1-习题课行列式(精简版本)

x1 = 1, x = 0, 2 故方程组的解为 x3 = 0, xn = 0.
小结： 行列式的概念是基础， 行列式的性质是关键， 行列式的计算是重点，
用行列式解方程组是目的.
２
利用范德蒙行列式计算
利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德 蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列 式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。
例10 计算行列式
1 D x12 x x
3 1 4 1
1
2 x2
1
2 x3
1
2 x4
x x
3 2 4 2
x x
3 3 4 3
x x
3 4 4 4
.
解（公式法）作辅助函数
1 x1 f ( y ) x12 x13 x14 1 x2
2 x2 3 x2 4 x2
1 x3
2 x3 3 x3 4 x3
1 x4
1 -1 0 x
0 y
1 1 0 x 0 0 0 0
1 0 0 0
1 0 y
1 0
2 2 x y . 0
0 0 -x 0
0
0 -y
这种计算方法叫做加边法，此方法适用于主对角线两 侧元素都相同的行列式．在第二步计算的行列式是个字行 列式，其计算方法如上．
5 、分拆法：将D拆成两个行列式之和
2 n 1 a2 x3 a2 xn 2 n 1 a3 x3 a3 xn
1, 1, 1, 1,



2 n 1 an x3 an xn
其中ai ≠ aj（ i ≠ j , i,j=1,2,…,n)，求线性方程组的解． 解 由于系数行列式D, D1, D2,…, Dn 分别为 1 a1 a12 a1n 1 1 a1 a12 a1n 1 2 n 1 2 n 1 1 a2 a2 a2 1 a2 a2 a2 2 n 1 2 n 1 D = , 1 a a a D 1 a3 a3 , a3 1 3 3 3 2 n 1 2 n 1 1 a a a 1 an an an n n n
a1 a1
a2 a2

Dn a1 a2 2
an n
an n
a1 0 0
a2 an
2 an
0 n
1 Dn 1
a12 n 1Dn1
……
n ai 12 n 1 i 1 i
例2
0 a12
a12 0
a13 a23 0
a1n a2 n a3n 0
(n为奇数）
Dn a13 a23
a1n a2 n a3n
0
10 例3 设四阶行列式
a1 D b1 c1 d1
a2 b2 c2 d2
a3 b3 c3 d3
p p p p ,
则其第1列元素的代数余子式之和A11+A21+A31+A41=_____. 0
2
1 a a2 =(ab bc ac ) 1 b b 2 (ab bc ac)(b a)(c a)(c b). 1 c c2
又因a>b>c>0，所以D<0.
例7 设α、β、γ是方程x3+px+q = 0的根，计算
D .
解 由于
D
2 x4 3 x4 4 x4
1 y y2 y3 y4
将上式按最后一列展开，则f(y)为y的一个4次多项式， 且一次项y的系数为－D,于是可以通过考察多项式f(y)来求D
f ( y ) ( xi x j ) (y xk )
4i j 1 k 1
4
= ( xi x j )[(y x1 )( y x2 )( y x3 )( y x4 )]
4、加边法（升阶法）
加边法（又称升阶法）是在原行列式中增加一行一列，且 保持原行列式不变的方法。 例5 计算n阶行列式
x a1 a1 a1 a1
a2 a2 a2

Dn an
an an an
x a2
Dn
解：
x an
1 a1 Dn 0 0
1
r i r1
4i j 1
= ( xi x j )[( y 2 ( x1 x2 ) y x1 x2 ][ y 2 ( x3 x4 ) y x3 x4 ].
4i j 1
从上式易知，多项式f(y)的一次项系数为
4i j 1
( xi x j )[( x1 x2 ) x3 x4 ( x3 x4 ) x1 x2 ]
例9 计算n阶行列式

1 Dn

1

1
.
1
解（递推法）将Dn按第一行展开，得到Dn－1． Dn－2表 示Dn的式子．
1 (1)3 Dn ( ) 1 1
1
0 +
1 0
+

1
即
Dn ＝（α +β)Dn－1－ αβDn－2 ＝αDn－1+βDn－1 －αβDn－2 所以 Dn －αDn－1＝β(Dn－1－αDn－2) ＝βn-2(D2 － αD1) 又因为 D2 ＝(α+β)2－αβ， D1＝α+β．
例7 设abcd=1，计算
解（分拆法）将D拆成两个行列式之和，即
a2 b2 D c2 d2 c d a b 1 a 1 b 1 c 1 d 1 a2 1 1 b2 1 1 c2 1 1 d2 1 a b c d 1 a 1 b 1 c 1 d 1 1 1 1
1 a2 1 2 b 2 b D 1 c2 2 c 1 2 d 2 d a2
x 1
解（析因子法）因为当x＝1时，Dn的前两行相同，从 而Dn＝0，所以x－1为Dn的因子．同理x－2，x－3，…， x－（ n－1）均为Dn的因子，且各公因子互素(无公因子), 所以Dn能被(x－1)(x－2)(x－3)…(x－n+1)整除，又注意到 Dn的展开式中最高次项xn-1的系数为1，从而 Dn＝ (x－1)(x－2)(x－3)…(x－n+1).
1 1 a12 a1n 1
2 n 1 1 1 a2 a2
1 a1 1 a2
a13 1
3 a2 1 3 a3 1.
2 n 1 D2 1 1 a3 , , Dn 1 a3 a3





2 n 1 1 1 an an
1 an
3 an 1
显然，D=D1≠0,而D2，D3，…， Dn,有两列相同，均为零．
利用分拆变换计算行列式称为分拆法，此法比较适合 分拆后所得行列式易于计算或可以抵消，分拆法往往需要 一定的技巧．
例 8：
a1 1
a2 a2
an an


an an
Dn
解：
a1 a1
a2 2
an n
1
0 0 a2 a2 an an a2 2
第一章 行列式习题课
主要内容 典型例题 测试题
典
型
例
题
一、计算（证明）行列式
二、克拉默法则
1．利用行列式定义(按照行展开)直接计算
例1
0 0 Dn 0
0 1 0 2 0 0
n 1 0 0 0 0 0 n
n ( n 1) 2
(1)
n!
2．利用行列式的性质计算
1 ( ) 1 , 1
由根与系数的关系可知，α+β+γ＝0，故D = 0.
(2)简单的n阶行列式的计算
例8 计算n阶行列式
1 1 Dn 1 1 2 x 1 2 2 3 3 3 n n n .
x 1

0 x
例6 计算4阶行列式（加边法）
1+x D 1 1 1 1 1 x 1 1 1 1 1+y 1 1 1 1 1 y ,
解 显然当x=0或y=0时，D＝0，当x≠0和y ≠ 0时，利 用展开定理，
1 D 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1-x 1 1 1 1 1 1+y 1 1 1 1 1-y 1 1 1 0 0 0 1 0 0 y 1 0 0 0 0 1+x -1 x -1 0 -1 0
解 因为当p＝0时，有A11=0, A21=0, A31=0, A41=0.因 而A11+A21+A31+A41= 0． p ≠ 0时，由pA11+pA21+pA31+pA41 = 0,即p（A11+A21+A31+A41）= 0，得A11+A21+A31+A41= 0．
3．降阶法
例4
a 0 0 0 1 0 a 0 0 0 Dn 0 0 a 0 0 0 0 0 a 0 1 0 0 0 a
1 2 n 1 3 . n
n 1 n 1
1 Dn n! 1 1
2 3 n
2 2 3 n
2
2

上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式，由 范德蒙行列式知
D n n! ( xi x j)
n i j 1
n! ( 2 1)( 3 1)( n 1) ( 3 2)(4 2)( n 2)[ n ( n 1)] n! ( n 1)! ( n 2)! 2!1!.
解 将 Dn 按第1行展开
a 0 0 0 0 a 0 0
0 a 0 0 0 0 a 0 0 0 0 a 1 0 0 0
Dn a 0 0 a 0 (1) n 1 0 0 0 a
a n (1)n1 (1)n a n2 a n a n 2
故 D ( xi x j )[( x1 x2 ) x3 x4 ( x3 x4 ) x1 x2 ].
4i j 1
例12 设线性方程组
x1 a1 x2 x1 a2 x2 x1 a3 x2 x1 an x2 a12 x3 a1n 1 xn
例1 计算
1 1 1
2 n 2 2 2 Dn 3 32 3n .
n
n
2
nn
解 D n 中各行元素分别是一个数的不同方幂, 方幂
次数自左至右按递升次序排列，但不是从0变到 n 1, 而是由1递升至n.若提取各行的公因子，则方 幂次数便从0增至n 1，于是得到 1 1 1
例9
设a>b>c>0，试证
a a2 D b b2 c c2 bc ac 0. ab
a2 b2 c2
证
由于
a a 2 a 2 ab bc ac
a ( ab bc ac ) b c 1 1 1
2 2
D b b c c
b ab bc ac
2
c ab bc ac
a1 x 0 0
a2 an 0 x 0 0 0 x
（箭形行列式）
1
i 2, , n 1 1 1

n
1
j 1
aj x
a1 x 0 0
a2 an

0 0 0
n a j n x 1 0 0 j 1 x
x 0
所以， Dn－αDn－1＝βn 再由对称性， Dn－βDn－1＝αn 当α≠β时,将上两式的两边分别乘以β、α ,然后相减得 n1 n1 Dn . 当α＝ β时，对Dn－αDn－1＝αn使用递推法 Dn ＝αn+ αDn－1＝αn+α［αn－1+ αDn－2］ ＝2αn+ α2Dn－2＝…＝(n－2)αn+ αn－2D2 ＝(n－2)αn+ αn－2 3α2＝(n+1)αn．
a b c d
1 a 1 b 1 c 1 d
1 1 . 1 1
a 1 b 1 abcd c 1 d 1
源自文库
1 2 a 1 b2 1 c2 1 d2
1 a 1 b (1)3 1 c 1 d
a 1 b 1 c 1 d 1
1 2 a 1 b2 1 c2 1 d2
1 a 1 b 0. 1 c 1 d