排列组合综合讲义

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高中数学第四册排列组合讲义.

A B P Q • • • •高中數學第四冊排列組合講義1.A , B 兩隊比籃球賽，每局不得成和局，規定A 隊勝三局為贏；A 隊勝三場前B 勝二局算B 隊贏，試問此比賽之所有可能情形有種？又其中A , B 輸贏如何？2.有A , B , C , D , …等身高不等的8人排成一橫列，欲使任一較矮者不夾排在二較高者之間之排法共有種？3.五種不同的顏色塗右圖，相鄰著異色，共有種不同的塗法。

4.))()((v u z y x g f e d c b a +++++++++的展開式中共有項。

5.540之正因數共有個，其一切正因數和為，乘積為。

6.x | 36000，(x , 63)=3，25| x 之自然數x 共有個。

7.不同的渡船3艘，每艘可載5人，今有7人同時過渡，有種安全的渡法。

8.如右圖，從A 到B 之走法中，不許走←方向的走法共有種。

9.下列各街巷，從A 走到B 之捷徑走法各有幾？10. 如右圖自A 到B ，但限定只能走↑→↓三種方向，而且道路不重複走。

試問以下情形各有幾種走法？ (1)由A 到B 有種走法。

(2)由A 不經過P 到B 有種走法。

(3)由A 不經過Q 到B 有種走法。

(4)由A 不經過P 且不經過Q 到B 有種走法。

(5)由A 經過P 但不經過Q 到B 有種走法。

11. 考慮正五邊形及其所有對角線所成的圖形，此圖形中各線段圍成之各種三角形相似者列為一類，共有m 類，全等者列為一類，共有n 類，求m= 及n= 。

總共有個三角形。

12. 在平面上任意畫不完全重合之n 個相異圓至多有個交點。

13. 排容原理：1到100之自然數中，是2或3或5的倍數共有個。

14. 千元鈔2張，五百元鈔3張，百元鈔4張，每次至少取一張，(1)共有種取法。

(2)可以配出種不同的款項。

15. 今有五個不同的門，甲、乙兩人由不同的門進入，不同的門出來，(1)自己可由相同的門進出有種方法。

排列组合讲义（含答案）

排列组合讲义（含答案）排列组合、⼆项式定理、参数⽅程、极坐标.⼀、排列组合：主⼲⽅法：特殊优先，分开插空，相邻捆绑，正难则反，先选后排，分类穷举，定序扣数，分组分堆.1.将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待⼯作，每个场馆⾄少分配⼀名志愿者的⽅案种数为（）A. 540B. 300C. 180D. 1502. 某⼯程队有6项⼯程需要单独完成，其中⼯程⼄必须在⼯程甲完成后才能进⾏，⼯程丙必须在⼯程⼄完成后才能进⾏，有⼯程丁必须在⼯程丙完成后⽴即进⾏。

那么安排这6项⼯程的不同排法种数是。

（⽤数字作答）3. 某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项⽬,且在同⼀个城市投资的项⽬不超过2个,则该外商不同的投资⽅案有 ( )A.16种B.36种C.42种D.60种4. 3张卡⽚的两⾯分别写有1和2，3和4，5和6，将这三张卡⽚任意拼盘，可以组成多少个不同的三位数？_________.5.现从男.⼥共8名候选学⽣中选出2名男⽣,2名⼥⽣分别参加全校资源、⽣态、环保三个夏令营,且每个夏令营⾄少⼀⼈参加，已知共有1080种不同的参加⽅案.则候选的8位学⽣的构成情况是( )A.2名男⽣、6名⼥⽣B.6名男⽣、2名⼥⽣C.4名男⽣、4名⼥⽣D.5名男⽣、3名⼥⽣6.5名乒乓球队员中,有2名⽼队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体⽐赛,则⼊选的3名队员中⾄少有⼀名⽼队员,且1、2号中⾄少有1名新队员的排法有_______种.(以数作答)7. 有4张分别标有数字1，2，3，4的红⾊卡⽚和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝⾊卡⽚，从这8张卡⽚中取出4张卡⽚排成⼀⾏．如果取出的4张卡⽚所标数字之和等于10，则不同的排法共有________________种（⽤数字作答）．8.某⼈有4种颜⾊的灯泡（每种颜⾊的灯泡⾜够多），要在如题图所⽰的6个点A 、B 、C 、A 1、B 1、C 1上各装⼀个灯泡，要求同⼀条线段两端的灯泡不同⾊，则每种颜⾊的灯泡都⾄少⽤⼀个的安装⽅法共有种（⽤数字作答）.例8图A BC 1A1B练习：如图，⽤四种不同颜⾊给图中的A,B,C,D,E,F 六个点涂⾊，要求每个点涂⼀种颜⾊，且图中每条线段的两个端点涂不同颜⾊，则不同的涂⾊⽅法有（A ）288种（B ）264种（C ）240种（D ）168种答案：例1.D ；例2.20；例3.D ；例4.48；例5.D ；例6.48.例7.432.例8.216⼆、⼆项式定理：1.若对于任意实数x ，有3230123(2)(2)(2)x a a x a x a x =+-+-+-，则2a 的值为（）A ．3B ．6C ．9D ．122. 在()()1n x n N *+∈的⼆项展开式中，若只有5x 的系数最⼤，则n =A ．8B . 9 C. 10 D .113.已知n 展开式中，各项系数的和与其各项⼆项式系数的和之⽐为64，则n 等于（）Ａ．4Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．7 4.设2921101211(1)(21)(2)(2)(2)x x a a x a x a x ++=+++++++ ，则01211a a a a ++++ 的值为（）Ａ．2- Ｂ．1-Ｃ．1 Ｄ．2 5. 如果2323n x x ??- ??的展开式中含有⾮零常数项，则正整数n 的最⼩值为（）Ａ．3 Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．106. （1+2x 2）(x －1x )8的展开式中常数项为。

排列与组合讲义-2025届高三数学一轮复习

2025届高考数学一轮复习讲义计数原理、概率、随机变量及其分布之排列与组合一、知识点讲解及规律方法结论总结1.排列、组合的定义名称定义排列从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并按照①一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.组合作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.注意排列有序，组合无序.2.排列数、组合数的定义、公式及性质（n，m∈N*，且m≤n）排列数组合数定义从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同排列的个数，用符号②A n m表示.从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同组合的个数，用符号③C n m表示.公式A n m＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）＝n！（n－m)!.规定0！＝1.C n m＝A n mA m m＝n（n－1)(n－2）…（n－m+1）m！＝④n！m!(n－m)!.规定C n0＝1.性质A n n＝n！＝n×（n－1）×（n－2）×…×2×1；A n m＝（n－m＋1）A n m－1＝n An－1m－1.C n m＝C n n－m；C n+1m＝Cnm＋Cnm－1.说明C n m＝C n n－m的应用主要是两个方面：一是简化运算，当m＞n2时，通常将计算C n m转化为计算C n n－m；二是列等式，由C n x＝C n y可得x＝y或x＋y＝n.二、基础题练习1.5个相同的球，放入8个不同的盒子中，每个盒里至多放一个球，则不同的放法有（B）A.A85种B.C85种C.58种D.85种解析由于球都相同，盒子不同，每个盒里至多放一个球，所以只要选出5个不同的盒子即可.故共有C85种不同的放法.2.[教材改编]从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是（B）A.12B.24C.64D.81 解析 4本不同的课外读物选3本分给3位同学，每人1本，则不同的分配方法种数为A 43=24. 3.[教材改编]某班举行了“弘扬中华文化”演讲比赛，有6人参加，并决出第1名到第6名的名次（没有并列名次）.甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从回答分析，6人的名次排列情况可能有（ D ）A.216种B.240种C.288种D.384种解析由题可知，甲和乙都不是冠军，所以冠军有4种可能性，乙不是最后一名，所以最后一名有4种可能性，所以6人的名次排列情况可能有4×4×A 44＝384（种）.4.[多选]下列说法正确的是（ BD ）A.所有元素完全相同的两个排列为相同排列B.两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同C.若C n x ＝C n m ，则x ＝mD.A n+1m ＝A n m ＋m A n m －15.[易错题]计算C 73＋C 74＋C 85＋C 96的值为 210 .（用数字作答）解析原式＝C 84＋C 85＋C 96＝C 95＋C 96＝C 106＝210.6.若C n+13＝C n 3＋C n 4，则n ＝ 6 .解析 ∵C n+13＝C n 3＋C n 4＝C n+14，∴n ＋1＝3＋4，解得n ＝6.三、知识点例题讲解及方法技巧总结命题点1 排列问题例1 有3名男生、4名女生.（1）若排成前、后两排，前排3人，后排4人，则不同的排列方法总数为 5 040 .（2）若全体排成一排，女生必须站在一起，则不同的排列方法总数为 576 .（3）若全体排成一排，男生互不相邻，则不同的排列方法总数为 1 440 .（4）若全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边，则不同的排列方法总数为 3 600 .（5）若全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边，则不同的排列方法总数为 3 720 .（6）若全体排成一排，其中甲、乙、丙三人从左到右顺序一定，则不同的排列方法总数为 840 .解析（1）分两步完成，先选3人站前排，有A 73种方法，余下4人站后排，有A 44种方法，共有A 73·A 44＝5 040（种）.（2）将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A44种方法，再将女生全排列，有A44种方法，共有A44·A44＝576（种）.（3）先排女生，有A44种方法，然后在女生之间及首尾共5个空位中任选3个空位安排男生，有A53种方法，共有A44·A53＝1 440（种）.（4）解法一先排甲，有5种方法，其余6人有A66种排列方法，共有5×A66＝3 600（种）.解法二左、右两边位置可安排除甲外其余6人中的2人，有A62种排法，剩下的5人有A55种排法，共有A62A55＝3 600（种）.（5）解法一甲在最右边时，其他人可全排列，有A66种方法；甲不在最右边时，因为甲也不在最左边，所以可从余下的5个位置中任选1个，有C51种，而乙可从除去最右边的位置后剩下的5个位置中任选1个，有C51种，其余人全排列，有A55种不同排法，共有A66＋C51C51A55＝3 720（种）.解法二7人全排列，有A77种方法，其中甲在最左边时，有A66种方法，乙在最右边时，有A66种方法，其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形（A55种方法），故共有A77－2A66+A55＝3 720（种）.（6）7人全排列，有A77种方法，由于甲、乙、丙的顺序一定，则不同的排列方法总数为A77A33=840.方法技巧求解排列问题的常用方法直接法把符合条件的排列数直接列式计算.优先法优先安排特殊元素或特殊位置.捆绑法相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列，同时注意捆绑元素的内部排列.插空法不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素的排列空位中.定序问题除法处理定序问题，可先不考虑顺序限制进行排列，再除以定序元素的全排列.间接法正难则反，等价转化处理.训练1 （1）[2022新高考卷Ⅱ]甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有（B）A.12种B.24种C.36种D.48种解析先将丙和丁捆在一起，有A22种排列方式，然后将其与乙、戊排列，有A33种排列方式，最后将甲插入中间两空，有2种排列方式，所以不同的排列方式共有2A22A33＝24（种），故选B.（2）[2023济南市统考]由3个2，1个0，2个3组成的六位数中，满足有相邻4位恰好是2 023的六位数的个数为（B）A.3B.6C.9D.24解析 2 023用了2个2，1个0，1个3，还余下1个2，1个3，故将2 023视作一个整体与余下的1个2，1个3全排列，有A33＝6（种）不同的排法.故选B.命题点2组合问题例2 （1）[多选]从6名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛，则下列说法正确的有（CD）A.若4人全部为男生，则有30种不同的选法B.若4人中男生、女生各有2人，则有30种不同的选法C.若男生中的甲和女生中的乙被选，则有28种不同的选法D.若男生中的甲和女生中的乙至少有1人被选，则有140种不同的选法解析4人全部为男生，选法有C64＝15（种），故A错误；如果4人中男生、女生各有2人，男生的选法有C62＝15（种），女生的选法有C42＝6（种），则4人中男生、女生各有2人的选法有15×6＝90（种），B错误；如果男生中的甲和女生中的乙被选，在剩下的8人中再选2人即可，有C82＝28（种）不同的选法，故C正确；在10人中任选4人，有C104＝210（种）不同的选法，甲、乙都不在其中的选法有C84＝70（种），故男生中的甲和女生中的乙至少要有1人被选的选法有210－70＝140（种），故D正确.（2）[2023新高考卷Ⅰ]某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有64种（用数字作答）.解析解法一由题意，可分三类：第一类，体育类选修课和艺术类选修课各选修1门，有C41C41种方案；第二类，在体育类选修课中选修1门，在艺术类选修课中选修2门，有C41C42种方案；第三类，在体育类选修课中选修2门，在艺术类选修课中选修1门，有C42C41种方案.综上，不同的选课方案共有C41C41＋C41C42＋C42C41＝64（种）.解法二若学生从这8门课中选修2门课，则有C82－C42－C42＝16（种）选课方案；若学生从这8门课中选修3门课，则有C83－C43－C43＝48（种）选课方案.综上，不同的选课方案共有16＋48＝64（种）.方法技巧组合问题常见的两类题型（1）“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由剩下的元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取.（2）“至少”与“最多”的问题：解这类题的关键是理解“至少”与“最多”这两个词的含义，通常用直接法或间接法处理，分类复杂时，用间接法更容易处理.训练2 （1）[2023福州5月质检]“赛龙舟”是端午节重要的民俗活动之一，龙舟比赛的划手分划左桨和划右桨.某训练小组有6名划手，其中有2名只会划左桨，2名只会划右桨，2名既会划左桨又会划右桨.现从这6名划手中选派4名参加比赛，其中2名划左桨，2名划右桨，则不同的选派方法共有（C）A.15种B.18种C.19种D.36种解析按照从全能者（既会划左桨又会划右桨）中选多少人参与划左桨分类：①2名全能者中选2人划左桨，有C22C22＝1（种）不同的选派方法；②2名全能者中选1人划左桨，有C21C21C32＝12（种）不同的选派方法；③2名全能者中选0人划左桨，有C22C42＝6（种）不同的选派方法.所以共有1＋12＋6＝19（种）不同的选派方法.故选C.（2）[2023南京市、盐城市二模]编号为1，2，3，4的四位同学，就座于编号为1，2，3，4的四个座位上，每个座位恰好坐一位同学，则恰有两位同学的编号和座位编号一致的坐法种数为6.解析先选择两位同学坐对编号，有C42种方法，余下的两位同学只能交叉坐，只有1种方法，故共有C42×1＝6（种）不同坐法.命题点3排列与组合的综合应用角度1有限制条件的排列、组合问题例3 （1）[2023沈阳市质监]甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照，要求甲必须站在最中间两个位置之一，且乙、丙2人相邻，则不同的排队方法共有（C）A.24种B.36种C.72种D.96种解析如图所示，当甲在3的位置时，乙、丙可能排在（1，2），（4，5），（5，6），先从这三种中选出一种安排乙、丙，然后在剩下的3个位置安排余下的3人，所以不同的排队方法有C31A22A33＝36（种）；当甲在4的位置时，由对称性可知不同的排队方法也有36种.所以不同的排队方法共有36×2＝72（种），故选C.123456（2）[2023重庆市名校联考]某校从8名教师中选派4名教师去4个偏远地区支教，每地1人，其中甲和乙不能同去，甲与丙同去或者同不去，则不同的选派方案的种数是600.（用数字作答）解析分为两步，第一步，先选4名教师，第一步又分两类，第一类，甲去，则丙一定去，乙一定不去，有C52＝10（种）不同的选法；第二类，甲不去，则丙一定不去，乙可能去也可能不去，有C64＝15（种）不同的选法.所以选4名教师，不同的选法有10＋15＝25（种）.第二步，4名教师去4个偏远地区支教，有A44＝24（种）分配方法.所以不同的选派方案的种数是25×24＝600.方法技巧有限制条件的排列、组合问题的解题策略（1）先分析每个限制条件，然后考虑是分类还是分步，对于分类过多的问题可以采用间接法；（2）采用特殊元素（位置）优先原则，即先满足有限制条件的元素（位置），再考虑其他元素（位置）.角度2 分组、分配问题例4 （1）有5个大学保送名额，计划分到3个班级，每班至少一个名额，有 6 种不同的分法.解析一共有5个保送名额，分到3个班级，每个班级至少1个名额，即将名额分成3份，每份至少1个，（定份数）将5个名额排成一列，中间有4个空，（定空位）即只需在中间4个空中插入2个隔板，不同的方法共有C 42＝6（种）.（插隔板）（2）若将6名教师分到3所中学任教，其中一所1名，一所2名，一所3名，则有 360 种不同的分法.解析先将6名教师分组，共有C 61C 52C 33＝60（种）分法.再将这3组教师分配到3所中学，有A 33＝6（种）分法.故不同的分法共有60×6＝360（种）.（3）将6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少1本的不同分法共有 1 560 种.（用数字作答）解析把6本不同的书分成4组，故有“3，1，1，1”和“2，2，1，1”两种不同的分组方法.若按“3，1，1，1”的分组方法，则不同的分法共有C 63C 31C 21C 11A 33＝20（种）.（有三组元素个数相同，因与顺序无关，故需除去重复情况）若按“2，2，1，1”的分组方法，则不同的分法共有C 62C 42A 22·C 21C 11A 22＝45（种）.（四组元素中，分别有两组元素个数相同，分别为“2，2”和“1，1”，因与顺序无关，故需除去重复情况）所以不同的分组方法共有20＋45＝65（种）.然后把分好的4组书分给4个人，分法共有A 44＝24（种），所以不同的分法共有65×24＝1 560（种）.方法技巧分组、分配问题的解题思路是先分组后分配.1.常见的分组整体均匀分组分组后一定要除以A n n （n 为均分的组数），避免重复计数.部分均匀分组若有m 组元素个数相等，则分组时应除以m ！.不等分组分组时任何组中元素的个数都不相等.注意关于分组问题，应注意无论分成几组，只要其中某些组中的元素个数相等，就存在均分现象.2.常见的分配（1）相同元素的分配问题，常用“隔板法”求解.（2）不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组，后分配.（3）有限制条件的分配问题，采用分类讨论法或间接法求解.训练3 （1）[多选/2023重庆八中模拟]将甲、乙、丙、丁4名志愿者分别安排到A ，B ，C 3个社区进行暑期社会实践活动，要求每个社区至少安排1名志愿者，每名志愿者只能被安排到1个社区，则下列选项正确的是（ BD ）A.共有72种安排方法B.若甲、乙被安排在同一个社区，则有6种安排方法C.若A 社区需要2名志愿者，则有24种安排方法D.若甲被安排在A 社区，则有12种安排方法解析对于A 选项，将4名志愿者先分为3组，再分配到3个社区，所以安排方法种数为C 42C 21C 11A 22×A 33＝36，所以A 选项不正确.对于B 选项，甲、乙被安排在同一个社区，先从3个社区中选1个安排甲与乙，再把剩余2个社区进行全排列，所以安排方法种数为C 31A 22＝6，所以B 选项正确.对于C 选项，A 社区需要2名志愿者，所以先从4名志愿者中选择2名安排到A 社区，再把剩余2名志愿者进行全排列，所以安排方法种数为C 42A 22＝12，C 选项不正确.对于D 选项，甲被安排在A 社区，分为两种情况，（对甲安排在A 社区进行分类讨论，讨论A 社区是甲单独一人还是甲与另外一人）第一种为A 社区安排了2名志愿者，则从剩余3名志愿者中再选择1名，分到A 社区，然后把剩余2名志愿者进行全排列，安排方法共有C 31A 22种；第二种是A 社区只安排了甲志愿者，此时剩余3名志愿者分为2组，再分配到剩余的2个社区中，此时安排方法有C 32A 22种.（这两组是不均匀分组，故不需除以任何数）所以安排方法种数一共为C 31A 22＋C 32A 22＝12，D 选项正确.故选BD.（2）将9名大学生志愿者安排在星期五、星期六及星期日3天参加社区公益活动，每天分别安排3人，每人参加一次，则不同的安排方案共有 1 680 种.（用数字作答）解析先选出3人，有C 93种选法，再从剩下的6人中选出3人，有C 63种选法，最后剩下的3人为一组，有C 33种选法.由分步乘法计数原理以及整体均匀分组方法，可知不同的安排方案共有C 93C 63C 33A 33·A 33＝1 680（种）.四、命题点习题讲解1.[命题点1/2023大同学情调研]现有高中数学新教材必修一、二，选择性必修一、二、三，共5本书，把这5本书放在书架上排成一排，必修一、必修二不相邻的排列方法种数是（A）A.72B.144C.48D.36解析解法一先将选择性必修一、二、三这3本书排成一排，有A33＝6（种）排列方法，再将必修一、必修二这2本书插入两端或3本书间的两个空隙中，有A42＝12（种）排列方法，由分步乘法计数原理得，把这5本书放在书架上排成一排，必修一、必修二不相邻的排列方法种数是6×12＝72.解法二5本书放在书架上排成一排的排列方法共有A55种，其中必修一、必修二相邻的排列方法有A22A44种，所以把这5本书放在书架上排成一排，必修一、必修二不相邻的排列方法种数为A55－A22A44＝72.2.[命题点2/2023合肥市二检]某高中学校在新学期增设了“传统文化”“数学文化”“综合实践”“科学技术”和“劳动技术”5门校本课程.小明和小华两位同学商量每人选报2门校本课程.若小明必须选报“数学文化”课程，两位同学所选的课程至多有一门相同，则不同的选课方案有（B）A.24种B.36种C.48种D.52种解析解法一当小明和小华两位同学所选的课程恰有一门相同时，若相同的课程为“数学文化”，则不同的选课方案有C41C31＝12（种）；若相同的课程不是“数学文化”，则不同的选课方案有C41C31＝12（种）.所以小明和小华两位同学所选的课程恰有一门相同时，共有12＋12＝24（种）选课方案.当小明和小华两位同学所选的课程都不相同时，不同的选课方案有C41C32＝12（种）.所以不同的选课方案有24＋12＝36（种），故选B.解法二小明在“数学文化”课程外任选一门课程，小华任选2门课程时，不同的选课方案有C41C52＝40（种），其中小明和小华2门课程都相同时，选课方案有C41＝4（种），故两位同学所选的课程至多有一门相同时，不同的选课方案有40－4＝36（种），故选B.3.[命题点3角度1]某旅游景区有如图所示A至H共8个停车位，现有两辆不同的白色车和两辆不同的黑色车，要求相同颜色的车不停在同一行也不停在同一列，则不同的停车方法总数为（B）A B C DE F G HA.288B.336C.576D.1 680解析由题意知，每行停放一辆白色车和一辆黑色车.第一步：取一辆白色车和一辆黑色车停放到第一行，共有C21C21C42A22＝48（种）方法.第二步：把剩下的两辆车停放到第二行.若白色车与第一行的黑色车在同一列，此时黑色车有3种停放方法；若白色车与第一行的黑色车不在同一列，则白色车有2种停放方法，黑色车也有2种停放方法，所以共有2×2＝4（种）停放方法.所以把剩下的两辆车停放到第二行共有3＋4＝7（种）方法.由分步乘法计数原理可知，满足题意的停车方法总数为48×7＝336.4.[命题点3角度2/2021全国卷乙]将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（C）A.60种B.120种C.240种D.480种解析根据题设中的要求，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，可分两步进行安排：第一步，将5名志愿者分成4组，其中1组2人，其余每组1人，共有C52种分法；第二步，将分好的4组安排到4个项目中，有A44种安排方法.故满足题意的分配方案共有C52×A44＝240（种）.5.[命题点3/2023福建适应性测试]中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命做出了重要贡献，很好地展示了国家形象，增进了国际友谊，多次为祖国赢得了荣誉.现有5支救援队前往A，B，C 3个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排一支救援队，其中甲救援队只能去B，C 2个受灾点中的一个，则不同的安排方法种数是（D）A.72B.84C.88D.100解析解法一（间接法）将5支救援队分成3组，有两种分法：3∶1∶1和2∶2∶1，再×A33＝150将这3组分配到A，B，C 3个受灾点，有A33种分配方法，故共有C53A33＋C52C32C11A22（种）安排方法，其中含有甲救援队去A受灾点的情形.当甲救援队去A受灾点时，变为余下4支救援队随机去A，B，C 3个受灾点，则A受灾点可以再去0支或1支或2支救援队，B，C受灾点均至少去1支救援队，当A受灾点再去0支救援队时，余下4支救援队分成两组（3∶1或2∶2）去B，C 2个受灾点，不同的安排方法种数为C43A22＋C42；当A受灾点再去1支救援队时，余下3支救援队只能按2∶1分组去B，C 2个受灾点，不同的安排方法种数为C41C32A22；当A受灾点再去2支救援队时，余下2支救援队只能1支去B受灾点，1支去C受灾点，不同的安排方法种数为C42A22.故满足题意的不同的安排方法种数为150－（C43A22＋C42＋C41C32A22＋C42A22）＝100.故选D.解法二（直接法）将5支救援队分成3组，有两种分法：3∶1∶1和2∶2∶1，再将这3组分配到A，B，C 3个受灾点.①按3∶1∶1分组，若甲救援队单独一组，且甲救援队去B，C 2个受灾点中的一个，则有C21C43A22种不同的安排方法；若甲救援队不单独一组，则甲救援队所在的组还需2支救援队，有C42种选法，甲救援队所在的组去B，C 2个受灾点中的一个，有C21种方法，余下的2支救援队分成两组各去一个受灾点，有A22种方法，故有C42C21A22种不同的安排方法.②按2∶2∶1分组，若甲救援队单独一组，且甲去B ，C 2个受灾点中的1个，则有C 21×C 42C 22A 22×A 22种不同的安排方法；若甲救援队不单独一组，则甲救援队所在的组还需1支救援队，有C 41种选法，甲救援队所在的组去B ，C 2个受灾点中的1个，有C 21种方法，余下的3支救援队按2∶1分成两组各去一个受灾点，有C 32A 22种方法，故有C 41C 21C 32A 22种不同的安排方法.故满足题意的不同的安排方法种数为C 21C 43A 22＋C 42C 21A 22＋C 21×C 42C 22A 22×A 22＋C 41C 21C 32A 22＝16＋24＋12＋48＝100.故选D.五、习题实战演练1.[新高考卷Ⅰ]6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ C ）A.120种B.90种C.60种D.30种解析第1步，抽1名志愿者安排到甲场馆，有C 61种安排方法；第2步，从剩下的5名志愿者中抽取2名安排到乙场馆，有C 52种安排方法；第3步，将剩下的3名志愿者安排到丙场馆.由分步乘法计数原理得，不同的安排方法共有C 61C 52＝60（种），故选C.2.[2024吉林市田家炳高级中学模拟]从A ，B ，C ，D ，E 这5人中选出4人，安排在甲、乙、丙、丁4个岗位上，如果A 不能安排在甲岗位上，则不同的安排方法有（ D ）A.56种B.64种C.72种D.96种解析解法一（优先特殊元素）根据题意可知，按A 是否入选进行分类.若A 入选，则先从乙、丙、丁3个岗位上安排1个岗位给A ，有C 31＝3（种）安排方法，再给剩下3个岗位安排人，有A 43＝24（种）安排方法，共有3×24＝72（种）安排方法. 若A 不入选，则4个人4个岗位，有A 44＝24（种）安排方法.综上，共有72＋24＝96（种）安排方法.故选D.解法二（优先特殊位置）先安排去甲岗位的，A 不能去，其他4人中选1人，因而有C 41种安排方法，再选3人安排其他岗位，有A 43种安排方法，从而共有C 41A 43＝96（种）安排方法.故选D.3.[2024北京市第十二中学模拟]4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（ D ）A.10B.20C.24D.30 解析解法一不考虑限制条件，将6位同学排成一排准备照相，共有A 66种排法，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则有A 66A 44＝30（种）排法，故选D.解法二插入2位同学后变成6位同学6个位置，原4位同学占4个位置，但相对顺序没变，因而有C 64种排法，再排新插入的2位同学有A 22种排法，从而共有C 64A 22＝30（种）排法，故选D.解法三 6个位置可以先排后加入的2位同学，有A 62＝30（种）排法，剩下4个位置原4位同学按原顺序排入即可，只有1种方法，因而共有30种排法，故选D.4.[2024湖南衡阳模拟]2023年春节，在北京工作的五个家庭开车搭伴一起回老家过年，若五辆车分别为A ，B ，C ，D ，E ，五辆车随机排成一列，则A 车与B 车相邻，且A 车与C 车不相邻的排法有（ A ）A.36种B.42种C.48种D.60种解析将A 车与B 车捆在一起当成一个元素使用，有A 22种不同的捆法，将其与除C 车外的2个元素全排列，有A 33种排法，将C 车插入，不与A 车相邻，有A 31种插法，故共有A 22×A 33×A 31＝36（种）排法.故选A.5.5个小朋友站成一圈，不同的站法一共有（ D ）A.120种B.60种C.30种D.24种解析先将5个小朋友编为1～5号，然后让他们按1～5的顺序站成一圈，这样就形成了一个圆排列.分别以1，2，3，4，5号作为开头将这个圆排列打开，就可以得到5种排列：12345，23451，34512，45123，51234.这就是说，这个圆排列对应了5个排列.因此，要求圆排列数，只需要求出全排列数再除以5就可以了，即这些小朋友不同的站法一共有A 555＝A 44＝24（种），故选D.6.[多选]下列关于排列数与组合数的等式中，正确的是（ ABD ）A.（n ＋1）A n m ＝A n+1m+1B.m C n m ＝n C n －1m －1C.C n m ＝A n m n ！D.1n －m A n m+1＝A n m解析对于A ，（n ＋1）A n m ＝（n ＋1）n （n －1）…（n －m ＋1）＝A n+1m+1，故A 正确；对于B ，C n －1m －1＝（n －1)!（m －1)!(n －m)!，C n m ＝n ！m!(n －m)!＝n ·（n －1)!m ·（m －1)!(n －m)!＝n m ·（n －1)!（m －1)!(n －m)!＝n m ·C n －1m －1，所以m C n m ＝n Cn －1m －1，故B 正确；对于C ，C n m ＝A n m A m m ＝A n m m ！，故C 错误；对于D ，1n －m A n m+1＝1n －m ·n （n －1）·…·（n －m ）＝n （n －1）…（n －m ＋1）＝A n m ，故D 正确.故选ABD.7.[多选/2024湖南湘潭联考]从10名男生和8名女生中选出3人去参加创新大赛，则至少有1名女生的选法种数为（ AC ）A.C 183－C 103B.C 81C 172C.C 81C 102＋C 82C 101＋C 83D.C 102C 81＋C 101C 82解析对于A ，从18名学生中选取3人，有C 183种不同的选法，从18名学生中选取3人，选的都是男生有C 103种不同的选法，所以至少有1名女生的选法有C 183－C 103＝696（种），A正确；对于B ，C 81C 172＝1 088≠696，故B 错误；对于C ，至少有1名女生的选法有三种情况：1名女生，2名女生，3名女生，所以至少有1名女生的选法有C 81C 102＋C 82C 101＋C 83＝360＋280＋56＝696（种），C 正确；对于D ，C 102C 81＋C 101C 82＝360＋280＝640≠696，故D 错误.8.[2024上海市华东师范大学第二附属中学质检]7个志愿者的名额分给3个班，每班至少一个名额，则有 15 种不同的分配方法（用数字作答）.解析 7个志愿者的名额分配给3个班，每班至少一个名额，其实就是在7个志愿者的名额产生的6个空位中插入2个“档板”，共有C 62＝15（种）不同的分配方法.9.高考期间，为保证考生能够顺利进入某考点，交管部门将6名交警分配到该考点周边3个不同路口疏导交通，每个路口2人，则不同的分配方法共有 90 种.解析根据题意，分两步进行分析.第一步，将6名交警分成“2，2，2”的三组，有C 62C 42C 22A 33＝15（种）分组方法；第二步，将分好的三组全排列，对应3个路口，有A 33＝6（种）情况，则共有15×6＝90（种）分配方法.10.某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，工程丁必须在工程丙完成后立即进行，那么安排这6项工程的不同排法种数是 20 （用数字作答）.解析解法一（特殊元素优先法）丙、丁相邻且顺序固定，故将其视为1个元素，记为丙丁，则6项工程可视为5个元素.分成两步来完成：第一步，从5个位置中选择3个位置排列甲、乙、丙丁这3个特殊元素，又甲、乙、丙丁的相对顺序固定，故不同的排法有C 53＝10（种）；第二步，将余下的2项工程任意排列到剩下的2个空位置上，不同的排法有A 22＝2（种）.由分步乘法计数原理，可知不同排法共有10×2＝20（种）.解法二（插空法）分成两步来完成：第一步，将相对顺序固定的甲、乙、丙、丁排列好，丙、丁相邻且顺序固定，从而形成3个特殊元素（丙、丁视为1个元素），共有1种排法；第二步，将余下的2项工程逐个插入，排法共有C 41C 51＝20（种）.根据分步乘法计数原理，安排这6项工程的不同排法共有1×20＝20（种）.解法三丙、丁相邻且顺序固定，故将其视为1个元素，记为丙丁，其余4项工程各视为1个元素.对5个元素全排列，共有A 55种排法.其中，甲、乙、丙丁这3个特殊元素的位置共有A 33种不同的排法，而符合要求的甲、乙、丙丁的排法仅有1种，所以安排这6项工程的不同排法共有A 55A 33＝20（种）.。

排列组合专项讲义(知识点+例题+练习含详解)

排列组合问题专项讲义知识点+例题+练习题+详细解析基本知识框架：加法原理排列数排列数公式综合应用乘法原理组合数组合数公式一、基本概念：乘法原理：一般地，如果完成一件事情需要n 步，其中，做第一步有a 种不同的方法，做第二步有b 种不同的方法，…，做第n 步有x 种不同的方法，那么，完成这件事一共有：N ＝a ×b ×…×x种不同的方法。

加法原理：一般地，如果完成一件事有k 类方法，第一类方法中有a 种不同的做法，第二类方法中有b 种不同的做法，…，第n 类有x 种不同的做法，那么，完成这件事一共有：N ＝a ＋b ＋…＋x种不同的方法。

排列、排列数一般地，从n 个不同的元素中任意取出m(n ≥m)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的一个排列。

从n 个不同的元素中取出m(n ≥m)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的排列数。

记做mn A 。

m n A ＝n(n －1)(n －2)(n －3)…(n －m ＋1)组合、组合数一般地，从n 个不同的元素中取出m(n ≥m)个元素组成一组，不计组内各元素的次序，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的一个组合。

从n 个不同的元素中取出m(n ≥m)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同的元素中取出m 个不同元素的组合数。

记座mn C 。

m nC ＝m n m m A A ＝n(n －1)(n －2)(n －3)…(n －m ＋1)÷!m 二、常见的解题策略1、特殊元素优先排列2、合理分步与准确分类3、排列、组合混合问题先选后排4、正难则反，等价转化5、相邻问题捆绑法6、不相邻问题插空法7、定序问题除法处理8、分排问题直排处理 9、“小集团”问题先整体后局部10、构造模型 11、树形图三、排列组合例题1.有3封不同的信，投入4个邮筒，一共有多少种不同的投法？2.甲、乙两人打乒乓球，谁先连胜头两局，则谁赢.如果没有人连胜头两局，则谁先胜三局谁赢，打到决出输赢为止，问有多少种可能情况？3.在6名女同学，5名男同学中，选4名女同学，3名男同学，男女相间站成一排，问共有多少种排法？4.用0、1、2、3、4、5、6这七个数字可组成多少个比300000大的无重复数字的六位偶数？5.如下图：在摆成棋盘眼形的20个点中，选不在同一直线上的三点作出以它们为顶点的三角形，问总共能作多少个三角形？6.小文和小静两位同学帮花店扎花，要从三只篮子中各取一只花扎在一起，已知每只篮子里都有3种不同的花，问她们可以扎成多少种不同式样的花束？7.某学校组织学生开展登山活动.在山的北坡有两条路直通山项；在山的南坡也有两条路，一条直通山顶，另一条通向山腰小亭，从小亭有两条路通向山顶；山的西坡有两条路通向山间寺庙，由寺庙有两条路通向山顶.要登上山顶共有多少种不同的道路？8.从5个声母，3个韵母中每次取出3个声母2个韵母的排列方法有多少种？9.4名男生5名女生站成一排，如果男生不分开，女生也不分开，有多少种不同的站法？10.五对孪生兄妹排成一排，每对兄妹不能分开，共有多少种排法？11.7人站成一排，其中4名男生，3名女生；如果限定女生不站两头，且女生站在一起，一共有多少种不同的站法？四、应用排列组合解决计数问题1、在一个半圆周上共有12个点，如右图，以这些点为顶点，可以画出多少个三角形？方法一解：三个顶点都在半圆弧上的三角形有37C ＝35（个）两个顶点在半圆弧上，一个顶点在线段上的三角形有27C ×15C ＝105（个）一个顶点在半圆弧上，两个顶点在线段上的三角形有17C ×25C ＝70（个）由加法原理得：35＋105＋70＝210（个）答：略方法二（排除法）解：312C －35C ＝220－10＝210（个）答：略2、如下图，问：①右图中，共有多少条线段？ A B C D E F G②下右图中，共有多少个角？解：①图中任何两点都可以得到一条线段，这是一个组合问题，图中共有7点，所以：27C ＝21共有21条线段。

排列组合的讲义

万华：公考传奇缔造者！万华：公考培训黄埔军校！排列组合的讲义一、排列组合定义1、什么是C公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列（即不排序）。

例如：编号1～3的盒子，我们找出2个来使用，这里就是运用组合而不是排列，因为题目只是要求找出2个盒子的组合。

即C（3，2）＝32、什么是P或A公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列(即排序)。

例如：1～3，我们取出2个数字出来组成2位数，可以是先取C（3，2）后排P22，就构成了C（3，2）×P（2，2）＝A（3，2）3、A和C的关系事实上通过我们上面2个对定义的分析，我们可以看出的是，A比C多了一个排序步骤，即组合是排列的一部分且是第一步骤。

4、计算方式以及技巧要求组合：C（M，N）＝M！÷（N！×（M－N）！）条件：N<=M排列：A（M，N）＝M！÷（M－N）！条件：N<=M为了在做排列组合的过程中能够对速度有必要的要求，我需要大家能够熟练的掌握1～7的阶乘，当然在运算的过程中，我们要学会从逆向思维角度考虑问题，例如C（M，N）当中N取值过大，那么我们可以看M－N的值是否也很大。

如果不大。

我们可以求C（M，[M－N]），因为C（M，N）＝C（M，[M－N]）二、排列组合常见的恒等公式1、C（n，0）＋C（n，1）＋C（n，2）＋……＋C（n，n）＝2^n2、C（m，n）＋C（m，n＋1）＝C（m＋1，n＋1）针对这2组公式我来举例运用(1)有10块糖，假设每天至少吃1块，问有多少种不同的吃法？解答：C（9，0）＋C（9，1）＋……＋C（9，9）＝2^9=512(2)，公司将14副字画平均分给甲乙筛选出参加展览的字画，按照要求，甲比乙多选1副，且已知甲按照要求任意挑选的方法与乙任意挑选的方法之和为70，求，甲挑选了多少副参加展览？C（8，n）＝70 n＝4 即得到甲选出了4副。

万华：公考传奇缔造者！万华：公考培训黄埔军校！三、排列组合的基本理论精要部分（分类和分步）(1)、加法原理（实质上就是一种分类原则）：一个物件，它是由若干个小块组成的，我们要知道这个物件有多重，实际上可以分来算，比如，我们知道每一个小块的重量，然后计算总和就等于这个物件的重量了，这就是我们要谈的分类原则。

排列组合讲义

排列组合讲义(总7页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--排列组合方法篇一、两个原理及区别二、排列数公式三、组合数公式四、排列数与组合数的关系五、二项式定理公式：六、排列组合应用!n n ++⋅=m n +- )1(n m ++ n m ⨯⨯ =r 002412n n n nC C C -+=+++=.解决排列组合一般思路1.审题要清常见题型归类及决策：一.特殊元素和特殊位置优先策略1、由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 位置分析法和元素分析法2、有7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法二.相邻元素捆绑策略1. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.2.某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为。

三.不相邻问题插空策略1.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种2.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为四.定序问题倍缩空位插入策略4431. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法2. 10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法五.重排问题求幂策略1.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法2.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为3、某8层大楼一楼电梯上来8名乘客,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法六.环排问题线排策略1. 8人围桌而坐,共有多少种坐法A B C D E AE H G F2. 6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈七.多排问题直排策略1. 8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法后排八.排列组合混合问题先选后排策略允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数一般地,n 个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n 个不同元素中取出m 个元素作圆形排一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再1.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.2.一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务, 每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有种九.小集团问题先整体后局部策略1.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹在1,５两个奇数之间,这样的五位数有多少个2.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为3. 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有种十.元素相同问题隔板策略1.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案一班二班三班四班六班七班2. 10个相同的球装5个盒中,每盒至少1个，有多少装法3. 100x y z w +++=求这个方程组的自然数解的组数十一.正难则反总体淘汰策略1.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和偶数,不同的取法有多少种2.我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种十二.平均分组问题除法策略解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进将n 个相同的元素分成m 份（n ，m 为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n 个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为11m n C -- 有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再1. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法2、将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法3、 10名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人,但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的分组方法3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为______ 十三. 合理分类与分步策略1.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2 人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法2.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有3. 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人, 2号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船, 这3人共有多少乘船方法.十四.构造模型策略1. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种2.某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种十五.实际操作穷举策略1.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法3号盒 4号盒 5号盒平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以n n A (n 为均分的组数)避免重复计数。

排列组合公式讲义(学生版)

一、排列组合公式（四下）第3讲排列组合公式四年级春季知识点一、熟练掌握排列的定义和公式．二、熟练掌握组合的定义和公式．三、能够用排列组合解决简单的问题．四、初步区分排列和组合．一、排列、组合计算1、计算：（1）25A =_______；（2）37A =______；（3）4266A A -=_______．2、计算：（1）24A ；（2）410A ；（3）42663A A -⨯．3、0121112C +C __________.=4、计算：（1）35C ；（2）3210102C C -⨯；（3）45C ，15C ；（4）710C ，310C ．5、计算：（1）01233333C C C C +++；（2）0123444444C C C C C ++++；（3）012345555555C C C C C C +++++；课堂例题方法精讲（4）0121010101010C C C C ++++；（5）012345111111111111C C C C C C +++++．二、排列问题6、小高、墨莫、卡莉娅和宣萱四个人到野外郊游，其中三个人站成一排，另外一个人拍照，请问：一共会有多少张不同的照片？7、甲、乙、丙、丁、戊5人一起出去游玩，在某一风景点排成一排合照.如果甲站在最右边，那最多可以照____________张不同的照片．8、有8个选手，要在8个人中选出冠军、亚军和季军，有_____________种可能．9、从1~5这5个数字中选出4个数字（不能重复）组成四位数，共能组成多少个不同的四位数？千位是1的四位数有多少个？其中比3000小的有多少个？三、组合问题10、从100个人中选出99人有___________种不同的选法．11、有9种不同颜色的吊坠，文雯想买2个不同颜色的吊坠，请问有______________种不同的买法．12、墨爷爷把10张不同的游戏卡分给墨莫和小高，并且决定给墨莫7张，给小高3张，一共有多少种不同的分法？13、在一个圆周上有8个点，那么以这些点为顶点或端点，一共可以画出多少条线段？多少个三角形？多少个四边形？多少个角？14、有3个人去图书馆借漫画书，发现书架上只剩下8本不同的书．于是有1个人借了2本书，另外2个人每人借了3本书，那么他们一共有多少种不同的借法？四、综合题目15、各位数字互不相同，且不包含0的三位数共有多少个？（2）各位数字互不相同，且不包含0的四位数共有多少个？（3）千位数字是1，且各位数字互不相同，不包含0的四位数共有多少个？（4）各位数字互不相同，不包含0，且比3000小的四位数有多少个？（5）各位数字互不相同，不包含0，且比4999大的四位数有多少个？16、“上升数”是指这个数中每个数字都比其左边的数字大的多位数（如1234，3468，4679）．“下降数”是指这个数中每个数字都比其左边的数字小的多位数（如5432，9531，7432）．“V型数”是指三位数．．．中，从左往右看数字先下降后上升的数（如546，308，212），问：（1）“上升数”中，四位数共有多少个？（2）“下降数”中，五位数共有多少个？1、如图所示，有5面不同颜色的小旗，任取3面排成一行表示一种信号，用这5面小旗一共可以表示出多少种不同的信号？2、计算：（1）37A ；（2）3255A A -．3、有5面不同颜色的小旗，任取3面排成一行表示一种信号，一共可以表示出多少种不同的信号？4、计算：（1）38C ；（2）32752C C ⨯-；（3）810C ．红黄绿蓝白随堂练习5、阿呆和阿瓜一起去图书馆借童话小说，发现书架上只剩下6本不同的书，于是每人借了3本，那么他们一共有多少种不同的借法？1、计算：（1）34A =________；（2）3255A A -=________．2、计算：（1）38C =________；（2）32752C C ⨯-=________；（3）211C =________．3、五个同学排成一排照相，有________种不同的照法．4、老师从五个校级优秀学生中选出两个评选市级优秀学生，老师有_______种不同的选法．课后作业5、要从海淀区少年游泳队的10名队员中挑选4名参加全国的游泳比赛，有________种不同的选法．6、10位小朋友上场做游戏，争抢4个不同的橡胶球．最后有4个人各抢到一个球，那么共有________种可能的争抢结果．7、在平面上有10个点，以这些点为端点，一共可以连出________条线段．8、海军舰艇之间经常用旗语来互相联络，方式是这样的：在旗杆上从上至下升起3面颜色不同的旗帜，每一种排列方式就代表一个常用信号，如果共有6种不同颜色的旗帜，那么可以组成多少种不同的信号？9、从3、4、5、6、7这5个数字中选出3个数字（不能重复）组成三位数，共能组成多少个不同的三位数？其中比635小的有多少个？10、（思考题）有五张互不相同的扑克牌，现从中随意抽取若干张（既可以都拿也可以都不拿），有多少种不同的抽取方法？。

排列组合整理讲义

排列组合问题一、知识点：分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，……，在第n类办法中有种不同的方法那么完成这件事共有种不同的方法分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，……，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事有种不同的方法二、解题思路：解排列组合问题，首先要弄清一件事是“分类”还是“分步”完成，对于元素之间的关系，还要考虑“是有序”的还是“无序的”，也就是会正确使用分类计数原理和分步计数原理、排列定义和组合定义，其次，对一些复杂的带有附加条件的问题，需掌握以下几种常用的解题方法：特殊优先法对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题，我们可以从这些特殊的东西入手，先解决特殊元素或特殊位置，再去解决其它元素或位置，这种解法叫做特殊优先法.例如：用0、1、2、3、4这5个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有________个.（答案：30个）解答：当末尾是0、2、4时，这个三位数是偶数。

——————当末尾是0时，一共有4×3=12种方法。

当末尾是2或4时，一共有2×3×3=18种方法。

所以一共有12+18=30种方法。

科学分类法对于较复杂的排列组合问题，由于情况繁多，因此要对各种不同情况，进行科学分类，以便有条不紊地进行解答，避免重复或遗漏现象发生例如：从6台原装计算机和5台组装计算机中任取5台，其中至少有原装与组装计算机各两台，则不同的选取法有_______种.（答案：350）解答：C(6,2)×C(5,3)+C(6,3)×C(5,2)=350种插空法解决一些不相邻问题时，可以先排一些元素然后插入其余元素，使问题得以解决例如：7人站成一行，如果甲乙两人不相邻，则不同排法种数是______.(答案:3600)解答：分步计算：第一步：先排其它5人，一共有A(5,5)=120种方法，第二步：5个人一共有6个空隙，从这6个空隙中任选2个进行排列，一共有A(6,2)=30种方法。

排列组合专题讲义

例 9、 4 名学生分 6 本相同的书，每人至少 1 本，有多少种不同分法？
变式一有 10 个三好学生名额，分配到 6 个班，每班至少 1 个名额，共有多少种不同的分配方案？
变式二 20 个相同的球分给 3 个人，允许有人可以不取，但必须分完，有多少种分法？
6
思维的发掘
能力的飞跃
高中数学讲义
十分组分配问题
课后作业
1、7 名师生站成一排照相留念，其中老师 1 人，男生 4 人，女生 2 人，在下列情况下，各有不同站法多少种？（1）两名女生必须相邻而站；（2）4 名男生互不相邻；（3）若 4 名男生身高都不等，按从高到低的顺序站；（4）老师不站中间，女生不站两端. 2、2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排，若男生甲不站两端，3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是___。
6 、上午 4 节课，一个教师要上 3 个班级的课，每个班 1 节课，都安排在上午，若不能 3 节连上，这个教师的课有_ __种不同的排法．
7、从 5 名学生中任选 4 名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，且每科竞赛只有 1 人参加，若甲不参加生物竞赛，则不同的选择方案共有__ _种．
8、某条道路一排共 10 盏路灯，为节约用电，晚上只打开其中的 3 盏灯．若要求任何连续三盏路灯中至少一盏是亮的且首尾两盏灯均不打开．则这样的亮灯方法有_ __种．
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高中数学讲义
变式五某校开设 A 类选修课 3 门，B 类选择课 4 门，一位同学从中共选 3 门.若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 A. 30 种 B. 35 种 C. 42 种 D. 48 种
变式六在某种信息传输过程中，用 4 个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有 0 和 1，则与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 A.10 B.11 C.12 D.15

(完整版)高中数学完整讲义——排列与组合5.排列组合问题常见模型1

高中数学讲义摆列组合问题的常有模型1知识内容1．基本计数原理⑴加法原理分数原理：做一件事，达成它有n 法，在第一法中有m1种不一样的方法，在第二法中有 m2种方法，⋯⋯，在第 n 法中有 m n种不一样的方法．那么达成件事共有N m1 m2 L m n种不一样的方法．又称加法原理．⑴乘法原理分步数原理：做一件事，达成它需要分红 n 个子步，做第一个步有 m1种不一样的方法，做第二个步有 m2种不同方法，⋯⋯，做第 n 个步有 m n种不同的方法．那么完成件事共有N m1 m2 L m n种不一样的方法．又称乘法原理．⑴加法原理与乘法原理的综合运用假如达成一件事的各样方法是互相独立的，那么计算达成这件事的方法数时，使用分类计数原理．假如达成一件事的各个步骤是互相联系的，即各个步骤都一定达成，这件事才告达成，那么计算达成这件事的方法数时，使用分步计数原理．分类计数原理、分步计数原理是推导摆列数、组合数公式的理论基础，也是求解摆列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要一定仔细学好，并正确地灵巧加以应用．2．摆列与组合⑴摆列：一般地，从n 个不一样的元素中任取m(m ≤ n) 个元素，依据必定的次序排成一列，叫做从n 个不一样元素中拿出m 个元素的一个摆列．（此中被取的对象叫做元素）摆列数：从 n 个不一样的元素中拿出m(m ≤ n) 个元素的所有摆列的个数，叫做从n个不一样元素中拿出m 个元素的摆列数，用符号 A m n表示．摆列数公式： A m n 全摆列：一般地，n的阶乘：正整数由n(n 1)(n 2) L (n m 1) ， m，n N，而且 m ≤ n ．n 个不一样元素所有拿出的一个摆列，叫做n 个不一样元素的一个全摆列．1到n的连乘积，叫作n的阶乘，用n! 表示．规定： 0! 1 ．思想的挖掘能力的飞腾1高中数学讲义⑴组合：一般地，从 n 个不一样元素中，随意拿出 m ( m≤n)个元素并成一组，叫做从n 个元素中任取m个元素的一个组合．组合数：从 n 个不一样元素中，随意拿出m (m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不一样元素中，随意拿出 m 个元素的组合数，用符号C n m表示．组合数公式： C n m n( n1)(n 2)L( n m1)n!， m, n N ，而且m≤ n ．m!m!( n m)!组合数的两个性质：性质1：C n m C n n m；性质 2：C n m1 C n m C n m 1．（规定 C n0 1 ）⑴摆列组合综合问题解摆列组合问题，第一要用好两个计数原理和摆列组合的定义，即第一弄清是分类仍是分步，是排列仍是组合，同时要掌握一些常有种类的摆列组合问题的解法：1．特别元素、特别地点优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其余元素；地点优先法：先考虑有限制条件的地点的要求，再考虑其余地点；2．分类分步法：对于较复杂的摆列组合问题，常需要分类议论或分步计算，必定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏．3．清除法，从整体中清除不切合条件的方法数，这是一种间接解题的方法．4．捆绑法：某些元素必相邻的摆列，能够先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其余元素进行摆列，而后再给那“一捆元素”内部摆列．5．插空法：某些元素不相邻的摆列，能够先排其余元素，再让不相邻的元素插空．6．插板法：n个同样元素，分红 m( m≤ n) 组，每组起码一个的分组问题——把n个元素排成一排，从 n 1个空中选 m 1 个空，各插一个隔板，有C n m11．7．分组、分派法：分组问题（分红几堆，无序）．有平分、不平分、部分平分之别．一般地均匀分红 n 堆（组），一定除以n ！，假如有m 堆（组）元素个数相等，一定除以m ！8．错位法：编号为 1 至n的n个小球放入编号为 1 到n的n个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不一样，这类摆列称为错位摆列，特别当n 2 ，3，4，5 时的错位数各为1，2，9，44．对于 5、6、7 个元素的错位摆列的计算，能够用剔除法转变为 2 个、 3 个、 4 个元素的错位摆列的问题．1．摆列与组合应用题，主要考察有附带条件的应用问题，解决此类问题往常有三种门路：⑴元素剖析法：以元素为主，应先知足特别元素的要求，再考虑其余元素；⑴地点剖析法：以地点为主考虑，即先知足特别地点的要求，再考虑其余地点；⑴间接法：先不考虑附带条件，计算出摆列或组合数，再减去不切合要求的摆列数或组合数．2思想的挖掘能力的飞腾高中数学讲义求解时应注意先把详细问题转变或归纳为摆列或组合问题；再经过剖析确立运用分类计数原理仍是分步计数原理；而后剖析题目条件，防止“选用”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答．2．详细的解题策略有：⑴对特别元素进行优先安排；⑴理解题意后进行合理和正确分类，分类后要考证能否不重不漏；⑴对于抽出部分元素进行摆列的问题一般是先选后排，以防出现重复；⑴对于元素相邻的条件，采纳捆绑法；对于元素间隔摆列的问题，采纳插空法或隔板法；⑴次序固定的问题用除法办理；分几排的问题能够转变为直排问题办理；⑴对于正面考虑太复杂的问题，能够考虑反面．⑴对于一些摆列数与组合数的问题，需要结构模型．典例剖析排队问题【例 1】三个女生和五个男生排成一排⑴ 假如女生一定全排在一同，可有多少种不一样的排法？⑵ 假如女生一定全分开，可有多少种不一样的排法？⑶ 假如两头都不可以排女生，可有多少种不一样的排法？【例 2】 6 个人站成一排：⑴此中甲、乙两人一定相邻有多少种不一样的排法？⑴此中甲、乙两人不相邻有多少种不一样的排法？⑴此中甲、乙两人不站排头和排尾有多少种不一样的排法？⑴此中甲不站排头，且乙不站排尾有多少种不一样的排法？思想的挖掘能力的飞腾3高中数学讲义【例 3】 7 名同学排队照相．⑴若分红两排照，前排 3 人，后排 4 人，有多少种不一样的排法？⑵若排成两排照，前排 3 人，后排 4 人，但此中甲一定在前排，乙一定在后排，有多少种不一样的排法？⑶ 若排成一排照，甲、乙、丙三人一定相邻，有多少种不一样的排法？⑷若排成一排照，7 人中有 4 名男生， 3 名女生，女生不可以相邻，有多少种不一样的排法？【例 4】 6 个队员排成一排，⑴共有多少种不一样的排法？⑴若甲一定站在排头，有多少种不一样的排法？⑶若甲不可以站排头，也不可以站排尾，问有多少种不一样的排法？【例 5】ABCDE 五个字母排成一排，若 ABC 的地点关系一定按 A 在前、 B 居中、 C 在后的原则，共有 _______种排法（用数字作答）．【例 6】用 1 到 8 构成没有重复数字的八位数，要求 1 与 2 相邻， 3 与 4 相邻，5 与6 相邻，而7 与8 不相邻，这样的八位数共有___个（用数字作答）．4思想的挖掘能力的飞腾高中数学讲义【例 7】记者要为5名志愿者和他们帮助的2 位老人拍照，要求排成一排， 2 位老人相邻但不排在两头，不一样的排法共有（）A ．1440 种B． 960种C． 720种D． 480 种【例 8】12 名同学合影，站成前排 4 人后排 8 人，现拍照师要从后排 8人中抽 2 人调整到前排，若其余人的相对次序不变，则不一样调整方法的总数是（）22B．2622D．22A ．C C C A CA A A【例 9】记者要为5名志愿者和他们帮助的 2 位老人拍照，要求排成一排， 2 位老人相邻但不排在两头，不一样的排法共有（）A ． 1440 种B ．960 种C．720 种 D ．480 种【例 10】在数字 1，2 ，3与符号，五个元素的所有全摆列中，随意两个数字都不相邻的全摆列个数是（）A ．6B．12C．18D．24【例 11】计划展出 10 幅不一样的画，此中 1 幅水彩、 4 幅油画、 5 幅国画，排成一列陈设，要求同一品种的画一定连在一同，而且水彩画不放在两头，那么不一样的陈设方式有_____种．思想的挖掘能力的飞腾5高中数学讲义【例 12】 6 人站一排，甲不站在排头，乙不站在排尾，共有_________种不一样的排法（用数字作答）．【例 13】一条长椅上有7 个座位， 4 人坐，要求 3 个空位中，有 2 个空位相邻，另一个空位与 2 个相邻位不相邻，共有几种坐法？【例 14】3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两头， 3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不一样排法的种数是（）A． 360B． 288C． 216D． 96【例 15】古代“五行”学说以为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”将五种不一样属性的物质随意排成一列，但摆列中属性相克的两种物质不相邻，则这样的摆列方法有种（结果用数值表示）．【例 16】在1，2，3，4，5，6，7的任一摆列a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7中，使相邻两数都互质的摆列方式共有（）种．A． 288B． 576C． 864D． 11526思想的挖掘能力的飞腾高中数学讲义【例 17】从会合P ，Q ，R ，S 与 0 ，1，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 ，9 中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不可以重复）．每排中字母 Q和数字0至多只好出现一个的不一样排法种数是_________．（用数字作答）【例 18】从会合{O，P，Q，R，S}与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不可以重复）．每排中字母 O，Q 和数字 0 至多只好出现一个的不一样排法种数是_________．（用数字作答）【例 19】6个人坐在一排10个座位上，问⑴空位不相邻的坐法有多少种?⑵ 4 个空位只有 3 个相邻的坐法有多少种?⑶ 4 个空位至多有 2 个相邻的坐法有多少种?【例 20】3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两头， 3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不一样排法的种数是（）A ． 360B． 288C． 216D． 96思想的挖掘能力的飞腾7高中数学讲义【例 21】12名同学合影，站成了前排 4 人后排 8 人，现拍照师要从后排8 人中抽 2 人调整到前排，其余人的相对次序不变，则不一样调整的方法的总数有（）2 A 2B．2A6C．2A2D．22A ．C C C C A【例 22】两部不一样的长篇小说各由第一、二、三、四卷构成，每卷1本，共 8 本．将它们随意地排成一排，左侧 4 本恰巧都属于同一部小说的概率是_______．【例 23】2007年12月中旬，我国南方一些地域遭受历史稀有的雪灾，电煤库存吃紧．为了增援南方地域抗灾救灾，国家一致部署，加紧从北方采煤区调运电煤．某铁路货运站对 6 列电煤货运列车进行编组调动，决定将这 6 列列车编成两组，每组3列，且甲与乙两列列车不在同一小组．假如甲所在小组 3 列列车先开出，那么这 6 列列车先后不一样的发车次序共有（）A． 36种B．108种C． 216种D． 432种数字问题【例 24】给定数字0、1、2、3、5、9，每个数字最多用一次，⑴可能构成多少个四位数？⑴可能构成多少个四位奇数？⑴可能构成多少个四位偶数？⑴可能构成多少个自然数？【例 25】用 0 到 9 这 10 个数字，可构成多少个没有重复数字的四位偶数？8思想的挖掘能力的飞腾高中数学讲义【例 26】在1，3，5，7，9中任取3个数字，在0，2，4， 6，8 中任取两个数字，可构成多少个不一样的五位偶数．【例 27】用1，2，3，4，5排成一个数字不重复的五位数 a1，a2，a3，a4，a5，满足a1 a2，a2 a3，a3 a4，a4 a5的五位数有多少个？【例 28】用0，1，2，L，9这十个数字构成无重复数字的四位数，若千位数字与个位数字之差的绝对值是2，则这样的四位数共有多少个？【例 29】用数字0，1，2，3，4，5，6构成没有重复数字的四位数，此中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有______个（用数学作答）．【例 30】有4张分别标有数字1，2，3 ，4 的红色卡片和 4 张分别标有数字1，2，3，4 的蓝色卡片，从这8思想的挖掘能力的飞腾9张卡片中拿出 4 张卡片排成一行．假如拿出的 4 张卡片所标数字之和等于10 ，则不一样的排法数一共有种．432；【例 31】有8张卡片分别标有数字1， 2 ， 3， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8，从中拿出 6 张卡片排成 3行 2列，要求 3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为 5 ，则不一样的排法共有（）．．A ．1344种B ．1248种C．1056种D．960种【例 32】有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4 张分别标有数字 1，2 ，3，4的蓝色卡片，从这 8张卡片中拿出 4 张卡片排成一行．假如拿出的 4 张卡片所标数字之和等于10 ，则不一样的排法共有 ____种（用数字作答）．【例 33】用 1， 2， 3， 4， 5， 6 构成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不一样，且 1 和 2 相邻，这样的六位数的个数是__________ （用数字作答）．【例 34】用数字1,2,3,4,5能够构成没有重复数字，而且比20000大的五位偶数共有（）A．48个B．36个C．24个D．18个【例 35】从1，2，3，8，9，10这6个数中，拿出两个，使其和为偶数，则共可获得个这样的不一样偶数？10思想的挖掘能力的飞腾【例 36】求无重复数字的六位数中，能被 3 整除的数有 ______个．【例 37】用数字0，1，2，3，4，5，6构成没有重复数字的四位数，此中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有个（用数学作答）．【例 38】从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，构成没有重复数字的四位数的个数为（）A．300B． 216C．180D． 162【例 39】从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，构成没有重复数字的四位数的个数为（）A．300B． 216C．180D．162【例 40】从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问：⑴能构成多少个没有重复数字的七位数？此中随意两偶数都不相邻的七位数有几个？⑴上述七位数中三个偶数排在一同的有几个？⑴⑴中的七位数中，偶数排在一同、奇数也排在一同的有几个？思想的挖掘能力的飞腾11⑷ ⑴此中随意两偶数都不相邻的七位数有几个？【例 41】用0到9这九个数字．可构成多少个没有重复数字的四位偶数？【例 42】有4张分别标有数字1，2，3，4 的红色卡片和 4 张分别标有数字1，2 ，3，4 的蓝色卡片，从这8张卡片中拿出 4 张卡片排成一行．假如拿出的 4 张卡片所标数字之和等于10 ，则不一样的排法共有 ______种（用数字作答）．【例 43】在由数字1，2，3，4，5构成的所有没有重复数字的5 位数中，大于23145且小于 43521的数共有（）个A． 56个B． 57个C． 58个D． 60个【例 44】由0，1，2，3，4这五个数字构成的无重复数字的四位偶数，按从小到大的次序排成一个数列 a n，则 a19_____．A ． 2014B ． 2034C． 1432D． 143012思想的挖掘能力的飞腾【例 45】从数字0、 1、 3、 5、 7 中拿出不一样的三个作系数，可构成多少个不一样的一元二次方程ax2bx c0 ，此中有实数根的有几个？【例 46】从 3 ， 2 ， 1，0 ，1，2 ，3 ，4 中任选三个不一样元素作为二次函数y ax2bx c 的系数，问能构成多少条图像为经过原点且极点在第一象限或第三象限的抛物线?思想的挖掘能力的飞腾13。

排列组合综合复习课件

排列公式
$A_n^m = n(n-1)(n-2)...(nm+1)$，其中$A_n^m$表示从n 个元素中取出m个元素的排列数。
组合定义及公式
组合定义
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，并成一组，叫做从n个元素中取出m个元素的一个组合。
组合公式
$C_n^m = frac{n!}{m!(n-m)!}$，其中$C_n^m$表示从n个元素中取出m 个元素的组合数，$n!$表示n的阶乘。
基础练习题
题目1
从5个不同的红球和3个不同的白球中任取3个，求取出的3 个球中至少有1个白球的概率。
题目2
有5本不同的书，要分给4个学生，每人至少分到1本，则不同的分法种数为多少？
题目3
用0,1,2,3,4五个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？
提高练习题
题目1
有10个表面涂满红漆的正方体，其棱长分别为2,4,6,...,18,20。若把这些正方体锯成棱长为1的小正方体，则在这些小正方体中，共有一面至少被锯成两部分的小正方体多少个？
04
排列组合在概率统计中应用
古典概型中计数原理应用
1 2
古典概型定义
每个样本点等可能出现，且样本空间有限。
计数原理
通过排列组合计算事件包含的基本事件个数。
示例
3
掷骰子、抽球等。
几何概型中计数原理应用
几何概型定义
样本空间是一个可度量的几何区域。
计数原理
通过几何度量（长度、面积、体积等）计算事件概率。
排列与组合关系
区别
排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关。
联系
排列数$A_n^m$与组合数$C_n^m$之间存在关系，即$A_n^m = C_n^m times m!$。这是因为排列数是在组合数的基础上，再对选出的元素进行全排列。

排列组合讲义(新)

排列组合方法篇一、两个原理及区别二、排列数公式三、组合数公式四、排列数与组合数的关系五、二项式定理公式：六、排列组合应用!n n ++⋅==！！(m n m n -⋅（2）m n C +m n C n m ++ n m ⨯⨯=r 002412n n n n C C C -+=+++=.解决排列组合一般思路1.审题要清2.分步还是分类3.排列还是组合常见题型归类及决策：一.特殊元素和特殊位置优先策略1、由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 位置分析法和元素分析法2、有7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略1. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.2.某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为。

三.不相邻问题插空策略1.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？2.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为四.定序问题倍缩空位插入策略1. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法2. 10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？ 443五.重排问题求幂策略1.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法2.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为3、某8层大楼一楼电梯上来8名乘客,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法六.环排问题线排策略1. 8人围桌而坐,共有多少种坐法?A B C D E AE H G F2. 6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈七.多排问题直排策略1. 8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法前排后排八.排列组合混合问题先选后排策略1.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.2.一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务, 每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有种允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为n m 种一般地,n 个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n 个不同元素中取出m 个元素作圆形排列共有1mn A n一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗?九.小集团问题先整体后局部策略1.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹在1,５两个奇数之间,这样的五位数有多少个？2.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为3. 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有种十.元素相同问题隔板策略1.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？一班二班三班四班六班七班2. 10个相同的球装5个盒中,每盒至少1个，有多少装法？3. 100x y z w +++=求这个方程组的自然数解的组数十一.正难则反总体淘汰策略1.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和偶数,不同的取法有多少种？2.我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?十二.平均分组问题除法策略1. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？2、将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法？3、 10名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人,但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的分组方法3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进行处理。

排列组合综合讲义

排列组合综合讲义1．基本计数原理 ⑴加法原理分类计数原理：做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =+++ 种不同的方法．又称加法原理．⑵乘法原理分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个子步骤，做第一个步骤有1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同方法，……，做第n 个步骤有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =⨯⨯⨯ 种不同的方法．又称乘法原理．⑶加法原理与乘法原理的综合运用如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用． 2．排列与组合 ⑴排列：一般地，从n 个不同的元素中任取()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）排列数：从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A m n 表示．排列数公式：A (1)(2)(1)m n n n n n m =---+ ，m n +∈N ，，并且m n ≤．全排列：一般地，n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列．n 的阶乘：正整数由1到n 的连乘积，叫作n 的阶乘，用!n 表示．规定：0!1=．⑵组合：一般地，从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个元素中任取m 个元素的一个组合．组合数：从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中，任意取出m 个元素的组合数，用符号C m n 表示．组合数公式：(1)(2)(1)!C !!()!m n n n n n m n m m n m ---+==- ，,m n +∈N ，并且m n ≤．组合数的两个性质：性质1：C C m n m n n -=；性质2：11C C C m m m n n n -+=+．（规定0C 1n =）⑶排列组合综合问题解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法：1．特殊元素、特殊位置优先法:元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；2．分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏．3．排除法:从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法． 4．捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列．5．插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空．6．插板法：n 个相同元素，分成()m m n ≤组，每组至少一个的分组问题——把n 个元素排成一排，从1n -个空中选1m -个空，各插一个隔板，有11m n C --．7．分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）．有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均分成n 堆（组），必须除以n ！，如果有m 堆（组）元素个数相等，必须除以m ！8．错位法：编号为1至n 的n 个小球放入编号为1到n 的n 个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当2n =，3，4，5时的错位数各为1，2，9，44．关于5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题．1．排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径：①元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； ②位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置； ③间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数．求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答．2．具体的解题策略有： ①对特殊元素进行优先安排；②理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏； ③对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复； ④对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法；⑤顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理； ⑥对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面． ⑦对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型．习题练习加法原理【例1】高二年级一班有女生18人，男生38人，从中选取一名学生作代表，参加学校组织的调查团，问选取代表的方法有几种．【例2】若a 、b 是正整数，且6≤a b ，则以()，a b 为坐标的点共有多少个？【例3】用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A ．324B ．328C ．360D ．648【例4】用数字12345，，，，组成的无重复数字的四位偶数的个数为（） A ．8 B ．24 C ．48 D ．120【例5】用012345，，，，，这6个数字，可以组成____个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数．乘法原理【例6】公园有4个门，从一个门进，一个门出，共有_____种不同的走法．【例7】将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有_______．【例8】如果在一周内（周一至周日）安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余两所学校均只参观一天，那么不同的安排方法共有种．【例9】高二年级一班有女生18人，男生38人，从中选取一名男生和一名女生作代表，参加学校组织的调查团，问选取代表的方法有几种．【例10】六名同学报名参加三项体育比赛，每人限报一项，共有多少种不同的报名结果？【例11】六名同学参加三项比赛，三个项目比赛冠军的不同结果有多少种？【例12】用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是__________（用数字作答）．【例13】从集合{12311} ，，，，中任选两个元素作为椭圆方程22221x y m n+=中的m 和n ，则能组成落在矩形区域{()|||11B x y x =<，，且||9}y <内的椭圆个数为（） A ．43 B ．72 C ．86 D ．90【例14】若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为2y x =-，值域为{19}--，的“同族函数”共有（）A ．7个B ．8个C ．9个D ．10个【例15】某银行储蓄卡的密码是一个4位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为十位和个位上的数字（如2816）的方法设计密码，当积为一位数时，十位上数字选0，并且千位、百位上都能取0．这样设计出来的密码共有（） A ．90个 B ．99个 C ．100个 D ．112个【例16】从集合{4321012345}----，，，，，，，，，中，选出5个数组成子集，使得这5个数中的任何两个数之和不等于1，则取出这样的子集的个数为（）A ．10B ．32C ．110D ．220【例17】若x 、y 是整数，且6≤x ，7≤y ，则以()，x y 为坐标的不同的点共有多少个？【例18】用0，1，2，3，4，5这6个数字：⑴可以组成______________个数字不重复的三位数．⑵可以组成______________个数字允许重复的三位数．【例19】六名同学报名参加三项体育比赛，共有多少种不同的报名结果？【例20】将3名教师分配到2所中学任教，每所中学至少一名教师，则不同的分配方案共有（）种． A ．5 B ．6 C ．7 D ．8基本计数原理的综合应用【例21】用0，3，4，5，6排成无重复字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数的个数是_________．（用数字作答）【例22】若自然数n 使得作竖式加法(1)(2)n n n ++++均不产生进位现象．则称n 为“可++不产生进位现象；23不是“可连数”，连数”．例如：32是“可连数”，因32334++产生进位现象．那么，小于1000的“可连数”的个数为（）因232425A．27B．36C．39D．48【例23】由正方体的8个顶点可确定多少个不同的平面？【例24】如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种．（以数字作答）【例25】如图，一环形花坛分成A B C D，，，四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（）A．96 B．84 C．60 D．48【例26】某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）．现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有种．（以数字作答）【例27】分母是385的最简真分数一共有多少个？并求它们的和．【例28】某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的6个点A、B、C、A1、B1、C1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有种（用数字作答）【例29】用0，1，2，3，4，5这6个数字，可以组成_______个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数．【例30】某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“0000⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯”到“9999⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯”共10000个号码．公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为（） A ．2000 B ．4096 C ．5904 D ．8320【例31】同室4人各写1张贺年卡，先集中起来，然后每人从中各拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有（）A ．6B ．9种C ．11种D ．23种【例32】某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为（） A ．504 B ．210 C ．336 D ．120【例33】某班学生参加植树节活动，苗圃中有甲、乙、丙3种不同的树苗，从中取出5棵分别种植在排成一排的5个树坑内，同种树苗不能相邻，且第一个树坑和第5个树坑只能种甲种树苗的种法共（） A ．15种 B ．12种 C ．9种 D ．6种【例34】如图所示，画中的一朵花，有五片花瓣.现有四种不同颜色的画笔可供选择，规定每片花瓣都要涂色，且只涂一种颜色.若涂完的花中颜色相同的花瓣恰有三片，则不同涂法种数为（用数字作答）.【例35】用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A ．324B ．328C ．360D ．648【例36】用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为129，，，⋅⋅⋅的9个小正方形（如图），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且“3、5、7”号数字涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有（）种．A ．72B ．108C ．144D ．192【例37】足球比赛的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，那么一个队打14场共得19分的情况有（）A ．3种B ．4种C ．5种D ．6种987654321排列数组合数的简单计算【例38】对于满足13n ≥的正整数n ，()()()56...12n n n ---=（）A ．712A n -B ．75A n -C ．85A n -D ．125A n -【例39】计算37Α=______．【例40】计算310A ，66A ；【例41】计算27C =______，57C =_______．【例42】计算310C ，68C ；【例43】计算37A ，410A ，37C ，4850C ，231919C C +．【例44】已知4321140n n +=ΑΑ，求n 的值．【例45】解不等式2886x x A A -<【例46】证明：98789878A 9A 8A A -+=．【例47】解方程322A 100A x x =．【例48】解不等式288A 6A x x -<．【例49】解方程：32111C 24C x x += 【例50】解不等式：188C 3C m m ->．【例51】设[]x 表示不超过x 的最大整数（如[2]2=，514⎡⎤=⎢⎥⎣⎦），对于给定的n *∈N ，定义[][](1)(1)C (1)(1)x nn n n x x x x x --+=--+ ，[)1x ∈+∞，，则当332x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，时，函数8C x的值域是（）A ．16,283⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．16,563⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．284,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ [)28,56D ．16284,,2833⎛⎤⎛⎤⎥⎥⎝⎦⎝⎦【例52】组合数C r n ()1n r n r >∈Z ≥，、恒等于（） A ．111C 1r n r n --++ B ．()()1111C r n n r --++ C ．11C r n nr -- D ．11C r n n r-- 【例53】已知12222C :C :C 3:5:5m m m n n n +++++=，求m 、n 的值．排列数组合数公式的应用【例54】已知32212020212221C C C C C n n n n ---+<<-，求21C n的值．【例55】若2622020C C ,()n n n ++=∈N ，则n =_______【例56】若11C C C 345m m m n n n -+=∶∶∶∶，则n m -= 【例57】证明：1C (1)C C k k k n n n n k k +=++【例58】证明：110011C C 11nn i i n n i i i n ++===++∑∑．【例59】求证：11211A A (1)A m m m n n n m -----=+- ．【例60】证明：102nk n n k kC n -==⋅∑．【例61】证明：1230123()2n n n n n n n n n n C C C nC C C C ++++=+++ ．【例62】求证：1121C C C C C n n n n n n n n n m n m ++++++++++= ；【例63】计算：239999C C +，012945613C C C C ++++【例64】证明：011220C C C C C C C C C k k k k k m n m n m n m n n m --+++++= ．（其中min{}≤，k m n ）【例65】解方程12253333C C C 4x x x x x x x --++++=++Α【例66】确定函数3A x 的单调区间．【例67】规定A (1)(1)m x x x x m =--+ ，其中x ∈R ，m 为正整数，且0A 1x =，这是排列数A m n （,n m 是正整数，且m n ≤）的一种推广． ⑴求315A -的值；⑵排列数的两个性质：①11A A m m n n n --=，②11A A A m m m n n n m -++=（其中,m n 是正整数）．是否都能推广到A m x （x ∈R ，m 是正整数）的情形?若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不能，则说明理由．排队问题【例68】三个女生和五个男生排成一排⑴ 如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？ ⑵ 如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？ ⑶ 如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？【例69】6个人站成一排： ⑴其中甲、乙两人必须相邻有多少种不同的排法？ ⑵其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？ ⑶其中甲、乙两人不站排头和排尾有多少种不同的排法？⑷其中甲不站排头，且乙不站排尾有多少种不同的排法？【例70】 7名同学排队照相．⑴ 若分成两排照，前排3人，后排4人，有多少种不同的排法？⑵ 若排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法？⑶ 若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法？⑷ 若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相邻，有多少种不同的排法？【例71】6个队员排成一排， ⑴共有多少种不同的排法？⑵若甲必须站在排头，有多少种不同的排法？⑶若甲不能站排头，也不能站排尾，问有多少种不同的排法？【例72】 ABCDE 五个字母排成一排，若ABC 的位置关系必须按A 在前、B 居中、C在后的原则，共有_______种排法（用数字作答）．【例73】用1到8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有_ __个（用数字作答）．【例74】记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（） A ．1440种 B ．960种 C ．720种 D ．480种【例75】 12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（）A ．2283C AB ．2686C AC ．2286C AD ．2285C A【例76】记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（） A ．1440种 B ．960种 C ．720种 D ．480种【例77】在数字123，，与符号+-，五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是（）A ．6B ．12C ．18D ．24【例78】计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩、4幅油画、5幅国画，排成一列陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有_____种．【例79】 6人站一排，甲不站在排头，乙不站在排尾，共有_________种不同的排法（用数字作答）．【例80】一条长椅上有7个座位，4人坐，要求3个空位中，有2个空位相邻，另一个空位与2个相邻位不相邻，共有几种坐法？【例81】3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（） A ．360 B ．288 C ．216 D ．96【例82】古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相邻，则这样的排列方法有种（结果用数值表示）．【例83】在1234567，，，，，，的任一排列1234567，，，，，，a a a a a a a 中，使相邻两数都互质的排列方式共有（）种．A ．288B ．576C ．864D ．1152【例84】从集合{}P Q R S ，，，与{}0123456789，，，，，，，，，中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）．每排中字母Q 和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是_________．（用数字作答）【例85】从集合{}O P Q R S ，，，，与{0123456789}，，，，，，，，，中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）．每排中字母O Q ，和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是_________．（用数字作答）【例86】6个人坐在一排10个座位上，问 ⑴ 空位不相邻的坐法有多少种?⑵ 4个空位只有3个相邻的坐法有多少种?⑶ 4个空位至多有2个相邻的坐法有多少种?【例87】3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）A ．360B ．288C ．216D ．96【例88】 12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整的方法的总数有（）A ．2283C AB ．2686C A C ．2286C AD ．2285C A【例89】两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是_______．【例90】2007年12月中旬，我国南方一些地区遭遇历史罕见的雪灾，电煤库存吃紧．为了支援南方地区抗灾救灾，国家统一部署，加紧从北方采煤区调运电煤．某铁路货运站对6列电煤货运列车进行编组调度，决定将这6列列车编成两组，每组3列，且甲与乙两列列车不在同一小组．如果甲所在小组3列列车先开出，那么这6列列车先后不同的发车顺序共有（）A ．36种B ．108种C ．216种D ．432种数字问题【例91】给定数字0、1、2、3、5、9，每个数字最多用一次，⑴可能组成多少个四位数？⑵可能组成多少个四位奇数？⑶可能组成多少个四位偶数？⑷可能组成多少个自然数？【例92】用0到9这10个数字，可组成多少个没有重复数字的四位偶数？【例93】在1，3，5，7，9中任取3个数字，在0，2，4，6，8中任取两个数字，可组成多少个不同的五位偶数．【例94】用12345，，，，排成一个数字不重复的五位数12345a a a a a ，，，，，满足1223344a a a a a a a a <><>，，，的五位数有多少个？【例95】用0129 ，，，，这十个数字组成无重复数字的四位数，若千位数字与个位数字之差的绝对值是2，则这样的四位数共有多少个？【例96】用数字0123456，，，，，，组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有______个（用数学作答）．【例97】有4张分别标有数字1234，，，的红色卡片和4张分别标有数字1234，，，的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法数一共有种．432；【例98】有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有．．中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有（）A ．1344种B ．1248种C ．1056种D ．960种【例99】有4张分别标有数字1234，，，的红色卡片和4张分别标有数字1234，，，的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有____种（用数字作答）．【例100】用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是__________（用数字作答）．【例101】用数字1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（）A ．48个B ．36个C ．24个D ．18个【例102】从1238910，，，，，这6个数中，取出两个，使其和为偶数，则共可得到个这样的不同偶数？【例103】求无重复数字的六位数中，能被3整除的数有______个．【例104】用数字0123456，，，，，，组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有个（用数学作答）．【例105】从012345，，，，，这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为（）A ．300B ．216C ．180D ．162【例106】从012345，，，，，这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为（）A ．300B ．216C ．180D ．162【例107】从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问：(1)、能组成多少个没有重复数字的七位数？其中任意两偶数都不相邻的七位数有几个？ ⑵、上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？(3)、⑴中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？⑷、⑴其中任意两偶数都不相邻的七位数有几个？【例108】用0到9这九个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？【例109】有4张分别标有数字1234，，，的红色卡片和4张分别标有数字1234，，，的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有______种（用数字作答）．【例110】在由数字12345，，，，组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有（）个A ．56个B ．57个C ．58个D ．60个【例111】由0，1，2，3，4这五个数字组成的无重复数字的四位偶数，按从小到大的顺序排成一个数列{}n a ，则19a =_____．A ．2014B ．2034C ．1432D ．1430【例112】从数字0、1、3、5、7中取出不同的三个作系数，可组成多少个不同的一元二次方程20ax bx c ++=，其中有实数根的有几个？【例113】从{}32101234，，，，，，，---中任选三个不同元素作为二次函数2y ax bx c =++的系数，问能组成多少条图像为经过原点且顶点在第一象限或第三象限的抛物线?分堆问题【例114】 6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？⑴ 一堆一本，一堆两本，一堆三本；⑵ 甲得一本，乙得两本，丙得三本；⑶ 一人得一本，一人得二本，一人得三本；⑷ 平均分给甲、乙、丙三人；⑸ 平均分成三堆．【例115】有6本不同的书⑴甲、乙、丙3人每人2本，有多少种不同的分法？⑵分成3堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？⑶分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？ ⑷分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少不同的分配方法？⑸分给甲1本、乙1本、丙4本，有多少种不同的分配方法？⑹分成3堆，有2堆各一本，另一堆4本，有多少种不同的分堆方法？⑺摆在3层书架上，每层2本，有多少种不同的摆法？【例116】七个人参加义务劳动，按下列方法分组有多少种不同的分法？⑴选出5个人再分成两组，一组2人，另一组3人；⑵选出6个人，分成两组，每组都是3人；⑶选出2人一组、3人一组，轮流挖土、运土．【例117】将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有种（用数字作答）．【例118】把一同排6张座位编号为123456，，，，，的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是（）A．168B．96C．72D．144【例119】现有3辆公交车、3 位司机和3位售票员，每辆车上需配1位司机和1位售票员，问车辆、司机、售票员搭配方案一共有多少种？【例120】3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有（）A．90种B．180种C．270种D．540种【例121】将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为（）A．540 B．300 C．180 D．150【例122】某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有种．（用数字作答）染色问题【例123】如图，正五边形ABCDE中，若把顶点A、B、C、D、E染上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法有（）A．30种B．27种C．24种D．21种的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，右面是一【例124】将123，，填入33种填法，则不同的填写方法共有____________．【例125】将1,2,3填入33 的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填写方法共有（）A ．6种B ．12种C ．24种D ．48种【例126】用红、黄、蓝、绿四种颜色给图中的A 、B 、C 、D 四个小方格涂色（允许只用其中几种），使邻区（有公共边的小格）不同色，则不同的涂色方式种数为（）．A ．24B ．36C ．72D ．84【例127】将2个a 和2个b 共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有__________种（用数字作答）．【例128】如图所示A 、B 、C 、D 、E 为5个区域，现备有5种颜色为5个区域涂色，涂色要求：每相邻两个区域不同色，每个区域只涂一色，共有多少种不同的涂色方法？321321321DC BA【例129】如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有种（用数字作答）．【例130】如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色．要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有种（用数字作答）．错位排列【例131】编号为1,2,3,4,5的五人入座编号也为1,2,3,4,5的五个座位，至多有2人对号的坐法有______种．【例132】 7个人到7个地方去旅游，甲不去A 地，乙不去B 地，问：共有多少种旅游方案?【例133】 7个人到7个地方去旅游，甲不去A 地，乙不去B 地，丙不去C 地，问：共有多少种旅游方案?【例134】 7个人到7个地方去旅游，甲不去A 地，乙不去B 地，丙不去C 地，丁不去D 地，问：共有多少种旅游方案?直接法（优先考虑特殊元素特殊位置，特殊元素法，特殊位置法，直接分类讨论）【例135】从5名外语系大学生中选派4名同学参加广州亚运会翻译、交通、礼仪三项义工活动，要求翻译有2人参加，交通和礼仪各有1人参加，则不同的选派方法共有．【例136】北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为A ．124414128C C CB ．124414128C A A C ．12441412833C C C A D ．12443141283C C C A 【例137】在平面直角坐标系中，x 轴正半轴上有5个点，y 轴正半轴有3个点，将xE DCB A____________________。

排列组合综合讲义

排列组合综合讲义1．基本计数原理⑴加法原理分类计数原理：做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =+++种不同的方法．又称加法原理．⑵乘法原理分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个子步骤，做第一个步骤有1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同方法，……，做第n 个步骤有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =⨯⨯⨯种不同的方法．又称乘法原理．⑶加法原理与乘法原理的综合运用如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用． 2．排列与组合 ⑴排列：一般地，从n 个不同的元素中任取()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）排列数：从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A m n 表示．排列数公式：A (1)(2)(1)m n n n n n m =---+，m n +∈N ，，并且m n ≤．全排列：一般地，n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列．n 的阶乘：正整数由1到n 的连乘积，叫作n 的阶乘，用!n 表示．规定：0!1=．⑵组合：一般地，从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个元素中任取m 个元素的一个组合．组合数：从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中，任意取出m 个元素的组合数，用符号C m n 表示．组合数公式：(1)(2)(1)!C !!()!m n n n n n m n m m n m ---+==-，,m n +∈N ，并且m n ≤．组合数的两个性质：性质1：C C m n m n n -=；性质2：11C C C m m m n n n -+=+．（规定0C 1n =）⑶排列组合综合问题解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法：1．特殊元素、特殊位置优先法:元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；2．分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏．3．排除法:从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法． 4．捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列．5．插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空．6．插板法：n 个相同元素，分成()m m n ≤组，每组至少一个的分组问题——把n 个元素排成一排，从1n -个空中选1m -个空，各插一个隔板，有11m n C --．7．分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）．有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均分成n 堆（组），必须除以n ！，如果有m 堆（组）元素个数相等，必须除以m ！8．错位法：编号为1至n 的n 个小球放入编号为1到n 的n 个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当2n =，3，4，5时的错位数各为1，2，9，44．关于5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题．1．排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径：①元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； ②位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置； ③间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数．求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答．2．具体的解题策略有： ①对特殊元素进行优先安排；②理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏； ③对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复； ④对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法；⑤顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理； ⑥对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面． ⑦对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型．习题练习加法原理【例1】高二年级一班有女生18人，男生38人，从中选取一名学生作代表，参加学校组织的调查团，问选取代表的方法有几种．【例2】若a 、b 是正整数，且6≤a b ，则以()，a b 为坐标的点共有多少个？【例3】用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A ．324B ．328C ．360D ．648【例4】用数字12345，，，，组成的无重复数字的四位偶数的个数为（） A ．8 B ．24 C ．48 D ．120【例5】用012345，，，，，这6个数字，可以组成____个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数．乘法原理【例6】公园有4个门，从一个门进，一个门出，共有_____种不同的走法．【例7】将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有_______．【例8】如果在一周内（周一至周日）安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余两所学校均只参观一天，那么不同的安排方法共有种．【例9】高二年级一班有女生18人，男生38人，从中选取一名男生和一名女生作代表，参加学校组织的调查团，问选取代表的方法有几种．【例10】六名同学报名参加三项体育比赛，每人限报一项，共有多少种不同的报名结果？【例11】六名同学参加三项比赛，三个项目比赛冠军的不同结果有多少种？【例12】用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是__________（用数字作答）．【例13】从集合{12311}，，，，中任选两个元素作为椭圆方程22221x y m n+=中的m 和n ，则能组成落在矩形区域{()|||11B x y x =<，，且||9}y <内的椭圆个数为（） A ．43 B ．72 C ．86 D ．90【例14】若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为2y x =-，值域为{19}--，的“同族函数”共有（）A ．7个B ．8个C ．9个D ．10个【例15】某银行储蓄卡的密码是一个4位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为十位和个位上的数字（如2816）的方法设计密码，当积为一位数时，十位上数字选0，并且千位、百位上都能取0．这样设计出来的密码共有（） A ．90个 B ．99个 C ．100个 D ．112个【例16】从集合{4321012345}----，，，，，，，，，中，选出5个数组成子集，使得这5个数中的任何两个数之和不等于1，则取出这样的子集的个数为（）A ．10B ．32C ．110D ．220【例17】若x 、y 是整数，且6≤x ，7≤y ，则以()，x y 为坐标的不同的点共有多少个？【例18】用0，1，2，3，4，5这6个数字：⑴可以组成______________个数字不重复的三位数．⑵可以组成______________个数字允许重复的三位数．【例19】六名同学报名参加三项体育比赛，共有多少种不同的报名结果？【例20】将3名教师分配到2所中学任教，每所中学至少一名教师，则不同的分配方案共有（）种． A ．5 B ．6 C ．7 D ．8基本计数原理的综合应用【例21】用0，3，4，5，6排成无重复字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数的个数是_________．（用数字作答）【例22】若自然数n使得作竖式加法(1)(2)++++均不产生进位现象．则称n为“可n n n连数”．例如：32是“可连数”，因323334++不产生进位现象；23不是“可连数”，因232425++产生进位现象．那么，小于1000的“可连数”的个数为（）A．27B．36C．39D．48【例23】由正方体的8个顶点可确定多少个不同的平面？【例24】如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种．（以数字作答）【例25】如图，一环形花坛分成A B C D，，，四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（）A．96 B．84 C．60 D．48【例26】某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）．现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有种．（以数字作答）【例27】分母是385的最简真分数一共有多少个？并求它们的和．【例28】某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的6个点A、B、C、A1、B1、C1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有种（用数字作答）【例29】用0，1，2，3，4，5这6个数字，可以组成_______个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数．【例30】某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“0000⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯”到“9999⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯”共10000个号码．公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为（） A ．2000 B ．4096 C ．5904 D ．8320【例31】同室4人各写1张贺年卡，先集中起来，然后每人从中各拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有（）A ．6B ．9种C ．11种D ．23种【例32】某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为（） A ．504 B ．210 C ．336 D ．120【例33】某班学生参加植树节活动，苗圃中有甲、乙、丙3种不同的树苗，从中取出5棵分别种植在排成一排的5个树坑内，同种树苗不能相邻，且第一个树坑和第5个树坑只能种甲种树苗的种法共（） A ．15种 B ．12种 C ．9种 D ．6种【例34】如图所示，画中的一朵花，有五片花瓣.现有四种不同颜色的画笔可供选择，规定每片花瓣都要涂色，且只涂一种颜色.若涂完的花中颜色相同的花瓣恰有三片，则不同涂法种数为（用数字作答）.【例35】用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A ．324B ．328C ．360D ．648【例36】用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为129，，，⋅⋅⋅的9个小正方形（如图），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且“3、5、7”号数字涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有（）种．A ．72B ．108C ．144D ．192【例37】足球比赛的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，那么一个队打14场共得19分的情况有（）987654321A ．3种B ．4种C ．5种D ．6种排列数组合数的简单计算【例38】对于满足13n ≥的正整数n ，()()()56...12n n n ---=（）A ．712A n -B ．75A n -C ．85A n -D ．125A n -【例39】计算37Α=______．【例40】计算310A ，66A ；【例41】计算27C =______，57C =_______．【例42】计算310C ，68C ；【例43】计算37A ，410A ，37C ，4850C ，231919C C +．【例44】已知4321140n n +=ΑΑ，求n 的值．【例45】解不等式2886x x A A -<【例46】证明：98789878A 9A 8A A -+=．【例47】解方程322A 100A x x =．【例48】解不等式288A 6A x x -<．【例49】解方程：32111C 24C x x += 【例50】解不等式：188C 3C m m->．【例51】设[]x 表示不超过x 的最大整数（如[2]2=，514⎡⎤=⎢⎥⎣⎦），对于给定的n *∈N ，定义[][](1)(1)C (1)(1)x nn n n x x x x x --+=--+，[)1x ∈+∞，，则当332x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，时，函数8C x的值域是（）A ．16,283⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．16,563⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．284,3⎛⎫ ⎪⎝⎭[)28,56D ．16284,,2833⎛⎤⎛⎤⎥⎥⎝⎦⎝⎦【例52】组合数C r n ()1n r n r >∈Z ≥，、恒等于（） A ．111C 1r n r n --++ B ．()()1111C r n n r --++ C ．11C r n nr -- D ．11C r n n r-- 【例53】已知12222C :C :C 3:5:5m m m n n n +++++=，求m 、n 的值．排列数组合数公式的应用【例54】已知32212020212221C C C C C n n n n ---+<<-，求21C n的值．【例55】若2622020C C ,()n n n ++=∈N ，则n =_______ 【例56】若11C C C 345m m m n n n -+=∶∶∶∶，则n m -=【例57】证明：1C (1)C C k k k n n n n k k +=++【例58】证明：110011C C 11nn i i n n i i i n ++===++∑∑．【例59】求证：11211A A (1)A m m m n n n m -----=+- ．【例60】证明：102nk n n k kC n -==⋅∑．【例61】证明：1230123()2n nn n n n n n n n C C C nC C C C ++++=+++．【例62】求证：1121C C C C C n n nn n n n n n m n m ++++++++++=；【例63】计算：239999C C +，012945613C C C C ++++【例64】证明：011220C C C C C C C C C k k k k km n m nm n m n n m --+++++=．（其中min{}≤，k m n ）【例65】解方程12253333C C C 4x x x x x x x --++++=++Α 【例66】确定函数3A x 的单调区间．【例67】规定A (1)(1)m x x x x m =--+，其中x ∈R ，m 为正整数，且0A 1x =，这是排列数A m n （,n m 是正整数，且m n ≤）的一种推广．⑴求315A -的值；⑵排列数的两个性质：①11A A m m n n n --=，②11A A A m m m n n n m -++=（其中,m n 是正整数）．是否都能推广到A m x （x ∈R ，m 是正整数）的情形?若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不能，则说明理由．排队问题【例68】三个女生和五个男生排成一排⑴ 如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？ ⑵ 如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？ ⑶ 如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？【例69】6个人站成一排： ⑴其中甲、乙两人必须相邻有多少种不同的排法？ ⑵其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？ ⑶其中甲、乙两人不站排头和排尾有多少种不同的排法？ ⑷其中甲不站排头，且乙不站排尾有多少种不同的排法？【例70】 7名同学排队照相．⑴ 若分成两排照，前排3人，后排4人，有多少种不同的排法？⑵ 若排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法？⑶ 若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法？⑷ 若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相邻，有多少种不同的排法？【例71】6个队员排成一排， ⑴共有多少种不同的排法？⑵若甲必须站在排头，有多少种不同的排法？⑶若甲不能站排头，也不能站排尾，问有多少种不同的排法？【例72】 ABCDE 五个字母排成一排，若ABC 的位置关系必须按A 在前、B 居中、C在后的原则，共有_______种排法（用数字作答）．【例73】用1到8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有_ __个（用数字作答）．【例74】记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（） A ．1440种 B ．960种 C ．720种 D ．480种【例75】 12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（）A ．2283C AB ．2686C AC ．2286C AD ．2285C A 【例76】记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（） A ．1440种 B ．960种 C ．720种 D ．480种【例77】在数字123，，与符号+-，五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是（）A ．6B ．12C ．18D ．24【例78】计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩、4幅油画、5幅国画，排成一列陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有_____种．【例79】 6人站一排，甲不站在排头，乙不站在排尾，共有_________种不同的排法（用数字作答）．【例80】一条长椅上有7个座位，4人坐，要求3个空位中，有2个空位相邻，另一个空位与2个相邻位不相邻，共有几种坐法？【例81】3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（） A ．360 B ．288 C ．216 D ．96【例82】古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相邻，则这样的排列方法有种（结果用数值表示）．【例83】在1234567，，，，，，的任一排列1234567，，，，，，a a a a a a a 中，使相邻两数都互质的排列方式共有（）种．A ．288B ．576C ．864D ．1152【例84】从集合{}P Q R S ，，，与{}0123456789，，，，，，，，，中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）．每排中字母Q 和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是_________．（用数字作答）【例85】从集合{}O P Q R S ，，，，与{0123456789}，，，，，，，，，中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）．每排中字母O Q ，和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是_________．（用数字作答）【例86】6个人坐在一排10个座位上，问 ⑴ 空位不相邻的坐法有多少种?⑵ 4个空位只有3个相邻的坐法有多少种?⑶ 4个空位至多有2个相邻的坐法有多少种?【例87】3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）A ．360B ．288C ．216D ．96【例88】 12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整的方法的总数有（）A ．2283C A B ．2686C A C ．2286C A D ．2285C A 【例89】两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是_______．【例90】2007年12月中旬，我国南方一些地区遭遇历史罕见的雪灾，电煤库存吃紧．为了支援南方地区抗灾救灾，国家统一部署，加紧从北方采煤区调运电煤．某铁路货运站对6列电煤货运列车进行编组调度，决定将这6列列车编成两组，每组3列，且甲与乙两列列车不在同一小组．如果甲所在小组3列列车先开出，那么这6列列车先后不同的发车顺序共有（）A ．36种B ．108种C ．216种D ．432种数字问题【例91】给定数字0、1、2、3、5、9，每个数字最多用一次，⑴可能组成多少个四位数？⑵可能组成多少个四位奇数？⑶可能组成多少个四位偶数？⑷可能组成多少个自然数？【例92】用0到9这10个数字，可组成多少个没有重复数字的四位偶数？【例93】在1，3，5，7，9中任取3个数字，在0，2，4，6，8中任取两个数字，可组成多少个不同的五位偶数．【例94】用12345，，，，排成一个数字不重复的五位数12345a a a a a ，，，，，满足1223344a a a a a a a a <><>，，，的五位数有多少个？【例95】用0129，，，，这十个数字组成无重复数字的四位数，若千位数字与个位数字之差的绝对值是2，则这样的四位数共有多少个？【例96】用数字0123456，，，，，，组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有______个（用数学作答）．【例97】有4张分别标有数字1234，，，的红色卡片和4张分别标有数字1234，，，的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法数一共有种．432；【例98】有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有．．中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有（）A ．1344种B ．1248种C ．1056种D ．960种【例99】有4张分别标有数字1234，，，的红色卡片和4张分别标有数字1234，，，的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有____种（用数字作答）．【例100】用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是__________（用数字作答）．【例101】用数字1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（）A ．48个B ．36个C ．24个D ．18个【例102】从1238910，，，，，这6个数中，取出两个，使其和为偶数，则共可得到个这样的不同偶数？【例103】求无重复数字的六位数中，能被3整除的数有______个．【例104】用数字0123456，，，，，，组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有个（用数学作答）．【例105】从012345，，，，，这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为（）A ．300B ．216C ．180D ．162【例106】从012345，，，，，这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为（）A ．300B ．216C ．180D ．162【例107】从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问：(1)、能组成多少个没有重复数字的七位数？其中任意两偶数都不相邻的七位数有几个？ ⑵、上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？(3)、⑴中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？⑷、⑴其中任意两偶数都不相邻的七位数有几个？【例108】用0到9这九个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？【例109】有4张分别标有数字1234，，，的红色卡片和4张分别标有数字1234，，，的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有______种（用数字作答）．【例110】在由数字12345，，，，组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有（）个A ．56个B ．57个C ．58个D ．60个【例111】由0，1，2，3，4这五个数字组成的无重复数字的四位偶数，按从小到大的顺序排成一个数列{}n a ，则19a =_____．A ．2014B ．2034C ．1432D ．1430【例112】从数字0、1、3、5、7中取出不同的三个作系数，可组成多少个不同的一元二次方程20ax bx c ++=，其中有实数根的有几个？【例113】从{}32101234，，，，，，，---中任选三个不同元素作为二次函数2y ax bx c =++的系数，问能组成多少条图像为经过原点且顶点在第一象限或第三象限的抛物线?分堆问题【例114】 6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？⑴ 一堆一本，一堆两本，一堆三本；⑵ 甲得一本，乙得两本，丙得三本；⑶ 一人得一本，一人得二本，一人得三本；⑷ 平均分给甲、乙、丙三人；⑸ 平均分成三堆．【例115】有6本不同的书⑴甲、乙、丙3人每人2本，有多少种不同的分法？⑵分成3堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？⑶分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？⑷分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少不同的分配方法？⑸分给甲1本、乙1本、丙4本，有多少种不同的分配方法？⑹分成3堆，有2堆各一本，另一堆4本，有多少种不同的分堆方法？⑺摆在3层书架上，每层2本，有多少种不同的摆法？【例116】七个人参加义务劳动，按下列方法分组有多少种不同的分法？⑴选出5个人再分成两组，一组2人，另一组3人；⑵选出6个人，分成两组，每组都是3人；⑶选出2人一组、3人一组，轮流挖土、运土．【例117】将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有种（用数字作答）．【例118】把一同排6张座位编号为123456，，，，，的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是（）A．168B．96C．72D．144【例119】现有3辆公交车、3 位司机和3位售票员，每辆车上需配1位司机和1位售票员，问车辆、司机、售票员搭配方案一共有多少种？【例120】3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有（）A．90种B．180种C．270种D．540种【例121】将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为（）A．540 B．300 C．180 D．150【例122】某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有种．（用数字作答）染色问题【例123】如图，正五边形ABCDE中，若把顶点A、B、C、D、E染上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法有（）A．30种B．27种C．24种D．21种【例124】将123，，填入33⨯的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，右面是一种填法，则不同的填写方法共有____________．【例125】将1,2,3填入33⨯的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填写方法共有（）A ．6种B ．12种C ．24种D ．48种【例126】用红、黄、蓝、绿四种颜色给图中的A 、B 、C 、D 四个小方格涂色（允许只用其中几种），使邻区（有公共边的小格）不同色，则不同的涂色方式种数为（）．A ．24B ．36C ．72D ．84【例127】将2个a 和2个b 共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有__________种（用数字作答）．【例128】如图所示A 、B 、C 、D 、E 为5个区域，现备有5种颜色为5个区域321321321DC BA涂色，涂色要求：每相邻两个区域不同色，每个区域只涂一色，共有多少种不同的涂色方法？【例129】如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有种（用数字作答）．【例130】如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色．要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有种（用数字作答）．错位排列【例131】编号为1,2,3,4,5的五人入座编号也为1,2,3,4,5的五个座位，至多有2人对号的坐法有______种．【例132】 7个人到7个地方去旅游，甲不去A 地，乙不去B 地，问：共有多少种旅游方案?【例133】 7个人到7个地方去旅游，甲不去A 地，乙不去B 地，丙不去C 地，问：共有多少种旅游方案?【例134】 7个人到7个地方去旅游，甲不去A 地，乙不去B 地，丙不去C 地，丁不去D 地，问：共有多少种旅游方案?直接法（优先考虑特殊元素特殊位置，特殊元素法，特殊位置法，直接分类讨论）【例135】从5名外语系大学生中选派4名同学参加广州亚运会翻译、交通、礼仪三项义工活动，要求翻译有2人参加，交通和礼仪各有1人参加，则不同的选派方法共有．【例136】北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排E DCB A____________________。

排列组合综合(二)讲义-2021-2022学年高二下学期数学北师大版选修2-3

排列组合综合应用（二）知识要点常用方法：1.优先排序法--特殊位置或特殊元素2.捆绑法--哥俩好(先捆再排)3.插空法--离我远点(先排再插)4.排除法--正难则反5.隔板法--相同物品放在不同位置(或分给不同的人)精讲精练【例题1】A、B、C、D、E五种不同的商品要在货架上排成一排，其中A、B两种商品必须排在一起，而C、D两种商品不能排在一起，则不同的排法共有多少种?练习1：1、排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。

(1)任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？(2)歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？2、7名同学排队照相。

(1)若分成两排照，前排3人，后排4人，有多少种不同的排法?(2)若排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法?(3)若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法?(4)若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相邻，有多少种不同的排法?【例题2】某博物馆要在10天内接待4所学校的学生参观，每天至多安排一所学校，其中一所人数较多的学校要连续参观2天，其余学校均只参观1天，则在这10天内不同的安排方法数是多少种？练习2：1、某学生制定了数学问题解决方案：星期一和星期日分别解决4个数学问题，且从星期二开始，每天所解决问题个数与前一天相比，要么“多一种”要么“持平”要么“少一种”。

在一周中每天所解决问题个数不同方案共有多少种？2、有10件不同电子产品，其中有2件产品运营不稳定。

技术人员对它们进行一一测试，直到2件不稳定产品所有找出后测试结束，则正好3次就结束测试办法种数是多少种？【例题3】如图，A、B、C、D为海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个岛连接起来，则不同的建桥方案共有多少种？练习3：1、某都市街道如图，某人从A地前去B地，则路程最短走法有多少种？2、如图，用四种不同颜色给图中A，B，C，D，E，F六个点涂色，规定每个点涂一种颜色，且图中每条线段两个端点涂不同颜色，则不同涂色办法有多少种？【例题4】把10个相同的球放入3个不同的盒子里，若要求(1)每个盒子里至少有一个球，有多少种放法？(2)每个盒子里都至少有2个球，有多少种放法？(3)某些盒子允许空着，有多少种放法？练习4：1、学校筹划运用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科专项讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同安排办法共有多少种？2、六名大四学生(其中4名男生，2名女生)被安排到A、B、C三所学校实习，每所学校2人，且2名女生不能到同一学校，也不能到C学校，男生甲不能到A学校，则不同安排办法为多少种？【例题5】(1)方程x+y+z=13有多少组正整数解？(2)方程x+y+z=13有多少组非负整数解？(3)方程x+y+z=13有多少组x，y，z均不小于2的正整数解？练习5：1、求方程X+Y+Z=10的正整数解的个数。

高中数学排列组合讲义

高中数学排列组合一．基础知识1.分类计数原理：完成一件事情有n 类方法，在第一类办法里有m 1种不同的方法，在第二类办法里有m 2种不同的方法......在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事情共有N=m m m n +++...21种不同的方法。

2.分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法......做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事情共有N=m m m n ...21⨯⨯种不同的方法。

3.（1）排列：一般地，从n 个不同的元素中取出m （n m ≤）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。

（2）排列数：一般地，从n 个不同元素中取出m 个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的排列数，用符号A mn 表示（3）)1...(2)(1(+---=m n n n n A mn ）若m=n ，得123)...2)(1(!••--==n n n n A nn ，左边表示n 个不同元素全部取出的排列数，称为全排列数。

右边表示正整数1到n 的连乘积，称为n 的阶乘。

4.（1）组合：一般地，从n 个不同元素中取出m （n m ≤）个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。

（2）组合数：一般地，从n 个不同元素中取出m （n m ≤）个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号C mn 表示（3）组合数公式)!(!!m n m n AA C m mm n mn -==（4）常用性质：①C C mn n mn -= ②C C C m n mn mn 11-++=5.相邻问题（捆绑问题）n 个元素排列，其中的m 个元素要求相邻，把这m 个元素看成1个元素与其他n-m 个元素排列，在考虑这m 个元素自身的顺序即可，其结果是!)!1(m m n +- 6.相离问题（插空问题）n 个元素排列，其中的m 个元素要求彼此互不相邻，先排其余的n-m 个元素，这n-m 个元素的每相邻的两个元素之间都有一个空，再加上两端，共有n-m+1个空，从这n-m+1个空中选m 个空去排要求彼此互不相邻的m 个元素就可以了，其结果是A mm n m n 1)!(+--7.定位问题：（1）单定位：n 个元素排列，某个元素要求排在某个指定的位置上，等价于没有这个元素和没有这个位置，其结果是（n-1）!（2）复定位：n 个元素排列，k 个元素要求排在m 个指定的位置上，先从这m 个位置中选出k 个位置去排这k 个元素，再排其余n-k 个元素即可，其结果是)!(k n Ak m-8.平均分组问题：把n 个元素平均分成m 组，每组k （k=mn）个元素，共有不同的分法AC C C mmkkn kk n kn ...2--种9.)(......*222111)(N b C baC baC baC a C b a n n n n rrn r n n n n n nn n∈++++++=---+这个公式叫做二项式定理。

排列组合(讲义部分)

1、排列组合定义：题干当中给出两组或两组以上的对象或信息，在答案中需要考生对排列组合结果进行判断。

历年国考“排列组合”题量解题原则：1、最大信息优先2、确定信息优先3、顺藤摸瓜解题方法：一、带入排除法1.甲、乙、丙、丁是四位天资极高的艺才家，他们分别是舞蹈家、画家、歌唱家和作家，尚不能确定其中每个人所从事的专业领域，已知：（1）有一天晚上，甲和丙出席了歌唱家的首次演出。

（2）画家曾为乙和作家两个人画过肖像。

（3）作家正准备写一本甲的传记，他所写的丁传记是畅销书。

（4）甲从来没有见过丙。

下面哪一选项正确地描述了每个人的身份？（）A.甲是歌唱家，乙是作家，丙是画家，丁是舞蹈家B.甲是舞蹈家，乙是歌唱家，丙是作家，丁是画家排列组合（讲义部分）C.甲是画家，乙是作家，丙是歌唱家，丁是作家D.甲是作家，乙是画家，丙是舞蹈家，丁是歌唱家2.李老师、王老师、张老师在同一所大学教语文、数学和外语，按规定每人只担任其中一门课。

而且①李老师上课全部用汉语。

②外语老师是该校一个学生的舅舅。

③张老师是女教师，她的女儿考大学之前，经常向数学老师请教。

请判定他们各自上的课程是：A.李老师上语文，王老师上外语，张老师上数学B.王老师上语文，李老师上外语，张老师上数学C.张老师上语文，王老师上外语，李老师上数学D.王老师上语文，张老师上外语，李老师上数学解题方法：二、列表法3.小红、小兰和小慧三姐妹，分别住在丰台区、通州区、朝阳区。

小红与住在通州的姐妹年龄不一样大，小慧比住在朝阳区的姐妹年龄小，而住在通州的姐妹比小兰年龄大。

那么按照年龄从大到小，这三姐妹的排序是（）。

A.小红、小慧、小兰B.小红、小兰、小慧C.小兰、小慧、小红D.小慧、小红、小兰4.某办公室有三位工作人员：刘明、庄嫣和文虎。

他们三人中，一人是博士，一人是硕士，还有一人是本科毕业生。

已知博士比刘明大两岁；庄嫣与本科毕业生同岁，但是月份稍大；本科毕业生的年龄最小。