最新6-2矩阵的合同关系

，
C
C1
C2
0 ，故 C
可逆，且
CT
A1 0
0 A2
C
C1T
0
0 A1
C2T
0
0 C1
A2
0
0
C2
信息系 刘康泽
即
CT
A1 0
0 A2
C
C1T
A1C1 0
C2T
0 A2C2
B1 0
0
B2
所以
A1
0
0 A2
与
B1 0
0 B2
合同。
例 2 设 A 是 n 阶可逆实对称矩阵，且 A 与 A合同，
证明：因为 r( A) r ，故 A 必与下面的 D1 矩阵合同：
D1
1 O
O
O
,
其中 1 diag d1,d2,
,dr ，
r(D1) r (di 0 , i 1, 2, , r) ，
即存在可逆的 C ，使得： C T AC D1
取
D2
O
O
O
2
,
其中 2 diag dr1,dr2,
6-2矩阵的合同关系
信息系 刘康泽
根据上节的讨论二次型 X T AX 经过非奇异线性变换 X = CY 变成新二次型Y T BY ，则原二次型的矩阵 A 与 新二次型的矩阵 B 有满足：
CT AC = B 。
【定义】设 A 和 B 为两个 n 阶矩阵，如果存在一个 n 阶可逆矩阵 C ，使得
CT AC = B ， 则称 A 与 B 合同，记为 A B 。
加到第 1 列，所得矩阵的第 1 行、第 1 列元素非零。
综上，可不放假设 a11 0 。
先将第 1 行的 ai1 倍加到第 i 行 (i 2,3, , n) ， a11
再将第 1 列的 ai1 倍（即 a1i 倍）加到第 i 列
a11
a11
(i 2,3, , n) ，得：
信息系 刘康泽
信息系 刘康泽
【定理】设 A 是 n 阶实对称矩阵，则总存在可逆矩阵 C ，使得 CT AC 成为对角阵，即
d1
CT AC
d2
d
n
也即，实对称矩阵总能合同对角化。
证明：由于 A 是对称阵，且 E(i, j) AE(i, j) ET (i, j)AE(i, j) ,
E(i(k)) AE(i(k)) ET (i(k)) AE(i(k)) ,
如果 a11 0 ，若至少有一个 aii 0 (i 1) ，
则先交换1 , i 两行，再交换1 , i 两列，这样就将 aii 交
换到第 1 行、第 1 列的位置。
0
a1i
a1n aii
ai1
ain
ai1
aii
ain a1i
0
a1n
an1
ani
ann ani
an1
ann
信息系 刘康泽
如果 a11 0 ，且所有 aii 0 ，若至少有一个 ai1 0 (i 1) ，则先将第 i 行加到第 1 行，再将第 i 列
a11 a12
A
0
b22
0
bn2
a1n a11 0
b2
n
0
b22
bnn
Fra Baidu bibliotek
0
bn2
0
b2n
bnn
a11 O
O A1
，
于是 A1 是 n 1阶的对称阵。对 A1 重复上述过程，
依次下去……。
则对 A 进行一系列的同类型的初等行与列的变换，可 以将 A 变成对角阵 D 。
信息系 刘康泽
则 n 必为偶数。
证明：由假设知，存在可逆的矩阵 C ，使得
A CT AC 两边取行列式有（注意到 A 0 ）： (1)n A C 2 A ，
C 2 (1)n 0 ， 故n必为偶数。
信息系 刘康泽
例 3 单位矩阵 E 与 E 在实数域上不合同。 证明：若存在实可逆矩阵 C ，使得
E CT EC CTC 由于 CTC 的主对角线上的元素全是 C 中各列元素 的平方和，它们都大于或等于零，但 E 的主对角线上的 元素全都小于零，矛盾！故 E 与 E 在实数域上不合同。
E( j, i(k)) AE(i, j(k)) ET (i, j(k)) AE(i, j(k)) .
信息系 刘康泽
上面三个式子的右边显然仍是对称阵。这就是说：对
对称矩阵进行一次同类型的初等行与列的变换，所得矩阵
仍然是对称矩阵。
设 A (aij )nn , aij a ji , i, j 1, 2, , n
证明 因 A 与 B 合同，所以存在可逆矩阵 C ，使得
B = CT AC ，
于是
A=
CT
1 BC 1
C 1
T
B
C 1
，
从而 B 与 A 也合同。
信息系 刘康泽
（3）传递性： 如果 A 与 B 合同， B 与 D 合同，则 A 与 D 也合同。即若 A B ，且 B D ，则 A D 。
根据上面的讨论立即得： 【定理】一个二次型经非奇异线性变换后仍变为二次 型，且新二次型矩阵与原二次型的矩阵合同。
信息系 刘康泽
合同关系具有以下性质：
（1）反身性： n 阶矩阵 A 与其本身合同，即 A A 。 证明 显然有 A = ET AE ，所以 A A 。
（2）对称性：如果 A 与 B 合同，则 B 与 A 也合同， 即 A B ，则 B A 。
这相当于存在初等矩阵 P1, P2 , , Ps ，使得： PsT P2T P1T AP1P2 Ps D 。
令 C = P1P2 Ps ，显然 C 可逆，
d1
则
CT A C D
d2
。
d
n
信息系 刘康泽
例 4 设 A 是 n 阶实对称矩阵， r( A) r ，则存在秩 为 n r 的实对称矩阵 B ，使得 AB O 。
证明 因为 A 与 B 合同， B 与 D 合同，所以存在可
逆矩阵 C1 ， C2 ，使得
C1T AC1 = B ,
C
T 2
BC
2
=
D
，
则
C1C2 T AC1C2 = D ，
而 C1C2 C1 C2 0 ，故 C1 C2 可逆，故 A 与 D 合同。
【注 1】上述(1)(2)(3)表明矩阵的合同关系是一个
等价关系。
【注 2】合同的矩阵具有相同的秩。
信息系 刘康泽
例 1 设 A1 与 B1 合同， A2 与 B2 合同，
则
A1
0
0 A2
与
B1 0
0 B2
合同。
证明：由假设知，存在可逆的 C1 与 C2 ，使得
C1T A1C1 = B1
,
C
T 2
A2C2
=
B2
，
令
C
C1
0
0 C2
,dn ，
信息系 刘康泽
r(D2 ) n r ， (d j 0, j r 1, , n)
则
D1D2
1
O
OO
O
O
O 2
O
。
于是 即 也即
C T ACD2 D1D2 O ， ACD2 (C T )1O O ， ACD2C T OC T O ，