分母不为零,列出不等式组,即可求得()f x 的定义域. 【详解】根据对数函数真数大于零和分式分母不为零∴ 得1020x x +>⎧⎨-≠⎩,解得1x >-且2x ≠,故其定义域为()()1,22,-+∞U . 故答案为:()()1,22,-+∞U . 【点睛】本题主要考查了函数的定义域的求解,其中解答中熟记函数的定义域的概念,以及根据函数的解析式有意义,列出相应的不等式组是解答的关键. 14．计算：sin39cos21sin51sin 21︒︒+︒︒=____________.【解析】根据诱导公式和正弦的和角公式,化简sin39cos 21sin51sin 21+,即可求得答案. 【详解】根据诱导公式()sin 90sin αα︒-=则sin 51=cos39化简sin39cos 21sin51sin 21sin39cos 21cos39sin 21+=+()3sin 3921sin 60=+==故答案为:2. 【点睛】本题考查了三角函数化简求值,掌握诱导公式和正弦的和角公式是解题关键,考查了计算能力,属于基础题. 15．已知函数()2tan 41xf x x =++,则()()()()()21012f f f f f -+-+++=________.【答案】5【解析】因为()2tan 41x f x x =++,故()020tan 0141f =+=+,()()()22tan tan 24141x xf x f x x x -+-=+++-=++,即可求得答案. 【详解】()2tan41x f x x =++故()020tan 0141f =+=+ ∴ ()()()22tan tan 4141x x f x f x x x -+-=+++-++22424141xx x ⨯=+=++ ()()()()22112f f f f ∴-+=-+= ()()()()()210125f f f f f ∴-+-+++=故答案为:5. 【点睛】本题考查了已知函数解析式求函数值,解题关键是求出()()f x f x +-是定值,考查了分析能力和计算能力.16．若A 为不等边ABC 的最小内角,则()2sin cos 1sin cos A Af A A A=++的值域为____________.【答案】(1⎤⎦【解析】因为A 为不等边ABC 的最小内角,得0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,设sin cos t A A =+,故(sin cos 4t A A A π⎛⎫=+=+∈ ⎪⎝⎭,22sin cos 1A A t =-,化简()2sin cos 1sin cos A Af A A A=++,即可求得答案.【详解】A 为不等边ABC 的最小内角∴ 得0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,设sin cos t A A =+∴ (sin cos 4t A A A π⎛⎫=+=+∈ ⎪⎝⎭ 得:22sin cos 1A A t =-∴()(22sin cos 1111sin cos 1A A t f A t A A t -⎤===-∈⎦+++故答案为:(1⎤⎦. 【点睛】本题考查了辅助角公式与正弦函数的单调性,以及换元法的应用和基本不等式的应用,考查了分析能力和计算能力,属于中档题目．三、解答题17．已知集合{}|1A x x =≥,集合{}|33,B x a x a a R =-≤≤+∈. （1）当4a =时,求AB ；（2）若B A ⊆,求实数a 的取值范围. 【答案】（1）[)1,-+∞（2）(],2-∞【解析】（1）当4a =时,[]1,7B =-,根据并集定义,即可求得AB ;（2）因为B A ⊆,分别讨论B =∅和B ≠∅两种情况,即可求得实数a 的取值范围. 【详解】（1）当4a =时,[]1,7B =-∴ 又[)1,A =+∞,则[)1,A B ⋃=-+∞（2）因为{}|1A x x =≥, B A ⊆当B =∅时,33a a ->+,解得0a < 当B ≠∅时,3331a aa -≤+⎧⎨-≥⎩,解得02a ≤≤综上所述,实数a 的取值范围为(],2-∞. 【点睛】本题考查了并集运算和子集运算.本题的解题关键是掌握当B A ⊆时,分别讨论B =∅和B ≠∅两种情况,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.18．已知角α的顶点在坐标原点,始边与x 轴非负半轴重合,终边经过点()3,4P -. （1）求sin cos αα-的值；（2）求()()()sin cos 2cos 2sin ππααπαα⎛⎫+++ ⎪⎝⎭++-的值.【答案】（1）75-（2）87【解析】（1）因为角α的终边经过点()3,4P -,则5OP ==,根据三角函数的定义,即可求得答案;（2）根据诱导公式化简()()()sin cos 2cos 2sin ππααπαα⎛⎫+++ ⎪⎝⎭++-,结合已知,即可求得答案.【详解】 （1）角α的终边经过点()3,4P -∴5OP ==根据三角函数的定义可知43sin ,cos 55αα=-=∴437sin cos 555αα-=--=-故7sin cos 5αα-=-.（2）根据诱导公式化简:则()()()sin sin co sin cos 2cos 2si s in n s ππααπαααααα⎛⎫+++ ⎪⎝⎭++---=-4822sin 855734cos sin 7555ααα⎛⎫-⨯- ⎪-⎝⎭====-⎛⎫-- ⎪⎝⎭∴ ()()()sin cos 2cos 2sin ππααπαα⎛⎫+++ ⎪⎝⎭++-的值为:87. 【点睛】本题考查三角函数定义和诱导公式.在三角求值时,充分利用相关公式和已知条件进行化简,着重考察学生对三角公式的掌握和应用水平,属于中等题. 19．已知函数()()sin cos 06f x x x πωωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭图像两条相邻对称轴间的距离为π2. （1）求函数()f x 在[]0,π上的单调递增区间; （2）将函数()y f x =的图像向左平移π6个单位后得到函数()y g x =的图像,求函数()y g x =图像的对称中心坐标.【答案】（1）20,,,63πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（2）(),024k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ 【解析】（1）化简()()sin cos 06f x x x πωωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭,得()sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,根据正弦最小正周期:222T πππω==⨯=,结合已知解得2ω=,则()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭,结合正弦函数单调区间即可求得答案; （2）将函数()y f x =的图像向左平移π6个单位后得到函数()y g x =,得()sin 2cos 266y g x x x ππ⎡⎤⎛⎫==++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,即可求得()y g x =图像的对称中心坐标.【详解】（1）化简1()sin cos sin cos cos 622f x x x x x x πωωωωω⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭1cos sin 226x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ 根据正弦最小正周期:222T πππω==⨯=∴02ωω>∴=,则()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭根据正弦函数单调性其单调增区间为:222()262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈∴解得:()36k x k k Z ππππ-≤≤+∈又[]0,x π∈,∴ 函数()f x 在[]0,π上的单调递增区间为:20,,,63πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.（2）将函数()y f x =的图像向左平移π6个单位后得到函数()y g x = ∴ ()sin 2cos 266y g x x x ππ⎡⎤⎛⎫==++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦令22x k =+ππ，解得,24k x k Z =+∈ππ∴ 故()y g x =图像的对称中心坐标为(),024k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭【点睛】本题考查了三角函数的单调区间和求三角函数的对称中心, 解题关键是掌握辅助角公式:()sin cos a x b x x ϕ+=+ ,(tan baϕ=),考查了分析能力和计算能力,属于基础题.20．已知函数()24f x ax bx =++,其中,a b ∈R ,且0a ≠.（1）若函数()y f x =的图像过点()3,1-,且函数()f x 只有一个零点,求函数()f x 的解析式;（2）在（1）的条件下,若a Z ∈,函数()()ln g x f x kx =-⎡⎤⎣⎦在区间[)2,+∞上单调递增,求实数k 的取值范围.【答案】（1）()244f x x x =++或()214493f x x x =++（2）(),8-∞ 【解析】（1）因为()24f x ax bx =++,根据函数()y f x =的图像过点()31，-,且函数()f x 只有一个零点,联立方程即可求得答案;（2）因为a Z ∈,由（1）可知:()244f x x x =++,可得()()()2ln ln 44g x f x kx x k x ⎡⎤=-=+-+⎡⎤⎣⎦⎣⎦,根据函数()g x 在区间[)2,+∞上单调递增,即可求得实数k 的取值范围. 【详解】 （1）()24f x ax bx =++根据函数()y f x =的图像过点()31，-,且函数()f x 只有一个零点 ∴ 可得22(3)341160a b b a ⎧--+=⎨∆=-=⎩,整理可得23116b a b a =+⎧⎨=⎩,消去b ∴ 得291010a a -+=,解得1a =或19a =∴ 当1a =时,4b =,()244f x x x =++当19a =时,43b =,()214493f x x x =++ 综上所述,函数()f x 的解析式为:()244f x x x =++或()214493f x x x =++ （2）当a Z ∈,由（1）可知:()244f x x x =++∴ ()()()2ln ln 44g x f x kx x k x ⎡⎤=-=+-+⎡⎤⎣⎦⎣⎦要使函数()g x 在区间[)2,+∞上单调递增∴则须满足()242224240kk -⎧-≤⎪⎨⎪+-⨯+>⎩解得8k <,∴ 实数k 的取值范围为(),8-∞.【点睛】本题考查了求解二次函数解析式和已知复合函数单调区间求参数范围.掌握复合函数单调性同增异减是解题关键,考查了分析能力和计算能力,属于中等题.21．某科研团队对某一生物生长规律进行研究,发现其生长蔓延的速度越来越快．．．．．．.开始在某水域投放一定面积的该生物,经过2个月其覆盖面积为18平方米,经过3个月其覆盖面积达到27平方米.该生物覆盖面积y (单位：平方米)与经过时间()x x N ∈个月的关系有两个函数模型()0,1xy k ak a =⋅>>与()0y q p =>可供选择.（1）试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的函数解析式;（2）问约经过几个月,该水域中此生物的面积是当初投放的1000倍?(参考数据1.73,lg 20.30,lg 30.48≈≈≈≈) 【答案】（1）答案见解析（2）17 【解析】（1）因为函数()0,1xy k ak a =⋅>>中,y 随x 的增长而增长的速度越来越快,而函数()0y q p =>中,y 随x 的增长而增长的速度越来越慢,根据已知条件应选()0,1xy k ak a =⋅>>更合适,结合已知,即可求得该模型的函数解析式;（2）由（Ⅰ）知,当0x =时,8y =,所以原先投放的此生物的面积为8平方米,设经过x个月该水域中此生物的面积是当初投放的1000倍,则有38810002x⎛⎫⋅=⨯ ⎪⎝⎭,即可求得答案. 【详解】 （1）函数()0,1xy k ak a =⋅>>中,y 随x 的增长而增长的速度越来越快,而函数()0y q p =>中,y 随x 的增长而增长的速度越来越慢,根据已知条件应选()0,1xy k ak a =⋅>>更合适由已知得231827k a k a ⎧⋅=⎨⋅=⎩,解得328a k ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴函数解析式为()382xy x N ⎛⎫=⋅∈ ⎪⎝⎭（2）由（1）知,当0x =时,8y =,所以原先投放的此生物的面积为8平方米; 设经过x 个月该水域中此生物的面积是当初投放的1000倍,∴ 有38810002x⎛⎫⋅=⨯ ⎪⎝⎭解得lg1000317lg3lg 20.480.30x =≈≈--∴ 约经过17个月,该水域中此生物的面积是当初投放的1000倍.【点睛】本题考查了求解模型解析式和求解指数方程,解题关键是掌握函数的基础知识解题关键,考查了分析能力和计算能力.22．已知函数()cos 14f x x x π⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭.（1）当,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,()()20f x mf x m --≤恒成立,求实数m 的取值范围; （2）是否同时存在实数a 和正整数n ,使得函数()()g x f x a =-在[]0πn ，上恰有2019个零点?若存在,请求出所有符合条件的a 和n 的值;若不存在,请说明理由.【答案】（1）)2,⎡+∞⎣（2）答案见解析【解析】（1）化简()f x 得:()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则当,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,20,42x ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦, 要使()()20f x mf x m --≤对任意,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立,令()t f x =,则t ⎡∈⎣,()20h t t mt m =--≤对任意t ⎡∈⎣恒成立,即可求得答案.（2）若同时存在实数a 和正整数n 满足条件,函数()()g x f x a =-在[]0,n π上恰有2019个零点,即函数()y f x =与直线y a =在[]0,n π上恰有2019个交点,对a 进行讨论,即可求得答案. 【详解】（1）化简:()cos 14f x x x π⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭sin cos cos sin cos 144x x x ππ⎫=+⋅-⎪⎭22sin cos 2cos 1sin 2cos 2x x x x x =+-=+24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭当,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,20,42x ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,∴ []sin 20,14x π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,则()f x ⎡∈⎣要使()()20fx mf x m --≤对任意,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立,令()t f x =,则t ⎡∈⎣,()20h t t mt m =--≤对任意t ⎡∈⎣恒成立, 只需()0020h m h m ⎧=-≤⎪⎨=-≤⎪⎩∴解得2m ≥,∴实数m的取值范围为)2,⎡+∞⎣.（2）假设同时存在实数a 和正整数n 满足条件,函数()()g x f x a =-在[]0,n π上恰有2019个零点,即函数()y f x =与直线y a =在[]0,n π上恰有2019个交点 当[]0,x π∈时,92,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦, ①当a >a <,函数()y f x =与直线y a =在[]0,n π上无交点,②当a =a =,函数()y f x =与直线y a =在[0,]π上仅有一个交点,此时要使函数()y f x =与直线y a =在[]0,n π上恰有2019个交点,则2019n =; ③当1a <或1a <<时,函数()y f x =与直线y a =在[0,]π上有两个交点,此时函数()y f x =与直线y a =在[]0,n π上有偶数个交点,不可能有2019个交点,不符合;④当1a =时,函数()y f x =与直线y a =在[0,]π上有2个交点,此时要使函数()y f x =与直线y a =在[]0,n π上恰有2019个交点,则1009n =; 综上所述,存在实数a 和正整数n 满足条件:当a =,2019n =;当a =,2019n =; 当1a =时,1009n =. 【点睛】本题考查了根据不等式恒成立求参数和求函数交点个数问题.掌握函数的单调性的应用和函数的最值求法,数形结合是解题关键,考查等价转化思想方法与分析能力,属于中档题.。
2023-2024学年安徽省安庆市高一上册期末数学试题(含解析)
2023-2024学年安徽省安庆市高一上册期末数学试题一、单选题1．集合{}N 5215A x x =∈-<-<的子集个数为（）．A ．4B ．7C ．8D ．16【正确答案】C【分析】解出集合A ，再计算集合的子集个数.【详解】因为{}{}{}N |5215N|230,1,2A x x x x =∈-<-<=∈-<<=，所以该集合的子集的个数为328=，故选：C ．2．命题“5x ∀>，5log 1x >”的否定是（）．A ．5x ∀>，5log 1x ≤B ．05x ∃>，50log 1x ≤C ．5x ∀≤，5log 1x ≤D ．05x ∃≤，50log 1x ≤【正确答案】B【分析】根据命题的否定的定义判断．【详解】含全称量词的命题的否定是含存在量词的命题，命题“5x ∀>，5log 1x >”的否定是05x ∃>，50log 1x ≤．故选：B ．3．下列各式中，与5πsin 3的值相等的是（）．A ．πcos6B ．2πsin3C ．4πsin3D ．7πsin3【正确答案】C【分析】结合诱导公式求出各三角函数值后可得．【详解】因5ππsin sin 33=-=πcos 6=，2πsin 3=4ππsin sin 33=-=-7ππsinsin 332==，故选：C ．4．“角α是第三象限角”是“sin tan 0αα⋅<”的（）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【正确答案】A【分析】结合角所在象限的性质及充分不必要条件进行判断即可.【详解】当角α是第三象限角时，sin 0α<，tan 0α>，于是sin tan 0αα⋅<，所以充分性成立；当2sin sin tan 0cos αααα⋅=<，即cos 0α<时，角α是第二或第三象限角，所以必要性不成立，故选：A ．5．已知函数()11cos 33xf x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则其图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】A【分析】计算函数值(π)f 后可得．【详解】由条件知()ππ1111πcos π03333f ⎛⎫⎛⎫=+=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 符合，其它均不符合，故选：A ．6．已知tan 2a =，31log 3b =，20.99c =-，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．b<c<a【正确答案】A【分析】结合正切函数性质、指数函数性质，借助中间值1-比较可得．【详解】因23πtan 2tan 10.990.98014a b c =<=-=<=-=-，故选：A ．7．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v （单位：m/s ）与3log 100x成正比，其中x 表示鲑鱼的耗氧量的单位数．当一条鲑鱼的耗氧量是2700个单位时，它的游速为1.5m/s ．若一条鲑鱼的游速提高了1m/s ，则它的耗氧量的单位数是原来的（）倍．A ．4B ．8C ．9D ．27【正确答案】C【分析】根据初始值求得比例系数k ，然后设原来的耗氧量的单位数为1x ，提速后的耗氧量的单位数为2x ，由速度差列等式求解．【详解】根据条件设3log 100x v k =，当2700x =时， 1.5v =，代入得327001.5log 3100k k ==，解得12k =，所以31log 2100x v =，设原来的耗氧量的单位数为1x ，提速后的耗氧量的单位数为2x ，则2123331111log log log 1210021002x x xx -==，所以22139x x ==，故选：C ．8．已知函数()ln 2f x x x =+-的零点为0x ，则下列说法错误的是（）．A ．()01,2x ∈B ．020e ex x =C ．()0021xx -<D ．0201x x -<【正确答案】D【分析】由零点存在定理及单调性确定零点0(1,2)x ∈，再利用零点的性质结合对数函数与指数函数性质判断各选项．【详解】由条件知函数()f x 在其定义域内单调递增，所以其最多有一个零点，又()110f =-<，()2ln 20f =>，于是()01,2x ∈，A 正确；所以000l 2n x x +-=，整理得()0000ln ln e ln e 2x x x x +==，所以020e e x x =，B 正确；因()01,2x ∈，所以()020,1-∈x ，于是()0021xx -<，0201x x ->，C 正确，D 错误，故选：D ．二、多选题9．下列各式中，其中运算结果正确的是（）．A π4=-B ．()233log 937⨯=C ．lg 4lg 252+=D ．42log 9log 3=【正确答案】BCD【分析】利用开偶次方的性质以及对数的运算性质逐项分析即可.【详解】A π44π=-=-，A 错误；B 选项：()23733log 93log 37⨯==，B 正确；C 选项：2lg 4lg 25lg100lg102+===，C 正确；D 选项：22422log 9log 3log 3==，D 正确．故选：BCD ．10．已知函数()πtan 4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列叙述中，正确的是（）．A ．函数()f x 的图象关于点π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．函数()f x 在ππ,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增C ．函数()y f x =的最小正周期为π2D ．函数()y f x =是偶函数【正确答案】AB【分析】由正切函数性质判断AB ，利用特殊值及周期性、奇偶性的定义判断CD ．【详解】π()tan 004f -==，A 正确；ππ(,44x ∈-时，ππ(0,)42x +∈，因此此时()f x 递增，B 正确；π(04f -=，但π()4f 不存在，C ，D 均不正确，故选：AB ．11．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（0A >，0ω>，π2ϕ<）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．函数()f x 的图象关于直线5π12x =-对称C ．函数()f x 图象向右平移π6个单位可得函数2sin y x =的图象D ．若方程()()R f x m m =∈在ππ,63⎡⎤-⎢⎣⎦上有两个不等实数根1x ，2x ，则()121cos 2x x +=．【正确答案】AB【分析】根据图象确定函数的解析式，然后由正弦函数性质判断各选项．【详解】由图可知2A =，πππ43124T =-=，所以2ππT ω==，于是A 正确，所以2ω=，则()()2sin 2f x x ϕ=+，将点π,212⎛⎫ ⎪⎝⎭代入得：π2sin 26ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以ππ2π62k ϕ+=+，Z k ∈，又2πϕ<，所以π3ϕ=，所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于B ，因为5π5ππ2sin 21263f ⎛⎫⎛⎫-=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，为最小值，所以函数()f x 的图象关于直线5π12x =-对称，故B 正确；对于C ，将函数()f x 图象向右平移π6个单位，可得函数ππ2sin 22sin 263y x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故C 错误；对于D ，由条件结合图象可知12π212x x +=，于是12π6x x +=，所以()12πcos cos 6x x +==故D 错误．故选：AB ．12．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，()()11f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2f x x =，则下列关于函数()y f x =的判断中，其中正确的判断是（）．A ．函数()y f x =的最小正周期为4B ．11124f ⎛⎫=⎪⎝⎭C ．函数()y f x =在[]2,4上单调递增D ．不等式()0f x ≥的解集为[]()4,42Z k k k +∈．【正确答案】ABD【分析】由奇函数的性质与对称性得出函数的周期性，结合周期性、奇偶性、对称性及函数在[0,1]上的解析式可得函数的性质，从而判断各选项．【详解】由()()11f x f x +=-得()()2f x f x +=-，于是()()()()()422f x f x f x f x f x +=--=-+=--=，所以函数()y f x =的最小正周期为4，A 正确；211311122224f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，B 正确；()f x 在[0,1]上递增，由()f x 是奇函数得()f x 在[1,0]-上递增，即在[1,1]-上递增，又()f x 图象关于直线1x =对称（∵(1)(1)f x f x +=-），因此()f x 在[1,3]上递减，而()f x 是周期为4的周期函数，因此()f x 在[3,5]上递增，C 错误；由选项C 的讨论，可得到不等式()0f x ≥的解集为[]()4,42Z k k k +∈，D 正确．故选：ABD ．三、填空题13．已知23x =，则2222x x -+=________．【正确答案】829##199【分析】根据指数幂的运算法则计算即可．【详解】由已知得()()22221822222999x x xx --+=+=+=．故829．14．已知函数11x y a +=+（0a >且1a ≠）的图象经过定点P ，且点P 在角α的终边上，则sin cos αα=________．【正确答案】25-【分析】先由指数型函数过定点的性质求得P 的坐标，再利用三角函数的定义即可求得sin ,cos αα，从而得解.【详解】因为函数11x y a +=+（0a >且1a ≠）的图象经过定点P ，令10x +=，则1,2x y =-=，所以()1,2P -，于是sin α===cos α=-所以2sin cos 555αα⎛==- ⎝⎭．故答案为.25-四、双空题15．已知幂函数()23my m x =-在()0,∞+上单调递增，则实数m =________；函数()212log y x mx =-+的单调递增区间为________．【正确答案】2[)1,2（或()1,2）【分析】先利用幂函数的定义与单调性求得m 的值，再利用对数函数与复合函数的单调性即可求得()212log y x mx =-+的单调递增区间.【详解】因为()23my m x =-是幂函数，所以231m -=，解得2m =±，又()23my m x =-在()0,∞+上单调递增，所以0m >，则2m =；于是()()221122log log 2y x mx x x =-+=-+，由220x x -+>，解得02x <<，则()212log 2y x x =-+的定义域为()0,2，又()2221x x x μ=-+=--，其开口向下，对称轴为1x =，所以22x x μ=-+在(]0,1（或()0,1）上单调递增，在[)1,2（或()1,2）上单调递减，又12log y μ=在其定义域内单调递减，所以()212log y x mx =-+的单调递增区间为[)1,2（或()1,2）．故2；[)1,2（或()1,2）．五、填空题16．已知a ，b ，c 均为正实数，且1a b +=，则3241ac c b ab c +++的最小值为________．【正确答案】18【分析】先化简提公因式再应用1a b +=，a ，b 应用基本不等式，()246161c c ++-+再应用基本不等式，确定取等条件成立取得最小值即可.【详解】由条件知()232432411a b ac c a c b ab c b ab c ⎡⎤+++=++⎢⎥++⎢⎥⎣⎦()4242424242266161111a b c c c c b a c c c c ⎛⎫⎛⎫=+++≥+=+=++- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭618≥-=，当且仅当4a b b a =，()24611c c +=+，又因为1a b +=，即13a =，23b =，1c =时，3241ac c b ab c +++的最小值为18．故18.六、解答题17．已知集合{}25,R A x x x a a =-≤∈，集合{}2log 1B x x =≤．(1)当4a =-时，求A B ⋂；(2)若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围．【正确答案】(1)[]1,2A B = (2)[)0,a ∈+∞．【分析】（1）解不等式确定集合,A B ，然后由交集定义计算；（2）由并集的结论得B A ⊆，转化为25a x x ≥-对(]0,2x ∀∈恒成立，求出25x x -在2(]0,x ∈时的取值范围后可得参数范围．【详解】（1）当4a =-时，2540x x -+≤，解得14x ≤≤，所以[]1,4A =,{}(]2log 10,2B x x =≤=，所以[]1,2A B = ．（2）由A B A ⋃=得B A ⊆，又(]0,2B =，所以25a x x ≥-对(]0,2x ∀∈恒成立，当(]0,2x ∈时，[)2252556,024x x x ⎛⎫-=--∈- ⎪⎝⎭．所以0a ≥，于是实数a 的取值范围为[)0,a ∈+∞．18．已知函数()2f x x bx c =++（b ，c ∈R ）是定义在R 上的偶函数，且满足()104f f ⎡⎤=-⎣⎦．(1)求函数()f x 的解析式；(2)试判断函数()()()023axg x a f x =>+在[)1,+∞上的单调性并证明．【正确答案】(1)()212f x x =-(2)函数()g x 在[)1,+∞上单调递减，证明见解析【分析】（1）由偶函数的定义，利用恒等式知识求解；（2）根据单调性的定义证明．【详解】（1）由条件可知()()f x f x -=，即()()22x b x c x bx c -+-+=++对任意的x ∈R 恒成立，所以0b =．于是()2f x x c =+，所以()()2104f f f c c c ⎡⎤==+=-⎣⎦，解得12c =-，所以函数()f x 的解析式为()212f x x =-．（2）由（1）可知()()22322ax axg x f x x ==++，当0a >时，函数()g x 在[)1,+∞上单调递减．证明如下：设1x ∀，[)21,x ∈+∞且12x x <，所以()()()()()()()()()()221221211212122222221212121112222211211a x x x x a x x x x ax ax g x g x x x x x x x ⎡⎤+-+--⎣⎦-=-==++++++，因121x x ≤<，所以210x x ->，1210x x ->，()()2212110x x ++>，又0a >，所以()()120g x g x ->即()()12g x g x >，因此当0a >时，函数()g x 在[)1,+∞上单调递减．19．在△ABC 中，3tan 4A =-．(1)求()sin B C +，()cos B C +的值；(2)求sincos 22sin cos22AAAA +-的值．【正确答案】(1)()3sin 5B C +=，()4cos 5B C +=(2)2【分析】（1）由同角间的三角函数关系求得sin ,cos A A ，再由诱导公式可得结论；（2）由正切的二倍角公式求得tan 2A，然后由弦化切求值．【详解】（1）由3tan 04A =-<知角A 为钝角，所以sin 0A >，cos 0A <因sin 3tan cos 4A A A ==-，22sin cos 1A A +=，解得3sin 5A =，4cos 5A =-，于是()()3sin sin πsin 5B C A A +=-==，()()4cos cos πcos 5B C A A +=-=-=．（2）由22tan32tan 41tan 2AA A ==--，整理得23tan 8tan 3022A A --=，解得tan 32A =或1tan 23A =-，因ππ422A <<，所以tan 32A =．所以sin cos tan 131222231sin cos tan 1222A A A A A A +++===---．20．已知函数()e e 2x x f x --=，()e e 2x x g x -+=，其中e 是自然对数的底数．(1)求证：()()()222g x f x g x =+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；(2)求函数()()()722h x g x g x =-的零点．【正确答案】(1)证明见解析(2)零点为(ln 2，(ln 2-．【分析】（1）分别计算(2)g x 和22[()][()]f x g x +可证；（2）用换元法解方程()0h x =可得．【详解】（1）由条件知()22e e 22x xg x -+=，()()2222222222e e e e e 2e e 2e e e 22442x x x x x x x x x xf xg x -----⎛⎫⎛⎫-+-++++⎡⎤⎡⎤+=+=+= ⎪ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭，所以()()()222g x f x g x =+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦．（2）因()()()()22222e e 222e e221222x xx x g x g x g x --+-⎡⎤-+⎣⎦⎡⎤====-⎣⎦，令()0h x =，则()()272102g x g x ⎡⎤--=⎣⎦即()()24720g x g x ⎡⎤--=⎣⎦，即()()2410g x g x ⎡⎤⎡⎤-⋅+=⎣⎦⎣⎦，解得()2g x =或()14g x =-，又()e e 12x xg x -+==，当且仅当e e x x -=，即0x =时取等号，所以()2g x =，于是e e 22x x-+=整理得2e 4e 10x x -+=，于是e 2x =+e 2x =-，解得(ln 2x =或(ln 2x =，所以函数()()()722h x g x g x =-的零点为(ln 2，(ln 2．21．2022年11月20日，备受全球球迷关注的第22届世界杯足球赛如期开幕，全球32支参赛队伍，将在64场比赛中争夺世界足球的最高荣誉大力神杯！某体育用品商店借此良机展开促销活动，据统计，该店每天的销售收入不低于2万元时，其纯利润y（单位：万元）随销售收入x（单位：万元）的变化情况如下表所示：x（万元）235y（万元）145494(1)根据表中数据，分别用模型()logay x m b=++（0a>且1a≠）与y d=建立y 关于x的函数解析式；(2)已知当9x=时， 3.3y=，你认为（1）中哪个函数模型更合理？请说明理由．（参考数据：7.55≈）【正确答案】(1)()()21log124y x x=-+≥，()124y x=-≥(2)选用模型()()21log124y x x=-+≥更合理，理由见解析【分析】（1）根据已知数据列方程组求解即得；（2）9x=代入两个模型计算后比较可得．【详解】（1）若选用()logay x m b=++，则依题意可得()()()1log245log349log54aaam bm bm b⎧++=⎪⎪⎪++=⎨⎪⎪++=⎪⎩，解得2a=，1m=-，14b=，则()()21log124y x x=-+≥．若选用yd=+，则依题意可得145494ddd⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得c=158n=-，14d=-，则()124y x =≥．（2）对于函数()21log 14y x =-+，当9x =时，13 3.254y ==（万元）；对于函数14y =，当9x =时，1 3.5254y =≈（万元）；因3.525 3.3 3.25 3.3->-，所以选用模型()()21log 124y x x =-+≥更合理．22．已知函数()()2sin 2cos R f x x x a a =-+∈，且满足________．从①函数()f x 的图象关于点π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭对称；②函数()f x 的最大值为2；③函数()f x 的图象经过点π3⎛ ⎝．这三个条件中任选一个补充到上面的横线上，并解答下面的问题：(1)求实数a 的值并求函数()f x 的单调递增区间；(2)已知函数()()22lg lg R g x x m x m m =--∈，若对任意的1ππ,64x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，总存在[]21,100x ∈，使得()()12f x g x ≤，求实数m 的取值范围．【正确答案】(1)a =()π5ππ,πZ 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；(2)[]3,1-．【分析】（1）由二倍角公式、两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，选①，由π(06f =求得a ，再由正弦函数性质得单调增区间；选②，由结合正弦函数的最大值求得a ，再由正弦函数的单调性求得增区间；选③，由π()3f =a ，再由正弦函数的单调性得增区间；（2）求出(),()f x g x 的最大值，由()()max max f x g x ≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦可得参数范围．【详解】（1）由条件知())2sin 22cos 1f x x x a=--sin 22x x a =--π2sin 23x a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭若选①，则π06f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，解得a =()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由πππ2π22π232k x k -≤-≤+，解得π5πππ1212k x k -≤≤+，Z k ∈，所以函数()f x 的单调递增区间为()π5ππ,πZ 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．若选②，则函数()f x 的最大值为22a +=，解得a =()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由πππ2π22π232k x k -≤-≤+，解得π5πππ1212k x k -≤≤+，Z k ∈，所以函数()f x 的单调递增区间为()π5ππ,πZ 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．若选③，则πππ2sin 2333f a a ⎛⎫⎛⎫=⨯-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以a =()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由πππ2π22π232k x k -≤-≤+，解得π5πππ1212k x k -≤≤+，Z k ∈，所以函数()f x 的单调递增区间为()π5ππ,πZ 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．（2）由题意可知只需()()max max f x g x ≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦即可．当ππ,64x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π2ππ2,336x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以π1sin 21,32x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，因此函数()f x 的最大值为1．令lg x t =，则[]0,2t ∈，则()22g x t mt m=--当12m ≤即2m ≤时，函数()g x 的最大值为242m m --，于是2421m m --≥，整理得2230m m +-≤，解得31m -≤≤，均满足2m ≤，所以31m -≤≤；当12m >即>2m 时，函数()g x 的最大值为2m -，于是21m -≥，无实解；综上所述，实数m 的取值范围为[]3,1-．。
2023-2024学年安徽省安庆一中高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年安徽省安庆一中高一（上）期末数学试卷一、单选题（本题共8小题总分40分） 1．sin600°＝（ ） A ．12B ．−12C ．√32D ．−√322．函数f(x)=√log 2(1−x)的定义域是（ ） A ．（﹣∞，1）B ．（0，+∞）C ．（0，1）D ．（﹣∞，0]3．已知集合A ＝{x ∈Z |﹣1≤x ＜4}，B ＝{x |x 2﹣4x ≤0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{1，2，3，4}B ．{1，2，3}C ．{0，1，2，3}D ．（0，4）4．若x 1=π4，x 2=3π4是函数f （x ）＝sin ωx （ω＞0）两个相邻的极值点，则ω＝（ ）A ．2B ．32C ．1D ．125．函数f （x ）=1+e x1−e xcos x 的图象大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．6．“关于x 的不等式ax 2﹣2x +1＞0对∀x ∈R 上恒成立”的一个必要不充分条件是（ ） A ．a ＞0B ．a ＞1C ．0＜a ＜12D ．a ＞27．已知ω＞0，函数f(x)=3sin(ωx +π4)−2在区间[π2，π]上单调递减，则ω的取值范围是（ ）A ．(0，12]B ．（0，2]C ．[12，34]D ．[12，54]8．已知函数f （x ）={log 2(x +2)，−2＜x ≤0x 2−2x +1，x ＞0，若函数g （x ）＝[f （f （x ））]2﹣（a +1）•f （f （x ））+a （a ∈R ）恰有8个不同零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（0，1）B ．[0，1]C ．（0，+∞）D ．[0，+∞）二、多选题（本题共4小题总分20分） 9．下列说法不正确的是（ ）A ．命题p ：∃x ∈R 使得x 2+2x +3＜0，则¬p ：∀x ∈R ，x 2+2x +3＞0B ．若g （x ）是奇函数，则一定有g （0）＝0C ．已知函数f(x)={−x 2−ax −5(x ≤1)ax (x ＞1)在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是[﹣3，﹣1]D ．若f （x ）的定义域为[﹣2，2]，则f （2x ﹣1）的定义域为[−12，32]10．已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．φ=π3B ．函数f （x ）的图象关于(16，0)对称C ．函数f （x ）在[16，23]的值域为[﹣2，5]D ．要得到函数g （x ）＝A cos （ωx +φ）的图象，可将函数f （x ）的图象向左平移14个单位11．下列式子中最小值为4的是（ ） A ．sin 2x +4sin 2xB ．2x +22﹣xC ．8+log 2(2x)⋅log 2x8D ．1sin 2x +1cos 2x12．已知f （x ）和g （x ）都是定义在R 上的函数，则（ ）A ．若f （x +1）+f （1﹣x ）＝2，则f （x ）的图象关于点（1，1）中心对称B ．函数y ＝f （x ﹣1）与y ＝f （1﹣x ）的图象关于y 轴对称C ．若g （x +1）＝﹣g （x ），则函数g （x ）是周期函数，其中一个周期T ＝2D ．若方程x ﹣g （f （x ））＝0有实数解，则f （g （x ））不可能是x 2+x +1 三、填空题（本题共4小题总分20分） 13．已知幂函数f （x ）＝（m 2﹣2m ﹣2）x m﹣1在区间（0，+∞）上单调递增，则m ＝ ．14．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为m ＝2sin18°，若m 2+n ＝4，则m+√nsin63°= ．．15．对于函数f （x ），若在其图象上存在两点关于原点对称，则称f （x ）为“倒戈函数”，设函数f （x ）＝3x +tan x ﹣2m +1（m ∈R ）是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数m 的取值范围是 ． 16．对于函数f （x ），如果存在区间[m ，n ]，同时满足下列条件：①f （x ）在[m ，n ]上是单调的；②当f （x ）的定义域是[m ，n ]时，f （x ）的值域是[3m ，3n ]，则称[m ，n ]是该函数的“倍值区间”．若函数f(x)=√x +1+a 存在“倍值区间”，则a 的取值范围是 ． 四、解答题（本题共6小题总分70分）17．（10分）（1）求(lg2)2+lg2⋅lg50+lg25+√1.53×√126×√3的值； （2）已知2cos 2α+3cos αsin α﹣3sin 2α＝1，α∈(−32π，−π)，求2sin(π−α)−3sin(π2+α)4sinα−9cosα的值．18．（12分）设函数f(x)=cos(2x +π3)+2sin 2x ．（1）求函数f （x ）的对称中心；（2）若α∈(π4，π2)，且f(α)=25，求sin2α的值．19．（12分）已知函数f(x)=xx 2+4． （1）判断f （x ）在[﹣2，2]上的单调性，并用定义证明；（2）设g （x ）＝kx 2+2kx +1（k ≠0），若对任意的x 1∈[﹣2，2]，总存在x 2∈[﹣1，2]，使得f （x 1）＝g （x 2）成立，求实数k 的取值范围．20．（12分）某大型商场为迎接新年的到来，在自动扶梯AC （AC ＞5米）的C 点的上方悬挂竖直高度为5米的广告牌DE ．如图所示，广告牌底部点E 正好为DC 的中点，电梯AC 的坡度∠CAB ＝30°．某人在扶梯上点P 处（异于点C ）观察广告牌的视角∠DPE ＝θ．当人在A 点时，观测到视角∠DAE 的正切值为√39． （1）求扶梯AC 的长；（2）当某人在扶梯上观察广告牌的视角θ最大时，求CP 的长．21．（12分）设定义域为R 的奇函数f(x)=2−a−2x2x+1+2a，（其中a 为实数）．（1）求a 的值；（2）是否存在实数k 和x ∈[﹣1，3]，使不等式f （x 2﹣kx ）+f （2﹣x ）＞0成立？若存在，求出实数k 的取值范围；若不存在，请说明理由．22．（12分）设m 为给定的实常数，若函数y ＝f （x ）在其定义域内存在实数x 0，使得f （x 0+m ）＝f （x 0）+f （m ）成立，则称函数f （x ）为“G （m ）函数”．（1）若函数f （x ）＝2x 为“G （2）函数”，求实数x 0的值； （2）证明：函数h （x ）＝2x +x 2为“G （1）函数”； （3）若函数f(x)=lg ax 2+1为“G （1）函数”，求实数a 的取值范围．2023-2024学年安徽省安庆一中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（本题共8小题总分40分） 1．sin600°＝（ ） A ．12B ．−12C ．√32D ．−√32解：sin600°＝sin （720°﹣120°）＝﹣sin120°＝﹣sin （180°﹣60°）＝﹣sin60°=−√32，故选：D ．2．函数f(x)=√log 2(1−x)的定义域是（ ） A ．（﹣∞，1） B ．（0，+∞）C ．（0，1）D ．（﹣∞，0]解：由{1−x ＞0log 2(1−x)≥0，得{1−x ＞01−x ≥1，解得x ≤0，所以函数的定义域为（﹣∞，0]．故选：D ．3．已知集合A ＝{x ∈Z |﹣1≤x ＜4}，B ＝{x |x 2﹣4x ≤0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{1，2，3，4}B ．{1，2，3}C ．{0，1，2，3}D ．（0，4）解：A ＝{x ∈Z |﹣1≤x ＜4}＝{﹣1，0，1，2，3}，B ＝{x |0≤x ≤4}，所以A ∩B ＝{0，1，2，3}． 故选：C ．4．若x 1=π4，x 2=3π4是函数f （x ）＝sin ωx （ω＞0）两个相邻的极值点，则ω＝（ ）A ．2B ．32C ．1D ．12解：∵x 1=π4，x 2=3π4是函数f （x ）＝sin ωx （ω＞0）两个相邻的极值点，∴T ＝2（3π4−π4）＝π=2πω∴ω＝2，故选：A ． 5．函数f （x ）=1+e x1−e xcos x 的图象大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．解：∵f （﹣x ）=1+e −x 1−e −x •cos （﹣x ）=e x +1e x −1•cos x =−1+e x1−e xcos x ＝﹣f （x ）， ∴f （x ）为奇函数，排除选项A 和C ；当0＜x ＜1时，e x ＞1，cos x ＞0，∴f （x ）＜0，排除选项B ， 故选：D ．6．“关于x 的不等式ax 2﹣2x +1＞0对∀x ∈R 上恒成立”的一个必要不充分条件是（ ） A ．a ＞0B ．a ＞1C ．0＜a ＜12D ．a ＞2解：当a ＝0时，不等式化为﹣2x +1＞0，解得x ＜12，在R 上不恒成立；当a ≠0时，若不等式ax 2﹣2x +1＞0对∀x ∈R 恒成立，则{a ＞0Δ=4−4a ＜0，解得a ＞1．综上所述，“关于x 的不等式ax 2﹣2x +1＞0对∀x ∈R 上恒成立”的充要条件为“a ＞1”，因此，所求必要不充分条件，对应的范围应该真包含（1，+∞），对照各项可知A 项“a ＞0”符合题意． 故选：A ．7．已知ω＞0，函数f(x)=3sin(ωx +π4)−2在区间[π2，π]上单调递减，则ω的取值范围是（ ）A ．(0，12]B ．（0，2]C ．[12，34]D ．[12，54]解：由2kπ+π2≤wx +π4≤2kπ+3π2，k ∈Z ，得2kπw +π4w ≤x ≤2kπw +5π4w，k ∈Z ， 即函数的单调递减区间为[2kπw +π4w ，2kπw +5π4w]，k ∈Z ， 令k ＝0，则函数f （x ）其中一个的单调递减区间为：[π4w ，5π4w]， 函数f （x ）在区间[π2，π]内单调递减，则满足{5π4w ≥ππ4w ≤π2，得{ω≥12ω≤54，所以w 的取值范围是[12，54]． 故选：D ．8．已知函数f （x ）={log 2(x +2)，−2＜x ≤0x 2−2x +1，x ＞0，若函数g （x ）＝[f （f （x ））]2﹣（a +1）•f （f （x ））+a （a ∈R ）恰有8个不同零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，1）B ．[0，1]C ．（0，+∞）D ．[0，+∞）解：由g （x ）＝[f （f （x ））]2﹣（a +1）•f （f （x ））+a ＝0得[f （f （x ））﹣1][f （f （x ）﹣a ]＝0， 则f （f （x ））＝1或f （f （x ））＝a ，作出f （x ）的图象如图，则若f （x ）＝1，则x ＝0或x ＝2，设t ＝f （x ），由f （f （x ））＝1得f （t ）＝1， 此时t ＝0或t ＝2，当t ＝0时，f （x ）＝t ＝0，有两个根，当t ＝2时，f （x ）＝t ＝2，有1个根， 则必须有f （f （x ））＝a ，（a ≠1）有5个根， 设t ＝f （x ），由f （f （x ））＝a 得f （t ）＝a ，若a ＝0，由f （t ）＝a ＝0得t ＝﹣1，或t ＝1，f （x ）＝﹣1有一个根，f （﹣x ）＝1有两个根，此时有3个根，不满足条件．若a ＞1，由f （t ）＝a 得t ＞2，f （x ）＝t 有一个根，不满足条件． 若a ＜0，由f （t ）＝a 得﹣2＜t ＜﹣1，f （x ）＝t 有一个根，不满足条件． 若0＜a ＜1，由f （t ）＝a 得﹣1＜t 1＜0，或0＜t 2＜1或1＜t 3＜2，当﹣1＜t 1＜0时，f （x ）＝t 1，有一个根，当0＜t 2＜1时，f （x ）＝t 2，有3个根， 当1＜t 3＜2时，f （x ）＝t 3，有一个根，此时有1+3+1＝5个根，满足条件． 故0＜a ＜1，即实数a 的取值范围是（0，1）， 故选：A ．二、多选题（本题共4小题总分20分） 9．下列说法不正确的是（ ）A ．命题p ：∃x ∈R 使得x 2+2x +3＜0，则¬p ：∀x ∈R ，x 2+2x +3＞0B ．若g （x ）是奇函数，则一定有g （0）＝0C ．已知函数f(x)={−x 2−ax −5(x ≤1)ax (x ＞1)在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是[﹣3，﹣1]D ．若f （x ）的定义域为[﹣2，2]，则f （2x ﹣1）的定义域为[−12，32]解：根据题意，依次分析选项：对于A ，命题p ：∃x ∈R 使得x 2+2x +3＜0，则¬p ：∀x ∈R ，x 2+2x +3≥0，故A 不正确； 对于B ，若奇函数g(x)=1x，x ＝0时，g （x ）无意义，故B 不正确；对于C ，已知函数f(x)={−x 2−ax −5(x ≤1)a x (x ＞1) 在 R 上是增函数，首先当x ＞1时，f(x)=ax单调递增，则a ＜0，其次当x ≤1时，f （x ）＝﹣x 2﹣ax ﹣5（对称轴为x =−a 2）单调递增，则−a2≥1，即a ≤﹣2，但若要保证函数f(x)={−x 2−ax −5(x ≤1)a x (x ＞1)在 R 上是增函数，还需满足−12−a ×1−5≤a1，即a≥﹣3，所以实数a 的取值范围是[﹣3，﹣2]，故C 不正确；对于D ，若f （x ）的定义域为[﹣2，2]，则f （2x ﹣1）的定义域满足﹣2≤2x ﹣1≤2，解得−12≤x ≤32，故D 正确． 故选：ABC ．10．已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．φ=π3B ．函数f （x ）的图象关于(16，0)对称C ．函数f （x ）在[16，23]的值域为[﹣2，5]D ．要得到函数g （x ）＝A cos （ωx +φ）的图象，可将函数f （x ）的图象向左平移14个单位解：对于A ，由图可知A =2，T 4=13−112=14，所以T ＝1，又因为T =2πω， 所以ω＝2π，所以f （x ）＝2sin （2πx +φ）， 又函数图象最高点为(112，2)， 所以f(112)=2sin(π6+φ)=2，即sin(π6+φ)=1， 所以π6+φ=π2+2kπ，k ∈Z ，解得φ=π3+2kπ，k ∈Z ，由题意|φ|＜π2，所以只能k ＝0，此时φ=π3，故A 选项正确；对于B ，由A 选项分析可知f(x)=2sin(2πx +π3)，因为f(16)=2sin(π3+π3)=√3≠0，所以函数f （x ）的图象不关于(16，0)对称，故B 选项错误；对于C ，当x ∈[16，23]时，2πx ∈[π3，4π3]，所以t =2πx +π3∈[2π3，5π3]，而函数y ＝2sin t 在[2π3，3π2]上单调递减，在[3π2，5π3]上单调递增，所以当x ∈[16，23]时，−2=2×(−1)≤f(x)≤2×√32=√3，所以函数f （x ）在[16，23]的值域为[−2，√3]，故C 选项正确；对于D ，若将函数f(x)=2sin(2πx +π3)的图象向左平移14个单位，则得到的新的函数解析式为h （x ）＝2sin[2π（x +14）+π3]＝2sin[（2πx +π3）+π2]＝2cos （2πx +π3）＝g （x ），故D 选项正确． 故选：ACD ．11．下列式子中最小值为4的是（ ） A ．sin 2x +4sin 2xB ．2x +22﹣xC ．8+log 2(2x)⋅log 2x8D ．1sin 2x +1cos 2x解：对于A ：sin 2x +4sin 2x≥2|sinx|⋅|2sinx |=4，当且仅当|sinx|=|2sinx|，即当且仅当sinx =±√2时等号成立， 但sinx =±√2不成立，所以sin 2x +4sin 2x的最小值取不到4，故选项A 错误； 对于B ：因为2x ＞0，2﹣x ＞0，则2x +22−x ≥2√2x ⋅22−x =4， 当且仅当2x ＝22﹣x ，即x ＝1时，等号成立，所以2x +22﹣x的最小值为4，故选项B 正确；对于C ：8+log 2(2x)⋅log 2x=8+(1+log 2x)(log 2x −3)=log 22x −2log 2x +5=(log 2x −1)2+4，当x ＝2时，取得最小值4，故选项C 成立；对于D ：由题意sin 2x ＞0，cos 2x ＞0， 则1sin 2x+1cos 2x=(sin 2x +cos 2x )(1sin 2x+1cos 2x)=cos 2x sin 2x+sin 2x cos 2x+2≥2√cos 2x sin 2x ⋅sin 2x cos 2x+2=4，当且仅当cos 2x sin 2x=sin 2x cos 2x，即tan x ＝±1时，等号成立，故选项D 正确．故选：BCD ．12．已知f （x ）和g （x ）都是定义在R 上的函数，则（ ）A ．若f （x +1）+f （1﹣x ）＝2，则f （x ）的图象关于点（1，1）中心对称B ．函数y ＝f （x ﹣1）与y ＝f （1﹣x ）的图象关于y 轴对称C ．若g （x +1）＝﹣g （x ），则函数g （x ）是周期函数，其中一个周期T ＝2D ．若方程x ﹣g （f （x ））＝0有实数解，则f （g （x ））不可能是x 2+x +1解：对于A 选项，由f （x +1）+f （1﹣x ）＝2，得f （x +1）﹣1+f （﹣x +1）﹣1＝0，设F （x ）＝f （x +1）﹣1，则F （x ）+F （﹣x ）＝0，所以F （x ）是奇函数，图象关于（0，0）对称，所以根据函数图象变换的知识可知f （x ）的图象关于点（1，1）中心对称，A 选项正确；对于B 选项，y ＝f （x ）与y ＝f （﹣x ）的图象关于y 轴对称，所以y ＝f （x ﹣1）与y ＝f [﹣（x ﹣1）]＝f （1﹣x ）的图象关于直线x ＝1对称，B 选项错误；对于C 选项，g （x +2）＝g （x +1+1）＝﹣g （x +1）＝g （x ），所以g （x ）是周期函数，其中一个周期T ＝2，C 选项正确；对于D 选项，设x 0是方程x ﹣g （f （x ））＝0的一个解， 则x 0﹣g （f （x 0））＝0， 所以x 0＝g （f （x 0））， 所以f （x 0）＝f [g （f （x 0））]， 令t ＝f （x 0）， 则t ＝f （g （t ）），即方程x ＝f （g （x ））有解，当f （g （x ））＝x 2+x +1时，方程x ＝x 2+x +1无解，所以D 选项正确． 故选：ACD ．三、填空题（本题共4小题总分20分） 13．已知幂函数f （x ）＝（m 2﹣2m ﹣2）x m﹣1在区间（0，+∞）上单调递增，则m ＝ 3 ．解：m 2﹣2m ﹣2＝1，解得m ＝3或﹣1，当m ＝﹣1时，f （x ）＝x ﹣2，不满足在区间（0，+∞）上单调递增，舍去，当m ＝3时，f （x ）＝x 2，满足f （x ）在区间（0，+∞）上单调递增，符合题意， 故m ＝3． 故答案为：3．14．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为m ＝2sin18°，若m 2+n ＝4，则m+√nsin63°= 2√2 ．解：∵m ＝2sin18°，∴由m 2+n ＝4，得n ＝4﹣m 2＝4﹣4sin 218°＝4cos 218°， 则m+√n sin63°=2sin18°+2cos18°sin63°=2√2sin(45°+18°)sin63°=2√2sin63°sin63°=2√2，故答案为：2√215．对于函数f （x ），若在其图象上存在两点关于原点对称，则称f （x ）为“倒戈函数”，设函数f （x ）＝3x +tan x ﹣2m +1（m ∈R ）是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数m 的取值范围是： [1，43] ．解：因为函数f （x ）＝3x +tan x ﹣2m +1（m ∈R ）是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”， 所以存在x 0∈[﹣1，1]，使f （﹣x 0）＝﹣f （x 0）， 即−3x 0−tanx 0+2m −1=3−x 0+tan(−x 0)−2m +1， 即4m −2=3x 0+3−x 0，令t =3x 0，则t ∈[13，3]，所以4m −2=t +1t≥2，当且仅当t ＝1，即x 0＝0时取等号， 解得m ≥1，m ＝1时，存在两点关于原点对称，∴m ≥1， 当t =13或t ＝3时，(4m −2)max =3+13=103，解得m ≤43，所以1≤m ≤43．故答案为：[1，43]．16．对于函数f （x ），如果存在区间[m ，n ]，同时满足下列条件：①f （x ）在[m ，n ]上是单调的；②当f （x ）的定义域是[m ，n ]时，f （x ）的值域是[3m ，3n ]，则称[m ，n ]是该函数的“倍值区间”．若函数f(x)=√x +1+a 存在“倍值区间”，则a 的取值范围是 (−3712，−3] ． 解：由函数f(x)=√x +1+a 单调递增，且函数f （x ）存在“倍值区间”， 存在﹣1≤m ＜n ，使得{3m =√m +1+a3n =√n +1+a，设{u =√m +1≥0v =√n +1＞0，则0≤u ＜v ，且{m =u 2−1n =v 2−1，所以{3u 2−u −3−a =03v 2−v −3−a =0，因此二次函数g （x ）＝3x 2﹣x ﹣3﹣a 在[0，+∞）上有两个零点u ，v 且u ＜v ， 则{g(0)=−3−a ≥012×3＞0Δ=1+12(3+a)＞0，解得−3712＜a ≤−3． 故答案为：(−3712，−3]． 四、解答题（本题共6小题总分70分）17．（10分）（1）求(lg2)2+lg2⋅lg50+lg25+√1.53×√126×√3的值； （2）已知2cos 2α+3cos αsin α﹣3sin 2α＝1，α∈(−32π，−π)，求2sin(π−α)−3sin(π2+α)4sinα−9cosα的值．解：（1）(lg2)2+lg2⋅lg50+lg25+√1.53×√126×√3=lg2(lg2+lg50)+2lg5+313×2−13×316×213×312=lg2×lg100+2lg5+313+16+12=2(lg2+lg5)+3=2×lg10+3=5.（2）因为2cos 2α+3cos αsin α﹣3sin 2α＝1， 所以cos 2α+3cos αsin α﹣3sin 2α+cos 2α﹣1＝0，所以cos 2α+3cos αsin α﹣4sin 2α＝0⇒（cos α﹣sin α）（cos α+4sin α）＝0， 所以cos α＝sin α或cos α＝﹣4sin α，即tan α＝1或tanα=−14，又α∈(−32π，−π)，α为第二象限角，所以tan α＜0，所以tanα=−14；所以2sin(π−α)−3sin(π2+α)4sinα−9cosα=2sinα−3cosα4sinα−9cosα=2tanα−34tanα−9=2×(−14)−34×(−14)−9=720． 18．（12分）设函数f(x)=cos(2x +π3)+2sin 2x ．（1）求函数f （x ）的对称中心；（2）若α∈(π4，π2)，且f(α)=25，求sin2α的值．解：（1）f(x)=12cos2x −√32sin2x +1−cos2x =−sin(2x +π6)+1，由2x +π6=kπ，得x =kπ2−π12，k ∈Z ， 所以f （x ）的对称中心为(kπ2−π12，1)，k ∈Z ； （2）由f(α)=25，得1−sin(2α+π6)=25，即sin(2α+π6)=35，由α∈(π4，π2)，2α+π6∈(23π，76π)，知cos(2α+π6)=−45，所以sin2α=sin[(2α+π6)−π6]=sin(2α+π6)cos π6−cos(2α+π6)sin π6=35⋅√32−(−45)⋅12=3√3+410．19．（12分）已知函数f(x)=xx 2+4． （1）判断f （x ）在[﹣2，2]上的单调性，并用定义证明；（2）设g （x ）＝kx 2+2kx +1（k ≠0），若对任意的x 1∈[﹣2，2]，总存在x 2∈[﹣1，2]，使得f （x 1）＝g （x 2）成立，求实数k 的取值范围． 解：（1）设﹣2≤x 1＜x 2≤2， f(x 1)−f(x 2)=x 1x 12+4−x 2x 22+4=(x 2−x 1)(x 1x 2−4)(x 12+4)(x 22+4)， 因为﹣2≤x 1＜x 2≤2，所以x 2﹣x 1＞0，x 1x 2＜4⇒x 1x 2﹣4＜0， 所以f （x 1）﹣f （x 2）＜0， 即f （x 1）＜f （x 2），所以f （x ）在[﹣2，2]单调递增；（2）由于对任意的x 1∈[﹣2，2]，总存在x 2∈[﹣1，2]，使得f （x 1）＝g （x 2）成立， 所以函数f （x ）的值域是g （x ）的值域的子集，由（1）知f （x ）在[﹣2，2]单调递增，f(−2)=−14，f(2)=14，所以f （x ）的值域为[−14，14]，当k ＞0时，g （x ）在[﹣1，2]单调递增，g （﹣1）＝1﹣k ，g （2）＝8k +1， 所以g （x ）∈[1﹣k ，8k +1]，由{1−k ≤−1414≤8k +1，解得：k ≥54， 当k ＜0时，g （x ）在[﹣1，2]单调递减，g （﹣1）＝1﹣k ，g （2）＝8k +1， 所以g （x ）∈[8k +1，1﹣k ]，由{8k +1≤−1414≤1−k ，解得：k ≤−532， 综上所述，k ∈（﹣∞，−532]∪[54，+∞）．20．（12分）某大型商场为迎接新年的到来，在自动扶梯AC （AC ＞5米）的C 点的上方悬挂竖直高度为5米的广告牌DE ．如图所示，广告牌底部点E 正好为DC 的中点，电梯AC 的坡度∠CAB ＝30°．某人在扶梯上点P 处（异于点C ）观察广告牌的视角∠DPE ＝θ．当人在A 点时，观测到视角∠DAE 的正切值为√39． （1）求扶梯AC 的长；（2）当某人在扶梯上观察广告牌的视角θ最大时，求CP 的长．解：（1）设|BC |＝a ．∵∠CAB ＝30°，则|AB |=√3a ． tan ∠EAB =5+b 3b ，tan ∠DAB =10+b3b． ∴tan ∠DAE =√39=tan （∠DAB ﹣∠EAB ）=√3b −√3b 1+10+b √3b ⋅5+b √3b．化为：2b 2﹣15b +25＝0，解得b ＝5或52．∵AC ＞5．∴b ＝5．∴AC ＝10．（2）设AP →=k AC →，A （﹣5√3，0），C （0，5）． 则P （5√3k ﹣5√3，5k ）．（0≤k ≤1）． 作PF ⊥BC ，垂足为F 点，则F （0，5k ）． ∴tan ∠DPF =DF PF =15−5k 5√3(1−k)，tan ∠EPF =EF PF =10−5k5√3(1−k)． tan θ＝tan （∠DPF ﹣∠EPF ）=tan∠DPF−tan∠EPF1+tan∠DPFtan∠EPF =√3(1−k)4k 2−11k+9=f （k ），f ′（k ）=2√3(2k 2−4k+1)(4k 2−11k+9)2，k =2−√22时， f （k ）取得最大值，CP =√(5√3k −5√3)2+(5k −5)2=10（1﹣k ）＝5√2．21．（12分）设定义域为R 的奇函数f(x)=2−a−2x2x+1+2a，（其中a 为实数）．（1）求a 的值；（2）是否存在实数k和x∈[﹣1，3]，使不等式f（x2﹣kx）+f（2﹣x）＞0成立？若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，请说明理由．解：（1）由f（x）是定义在R的奇函数，则有f（0）＝0，得a＝1，把a＝1代入函数得f(x)=1−2x2x+1+2，而f(−x)=1−2−x2−x+1+2=(1−2−x)2x(2−x+1+2)2x=2x−12+2x+1=−f(x)，所以a＝1符合题意；（2）f(x)=1−2x2x+1+2=−2x−1+22(2x+1)=−12+12x+1，因为函数2x+1＞0且在R单调递增，所以y=12x+1在R上单调递减，从而f（x）在R上单调递减．f（x2﹣kx）+f（2﹣x）＞0⇔f（x2﹣kx）＞f（x﹣2），因为f（x）在R上单调递减．得x2﹣kx＜x﹣2，即x2﹣（k+1）x+2＜0，令f（x）＝x2﹣（k+1）x+2，x∈[﹣1，3]，则依题意只需g（x）min＜0，易得g（x）的对称轴是x=k+1 2，①当k+12≥3，即k≥5时，g（x）在[﹣1，3]上单减，g（x）min＝g（3）＝8﹣3k＜0，即k＞83，所以k≥5；②当−1＜k+12＜3，即﹣3＜k＜5时，由g(x)min=g(k+12)=2−(k+1)24＜0，解得：k＜−1−2√2或k＞−1+2√2，所以−1+2√2＜k＜5；③当k+12≤−1，即k≤﹣3时，g（x）在[﹣1，3]上单增，g（x）min＝g（﹣1）＝4+k＜0，即k＜﹣4，所以k＜﹣4，综上知：存在实数k∈(−∞，−4)∪(−1+2√2，+∞)满足题设．22．（12分）设m为给定的实常数，若函数y＝f（x）在其定义域内存在实数x0，使得f（x0+m）＝f（x0）+f（m）成立，则称函数f（x）为“G（m）函数”．（1）若函数f（x）＝2x为“G（2）函数”，求实数x0的值；（2）证明：函数h（x）＝2x+x2为“G（1）函数”；（3）若函数f(x)=lgax2+1为“G（1）函数”，求实数a的取值范围．解：（1）由f（x）＝2x为“G（2）函数”，得f（x0+2）＝f（x0）+f（2），即2x0+2=2x0+22，解得x0=log243，故实数x0的值为log243．（2）证明：由h（x）＝2x+x2，则ℎ(x0+1)=2x0+1+(x0+1)2，ℎ(x0)+ℎ(1)=2x0+x02+3，令2x0+1+(x0+1)2=2x0+x02+3，得2x0=−2x0+2，设y＝2x，g（x）＝﹣2x+2，如图可知，两函数由一个交点，即存在实数x0，使得h（x0+1）＝h（x0）+h（1）成立，所以函数h（x）＝2x+x2为“G（1）函数”．（3）函数f(x)=lgax2+1有意义，则a＞0，定义域为R，因为函数f(x)=lgax2+1为“G（1）函数”，所以存在实数x0使得f（x0+1）＝f（x0）+f（1）成立，即存在实数x0使得lga(x0+1)2+1=lgax02+1+lga2，所以存在实数x0使得2x02+2(x0+1)2+1=a成立，即(a−2)x02+2ax0+2a−2=0，所以当a＝2时，x0=−12，满足题意；当a≠2时，Δ＝4a2﹣4（a﹣2）（2a﹣2）≥0，即a2﹣6a+4≤0，解得3−√5≤a≤3+√5且a≠2，所以实数a的取值范围是[3−√5，3+√5]．。
安徽省安庆市高一上学期期末数学试卷
安徽省安庆市高一上学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）经过点的直线的倾斜角为，则（）A .B .C .D .2. （2分）(2017·吉安模拟) 中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅制造一种标准量器﹣商鞅铜方升，其三视图（单位：寸）如图所示，若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中x的为（）A . 2.5B . 3C . 3.2D . 43. （2分）已知正方形的四个顶点分别为，点分别在线段上运动，且，设与交于点，则点的轨迹方程是（）A .B .C .D .4. （2分）四面体ABCD中，E、F分别为AC、BD中点，若CD=2AB，EF⊥AB，则EF与CD所成的角等于（）A . 30°B . 45°C . 60°D . 90°5. （2分） (2017高一上·珠海期末) 空间二直线a，b和二平面α，β，下列一定成立的命题是（）A . 若α⊥β，a⊥b，a⊥α，则b⊥βB . 若α⊥β，a⊥b，a⊥α，则b∥βC . 若α⊥β，a∥α，b∥β，则a⊥bD . 若α∥β，a⊥α，b⊂β，则a⊥b6. （2分） (2017高一下·扶余期末) 过点且与直线平行的直线方程是（）A .B .C .D .7. （2分）如图所示的水平放置的平面图形的直观图，所表示的图形ABCD是（）A . 任意梯形B . 直角梯形C . 任意四边形D . 平行四边形8. （2分）若直线(1+a)x+y+1=0与圆x2+y2-2x=0相切，则a的值为（）A . 1，-1B . 2，-2C . 1D . -19. （2分）如图，平面四边形ABCD中,AB=AD=CD=1,,,将其沿对角线BD折成四面体，使平面平面，若四面体顶点在同一球面上，则该球的体积为（）A .B .C .D .10. （2分）设曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为，则曲线上到直线距离为的点的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 411. （2分） (2019高二上·阜阳月考) 点、为椭圆长轴的端点，、为椭圆短轴的端点，动点满足，若面积的最大值为8，面积的最小值为1，则椭圆的离心率为（）A .B .C .D .12. （2分） (2016高二下·静海开学考) 设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y ﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是（）A . [1﹣，1+ ]B . （﹣∞，1﹣]∪[1+ ，+∞）C . [2﹣2 ，2+2 ]D . （﹣∞，2﹣2 ]∪[2+2 ，+∞）二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分）若已知A（1，1，1），B（﹣3，﹣3，﹣3），则线段AB的长为________．14. （1分）已知扇形的圆心角为120°，半径为3，则扇形的面积是115. （1分）(2016·新课标Ⅰ卷理) α、β是两个平面，m、n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n ，m⊥α ，n∥β ，那么α⊥β.②如果m⊥α ，n∥α ，那么m⊥n.③如果α∥β ， m α ，那么m∥β.④如果m∥n ，α∥β ，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.其中正确的命题有________.(填写所有正确命题的编号）16. （1分） (2016高一下·大丰期中) 从直线x﹣y+3=0上的点向圆x2+y2﹣4x﹣4y+7=0引切线，则切线长的最小值为________．三、解答题： (共6题；共45分)17. （10分） (2016高三上·洛阳期中) 等腰△ABC中，AC=BC= ，AB=2，E，F分别为AC，BC的中点，将△EFC沿EF折起，使得C到P，得到四棱锥P﹣ABFE，且AP=BP= ．（1）求证：平面EFP⊥平面ABFE；（2）求二面角B﹣AP﹣E的大小．18. （5分）已知直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，且过点(6，-2)，求直线l的方程.19. （5分）如图所示的几何体中，ABC﹣A1B1C1为正三棱柱，点D在底面ABC中，且DA=DC=AC=2，AA1=3，E 为棱A1C1的中点．（Ⅰ）证明：平面A1C1D⊥平面BDE；（Ⅱ）求二面角C﹣DE﹣C1的余弦值．20. （10分）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴．已知点P的极坐标为（5，0），点M的极坐标为（4，），若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心，4为半径．（1）求直线l和圆C的极坐标方程；（2）试判断直线l和圆C的位置关系．21. （5分）(2017·朝阳模拟) 如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，D，E分别为边AC，AB的中点，点F，G分别为线段CD，BE的中点．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使∠A1DC=60°．点Q为线段A1B上的一点，如图2．（Ⅰ）求证：A1F⊥BE；（Ⅱ）线段A1B上是否存在点Q使得FQ∥平面A1DE？若存在，求出A1Q的长，若不存在，请说明理由；（Ⅲ）当时，求直线GQ与平面A1DE所成角的大小．22. （10分） (2017高二下·营口会考) 已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1交于点M，N两点．（1）求k的取值范围；（2）请问是否存在实数k使得（其中O为坐标原点），如果存在请求出k的值，并求|MN|；如果不存在，请说明理由．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共6题；共45分) 17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、20-2、22-1、22-2、。
2019-2020学年人教A版安徽省安庆市高一第一学期(上)期末数学试卷 含解析
2019-2020学年高一（上）期末数学试卷一、选择题（本题共12小题）1．已知全集U＝{2，3，5，7，11，13，17，19}，集合A＝{2，7，11}，集合B＝{5，11，13}，则（∁U A）∩B＝（）A．{5} B．{13} C．{5，13} D．{11，13}2．计算：log32﹣log36＝（）A．1 B．﹣1 C．﹣log32 D．﹣2log323．已知幂函数f（x）＝（a2﹣2a﹣2）•x a在区间（0，+∞）上是单调递增函数，则a的值为（）A．3 B．﹣1 C．﹣3 D．14．在△ABC中，已知sin A＝2sin B cos C，则该三角形的形状是（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形5．若实数m，n满足2m＜2n，则下列不等关系成立的是（）A．log2m＜log2n B．C．＞D．m3＜n36．下列关系式一定正确的是（）A．sin2＜0 B．cos3＞0C．sin（π﹣3）＝﹣sin3 D．|sin2α|≤2|sinα|7．若函数y＝sin2x的图象经过点P（x0，y0），则其图象必经过点（）A．（﹣x0，y0）B．C．D．（π﹣x0，y0）8．已知tanα＝2，则＝（）A．﹣1 B．1 C．D．9．函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的图象如图所示，则ω，φ的值为（）A．ω＝3，B．ω＝3，C．ω＝6， D．ω＝6，10．某数学课外兴趣小组对函数f（x）＝2|x﹣1|的图象与性质进行了探究，得到下列四条结论：①该函数的值域为（0，+∞）；②该函数在区间[0，+∞）上单调递增；③该函数的图象关于直线x＝1对称；④该函数的图象与直线y＝﹣a2（a∈R）不可能有交点．则其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．411．函数y＝在区间[﹣3，0）∪（0，3]上的图象为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）是定义在R上的函数，f（1）＝1．若对任意的x1，x2∈R且x1＜x2有，则不等式f[log2（3x﹣2）]＜log216﹣3log2（3x﹣2）的解集为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填写在答题卷中的相应区域，答案写在试题卷上无效．13．函数的定义域为．14．计算：sin39°cos21°+sin51°sin21°＝．15．已知函数，则f（﹣2）+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）＝．16．若A为不等边△ABC的最小内角，则的值域为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知集合A＝{x|x≥1}，集合B＝{x|3﹣a≤x≤3+a，a∈R}．（Ⅰ）当a＝4时，求A∪B；（Ⅱ）若B⊆A，求实数a的取值范围．18．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P（3，﹣4）．（Ⅰ）求sinα﹣cosα的值；（Ⅱ）求的值．19．已知函数图象两条相邻对称轴间的距离为．（Ⅰ）求函数f（x）在[0，π]上的单调递增区间；（Ⅱ）将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位后得到函数y＝g（x）的图象，求函数y＝g（x）图象的对称中心坐标．20．已知函数f（x）＝ax2+bx+4，其中a，b∈R，且a≠0．（Ⅰ）若函数y＝f（x）的图象过点（﹣3，1），且函数f（x）只有一个零点，求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若a∈Z，函数g（x）＝ln[f（x）﹣kx]在区间[2，+∞）上单调递增，求实数k的取值范围．21．某科研团队对某一生物生长规律进行研究，发现其生长蔓延的速度越来越快．开始在某水域投放一定面积的该生物，经过2个月其覆盖面积为18平方米，经过3个月其覆盖面积达到27平方米．该生物覆盖面积y（单位：平方米）与经过时间x（x∈N）个月的关系有两个函数模型y＝k•a x（k＞0，a＞1）与y＝p可供选择．（Ⅰ）试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的函数解析式；（Ⅱ）问约经过几个月，该水域中此生物的面积是当初投放的1000倍？（参考数据：≈1.73，lg2≈0.30，lg3≈0.48）22．已知函数．（Ⅰ）当时，f2（x）﹣mf（x）﹣m≤0恒成立，求实数m的取值范围；（Ⅱ）是否同时存在实数a和正整数n，使得函数g（x）＝f（x）﹣a在[0，nπ]上恰有2019个零点？若存在，请求出所有符合条件的a和n的值；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U＝{2，3，5，7，11，13，17，19}，集合A＝{2，7，11}，集合B＝{5，11，13}，则（∁U A）∩B＝（）A．{5} B．{13} C．{5，13} D．{11，13}【分析】进行补集、交集的运算即可．解：∵U＝{2，3，5，7，11，13，17，19}，A＝{2，7，11}，B＝{5，11，13}，∴∁U A＝{3，5，13，17，19}，（∁U A）∩B＝{5，13}．故选：C．2．计算：log32﹣log36＝（）A．1 B．﹣1 C．﹣log32 D．﹣2log32【分析】利用对数的性质和运算法则求解．解：log32﹣log36＝＝＝﹣1，故选：B．3．已知幂函数f（x）＝（a2﹣2a﹣2）•x a在区间（0，+∞）上是单调递增函数，则a的值为（）A．3 B．﹣1 C．﹣3 D．1【分析】利用幂函数的定义和单调性即可算出结果．解：∵幂函数f（x）＝（a2﹣2a﹣2）•x a在区间（0，+∞）上是单调递增函数，∴，解得a＝3，故选：A．4．在△ABC中，已知sin A＝2sin B cos C，则该三角形的形状是（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形【分析】通过三角形的内角和，以及两角和的正弦函数，化简方程，求出角的关系，即可判断三角形的形状．解：因为sin A＝2sin B cos c，所以sin（B+C）＝2sin B cos C，所以sin B cos C﹣sin C cos B＝0，即sin（B﹣C）＝0，因为A，B，C是三角形内角，所以B＝C．所以三角形是等腰三角形．故选：C．5．若实数m，n满足2m＜2n，则下列不等关系成立的是（）A．log2m＜log2n B．C．＞D．m3＜n3【分析】直接利用用不等式的应用求出结果．解：实数m，n满足2m＜2n，所以m＜n．由于没有确定m和n的符号，所以ABC都错误．对于选项D：n3﹣m3＝（n﹣m）（n2+mn+m2）＝（n﹣m）[]＞0，所以n＞m．故选：D．6．下列关系式一定正确的是（）A．sin2＜0 B．cos3＞0C．sin（π﹣3）＝﹣sin3 D．|sin2α|≤2|sinα|【分析】对于A，B，由于0＜2＜π，＜3＜π，利用正弦函数，余弦函数的图象即可判断错误；对于C，由于sin（π﹣3）＝sin3，即可判断错误；对于D，利用二倍角公式化简，即可证明正确．解：对于A，由于0＜2＜π，可得sin2＞0，故错误；对于B，由于＜3＜π，可得cos3＜0，故错误；对于C，由于sin（π﹣3）＝sin3，故错误；对于D，由于|sin2α|＝2|sinα||cosα|≤2|sinα|⇔sinα＝0，或|cosα|≤1，成立，故正确．故选：D．7．若函数y＝sin2x的图象经过点P（x0，y0），则其图象必经过点（）A．（﹣x0，y0）B．C．D．（π﹣x0，y0）【分析】由已知可得y0＝sin2x0，利用诱导公式逐项求值验证即可得解．解：∵y＝sin2x的图象经过点P（x0，y0），可得y0＝sin2x0，对于A，由于y＝sin2（﹣x0）＝﹣sin2x0＝﹣y0≠y0，故错误；对于B，由于y＝sin2（+x0）＝sin（π+2x0）＝﹣sin2x0＝﹣y0≠y0，故错误；对于C，由于y＝sin2（﹣x0）＝sin（π﹣2x0）＝sin2x0＝y0＝y0，故正确；对于D，由于y＝sin2（π﹣x0）＝sin（2π﹣2x0）＝﹣sin2x0＝﹣y0≠y0，故错误．故选：C．8．已知tanα＝2，则＝（）A．﹣1 B．1 C．D．【分析】由题意利用两角和差的正切公式、二倍角的正切公式，求得要去式子的值．解：∵tanα＝2，则＝+＝+＝﹣1，故选：A．9．函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的图象如图所示，则ω，φ的值为（）A．ω＝3，B．ω＝3，C．ω＝6， D．ω＝6，【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，求出函数的解析式．解：根据函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的图象，可得A＝1，•＝﹣，求得ω＝3．再根据五点法作图可得3•+φ＝π，求得φ＝，故选：A．10．某数学课外兴趣小组对函数f（x）＝2|x﹣1|的图象与性质进行了探究，得到下列四条结论：①该函数的值域为（0，+∞）；②该函数在区间[0，+∞）上单调递增；③该函数的图象关于直线x＝1对称；④该函数的图象与直线y＝﹣a2（a∈R）不可能有交点．则其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】在①中，该函数的值域为[1，+∞）；在②中，该函数在区间[0，+∞）上先减后增；在③中，该函数的图象关于直线x＝1对称；在④中，该函数的图象与直线y＝﹣a2（a∈R）不可能有交点．解：由函数f（x）＝2|x﹣1|的图象与性质，得：在①中，该函数的值域为[1，+∞），故①错误；在②中，该函数在区间[0，+∞）上先减后增，故②错误；在③中，该函数的图象关于直线x＝1对称，故③正确；在④中，∵f（x）＝2|x﹣1|≥1，y＝﹣a2≤0，∴该函数的图象与直线y＝﹣a2（a∈R）不可能有交点，故④正确．故选：B．11．函数y＝在区间[﹣3，0）∪（0，3]上的图象为（）A．B．C．D．【分析】由函数为奇函数排除AD，由f（3）＞0排除C．解：，故函数为奇函数，由此排除AD，又，排除C，故选：B．12．已知函数f（x）是定义在R上的函数，f（1）＝1．若对任意的x1，x2∈R且x1＜x2有，则不等式f[log2（3x﹣2）]＜log216﹣3log2（3x﹣2）的解集为（）A．B．C．D．【分析】构造函数令g（x）＝f（x）+3x，结合其单调性之间的关系，即可得到结论．解：∵对任意的x1，x2∈R且x1＜x2有，∴f（x1）﹣f（x2）＜﹣3x1+3x2，即f（x1）+3x1＜f（x2）+3x2，令g（x）＝f（x）+3x，则可得g（x1）＜g（x2），∴g（x）在R上单调递增，且g（1）＝f（1）+3＝4，∵f[log2（3x﹣2）]＜log216﹣3log2（3x﹣2），∴f[log2（3x﹣2）]+3log2（3x﹣2）＜4，即g[log2（3x﹣2）]＜g（1），∴log2（3x﹣2）＜1，∴0＜3x﹣2＜2∴故不等式的解集为（）故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填写在答题卷中的相应区域，答案写在试题卷上无效．13．函数的定义域为（﹣1，2）∪（2，+∞）．【分析】根据函数f（x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．解：函数中，令，解得x＞﹣1且x≠2；所以函数f（x）的定义域为（﹣1，2）∪（2，+∞）．故答案为：（﹣1，2）∪（2，+∞）．14．计算：sin39°cos21°+sin51°sin21°＝．【分析】由题意利用诱导公式、两角和的正弦公式，求得结果．解：sin39°cos21°+sin51°sin21°＝sin39°cos21°+cos39°sin21°＝sin（39°+21°）＝sin60°＝，故答案为：．15．已知函数，则f（﹣2）+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）＝ 5 ．【分析】解题的关键是根据式子结构，推导出f（x）+f（﹣x）＝2，进而得解．解：＝，∴f（﹣2）+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）＝5．故答案为：5．16．若A为不等边△ABC的最小内角，则的值域为（0，﹣1] ．【分析】根据条件可得0＜A＜，求出cos A+sin A的取值范围后，令t＝sin A+cos A，从而得到f（A）＝＝t﹣1，再根据t的范围求出f（A）的值域．解：∵A为不等边△ABC的最小内角，∴0＜A＜，∴sin A+cos A＝sin（A+）∈（1，]．令t＝sin A+cos A，则2sin A cos A＝t2﹣1，∴＝＝t﹣1∈（0，﹣1]．∴f（A）的值域为（0，﹣1]．故答案为：（0，﹣1]．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知集合A＝{x|x≥1}，集合B＝{x|3﹣a≤x≤3+a，a∈R}．（Ⅰ）当a＝4时，求A∪B；（Ⅱ）若B⊆A，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）当a＝4时，求出集合A，集合B，由此能求出A∪B．（Ⅱ）当B＝∅时，3﹣a＞3+a，当B≠∅时，，由此能求出实数a的取值范围．解：（Ⅰ）当a＝4时，集合A＝{x|x≥1}，集合B＝{x|﹣1≤x≤7}．∴A∪B＝{x|x≥﹣1}．（Ⅱ）∵集合A＝{x|x≥1}，集合B＝{x|3﹣a≤x≤3+a，a∈R}，B⊆A，∴当B＝∅时，3﹣a＞3+a，解得a＜0，当B≠∅时，，解得0≤a≤2．综上，实数a的取值范围是（﹣∞，2]．18．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P（3，﹣4）．（Ⅰ）求sinα﹣cosα的值；（Ⅱ）求的值．【分析】（Ⅰ）由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sinα，cosα的值，即可得解sinα﹣cosα的值．（Ⅱ）由条件利用诱导公式，即可求解．解：（Ⅰ）∵角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（3，﹣4），故x＝3，y＝﹣4，r＝|OP|＝＝5，∴sinα＝＝﹣，cosα＝＝．∴sinα﹣cosα＝﹣﹣＝﹣．（Ⅱ）＝＝＝．19．已知函数图象两条相邻对称轴间的距离为．（Ⅰ）求函数f（x）在[0，π]上的单调递增区间；（Ⅱ）将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位后得到函数y＝g（x）的图象，求函数y＝g（x）图象的对称中心坐标．【分析】（I）先结合两角和的正弦公式及辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的单调性即可求解，（II）结合函数的图象平移及正弦函数的对称性可求．解：（I），＝ωx+cosωx，＝sin（ωx+），∵图象两条相邻对称轴间的距离为，∴，即T＝π，∴ω＝2，f（x）＝sin（2x+），令﹣≤2x+，可得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，故函数f（x）在[0，π]上的单调递增区间[0，]，[，π]；（Ⅱ）由题意可得y＝g（x）＝sin（2x+），令2x+＝kπ可得x＝﹣+kπ，k∈Z，∴函数y＝g（x）图象的对称中心坐标（﹣+kπ，0），k∈Z．20．已知函数f（x）＝ax2+bx+4，其中a，b∈R，且a≠0．（Ⅰ）若函数y＝f（x）的图象过点（﹣3，1），且函数f（x）只有一个零点，求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若a∈Z，函数g（x）＝ln[f（x）﹣kx]在区间[2，+∞）上单调递增，求实数k的取值范围．【分析】（Ⅰ）根据题意得，1＝9a+3b+4，即b＝3a+1①，△＝b2﹣4a×4＝b2﹣16a＝0②，即可解得a，b，进而得出函数f（x）的解析式．（Ⅱ）因为a∈Z，由上可知a＝1，f（x）＝x2+4x+4，函数g（x）＝ln[x2+（4﹣k）x+4]在区间[2，+∞）上单调递增，由复合函数的单调性得，y＝x2+（4﹣k）x+4在区间[2，+∞）上单调递增，且任意x∈[2，+∞），x2+（4﹣k）x+4＞0，即可解得k的取值范围．解：（Ⅰ）根据题意得，1＝9a+3b+4，即b＝3a+1，①△＝b2﹣4a×4＝b2﹣16a＝0，②由①②解得或，所以函数f（x）＝，或f（x）＝x2+4x+4，（Ⅱ）因为a∈Z，由上可知a＝1，f（x）＝x2+4x+4，函数g（x）＝ln[f（x）﹣kx]＝ln[x2+（4﹣k）x+4]在区间[2，+∞）上单调递增，由复合函数的单调性得，y＝x2+（4﹣k）x+4在区间[2，+∞）上单调递增，且任意x∈[2，+∞），x2+（4﹣k）x+4＞0，可得2≥且22+（4﹣k）×2+4＞0，k≤8且k＜8，所以k的取值范围k＜8．21．某科研团队对某一生物生长规律进行研究，发现其生长蔓延的速度越来越快．开始在某水域投放一定面积的该生物，经过2个月其覆盖面积为18平方米，经过3个月其覆盖面积达到27平方米．该生物覆盖面积y（单位：平方米）与经过时间x（x∈N）个月的关系有两个函数模型y＝k•a x（k＞0，a＞1）与y＝p可供选择．（Ⅰ）试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的函数解析式；（Ⅱ）问约经过几个月，该水域中此生物的面积是当初投放的1000倍？（参考数据：≈1.73，lg2≈0.30，lg3≈0.48）【分析】（Ⅰ）判断两个函数y＝ka x（k＞0，a＞1）与与y＝p在（0，+∞）的单调性，说明函数模型y＝ka x（k＞0，a＞1）适合要求．然后列出方程组，求解即可．（Ⅱ）由题意列指数方程，求解得答案．解：（Ⅰ）因为y＝k•a x（k＞0，a＞1）的增长速度越来越快，而y＝p增长速度越来越慢，故依题意应选择y＝k•a x（k＞0，a＞1），则有，解得，所以y＝8•；（Ⅱ）当x＝0时，y＝8，设经过x个月，该水域中此生物的面积是当初投放的1000倍，则8•＝8×1000，解得x＝＝＝≈17.03；故，经过17个月后该水域中此生物的面积是当初投放的1000倍．22．已知函数．（Ⅰ）当时，f2（x）﹣mf（x）﹣m≤0恒成立，求实数m的取值范围；（Ⅱ）是否同时存在实数a和正整数n，使得函数g（x）＝f（x）﹣a在[0，nπ]上恰有2019个零点？若存在，请求出所有符合条件的a和n的值；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）化简，先求得当时，函数，再还原转化为二次函数在给定区间上的恒成立问题，进而得解；（Ⅱ）先研究一个周期的情形，再结合a的范围即可得解．解：由已知得，＝，（Ⅰ）当时，，，要使f2（x）﹣mf（x）﹣m≤0恒成立，令t＝f（x），则，h（t）＝t2﹣mt﹣m≤0对任意均成立，故，解得，∴实数m的取值范围为；（Ⅱ）假设同时存在实数a和正整数n，使得函数g（x）＝f（x）﹣a在[0，nπ]上恰有2019个零点，即函数y＝f（x）与直线y＝a在[0，nπ]上恰有2019个交点，当x∈[0，π]时，，①当或时，函数y＝f（x）与直线y＝a在[0，nπ]上无交点；②当时，函数y＝f（x）与直线y＝a在[0，π]上仅有一个交点，要使函数y ＝f（x）与直线y＝a在[0，nπ]上恰有2019个交点，则n＝2019；③当或时，函数y＝f（x）与直线y＝a在[0，π]上有两个交点，此时函数y＝f（x）与直线y＝a在[0，nπ]上有偶数个交点，不可能有2019个交点，不符合；④当a＝1时，函数y＝f（x）与直线y＝a在[0，π]上有三个交点，要使函数y＝f（x）与直线y＝a在[0，nπ]上恰有2019个交点，则n＝1009；综上可得存在实数a和正整数n，当时，n＝2019，当a＝1时，n＝1009．。
2023-2024学年安徽省安庆市高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年安徽省安庆市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．已知集合A＝{1，2，3，4}，集合B＝{x∈R||x|＞1}，则A∩B＝（）A．{3，4}B．（1，4]C．{2，3，4}D．{1，2，3，4}2．函数f（x）＝ln（x﹣2）+x﹣4的零点所在区间为（）A．（2，3）B．（3，4）C．（4，5）D．（5，6）3．log23⋅log34−10lg3=（）A．2B．1C．﹣1D．04．命题∀x∈[1，2]，2x+x﹣5≥a”为真命题，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，﹣1]C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，1]5．第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在浙江省杭州市举行，本届亚运会会徽“潮涌”的主体图形由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征亚奥理事会的太阳图形六个元素组成，其中扇面造型反映江南人文意蕴．已知扇面呈扇环形，内环半径为1，外环半径为3，扇环所对圆心角为2π3，则该扇面的面积为（）A．4π3B．8π3C．10π3D．16π36．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）＝f（x）+f（y）﹣1，f（1）＝2，则f（﹣2）＝（）A．﹣1B．0C．1D．27．已知a＝log23，b＝log35，c=32，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞a＞b8．已知关于x的不等式（4x﹣2x+1﹣8）（ax+b）≥0（其中a≠0）在R上恒成立，则有（）A．a＜0B．b＞0C．a+b＞0D．a﹣2b＞0二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知实数a，b满足a＞|b|＞0，则（）A．lga＞lgb B．a2＞b2C．a3＞b3D．1a＜1b10．已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，则下列判断正确的是（ ）A ．ω=45B ．φ=9π10C ．点(π4，0)是函数f （x ）图象的一个对称中心D ．直线x =−74π是函数f （x ）图象的一条对称轴11．已知[x ]表示不超过x 的最大整数，则下列关于函数f （x ）＝sin[sin 2x ]+cos[cos 2x ]的判断，其中正确的是（ ）A ．函数f （x ）是以π为周期的周期函数B ．函数f （x ）的最大值为√2C ．函数f （x ）在(π2，π)上单调递减D ．当x ∈(−π2，0)时，f （x ）＝112．双曲函数是一类与三角函数类似的函数，双曲正弦函数sinℎ(x)=e x −e −x2，双曲余弦函数cosℎ(x)=e x +e −x2（其中e 为自然对数的底数），则下列判断正确的是（ ） A ．sinh （x ）为奇函数，cosh （x ）为偶函数B ．sinh （2x ）＝sinh （x ）•cosh （x ）C ．函数cosh （x ）在R 上的最小值为1D ．函数g （x ）＝cosh （2x ）﹣cosh （x ）在R 上只有一个零点 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数f(x)={x 2，x ≤1log 4x ，x ＞1，则f [f （﹣2）]＝ ．14．已知关于x 的不等式ax 2+bx ＞c （x ﹣2）的解集为{x |1＜x ＜3}，则关于x 的不等式ax 2+bx +c ＜0的解集为 ．15．若函数f(x)=2sin(ωx +π6)(ω＞0)在[0，π]上有且仅有三个零点，则ω的取值范围是 ．16．（3分）已知x ，y ∈R 且2x 2+2y 2＝1+xy ，则x 2+y 2的最大值为 ，最小值为 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分。
安徽省安庆市高一上学期数学期末考试试卷
安徽省安庆市高一上学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）全集U={0，1，3，5，6，8}，集合A={1，5，8 }，B={2}，则集合（∁UA）∪B=（）A . {0，2，3，6}B . {0，3，6}C . {2，1，5，8}D . ∅2. （2分）设函数y=x3与y=（）x的图象的交点为（x0 ， y0），则x0所在的区间是（）A . （0，1）B . （1，2）C . （2，3）D . （3，4）3. （2分）函数y=的定义域是（）A . （1，2）B . [1，4]C . [1，2）D . （1，2]4. （2分） (2016高一下·九江期中) 下列函数中，周期为π的是（）A .B . y=sin2xC .D . y=tan2x5. （2分）函数y=tanx+sinx﹣|tanx﹣sinx|在区间内的图象是（）A .B .C .D .6. （2分）(2018·兰州模拟) 已知非零单位向量满足，则与的夹角为（）A .B .C .D .7. （2分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x 的图象，则只要将f（x）的图象（）A . 向右平移个单位长度B . 向右平移个单位长度C . 向左平移个单位长度D . 向左平移个单位长度8. （2分）已知||=4，||=5，|+|=，则=（）A . -8B . -10C . 10D . 89. （2分）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A . y=B . y=x+C . y=2x+D .10. （2分） (2019高一上·张家口月考) 函数、由下列表格给出，则（）123424314321A . 4B . 3C . 2D . 111. （2分） (2016高一上·湖南期中) 已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，则不等式f（lgx）＞f（﹣2）的解集是（）A . （，100）B . （100，+∞）C . （，+∞）D . （0，）∪（100，+∞）12. （2分） (2019高二上·南宁月考) 设与是定义在同一区间上的两个函数，若函数在上有两个不同的零点，则称和在上是关联函数，称为关联区间，若与在上是关联函数，则的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2019·重庆模拟) 若，则 =________.14. （1分） (2016高三上·连城期中) 设g（x）= ，则g（g（））=________．15. （1分）(2020·随县模拟) 已知向量，，与的夹角为，则实数________.16. （1分） (2017高一上·淄博期末) 狄利克雷是德国著名数学家，函数D（x）= 被称为狄利克雷函数，下面给出关于狄利克雷函数D（x）的五个结论：①若x是无理数，则D（D（x））=0；②函数D（x）的值域是[0，1]；③函数D（x）偶函数；④若T≠0且T为有理数，则D（x+T）=D（x）对任意的x∈R恒成立；⑤存在不同的三个点A（x1 ， D（x1）），B（x2 ， D（x2）），C（x3 ， D（x3）），使得△ABC为等边角形．其中正确结论的序号是________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （5分） (2017高三上·綦江期末) 已知函数f（x）=2cos（﹣x）cos（x+ ）+ ．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0， ]上的值域．18. （15分） (2016高一下·抚顺期末) 已知 =（sinx，cosx）， =（sinx，sinx），函数f（x）= ．（1）求f（x）的对称轴方程；（2）求使f（x）≥1成立的x的取值集合；（3）若对任意实数，不等式f（x）﹣m＜2恒成立，求实数m的取值范围．19. （10分） (2018高一下·四川期末) 已知函数的图像与直线两相邻交点之间的距离为，且图像关于对称.（1）求的解析式；（2）先将函数的图象向左平移个单位，再将图像上所有横坐标伸长到原来的倍，得到函数的图象.求的单调递增区间以及的取值范围.20. （5分）已知定义域为R的函数f（x）=（a，b是常数）是奇函数．（1）求函数f（x）的解析式；（2）判断函数f（x）的单调性，并证明你的结论；（3）若对于任意都有f（kx2）+f（2x﹣1）＞0成立，求实数k的取值范围．21. （10分） (2016高二下·晋江期中) 某城市随机抽取一年内100 天的空气质量指数（AQI）的监测数据，结果统计如表：API[0，50]（50，100]（100，150]（150，200]（200，300]＞300空气质量优良轻度污染轻度污染中度污染重度污染天数61418272015（1）若本次抽取的样本数据有30 天是在供暖季，其中有8 天为严重污染．根据提供的统计数据，完成下面的2×2 列联表，并判断是否有95%的把握认为“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”？非重度污染严重污染合计供暖季非供暖季合计100（2）已知某企业每天的经济损失y（单位：元）与空气质量指数x 的关系式为y= 试估计该企业一个月（按30 天计算）的经济损失的数学期望．参考公式：K2=P（K2≥k）0.1000.0500.0250.0100.001k 2.706 3.841 5.024 6.63510.82822. （5分） (2019高一上·阜阳月考) 设关于的二次方程和x2-5x+6=0的解集分别是集合和，若为单元素集，求的值.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分)17-1、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、。
2019-2020学年安徽省安庆市高一(上)期末数学试卷
2019-2020学年安徽省安庆市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知全集U＝{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}，集合A＝{2, 7, 11}，集合B＝{5, 11, 13}，则(∁U A)∩B＝（）A.{5}B.{13}C.{5, 13}D.{11, 13}2. 计算：log32−log36＝（）A.1B.−1C.−log32D.−2log323. 已知幂函数f(x)＝(a2−2a−2)⋅x a在区间(0, +∞)上是单调递增函数，则a的值为（）A.3B.−1C.−3D.14. 在△ABC中，已知sin A＝2sin B cos C，则该三角形的形状是（）A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形5. 若实数m，n满足2m<2n，则下列不等关系成立的是（）A.log2m<log2nB.√m<√nC.1m >1nD.m3<n36. 下列关系式一定正确的是（）A.sin2<0B.cos3>0C.sin(π−3)＝−sin3D.|sin2α|≤2|sinα|7. 若函数y＝sin2x的图象经过点P(x0, y0)，则其图象必经过点（）A.(−x0, y0)B.(π2+x0,y0) C.(π2−x0,y0) D.(π−x0, y0)8. 已知tanα＝2，则tan(α−π4)+tan2α=()A.−1B.1C.53D.17159. 函数f(x)＝A sin(ωx+φ)（其中A>0，ω>0，|φ|<π）的图象如图所示，则ω，φ的值为（）A.ω＝3，φ=π4B.ω＝3，φ=−π4C.ω＝6，φ=−π2D.ω＝6，φ=π210. 某数学课外兴趣小组对函数f(x)＝2|x−1|的图象与性质进行了探究，得到下列四条结论：①该函数的值域为(0, +∞)；②该函数在区间[0, +∞)上单调递增；③该函数的图象关于直线x＝1对称；④该函数的图象与直线y＝−a2(a∈R)不可能有交点．则其中正确结论的个数为（）A.1B.2C.3D.411. 函数y=sin xlog2019|2x−2−x|在区间[−3, 0)∪(0, 3]上的图象为（）A. B.C. D.12. 已知函数f(x)是定义在R上的函数，f(1)＝1．若对任意的x1，x2∈R且x1<x2有f(x1)−f(x2) x1−x2>−3，则不等式f[log2(3x−2)]<log216−3log2(3x−2)的解集为（）A.(23,1) B.(−∞,43) C.(23,43) D.(43,+∞)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填写在答题卷中的相应区域，答案写在试题卷上无效．函数f(x)=lg(x+1)+2x−2的定义域为________．计算：sin39∘cos21∘+sin51∘sin21∘＝________．已知函数f(x)=24x+1+tan x，则f(−2)+f(−1)+f(0)+f(1)+f(2)＝________．若A为不等边△ABC的最小内角，则f(A)=2sin A cos A1+sin A+cos A的值域为________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）已知集合A＝{x|x≥1}，集合B＝{x|3−a≤x≤3+a, a∈R}．(Ⅰ)当a＝4时，求A∪B；(Ⅱ)若B⊆A，求实数a的取值范围．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P(3, −4)．(Ⅰ)求sinα−cosα的值；(Ⅱ)求sin(π+α)+cos(π2+α)cos(2π+α)+sin(−α)的值．已知函数f(x)=sin(ωx−π6)+cosωx(ω>0)图象两条相邻对称轴间的距离为π2．(Ⅰ)求函数f(x)在[0, π]上的单调递增区间；(Ⅱ)将函数y＝f(x)的图象向左平移π6个单位后得到函数y＝g(x)的图象，求函数y＝g(x)图象的对称中心坐标．已知函数f(x)＝ax2+bx+4，其中a，b∈R，且a≠0．(Ⅰ)若函数y＝f(x)的图象过点(−3, 1)，且函数f(x)只有一个零点，求函数f(x)的解析式；(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，若a∈Z，函数g(x)＝ln[f(x)−kx]在区间[2, +∞)上单调递增，求实数k的取值范围．某科研团队对某一生物生长规律进行研究，发现其生长蔓延的速度越来越快．开始在某水域投放一定面积的该生物，经过2个月其覆盖面积为18平方米，经过3个月其覆盖面积达到27平方米．该生物覆盖面积y（单位：平方米）与经过时间x(x∈N)个月的关系有两个函数模型y＝k⋅a x(k>0, a>1)与y＝p√x+q(p>0)可供选择．(Ⅰ)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的函数解析式；(Ⅱ)问约经过几个月，该水域中此生物的面积是当初投放的1000倍？（参考数据：√2≈1.41,√3≈1.73，lg2≈0.30，lg3≈0.48）已知函数f(x)=2√2sin(x+π4)⋅cos x−1．(Ⅰ)当x∈[−π8,π8]时，f2(x)−mf(x)−m≤0恒成立，求实数m的取值范围；(Ⅱ)是否同时存在实数a和正整数n，使得函数g(x)＝f(x)−a在[0, nπ]上恰有2019个零点？若存在，请求出所有符合条件的a和n的值；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析2019-2020学年安徽省安庆市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】C2.【答案】B3.【答案】A4.【答案】C5.【答案】D6.【答案】D7.【答案】C8.【答案】A9.【答案】A10.【答案】B11.【答案】B12.【答案】C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填写在答题卷中的相应区域，答案写在试题卷上无效．【答案】(−1, 2)∪(2, +∞)【答案】√32【答案】5【答案】 (0, √2−1]三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）【答案】（1）当a ＝4时，集合A ＝{x|x ≥1}，集合B ＝{x|−1≤x ≤7}．∴ A ∪B ＝{x|x ≥−1}．（2）∵ 集合A ＝{x|x ≥1}，集合B ＝{x|3−a ≤x ≤3+a, a ∈R}，B ⊆A ，∴ 当B ＝⌀时，3−a >3+a ，解得a <0，当B ≠⌀时，{3−a ≤3+a 3−a ≥1，解得0≤a ≤(2) 综上，实数a 的取值范围是(−∞, 2]．【答案】（1）∵ 角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P(3, −4)， 故x ＝3，y ＝−4，r ＝|OP|=√9+16=5，∴ sin α=y r =−45，cos α=x r =35．∴ sin α−cos α=−45−35=−75． (2) sin (π+α)+cos (π2+α)cos (2π+α)+sin (−α)=−sin α−sin αcos α−sin α=8535−(−45)=87． 【答案】(I)f(x)=sin (ωx −π6)+cos ωx(ω>0)，=√32sin ωx +12cos ωx ，＝sin (ωx +π6)，∵ 图象两条相邻对称轴间的距离为π2， ∴ 12T =12π，即T ＝π， ∴ ω＝2，f(x)＝sin (2x +π6)，令−12π+2kπ≤2x +π6≤12π+2kπ，可得kπ−π3≤x ≤kπ+π6，k ∈Z ，故函数f(x)在[0, π]上的单调递增区间[0, π6]，[2π3, π]；（2）由题意可得y ＝g(x)＝sin (2x +π2)，令2x +π2=kπ可得x =−π4+12kπ，k ∈Z ， ∴ 函数y ＝g(x)图象的对称中心坐标(−π4+12kπ, 0)，k ∈Z ．【答案】（1）根据题意得，1＝9a +3b +4，即b ＝3a +1，①△＝b 2−4a ×4＝b 2−16a ＝0，②由①②解得{a =19b =43 或{a =1b =4 ， 所以函数f(x)=19x 2+43x +4，或f(x)＝x 2+4x +4， （2）因为a ∈Z ，由上可知a ＝1，f(x)＝x 2+4x +4，函数g(x)＝ln [f(x)−kx]＝ln [x 2+(4−k)x +4]在区间[2, +∞)上单调递增， 由复合函数的单调性得，y ＝x 2+(4−k)x +4在区间[2, +∞)上单调递增，且任意x ∈[2, +∞)，x 2+(4−k)x +4>0，可得2≥k−42且22+(4−k)×2+4>0，k ≤8且k <8，所以k 的取值范围k <(8)【答案】（1）因为y ＝k ⋅a x (k >0, a >1)的增长速度越来越快，而y ＝p √x +q(p >0)增长速度越来越慢，故依题意应选择y ＝k ⋅a x (k >0, a >1)，则有{ka 2=18ka 3=27 ，解得{a =32k =8 ，所以y ＝8⋅(32)x ；（2）当x ＝0时，y ＝8，设经过x 个月，该水域中此生物的面积是当初投放的1000倍， 则8⋅(32)x =8×1000，解得x =log 321000=lg 1000lg 32=3lg 3−lg 2≈17.03； 故，经过17个月后该水域中此生物的面积是当初投放的1000倍．【答案】由已知得，f(x)=2√2(√22sin x +√22cos x)cos x −1=2sin x cos x +2cos 2x −1=√2sin (2x +π4)，（1）当x ∈[−π8,π8]时，2x +π4∈[0,π2]，f(x)∈[0,√2]，要使f 2(x)−mf(x)−m ≤0恒成立，令t ＝f(x)，则t ∈[0,√2]，ℎ(t)＝t 2−mt −m ≤0对任意t ∈[0,√2]均成立，故{ℎ(0)=−m ≤0ℎ(√2)=2−√2m −m ≤0，解得m ≥2√2−2，∴ 实数m 的取值范围为[2√2−2,+∞)；（2）假设同时存在实数a 和正整数n ，使得函数g(x)＝f(x)−a 在[0, nπ]上恰有2019个零点，即函数y＝f(x)与直线y＝a在[0, nπ]上恰有2019个交点，当x∈[0, π]时，2x+π4∈[π4,9π4]，①当a>√2或a<−√2时，函数y＝f(x)与直线y＝a在[0, nπ]上无交点；②当a=±√2时，函数y＝f(x)与直线y＝a在[0, π]上仅有一个交点，要使函数y＝f(x)与直线y＝a在[0, nπ]上恰有2019个交点，则n＝2019；③当−√2<a<1或1<a<√2时，函数y＝f(x)与直线y＝a在[0, π]上有两个交点，此时函数y＝f(x)与直线y＝a在[0, nπ]上有偶数个交点，不可能有2019个交点，不符合；④当a＝1时，函数y＝f(x)与直线y＝a在[0, π]上有三个交点，要使函数y＝f(x)与直线y＝a在[0, nπ]上恰有2019个交点，则n＝1009；综上可得存在实数a和正整数n，当a=±√2时，n＝2019，当a＝1时，n＝10(09)。
安庆市第一中学数学高一上期末经典题(培优提高)
一、选择题1．(0分)[ID ：12117]设a b c ，，均为正数，且122log aa =，121log 2bb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭．则（ ） A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c <<2．(0分)[ID ：12115]已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,∞+上是增函数，若对任意[)x 1,∞∈+，都有()()f x a f 2x 1+≤-恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[]2,0-B ．(],8∞--C ．[)2,∞+D ．(],0∞- 3．(0分)[ID ：12092]已知4213332,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<D ．c a b <<4．(0分)[ID ：12091]已知函数1()log ()(011a f x a a x =>≠+且）的定义域和值域都是[0，1]，则a=（ ） A ．12BC．2D ．25．(0分)[ID ：12089]已知函数()()2,211,22x a x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩, 满足对任意的实数x 1≠x 2都有()()1212f x f x x x --＜0成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B ．13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C ．(－∞，2]D ．13,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭6．(0分)[ID ：12128]设4log 3a =，8log 6b =，0.12c =，则（ ） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >>7．(0分)[ID ：12127]在实数的原有运算法则中，补充定义新运算“⊕”如下：当a b ≥时，a b a ⊕=；当a b <时，2a b b ⊕=，已知函数()()()[]()1222,2f x x x x x =⊕-⊕∈-，则满足()()13f m f m +≤的实数的取值范围是（ ）A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．21,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦8．(0分)[ID ：12122]定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1x ，212[0,)()x x x ∈+∞≠，有2121()()0f x f x x x -<-，则（ ）．A ．(3)(2)(1)f f f <-<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<-9．(0分)[ID ：12105]已知131log 4a =，154b=，136c =，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b c a >>10．(0分)[ID ：12084]对于函数()f x ，在使()f x m ≤恒成立的式子中，常数m 的最小值称为函数()f x 的“上界值”，则函数33()33xx f x -=+的“上界值”为（ ）A ．2B ．－2C ．1D ．－111．(0分)[ID ：12057]设函数()()212log ,0,log ,0.x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-,则实数的a取值范围是( ) A ．()()1,00,1-⋃ B ．()(),11,-∞-⋃+∞ C ．()()1,01,-⋃+∞D ．()(),10,1-∞-⋃12．(0分)[ID ：12053]函数ln x y x=的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．13．(0分)[ID ：12069]已知()y f x =是以π为周期的偶函数，且0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()1sin f x x =-，则当5,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x =（ ）A ．1sin x +B ．1sin x -C ．1sin x --D ．1sin x -+14．(0分)[ID ：12063]将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，min t 后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线nty ae =，假设过5min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过min m 甲桶中的水只有4a升，则m 的值为（ ） A ．10B ．9C ．8D ．515．(0分)[ID ：12029]对任意实数x ，规定()f x 取4x -，1x +，()152x -三个值中的最小值，则()f x （ ）A ．无最大值，无最小值B ．有最大值2，最小值1C ．有最大值1，无最小值D ．有最大值2，无最小值二、填空题16．(0分)[ID ：12208]已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x 时，11()42x xf x =-+，则此函数的值域为__________. 17．(0分)[ID ：12206]已知a ，b R ∈，集合()(){}2232|220D x x a a x a a =----+≤，且函数()12bf x x a a -=-+-是偶函数，b D ∈，则220153a b -+的取值范围是_________.18．(0分)[ID ：12196]已知函数12()log f x x a =+，2()2g x x x =-，对任意的11[,2]4x ∈，总存在2[1,2]x ∈-，使得12()()f x g x =，则实数a 的取值范围是______________．19．(0分)[ID ：12188]若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f (2)＝0，则使得f (x )<0的x 的取值范围是________．20．(0分)[ID ：12183]设定义在[]22-,上的偶函数()f x 在区间[]0,2上单调递减，若()()1f m f m -<，则实数m 的取值范围是________．21．(0分)[ID ：12180]设,,x y z R +∈，满足236x y z==，则112x z y+-的最小值为__________.22．(0分)[ID ：12176]若当0ln2x ≤≤时，不等式()()2220x xxx a e e e e ---+++≥恒成立，则实数a 的取值范围是_____.23．(0分)[ID ：12175]若函数()()()()22,0,0x x x f x g x x ⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩为奇函数，则()()1f g -=________．24．(0分)[ID ：12129]已知a ＞b ＞1.若log a b+log b a=52，a b =b a ，则a= ，b= . 25．(0分)[ID ：12212]设A,B 是两个非空集合，定义运算A ×B ={x|x ∈A ∪B,且x ∉A ∩B}．已知A ={x|y =√2x −x 2}，B ={y|y =2x ,x >0}，则A ×B =________.三、解答题26．(0分)[ID ：12328]已知函数132()log 2ax f x x-=-的图象关于原点对称，其中a 为常数. （1）求a 的值；（2）若当(7,)x ∈+∞时，13()log (2)f x x m +-<恒成立.求实数m 的取值范围.27．(0分)[ID ：12324]已知函数31()31x xf x -=+. （1）证明：()f x 为奇函数；（2）判断()f x 的单调性，并加以证明； （3）求()f x 的值域.28．(0分)[ID ：12281]已知幂函数35()()m f x x m N -+=∈为偶函数，且在区间(0,)+∞上单调递增.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）设函数()()21g x f x x λ=+-，若()0<g x 对任意[1,2]x ∈恒成立，求实数λ的取值范围.29．(0分)[ID ：12249]已知全集U=R ，集合{}12A x x x =-或 ，{}213UB x x p x p 或=-+．（1）若12p =，求A B ⋂； （2）若A B B ⋂=，求实数p 的取值范围． 30．(0分)[ID ：12236]记关于x 的不等式x−a−1x+1<0的解集为P ，不等式(x −1)2≤1的解集为Q ．（1）若a =3，求集合P ；（2）若a >0且Q ∩P =Q ，求a 的取值范围．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．A 2．A 3．A 4．A5．B6．D7．C8．A9．C10．C11．C12．C13．B14．D15．D二、填空题16．【解析】【分析】可求出时函数值的取值范围再由奇函数性质得出时的范围合并后可得值域【详解】设当时所以所以故当时因为是定义在上的奇函数所以当时故函数的值域是故答案为：【点睛】本题考查指数函数的性质考查函17．【解析】【分析】由函数是偶函数求出这样可求得集合得的取值范围从而可得结论【详解】∵函数是偶函数∴即平方后整理得∴∴由得∴故答案为：【点睛】本题考查函数的奇偶性考查解一元二次不等式解题关键是由函数的奇18．【解析】分析：对于多元变量任意存在的问题可转化为求值域问题首先求函数的值域然后利用函数的值域是函数值域的子集列出不等式求得结果详解：由条件可知函数的值域是函数值域的子集当时当时所以解得故填：点睛：本19．(－22)【解析】【详解】∵函数f(x)是定义在R上的偶函数且在(－∞0)上是增函数又f(2)＝0∴f(x)在(0＋∞)上是增函数且f(－2)＝f(2)＝0∴当－２＜x＜2时f(x)＜0即f(x)＜20．【解析】【分析】由题意知函数在上是减函数在上是增函数其规律是自变量的绝对值越小其函数值越大由此可直接将转化成一般不等式再结合其定义域可以解出的取值范围【详解】解：函数是偶函数定义在上的偶函数在区间上21．【解析】【分析】令将用表示转化为求关于函数的最值【详解】令则当且仅当时等号成立故答案为:【点睛】本题考查指对数间的关系以及对数换底公式注意基本不等式的应用属于中档题22．【解析】【分析】用换元法把不等式转化为二次不等式然后用分离参数法转化为求函数最值【详解】设是增函数当时不等式化为即不等式在上恒成立时显然成立对上恒成立由对勾函数性质知在是减函数时∴即综上故答案为：【 23．【解析】根据题意当时为奇函数则故答案为24．【解析】试题分析：设因为因此【考点】指数运算对数运算【易错点睛】在解方程时要注意若没注意到方程的根有两个由于增根导致错误25．01∪2+∞【解析】【分析】分别确定集合AB 然后求解A×B 即可【详解】求解函数y=2x-x2的定义域可得：A=x|0≤x≤2求解函数y=2xx>0的值域可得B=x|x>1则A ∪B=x|x≥0A∩B=三、解答题 26． 27． 28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．A 解析：A 【解析】试题分析：在同一坐标系中分别画出2,xy =12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log y x =，12log y x =的图象，2xy =与12log y x =的交点的横坐标为a ，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与12log y x =的图象的交点的横坐标为b ，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与2log y x =的图象的交点的横坐标为c ，从图象可以看出．考点：指数函数、对数函数图象和性质的应用．【方法点睛】一般一个方程中含有两个以上的函数类型，就要考虑用数形结合求解，在同一坐标系中画出两函数图象的交点，函数图象的交点的横坐标即为方程的解．2．A解析：A 【解析】 【分析】根据偶函数的性质，可知函数在(],0-∞上是减函数，根据不等式在[)1,x ∈+∞上恒成立，可得：21x a x +≤-在[)1,+∞上恒成立，可得a 的范围. 【详解】()f x 为偶函数且在[)0,+∞上是增函数()f x ∴在(],0-∞上是减函数对任意[)1,x ∈+∞都有()()21f x a f x +≤-恒成立等价于21x a x +≤-2121x x a x ∴-+≤+≤- 311x a x ⇒-+≤≤-()()max min 311x a x ∴-+≤≤-当1x =时，取得两个最值3111a ∴-+≤≤- 20a ⇒-≤≤本题正确选项：A 【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性解抽象函数不等式的问题，关键在于能够通过单调性确定自变量之间的关系，得到关于自变量的不等式.3．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】因为422233332=4,3,5a b c ===，且幂函数23y x =在(0,)+∞ 上单调递增，所以b <a <c . 故选A.点睛：本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小.4．A解析：A 【解析】 【分析】由函数()1log ()=0,1a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x)为增函数，但在[0，1]上为减函数，得0<a<1，把x=1代入即可求出a 的值．【详解】由函数()1log ()=0,1a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x)为增函数， 但在[0，1]上为减函数，∴0<a<1，当x=1时，1(1)log ()=-log 2=111a a f =+, 解得1=2a ， 故选A ．本题考查了函数的值与及定义域的求法，属于基础题，关键是先判断出函数的单调性． 点评：做此题时要仔细观察、分析，分析出(0)=0f ，这样避免了讨论．不然的话，需要讨论函数的单调性.5．B【解析】 【分析】 【详解】试题分析：由题意有,函数()f x 在R 上为减函数,所以有220{1(2)2()12a a -<-⨯≤-,解出138a ≤,选B. 考点：分段函数的单调性. 【易错点晴】本题主要考查分段函数的单调性,属于易错题. 从题目中对任意的实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，得出函数()f x 在R 上为减函数,减函数图象特征:从左向右看,图象逐渐下降,故在分界点2x =处,有21(2)2()12a -⨯≤-,解出138a ≤. 本题容易出错的地方是容易漏掉分界点2x =处的情况.6．D解析：D 【解析】 【分析】由对数的运算化简可得2log a =log b =，结合对数函数的性质，求得1a b <<，又由指数函数的性质，求得0.121c =>，即可求解，得到答案.【详解】由题意，对数的运算公式，可得24222log 31log 3log 3log log 42a ====28222log 61log 6log 6log log 83b ====，2<<，所以222log log log 21<<=，即1a b <<，由指数函数的性质，可得0.10221c =>=， 所以c b a >>. 故选D. 【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及指数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练应用指数函数与对数函数的图象与性质，求得,,a b c 的范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7．C【解析】当21x -≤≤时，()1224f x x x =⋅-⨯=-； 当12x <≤时，()23224f x x x x =⋅-⨯=-；所以()34,214,12x x f x x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩， 易知，()4f x x =-在[]2,1-单调递增，()34f x x =-在(]1,2单调递增， 且21x -≤≤时，()max 3f x =-，12x <≤时，()min 3f x =-，则()f x 在[]22-,上单调递增， 所以()()13f m f m +≤得：21223213m m m m-≤+≤⎧⎪-≤≤⎨⎪+≤⎩，解得1223m ≤≤，故选C ．点睛：新定义的题关键是读懂题意，根据条件，得到()34,214,12x x f x x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩，通过单调性分析，得到()f x 在[]22-,上单调递增，解不等式()()13f m f m +≤，要符合定义域和单调性的双重要求，则21223213m m m m -≤+≤⎧⎪-≤≤⎨⎪+≤⎩，解得答案．8．A解析：A 【解析】由对任意x 1，x 2 ∈ [0，＋∞)(x 1≠x 2)，有()()1212f x f x x x -- <0，得f (x )在[0，＋∞)上单独递减，所以(3)(2)(2)(1)f f f f <=-<，选A.点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行9．C解析：C 【解析】 【分析】首先将b 表示为对数的形式，判断出0b <，然后利用中间值以及对数、指数函数的单调性比较32与,a c 的大小，即可得到,,a b c 的大小关系. 【详解】因为154b=，所以551log log 104b =<=，又因为(133331log log 4log 3,log 4a ==∈，所以31,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 又因为131133336,82c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭，所以3,22c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以c a b >>. 故选：C. 【点睛】本题考查利用指、对数函数的单调性比较大小，难度一般.利用指、对数函数的单调性比较大小时，注意数值的正负，对于同为正或者负的情况可利用中间值进行比较.10．C解析：C 【解析】 【分析】利用换元法求解复合函数的值域即可求得函数的“上界值”. 【详解】 令3,0xt t => 则361133t y t t -==-<++ 故函数()f x 的“上界值”是1； 故选C 【点睛】本题背景比较新颖，但其实质是考查复合函数的值域求解问题，属于基础题，解题的关键是利用复合函数的单调性法则判断其单调性再求值域或 通过换元法求解函数的值域.11．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】因为函数()()212log ,0,log ,0.x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-,所以220log log a a a >⎧⎨>-⎩或()()122log log a a a <⎧⎪⎨->-⎪⎩，解得1a >或10a -<<，即实数的a 取值范围是()()1,01,-⋃+∞，故选C. 12．C解析：C 【解析】 分析：讨论函数ln x y x=性质，即可得到正确答案.详解：函数ln x y x=的定义域为{|0}x x ≠ ，ln ln x x f x f x xxx--==-=-（）（）， ∴排除B ， 当0x >时，2ln ln 1-ln ,,x x xy y xx x===' 函数在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减， 故排除A,D ， 故选C ．点睛：本题考查了数形结合的思想应用及排除法的应用．13．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】因为()y f x =是以π为周期，所以当5,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()3πf x f x =-， 此时13,02x -π∈-π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,又因为偶函数，所以有()()3π3πf x f x -=-, 3π0,2x π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦,所以()()3π1sin 3π1sin f x x x -=--=-,故()1sin f x x =-，故选B.14．D解析：D 【解析】由题设可得方程组()552{4n m n ae aa ae +==，由55122n nae a e =⇒=，代入(5)1142m n mn ae a e +=⇒=，联立两个等式可得512{12mn n e e ==，由此解得5m =，应选答案D 。
安徽省安庆市高一上学期数学期末考试试卷
安徽省安庆市高一上学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）在正项等比数列中，已知，则的最小值为（）A . 64B . 32C . 16D . 82. （2分）函数的定义域是（）A . （0，＋∞）B . （－∞，0）C . （0，1）∪（1，＋∞）D . （－∞，－1）∪（－1，0）∪（0，＋∞）3. （2分）下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（）A .B .C .D .4. （2分） (2019高一上·银川期中) 若，则下列结论一定成立的是（）A .B .C .D .5. （2分） (2016高一上·惠城期中) 已知函数y=（m+5）x 是幂函数，则对函数的单调区间描述正确的是（）A . .单调减区间为（﹣∞，+∞）B . 单调减区间为（0，+∞）C . 单调减区间为（﹣∞，0）∪（0，+∞）D . 单调减区间为（﹣∞，0）和（0，+∞）6. （2分）设函数，则其零点所在的区间为（）A . （-1，0）B . （0，1）C . （1，2）D . （2，3）7. （2分）直线的倾斜角是（）A .B .C .D .8. （2分）若点P(1,1)为圆x2+y2-6x=0的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为（）A . 2x+y-3=0B . x-2y+1=0C . x+2y-3=0D . 2x-y-1=09. （2分）(2017·重庆模拟) 圆心在y轴上，半径为2，且过点（2，4）的圆的方程为（）A . x2+（y﹣1）2=4B . x2+（y﹣2）2=4C . x2+（y﹣3）2=4D . x2+（y﹣4）2=410. （2分）如图，抛物线的焦点为，准线为，经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，，垂足为，则的面积是（）A .B .C .D .11. （2分）两圆相交于点A（1，3）、B（m，－1），两圆的圆心均在直线上，则m+c的值为（）A . 3B . 2C . -2D . －112. （2分）曲线与直线有公共点的充要条件是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高一上·扬州月考) 若，则 ________．14. （1分） (2019高二下·平罗月考) 设有两个命题：p：关于x的不等式ax>1(a>0，且a≠1)的解集是{x|x<0}；q：函数y＝lg (ax2－x＋a)的定义域为R．如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围是________．15. （1分） (2018高二上·西城期末) 经过点且与直线垂直的直线方程为________.16. （1分）函数f （x）是定义在R上的奇函数，且它是减函数．若实数a，b满足f （a）+f （b）＞0，则a+b________ 0．（填“＞”，“＜”或“=”）三、解答题 (共6题；共50分)17. （5分） (2016高一下·厦门期中) 求过点A（1，3），斜率是直线y=﹣4x的斜率的的直线方程．18. （10分）已知函数f（x）= 的定义域为（﹣1，1），（1）证明f（x）在（﹣1，1）上是增函数；（2）解不等式f（2x﹣1）+f（x）＜0．19. （10分） (2016高一下·奉新期末) 已知直线l的方程为3x+4y﹣12=0，求直线l'的方程，使得：（1） l'与l平行，且过点（﹣1，3）；（2） l'与l垂直，且l'与两轴围成的三角形面积为4．20. （10分）已知直线l1：3x﹣y﹣1=0，l2：x+y﹣3=0，求：（1）直线l1与l2的交点P的坐标；（2）过点P且与l1垂直的直线方程．21. （5分）已知圆P过点A（1，0），B（4，0）．（1）若圆P还过点C（6，﹣2），求圆P的方程；（2）若圆心P的纵坐标为 2，求圆P的方程．22. （10分） (2016高二上·吉安期中) 已知圆C和y轴相切，圆心在直线x﹣3y=0上，且被直线y=x截得的弦长为，求圆C的方程．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分) 17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、。
安徽省安庆市2023-2024学年高一上学期期末数学试题含答案
安庆市2023-2024学年度第一学期期末教学质量监测高一数学试题（答案在最后）（考试时间：120分钟，满分：150分）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1.已知集合{}1,2,3,4A =，集合{}1B x x =∈>R ，则A B = （）A.{}3,4 B.(]1,4 C.{}2,3,4 D.{}1,2,3,4【答案】C 【解析】【分析】先求出集合B ，再利用交集的定义可求A B ⋂.【详解】{|1B x x =<-或1}x >，故{}2,3,4A B = ，故选：C ．2.函数()()ln 24f x x x =-+-的零点所在区间为（）A.()2,3 B.()3,4 C.()4,5 D.()5,6【答案】B 【解析】【分析】根据函数的单调性和零点存在性定理进行求解即可.【详解】由条件知函数()f x 在()2,∞+上单调递增，又()310f =-<，()4ln 20f =>，根据零点存在性定理知该函数的零点所在区间为()3,4，故选：B3.lg323log 3log 410⋅-=（）A.2B.1C.1- D.0【答案】C 【解析】【分析】利用换底公式和指对数运算公式即可.【详解】lg323lg 3lg 42lg 2log 3log 41033231lg 2lg 3lg 2⋅-=⋅-=-=-=-，故选：C ．4.命题“[]1,2,25xx x a ∀∈+-≥”为真命题，则实数a 的取值范围是（）A.(],2-∞- B.(],1-∞- C.(],2-∞ D.(],1-∞【答案】A 【解析】【分析】求解出函数25x y x =+-在区间[]1,2上的最小值，然后根据恒成立条件得出结果.【详解】解：因为命题“[]1,2,25xx x a ∀∈+-≥”为真命题，所以()min25xx a +-≥，因为函数25x y x =+-在区间[]1,2上单调递增，所以当1x =时，()min252xx +-=-，所以只需2a ≤-.故选：A ．5.第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在浙江省杭州市举行，本届亚运会会徽“潮涌”的主体图形由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征亚奥理事会的太阳图形六个元素组成，其中扇面造型反映江南人文意蕴．已知扇面呈扇环形，内环半径为1，外环半径为3，扇环所对圆心角为2π3，则该扇面的面积为（）A.4π3B.8π3C.10π3D.16π3【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用扇形面积公式计算即得.【详解】依题意，该扇面的面积为22128(31)233ππ-⨯=.故选：B6.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()()1,12f x y f x f y f +=+-=，则()2f -=（）A.1-B.0C.1D.2【答案】A 【解析】【分析】利用赋值法进行求解即可.【详解】在()()()1f x y f x f y +=+-中，令1,0x y ==，得()()()(1)10101f f f f =+-⇒=，令1x y ==，得()()()21112213f f f =+-=+-=，令2,2-==y x ，()()()02211f f f =+--=，解得：()21f -=-，故选：A7.已知233log 3,log 5,2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A.a b c >>B.a c b>> C.b a c>> D.c a b>>【答案】B 【解析】【分析】结合对数函数的单调性计算即可得.【详解】由条件知223log 3log 2a c =>==，333log 5log 2b c =<=，因此a c b >>.故选：B ．8.已知关于x 的不等式()()14280xx ax b +--+≥（其中0a ≠）在R 上恒成立，则有（）A.0a <B.0b > C.0a b +> D.20a b ->【答案】D 【解析】【分析】将已知不等式化为()()()22240xxax b +-+≥，结合函数()24x f x =-在R 上单调性，即可判断各选项的正误.【详解】由题意得原不等式可化为()()()22240xxax b +-+≥，因220x +>，所以()()240xax b -+≥在R 上恒成立，又函数()24xf x =-在R 上单调递增，且()20f =，当2x >时，()0f x >；当2x <时，()0f x <．于是20a b +=且0a >，于是0b <，0a b a +=-<，250a b a -=>，故选：D ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知实数,a b 满足0a b >>，则（）A.lg lg a b >B.22a b > C.33a b > D.11a b<【答案】BC 【解析】【分析】A 由对数的真数大于0可以排除；B 由二次函数的性质可得；C 由简单幂函数的性质可得；D 可通过简单例子进行排除.【详解】因为0a b >>，所以b 的正负无法判断，所以A 可能无意义；2220a b b >=>，故B 正确；由于3y x =为定义域R 上的单调递增函数，又因为0a b >>，所以a b >，所以33a b >，故C 正确；当2,1a b ==-时，0a b >>，但是11112a b=>=-，故D 错误；故选：BC.10.已知函数()()sin (0,0,0π)f x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示，则下列判断正确的是（）A.45ω=B.9π10ϕ=C.点π,04⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心 D.直线7π4x =-是函数()f x 图象的一条对称轴【答案】ABD 【解析】【分析】结合图象即可求出三角函数的解析式，则AB 可解；将π4x =代入函数()f x 的解析式即可验证C 选项；将7π4x =-代入函数()f x 的解析式即可验证D 选项.【详解】根据图象和题目条件可知1A =，3π5π2π244T =-=，所以5π2π2T ω==，解得45ω=，A 正确；将3π4x =代入，可得43π3π542ϕ⨯+=，解得9π10ϕ=，B 正确；所以()49πsin 510f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，令π4x =得，π4π911πsin sin 04541010f π⎛⎫⎛⎫=⨯+=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，C 错误，令7π4x =-得，7π47π9ππsin sin 1454102f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯-+=-=- ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故7π4x =-是函数()f x 的一条对称轴，D 正确，故选：ABD ．11.已知[]x 表示不超过x 的最大整数，则下列关于函数()22sin sin cos cos f x x x ⎡⎤⎡⎤=+⎣⎦⎣⎦的判断，其中正确的是（）A.函数()f x 是以π为周期的周期函数 B.函数()f x C.函数()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 D.当π,02x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()1f x =【答案】AD 【解析】【分析】根据周期函数的定义判断选项A 的正确与否；取特殊值可判断出选项B 的正确与否；根据函数定义可判断出选项C 的正确与否；由函数的周期和选项C 的结论得出选项D 的正确性.【详解】选项A ：因()22sinπsin x x +=，()22cos πcos x x +=，所以()()πf x f x +=，于是函数()f x 是以π为周期的周期函数，选项A 正确；选项B ：由函数周期可得，只需考虑[)0,πx ∈的情况，而ππsin1cos 0sin11sin 126f ⎛⎫=+=+>+>⎪⎝⎭B 错误；选项C ：当ππ2x <<时，()()sin 0,1,cos 1,0x x ∈∈-，所以22sin cos 0x x ⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦，则()sin 0cos 01f x =+=，此时函数()f x 是常数函数，所以选项C 错误；选项D ：根据周期性以及选项C 的结论，可知当π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()1f x =，所以选项D 正确．故选：AD.12.双曲函数是一类与三角函数类似的函数，双曲正弦函数()e e sinh 2x xx --=，双曲余弦函数()e e cosh 2x xx -+=（其中e 为自然对数的底数），则下列判断正确的是（）A.()sinh x 为奇函数，()cosh x 为偶函数B.()()()sinh 2sinh cosh x x x =⋅C.函数()cosh x 在R 上的最小值为1D.函数()()()cosh 2cosh g x x x =-在R 上只有一个零点【答案】ACD 【解析】【分析】由函数的奇偶性即可验证A ；由题干给的定义式进行化简即可验证B ；由基本不等式即可验证C ；由题干给的定义式，结合换元法求解零点可得D.【详解】()e e sin h 2x x x --=，定义域为R ，()()e e e e sin h sin h 22x x x xx x -----==-=-，所以()sin h x 为奇函数，()e e cos h 2x x x -+=，定义域为R ，()()e e cos h cos h 2x x x x -+-==-，所以()cos h x 为偶函数，故A 正确；()()22e e e e e e e +e e e sinh(2)22sinh()cosh()2222x x x x x x x x x xx x x -----+---===⨯⨯=，B 错误；因为()e e cosh 12x xx -+=≥=，当且仅当0x =时，函数()f x 在R 上的最小值为1，C 正确；由题意得：()()()()222e e 2e e e e e e cosh 2cosh 2222xxxxx xx xg x x x ----+-+++=-=-=-令e e x x t -+=，结合C 选项可得2t ≥，于是由()0g x =，得21022t t--=，解得2t =或1t =-（舍去），于是0x =，因此函数()g x 在R 上只有一个零点0x =，D 正确，故选：ACD ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知函数()24,1log ,1x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则()2f f -=⎡⎤⎣⎦______．【答案】1【解析】【分析】根据分段函数性质，直接代入计算即可.【详解】因()()2224f -=-=，所以()()424log 41f f f -===⎡⎤⎣⎦，故答案为：1.14.已知关于x 的不等式()22ax bx c x +>-的解集为{}13x x <<，则关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为______．【答案】()3,1,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】由题意首先得出,,a b c 的关系，进一步结合a<0即可求解.【详解】由已知，不等式()220ax b c x c +-+>的解集为{}13x x <<，故a<0，且11x =，23x =为方程()220ax b c x c +-+=的两根，所以423b c a c a-⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得5232b a c a⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故不等式20ax bx c ++<为253022ax ax a -+<，即253022x x -+>，解得1x <或32x >.故答案为：()3,1,2⎛⎫-∞⋃+∞⎪⎝⎭．15.若函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[]0,π上有且仅有三个零点，则ω的取值范围是______．【答案】1723,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】[]0,πx ∈时,πππ66π6x ωω⎡⎤⎢⎥+∈+⎣⎦，结合正弦函数的图像和性质，确定ππ6ω+的范围，由不等式求解ω的取值范围.【详解】因0πx ≤≤，0ω>，所以ππππ666x ωω≤+≤+，因函数()f x 在[]0,π上有且仅有三个零点，所以π3ππ4π6ω≤+<，解得172366ω≤<．则ω的取值范围是1723,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：1723,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭16.已知,R x y ∈且22221x y xy +=+，则22x y +的最大值为______，最小值为______．【答案】①.23②.25##0.4【解析】【分析】直接利用基本不等式可得222222112x y x y xy ++=+≤+，即可求得22x y +的最大值，将22221x y xy +=+化为22221()x y x y +=--，再利用基本基本不等式，即可求得22x y +的最小值.【详解】由,R x y ∈,222222112x y x y xy ++=+≤+可得2223x y +≤，当且仅当22221x y x y xy =⎧⎨+=+⎩，即3x y ==±时取到等号,即22xy +的最大值为23；2222221()12x y x y x y ++=--≥-，可得2225x y +≥，当且仅当22221x y x y xy -=⎧⎨+=+⎩，即,55x y ==-或,55x y =-=时取到等号，即22xy +的最小值为25；故答案为：23；25四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知集合(){}225400A x x ax a a =-+<≠，集合(){}ln 2B x y x ==-．（1）当1a =时，求A B ⋃；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）(),4A B =-∞ （2）()1,00,2⎛⎤-∞⋃ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）当1a =时，解集合A 中的不等式，求集合B 中函数的定义域，得到这两个集合，再由并集的定义求A B ⋃；（2）由题意，集合A 是集合B 的真子集，分类讨论解集合A 中的不等式，由包含关系求实数a 的取值范围．【小问1详解】当1a =时，{}2|540A x x x =-+<=()1,4，(){}{}|ln 2|20B x y x x x ==-=->(),2=-∞，所以(),4A B =-∞ ．【小问2详解】因“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，所以集合A 是集合B 的真子集．当0a >时，(),4A a a =，所以只需42a ≤，解得102a <≤；当a<0时，()4,A a a =是集合B 的真子集，符合题意，综上所述，实数a 的取值范围是()1,00,2⎛⎤-∞⋃ ⎥⎝⎦．18.已知()0,πα∈，且3cos210cos 10αα--=．（1）求sin α的值；（2）求ππcos 63αα⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值．【答案】（1）3（2）3-【解析】【分析】（1）根据余弦二倍角公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可；（2）根据诱导公式，结合辅助角公式进行求解即可.【小问1详解】由题意可知，()232cos 110cos 10αα---=，展开整理可得23cos 5cos 20αα--=，即()()3cos 1cos 20αα+-=，解得1cos 3α=-（cos 2α=舍去）.因为()0,πα∈，所以sin 3α===．【小问2详解】ππcos 63αα⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πππcos())233αα=+--ππsin()33αα=----ππ2sin()2sin 333αα=--+=-=-．19.已知幂函数()()()25mf x m m xm =+-⋅∈R 是定义在R 上的偶函数．（1）求函数()f x 的解析式；（2）当1,813x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()()()33log 2log 2g x f x f x =-+⎡⎤⎣⎦的最值，并求对应的自变量x 的值．【答案】（1）()2f x x =（2）当9x =时，函数()g x 的最小值为2-；当13x =时，函数()g x 的最大值为7【解析】【分析】（1）由幂函数的定义和函数的奇偶性，求出m 的值，得函数解析式；（2）求出函数()g x 的解析式，由定义域结合解析式，利用配方法求最值.【小问1详解】根据题意可得251m m +-=，即260m m +-=，所以()()320m m +-=，解得32m m =-=或，又函数()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()22,m f x x ==，即函数()f x 的解析式为()2f x x =．【小问2详解】由（1）可知()()()33log 2log 2g x f x f x =-+⎡⎤⎣⎦()()2223333log 2log 2log 4log 2x x x x =-+=-+()23log 22x =--因1,813x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以[]3log 1,4x ∈-，所以当3log 2x =，即19,813x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，函数()g x 的最小值为2-；当13x =时，3log 1x =-，函数()g x 的最大值为7．20.将函数()cos2(0)f x x ωω=>的图象向右平移π6ω个单位得到函数()g x 的图象，且使()()122g x g x -=成立的12x x -的最小值为π2．（1）求函数()g x 的单调递减区间；（2）设函数()()2sin f x h x x =+，求函数()h x 的最大值．【答案】20.()π2ππ,πZ 63k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦21.8-【解析】【分析】（1）由图象平移得()g x 的解析式，根据已知得函数周期求出ω，整体代入法求单调递减区间；（2）由()h x 解析式，通过换元，利用基本不等式求最大值.【小问1详解】由题意可知()ππcos 2cos 263g x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，于是函数()g x 最大值为1，最小值为1-，根据使()()122g x g x -=成立的12x x -的最小值为π2，则12,x x 是相邻的最大值点和最小值点，函数()g x 的最小正周期T 满足π22T =，解得πT =，所以2ππ2ω=，解得1ω=，所以()πcos 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，于是()π2π22ππZ 3k x k k ≤-≤+∈，解得()π2πππZ 63k x k k +≤≤+∈，因此函数()g x 的单调递减区间()2,Z 63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】由（1）知()2cos 212sin 2sin 2sin x x h x x x-==++，令2sin t x =+，则[]1,3t ∈，于是()()22212212sin 2877282sin t x t t h x t x t t t ----+-⎛⎫====-++ ⎪+⎝⎭88≤-+=-，所以当且仅当72t t =，即[]1,32t =∈时，函数()h x 的最大值为8-21.茶是中华民族的举国之饮，发于神农，闻于鲁周公，始于唐朝，兴于宋代，中国茶文化起源久远，历史悠久，文化底蕴深厚，是我国文化中的一朵奇葩！我国人民历来就有“客来敬茶”的习惯，这充分反映出中华民族的文明和礼貌．立德中学利用课余时间开设了活动探究课《中国茶文化》，小明同学用沸水泡了一杯茶，泡好后置于室内，开始时测得这杯茶的温度为100℃，经过1分钟测得其温度变为80℃，再经过1分钟测得其温度变为65℃．小明想利用上述数据建立这杯茶的温度y （单位：℃）随经过的时间t （单位：分钟）的函数关系式，选用了两种函数模型：①t y a b c =⋅+（,,a b c 为常数，0,0a b ≠>且1b ≠）；②2y pt qt r =++（,,p q r 为常数，0p ≠）．（1）请通过计算帮小明同学选出恰当的函数模型；（2）现代研究结果显示，饮茶温度不要超过60℃，请利用（1）中选出的模型该杯茶泡好后到适宜饮用至少需要等待多长时间？（参考数据：lg20.30,lg30.48≈≈）【答案】21.38020,04ty t ⎛⎫=⨯+≥ ⎪⎝⎭22.2.5分钟【解析】【分析】（1）分别代入0,1,2t t t ===得到函数模型，结合生活实际进行判断即可；（2）根据（1）求出的函数模型解不等式即可.【小问1详解】若选用①，根据条件可得012100,80,65,a b c a b c a b c ⎧⋅+=⎪⋅+=⎨⎪⋅+=⎩，解得803420a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，所以38020,04ty t ⎛⎫=⨯+≥ ⎪⎝⎭．此时，y 随着t 的增大而减小，符合生活实际；若选用②，根据条件可得100,80,4265,r p q r p q r =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得10052452r p q ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩，所以2545100,022y t t t =-+≥．又225455939510022228y t t t ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，当92t ≥时，y 随着t 的增大而增大，不符合生活实际，应舍去．所以该函数模型为38020,04ty t ⎛⎫=⨯+≥ ⎪⎝⎭．【小问2详解】由（1），令38020604t y ⎛⎫=⨯+≤ ⎪⎝⎭，于是3142t ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，两边取常用对数得31lg lg 42t ≤，又3lg lg104<=，故1lglg 2lg 20.302 2.53lg 3lg 42lg 2lg 320.300.48lg 4t -≥==≈=--⨯-，所以该杯茶泡好后到适宜饮用至少需要等待2.5分钟．22.已知函数()1(03x f x a a =>+且1)a ≠过点13,30⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）判断()()2f x f x +-是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是，请说明理由；（2）若方程()()41f x mf x -=有两不等实数根()1221,x x x x >，且213022log 2x x <-<-，求实数m 的取值范围．【答案】（1）()()2f x f x +-是定值，定值为13（2）1(0,)2【解析】【分析】（1）代入点13,30⎛⎫ ⎪⎝⎭可计算出函数解析式，结合指数运算可计算出()()2f x f x +-；（2）由题意可转化为31xm -=有两不等实数根()1221,x x x x >，结合绝对值进行分类讨论可得2213(1)2log 1m x x m+-=-，结合题意计算即可得m 的取值范围.【小问1详解】由题意可知()3113330f a ==+，所以327a =，解得3a =，故()133x f x =+，则()()2f x f x +-2113333x x -=+++()213331333333333x x x x x +=+==++⋅+，所以()()2f x f x +-是定值，定值为13．【小问2详解】由4()1()f x mf x -=，即413333x x m -=++，即有433x m --=，即31x m -=，令31,0()3131,0x xx x g x x ⎧-+<=-=⎨-≥⎩，因为()g x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0)+∞，上单调递增，方程31xm -=有两不等实数根，所以120,0x x <>且01m <<，于是：11331log (1)x m x m -+=⇒=-，22331log (1)x m x m -=⇒=+，所以，2213(1)2log 1m x x m+-=-，由213022log 2x x <-<-得2(1)9112m m +<<-，又01m <<，解得102m <<，。
2020-2021学年安庆市高一上学期期末数学试卷(附答案解析)
2020-2021学年安庆市高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设函数f(x)=ln(1−|x|)的定义域为M，不等式x2−x>0的解集为N，则M∩∁R N为()A. (0,1)B. [0,1]C. [0,1)D. (−1,0]2.集合M={(x,y)|x，y∈Z，ln2+ln(4−x)(4+y)≥2ln(y−x+6)，则集合M的元素个数为()A. 13B. 12C. 11D. 103.若幂函数f(x)=x k在(0,+∞)上是减函数，则k可能是()A. 1B. 2C. 12D. −14.在△ABC中，若sin(A+B+C)=sin(A−B+C)，则△ABC的形状一定是()A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰或直角三角形D. 等腰直角三角形5.10.已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，成立，若，则a，b，c的大小关系是()A. B. C. D.6.已知ω>0，|ϕ|<π2，若x=π3和x=4π3是函数f(x)=cos(ωx+ϕ)的两个相邻的极值点，则φ=()A. π6B. −π6C. π3D. −π37.已知向量=(cosθ,sinθ)，=(1,−2)，若//，则代数式的值是()A. B. C. 5 D.8.在△ABC中，，，则的值为()A. 或B. 或C.D.9.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为()A. y=sin(2x+π6)B. y =sin(x +π12) C. y =sin(2x +π3) D. y =sin(4x +π6)10. 已知函数f(x)=3sin(πx)x 2−3x+3，给出三个命题：①f(x)的最小值为−4，②f(x)是轴对称图形，③f(x)≤4π|x|.其中真命题的个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 311. 已知函数f(x)={−2x 2+x,x ≥0x 2−g(x),x <0是奇函数，则g(−2)的值为( )A. 0B. −1C. −2D. −312. 函数f(x)=3x −3−x 是( )A. 奇函数，且在(−∞,+∞)上是增函数B. 奇函数，且在(−∞,+∞)上是减函数C. 偶函数，且在(−∞,+∞)上是增函数D. 偶函数，且在(−∞,+∞)上是减函数二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 函数f(x)在[a,b]上有定义，若对任意x 1，x 2∈[a,b]，有f(x 1+x 22)≤12[f(x 1)+f(x 2)]，则称f(x)在[a,b]上具有性质P.设f(x)在[1,2015]上具有性质 P.现给出如下命题： ①f(x)在[1,2015]上不可能为一次函数； ②函数f(x 2)在[1,√2015]上具有性质P ； ③对任意x 1，x 2，x 3，x 4∈[1,2015]，有f(x 1+x 2+x 3+x 44)≤14[f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)+f(x 4)]；④若f(x)在x =1008处取得最大值2016，则f(x)=2016，x ∈[1,2015]． 其中真命题的序号是______ ．14. 已知角α，β∈(0,π2)，且tan(α+β)=−3，sinβ=2sin(2α+β)，则α=____________． 15. 函数f(x)=arcsin(cosx)，x ∈[π4,5π6]的值域为______．16. 函数y =log 2(1+sinx)+log 2(1−sinx)，当x ∈[−π6,π4]时的值域为______ ． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知集合(1)当时，求； (2)若，求的取值范围．18. (1)已知角α终边上一点P(−4a,3a)，a ≠0，求cos(π2+α)sin 3(−π−α)cos(11π2−α)sin 2(9π2+α)的值．(2)已知tanα=3，求12sinαcosα+cos 2α的值．19. 已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，bsinBtanC −bcosB =asinAtanC −acosA ． (1)求证：A =B ；(2)若c =√3，cosC =34，求△ABC 的周长．20. 已知f(n)=cos nπ4，求值：f(1)⋅f(3)⋅…⋅f(2n −1)．21. 某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售1件该商品可获利50元．若供大于求，剩余商品全部退回，则每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利30元． (Ⅰ)若商店一天购进该商品10件，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：件，n ∈N)的函数解析式；(Ⅱ)商店记录了50天该商品的日需求量(单位：件)，整理得表：日需求量n 8 9 10 11 12 频数101015105①假设该店在这50天内每天购进10件该商品，求这50天的日利润(单位：元)的平均数； ②若该店一天购进10件该商品，记“当天的利润在区间[400,550]”为事件A ，求P(A)的估计值．22. 已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点(m,n)，mn ≠0，且cos(β−π)=x(π<β<3π2)，求sin(α−β)(用含m ，n ，x 的形式表示)参考答案及解析1.答案：C解析：解：不等式x2−x>0的解集N={x|x>1或x<0}，∴∁R N={x|0≤x≤1}，f(x)=ln(1−|x|)的定义域M={x|−1<x<1}，则M∩∁R N={x|0≤x<1}．故选：C．先解一个一元二次不等式得出集合N进而得到N的补集，再根据题目中使函数有意义的x的值求得函数的定义域M，再求它们的交集即可．本题属于以不等式和函数的定义域为平台，求集合的交集的基础题，也是高考常会考的题型．属于基础题．2.答案：D解析：解：∵ln2+ln(4−x)(4+y)≥2ln(y−x+6)，∴2(4−x)(4+y)≥(y−x+6)2，32−8x+8y−2xy≥y2+x2+36−2xy+12y−12x，x2+y2−4x+4y+4≤0，(x−2)2+(y+2)2≤4，∵x，y为整数，∴有以下几组解：|x−2|=0，|y+2|=0，1，2，即x=2，y=−1，−2，−3，0，−4；|x−2|=1，|y+2|=0，1，即x=3，1，y=−2，−1，−3；|x−2|=2，|y+2|=0，即x=0，4，y=−2还必须满足(4−x)(4+y)>0，y−x+6>0，所以(2,−4)(3,−3)(4,−2)是不满足的，即共有以上5+6+2−3=10组解．即m有10个元素．故选：D．化简对数不等式，利用xy是整数，求出满足题意的集合M的元素个数即可．本题考查指、对数不等式的解法，集合与元素的关系，考查分类讨论思想与应用．3.答案：D解析：根据幂函数的单调性性质判断即可．本题考察了幂函数的性质，考察函数的单调性，是一道基础题．解：若幂函数f(x)=x k在(0,+∞)上是减函数，则k=1，2，12时都是增函数，k=−1时是减函数，故选：D．4.答案：B解析：解：△ABC中，若sin(A+B+C)=sinπ=0=sin(A−B+C)，∴A−B+C=0，∴B=A+C=π2，∴△ABC的形状一定是直角三角形，故选：B．由题意可得0=sin(A−B+C)，A−B+C=0，即B=A+C=π2，可得△ABC的形状一定是直角三角形．本题主要考查两角和的正弦公式，判断三角形的形状，属于基础题．5.答案：B解析：分析：求解本题的入手点在于通过利用导数确定函数的单调性，进而通过单调性由自变量的大小得到函数值的大小解：函数是定义在实数集R上的奇函数，整理为即是减函数，因为，所以；故选B6.答案：B解析：解：∵ω>0，|ϕ|<π2，若x=π3和x=4π3是函数f(x)=cos(ωx+ϕ)的两个相邻的极值点，∴2πω=4π3−π3，∴ω=2．再根据ω⋅π3+φ=kπ+π2，ω⋅4π3+φ=kπ+2π+π2，∴ω=2，则φ=−π6，故选：B．利用余弦函数的图象特征，余弦函数的极值，余弦函数的周期性，求得φ的值．本题主要考查余弦函数的图象特征，余弦函数的极值，余弦函数的周期性，属于中档题．7.答案：C解析：本题考查的知识点是三角函数的化简求值和平面向量共线的充要条件，//，则，所以，故选C．8.答案：D解析：试题分析：因为，所以B为锐角，sinB=，又，三角形ABC中，A>B与sinA>sinB等价。
安徽省安庆一中高一期末考试数学试题
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一般说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。杨士勋（唐初学者，四门博士）《春秋谷梁传疏》曰：“师者教人以不及，故谓师为师资也”。这儿的“师资”，其实就是先秦而后历代对教师的别称之一。《韩非子》也有云：“今有不才之子……师长教之弗为变”其“师长”当然也指教师。这儿的“师资”和“师长”可称为“教师”概念的雏形，但仍说不上是名副其实的“教师”，因为“教师”必须要有明确的传授知识的对象和本身明确的职责。
安徽省安ห้องสมุดไป่ตู้一中高一期末考试数学试题
9、下列各式中，是恒等式的是( )
A. B.
C. D.
10、函数 是( )
A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.奇偶性由a的值确定
11、若 ，下列不等关系中正确的是( )
A. B. C. D.
12、在(0，2)内是增函数的是( )
家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，孩子一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情况及时传递给家长，要求孩子回家向家长朗诵儿歌，表演故事。我和家长共同配合，一道训练，幼儿的阅读能力提高很快。A. B. C. D.
安徽省安庆市第一中学高一数学上学期期末考试试题
安庆一中2016~2017学年高一年级第一学期期末测试数学试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知锐角α终边上一点A 的坐标为(2sin3，-2cos3),则角α的弧度数为 （ ）A ．3B ．π-3C ． 3-2π D ．2π-3 2．将函数y ＝sin(x －π3)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移π3个单位，得到图象的解析式是( )A ．y ＝sin(2x ＋π3)B ．y ＝sin(12x －π2)C ．y ＝sin(12x －π6)D ．y ＝sin(2x －π6)3．函数y =x +sin|x |,x ∈[-π, π]的大致图象是（ ）4．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度是4，则扇形的周长为（ ） A.6 B. C.10 D. 12 5．已知当6x π=时，函数sin cos y x a x =+取最大值，则函数sin cos y a x x =-图象的一条对称轴为 （ ） A ．3x π=-B ．3x π=C ．6x π=-D ．6x π=6．函数f (x )＝tan(2x －π3)的单调递增区间是 ( )A ．[k π2－π12，k π2＋5π12](k ∈Z ) B ．(k π2－π12，k π2＋5π12)(k ∈Z )C ．(k π＋π6，k π＋2π3)(k ∈Z )D ．[k π－π12，k π＋5π12](k ∈Z )7．化简=-+)4tan()4(sin 42cos 2απαπα（ ）A.αcosB.αsinC.1D.21 8．已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos(α－β)的值等于( )A ．－12B.12 C ．－13D.23279．已知△ABC 的三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P 满足PA PB PC AB ++=，则点P 与△ABC 的关系是 ( )A. P 在△ABC 的内部B. P 在△ABC 的外部C. P 是AB 边上的一个三等分点D. P 是AC 边上的一个三等分点10．若偶函数()f x 在区间[]1,0-上是减函数，,αβ是锐角三角形的两个内角，且αβ≠，则下列不等式中正确的是 ( )A ．(cos )(cos )f f αβ> B.(sin )(cos )f f αβ< C.(cos )(sin )f f αβ< D.(sin )(sin )f f αβ>11．设D 为△ABC 的边AB 的中点，P 为△ABC 内一点，且满足25AP AD BC =+，则APD ABC S S =△△（ ） A.35 B. 25 C. 15 D. 31012.如图，在OAB ∆中，点P 是线段OB 及AB 、AO 的延长线所围成的阴影区域内（含边界）的任意一点，且OP xOA yOB =+，则在直角坐标平面上，实数对(),x y 所表示的区域在直线3y x -=的右下侧部分的面积是（ ） A ．72B ．92C ．4D ．不能求二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13．已知D 为三角形ABC 边BC 的中点，点P 满足PA →＋BP →＋CP →＝0，AP →＝λPD →，则实数λ的值为________. 14．sin 250°1＋sin10°＝________.15．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ＋π6)(ω＞0,0＜φ≤π2)的部分图象如图所示，则φ的值为________.16．设、为平面向量，若存在不全为零的实数λ，μ使得λ+μ=0，则称、线性相关，下面的命题中，、、均为已知平面M 上的向量． ①若 =2，则、线性相关；②若、为非零向量，且 ⊥，则、 线性相关； ③若、 线性相关，、 线性相关，则、 线性相关； ④向量、 线性相关的充要条件是、 共线．上述命题中正确的是 （写出所有正确命题的编号）三、解答题(本大题共6小题，17题每小题10分，18-22题每小题12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．设D 、E 、F 分别是ABC ∆的边BC 、CA 、AB 上的点，且AB AF 21=BC BD 31=，CA CE 41=，若记=，=，试用，表示DE 、EF 、FD 。
安徽省安庆市大观区第一中学2023届高一上数学期末统考试题含解析
解得 x 1或 x 3 ， 所以不等式不等式 2 x1 4 的解集是 (, 1) (3, ) .
故答案为：7
13、（3）（4）
【解析】对于（1）对角取特殊值即可验证；对于（2）采用数形结合即可得到答案；对于（3）把函数进行化简为关于
tan x 的函数，再利用基本不等式即可得到答案；对于（4）用整体的思想，求出单调增区间为
[ 2k , 2 2k ], k Z ，再让 2 即可得到答案.
7、C
【解析】sin210°=sin（180°+30°）=﹣sin30°=﹣ 1 ． 2
故选 C．
8、A
【解析】 当 0 m 1时， g x m 1在 1, 上递减，hx x 1在 ,1递减，且 g 1 h1, f x在
x
, 上递减，任意 x1 x2 都有 f x1 f x2 ，充分性成立；若 m 0, g x 在 1, 上递减， h x 在
D. (0,1)
4．已知全集U 1, 2,3, 4,5,6,集合 A 1,3 ，集合 B 4,5,6，则 CU A B
A.2，4，6
B.4，5
C.4，5，6
D.2，4，5，6
5．一个扇形的弧长与面积都是 5，则这个扇形圆心角的弧度数为
A. 2rad
C.1rad
B. 3 rad 2
D. 5 rad 2
x1
1 3
，
x3
0
，并判断
x2
0
，进而可得到答案
【详解】因为
f
(x)
log3
x
3x
在
0,
上递增，当
x
1 3
时，
f
1 3
log3
1 3
安徽省安庆市高一上学期期末考试数学试题含答案.doc
安庆市2016 — 201?学年度第一学期期末教学质量调研检测高一数学试题(A卷)(必修一.四)〔考试时间£ 120 5钟，满分1 150分)命题：洪汪宝审劃：孙彦一、透揮题；4大题共12小迈，tj小题5分.共60分住毎小题虻出的四个述项中，只為一项足符含SE目营扁・请推正■林的代号填倒R后的括号内.1. 己飪个氏1 = {】23・4.5,6・7.8}・冬合,4 一{2・二5・6},=合〃一{!34.6)•叫Hu((?.”) =A. {2,5} B・{2,5,7.8} C・{2.3,5.6,7.8} D・{1・厶3・45・6}2. 下列说扶止瞬的杲 *A. 三角币的内角必琵第•、二亀琨角B. 3＞竄限角必超锐用C・不相等他角终边一定不村同D.若角3 0满定0=u+2・36(T (&EZ),則a和0终边辑同3・卜列歯佼中，七新粒/(羽= 芯的叔如的曲S1I1X‘X lnxA. y^x eB.[A 一・ D. y-——X smx X4. A As«n2()17s・cw 2017°KirA.第惫專B・第二*民 c.第二®尽D・£23建d5己知亜故/")滴足/(2对=2/3,k^l<x<2 时，/(x) = , WJ/(3) =6. 已知O・A・B. C为何一和爪的I叫个点，若2AC+CB^.则^l^OC^TA. \dA-^OBB. _如+泗・C・2OA-OB D. -OA+2OB7. 己尸"一加雄定义ZCg-IQ］上的阳求检・孑久□亠b的位是心一蚊学“#)试•fti ir＞蓟1虫8若sin0—^・则tan 夕一蛙■才的值是A. 一2B, 2C. ±29.搏密敢尸金)的图驚过点：匕2>,则帚函数尸金)閤图您是一严sin 110°sin ?0° iU计算cos'卩5°—口曲5亍12.己如陷救为/?，則实迪卫码取(6也用址Jn x,x > 1上.13•已知平面向世”与6沸足a=(2J), "=(—3冲卜则曲+辆= ____________ ,14.413.西数沖0的图象是曲找04&其口点0・£ £的坐标分别为(0,0). (L2). (3.1).15•磐说角LG 〃滿足 伽边饥：匕1心浙 期u+C= ^M 启叉新运算田:当0耳$时,a^b —ai 兰Xb 咏 护b=& 则函数.曲)=(2讥一 (2©x)・xE[—2』]的垠人但夢丁 ________ .舟一败学(A 卷〉试感< JU5l)幷2页11.亀数>•- I -2sin 彳x 霍是A.最小正周期为兀的奇函敬C. 族小正周期为貪勺奇卤敎2B.最小止周菊为开的偶函数 D. 散小正腿期為徜函数C ・硝）二.填空BL 本大題共4小KL 毎小5分.共20分.将每题的正确答案填在題中的横钱則/丿⑶D三•烟答込农大題共6小电共？0分•解答过程有必要的文字说明■演算步驟及推理过星17.（本题满分10分）已知测一4, |力尸山d与占弍集角是I21T・（1）计算怔+触；（2）当*为何值时,（訂26）丄伽_巧?1& (本题旃分12分)已知集合 / =以帀SxS Q + g}, B = JT < -liitr > 5},(1) 当"0 时，求ADB,AU(C^B)：■(2) 若A JB = B・求实数Q的收程范由.19.（本题满分12分〉x'—I , x < 1 已知帝数曲=严严,X>1（1）在所聲的平瓦宜角坐标系口画出该两数的图磴：12）自按写出曲盟$歹（刃的位域、亘调K区间及零点.⑵J=f（x）的值域是________________________________ ：y=f（x）的单调堆区问是 _________________________W（x）的零点足 ________________________________次一敎学"卷）试定｛共4贡）弟3艮20・（本题淸分12分）己紅函数几^尸枷⑴工+祖-口』1（D >0. 0 < ~ ）f|-J5小!1周期力Ji.（I）求当夬X）为供函数时伊的值；⑵若人X）的图線过当，求几0的军測递增区间.21. （本题滿分12分）己知函数j（x）=ctx: ' bx\-］（a, h为实断i?HO・ xFR）.⑴若曲数心）的图爭过点（-2.1）.且嚼数沧币且只有一个芈急求金）的表达丸⑵ 在（I）的条郵下,当冃一1,2］对,旳）询_虹是单调函敷,求实数k前取值范22. （木题满分12分〉己知角a的顶点在坐标嫌点，虻垃勻工帅的非负半舖車合，终边经过点P（—3, V3）.（】）求sin 2a—tan a的值：:-2）若函安.心）=01心-a>cns <t-$in（x-a）sin C屈数嗣 */ |?- 2x 左区间［o,刽上的値城.安庆市2016-2017学年度第一学期期末教学质量调研检测高一数学试题（A卷）（必修一、四）参考答案及评分标准一、选择题（每小题5分，共60分）二、填空题(每小题5分，共20分)13. (-6, 19) 14. 2 15. y 16. 6三、解答题(共70分)17、(本题满分10分)解：由已知得，曰• 〃=4X8X(—另=一16.(1)•:\a+b\2=a+2a・ b+〃=i6 + 2X (—16)+64 = 48, :. \a+b\=^.……5 分(2)V (a+2Z?)丄(肋一方)，A (a+2ti)• (ka—A) =0,.•.ka + (2k-l)a- A-2A2=0,即16k — 16(2k — l)—2X64 = 0. ・・・k = —7.即k = -7时，a+2b与ka—b垂直. ……10分18、(本题满分12分)解：(1)当° = 0 时，A = [0,8],AcB = (5,8],C R B= [-1,5], A u(C R B) = [-1,8]; ................... 6 分(2)由At B = B得于是0 + 8<-1或0>5,解得GV-9或d>5故实数d的取值范围是(-OO-9)U(5,+OO) ..................... 12分19、(本题满分12分)解：(1)函数草图(略)：......... 6分得分要点f(x) = x2 -1(兀< 1)过点(-1,0)f(x) = x 2 -1(兀 < 1)过点(0,-1)f(x) = x 2 - l(x v 1)与 /(x) = log ] x(x > 1)都过点(1,0)2f(x) = log, x(x > 1) 点(2,-1)2高一数学(A 卷)试题参考答案(共3页)第1页(2) y=f (x)的值域:Ry=f(x)的单调增区间:[0,1](或(0,1)、[0,1)、(0,1])y=f(x)的零点为1,一1.......... 12分20、(本题满分12分)解:Vf(x)的最小正周期为兀,则7=—=n, A <y=2. .............................................. 2分Ci)A f(x) =sin(2x+ O) •(1)当 代力为偶函数时,f\~x) =f{x). •••sin(2x+0) =sin(—2x+0),将上式展开整理得sin 2A ZCOS Q=0,JIJI JIJI2 nJIAT <T+ 0< 71-AT+ 0=~^=TJIJIJI，一 5 兀JI令 2£兀一m~W2x+丁+丁，kd 、得斤兀一+历，ZrEZ.「 5 兀 JI ~|f(x)的单调递增区间为斤兀一~ , kn +—,疋Z. ............................ 12分21、(本题满分12分)解：(1)因为f(—2)=1,即4臼一2力+1 = 1,所以方=2臼. 因为函数fd)有且只有一个零点，所以4白=o.由已知上式对V%eR 都成立，Acos 0=0, 2 JIJIV0< ^<—・•-⑵由心)的图象过点总,,sin (2X~^f{x) =sin 2xT又・・・0〈如弓所以44$=0,所以自=1, b=2.所以f\x)=(卄I)2. ............... 6分(2)=f(x) — kx= x + 2^r+1 — kx= x — (&—2)/+l =A —9由g(0的图彖知，要满足题意，则寸M2或丁W —1,即Q6或&W0,A-2\ , k-2 L 丁)+1一 —4—k-2•••所求实数W的取值范围为(一I 0]U.12分。
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故 和 线性相关等价于 和 是共线向量．
①若 =2 ，则 ﹣2 =0，故 和 线性相关，故①正确．
②若 和 为非零向量， ⊥ ，则 和 不是共线向量，不能推出 和 线性相关，故②不正确．
③若 和 线性相关，则 和 线性相关，不能推出若 和 线性相关，例如当 = 时，
分图象如图所示.
(1)试确定函数f(x)的解析式；
(2)若f( )＝ ，求cos( －α)的值．
21.已知函数 的最小正周期为
（Ⅰ）求函数 的单调递增区间；
（Ⅱ）将函数 的图像向左平移 个单位，再向上平移 个单位，得到函数 的图像.若 在 上至少有 个零点，求 的最小值.
22．如图，已知OPQ是半径为 圆心角为 的扇形，C是该扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形，记∠BOC为α．
＝3(a－b)
∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)
＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5.
∴、共线，
又∵它们有公共点B，∴A、B、D三点共线．(2)∵ka＋b与a＋kb共线，
∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)
即ka＋b＝λa＋λkb，∴(k－λ)a＝(λk－1)b，
∵a、b是不共线的两个非零向量，
16．设 、 为平面向量，若存在不全为零的实数λ，μ使得λ +μ =0，则称 、 线性相关，下面的命题中， 、 、 均为已知平面M上的向量．
①若 =2 ，则 、 线性相关；
②若 、 为非零向量，且 ⊥ ，则 、 线性相关；
③若 、 线性相关， 、 线性相关，则 、 线性相关；
④向量 、 线性相关的充要条件是 、 共线．
8．已知cosα＝ ，cos(α＋β)＝－ ，且α，β∈ ，则cos(α－β)的值等于( )
A．－
C．－
9．已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足 ，则点P与△ABC的关系是()
A.P在△ABC的内部B.P在△ABC的外部
C.P是AB边上的一个三等分点D.P是AC边上的一个三等分点
10．若偶函数 在区间 上是减函数， 是锐角三角形的两个内角，且 ，则下列不等式中正确的是()
9．已知△ABC的三个顶点，A、B、C及平面内一点P满足 ，则点P与△ABC的关系是(D )
A.P在△ABC的内部B.P在△ABC的外部
C.P是AB边上的一个三等分点D.P是AC边上的一个三等分点
10．若偶函数 在区间 上是减函数， 是锐角三角形的两个内角，且 ，则下列不等式中正确的是(C)
（A） （B）
A．3B．π-3C．3- D． -3
2．将函数y＝sin(x－ )图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移 个单位，得到图象的解析式是()
A．y＝sin(2x＋ )B．y＝sin( x－ )
C．y＝sin( x－ )D．y＝sin(2x－ )
[答案]C
[解析]将函数y＝sin(x－ )图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y＝sin( － )的图象，再将所得函数图象向左平移 个单位，得到函数y＝sin[ (x＋ )－ ]＝sin( － )的图象，故选C.
和 可以是任意的两个向量．故③不正确．
④向量 和 线性相关的充要条件是 和 是共线向量，故④正确．
故答案为①④．
三、解答题(本大题共6小题，17-18题每小题10分，19-22题每小题12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．设 、 、 分别是 的边 、 、 上的点，且
， ，若记 ， ，试用 ， 表示 、 、 。
上述命题中正确的是（写出所有正确命题的编号）
三、解答题(本大题共6小题，17题每小题10分，18-22题每小题12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．设 、 、 分别是 的边 、 、 上的点，且
， ，若记 ， ，试用 ， 表示 、 、 。
18．已知函数 .
（1）求函数 图形的对称轴；
（C） （D）
11．设 为△ 的边 的中点， 为△ 内一点，且满足 ，则 （C）
A. B. C. D.
【分析】如图 ∴
四边形DPEB为平行四边形， ，选C。
12.如图，在 中，点P是线段OB及AB、AO的延长线所围成的阴影区域内（含边界）的任意一点，且 ，则在直角坐标平面上，实数对 所表示的区域在直线 的右下侧部分的面积是（ ▲）
5．已知当 时，函数 取最大值，则函数 图象的一条对称轴为（A）
A． B． C． D．
【分析】∵当 时，函数 取最大值，∴
解得： ，∴ ，∴ 是它的一条对称轴，选A。
6．函数f(x)＝tan(2x－ )的单调递增区间是()
A．[ － ， ＋ ](k∈Z)B．( － ， ＋ )(k∈Z)
C．(kπ＋ ，kπ＋ )(k∈Z)D．[kπ－ ，kπ＋ ](k∈Z)
又∵f( )＝2sin( ＋φ)＝2，∴sin( ＋φ)＝1.∵|φ|＜ ，即－ ＜φ＜ ，∴－ ＜ ＋φ＜ .
故 ＋φ＝ ，解得φ＝ ，∴f(x)＝2sin(πx＋ )．
(2)∵f( )＝ ，即2sin(π· ＋ )＝2sin( ＋ )＝ ，∴sin( ＋ )＝ .
∴cos( － )＝cos[ －( ＋ )]＝sin( ＋ )＝ .
A． B.
C. D.
11．设 为△ 的边 的中点， 为△ 内一点，且满足 ，则 （）
A. B. C. D.
12.如图，在 中，点P是线段OB及AB、AO的延长线所围成的阴影区域内（含边界）的任意一点，且 ，则在直角坐标平面上，实数对 所表示的区域在直线 的右下侧部分的面积是（ ）
A． B．
C．4D．不能求
(2)试确定实数k，使ka＋b与a＋kb共线．
[答案](1)略(2)k＝±1
[分析](1)欲证三点A、B、D共线，即证存在实数λ，使＝λ，只要由已知条件找出λ即可．
(2)由两向量共线，列出关于a、b的等式，再由a与b不共线知，若λa＝μb，则λ＝μ＝0.
[解析](1)证明：∵＝a＋b，＝2a＋8b，
14． ＝________.
15．(2015·福建漳州质检)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ＋ )(ω＞0,0＜φ≤ )的部分图象如图所示，则φ的值为________.
[答案]φ＝
[解析]T＝2( － )＝π，ω＝ ＝2代入点( ，－1)得φ＝ .
16．设 、 为平面向量，若存在不全为零的实数λ，μ使得λ +μ =0，则称 、 线性相关，下面的命题中， 、 、 均为已知平面M上的向量．
A． B．
C．4D．不能求
7．A
解：如图 ，则
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．已知D为三角形ABC边BC的中点，点P满足＋＋＝0，＝λ，则实数λ的值为________.
[答案]－2
[解析]如图所示，由＝λ且＋＋＝0，则P为以AB，AC为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此＝－2，则λ＝－2.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．已知D为三角形ABC边BC的中点，点P满足 ＋ ＋ ＝0， ＝λ ，则实数λ的值为________.
14． ＝________.
15．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ＋ )(ω＞0,0＜φ≤ )的部分图象如图所示，则φ的值为________.
17.由题意可得 ， , ， ， ， ，
所以 ；
； .
18．（本小题16分）已知函数 .
（1）求函数 图形的对称轴；
（2）若 ，不等式 的解集为B， ，求实数 的取值范围。
【解】（1） ，
……5分
解得： ，
（2） ∴ ，∴ ，又解得
而 ∴ ，得 。
19.设两个非零向量a与b不共线，
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线；
（2）若 ，不等式 的解集为B， ，求实数 的取值范围。
19.设两个非零向量a与b不共线，
(1)若 ＝a＋b， ＝2a＋8b， ＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b与a＋kb共线．
20．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜ )的部
∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0.∴k＝±1.
20．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜ )的部分图象如图所示.
(1)试确定函数f(x)的解析式；
(2)若f( )＝ ，求cos( －α)的值．
[答案](1)f(x)＝2sin(πx＋ )(2)－
[解析](1)由图象知，f(x)max＝A＝2，设函数f(x)的最小正周期为T，则 ＝ － ＝ ，所以T＝2，∴ω＝ ＝ ＝π，故函数f(x)＝2sin(πx＋φ)．
3．函数y=x+sin|x|,x∈[-π,π]的大致图象是（C）
y y y y
πππ
-πoπx -πoπx -πoπx -πoπx
4．已知扇形的面积为 ，扇形圆心角的弧度是 ，则扇形的周长为（）
A. B. C. D.
解析：设扇形的半径为 弧长为 .由题意： ，解得 ，所以扇形的周长为 ，故答案选 .
∴cos( －α)＝cos[2( － )]＝2cos2( － )－1＝2×( )2－1＝－ .
21.（本题满分15分）已知函数 的最小正周期为
（Ⅰ）求函数 的单调递增区间；
（Ⅱ）将函数 的图像向左平移 个单位，再向上平移 个单位，得到函数 的图像.若 在 上至少有 个零点，求 的最小值.
解：（Ⅰ）
函数 的最小正周期为 ，则 ，则 ，