1-习题课行列式(精简版本)
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线性代数 行列式 习题课
四、小结克拉默法则（未知数个数=方程个数）
1 x
0 x(1) n 1 0
1 x x 0
x
(1)n [( x 1)n x n ]
递推法 ： 通过降阶法建立起行列式与其同形的较低阶 的行列式的关系式--------递推关系式，然后由递推关系式 求解其值。
例
范德蒙（Vandermonde）行列式
(1)
系数行列式记为D（略）
a11 a1, j 1 b1 a1, j 1 a1n Dj an1 an, j 1 bn an, j 1 ann
D j 是D中第j列元素换成
常数项所得.
A1】 a11 x1 a12 x a1n x n D b1 A 01 j 【定理1.4 (1) 的系数行列式 j 若线性方程组 2
1 x1
2 Dn x1 n 1 x1
1 x2
2 x2
2 xn ( xi x j ) n i j 1
1 xn
n 1 n 1 x2 xn
证明思路 ：用递推法结合数学归纳法；祥见教材第18页。 说明 ： 范德蒙（Vandermonde）行列式的结论是个重要 结论，以后可以直接运用之； 高阶行列式的计算有着比较强的技巧，需要大家 在练习中不断总结、积累经验。
线性代数
行列式 习题课
温故而知新：行列式的性质
性质1：行列式与它的转置行列式相等。 性质2：互换行列式的两行（列），行列式变号。 推论：如果行列式的两行（列）完全相等，此行列式为零。 性质3：行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同 一数k，等于用数k乘此行列式。 推论1：行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可 以提到行列式符号的外边。 推论2：若行列式中某一行(列)的元素全为零，则此行 列式等于零。 性质4：若行列式中有两行(列)成比例,则此行列式等于零。 性质5：若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和, 则 此行列式等于两个行列式之和。 性质6：把行列式的某一行 （列）的各元素乘以同一数， 然后加到另一行（列）对应的元素上去,行列式不变.
行列式习题课
第四讲 行列式习题课一．主要内容 1．本章知识结构１ 全排列把n 个不同的元素排成一列，叫做这n 个元素的全排列（或排列）． n 个不同的元素的所有排列的种数用n P 表示，且!n P n =。
２ 逆序数在一个排列()n s t i i i i i 21中，若数s t i i >，则称这两个数组成一个逆序． 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数．逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列． 3 对 换定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，称为一次对换．将相邻两个元素对调，叫做相邻对换．定理 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数4 n 阶行列式的定义()np p p p p p tnnn n n nn n a a a a a a a a a a a a D 2121222211121121211∑-==.,,2,1;;,,2,12121的所有排列取和表示对为这个排列的逆序数的一个排列为自然数其中n t n p p p p p p n n∑.,21212121)1(的逆序数为行标排列其中亦可定义为阶行列式p p p t D D n nn p p p p p p ta aa nn∑-=5 n 阶行列式的性质.D D ,1)T =即式相等行列式与它的转置行列 .),()2行列式变号列互换行列式的两行.,)()3则此行列式等于零完全相同列如果行列式有两行. ,)()4乘此行列式等于用数一数中所有的元素都乘以同列行列式的某一行k k . )( )5面以提到行列式符号的外的所有元素的公因子可列行列式中某一行 ., )( )6则此行列式为零元素成比例列行列式中如果有两行., )( )7列式之和则此行列式等于两个行的元素都是两数之和行若行列式的某一列 ., )( , )( )8行列式的值不变对应的元素上去行然后加到另一列的各元素乘以同一数行把行列式的某一列6 行列式按行（列）展开 １） 余子式与代数余子式.,1 )1(的代数余子式叫做元素；记的余子式，记作阶行列式叫做元素列划去后，留下来的行和第所在的第阶行列式中，把元素在a A M A M a a ijijijji ijij ijij n j i n -+=-２）关于代数余子式的重要性质⎩⎨⎧≠==⎩⎨⎧≠===⎩⎨⎧≠===∑∑==.,0;,1.,0;,.,0;,11j i j i j i j i D D j i j i D D ij ijjk nk ik ij ki nk ki A a A a 当当其中 当当或当当δδδ８ 克拉默法则如果线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++.,,22112222212111212111b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a n n nn n n n n n n 那么它有唯一解的系数行列式,0 ≠D.,,2,1,n j DD jj x ==., ,,2,11的行列式所得到，列换成常数项中第）是把系数行列式（其中２b b b n j j D n j D =二．典型例题1．计算排列的逆序数例1()()()()()., 132******** 并讨论奇偶性的逆序数求排列k k k k k k +--- 。
1-习题课
习题一2 习题一2（5）
按自然数从小到大为标准次序， 按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的 并判别奇偶性。 逆序数 ，并判别奇偶性。
（5） 1 3 L 2n -1) 2 4 L 2n） （ （ n( n − 1) 解：逆序数为 2
时为偶排列； 当 n = 4k ,4k + 1 时为偶排列； 时为奇排列. 当 n = 4k + 2,4k + 3 时为奇排列
t p 1q1
p 2q 2
…a p q ,
n n
其 中 t 是 行 标 排 列 p 1 p 2 … p n的 逆 序 数 与 列 标 排 列 q1q 2 L qn的 逆 序 数 之 和 .
说明 1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方 、行列式是一种特定的算式， 程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而 定义的; 定义的 2、 n 阶行列式是 n! 项的代数和 、 项的代数和; 3、 n 阶行列式的每项都是位于不同行、不同 、 阶行列式的每项都是位于不同行、 个元素的乘积; 列 n 个元素的乘积 4、 一阶行列式 a = a 不要与绝对值记号相混淆 、 不要与绝对值记号相混淆;
于是排列的逆序数为
t = 0 + 1 + 1 + 2 + 2 + L + (k − 1) + (k − 1) + k
[2(1 + k − 1)(k − 1)] + k =
=
= k2
2
+
为偶数时，排列为偶排列， 当 k 为偶数时，排列为偶排列， 为奇数时，排列为奇排列． 当 k 为奇数时，排列为奇排列．
４
对
换
定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余元 在排列中，将任意两个元素对调， 素不动，称为一次对换．将相邻两个元素对调， 素不动，称为一次对换．将相邻两个元素对调， 叫做相邻对换． 叫做相邻对换． 定理 一个排列中的任意两个元素对换， 一个排列中的任意两个元素对换，排列改 变奇偶性． 变奇偶性． 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数， 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数， 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数． 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数．
行列式习题课
2 1 3 3 3
3 3 1 4 4
n 1 n 1 n 1 1 n
n n n n 1
6（2）
2 2 2
原行列式
解：
c1 c2 cn
1 2 3 n 1 n 1 1 3 n 1 n
1
r2 r1 r3 r1 rn r1
概念
a11 a21
a12 a1n a22 a2 n
p1 p2 pn
(1)t a1 p1 a2 p2 anpn
an1 an 2 ann
1．行列式与它的转置行列式相等； 2．互换行列式的两行（列），行列式变号；
性质
3．某行（列）有公因子可以提到行列式符号外面； 4．若行列式中某一行（列）的所有元素均为两元素之和，则行 列式可写成两个行列式的和； 5．行列式某行（列）的K倍后加到另一行（列）上，行列式不变。
《线性代数》
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结束
r3+（-1）r2
D 1 1
r2+（-1）r3
1 1 1 2 1 0 1
c1+（-1）c3
1
1 1 0
1 0
《线性代数》
1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0
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1 1 1 0 0 (1 ) 0
《线性代数》 返回 下页 结束
1
1 2 2 2
1 2 3 3
1 2 3 n
1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
例4 计算行列式
1 D1 1
行列式——习题课讲解
性 推论：某行(列)有公因子可提到行列式的外面 质 4. 若有两行(列)成比例，则行列式等于0
5. 若某一行(列)所有元素均为两元素之和，则行
列式可拆成两个行列式。
6. 某行(列)的k倍加到另一行(列)，行列式不变。
展
行展开
n
D i j
aki Akj
k 1
0
i j
开
列展开
n
解： 因行列式的项由不同行不同列的元素乘积构成。 即： a11a23a3i a4j，其中i、j只能是2,4的取值。 所以有两项：那么列标排列的逆序数为： t(1324)=1， t(1342)=2 所以,含有因子a11a23的两项为: -a11a23a32 a44， a11a23a34 a42
1 1 0 2
1 1 0 2
r1r2 0 1 1 2 r4 1r3 0 1 1 2
0
0
2 4
0
0
2 4
0 0 2 2
00 02
4
12 3 4
n
11 2 3
n 1
1x12
n2
例6：计算n阶行列式 D 1 x x 1
n3
1x x x
2
1x x x
1
例3：已知四阶行列式D的第2行元素分别为: -1, 0,2 ,4 第4行元素的余子式依次为：2, 4, a, 4 求a=？
解：由已知得：A41=-2，A42=4, A43=-a, A44=4 由行列式某行元素与另一行元素的代数余子式乘 积之和为零，可知：
2 1 41 2 0 1 42 4 2 1 43 a 4 1 44 4 0
解：令i=4，j=8，得排列为： 2 1 4 3 7 6 8 9 5 因为t( 214376895)=0+1+0+1+0+1+0+0+4=7 所以214376895为奇排列，与题意矛盾。
《线性代数》第一章行列式精选习题及解答
(C)0, 2
(D)0,1
解 按 三 阶 行 列 式 的 对 角 线 法 则 得 D1 = (λ + 1)(λ − 1)2 , D2 = 0 . 若 D1 = D2 ， 则
(λ + 1)(λ −1)2 = 0 ，于是 λ = 1,−1，故正确答案为（B）．
例 1.5
方程组 ⎪⎨⎧λx1x1++λxx22
故逆序数为 1；于是这个排列的逆序数为 t=0+0+2+4+1=7，故正确答案为（B）．
例 1.2 下列排列中（ ）是偶排列.
(A)54312 (B)51432
(C) 45312
(D) 654321
解 按照例 1 的方法计算知：排列 54312 的逆序数为 9；排列 51432 的逆序数为 7；排列
例17分析如果行列式的各行列数的和相同时一般首先采用的是将各列行加到第一列行提取第一列行的公因子简称列行加法这个行列式的特点是各列4个数的和为10于是各行加到第一行得10101010分析此类确定系数的题目首先是利用行列式的定义进行计算
第一章 行列式
1.1 目的要求
1．会求 n 元排列的逆序数； 2．会用对角线法则计算 2 阶和 3 阶行列式； 3．深入领会行列式的定义； 4．掌握行列式的性质，并且会正确使用行列式的有关性质化简、计算行列式； 5．灵活掌握行列式按（列）展开； 6．理解代数余字式的定义及性质； 7．会用克拉默法则判定线性方程组解的存在性、唯一性及求出方程组的解．
（2） A34 + A35 = （ ）, （3） A51 + A52 + A53 + A54 + A55 = （ ）．
分析 此类题目一般不宜算出表达式里每一项的值，而是注意观察要求的表达式的结构，
线性代数-行列式(完整版)
01
对于二元一次方程组，可以直接应用克拉默法则求解
未知数。
02
对于三元一次方程组，需要先判断系数矩阵的行列式
是否为零，若不为零，则可以使用克拉默法则求解。
03
对于更高元次的线性方程组，克拉默法则同样适用，
但计算量会随着元次的增加而急剧增大。
矩阵可逆性判别方法
01
一个方阵可逆的充分必要条件是其行列式不等于零。
行列式基本性质
行列式中如果有两行（或两列）元素成比例，则此行列式等于零。
若行列式的某一行（或某一列）的元素都是两数之和，例如第i行的元素都是两数之 和：$a_{ij}=b_{ij}+c_{ij}$，则此行列式等于两个行列式之和，这两个行列式的第i行 分别为$b_{ij}$和$c_{ij}$，其余各行与原行列式的相应的行相同。
对于一个n阶方阵A，其行列式记作|A|或det(A)， 是一个数值。
行列式的值可以通过对矩阵元素进行特定的运算 得到，该运算满足一定的性质。
行列式基本性质
行列式与它的转置行列式相等。
交换行列式的两行（或两列），行列式变号。 行列式的某一行（或某一列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘 此行列式。
克拉默法则介绍
克拉默法则（Cramer's Rule）是线性 代数中一个关于求解线性方程组的定理。
该法则适用于具有相同数量方程的方程组， 且系数矩阵的行列式不为零的情况。
克拉默法则通过计算系数矩阵的行 列式以及将系数矩阵的某一列替换 为常数项列后得到的新矩阵的行列 式，来求解方程组的解。
克拉默法则在方程组求解中应用
应用领域
范德蒙德行列式在多项式插值、数值分析等领域有广 泛应用。
范德蒙德行列式在多项式拟合中应用
1-习题课
D ,当i j; a ki Aki D ij k 1 0,当i j .
n
或 D ,当i j; a ik A jk D ij k 1 0,当i j . 1,当i j; 其中 ij 0,当i j .
定理
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
如果上述齐次线性方程组有非零解，则
它的系数行列式必为零.
小结 计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可 以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方 法综合应用．在计算时，首先要仔细考察行列式 在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变 换后，再考察它是否能用常用的几种方法．
n
3 克拉默法则
a 11 x 1 a 12 x 2 a 1n x n b1 , a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n b 2 , 如果线性方程组 a n1 x 1 a n 2 x 2 a nn x n b n . 的系数行列式 D 0, 那么它有唯一解 Dj , j 1,2, , n. xj D 其中 D（j 1,2, , n）是把系数行列式 D中第j列 j 换成常数项b1 , b２， b n 所得到的行列式.
定理 如果上述线性方程组无解或有两个不同的
解，则它的系数行列式必为零.
定理
如果齐次线性方程组
a 11 x 1 a 12 x 2 a 1n x n 0, a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n 0, a n1 x 1 a n 2 x 2 a nn x n 0. 的系数行列式D 0, 那么它没有非零解.
克拉默法则的理论价值
定理 如果线性方程组
第一章行列式习题课
0
1.3.用定义计算行列式Dn
0
0 a1
0 a2 0
an 0 0
解
Dn
(1)
n
ai
i 1
排列 n(n 1)(n 2)21 的逆序数 n(n 1) .
2
n(n1) n
所以Dn (1) 2
ai
i1
5x 1 2 3 24.设f (x) 2 1 x 3 ,求f (x)中x3与x4的系数
[a (n 1)b]
0 0 0 ab
[a (n 1)b](a b)n1.
x a aa
b x aa
例4、4: 求Dn b b x a .
b b bx
解 若a b，由例3知Dn [ x (n 1)a]( x a)n1；若a b，则有
(x a) a 0 a 0 a 0 a
2x x 1 2
1 f (x)
x 1 1 中 x4 与 x3 的系数.
3 2x 1
1 11 x
解I （用行列式的定义求解）由行列式的定义及 f (x)的性质知，只有 主对角线上的元素相乘才出现 x4，且这一项带正号，为2x2，故f (x) 中 x4 的系数为2. 同理，含 x3 的项也只有一项，为x 1 x x x3, 而且列标所构成的排列为2 1 3 4，逆序数为1.故 f(x)中 x3 的系数为-1.
2.行列式的定义
设有n2个数aij (i, j 1,2,, n)，称
a11 a12 a1n
D
a21
a22
a2n
an1 an2 ann
为n阶行列式，表示数值
(1) ( p1p2pn )a1p1 a2 p2 anpn
其中p1 p2 pn为自然数1,2，，n的一个排列
1-习题课-1
D n1 x 1 x 2 x n2a x n1 D n2, 于是 a x 1 x 2 x n 2a x n D n x 1 x 2 x n１ x n x n1 D n 2.
如此继续下去，可得
D n x 1 x 2 x n １a x 1 x 2 x n 2 a x n x 1 x 2 a x 4 x n x n x n 1 x 3 D 2
主要内容
基本知识点回顾
1、二阶与三阶行列式的计算
a11 a1 a11a22 a12a21 a2 2 1 a2
2
对角线法则
只适用于二阶 与三阶行列式
a11a22a33a12a23a31a13a21a32 a11a23a32a12a21a33a13a22a31
2、n阶行列式的三个定义
n阶反下三角形 0
0 a n1
a1n a2,n1 ...an1,2an1
n阶反上三角形
a11 a21
a12 a22
a13 a23 0 0
a1,0
n n 1 2
a1na2,n1 ...an1,2an1
an1,1 an1,2 a n1 0
bn1 0
再按最后一行展开，得 递推公式
d n1 0 0 dn
b n 1
D2nandnD2n2bncnD2n2 即 D2n(andnbncn)D2n2 依次递推下去 D2n-2(an-1dn-1bn-1cn-1)D2n4
0 a n 1
a 1 b1 c1 d 1
若行列式的某一行(列)的元素都是两个数之和 则行列式等于两个行列式之和 把行列式的某一行(列)的倍数，加到另一行(列)对应 的元素上去 行列式不变
5、行列式按行（列）展开 １）余子式与代数余子式 在n阶行列式Ddet(aij)中 把元素 aij 所在的 第 i 行和第 j 列划去后 剩下来的n1阶行列式, 叫做元素aij的余子式 记作Mij ．
线性代数行列式习题课
10 2 3 4
0
1
1
3 =160
0 0 4 4
0 0 0 4
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例3.证明 b1c1 c1a1 a1b1 a1 b1 c1
b2c2 c2a2 a2b2 2a2 b2 c2
b3c3 c3a3 a3b3 a3 b3 c3
证明:
b1 c1a1 a1b1 c1 c1a1 a1b1
x1 xn x2 xn
M xn2 1
主对角线上元素去掉1,则 各行分别有公因子x1, x2,…,xn, 提取公因子后各 行元素都是x1, x2,…, xn,故 考虑“加边法”
1 x1 0 x12 1 0 x2 x1 M
0 xn x1
x2 L
x1 x2 L
x
2 2
1
L
xn x2 L
xn
x1 xn
x2 xn
0
时,方程左边行列式两行相同,值为0,方程成立,故为根.
a1
a2
a3
L an2 an1x
an
a1
a2
a3
L
an1
an1 an x
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例8 计算 (P23)
a a O
D 2n c
0
N c
0 N ab cd
O
0
b b
0
d d
特点:“0”多
方法: 降阶找递推公式
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c1 2
2a2 b2 c2
a3 b3 c3
c1 a1 c2 a2 c3 a3
a1 b1 a2 b2 a3 b3
b1 c 1 c 2 2 b2
线性代数行列式计算习题课
b11
b1n
ak1
akk bn1
bn1
bnn
1
xn
xn2
1 x1
1 (xi x j )
x2
x12 x22
ni j1
x n 1 n
1 xn xn2
b1n bnn
x n 1 1
x n 1 2
x n 1 n
第8页
学习要求
计算排列旳逆序数 代数余子式旳有关计算 计算行列式
第9页
经典习题
计算排列旳逆序数 代数余子式旳有关计算 计算行列式
(1) 2 a1na2,n1
an1
ann
an,n1 ann an1
ann a1n
a2,n1
第7页
几类特殊行列式旳值
a11
a1k c011
c01k
3. ak1 c011
c0n1 1 x1 4. x12
x n 1 1
akk c01k
c0nk 1 x2 x22
x n 1 2
c0n1
c0nk
a11
a1k b11
(a1a2 an 0) 1 an
,
第18页
c. 可利用递推措施旳行列式
x 1
x 1
9. Dn
x 1
(1)n1
x Dn1 an
an an1 an2
x 1 a 2 x a1
Dn (x1n)na11xn1 a2 xn2 a3xn3 an1x an
第19页
d. 利用范德蒙德行列式旳结论计算
1
2
5 3
1 3 4 2
4 1 1
0 20
4
0 1 0 1
2 3 4 9
线性代数精简版
专业班级学号末两位姓名成绩批改日期月日
专业班级学号末两位姓名成绩批改日期月日
专业班级学号末两位姓名成绩批改日期月日
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专业班级学号末两位姓名成绩批改日期月日
专业班级学号末两位姓名成绩批改日期月日。
线性代数课件第一章行列式-习题课PPT
线性代数课件第一章 习题课
目录
• 习题回顾 • 习题解析 • 习题解答 • 习题拓展
01
习题回顾
习题一：二阶行列式的计算
总结词
理解二阶行列式的计算规则
详细描述
二阶行列式是线性代数中的基本概念，通过习题一，学生应掌握二阶行列式的 计算方法，理解行列式的定义和性质，为后续学习打下基础。
习题二：三阶行列式的计算
06
详细描述
通过习题的拓展，学生可以学会应用行列式解 决物理问题，如利用行列式计算物理量如力矩、 动量等。
THANKS
感谢观看
04
习题拓展
拓展一：高阶行列式的计算
总结词
掌握高阶行列式的计算方法
详细描述
高阶行列式是线性代数中的重要概念，通过习题的拓展， 学生可以掌握高阶行列式的计算方法，包括对角线法则、 Laplace定理等。
总结词
理解高阶行列式的性质
详细描述
通过习题的拓展，学生可以深入理解高阶行列式的性质， 如转置行列式、行列式的乘法、行列式的加减法等。
解析三：代数余子式的计算方法
深化理解
代数余子式是线性代数中一个重要的概念，它涉及到行列式的展开和计算。通过习题课，学生可以深 入理解代数余子式的定义和计算方法，掌握其在实际问题中的应用，提高解决线性代数问题的能力。
03
习题解答
解答一：二阶行列式的计算答案
总结词
掌握二阶行列式的计算方法
详细描述
二阶行列式是线性代数中的基本 概念，通过计算二阶行列式，可 以掌握行列式的计算方法，为后 续学习高阶行列式打下基础。
总结词
掌握三阶行列式的计算技巧
详细描述
三阶行列式是线性代数中一个重要的概念，通过习题二，学生应学会如何计算三 阶行列式，理解其性质和计算技巧，加深对线性代数基本概念的理解。
目录
• 习题回顾 • 习题解析 • 习题解答 • 习题拓展
01
习题回顾
习题一：二阶行列式的计算
总结词
理解二阶行列式的计算规则
详细描述
二阶行列式是线性代数中的基本概念，通过习题一，学生应掌握二阶行列式的 计算方法，理解行列式的定义和性质，为后续学习打下基础。
习题二：三阶行列式的计算
06
详细描述
通过习题的拓展，学生可以学会应用行列式解 决物理问题，如利用行列式计算物理量如力矩、 动量等。
THANKS
感谢观看
04
习题拓展
拓展一：高阶行列式的计算
总结词
掌握高阶行列式的计算方法
详细描述
高阶行列式是线性代数中的重要概念，通过习题的拓展， 学生可以掌握高阶行列式的计算方法，包括对角线法则、 Laplace定理等。
总结词
理解高阶行列式的性质
详细描述
通过习题的拓展，学生可以深入理解高阶行列式的性质， 如转置行列式、行列式的乘法、行列式的加减法等。
解析三：代数余子式的计算方法
深化理解
代数余子式是线性代数中一个重要的概念，它涉及到行列式的展开和计算。通过习题课，学生可以深 入理解代数余子式的定义和计算方法，掌握其在实际问题中的应用，提高解决线性代数问题的能力。
03
习题解答
解答一：二阶行列式的计算答案
总结词
掌握二阶行列式的计算方法
详细描述
二阶行列式是线性代数中的基本 概念，通过计算二阶行列式，可 以掌握行列式的计算方法，为后 续学习高阶行列式打下基础。
总结词
掌握三阶行列式的计算技巧
详细描述
三阶行列式是线性代数中一个重要的概念，通过习题二，学生应学会如何计算三 阶行列式，理解其性质和计算技巧，加深对线性代数基本概念的理解。
行列式习题课共56页
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
行列式习题课
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力Байду номын сангаас。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
行列式 习题
第一章 行列式 习题课
1. 阶行列式的值为，若将的第一列移到最后一列，其余各列依次保持原来的次序向左移动，则得到的行列式值为 。
2. 阶行列式的值为，若将的所有元素改变符号，得到的行列式值为。
3. 。
4. 由行列式的定义计算行列式展开式中和的系数。
5. 已知1703，3159，975，10959能被13整除，不直接计算行列式的值，证明他是13的倍数。
6. 设行列式，求及。
7. 计算行列式的值
(1) ； （2）； （3）；
（4）； （5）。
8. 试证： 。
9. 求证：行列式。
10. 求使得，，位于同一直线上的充要条件。
11. 求为何值时，方程组有非零解。
12. 设为互不相等的常数，求解线性方程组
补充：
计算下列行列式：1. ；2. 。
答案：
1. ；
2. ；
3. ；
4. ；
5. 略；
6. 0和5；
7.（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。
8. 略；9. 略；10. 略；
11. ；12. 。
补充：
1. ；
2. 。
行列式习题课PPT课件
的行列式是
0 0 -x 0 0 x2 y2. 00 0 y 0
个字行列式, 其计算方法 如上．
0 0 0 0 -y 11 第11页/共36页
例4 不计算行列式值，利用性质证明
xx
2
2 x 1 3 ( x 1)( x 2)( x 3)
3 3 x1
证明：令
xx 2 f (x) 2 x 1 3
第6页/共36页
0 0
ann
a1n 0
0
第1章
6
3、设D1是m 阶行列式，D2是n 阶行列式，则
D= D1 0
0 D2
D1D2；
0 D=
D2
D1 0
(1)mn D1D2。
4、范德蒙行列式
11 x1 x2 x12 x22
1
xn xn2 (xi x j ).
ni j1
x x n-1
n-1
1
2
c c2 1
1 a a2 =(ab bc ac) 1 b b2
1 c c2
(ab bc ac)(b a)(c a)(c b).
又因a>b>c>0，所以D<0. 14 第14页/共36页
例6 设α、β、γ是方程x3+px+q = 0的根，计算
D .
解 由于 D
λn
第5页/共36页
第1章
5
2、上、下三角行列式.
a11 a12
0 D=
a22
a1n a11 0 a2n a21 a22
00
= a11a22
0 0 D=
ann
ann .
an1 an2
0 a1n a11 a12
a2n1 a2n a21 a22
行列式习题课
10
0
1 x a1 0
n
Dn1 (x ai)1 a2 a1 x a2
i 1
1 a2 a1 a3 a2
0 0 0 x an
n
n
( x ai) ( x ai).
i1 i1
评注 本题利用行列式的性质，采用“化零” 的方法，逐步将所给行列式化为三角形行列式． 化零时一般尽量选含有１的行（列）及含零较多 的行（列）；若没有１，则可适当选取便于化零 的数，或利用行列式性质将某行（列）中的某数 化为1；若所给行列式中元素间具有某些特点，则 应充分利用这些特点，应用行列式性质，以达到 化为三角形行列式之目的．
• dc ac bc, cd bd ad
再将第2列减去第1列，得 D4 (a b c d )(a b c d )
100
• dc ad bc,
cd bc ad 按第1行展开，得
ad D４ (a b c d )(a b c d ) b c
(a b c d)(a b c d)•[(a d)2 (b c)2]
x
n
ai
a2
x
an
i 1
n
x ai a2 a3 x
i 1
提取第一列的公因子，得
1 a1 a2 an 1 x a2 an
n
Dn1 ( x ai) 1 a2 x an . i 1 1 a2 a3 x
将第1列的( a1)倍加到第2列，将第1列的 ( a２)倍加到第3列， ,将第1列的( an)倍加到最 后一列，得
p1 p2 pn
列取和.
n阶行列式D亦可定义为
D
p1
p2
(1)t
pn
a
p11
a
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例7 设abcd=1，计算
解（分拆法）将D拆成两个行列式之和，即
a2 b2 D c2 d2 c d a b 1 a 1 b 1 c 1 d 1 a2 1 1 b2 1 1 c2 1 1 d2 1 a b c d 1 a 1 b 1 c 1 d 1 1 1 1
1 a2 1 2 b 2 b D 1 c2 2 c 1 2 d 2 d a2
故 D ( xi x j )[( x1 x2 ) x3 x4 ( x3 x4 ) x1 x2 ].
4i j 1
例12 设线性方程组
x1 a1 x2 x1 a2 x2 x1 a3 x2 x1 an x2 a12 x3 a1n 1 xn
2
1 a a2 =(ab bc ac ) 1 b b 2 (ab bc ac)(b a)(c a)(c b). 1 c c2
又因a>b>c>0，所以D<0.
例7 设α、β、γ是方程x3+px+q = 0的根，计算
D .
解 由于
D
x 1
解（析因子法）因为当x＝1时，Dn的前两行相同，从 而Dn＝0，所以x－1为Dn的因子．同理x－2，x－3，…， x－（ n－1）均为Dn的因子，且各公因子互素(无公因子), 所以Dn能被(x－1)(x－2)(x－3)…(x－n+1)整除，又注意到 Dn的展开式中最高次项xn-1的系数为1，从而 Dn＝ (x－1)(x－2)(x－3)…(x－n+1).
例2
0 a12
a12 0
a13 a23 0
a1n a2 n a3n 0
(n为奇数）
Dn a13 a23
a1n a2 n a3n
0
10 例3 设四阶行列式
a1 D b1 c1 d1
a2 b2 c2 d2
a3 b3 c3 d3
p p p p ,
则其第1列元素的代数余子式之和A11+A21+A31+A41=_____. 0
1 ( ) 1 , 1
由根与系数的关系可知，α+β+γ＝0，故D = 0.
(2)简单的n阶行列式的计算
例8 计算n阶行列式
1 1 Dn 1 1 2 x 1 2 2 3 3 3 n n n .
x 1
0 x
例6 计算4阶行列式（加边法）
1+x D 1 1 1 1 1 x 1 1 1 1 1+y 1 1 1 1 1 y ,
解 显然当x=0或y=0时，D＝0，当x≠0和y ≠ 0时，利 用展开定理，
1 D 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1-x 1 1 1 1 1 1+y 1 1 1 1 1-y 1 1 1 0 0 0 1 0 0 y 1 0 0 0 0 1+x -1 x -1 0 -1 0
2 x4 3 x4 4 x4
1 y y2 y3 y4
将上式按最后一列展开，则f(y)为y的一个4次多项式， 且一次项y的系数为－D,于是可以通过考察多项式f(y)来求D
f ( y ) ( xi x j ) (y xk )
4i j 1 k 1
4
= ( xi x j )[(y x1 )( y x2 )( y x3 )( y x4 )]
a b c d
1 a 1 b 1 c 1 d
1 1 . 1 1
a 1 b 1 abcd c 1 d 1
1 2 a 1 b2 1 c2 1 d2
1 a 1 b (1)3 1 c 1 d
a 1 b 1 c 1 d 1
1 2 a 1 b2 1 c2 1 d2
1 a 1 b 0. 1 c 1 d
a1 x 0 0
a2 an 0 x 0 0 0 x
（箭形行列式）
1
i 2, , n 1 1 1
n
1
j 1
aj x
a1 x 0 0
a2 an
0 0 0
n a j n x 1 0 0 j 1 x
x 0
4i j 1
= ( xi x j )[( y 2 ( x1 x2 ) y x1 x2 ][ y 2 ( x3 x4 ) y x3 x4 ].
4i j 1
从上式易知，多项式f(y)的一次项系数为
4i j 1
( xi x j )[( x1 x2 ) x3 x4 ( x3 x4 ) x1 x2 ]
所以， Dn－αDn－1＝βn 再由对称性， Dn－βDn－1＝αn 当α≠β时,将上两式的两边分别乘以β、α ,然后相减得 n1 n1 Dn . 当α＝ β时，对Dn－αDn－1＝αn使用递推法 Dn ＝αn+ αDn－1＝αn+α［αn－1+ αDn－2］ ＝2αn+ α2Dn－2＝…＝(n－2)αn+ αn－2D2 ＝(n－2)αn+ αn－2 3α2＝(n+1)αn．
1 -1 0 x
0 y
1 1 0 x 0 0 0 0
1 0 0 0
1 0 y
1 0
2 2 x y . 0
0 0 -x 0
0
0 -y
这种计算方法叫做加边法，此方法适用于主对角线两 侧元素都相同的行列式．在第二步计算的行列式是个字行 列式，其计算方法如上．
5 、分拆法：将D拆成两个行列式之和
4、加边法（升阶法）
加边法（又称升阶法）是在原行列式中增加一行一列，且 保持原行列式不变的方法。 例5 计算n阶行列式
x a1 a1 a1 a1
a2 a2 a2
Dn an
an an an
x a2
Dn
解：
x an
1 a1 Dn 0 0
1
r i r1
a1 a1
a2 a2
Dn a1 a2 2
an n
an n
a1 0 0
a2 an
2 an
0 n
1 Dn 1
a12 n 1Dn1
……
n ai 12 n 1 i 1 i
第一章 行列式习题课
主要内容 典型例题 测试题
典
型
例
题
一、计算（证明）行列式
二、克拉默法则
1．利用行列式定义(按照行展开)直接计算
例1
0 0 Dn 0
0 1 0 2 0 0
n 1 0 0 0 0 0 n
n ( n 1) 2
(1)
n!
2．利用行列式的性质计算
利用分拆变换计算行列式称为分拆法，此法比较适合 分拆后所得行列式易于计算或可以抵消，分拆法往往需要 一定的技巧．
例 8：
a1 1
a2 a2
an an
an an
Dn
解：
a1 a1
a2 2
an n
1
0 0 a2 a2 an an a2 2
解 将 Dn 按第1行展开
a 0 0 0 0 a 0 0
0 a 0 0 0 0 a 0 0 0 0 a 1 0 0 0
Dn a 0 0 a 0 (1) n 1 0 0 0 a
a n (1)n1 (1)n a n2 a n a n 2
x1 = 1, x = 0, 2 故方程组的解为 x3 = 0, xn = 0.
小结： 行列式的概念是基础， 行列式的性质是关键， 行列式的计算是重点，
用行列式解方程组是目的.
Байду номын сангаас ２
利用范德蒙行列式计算
利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德 蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列 式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。
2 n 1 a2 x3 a2 xn 2 n 1 a3 x3 a3 xn
1, 1, 1, 1,
2 n 1 an x3 an xn
其中ai ≠ aj（ i ≠ j , i,j=1,2,…,n)，求线性方程组的解． 解 由于系数行列式D, D1, D2,…, Dn 分别为 1 a1 a12 a1n 1 1 a1 a12 a1n 1 2 n 1 2 n 1 1 a2 a2 a2 1 a2 a2 a2 2 n 1 2 n 1 D = , 1 a a a D 1 a3 a3 , a3 1 3 3 3 2 n 1 2 n 1 1 a a a 1 an an an n n n
例10 计算行列式
1 D x12 x x
3 1 4 1
1
2 x2
1
2 x3
1
2 x4
x x
3 2 4 2
x x
3 3 4 3
x x
3 4 4 4
.
解（公式法）作辅助函数
1 x1 f ( y ) x12 x13 x14 1 x2
2 x2 3 x2 4 x2
1 x3
2 x3 3 x3 4 x3
1 x4
解 因为当p＝0时，有A11=0, A21=0, A31=0, A41=0.因 而A11+A21+A31+A41= 0． p ≠ 0时，由pA11+pA21+pA31+pA41 = 0,即p（A11+A21+A31+A41）= 0，得A11+A21+A31+A41= 0．