解析几何常见突破口

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怎样解决高考中解析几何的问题有什么套路吗

怎样解决高考中解析几何的问题有什么套路吗和立体几何一样，运用好这两招，你可以解决100%高考难度的解析几何题目！接下来，我利用两个例题来说明如何用好这两招，成为解析几何的学霸–数学140+，竞赛拿大奖。

在我们开始解题之前，我先介绍一下本质教育数学哲学的第一招-翻译和第三招-盯住目标：所谓翻译，实际上就是指把中文翻译为数学语言，例如初中大家就知道的用字母代表未知数（代数的基本思想）从而把中文翻译为函数，方程，或不等式，又如几何中通常我们需要做的-画张图，再如概率论中找出概率问题的1) 随机试验，进而找出2) 样本点（例如一个组合或者平面上的一个点（ x,y ）等等）, 3)用样本点定义事件（样本点的集合），4)从而通过概率的古典定义或几何定义“翻译”该事件发生的概率。

数学家们发明这些数学语言是有道理的，因为不像中文或者英文，这些数学语言是没有歧义的，非常方便使用者进行逻辑推理。

因此我希望同学们记住这一个结论：从今天起，当你看到数学问题的时候，你应该“讨厌”中文，把它们翻译为数学语言。

事实上，解析几何的核心就是“翻译”二字。

笛卡尔先生创立直角坐标系的初衷就是把几何图形“翻译”为曲线方程，而解方程是有固定步骤的不动脑筋的事情，因此，他就可以解决任何的几何问题了。

当然，要记住，解析几何的翻译作用是双向的，既然代数里面的方程可以帮到几何的解题，几何中的定理也可以帮到代数，例如利用几何中的公理“两点之间线段最短以及其衍生定理三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边”来帮助我们解决代数中的最值问题，就是“翻译”这一招的一种运用。

因此很多教科书上讲的所谓的“数形结合”实际上就是本质教育数学哲学第一招“翻译”的一种特殊情况罢了。

在高中阶段，这3者之间的互相翻译，同学们要非常熟悉：那什么是第三招-盯住目标呢？任何解题的过程都是在已知（前提）和未知（结论）之间构建一个桥梁。

我们把未知或者题目要证明的结论统称为目标(purpose)。

高考数学解析几何高分秘籍

高考数学解析几何高分秘籍在高考数学中，解析几何一直是让众多考生头疼的难题之一。

它不仅需要扎实的数学基础知识，还要求具备较强的计算能力、逻辑推理能力和空间想象能力。

那么，如何在高考数学中拿下解析几何的高分呢？下面就为大家分享一些实用的秘籍。

一、扎实掌握基础知识要想在解析几何中取得高分，首先要对相关的基础知识有深入的理解和掌握。

这包括直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线的标准方程、性质、参数方程等。

对于直线，要熟练掌握其点斜式、斜截式、两点式、一般式等方程形式，以及直线的斜率、倾斜角、平行与垂直的判定等知识。

圆的标准方程和一般方程要能熟练转换，并且要清楚圆心坐标和半径的求解方法。

椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、离心率、焦点坐标等是重点中的重点。

例如，椭圆的定义是平面内到两个定点的距离之和等于常数（大于两定点间的距离）的点的轨迹；双曲线则是平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于常数（小于两定点间的距离）的点的轨迹。

只有把这些基础知识牢记于心，才能在解题时迅速准确地运用。

二、注重图形结合解析几何的题目往往都与图形密切相关，因此要养成图形结合的解题习惯。

在解题过程中，先根据题目条件画出图形，这样可以直观地看出问题的关键所在，有助于寻找解题思路。

例如，对于直线与圆的位置关系问题，可以通过画出图形，观察圆心到直线的距离与圆半径的大小关系来判断。

对于椭圆、双曲线和抛物线的问题，画出图形可以帮助我们更好地理解曲线的形状和性质，从而更有效地进行计算和推理。

同时，在图形中标记出已知条件和所求问题，能够让我们更加清晰地把握解题的方向。

三、熟练运用公式和定理解析几何中有很多重要的公式和定理，如两点间距离公式、点到直线距离公式、弦长公式等，要熟练掌握并能灵活运用。

两点间距离公式：＄d ＝＼sqrt{（x_2 x_1)＾2 ＋（y_2 y_1)＾2}＄点到直线距离公式：＄d ＝＼frac{｜Ax_0 ＋ By_0 ＋ C|｝｛＼sqrt{A^2 ＋ B^2}｝＄弦长公式：对于直线$y ＝ kx ＋ b$与曲线$f(x,y) ＝ 0$相交于两点$A(x_1,y_1)＄，＄B(x_2,y_2)＄，弦长$｜AB| ＝＼sqrt{1 ＋ k^2}＼cdot\sqrt{（x_1 ＋ x_2)＾2 4x_1x_2}＄在解题时，准确运用这些公式可以大大提高解题的效率和准确性。

高中数学解析几何解题技巧

高中数学解析几何解题技巧解析几何是高中数学中的一大难点，也是考试中的重点内容之一。

掌握解析几何的解题技巧，不仅可以提高解题效率，还能够在考试中获得更好的成绩。

本文将从直线、圆和曲线三个方面介绍解析几何的解题技巧，并通过具体题目的分析来说明每个考点。

一、直线的解析几何解题技巧直线是解析几何中最基础的图形，其解题技巧主要包括确定直线的方程和求直线的性质。

在确定直线的方程时，常用的方法有点斜式和两点式。

例如，已知直线过点A(1,2)且斜率为3，求直线的方程。

根据点斜式的公式y-y₁ = k(x-x₁)，代入已知条件，可以得到直线的方程为y-2=3(x-1)。

在求直线的性质时，常用的方法有平行和垂直关系的判断。

例如，已知直线l₁的方程为y=2x+1，直线l₂与l₁平行且过点(2,3)，求l₂的方程。

根据平行关系的性质可知，l₂的斜率与l₁的斜率相等，因此l₂的方程为y=2x+b。

代入过点(2,3)的条件，可以解得b=-1，所以l₂的方程为y=2x-1。

二、圆的解析几何解题技巧圆是解析几何中的另一个重要图形，其解题技巧主要包括确定圆的方程和求圆的性质。

在确定圆的方程时，常用的方法有标准式和一般式。

例如，已知圆心为(2,-3)且经过点(1,2)，求圆的方程。

根据标准式的公式(x-a)²+(y-b)²=r²，代入已知条件，可以得到圆的方程为(x-2)²+(y+3)²=18。

在求圆的性质时，常用的方法有判断点与圆的位置关系和求切线的斜率。

例如，已知圆的方程为(x-2)²+(y+3)²=18，点P(4,-1)在圆上，求点P处切线的斜率。

根据点与圆的位置关系的性质可知，点P处切线的斜率等于圆的斜率，即-(x-2)/(y+3)。

代入点P的坐标，可以求得点P处切线的斜率为-2/4=-1/2。

三、曲线的解析几何解题技巧曲线是解析几何中的较为复杂的图形，其解题技巧主要包括确定曲线的方程和求曲线的性质。

解析几何压轴大题突破策略——“破题式”三式

解析几何压轴大题突破策略——“破题式”三式第一式——定点、定值问题一.定点问题[例1]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F (3，0)，长半轴长与短半轴长的比值为2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设不经过点B (0,1)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，若点B 在以线段MN 为直径的圆上，证明直线l 过定点，并求出该定点的坐标．[解](1)由题意得，c ＝3，a b＝2，a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝2，b ＝1，∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠1)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由(y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，)消去y 可得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.∴Δ＝16(4k 2＋1－m 2)＞0，x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.∵点B 在以线段MN 为直径的圆上，∴BM ―→·BN ―→＝0.∵BM ―→·BN ―→＝(x 1，kx 1＋m －1)·(x 2，kx 2＋m －1)＝(k 2＋1)x 1x 2＋k (m －1)(x 1＋x 2)＋(m －1)2＝0，∴(k 2＋1)4m 2－44k 2＋1＋k (m －1)－8km 4k 2＋1＋(m －1)2＝0，整理，得5m 2－2m －3＝0，解得m ＝－35或m ＝1(舍去)．∴直线l 的方程为y ＝kx －35.易知当直线l 的斜率不存在时，不符合题意．故直线l 过定点，且该定点的坐标为(0，－35).[解题技法]圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2)特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．[过关训练]1.如图，已知直线l ：y ＝kx ＋1(k ＞0)关于直线y ＝x ＋1对称的直线为l 1，直线l ，l 1与椭圆E ：x 24＋y 2＝1分别交于点A ，M 和A ，N ，记直线l 1的斜率为k 1.(1)求k ·k 1的值；(2)当k 变化时，试问直线MN 是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点坐标；若不恒过定点，请说明理由．解：(1)设直线l 上任意一点P (x ，y )关于直线y ＝x ＋1对称的点为P 0(x 0，y 0)，直线l 与直线l 1的交点为(0,1)，∴l ：y ＝kx ＋1，l 1：y ＝k 1x ＋1，k ＝y －1x ，k 1＝y 0－1x 0，由y ＋y 02＝x ＋x 02＋1，得y ＋y 0＝x ＋x 0＋2，①由y －y 0x －x 0＝－1，得y －y 0＝x 0－x ，②由①②得(y ＝x 0＋1，y 0＝x ＋1，)∴k ·k 1＝yy 0－(y ＋y 0)＋1xx 0＝(x ＋1)(x 0＋1)－(x ＋x 0＋2)＋1xx 0＝1.(2)由(y ＝kx ＋1，x 24＋y 2＝1)得(4k 2＋1)x 2＋8kx ＝0，设M (x M ，y M )，N (x N ，y N )，∴x M ＝－8k4k 2＋1，y M ＝1－4k 24k 2＋1.同理可得x N ＝－8k 14k 21＋1＝－8k4＋k 2，y N ＝1－4k 214k 21＋1＝k 2－44＋k 2.k MN ＝y M －y N x M －x N ＝1－4k 24k 2＋1－k 2－44＋k 2－8k 4k 2＋1－－8k 4＋k 2＝8－8k 48k (3k 2－3)＝－k 2＋13k ，直线MN ：y －y M ＝k MN (x －x M )，即y －1－4k 24k 2＋1＝－k 2＋13k (x －－8k 4k 2＋1)，即y ＝－k 2＋13k x －8(k 2＋1)3(4k 2＋1)＋1－4k 24k 2＋1＝－k 2＋13k x －53.∴当k 变化时，直线MN 过定点(0，－53).二.定值问题[例2](2019·沈阳模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦点为F 1，F 2，离心率为12，点P 为其上一动点，且三角形PF 1F 2的面积最大值为3，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若点M ，N 为C 上的两个动点，求常数m ，使OM ―→·ON ―→＝m 时，点O 到直线MN 的距离为定值，求这个定值．[解](1)当点P 位于短轴的端点时，△PF 1F 2的面积最大，即12×2c ×b ＝3，则有(c 2＝a 2－b 2，bc ＝3，c a ＝12，)解得(a ＝2，b ＝3，)所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1x 2＋y 1y 2＝m ，当直线MN 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋n ，则点O 到直线MN 的距离d ＝|n |k 2＋1＝n 2k 2＋1，联立(3x 2＋4y 2＝12，y ＝kx ＋n ，)消去y ，得(4k 2＋3)x 2＋8knx ＋4n 2－12＝0,由Δ＞0得4k 2－n 2＋3＞0，则x 1＋x 2＝－8kn 4k 2＋3，x 1x 2＝4n 2－124k 2＋3，所以x 1x 2＋(kx 1＋n )(kx 2＋n )＝(k 2＋1)x 1x 2＋kn (x 1＋x 2)＋n 2＝m ，整理得7n 2k 2＋1＝12＋m (4k 2＋3)k 2＋1.因为d ＝n 2k 2＋1为常数，则m ＝0，d ＝127＝2217，此时7n 2k 2＋1＝12满足Δ＞0.当MN ⊥x 轴时，由m ＝0得k OM ＝±1，联立(3x 2＋4y 2＝12，y ＝±x ，)消去y ，得x 2＝127，点O 到直线MN 的距离d ＝|x |＝2217亦成立．综上可知，当m ＝0时，点O 到直线MN 的距离为定值，这个定值是2217.[解题技法]圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法(1)特点：待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值．(2)两大解法：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②引起变量法：其解题流程为[过关训练]2．(2019·昆明调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为4，P (2，55)是椭圆C 上的点．(1)求椭圆C 的方程；(2)O 为坐标原点，A ，B 是椭圆C 上不关于坐标轴对称的两点，设OD ―→＝OA ―→＋OB ―→，证明：直线AB 的斜率与OD 的斜率的乘积为定值．解：(1)由题意知2c ＝4，即c ＝2，则椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2a 2－4＝1，因为点P (2，55)在椭圆C 上，所以4a 2＋15(a 2－4)＝1，解得a 2＝5或a 2＝165(舍去)，所以椭圆C 的方程为x 25＋y 2＝1.(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1≠x 2且x 1＋x 2≠0，由OA ―→＋OB ―→＝OD ―→，得D (x 1＋x 2，y 1＋y 2)，所以直线AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2，直线OD 的斜率k OD ＝y 1＋y 2x 1＋x 2，由(x 215＋y 21＝1，x 225＋y 22＝1，)得15(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，即y 1＋y 2x 1＋x 2·y 1－y 2x 1－x 2＝－15，所以k AB ·k OD ＝－15.故直线AB 的斜率与OD 的斜率的乘积为定值－15.第二式——最值、范围问题一.最值问题[例1](2018·南昌模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，过焦点F 的直线交C 于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，y 1y 2＝－4.(1)求抛物线C 的方程；(2)如图，点B 在准线l 上的正投影为E ，D 是C 上一点，且AD ⊥EF ，求△ABD 面积的最小值及此时直线AD 的方程．[解](1)依题意知F (p 2，0)，当直线AB 的斜率不存在时，y 1y 2＝－p 2＝－4，解得p ＝2.当直线AB 的斜率存在时，设l AB ：y ＝k (x －p 2)(k ≠0)，由(y ＝k (x －p 2)，y 2＝2px ，)消去x 并整理，得y 2－2p k y －p 2＝0，则y 1y 2＝－p 2，由y 1y 2＝－4，得p 2＝4，解得p ＝2.综上所述，抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)设D (x 0，y 0)，B (t 24，t )，则E (－1，t )，又由y 1y 2＝－4，可得A (4t 2，－4t ).因为k EF ＝－t 2，AD ⊥EF ，所以k AD ＝2t，则直线l AD 的方程为y ＋4t ＝2t (x －4t 2)，化简得2x －ty －4－8t2＝0.由(2x －ty －4－8t 2＝0，y 2＝4x ，)消去x 并整理，得y 2－2ty －8－16t 2＝0，Δ＝(－2t )2－4(－8－16t 2)＝4t 2＋64t2＋32＞0恒成立，所以y 1＋y 0＝2t ，y 1y 0＝－8－16t2.于是|AD |＝1＋t 24|y 1－y 0|＝1＋t 24(y 1＋y 0)2－4y 1y 0＝4＋t 2t 2＋16t2＋8，设点B 到直线AD 的距离为d ，则d ＝(t 22－t 2－4－8t 2)4＋t 2＝(t 2＋16t 2＋8)24＋t 2.所以S △ABD ＝12|AD |·d ＝14(t 2＋16t 2＋8)3≥16，当且仅当t 4＝16，即t ＝±2时取等号，即△ABD 面积的最小值为16.当t ＝2时，直线AD 的方程为x －y －3＝0；当t ＝－2时，直线AD 的方程为x ＋y －3＝0.[解题技法]圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．[过关训练]1．(2018·安康质检)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1和F 2，由M (－a ，b )，N (a ，b )，F 2和F 1这4个点构成了一个高为3，面积为33的等腰梯形．(1)求椭圆的方程；(2)过点F 1的直线和椭圆交于A ，B 两点，求△F 2AB 面积的最大值．解：(1)由已知条件，得b ＝3，且2a ＋2c 2×3＝33，∴a ＋c ＝3.又a 2－c 2＝3，∴a ＝2，c ＝1，∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)显然，直线的斜率不能为0，设直线的方程为x ＝my －1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立方程，得(x 24＋y 23＝1，x ＝my －1，)消去x 得，(3m 2＋4)y 2－6my －9＝0.∵直线过椭圆内的点，∴无论m 为何值，直线和椭圆总相交．∴y 1＋y 2＝6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4.∴＝12|F 1F 2||y 1－y 2|＝|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝12m 2＋1(3m 2＋4)2＝4m 2＋1(m 2＋1＋13)2＝41m 2＋1＋23＋19(m 2＋1)，令t ＝m 2＋1≥1，设f (t )＝t ＋19t，易知t ∈(0，13)时，函数f (t )单调递减，t ∈(13，＋∞)时，函数f (t )单调递增，∴当t＝m 2＋1＝1，即m ＝0时，f (t )取得最小值，f (t )min ＝109，此时，取得最大值3.二.范围问题[例2](2019·合肥模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且以原点为圆心，椭圆的焦距为直径的圆与直线x sin θ＋y cos θ－1＝0相切(θ为常数)．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若椭圆C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作直线l 与椭圆交于M ，N 两点，求F 1M ―→·F 1N―→的取值范围．[解](1)由题意，得(c a ＝22，1sin 2θ＋cos 2θ＝c ，a 2＝b 2＋c 2)解得(c ＝1，a 2＝2，b 2＝1，)故椭圆C 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)由(1)得F 1(－1,0)，F 2(1,0)．①若直线l 的斜率不存在，则直线l ⊥x 轴，直线l 的方程为x ＝1，不妨记M (1，22)，N (1，－22)，∴F 1M ―→＝(2，22)，F 1N ―→＝(2，－22)，故F 1M ―→·F 1N ―→＝72.②若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，由(y ＝k (x －1)，x 22＋y 2＝1)消去y 得，(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2.①F 1M ―→＝(x 1＋1，y 1)，F 1N ―→＝(x 2＋1，y 2)，则F 1M ―→·F 1N ―→＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋k (x 1－1)·k (x 2－1)＝(1＋k 2)x 1x 2＋(1－k 2)(x 1＋x 2)＋1＋k 2，结合①可得F 1M ―→·F 1N ―→＝2(k 4－1)2k 2＋1＋4k 2－4k 42k 2＋1＋1＋k 2＝7k 2－12k 2＋1＝72－922k 2＋1，由k 2≥0可得F 1M ―→·F 1N ―→∈(－1，72).综上可知，F 1M ―→·F 1N ―→的取值范围是(－1，72).[解题技法]解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．[过关训练]2．(2019·惠州调研)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点为A (2,0)，左、右焦点分别为F 1，F 2，过点A 且斜率为12的直线与y 轴交于点P ，与椭圆交于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为点F 1.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点P 且斜率大于12的直线与椭圆交于M ，N 两点(|PM |＞|PN |)，若S △PAM ∶S △PBN ＝λ，求实数λ的取值范围．解：(1)因为BF 1⊥x 轴，所以点B (－c ，－b 2a )，所以(a ＝2，b 2a (a ＋c )＝12，a 2＝b 2＋c 2)解得(a ＝2，b ＝3，c ＝1，)所以椭圆C 的标准方程是x 24＋y 23＝1.(2)因为S △PAM S △PBN ＝12|PA |·|PM |·sin ∠APM 12|PB |·|PN |·sin ∠BPN ＝2·|PM |1·|PN |＝λ⇒|PM ||PN |＝λ2(λ＞2)，所以PM ―→＝－λ2PN ―→.由(1)可知P (0，－1)，设直线MN 的方程为y ＝kx －1(k ＞12)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立方程，得(y ＝kx －1，x 24＋y 23＝1，)化简得，(4k 2＋3)x 2－8kx －8＝0.得(x 1＋x 2＝8k 4k 2＋3，x 1·x 2＝－84k 2＋3.)(*)又PM ―→＝(x 1，y 1＋1)，PN ―→＝(x 2，y 2＋1)，有x 1＝－λ2x 2，将x 1＝－λ2x 2代入(*)可得，(2－λ)2λ＝16k 24k 2＋3.因为k ＞12，所以16k 24k 2＋3＝163k2＋4∈(1,4)，则1＜(2－λ)2λ＜4且λ＞2，解得4＜λ＜4＋2 3.综上所述，实数λ的取值范围为(4,4＋23)．第三式——证明、探索性问题一.证明问题[例1](2018·全国卷Ⅰ)设椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为(2,0)．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；(2)设O 为坐标原点，证明：∠OMA ＝∠OMB .[解](1)由已知得F (1,0)，直线l 的方程为x ＝1.则点A 的坐标为(1，22)或(1，－22).又M (2,0)，所以直线AM 的方程为y ＝－22x ＋2或y ＝22x －2，即x ＋2y －2＝0或x －2y －2＝0.(2)证明：当l 与x 轴重合时，∠OMA ＝∠OMB ＝0°.当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以∠OMA ＝∠OMB .当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＜2，x 2＜2，直线MA ，MB 的斜率之和为k MA ＋k MB ＝y 1x 1－2＋y 2x 2－2.由y 1＝kx 1－k ，y 2＝kx 2－k ，得k MA ＋k MB ＝2kx 1x 2－3k (x 1＋x 2)＋4k (x 1－2)(x 2－2).将y ＝k (x －1)代入x 22＋y 2＝1，得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1.则2kx 1x 2－3k (x 1＋x 2)＋4k ＝4k 3－4k －12k 3＋8k 3＋4k 2k 2＋1＝0.从而k MA ＋k MB ＝0，故MA ，MB 的倾斜角互补．所以∠OMA ＝∠OMB .综上，∠OMA ＝∠OMB 成立．[解题技法]圆锥曲线中证明问题，常见位置关系方面的，如证明相切、垂直、过定点等；数量关系方面的，如存在定值、恒成立等．在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下，要多采用直接法证明，但有时也会用到反证法．[过关训练]1．(2018·全国卷Ⅲ)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24＋y 23＝1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M (1，m )(m ＞0)．(1)证明：k ＜－12；(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP ―→＋FA ―→＋FB ―→＝0.证明：|FA ―→|，|FP ―→|，|FB ―→|成等差数列，并求该数列的公差．证明：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1.两式相减，并由y 1－y 2x 1－x 2＝k 得x 1＋x 24＋y 1＋y 23·k ＝0.由题设知x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝m ，于是k ＝－34m .①由题设得0＜m ＜32，故k ＜－12.(2)由题意得F (1,0)．设P (x 3，y 3)，则(x 3－1，y 3)＋(x 1－1，y 1)＋(x 2－1，y 2)＝(0,0)．由(1)及题设得x 3＝3－(x 1＋x 2)＝1，y 3＝－(y 1＋y 2)＝－2m ＜0.又点P 在C 上，所以m ＝34，从而P (1，－32)，|FP ―→|＝32，于是|FA ―→|＝(x 1－1)2＋y 21＝(x 1－1)2＋3(1－x 214)＝2－x 12.同理|FB ―→|＝2－x 22.所以|FA ―→|＋|FB ―→|＝4－12(x 1＋x 2)＝3.故2|FP ―→|＝|FA ―→|＋|FB ―→|，即|FA ―→|，|FP ―→|，|FB ―→|成等差数列．设该数列的公差为d ，则2|d |＝||FB ―→|－|FA ―→||＝12|x 1－x 2|＝12(x 1＋x 2)2－4x 1x 2.②将m ＝34代入①得k ＝－1，所以l 的方程为y ＝－x ＋74，代入C 的方程，并整理得7x 2－14x ＋14＝0.故x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝128，代入②解得|d |＝32128.所以该数列的公差为32128或－32128.二.探索性问题[例2](2019·合肥质检)如图，在平面直角坐标系中，点F (－1，0)，过直线l ：x ＝－2右侧的动点P 作PA ⊥l 于点A ，∠APF 的平分线交x 轴于点B ，|PA |＝2|BF |.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 的直线q 交曲线C 于M ，N ，试问：x 轴正半轴上是否存在点E ，直线EM ，EN 分别交直线l 于R ，S 两点，使∠RFS 为直角？若存在，求出点E 的坐标，若不存在，请说明理由．[解](1)设P (x ，y )，由平面几何知识得|PF ||PA |＝22，即(x ＋1)2＋y 2|x ＋2|＝22，化简得x 22＋y 2＝1，所以动点P 的轨迹C 的方程为x 22＋y 2＝1(x ≠2)．(2)假设满足条件的点E (n,0)(n ＞0)存在，设直线q 的方程为x ＝my －1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，R (－2，y 3)，S (－2，y 4)．联立(x 2＋2y 2＝2，x ＝my －1，)消去x ，得(m 2＋2)y 2－2my －1＝0，y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2，x 1x 2＝(my 1－1)(my 2－1)＝m 2y 1y 2－m (y 1＋y 2)＋1＝－m 2m 2＋2－2m 2m 2＋2＋1＝2－2m 2m 2＋2，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－2＝2m 2m 2＋2－2＝－4m 2＋2，由条件知y 1x 1－n ＝y 3－2－n ，y 3＝－(2＋n )y 1x 1－n，同理y 4＝－(2＋n )y 2x 2－n ，k RF ＝y 3－2＋1＝－y 3，k SF ＝－y 4.因为∠RFS 为直角，所以y 3y 4＝－1，所以(2＋n )2y 1y 2＝－[x 1x 2－n (x 1＋x 2)＋n 2]，(2＋n )21m 2＋2＝2－2m 2m 2＋2＋4n m 2＋2＋n 2，所以(n 2－2)(m 2＋1)＝0，n ＝2，故满足条件的点E 存在，其坐标为(2，0)．[解题技法]存在性问题的求解方法(1)存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化．其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．(2)反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法．[过关训练]2．(2019·福州四校联考)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的两个焦点分别为F1，F2，短轴的一个端点为P，△PF1F2内切圆的半径为b3，设过点F2的直线l被椭圆C截得的线段为RS，当l⊥x轴时，|RS|＝3.(1)求椭圆C的标准方程；(2)在x轴上是否存在一点T，使得当l变化时，总有TS与TR所在直线关于x轴对称？若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由内切圆的性质，得12×2c×b＝12×(2a＋2c)×b3，得ca＝12.将x＝c代入x2a2＋y2b2＝1，得y＝±b2a，所以2b2a＝3.又a2＝b2＋c2，所以a＝2，b＝3，故椭圆C的标准方程为x24＋y23＝1.(2)当直线l垂直于x轴时，显然x轴上任意一点T都满足TS与TR所在直线关于x轴对称．当直线l不垂直于x轴时，假设存在T(t,0)满足条件，设l的方程为y＝k(x－1)，R(x1，y1)，S(x2，y2)．联立(y＝k(x－1)，3x2＋4y2－12＝0，)得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，由根与系数的关系得(x1＋x2＝8k23＋4k2，x1x2＝4k2－123＋4k2，)①其中Δ＞0恒成立，由TS与TR所在直线关于x轴对称，得k TS＋k TR＝0(显然TS，TR的斜率存在)，即y1x1－t＋y2x2－t＝0.②因为R，S两点在直线y＝k(x－1)上，所以y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，代入②得k(x1－1)(x2－t)＋k(x2－1)(x1－t)(x1－t)(x2－t)＝k[2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t](x1－t)(x2－t)＝0，即2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0，③将①代入③得8k2－24－(t＋1)8k2＋2t(3＋4k2)3＋4k2＝6t－243＋4k2＝0，④则t ＝4，综上所述，存在T (4,0)，使得当l 变化时，总有TS 与TR 所在直线关于x 轴对称．【牛刀小试】1.(2018·郑州一检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆与直线ax ＋2by －3ab ＝0相切．(1)求椭圆C 的离心率；(2)如图，过F 1作直线l 与椭圆分别交于P ，Q 两点，若△P Q F 2的周长为42，求F 2P ―→·F 2Q ―→的最大值．解：(1)由题意知|－3ab |a 2＋4b 2＝c ，即3a 2b 2＝c 2(a 2＋4b 2)＝(a 2－b 2)(a 2＋4b 2)．化简得a 2＝2b 2，所以e ＝1－b 2a 2＝22.(2)因为△P Q F 2的周长为42，所以4a ＝42，得a ＝2，由(1)知b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1，且焦点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，①若直线l 的斜率不存在，则直线l ⊥x 轴，直线方程为x ＝－1，P (－1，22)，Q (－1，－22)，F 2P ―→＝(－2，22)，F 2Q ―→＝(－2，－22)，故F 2P ―→·F 2Q―→＝72.②若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，由(y ＝k (x ＋1)，x 2＋2y 2＝2，)消去y 并整理得(2k 2＋1)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1，F 2P ―→·F 2Q ―→＝(x 1－1，y 1)·(x 2－1，y 2)＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝(k 2＋1)x 1x 2＋(k 2－1)(x 1＋x 2)＋k 2＋1＝(k 2＋1)2k 2－22k 2＋1＋(k 2－1)(－4k 22k 2＋1)＋k 2＋1＝7k 2－12k 2＋1＝72－92(2k 2＋1)，由k 2＞0可得F 2P ―→·F 2Q ―→∈(－1，72).综上所述，F 2P ―→·F 2Q ―→∈(－1，72)，所以F 2P ―→·F 2Q ―→的最大值是72.2．(2019·沈阳教学质量监测)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆x 29＋y 24＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP ―→＝2NM ―→.(1)求点P 的轨迹E 的方程；(2)过F (1,0)的直线l 1与点P 的轨迹交于A ，B 两点，过F (1,0)作与l 1垂直的直线l 2与点P 的轨迹交于C ，D 两点，求证：1|AB |＋1|CD |为定值．解：(1)设P (x ，y )，易知N (x,0)，NP ―→＝(0，y )，又NM ―→＝12NP ―→＝(0，y 2)，∴M (x ，y 2)，又点M 在椭圆上，∴x 29＋(y 2)24＝1，即x 29＋y 28＝1.∴点P 的轨迹E 的方程为x 29＋y 28＝1.(2)证明：当直线l 1与x 轴重合时，|AB |＝6，|CD |＝163，∴1|AB |＋1|CD |＝1748.当直线l 1与x 轴垂直时，|AB |＝163，|CD |＝6，∴1|AB |＋1|CD |＝1748.当直线l 1与x 轴不垂直也不重合时，可设直线l 1的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，则直线l 2的方程为y ＝－1k(x －1)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，联立直线l 1与曲线E 的方程，得(y ＝k (x －1)，x 29＋y 28＝1，)得(8＋9k 2)x 2－18k 2x ＋9k 2－72＝0，可得(Δ＝(－18k 2)2－4(8＋9k 2)(9k 2－72)＞0，x 1＋x 2＝18k 28＋9k 2，x 1x 2＝9k 2－728＋9k 2，)∴|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝48(1＋k 2)8＋9k 2，同理可得x 3＋x 4＝188k 2＋9，x 1x 2＝9－72k 28k 2＋9.则|CD |＝1＋1k 2·(x 3＋x 4)2－4x 3x 4＝48(1＋k 2)9＋8k 2.∴1|AB |＋1|CD |＝8＋9k 248(k 2＋1)＋9＋8k 248(k 2＋1)＝1748.综上可得1|AB |＋1|CD |为定值．3．(2019·惠州调研)已知点C 为圆(x ＋1)2＋y ＝8的圆心，P 是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 上，且有点A (1,0)和AP 上的点M ，满足M Q ―→·AP ―→＝0，AP ―→＝2AM ―→.(1)当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程；(2)若斜率为k 的直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切，与(1)中所求点Q 的轨迹交于不同的两点F ，H ，O 是坐标原点，且34≤OF ―→·OH ―→≤45时，求k 的取值范围．解：(1)由题意知M Q 是线段AP 的垂直平分线，所以|CP |＝|Q C |＋|Q P |＝|Q C |＋|Q A |＝22＞|CA |＝2，所以点Q 的轨迹是以点C ，A 为焦点，焦距为2，长轴长为22的椭圆，所以a ＝2，c ＝1，b ＝a 2－c 2＝1，故点Q 的轨迹方程是x 22＋y 2＝1.(2)设直线l ：y ＝kx ＋t ，F (x 1，y 1)，H (x 2，y 2)，直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切⇒|t |k 2＋1＝1⇒t 2＝k 2＋1.联立(x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋t)⇒(1＋2k 2)x 2＋4ktx ＋2t 2－2＝0，Δ＝16k 2t 2－4(1＋2k 2)(2t 2－2)＝8(2k 2－t 2＋1)＝8k 2＞0⇒k ≠0，x 1＋x 2＝－4kt 1＋2k 2，x 1x 2＝2t 2－21＋2k 2，所以OF ―→·OH ―→＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋kt (x 1＋x 2)＋t 2＝(1＋k 2)(2t 2－2)1＋2k 2＋kt －4kt 1＋2k 2＋t 2＝(1＋k 2)2k 21＋2k 2－4k 2(k 2＋1)1＋2k 2＋k 2＋1＝1＋k 21＋2k 2，所以34≤1＋k 21＋2k 2≤45⇒13≤k 2≤12⇒33≤|k |≤22，所以－22≤k ≤－33或33≤k ≤22.故k 的取值范围是(－22，－33)∪(33，22).4．已知抛物线C ：y 2＝4x ，过其焦点F 作两条相互垂直且不平行于坐标轴的直线，它们分别交抛物线C 于点P 1，P 2和点P 3，P 4，线段P 1P 2，P 3P 4的中点分别为M 1，M 2.(1)求线段P 1P 2的中点M 1的轨迹方程．(2)求△FM 1M 2面积的最小值．(3)过M 1，M 2的直线l 是否恒过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．解：(1)由题设条件得焦点F (1,0)，设直线P 1P 2的方程为y ＝k (x －1)，k ≠0.联立(y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，)得k 2x 2－2(2＋k 2)x ＋k 2＝0，则Δ＝[－2(2＋k 2)]2－4k 2·k 2＝16(1＋k 2)＞0.设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，设M 1(xM 1，yM 1)，(3)当k ≠±1时，由(2)知直线l 的斜率为k ′＝k 1－k 2，∴直线l 的方程为y ＋2k ＝k 1－k 2(x －2k 2－1)，即yk 2＋(x －3)k －y ＝0，(*)当x ＝3，y ＝0时，方程(*)对任意k (k ≠±1)均成立，即直线l 过定点(3,0)．当k ＝±1时，直线l 的方程为x ＝3，也过定点(3,0)．综上可知，直线l 恒过定点(3,0)．————————————————————————————————————《初、高中数学教研微信系列群》简介：目前有8个群（7个高中群、1个初中群），共3000多大学教授、教师、中学优秀、特、高级教师，省、市、区县教研员、教辅公司数学编辑、报刊杂志初、高中数学编辑等汇聚而成，是一个围绕初、高中数学教学研究展开教研活动的微信群.宗旨：脚踏实地、不口号、不花哨、接地气的初、高中数学教研！特别说明：1.本系列群只探讨初、高中数学教学研究、数学试题研究等相关话题；2.由于本群是集“研究—写作—发表（出版）”于一体的“桥梁”，涉及业务合作，特强调真诚交流，入群后立即群名片：教师格式：省+市+真实姓名，如：四川成都张三编辑格式：公司或者刊物（简写）+真实姓名欢迎各位老师邀请你身边热爱初、高中数学教研（不喜欢研究的谢绝）的教师好友（学生谢绝）加入，大家共同研究，共同提高！群主二维码：见右图————————————————————————————————————。

数学新高考二卷解析几何题答题技巧

数学新高考二卷解析几何题答题技巧数学新高考二卷解析几何题答题技巧引言在数学新高考二卷中，解析几何题占据了相当的比重。

解析几何作为数学的重要分支和应用工具，在高考中占据了相当的重要性。

本文将介绍一些针对解析几何题的答题技巧，帮助考生高效解题。

技巧一：熟悉基本公式和定理•需要熟练掌握点、线、面之间的距离公式和斜率公式，这是解析几何题解答的基础。

•熟悉三角形、四边形等图形的周长和面积公式，能够快速运用并进行变形。

技巧二：画图解题•解析几何题通常需要通过画图来帮助理解和分析。

画图可以更直观地看出问题中的条件和求解思路。

•细心观察图形中给出的线段、角度等信息，合理选择参考点和坐标系，有助于简化计算。

技巧三：几何性质的灵活运用•利用几何性质来解析几何题是解题的关键。

比如利用垂直角、对称性、相似三角形、共线等性质来辅助求解。

•注意总结并熟悉一些常见的几何性质和定理，如垂心、重心、外心等，能够快速应用于解题过程中。

技巧四：建立方程求解•对于一些解析几何题目，可以通过建立方程解决问题。

这要求我们善于将几何条件转化为方程，并利用方程进行进一步的推导。

•熟悉直线、圆等几何图形的方程表达式，并掌握解方程的方法，能够帮助快速解决相关问题。

技巧五：几何题与代数题互相转化•高考数学考题中的解析几何与代数题经常有联系，可以通过将几何问题转化为代数问题或者将代数问题图像化的方式来解决。

•将几何问题转化为代数问题可以通过引入变量、利用直线的斜率等方式进行，能够帮助快速解决相关问题。

结论解析几何作为数学的一部分，在高考中占有重要地位。

熟悉基本公式和定理，善于画图、灵活运用几何性质，掌握建立方程和几何与代数互相转化的技巧，将会有助于考生在解析几何题上取得更好的成绩。

通过不断练习和积累，相信考生们能够更加熟练地运用这些技巧，提高解题效率。

技巧六：分类讨论•在解析几何题中，有时候问题较为复杂，无法直接得到结论。

这时候可以采用分类讨论的方法，将问题进行分情况讨论，找到每种情况下的解决方法。

初三数学复习解析几何重难点攻克

初三数学复习解析几何重难点攻克解析几何作为数学中的一个重要分支，是初中数学中的难点之一。

在初三的数学复习中，解析几何往往是学生们最头疼的部分。

本文将着重介绍初三数学复习中解析几何的重难点，并提供攻克这些难点的方法和技巧。

一、点、线、面的一对一对应关系解析几何是通过坐标系来研究几何图形的性质和关系。

在解析几何中，点、线、面与坐标系之间存在一种一对一对应的关系。

这就意味着我们可以通过给定的几何图形，确定它在坐标系中对应的点、线、面。

反之，我们也可以根据给定的点、线、面，画出它对应的几何图形。

攻克方法：在初三数学复习中，学生们需要熟练掌握点、线、面与坐标系之间的关系。

这可以通过大量的练习来达到。

在做题时，要注意观察题目中给出的信息，确定点、线、面的对应关系，并能够准确地画出对应的几何图形。

二、线段的长度计算在线段的长度计算中，我们需要用到勾股定理或距离公式。

勾股定理适用于直角三角形，即直角边的平方等于斜边的平方和另一直角边的平方之和。

距离公式则适用于一般情况下的两点之间的距离计算。

攻克方法：对于线段的长度计算，学生们要掌握勾股定理和距离公式的应用。

在解决问题时，首先要确定所给的线段是否构成直角三角形，如果是，则可以直接应用勾股定理。

如果不是直角三角形，则需利用距离公式计算两点之间的距离。

三、直线的方程求解直线的方程是解析几何中的一大难点。

直线的方程有不同的形式，如点斜式、斜截式和一般式等。

学生们只有在熟练掌握了不同形式的直线方程，才能够灵活运用，解决复杂的几何问题。

攻克方法：在解析几何的复习中，学生们需要通过大量的练习来熟悉各种形式的直线方程。

掌握点斜式、斜截式和一般式等不同形式的方程，并了解它们之间的相互转换关系。

在解决实际问题时，要根据题目给出的条件和要求，选择适当的直线方程形式。

四、图形的相似性质图形的相似性质是解释几何中的另一个重要内容。

相似图形的特点是形状相似，大小可以不同。

在解析几何中，我们常常需要利用相似性质来求解问题，如求解两个三角形的边长比、面积比等。

高考数学考点归纳之解析几何常见突破口

高考数学考点归纳之解析几何常见突破口解析几何研究的问题是几何问题,研究的手法是代数法〔坐标法〕.因此,求解解析几何问题最大的思维难点是转化, 即几何条件代数化.如何在解析几何问题中实现代数式的转化, 找到常见问题的求解途径, 即解析几何问题中的条件转化是如何实现的, 是突破解析几何问题难点的关键所在. 为此,从以下几个途径, 结合数学思想在解析几何中的切入为视角,分析解析几何的“双管齐下〞,突破思维难点.考点一利用向量转化几何条件［典例］如下图,圆C: x2+y2-2x+ 4y- 4=0,问：是否存在斜率为1的直线1,使l与圆C交于A, B两点,且以AB为直径的圆过原点？假设存在,写出直线1的方程；假设不存在,请说明理由.［解题观摩］假设存在斜率为1的直线1,使1与圆C交于A, B两点,且以AB为直径的圆过原点.设直线1的方程为y=x+b,点A(X1, y i), B(x2, y2).y= x+ b,联立x2+y2-2x+4y-4= 0,消去y并整理得2x2 + 2(b+1)x+b2+4b—4=0,b2 + 4b — 4所以x1 +x2= — (b+1), x[x2= 2 .①由于以AB为直径的圆过原点,所以OA^OB,即x1x2 + y〔y2= 0.又y1 = x1+b, y2 = x2 + b,那么x1x2+y1y2= x1x2 + (x1+ b)(x2+ b)= 2x1x2+ b(x1+x2)+ b2 = 0.由①知,b2+ 4b-4- b(b+ 1)+b2=0,即b2+3b— 4=0,解得b= —4 或b=1.当b = - 4或b= 1时,均有A= 4(b+1)2-8(b2+4b-4)=- 4b2-24b+36>0,即直线1与圆C有两个交点.所以存在直线1,其方程为x— y+ 1 = 0或x— y— 4= 0.［关键点拨］以AB为直径的圆过原点等价于0人,08,而0人,08又可以“直译〞为x i X2+y i y2=0,可以看出,解此类解析几何问题的总体思路为“直译〞, 然后对个别难以“直译〞的条件先进行“转化〞,将“困难、难译〞的条件通过平面几何知识“转化〞为“简单、易译〞的条件后再进行“直译〞,最后联立“直译〞的结果解决问题.考点二角平分线条件的转化［典例］动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得的弦MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)点B(-1,0),设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P, Q,假设x轴是/ PBQ的角平分线,求证：直线l过定点.［解题观摩］(1)设动圆圆心为点P(x, v),那么由勾股定理得x2 + 42=(x-4)2+y2,化简即得圆心的轨迹C的方程为y2=8x.(2)证实：法一：由题意可设直线l的方程为y=kx+b(kw0).y= kx+ b,联立o得k2x2+2(kb—4)x+b2 = 0.y2= 8x,由A= 4(kb-4)2-4k2b2>0,得kb<2.设点P(x i, y i), Q(x2, y2),2 kb-4 b2那么x1+x2= - --- k2-,xix2=k2由于x轴是/ PBQ的角平分线,所以k PB+k QB=0,口H y i y2 2kx1x2+ k+b x i + x2+2b 8 k+ b即k pB+ k Q B= - + - = ------------------------------------------------------------------------------------- =---------------------------------- 2 = 0,x i+1 x2+ 1 x i + 1 x2+ 1 x i +1 x2+ 1 k2所以k+ b= 0,即b= 一k,所以l的方程为y = k(x— 1).故直线l恒过定点(1,0).法二：设直线PB的方程为x=my- 1,它与抛物线C的另一个交点为Q ',设点P(xi, yi), Q' (x2,y2),由条件可得,Q与Q'关于x轴对称,故Q(x2, —y).x= my— 1,联立消去x得y2—8my+8= 0,y2= 8x,其中A= 64m2— 32>0, yi+y2=8m, yiy2= 8., y i + y2 8所以k pQ = = ,x i —x2 y i — y2因而直线PQ的方程为y —y i = ~- 一(x—x i). y i — y2又y i y2= 8, y2 = 8x1,将PQ的方程化简得(y i —y2)y=8(x—1),故直线l过定点(1,0).法三：由抛物线的对称性可知,如果定点存在,那么它一定在x轴上,所以设定点坐标为(a,0),直线PQ的方程为x=my+ a.x= my+ a,联立2消去x,y2= 8x整理得y2—8my—8a=0, A>0.yi + y2= 8m,y i), Q(x2, y2),那么yiy2= — 8a.设点P(xi,由条件可知k PB+ k QB = 0,即k pB+ k Qmy i + ay2 + my2+a y i + y i + y2x i i x2 i2my i y2+ a+i y i+y2 .x i i x2 i '所以一8ma+8m=0.由m的任意性可知a=i,所以直线l恒过定点(i,0).法四：设P yi , Q y2,y2 ,8 8由于x轴是/ PBQ的角平分线,所以k pB+ k Q B= 2yi + 2y2 = 0 , 品?i整理得(y i + y)喈+i =0.8由于直线l不垂直于x轴,所以yi+y2W0,可得yiy2= — 8.由于kpQ=yy=yi%,8 8所以直线PQ的方程为y-yi = E故直线l恒过定点(1,0).［关键点拨］此题前面的三种解法属于比拟常规的解法,主要是设点, 设直线方程,联立方程,并借助判别式、根与系数的关系等知识解题,计算量较大.解法四巧妙地运用了抛物线的参数方程进行设点,防止了联立方程组,计算相对简单,但是解法二和解法四中含有两个参数yi,y2,因此判定直线过定点时,要注意将直线的方程变为特殊的形式.考点三弦长条件的转化................... . . (x)［典例］如图所不,椭圆G:5+丫2=1,与x轴不重合的直线l经过左焦点Fi,且与椭圆G相交于A, B两点,弦AB的中点为M,直线OM与椭圆G相交于C, D两点.(1)假设直线l的斜率为1,求直线OM的斜率.(2)是否存在直线l,使得|AM 2 =|CM |DM成立？假设存在,求出直线l的方程；假设不存在,请说明理由.［解题观摩］(1)由题意可知点F1(-1,0),又直线l的斜率为1,故直线l的方程为y=x+ 1.设点A(X I, y1), B(x2, y2),y=x+1,由x29消去y并整理得3x2+4x= 0,-+ y2= 1,2 y1+y2=3,4那么X1+X2=—",3因此中点M的坐标为一2, 1 .3 31故直线OM的斜率为今=—1.一3(2)假设存在直线l,使得|AM|2=|CM||DM|成立.由题意,直线l不与x轴重合,设直线l的方程为x=my —1.x= my— 1,由乂2 消去x并整理得(m2 + 2)y2—2my—1 = 0.y2= 1 ,2my-y2=M〞设点A(Xi, yi), B(X2, y2),那么可得|AB|=#V帚|yi —y2|" 4~ 2-J2m2+ 1Z I _ ----------- JL ---------------------------m2 + 2 m2 + 2 m2 + 22m20—4xi + X2= m(yi + y2)- 2 = 2 . o一 2 , o,' m + 2 m + 2一一2 m所以弦AB的中点M的坐标为Fk,, m + 2 m + 2故直线CD的方程为y= —,x.my=一万x,联立 2 消去y并整理得2x2 + m2x2-4=0,f+y2=i,4解得X2=m+2由对称性,设C(xo, yo), D(-xo, - yo),那么需=■^寺q,可得|CD|=^J77^ .粗17 m2 + 4 熹=2由于|AM|2= |CM||DM|=(|OC|- |OM|)(|OD|+ |0M|),且QC|= |0D|,所以|AM|2= |OC|2-|OM|2,即|AB|2= |CDp-4|OM|2,而8 rn2+ 1 f 4 n?+4 _4_ _那么m2+22=m2+2 ~4 m2+2^ 背+2?,解得m2= 2,故m =所以直线I的方程为x-/y+1 = 0或x+巾y+1 = 0.［关键点拨］此题(2)的核心在于转化|AM|2=|CM| DMI中弦长的关系.由|CM|= QC|—|OM|, |DM| =11 9 |OD|十|OM|,又|OC|= |OD|,得|AM『=|OC|2一|OMF.又|AM|=］|AB|, |OC|=5|CD|,因此|AB『= |CD|2-4|OM|2,转化为弦长|AB|, |CD|和|OM|三者之间的数量关系,易计算.考点四面积条件的转化［典例］设椭圆的中央在坐标原点, A(2,0), B(0,1)是它的两个顶点,直线 y=kx(k>0)与椭圆交于E, F 两点,求四边形 AEBF 的面积的最大值.［解题观摩］法一：如下图,依题意得椭圆的方程为 =1,直线AB, EF 的方程分别为 x+ 2y=2, y=kx(k>0). 设点 E(x i, kx i ), F(x 2, kx 2),其中 x i< X 2, 且 x i, x 2满足方程(1 + 4k 2)x 2=4,|x i + 2kx i —2| 2 1 + 2k+Rl + 4k 2 一朗小1 + 4k 2 ■ +2%—2| 2 1 + 2k —{i + 4k 2 h"乖、5 1 + 4k 2又 |AB|=、22+ 12 = y[5, 所以四边形AEBF 的面积为 1 1 4 1 + 2k 2 1 + 2k /i + 4k 2+4k /4k 2 5,-'5 1 +4k 2 ,1+4k 2 2 \ 1 4k2 2 . 1 + i 4k2因此四边形AEBF 的面积的最大值为 2ylV 2 法二：依题意得椭圆的万程为% yj.直线EF 的方程为y=kx(k> 0). 设点 E(x i, kx i ), F(x 2, kx 2),其中 x i 〈x 2.y= kx,联立 X 2 … 消去 y,得(1+4k 2)x 2=4.7+ y 2= 1 4 花 —2 2故 x [ =x 2= fW + 4k 2W+4k 2根据点到直线的距离公式和①,得点E, F 到直线AB 的距离分别为-1 , S= 21ABi h <+ h 2)1 1当且仅当(…,即k=2时取等号.故x2=.①2镇,因此四边形AEBF 的面积为1 1 4^1 + k2 1 + 2k 2 1 + 2k/4k 2+4k +1/4k -s= 2|EF|出什如交^^^二^^勺^^:飞卜,二2 /1+1^—<2^/2,当且仅当k=4k,即k=2时取等号.V k+4k因此四边形AEBF 的面积的最大值为 2〞. ［关键点拨］1 ... ............如果利用吊规方法理解为 S 四边形AEBF = S/xAEF + $△ BEF =~|EF | d 什d 2)(其中d1,d 2分别表不点A, B 到直线EF 的距离),那么需要通过联立直线与椭圆的方程,先由根与系数的关系求出 EF 的弦长,再表示出两个点线距,其过程很复杂.而通过分析,假设把四边形 AEBF 的面积拆成两个小三角形一一4ABE 和"BF 的面积之和,那么更为简单.由于直线 AB 的方程及其长度易求出,故只需表示出点E 与点F 到直线AB 的距离即可.［总结规律快速转化］做数学,就是要学会译,把文字语言、符号语言、图形语言、表格语言相互转换,我们要学会对解析几何问题中涉及的所有对象逐个理解、表示、整理,在理解题意的同时,牢记解析几何的核心方法是“用代数方法研究几何问题〞, 核心思想是“数形结合〞, 牢固树立“转化〞意识,那么就能顺利破解解析几何的有关问题. 附几种几何条件的转化, 以供参考1.平行四边形条件的转化几何性质代数实现 (1)对边平行斜率相等,或向量平行 (2)对边相等长度相等,横(纵)坐标差相等(3)对角线互相平分中点重合2.直角三角形条件的转化几何性质代数实现(1)两辿垂直斜率乘积为一1,或向量数量积为(2)勾股定理两点的距离公式根据点到直线的距离公式,得点 A, B 到直线EF 的距离分别为 di =|2k| — 2k 5+ k 2 5+k 2,|EF|= .1 + k 2 -x1-x2|=13 .等腰三角形条件的转化4 .菱形条件的转化5 .圆条件的转化6.［课时跟^^检测］3 x21,椭圆C经过点1, 2 ,且与椭圆E: 3 +黄=1有相同的焦点.(1)求椭圆C的标准方程;(2)假设动直线l： y=kx+m与椭圆C有且只有一个公共点P,且与直线x=4交于点Q,问：以线段PQ为直径的圆是否经过一定点M?假设存在,求出定点M的坐标；假设不存在, 请说明理由.解：(1)椭圆E的焦点为(±1,0)x2 y2设椭圆C的标准方程为巫+ b^= 1(a>b>0),91 , 4 a2=4,那么?+孑=1 ?解得9a bb2=3,a2-b2= 1 ,一 , ,,、、< x2 y2所以椭圆C的标准方程为-+y3-=1.y= kx+ m,(2)联立x27+y2消去V, 3=1得(3 + 4k2) x2 + 8kmx+ 4m2— 12 = 0,所以A= 64k2m2—4(3 +4k2)(4m2—12) = 0,即m2= 3+ 4k2.设P(xp, yp),那么xp=f；=—空yp=kxP+m=—/+ m=之 3 + 4k2m m m一4k 3即P—三,m .假设存在定点M(S, t)满足题意,由于Q(4,4k+ m),那么MP =-处-s, m 3m-t , MQ = (4 —s,4k+ m-1),所以MP MQ = 4k——sm、 3 ........................ 4k 3 , 一,, ,2 (4—s)+ m―t (4k + m-1)= - -(1 - s) - m,+ m+4k t+ (s2-4s+3 + t2)=0 恒成立,1-s=0,故t= 0,s2-4s+ 3+t2=0,s= 1, 解得t=0.所以存在点M(1,0)符合题意.b2•=1(a>b>0)的短轴长为2y[2,离心率为乂6,点A(3,0), P是C 3 上的动点,F为C的左焦点.⑴求椭圆C的方程;(2)假设点P 在y 轴的右侧,以AP 为底边的等腰△ ABP 的顶点B 在y 轴上,求四边形FPAB 面积的最小值.2b=2 也解：(1)依题意得 c=亚, 解得a=^6, a 3 ,b= 2 a 2=b 2+c 2.•・椭圆C 的方程是：+[=1.(2)设 P(x 0, y 0)(一陋vy 0〈也,yow .,xo0),线段AP 的中点为M,那么AP 的中点M x 0拦,y 0 ,直线AP 的斜率为」0不, 2 2 X0-3由4ABP 是以AP 为底边的等腰三角形,可得 BMXAP,・•・直线AP 的垂直平分线方程为y 0 x 0— 3 y — o =— y 2 V .x 2 y 0- 2y 0— 3 +2=1,—B 0,,•••F(-2,0),2 _ 2 y0 _ 3,四边形FPAB 的面积S=2|y °|十三-x 0 3 x- -~2—,令x=0得B 0, y2+x0 —92y 0 ,X 2 3 4故椭圆C 的方程为:+y 2=i.(2)由PM 是/ F 1PF 2的角平分线,mB |PFi| = JPF2I|PF I |=|F J MJ|F i M|— |F 2M| IPF 2I — |F 2M|.设点 P(X 0, y 0)( —2 V X 0V 2),又点 F i (—炉,0), F 2(炉,0), M(m,0), 那么 |PF 11= yj - -J3 — X 0 2+ y 2 = 2 + -2x 0, |PF 21 = yj * —X0 2+ y 2 =2 —当X 0.又|F i M|=|m+ V 3|, |F 2M|=|m —m |,且—V 3v m vV 3, 所以 |F i M|=m+ 43, |F 2M | = 43—m.33 而一2VX 0V 2,因此一2< m<Q .,. 一 , 一 3 3故实数m 的取值范围为一,Q .,所以 X i+X 2=0, X 1X 2= 1 ,b 2 + 1a 2 8 由AB, F 1F 2互相平分且共圆,易知,AF 21BF 2,由于 KA=(X i —3, y i ), F2B = (X 2-3, y 2),所以 F 2A F 2B = (x i- 3)(x 2- 3) + y i y 2=1 +7 X 1X 2 + 9= 0. o n __ . 一 a 2b 2一即 xix2=— 8,所以有 i-=— 8, b +0a结合 b 2+9=a 2,解得 a 2= i2,2 2 4. (2021沈阳模拟)椭圆上+卜1(a>b>0)的左,右焦点分别为 F i, F 2,且|F i F 2| =6,直线y=kX 与椭圆交于A, B 两点.⑴假设^AF i F Q 的周长为i6,求椭圆的标准方程；4 2(2)假设卜=丁,且A, B, F i, F 2四点共圆,求椭圆离心率 e 的值;(3)在(2)的条件下,设 P(x 0, y .)为椭圆上一点,且直线 PA 的斜率k iC(—2, —1),试求直线PB 的斜率k 2的取值范围.解：(i)由题意得 c=3,根据 2a+ 2c= i6,得 a =5.结合 a 2= b 2+ c 2,解得 a 2= 25, b 2 =2+ 所以2-3 二-X 02 3+ m ....... .3 ,化间得m=[X 0,i6.所以椭圆的标准方程为 22 25+w =1. X 2 y /也2=1,⑵由五y= 4X , 得 b 2+i a 2 X 2-a 2b 2=0. o 设 A(x i, y i ), B(X 2, y 2).所以离心率e= -23.x2 y2⑶由(2)的结论知,椭圆万程为行十号=i,,廿一』——v o —y i . v o+v i由题可知A(x i, y i), B(-x i, — y i), k i = , k2= ,x o —x i x o 十x i 〜y2— y2所以k i k2=yT,x6—x2x2 x2修_3i-^-3i-^ __i _2 _2 2 _2 A ,x2 —x2 xa— x2 4r 一i即k2= 一 ~~,4k i由一2vki<—i 可知,"< k2<1. 8 4r ,八一“一i i即直线PB的斜率k2€ 7,;.8 45 3=22|y01+丽R5飙当且仅当21y0|=普,即丫0=假设时等号成立,四边形FPAB面积的最小值为55.3椭圆C：1(a>b>0)的左、右焦点分别是a, F2,离心率为杀过点&且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.⑴求椭圆C的方程;(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点, 连接PF i, PF2,设/F1PF2的角平分线PM 交C的长轴于点M(m,0),求m的取值范围.解：(1)将乂= —c代入椭圆的方程壬+3 1,得y=4由题意知誓=1,故"2b2又e=c=*,衅$即a=2b,所以a=2, b=1,。

二轮复习之解析几何突破

算．对而言第二类方法显得很简相
捷．必须有较好的平面几何功底．但（）于圆锥曲线中的 “ 焦问２对触
注意到圆Ｃ、圆是两个相离
的等圆，所以它们关于线段ＣＣ的】２中垂线对称，难猜想，不点Ｐ在线段
的恒等式，而得到关手口６两个从，的
方程，而求得口６值；家不妨进，的大
试一试！
解答．介绍解决解析几何问题中要
注意的问题及一些常用的解题对
单。往往伴随而来的是繁杂的运但
足条件的点Ｐ再加以证明即可．后
注意利用平几知识破解解析几何问题
＿＿＿－－－＿＿－＿＿－－－・＿－－＿＿＿－－－－＿＿・… ＿
题方法时，应优先考虑和用圆锥曲ｊ线的定义及平面几何的知识解之．即明确解决这类问题的最常用的思路是充分利用其几何意义去解决问题．在具体操作中要注意以下两个
Ｉ，Ｚ，被圆Ｃ。圆ｃ截得的弦长可ｊ则。Ｚ｝：、２
上述两类问题与平面几何知识通常
有着天然的联系．
３．破解技巧：１对于直线与圆（）
或者虽然有了一个 “ 题方案 ” 但解．在具体操作过程中又遇到这样、那样的困难。难走到 “ 想的彼岸 ” 很理．

数学解析几何突破技巧

数学解析几何突破技巧数学解析几何作为高中数学的重要部分，相信大家都有所了解。

解析几何是利用代数的方法研究几何问题的一种数学分支。

在解析几何的学习中，我们可能会遇到一些困难，但只要掌握一些突破技巧，就能轻松应对各种解析几何问题。

本文将为大家介绍一些解析几何的突破技巧，希望能帮助大家更好地掌握解析几何知识。

一、直线与圆的相交问题在解析几何中，直线与圆的相交问题是一个常见的难点。

为了解决这类问题，我们可以采取以下两种策略：1. 使用方程求解对于已知的直线和圆，可以将它们的方程进行联立，得到方程组，然后通过解方程组求解交点的坐标。

具体步骤如下：a) 将直线和圆的方程分别表示为一元二次方程；b) 将直线方程代入圆的方程，得到一个一元二次方程；c) 解这个一元二次方程，得到交点的坐标。

2. 利用性质和特点求解直线与圆的相交问题中，有很多性质和特点可以利用。

例如，可以通过判断直线与圆的位置关系，进而确定相交的情况。

常见的性质和特点有：切线、相切、相交、不相交等。

在具体问题中，可以根据题目给出的条件，结合这些性质和特点来进行判断。

二、平面与直线的位置关系在解析几何中，平面与直线的位置关系也是一个需要注意的问题。

为了判断平面与直线的关系，可以采取以下方法：1. 利用点到平面的距离公式对于已知的平面和直线，可以使用点到平面的距离公式来计算直线上的任意一点到平面的距离。

具体步骤如下：a) 将平面的方程表示为点法式方程；b) 将直线的方程带入点法式方程中，得到点到平面的距离公式；c) 根据距离的正负值判断平面与直线的位置关系。

2. 利用向量的方法通过向量的方法，可以判断平面与直线的位置关系。

具体步骤如下：a) 将直线的方程表示为向量方程；b) 求出平面的法向量；c) 判断法向量与直线向量的夹角，从而确定平面与直线的位置关系。

三、空间中的几何构造在解析几何中，空间中的几何构造是一个需要灵活应用的技巧。

通过空间中的几何构造，可以帮助我们理清问题的思路，更好地解决问题。

1.解析几何——难点突破——离心率专题

解析几何——难点突破——离心率专题离心率是圆锥曲线的重要几何性质，是描述圆锥曲线形状的重要参数．圆锥曲线的离心率的求法是一类常见题型，也是历年高考考查的热点．求解圆锥曲线的离心率的值或取值范围，其关键是建立恰当的等量或不等量关系，以过渡到含有离心率e 的等式或不等式使问题获解．[典例] (2016·全国卷Ⅲ)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )[思路点拨]本题以椭圆内点线的交错关系为条件，而结论是椭圆的离心率，思考目标自然是要得到a ，b ，c 满足的等量关系，那么方向不外乎两个：坐标关系或几何关系，抓住条件“直线BM 经过OE 的中点”作为突破口适当转化，获得所需等式．[方法演示] 法一：数形结合法如图，设直线BM 与y 轴的交点为N ，且点N 的坐标为(0，m )，根据题意，点N 是OE的中点，则E (0,2m )，从而直线AE 的方程为x －a ＋y 2m＝1，因此点M 的坐标为－c ，2ma －ca. 又△OBN ∽△FBM ，所以|FM ||ON |＝|FB ||OB |，即2m a －c a m ＝a ＋c a ，解得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率为13. 法二：交点法同法一得直线AE 的方程为x －a ＋y 2m ＝1，直线BN 的方程为x a ＋ym＝1.又因为直线AE 与直线BN 交于点M ，且PF ⊥x 轴，可设M (－c ，n )．则⎩⎪⎨⎪⎧－c －a ＋n 2m ＝1，－c a ＋nm ＝1，消去n ，解得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率为13.法三：三点共线法同法一得直线AE 的方程为x －a ＋y2m ＝1，由题意可知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，2m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－c a ，N (0，m )，B (a,0)三点共线，则2m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－c a －m －c ＝m －a ，解得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率为13.法四：方程法设M (－c ，m )，则直线AM 的方程为y ＝ma －c (x ＋a )，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，ma a －c .直线BM 的方程为y ＝m －c －a (x －a )，与y 轴交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，ma a ＋c ，由题意知，2ma a ＋c ＝ma a －c ，即a ＋c ＝2(a －c )，解得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率为13.法五：几何法在△AOE 中，MF ∥OE ，所以MF OE ＝a －ca . 在△BFM 中，ON ∥MF ，所以OE2MF ＝aa ＋c，即OE MF ＝2aa ＋c.所以MF OE ·OE MF ＝a －c a ·2a a ＋c ＝1，即a ＋c ＝2(a －c )，解得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率为13. [答案] A [解题师说]1．本题的五种方法，体现出三个重要的数学解题策略.想求得离心率．由于椭圆(双曲线)的元素a ，b ，c 在图形、方程中具有一定的几何意义，所以通常可借助坐标关系或几何关系来解决离心率的问题.2．在求解圆锥曲线(椭圆和双曲线)的离心率问题时，要把握一个基本思想，就是充分利用已知条件和挖掘隐含条件建立起a 与c 的关系式．[注意] 在求离心率的值时需建立等量关系式，在求离心率的范围时需建立不等量关系式．[应用体验]1．(2018·新疆模拟)已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( ) C ．3D ．2解析：选A 依题意，不妨设点P 在双曲线的右支上，F 1，F 2分别为其左、右焦点，设椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则有e 1＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|，e 2＝|F 1F 2||PF 1|－|PF 2|，则1e 1＋1e 2＝2|PF 1||F 1F 2|.在△PF 1F 2中，易知∠F 1F 2P ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3，由正弦定理得|PF 1||F 1F 2|＝sin ∠F 1F 2P sin ∠F 1PF 2＝23sin ∠F 1F 2P ，所以1e 1＋1e 2＝43sin ∠F 1F 2P ≤43＝433，当且仅当sin ∠F 1F 2P ＝1，即∠F 1F 2P ＝π2时取等号，因此1e 1＋1e 2的最大值是433. 2．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >1，b >0)的焦距为2c ，直线l 过点(a,0)和(0，b )，且点(1,0)到直线l 的距离与点(－1,0)到直线l 的距离之和s ≥45c ，则双曲线离心率的取值范围为__________．解析：设直线l 的方程为x a ＋y b＝1.由已知，点(1,0)到直线l 的距离d 1与点(－1,0)到直线l 的距离d 2之和s ＝d 1＋d 2＝b a －1a 2＋b 2＋b a ＋1a 2＋b2＝2ab c ≥45c ，整理得5a c 2－a 2≥2c 2，即5e 2－1≥2e 2，所以25e 2－25≥4e 4，即4e 4－25e 2＋25≤0，解得54≤e 2≤5，52≤e ≤ 5.故双曲线离心率的取值范围为52， 5.答案：52，5一、选择题1．直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )解析：选B 不妨设直线l经过椭圆的一个顶点B(0，b)和一个焦点F(c,0)，则直线l 的方程为xc＋yb＝1，即bx＋cy－bc＝0.由题意知|－bc|b2＋c2＝14×2b，解得ca＝12，即e＝12.2．(2016·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是双曲线E：x2a2－y2b2＝1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝13，则E的离心率为( )D．2解析：选A 法一：作出示意图如图所示，离心率e＝ca＝2c2a＝|F1F2||MF2|－|MF1|，由正弦定理得e＝|F1F2||MF2|－|MF1|＝sin∠F1MF2sin∠MF1F2－sin∠MF2F1＝2231－13＝ 2.法二：因为MF1与x轴垂直，所以|MF1|＝b2a.又sin∠MF2F1＝13，所以|MF1||MF2|＝13，即|MF2|＝3|MF1|.由双曲线的定义得2a＝|MF2|－|MF1|＝2|MF1|＝2b2a，所以b2＝a2，所以c2＝b2＋a2＝2a2，所以离心率e＝ca＝ 2.3．(2018·宝鸡质检)已知双曲线C ：mx 2＋ny 2＝1(mn <0)的一条渐近线与圆x 2＋y 2－6x －2y ＋9＝0相切，则C 的离心率等于( )或2516或54解析：选D 当m <0，n >0时，圆x 2＋y 2－6x －2y ＋9＝0的标准方程为(x －3)2＋(y －1)2＝1，则圆心为M (3,1)，半径R ＝1，由mx 2＋ny 2＝1，得y 21n－x 2－1m＝1，则双曲线的焦点在y轴上，对应的一条渐近线方程为y ＝±a b x ，设双曲线的一条渐近线为y ＝a bx ，即ax －by ＝0.∵一条渐近线与圆x 2＋y 2－6x －2y ＋9＝0相切，∴圆心到直线的距离d ＝|3a －b |a 2＋b 2＝1，即|3a－b |＝c ，平方得9a 2－6ab ＋b 2＝c 2＝a 2＋b 2，所以8a 2－6ab ＝0，即4a －3b ＝0，b ＝43a ，平方得b 2＝169a 2＝c 2－a 2，所以c 2＝259a 2，c ＝53a ，故离心率e ＝c a ＝53；当m >0，n <0时，双曲线的渐近线为y ＝±b ax ，设双曲线的一条渐近线方程为y ＝b ax ，即bx －ay ＝0， ∴|3b －a |a 2＋b2＝1，即9b 2－6ab ＋a 2＝c 2＝a 2＋b 2，∴8b 2－6ab ＝0，即4b ＝3a ，平方得16b 2＝9a 2，即16(c 2－a 2)＝9a 2，可得e ＝54.综上，e ＝53或54.4．(2018·广西三市第一次联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，P 是双曲线C 右支上一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，若直线PF 1与圆x 2＋y 2＝a 2相切，则双曲线的离心率为( )C ．2D ．3解析：选B 取线段PF 1的中点为A ，连接AF 2，又|PF 2|＝|F 1F 2|，则AF 2⊥PF 1.∵直线PF 1与圆x 2＋y 2＝a 2相切，∴|AF 2|＝2a .∵|PA |＝12|PF 1|＝a ＋c ，∴4c 2＝(a ＋c )2＋4a 2，化简得(3c －5a )(a ＋c )＝0，则双曲线的离心率为53.5．已知F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 是椭圆上一点(异于左、右顶点)，过点P 作∠F 1PF 2的角平分线交x 轴于点M ，若2|PM |2＝|PF 1|·|PF 2|，则该椭圆的离心率为( )解析：选B 记∠PF 1F 2＝2α，∠PF 2F 1＝2β，则有∠F 1MP ＝2β＋π－2α＋2β2＝π2＋(β－α)，sin ∠F 1MP ＝cos(α－β)＝sin ∠F 2MP ，则椭圆的离心率e ＝2c2a＝sin 2α＋2βsin 2α＋sin 2β＝2sinα＋βcos α＋β2sin α＋βcos α－β＝cos α＋βcos α－β.由已知得2|PM ||PF 1|＝|PF 2||PM |，即2sin 2αcos α－β＝cos α－βsin 2β，2sin 2αsin 2β＝cos 2(α－β)，cos(2α－2β)－cos(2α＋2β)＝cos 2(α－β)，即[2cos 2(α－β)－1]－[2cos 2(α＋β)－1]＝cos 2(α－β)，cos 2(α－β)＝2cos 2(α＋β)，cos α＋βcos α－β＝22＝e ，所以该椭圆的离心率e ＝22. 6．(2018·云南11校跨区调研)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F ，直线4x －3y ＋20＝0过点F 且与C 在第二象限的交点为P ，O 为原点，若|OP |＝|OF |，则C 的离心率为( )A ．5解析：选A 依题意得F (－5,0)，|OP |＝|OF |＝5，tan ∠PFO ＝43，cos ∠PFO ＝35，|PF |＝2|OF |cos ∠PFO ＝6.记双曲线的右焦点为F 2，则有|FF 2|＝10.在△PFF 2中，|PF 2|＝|PF |2＋|FF 2|2－2|PF |·|FF 2|·cos∠PFF 2＝8.由双曲线的定义得a ＝12(|PF 2|－|PF |)＝1，则C 的离心率为e ＝c a＝5.7．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点为A ，若双曲线右支上存在两点B ，C使得△ABC 为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为( )A ．(1,2)B ．(2，＋∞)C ．(1，2)D ．(2，＋∞)解析：选C如图，由△ABC 为等腰直角三角形，所以∠BAx ＝45°.设其中一条渐近线与x 轴的夹角为θ，则θ＜45°，即tan θ＜1. 又其渐近线的方程为y ＝b ax ，则ba＜1，又e ＝ 1＋b 2a2，所以1＜e ＜2，故双曲线的离心率e 的取值范围为(1，2)．8．(2018·广东五校协作体诊断)已知点F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线与双曲线交于M ，N 两点，若MF 1―→·NF 1―→>0，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(2，2＋1)B ．(1，2＋1)C ．(1，3)D ．(3，＋∞)解析：选 B 设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，依题意可得c 2a 2－y 2b 2＝1，所以y ＝±b 2a ，不妨设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，N ⎝⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ，则MF 1―→·NF 1―→＝－2c ，－b 2a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2c ，b 2a ＝4c 2－b 4a 2>0，得到4a 2c 2－(c 2－a 2)2>0，即a 4＋c 4－6a 2c 2<0，故e 4－6e 2＋1<0，解得3－22<e 2<3＋22，又e >1，故1<e 2<3＋22，得1<e <1＋ 2.9．(2018·贵阳检测)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(2,1)在“右”区域内，则双曲线离心率e 的取值范围是( )解析：选B 依题意，注意到题中的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±bax ，且“右”区域是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y <b ax ，y >－ba x所确定，又点(2,1)在“右”区域内，于是有1<2ba ，即b a >12，因此题中的双曲线的离心率e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2∈⎝⎛⎭⎪⎫52，＋∞.10.过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F .若13<k <12，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )解析：选C 由题意可知，|AF |＝a ＋c ，|BF |＝a 2－c 2a ，于是k ＝a 2－c 2a a ＋c .又13<k <12，所以13<a 2－c 2a a ＋c <12，化简可得13<1－e 21＋e <12，从而可得12<e <23.11．已知F 1，F 2是双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段F 1F 2为直径的圆内，则双曲线的离心率的取值范围为( )A ．(1,2)B ．(2，＋∞)C ．(1，2)D ．(2，＋∞)解析：选A 如图，不妨设F 1(0，c )，F 2(0，－c )，则过点F 1与渐近线y ＝abx 平行的直线为y ＝a bx ＋c .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ab x ＋c ，y ＝－ab x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－bc2a ，y ＝c2，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－bc 2a ，c2.因为点M 在以线段F 1F 2为直径的圆x 2＋y 2＝c 2内，故⎝ ⎛⎭⎪⎫－bc 2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＜c 2，化简得b 2＜3a 2，即c 2－a 2＜3a 2，解得c a＜2，所以双曲线的离心率的取值范围为(1,2)．12．(2018·湘中名校联考)过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，与双曲线的渐近线交于C ，D 两点，若|AB |≥35|CD |，则双曲线离心率的取值范围为( )，＋∞ ，＋∞ C ．1，53D ．1，54解析：选B 将x ＝c 代入x 2a 2－y 2b 2＝1得y ＝±b 2a ，不妨取A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ，所以|AB |＝2b 2a.将x ＝c 代入双曲线的渐近线方程y ＝±b ax ，得y ＝±bc a，不妨取C ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，bc a ，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－bc a ，所以|CD |＝2bca .因为|AB |≥35|CD |，所以2b 2a ≥35×2bc a ，即b ≥35c ，则b 2≥925c 2，即c 2－a 2≥925c 2，即1625c 2≥a 2，所以e 2≥2516，所以e ≥54.二、填空题13.(2018·洛阳第一次统考)设椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，右顶点为，C 是椭圆E 上关于原点对称的两点(B ，C 均不在x 轴上)，若直线BF 平分线段AC ，则E 的离心率为________．解析：法一：设AC 的中点为M (x 0，y 0)，依题意得点A (a,0)，C (2x 0－a,2y 0)，B (a －2x 0，－2y 0)，F (c,0)，其中y 0≠0.由B ，F ，M 三点共线得k BF ＝k BM ，2y 0c －a ＋2x 0＝3y 03x 0－a≠0，化简得a ＝3c ，因此椭圆E 的离心率为13.法二：连接AB ，记AC 的中点为M ，B (x 0，y 0)，C (－x 0，－y 0)，则在△ABC 中，AO ，BM 为中线，其交点F 是△ABC 的重心．又F (c,0)，由重心坐标公式得c ＝x 0－x 0＋a3，化简得a＝3c ，因此椭圆E 的离心率为13.答案：1314．(2018·湖北部分重点高中联考)已知双曲线C 2与椭圆C 1：x 24＋y 23＝1具有相同的焦点，则两条曲线相交的四个交点形成的四边形面积最大时双曲线C 2的离心率为__________．解析：设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由题意知a 2＋b 2＝4－3＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，x 2a 2－y 2b 2＝1，解得交点的坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4a 2，y 2＝31－a2，由椭圆和双曲线关于坐标轴对称知，以它们的交点为顶点的四边形是长方形，其面积S ＝4|xy |＝44a 2·31－a 2＝83·a 2·1－a 2≤83·a 2＋1－a 22＝43，当且仅当a 2＝1－a 2，即a 2＝12时，取等号，此时双曲线的方程为x 212－y 212＝1，离心率e ＝ 2.答案：215．已知点A (3,4)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上，则当椭圆的中心到直线x ＝a 2a 2－b2的距离最小时，椭圆的离心率为__________．解析：因为点A (3,4)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的点，所以9a 2＋16b 2＝1，所以b 2＝16a 2a 2－9.因为a >b >0，所以1＝9a 2＋16b 2>9a 2＋16a 2＝25a2，从而a 2>25.设椭圆的中心到直线x ＝a 2a 2－b 2的距离为d ，则d ＝a 2a 2－b2＝a 4a 2－16a 2a 2－9＝a 21－16a 2－9＝a 2a 2－9a 2－25＝a 2－25＋400a 2－25＋41≥2400＋41＝9，当且仅当a 2－25＝400a 2－25，即a 2＝45时，等号成立，此时b 2＝20，c 2＝25，于是离心率e ＝c a ＝2545＝535＝53. 答案：5316．已知抛物线y ＝14x 2的准线过双曲线C ：x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)的虚轴的一个端点，且双曲线C 与直线l ：x ＋y ＝1相交于两点A ，B .则双曲线C 的离心率e 的取值范围为________．解析：抛物线y ＝14x 2化为x 2＝4y ，所以准线为y ＝－1，所以双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的虚轴的一个端点为(0，－1)，即b ＝1，所以双曲线C ：x 2a2－y 2＝1(a >0)．联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－a 2y 2－a 2＝0，x ＋y ＝1，消去y ，得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0.∵与双曲线交于两点A ，B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a 2≠0，4a 4＋8a 21－a2>0⇒0<a 2<2且a 2≠1. 而b ＝1，则c ＝a 2＋b 2＝a 2＋1， ∴离心率e ＝c a ＝a 2＋1a＝1＋1a 2>1＋12＝62，且e ＝1＋1a 2≠2， ∴e 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫62，2∪(2，＋∞)．答案：⎝⎛⎭⎪⎫62，2∪(2，＋∞)。

高中数学解析几何几何形分析突破难题的窍门

高中数学解析几何几何形分析突破难题的窍门解析几何作为高中数学重要的一部分，主要研究几何形与代数的联系及其应用。

它是高中数学中比较有难度的部分之一，也是让许多学生感到头疼的一部分。

在解析几何的学习过程中，我们经常会遇到一些难题，下面我将分享一些突破难题的窍门，希望能对各位同学有所帮助。

一、建立几何直观高中数学分析几何与平面几何不同之处在于其更加抽象和符号化。

因此，我们需要通过观察并建立几何直观，以帮助我们更好地理解和解决问题。

建立几何直观的方法有很多，其中一个有效的方法是通过画图。

在解析几何的学习中，我们可以根据问题描述，将几何形状通过画图的方式呈现出来，以帮助我们更好地理解题目的要求和解题思路。

二、掌握基本几何知识解析几何的学习离不开数学基础知识，尤其是几何知识。

因此，我们需要在学习解析几何之前，先掌握好基本几何知识。

首先，我们需要熟悉平面几何中的基本概念及性质，例如点、直线、平面、角等。

其次，我们需要掌握直线的方程及直线的性质，包括平行线的判定和直线与曲线的交点问题。

最后，我们需要了解圆的方程及相关性质，例如切线的判定和切点的坐标。

通过掌握这些基本几何知识，我们能够更好地理解解析几何的问题，并在解题过程中更加得心应手。

三、熟练掌握坐标系解析几何的核心思想是通过引入坐标系来研究几何形状和性质。

因此，熟练掌握坐标系的基本概念和运算方法对于解析几何的学习非常重要。

在解析几何中，我们常用的坐标系有直角坐标系和极坐标系。

直角坐标系是我们最常用的坐标系，通过将平面划分为两个垂直的数轴，可以方便地表示点的坐标。

极坐标系则是通过一个原点和一个角度来表示平面上的点，它具有独特的优势，在某些情况下可以简化问题的解决过程。

掌握好坐标系的概念和运算方法后，我们可以通过建立坐标系和进行坐标变换来解决解析几何的难题，提高解题的效率和准确性。

四、灵活运用向量方法解析几何的另一个重要工具是向量。

向量具有方向和大小，可以用来表示平面上的位移和方向。

破解高中数学中的平面解析几何问题的解题技巧

破解高中数学中的平面解析几何问题的解题技巧解析几何是高中数学的一部分，也是较难掌握的数学分支之一。

在解析几何中，平面解析几何问题是其中的重要组成部分。

为了帮助同学们更好地掌握平面解析几何的解题技巧，本文将介绍一些实用的方法和技巧。

一、建立坐标系在解决平面解析几何问题之前，首先要建立坐标系。

选择一个合适的坐标系有助于简化解题过程，减少冗余计算。

通常，我们可以选择直角坐标系或极坐标系，具体选择取决于问题的特点。

对于直角坐标系，可以将问题中涉及到的点坐标表示为(x, y)的形式，从而将几何问题转化为代数问题。

对于极坐标系，可以通过引入极坐标参数来分析问题，有时候更具优势。

建立坐标系之后，我们就可以根据题目的要求选择合适的方法来解决问题了。

二、利用性质和定理在平面解析几何中，有许多性质和定理可以应用于解题过程中。

熟练掌握这些定理和性质是解决问题的关键。

1. 距离公式：根据两点的坐标，可以用距离公式计算它们之间的距离。

对于直角坐标系，距离公式为：d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)。

对于极坐标系，距离公式为：d = √(r1² + r2² - 2r1r2cos(θ2 - θ1))。

2. 中点公式：根据两点的坐标，可以求得它们连线的中点坐标。

对于直角坐标系，中点公式为：(x, y) = ((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2)。

3. 斜率公式：根据两点的坐标，可以求得它们连线的斜率。

对于直角坐标系，斜率公式为：斜率k = (y2 - y1) / (x2 - x1)。

但需要注意的是，当(x2 - x1)为0时，斜率不存在或为无穷大。

4. 直线方程：利用点斜式或两点式可以得到直线的方程。

点斜式：y - y1 = k(x - x1)；两点式：(y - y1) / (x - x1) = (y2 - y1) / (x2 - x1)。

5. 圆的方程：根据圆心和半径的坐标可以得到圆的方程。

高中解析几何秒杀公式大全高中解析几何解题套路

高中解析几何秒杀公式大全高中解析几何解题套路高中解析几何秒杀公式大全高中解析几何解题套路高中解析几何秒杀公式是什么，解析几何解题套路有哪些，怎么能用一套完整的思路做所有类似的题目?下面跟大家分享一下高中解析几何秒杀公式大全，高中解析几何解题套路，希望对你有帮助。

公式总结解题套路各步骤操作规则口诀：见点化点、见直线化直线、见曲线化曲线。

1、见点化点：点用平面坐标系上的坐标表示，只要是高中解析几何题目中提到的点都要加以坐标化;2、见直线化直线：直线用二元一次方程表示，只要是高中解析几何题目中提到的直线都要加以方程化;3、见曲线化曲线：曲线(圆、椭圆、抛物线、双曲线)用二元二次方程表示，只要是高中解析几何题目中提到的曲线都要加以方程化; 备注：大家在学习本教材的例题时，可翻阅教科书回顾这些内容，以加深印象，如直线有五种表示方法哪种情形对应哪种方法表示;圆、椭圆、抛物线、双曲线的方程怎么列。

口诀：点代入直线、点代入曲线。

1、点代入直线：如果某个点在某条直线上，将点的坐标代入这条直线的方程;2、点代入曲线：如果某个点在某条曲线上，将点的坐标代入这条曲线的方程;备注1：这样，每代入一次就会得到一个新的方程，这些方程都是获得高中解析几何最后答案的基础。

备注2：方程逐一列出后，最后就是解方程组的问题了。

在方程组的求解中，我们发现一个特殊情况，即如果题目中有两个点在同一条曲线上，将它们的坐标代入曲线方程后不能直接算出常数结果，则采用下面这套等效规则来处理可以达到同样的处理效果，并让方程组的求解更简单。

高中解析几何等效规则的口诀，点代入这两个点共同所在的直线、直线代入曲线。

1、点代入这两个点共同所在的直线把这两个点共同所在直线用点斜式方程(如y=kx+d)表示出来，将这两个点的坐标分别代入这条直线的方程;2、将这条直线的方程代入这条曲线的方程，获得一个一元二次方程;3、把这个一元二次方程的根用韦达定理来表示(这里表示出来的实际上就是这两个点的坐标之间的相互关系式);4、把这个一元二次方程的二次项系数不等于零的条件列出来;5、把这个一元二次方程的判别式?>0列出来。

解析几何——难点突破——离心率专题

1.解析几何——难点突破——离心率专题(总11页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--解析几何——难点突破——离心率专题离心率是圆锥曲线的重要几何性质，是描述圆锥曲线形状的重要参数．圆锥曲线的离心率的求法是一类常见题型，也是历年高考考查的热点．求解圆锥曲线的离心率的值或取值范围，其关键是建立恰当的等量或不等量关系，以过渡到含有离心率e 的等式或不等式使问题获解．[典例] (2016·全国卷Ⅲ)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )[思路点拨]本题以椭圆内点线的交错关系为条件，而结论是椭圆的离心率，思考目标自然是要得到a ，b ，c 满足的等量关系，那么方向不外乎两个：坐标关系或几何关系，抓住条件“直线BM 经过OE 的中点”作为突破口适当转化，获得所需等式．[方法演示] 法一：数形结合法如图，设直线BM 与y 轴的交点为N ，且点N 的坐标为(0，m )，根据题意，点N 是OE 的中点，则E (0,2m )，从而直线AE 的方程为x －a ＋y 2m ＝1，因此点M 的坐标为－c ，2m a －ca. 又△OBN ∽△FBM ，所以|FM ||ON |＝|FB ||OB |，即2m a －ca m ＝a ＋c a ，解得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率为13. 法二：交点法同法一得直线AE 的方程为x －a＋y 2m ＝1，直线BN 的方程为x a ＋y m ＝1.又因为直线AE 与直线BN 交于点M ，且PF ⊥x 轴，可设M (－c ，n )．则⎩⎪⎨⎪⎧－c －a ＋n 2m ＝1，－c a ＋nm ＝1，消去n ，解得ca ＝13，所以椭圆C 的离心率为13.法三：三点共线法同法一得直线AE 的方程为x －a＋y 2m ＝1，由题意可知M ⎝⎛⎭⎫－c ，2m ⎝⎛⎭⎫1－c a ，N (0，m )，B (a,0)三点共线，则2m ⎝⎛⎭⎫1－c a －m－c ＝m －a，解得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率为13.法四：方程法设M (－c ，m )，则直线AM 的方程为y ＝m a －c (x ＋a )，所以E ⎝⎛⎭⎫0，ma a －c .直线BM 的方程为y ＝m －c －a (x －a )，与y 轴交于点⎝⎛⎭⎫0，ma a ＋c ，由题意知，2ma a ＋c ＝ma a －c ，即a ＋c ＝2(a －c )，解得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率为13.法五：几何法在△AOE 中，MF ∥OE ，所以MF OE ＝a －ca .在△BFM 中，ON ∥MF ，所以OE 2MF ＝a a ＋c ，即OE MF ＝2aa ＋c.所以MF OE ·OE MF ＝a －c a ·2a a ＋c ＝1，即a ＋c ＝2(a －c )，解得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率为13. [答案] A [解题师说]1．本题的五种方法，体现出三个重要的数学解题策略.想求得离心率．由于椭圆(双曲线)的元素a，b，c在图形、方程中具有一定的几何意义，所以通常可借助坐标关系或几何关系来解决离心率的问题.2．在求解圆锥曲线(椭圆和双曲线)的离心率问题时，要把握一个基本思想，就是充分利用已知条件和挖掘隐含条件建立起a与c的关系式．[注意]在求离心率的值时需建立等量关系式，在求离心率的范围时需建立不等量关系式．[应用体验]1．(2018·新疆模拟)已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为()C．3 D．2解析：选A依题意，不妨设点P在双曲线的右支上，F1，F2分别为其左、右焦点，设椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则有e1＝|F1F2||PF1|＋|PF2|，e2＝|F1F2||PF1|－|PF2|，则1e1＋1e2＝2|PF1||F1F2|.在△PF1F2中，易知∠F1F2P∈⎝⎛⎭⎫0，2π3，由正弦定理得|PF1||F1F2|＝sin∠F1F2Psin∠F1PF2＝23sin∠F1F2P，所以1e1＋1e2＝43sin∠F1F2P≤43＝433，当且仅当sin∠F1F2P＝1，即∠F1F2P＝π2时取等号，因此1e1＋1e2的最大值是433.2．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>1，b>0)的焦距为2c，直线l过点(a,0)和(0，b)，且点(1,0)到直线l的距离与点(－1,0)到直线l的距离之和s≥45c，则双曲线离心率的取值范围为__________．解析：设直线l的方程为xa＋yb＝1.由已知，点(1,0)到直线l的距离d1与点(－1,0)到直线l的距离d2之和s＝d1＋d2＝b a－1a2＋b2＋b a＋1a2＋b2＝2abc≥45c，整理得5a c2－a2≥2c2，即5e2－1≥2e2，所以25e2－25≥4e4，即4e4－25e2＋25≤0，解得54≤e2≤5，52≤e≤ 5.故双曲线离心率的取值范围为52， 5.答案：52，5一、选择题1．直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )解析：选B 不妨设直线l 经过椭圆的一个顶点B (0，b )和一个焦点F (c,0)，则直线l 的方程为x c ＋y b ＝1，即bx ＋cy －bc ＝0.由题意知|－bc |b 2＋c2＝14×2b ，解得c a ＝12，即e ＝12.2．(2016·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )D ．2解析：选A 法一：作出示意图如图所示，离心率e ＝c a ＝2c2a ＝|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|，由正弦定理得e ＝|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|＝sin ∠F 1MF 2sin ∠MF 1F 2－sin ∠MF 2F 1＝2231－13＝ 2. 法二：因为MF 1与x 轴垂直，所以|MF 1|＝b 2a .又sin ∠MF 2F 1＝13，所以|MF 1||MF 2|＝13，即|MF 2|＝3|MF 1|.由双曲线的定义得2a ＝|MF 2|－|MF 1|＝2|MF 1|＝2b 2a ，所以b 2＝a 2，所以c 2＝b 2＋a 2＝2a 2，所以离心率e ＝ca ＝ 2.3．(2018·宝鸡质检)已知双曲线C ：mx 2＋ny 2＝1(mn <0)的一条渐近线与圆x 2＋y 2－6x －2y ＋9＝0相切，则C 的离心率等于( )或2516或54解析：选D 当m <0，n >0时，圆x 2＋y 2－6x －2y ＋9＝0的标准方程为(x －3)2＋(y －1)2＝1，则圆心为M (3,1)，半径R ＝1，由mx 2＋ny 2＝1，得y 21n －x 2－1m＝1，则双曲线的焦点在y 轴上，对应的一条渐近线方程为y ＝±a b x ，设双曲线的一条渐近线为y ＝ab x ，即ax －by ＝0.∵一条渐近线与圆x 2＋y 2－6x －2y ＋9＝0相切，∴圆心到直线的距离d ＝|3a －b |a 2＋b 2＝1，即|3a －b |＝c ，平方得9a 2－6ab ＋b 2＝c 2＝a 2＋b 2，所以8a 2－6ab ＝0，即4a －3b ＝0，b ＝43a ，平方得b 2＝169a 2＝c 2－a 2，所以c 2＝259a 2，c ＝53a ，故离心率e ＝c a ＝53；当m >0，n <0时，双曲线的渐近线为y ＝±ba x ，设双曲线的一条渐近线方程为y ＝ba x ，即bx －ay ＝0， ∴|3b －a |a 2＋b 2＝1，即9b 2－6ab ＋a 2＝c 2＝a 2＋b 2，∴8b 2－6ab ＝0，即4b ＝3a ，平方得16b 2＝9a 2，即16(c 2－a 2)＝9a 2，可得e ＝54. 综上，e ＝53或54.4．(2018·广西三市第一次联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，P 是双曲线C 右支上一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，若直线PF 1与圆x 2＋y 2＝a 2相切，则双曲线的离心率为( )C ．2D ．3解析：选B 取线段PF 1的中点为A ，连接AF 2，又|PF 2|＝|F 1F 2|，则AF 2⊥PF 1.∵直线PF 1与圆x 2＋y 2＝a 2相切，∴|AF 2|＝2a .∵|PA |＝12|PF 1|＝a ＋c ，∴4c 2＝(a ＋c )2＋4a 2，化简得(3c －5a )(a ＋c )＝0，则双曲线的离心率为53.5．已知F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 是椭圆上一点(异于左、右顶点)，过点P 作∠F 1PF 2的角平分线交x 轴于点M ，若2|PM |2＝|PF 1|·|PF 2|，则该椭圆的离心率为( )解析：选B 记∠PF 1F 2＝2α，∠PF 2F 1＝2β，则有∠F 1MP ＝2β＋π－2α＋2β2＝π2＋(β－α)，sin ∠F 1MP ＝cos(α－β)＝sin ∠F 2MP ，则椭圆的离心率e ＝2c 2a ＝sin 2α＋2βsin 2α＋sin 2β＝2sin α＋βcos α＋β2sin α＋βcos α－β＝cos α＋βcos α－β.由已知得2|PM ||PF 1|＝|PF 2||PM |，即2sin 2αcos α－β＝cos α－βsin 2β，2sin 2αsin 2β＝cos 2(α－β)，cos(2α－2β)－cos(2α＋2β)＝cos 2(α－β)，即[2cos 2(α－β)－1]－[2cos 2(α＋β)－1]＝cos 2(α－β)，cos 2(α－β)＝2cos 2(α＋β)，cos α＋βcos α－β＝22＝e ，所以该椭圆的离心率e ＝22.6．(2018·云南11校跨区调研)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F ，直线4x －3y ＋20＝0过点F 且与C 在第二象限的交点为P ，O 为原点，若|OP |＝|OF |，则C 的离心率为( )A ．5解析：选A 依题意得F (－5,0)，|OP |＝|OF |＝5，tan ∠PFO ＝43，cos ∠PFO ＝35，|PF |＝2|OF |cos ∠PFO ＝6.记双曲线的右焦点为F 2，则有|FF 2|＝10.在△PFF 2中，|PF 2|＝|PF |2＋|FF 2|2－2|PF |·|FF 2|·cos ∠PFF 2＝8.由双曲线的定义得a ＝12(|PF 2|－|PF |)＝1，则C 的离心率为e ＝ca ＝5.7．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点为A ，若双曲线右支上存在两点B ，C 使得△ABC 为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为( )A ．(1,2)B ．(2，＋∞)C ．(1，2)D ．(2，＋∞)解析：选C如图，由△ABC 为等腰直角三角形，所以∠BAx ＝45°. 设其中一条渐近线与x 轴的夹角为θ，则θ＜45°，即tan θ＜1. 又其渐近线的方程为y ＝ba x ，则ba ＜1，又e ＝ 1＋b 2a 2，所以1＜e ＜2，故双曲线的离心率e 的取值范围为(1，2)．8．(2018·广东五校协作体诊断)已知点F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线与双曲线交于M ，N 两点，若MF 1―→·NF 1―→>0，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(2，2＋1)B ．(1，2＋1)C ．(1，3)D ．(3，＋∞)解析：选B 设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，依题意可得c 2a 2－y 2b 2＝1，所以y ＝±b 2a ，不妨设M ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，N ⎝⎛⎭⎫c ，－b 2a ，则MF 1―→·NF 1―→＝－2c ，－b 2a ·⎝⎛⎭⎫－2c ，b 2a ＝4c 2－b 4a 2>0，得到4a 2c 2－(c 2－a 2)2>0，即a 4＋c 4－6a 2c 2<0，故e 4－6e 2＋1<0，解得3－22<e 2<3＋22，又e >1，故1<e 2<3＋22，得1<e <1＋ 2.9．(2018·贵阳检测)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(2,1)在“右”区域内，则双曲线离心率e 的取值范围是( )解析：选B 依题意，注意到题中的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±ba x ，且“右”区域是由不等式组⎩⎨⎧y <b a x ，y >－ba x所确定，又点(2,1)在“右”区域内，于是有1<2b a ，即b a >12，因此题中的双曲线的离心率e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞.10.过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F .若13<k <12，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )解析：选C 由题意可知，|AF |＝a ＋c ，|BF |＝a 2－c 2a ，于是k ＝a 2－c 2a a ＋c .又13<k <12，所以13<a 2－c 2a a ＋c <12，化简可得13<1－e 21＋e<12，从而可得12<e <23.11．已知F 1，F 2是双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段F 1F 2为直径的圆内，则双曲线的离心率的取值范围为( )A ．(1,2)B ．(2，＋∞)C ．(1，2)D ．(2，＋∞)解析：选A 如图，不妨设F 1(0，c )，F 2(0，－c )，则过点F 1与渐近线y ＝ab x 平行的直线为y ＝ab x ＋c .联立⎩⎨⎧y ＝ab x ＋c ，y ＝－ab x ，解得⎩⎨⎧x ＝－bc2a ，y ＝c2，即M ⎝⎛⎭⎫－bc 2a ，c 2.因为点M 在以线段F 1F 2为直径的圆x 2＋y 2＝c 2内，故⎝⎛⎭⎫－bc 2a 2＋⎝⎛⎭⎫c 22＜c 2，化简得b 2＜3a 2，即c 2－a 2＜3a 2，解得ca ＜2，所以双曲线的离心率的取值范围为(1,2)．12．(2018·湘中名校联考)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，与双曲线的渐近线交于C ，D 两点，若|AB |≥35|CD |，则双曲线离心率的取值范围为( )，＋∞ ，＋∞ C ．1，53D ．1，54解析：选B 将x ＝c 代入x 2a 2－y 2b 2＝1得y ＝±b 2a ，不妨取A ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎫c ，－b 2a ，所以|AB |＝2b 2a .将x ＝c 代入双曲线的渐近线方程y ＝±b a x ，得y ＝±bc a ，不妨取C ⎝⎛⎭⎫c ，bc a ，D ⎝⎛⎭⎫c ，－bc a ，所以|CD |＝2bc a .因为|AB |≥35|CD |，所以2b 2a ≥35×2bc a ，即b ≥35c ，则b 2≥925c 2，即c 2－a 2≥925c 2，即1625c 2≥a 2，所以e 2≥2516，所以e ≥54.二、填空题13.(2018·洛阳第一次统考)设椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，右顶点为，C 是椭圆E 上关于原点对称的两点(B ，C 均不在x 轴上)，若直线BF 平分线段AC ，则E 的离心率为________．解析：法一：设AC 的中点为M (x 0，y 0)，依题意得点A (a,0)，C (2x 0－a,2y 0)，B (a －2x 0，－2y 0)，F (c,0)，其中y 0≠0.由B ，F ，M 三点共线得k BF ＝k BM ，2y 0c －a ＋2x 0＝3y 03x 0－a ≠0，化简得a ＝3c ，因此椭圆E 的离心率为13.法二：连接AB ，记AC 的中点为M ，B (x 0，y 0)，C (－x 0，－y 0)，则在△ABC 中，AO ，BM 为中线，其交点F 是△ABC 的重心．又F (c,0)，由重心坐标公式得c ＝x 0－x 0＋a3，化简得a ＝3c ，因此椭圆E 的离心率为13.答案：1314．(2018·湖北部分重点高中联考)已知双曲线C 2与椭圆C 1：x 24＋y 23＝1具有相同的焦点，则两条曲线相交的四个交点形成的四边形面积最大时双曲线C 2的离心率为__________．解析：设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由题意知a 2＋b 2＝4－3＝1，由⎩⎨⎧ x 24＋y 23＝1，x 2a 2－y 2b 2＝1，解得交点的坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝4a 2，y 2＝31－a 2，由椭圆和双曲线关于坐标轴对称知，以它们的交点为顶点的四边形是长方形，其面积S ＝4|xy |＝44a 2·31－a 2＝83·a 2·1－a 2≤83·a 2＋1－a 22＝43，当且仅当a 2＝1－a 2，即a 2＝12时，取等号，此时双曲线的方程为x 212－y 212＝1，离心率e ＝ 2. 答案：215．已知点A (3,4)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上，则当椭圆的中心到直线x ＝a 2a 2－b 2的距离最小时，椭圆的离心率为__________．解析：因为点A (3,4)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的点，所以9a 2＋16b 2＝1，所以b 2＝16a 2a 2－9.因为a >b >0，所以1＝9a 2＋16b 2>9a 2＋16a 2＝25a 2，从而a 2>25.设椭圆的中心到直线x ＝a 2a 2－b 2的距离为d ，则 d ＝a 2a 2－b 2＝a 4a 2－16a 2a 2－9＝a 21－16a 2－9＝a 2a 2－9a 2－25＝a 2－25＋400a 2－25＋41≥2400＋41＝9，当且仅当a 2－25＝400a 2－25，即a 2＝45时，等号成立，此时b 2＝20，c 2＝25，于是离心率e ＝c a ＝2545＝535＝53. 答案：5316．已知抛物线y ＝14x 2的准线过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的虚轴的一个端点，且双曲线C 与直线l ：x ＋y ＝1相交于两点A ，B .则双曲线C 的离心率e 的取值范围为________．解析：抛物线y ＝14x 2化为x 2＝4y ，所以准线为y ＝－1，所以双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的虚轴的一个端点为(0，－1)，即b ＝1，所以双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2－a 2y 2－a 2＝0，x ＋y ＝1，消去y ，得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0. ∵与双曲线交于两点A ，B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a 2≠0，4a 4＋8a 21－a 2>0⇒0<a 2<2且a 2≠1. 而b ＝1，则c ＝a 2＋b 2＝a 2＋1，∴离心率e ＝c a ＝a 2＋1a ＝1＋1a 2>1＋12＝62，且e ＝1＋1a 2≠2， ∴e 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫62，2∪(2，＋∞)．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫62，2∪(2，＋∞)。

高中解析几何学习难点及教学对策

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模式，才能适应信息技术课程的教学特点，提高教学效率，并达到让学生完全掌握知识点和操作技巧的教学效果。在这几年中，我尝试自己建设信息技术学习网站进行教学，将学习重点解析、疑难点解答、操作演示视频、练习作业、知识点测试等编写成学习网站，使学生能自主的完成一站式学习。这样学生能从网站获取新知识和复习旧知识；练习时能直接复制网站上的素材进行练习并通过反复观看教师制作好的视频进行记忆学习；疑难问题亦能通过相关链接来自己寻求解决。这样大大改善教师教学中不断重复的演示讲授，分身乏术的尴尬情况，建立一个有效合理的情景模式，指导学生学习，使学生学会学习，养成学生发现问题，自己探索解决或小组合作探讨解决的良好学习习惯，让学生在信息技术课程学习过程中，掌握信息技术学习方法，培养信息技术素养，这也是开设信息技术这门课程的目的所在。现将具体做法做一简要概述。
一、认真钻研教材，组织知识结构在教学前，必须认真钻研教材，解读教材中的知识结构。考虑到信息技术这门学科知识更新快，呈爆炸式增长，在组织知识结构时，必须要考虑到新知识和教材中知识的衔接。这要求对教师必须从多个来源搜集资料，这一方面通过网络来获取大量资料是我们信息技术的优势。还需考虑到学生之间的差异性，搜集的资料需要进行甄别再加工，以满足不同层次的学生需求。教师认真钻研教材，并不是简单的把教材的内容搬到网站上，而是要把教材的知识融会贯通，根据内容和学生的认知特点，重新组织成更适合学生的知识结构。二、精心设置任务，搭建学习网站在钻研教材和搜集资料后，接下来应该设置学习任务，搭建网站。信息技术学科知识点联系紧密，互相穿插，在搭建网站时不仅要做到合理安排各知识点，又要突出学习重点。既要让学生学习到教材中的基础知识，又要能掌握新知识。局域网环境中，非常适合采用任务驱动教学法和分层教学法，以丰富多彩的任务驱动教学，使学生在完成任务的过程中学习，巩固知识技能，培养创新精神和主动学习习惯。网络环境的适时性，交互性使教师实施教学任务，学生完成教学任务变得更加方便快捷。例如在教

高中数学解析几何解题技巧

高中数学解析几何解题技巧
高中数学解析几何解题技巧主要包括以下几个方面：
1. 理解基本概念：解析几何的基本概念是解题的基础，包括直线、平面、向量、点、线段等。

在解题过程中，要确保对这些基本概念的理解准确。

2. 熟悉性质定理：解析几何中有许多性质定理，例如平行线性质、垂直线性质、相似三角形性质等。

熟悉这些性质定理，可以帮助理解和解决解析几何题目。

3. 运用向量法解题：向量法是解析几何中常用的一种解题方法。

通过引入向量的概念，可以简化解析几何题目的计算过程，提高解题效率。

4. 利用几何变换：几何变换是解析几何中常用的一种方法，包括平移、旋转、镜像等。

通过利用几何变换，可以将原题转化为更简单的几何问题进行求解。

5. 善用相似性质：相似性质在解析几何中有着重要的应用。

通过发现和利用图形的相似性质，可以得到一些有用的信息，从而解决解析几何题目。

6. 注意特殊情况：解析几何题目中经常会涉及到一些特殊情况，例如对称性、平行四边形、等腰三角形等。

在解题过程中，要特别注意这些特殊情况，以充分利用它们带来的信息。

7. 多画图辅助：在解析几何题目中，通过画图可以更好地理解和分析题目。

因此，解析几何解题过程中，多画图进行辅助，有助于
提高解题的思路和准确性。

8. 注意技巧和方法：解析几何题目中有一些常用的技巧和方法，例如相似比例、平行线截比、垂直线截比等。

要熟悉这些技巧和方法，并在解题过程中加以运用。

最后，解析几何题目的解题技巧需要通过大量的练习和实践来逐渐掌握和提高。

不断总结经验，加强对解析几何知识的理解和掌握，才能在解析几何题目中游刃有余。

寻找解析几何解题的突破口

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