附有限制条件的间接平差

8-1 附有限制条件的间接平差原理
一、概述
即
ˆ X
k
i
ˆ Xi ˆ + Y
2 k
ik , Sik
k
ˆ Yi

2
Sik 0
ˆ ˆ Yk Yi arctan aik 0 ˆ X ˆ Xk i
把上列两式线性化得
0 0 0
A
0
B
ˆ ˆ cosaik xi sinaik ˆ i + cosaik xk + sinaik ˆ k w1 = 0 y y
F X L
n,1

0
u,1
线性化：
L F X

0

F X X
n ,u

X
0
X

s,1
X
X
0

X X
s ,u

X
0
X 0
其线性形式为
B l x
C + W x 0 x
其中
l LF X
0
BQ XX ˆˆ
Q BQ XX B ˆˆ
T
0
Q QVV
ˆ L
Q QVV
0
BQ XX N BB ˆˆ
0
8-2 精度评定
三、平差值的精度评定
ˆ 2 ˆˆ DLL 0 QLL ˆˆ ˆ2 ˆˆ DXX 0 QXX ˆˆ
8-2 精度评定
四、参数平差值函数的精度评定
设参数平差值函数为：
T T T
1 1 1

0

1 1 1
K s N CC CN BBW N CCW x N CC CN BBW N CC X

0

0 1 1 T 1 1 1 T 1 0 ˆ ˆ X X x N BB N BB C N CC CN BB W N BB C N CCW x X
0 ˆ ˆ X X x
为此，可用观测值平差值和参数平差值表示附有限制 条件的间接平差法的函数模型，即
ˆ ˆ L F X
n,1 u,1

—— 平差值方程（观测方程） —— 限制条件方程
ˆ X 0
s ,1

§8-1 附有限制条件的间接平差原理
二、基础方程
或用观测值改正数和参数改正数表示附有限制条件的
握求平差值的方法、步骤。
重点、难点:
求平差值的方法、步骤。
8-1 附有限制条件的间接平差原理
一、概述
如图平面测边控制网，A、B为 已知点,i、k为待定点, 而i、k 的边长 S ik 和方位角 ik 为已 知的固定值。
S1
i
ik , S ik
S3
k
S4
S2
A
B
t=2p-2=2×2-2=2 ；r=n-t=4-2=2 选取 i、k 两点的坐标为未知数, 可列出4个平差值方 程。由于选定的未知数个数u 多于必要观测数t ,所以在 所选定的未知数之间存在 s = u – t 个限制条件。
0 ˆ ˆ V Bx l Bx L F X




ˆ L L V
8-2 精度评定
二、协因数阵与互协因数阵
按协因数传播公式可得：
Q QWL QK S L QZZ＝ ˆ Q XL Q VL Q ˆ LL QLW QWW QK
SW
QLK QWK QK
ˆ C x Wx 0
s ,u u ,1 s ,1
s ,1
方程的个数与未知数的个数相同，方程有唯一解。
8-1 附有限制条件的间接平差原理
三、基础方程的解
将基础方程的第二式代入第一式与第三式联立，得
T ˆ N BB x C K s W 0 ˆ Cx Wx 0
8-2 精度评定
四、参数平差值函数的精度评定
其中
F f1 fu
T
f2

G ˆ X 1
X
0
G ˆ X

X
0
2
G ˆ X
u
X
0

T
由协因数传播律得：
Q F QX F ˆ
T
ˆ D 0 Q ˆ
2
ˆ ˆ l Pl x C K s l PBx
T T T T
T T T ˆ l Pl W x K s W x
3、在线性方程组解算表中计算
8-2 精度评定
二、协因数阵与互协因数阵
令：
Z L
T

T
W
T
Ks
T
ˆT X
V
T
ˆT L

已知 L IL 0
W B Pl B PL B PF X
1

1

1 1 T 1 1 1 T 1 ˆ x N BB N BB C N CC CN BB W N BB C N CCW x


代入误差方程可解出改正数V，从而可解出：
ˆ V Bx l B N BB N BBC N CC CN BB W BN BBC N CCW x l
N BBQXX B ˆˆ
KS
ˆ X
V
N CC C N BB B Q N ˆˆ BB XX
1
N
0
1 BB 1 BB 1 CC
N CC CN BB B
T 1 BB
0
QXX B ˆˆ
T
QXX B ˆˆ
QVV
T
N
1 CC
C
0
N
N C N
CN
0
1 1 BQXX N BB I BN BBC T N CC ˆˆ
Wx = X

0


0

8-1 附有限制条件的间接平差原理
二、基础方程
不能求得 和 的唯一解，只 x 能按最小二乘原理求 和 的最佳估值V 和 x ，从 ˆ x 由于n + s < n+ u,
ˆ ˆ 而求得观测量 和 X 的最佳估值 L 和 X ，即 L
ˆ L L V
各量的协因数阵和各量之间的互协因数阵的结果列表如下：
Q L W
1
L
W B
KS
BN BBC N CC
C N CC
1 CC
T 1
ˆ X
T 1
V
QVV
ˆ L
Q QVV
T T
T
Q
B
T
1
BQ XX ˆˆ
N BB Q XX ˆ ˆ
T
N BB
T
Q
ˆˆ XX
N BB I B
1 1 T
S
QLX ˆ QWX ˆ QK
ˆ SX
QLV QWV QK
SV
S
S KS
Q XW ˆ QVW QLW ˆ
Q XK ˆ QVK QLK ˆ
S
Q XX ˆ ˆ QVX ˆ QLX ˆ ˆ
Q XV ˆ QVV QLV ˆ
S
S
QLL ˆ QWL ˆ QK L ˆ S Q XL ˆˆ QVL ˆ QLL ˆˆ
T T T
T
转置得
B PV C K s 0
8-1 附有限制条件的间接平差原理
二、基础方程
上式与误差方程和限制条件方程联立得附有限制条件 的间接平差法的基础方程：
B
u ,n T
PVC
n ,n n ,1 u ,s
T
Ks 0
s ,1
u ,1
ˆ V B x l
n ,1 n ,u u ,1 n ,1
N BB C
T ˆ C x W K W 0 s x
1
— 法方程
将法方程第一式左乘
1 T
CN BB 与第二式相减，得
CN BB C K s CN BBW W x

1
0
令 则有
N CC CN BB C
1
T
N CC K s CN BBW W x 0

1

§8-1 附有限制条件的间接平差原理
三、基础方程的解
N CC K s CN BBW W x 0
1 式中, N CC 的秩 R ( N CC )＝R ( CN BB C T )＝R (C )＝s， T T 1 1 且 N CC CN BB C T CN BB C T ，故 N CC 为 s 阶满秩对
二、基础方程
按求函数极值的拉格朗日乘数法，设其乘数为：
K k1
s ,1
k2
ks
T
称为联系数向量。组成极值函数
ˆ V PV 2K s Cx Wx
T T
ˆ 将 对 x 求一阶导数，并令其为零，得：
ˆ x 2V P
T
T
V ˆ x
2K s C 2V PB 2K s C 0
ˆ ˆ aik xi + bik ˆ i aik xk bik ˆ k w2 0 y y
w1
X
0 k
Xi
0
+ Y
2
0
k
Yi
0

2
Sik
w2 arctan
Yk Yi
0 0
0 0
Xk Xi
aik
8-1 附有限制条件的间接平差原理
二、基础方程
已知附有限制条件的间接平差法的函数模型
T T

1
1
1
1

1
1
ˆ L L V ,
0 ˆ ˆ X X x
8-2 精度评定
一、单位权方差估值计算 二、协因数阵与互协因数阵 三、参数的精度评定
四、参数函数的精度评定
8-2 精度评定wenku.baidu.com
一、单位权方差估值计算
ˆ 0
2 T T
V PV r

V PV nu s
T V PV 的计算：

1

称方阵。 于是：
K s N CC CN BBW W x
1

1

将上式代入法方程第一式，可解得
1 1 T 1 1 1 T 1 ˆ x N BB N BB C N CC CN BB W N BB C N CCW x


三、基础方程的解
K s N CC CN BBW W x
1. V PV p1v1 p2 v2 pnvn
T 2 2
2
权阵为对角阵时
T ˆ ˆT T 2. V PV Bx l PV x B PV l PV T T
T ˆT T ˆ x C K s l P Bx l
顾及 BT PV C T K s
第八章 附有限制条件的间接平差
介绍附有参数的间接平差基本原理，求平 差值的方法、步骤，控制网观测方程、误差方 程和限制条件方程的列立，以及精度评定的方
法。
本章主要内容
8-1 附有限制条件的间接平差原理
8-2 精度评定

8-1 附有限制条件的间接平差原理
授课目的要求:
熟记基础方程和法方程形式；掌
间接平差法的函数模型，即
ˆ V B x l
n ,1 n ,u u ,1 n ,1
——误差方程
——限制条件方程
ˆ C x Wx 0
s ,u u ,1 s ,1
l LF X

0
——误差方程常数项（闭合差）计算式
——限制条件方程常数项（闭合差）计算式
Wx X

0

8-1 附有限制条件的间接平差原理
ˆ ˆ G X） G X 1， 2， X u） （ ˆ （ ˆ X ˆ
线性化得权函数式为：
G ˆ X G ˆ dX 1 ˆ X 2 G ˆ dX 2 ˆ X u ˆ dX u
X
0
ˆ d
1 X0
X
0
T ˆ ˆ ˆ ˆ f 1dX 1 f 2 dX 2 f t dX u F dX