线性规划问题的解

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线性规划问题的求解

线性规划问题的求解线性规划是一种数学优化方法，用于在给定的约束条件下最大化或最小化目标函数。

线性规划的应用非常广泛，包括生产计划、投资组合、运输问题、资源分配等。

在实际问题中，线性规划可以帮助我们做出最佳决策，达到最优化的效果。

线性规划的一般形式可以表示为：Max (or Min) C^T * XSubject to:A * X <= BX >= 0其中，C是目标函数的系数向量，X是决策变量向量，A是约束条件的系数矩阵，B是约束条件的右侧向量。

线性规划的求解方法有很多种，常用的方法有单纯形法、内点法、分支定界法等。

这些方法通过迭代计算寻找目标函数最大（或最小）值的最优解。

在这些方法中，单纯形法是最为常用且效果较好的方法之一。

单纯形法的基本思想是通过不断交替改变基本变量和非基本变量的值来接近最优解。

初始时，选择一个基本可行解。

然后，通过计算单位增大量（reduced cost）判断是否已经到达最优解。

如果还有正的单位增大量，就选择它对应的非基本变量作为进入变量。

接着，通过计算比率（ratio）决定离开变量。

重复这个过程直到达到最优解。

单纯形法虽然是一种有效的求解线性规划的方法，但当问题规模较大时，计算复杂度会非常高。

因此，针对大规模问题，研究者们不断提出改进的算法，如内点法。

内点法基于KKT条件，通过在可行域的内部搜索来找到最优解。

相较于单纯形法，内点法在求解大规模问题时更加高效。

除了单纯形法和内点法，分支定界法也是一种常用的求解线性规划问题的方法。

分支定界法是基于问题的整数性质进行求解的。

当某些决策变量必须是整数时，分支定界法能找到最优解。

该方法通过将问题划分为不同的子问题，并逐步排除不满足约束条件的解来逼近最优解。

线性规划问题的求解不仅仅限于上述方法，还有其他的求解算法。

根据具体问题的特点，选择合适的求解方法可以提高求解的效率和精度。

总之，线性规划是一种重要的数学优化方法，它在解决实际问题时起到了至关重要的作用。

线性规划问题求解例题和知识点总结

线性规划问题求解例题和知识点总结线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。

在经济管理、交通运输、工农业生产等领域都有着广泛的应用。

下面我们通过一些具体的例题来深入理解线性规划问题，并对相关知识点进行总结。

一、线性规划的基本概念线性规划问题是在一组线性约束条件下，求一个线性目标函数的最大值或最小值的问题。

其数学模型一般可以表示为：目标函数：＄Z ＝ c_1x_1 ＋ c_2x_2 ＋＼cdots ＋ c_nx_n$约束条件：＄＼begin{cases}a_{11}x_1 ＋ a_{12}x_2 ＋＼cdots ＋a_{1n}x_n ＼leq b_1 ＼＼ a_{21}x_1 ＋ a_{22}x_2 ＋＼cdots ＋a_{2n}x_n ＼leq b_2 ＼＼＼cdots ＼＼ a_{m1}x_1 ＋ a_{m2}x_2 ＋＼cdots ＋ a_{mn}x_n ＼leq b_m ＼＼ x_1, x_2, ＼cdots, x_n ＼geq0\end{cases}＄其中，＄x_1, x_2, ＼cdots, x_n$是决策变量，＄c_1, c_2, ＼cdots, c_n$是目标函数的系数，＄a_{ij}＄是约束条件的系数，＄b_1, b_2, ＼cdots, b_m$是约束条件的右端项。

二、线性规划问题的求解方法常见的求解线性规划问题的方法有图解法和单纯形法。

1、图解法适用于只有两个决策变量的线性规划问题。

步骤如下：画出直角坐标系。

画出约束条件所对应的直线。

确定可行域（满足所有约束条件的区域）。

画出目标函数的等值线。

移动等值线，找出最优解。

例如，求解线性规划问题：目标函数：＄Z ＝ 2x ＋ 3y$约束条件：＄＼begin{cases}x ＋ 2y ＼leq 8 ＼＼ 2x ＋ y ＼leq 10 ＼＼ x ＼geq 0, y ＼geq 0\end{cases}＄首先，画出约束条件对应的直线：＄x ＋ 2y ＝ 8$，＄2x ＋ y ＝10$，以及$x ＝ 0$，＄y ＝ 0$。

线性规划的解与最优解知识点总结

线性规划的解与最优解知识点总结在现实生活和工作中，我们经常会遇到需要最优化某个目标函数的问题。

线性规划作为一种常见的数学优化方法，在各个领域中得到了广泛应用。

它能够帮助我们在一定的约束条件下，找到目标函数的最佳解。

本文将对线性规划的解与最优解的相关知识点进行总结。

1. 基本概念线性规划问题由目标函数和一组线性约束条件组成。

目标函数的形式通常是最大化或最小化一些变量的线性组合，而约束条件则给出了这些变量的取值范围。

线性规划问题的一般形式如下：```max/min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙsubject to:a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0```其中，Z表示目标函数的值，c₁, c₂, ..., cₙ为目标函数的系数，aᵢₙ为约束条件中的系数，b₁, b₂, ..., bₙ为约束条件的右边常数，x₁,x₂, ..., xₙ为决策变量。

2. 解的存在性线性规划问题存在三种解的情况：无解、有界解和无界解。

如果约束条件与目标函数之间存在矛盾，例如出现一个约束条件为 a₁₁x₁ +a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁，而目标函数的系数为 c₁ > a₁₁，那么这个线性规划问题就没有解。

有界解指的是线性规划问题在满足所有约束条件的情况下，能够找到目标函数的最大值或最小值。

无界解意味着目标函数可以无限制地增大或减小。

3. 最优解的性质线性规划问题的最优解具有以下性质：- 最优解必然出现在可行域的顶点上。

可行域是指所有满足约束条件的解的集合，而顶点则指可行域的边界上的点。

- 如果最优解存在，那么至少存在一个顶点是最优解。

- 如果可行域是有限的，则一定存在一个顶点是最优解。

- 如果最优解存在，那么一定有一条或多条约束条件在最优解上取等号。

线性规划问题解的概念和性质

线性规划问题解的应用之一是生产计划问题，通过合理安排生产计划，最大化利润并满足市场需求。
线性规划问题解的生产计划问题需要考虑多种因素，如生产成本、市场需求、产品价格等，以制定最优的生产计划。
线性规划问题解的生产计划问题可以通过建立数学模型进行求解，利用计算机软件进行优化和模拟。
线性规划问题解的生产计划问题在实际应用中具有广泛的应用价值，可以提高企业的生产效率和经济效益。
线性规划问题的标准形式
初始解的求解方法
初始解的判断准则
初始解的调整策略
迭代过程：通过不断迭代更新解，逐步逼近最优解终止条件：当迭代过程中解的变化小于预设阈值或达到最大迭代次数时，终止迭代收敛性：算法收敛于最优解的充分必要条件是所有约束条件都是“可行”的算法复杂度：迭代次数与问题规模呈指数关系，需要选择合适的算法和参数
方案。
添加标题
添加标题
添加标题
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定义：在给定风险水平下最大化收益，或在给定收益水平
下最小化风险
应用场景：股票、债券等金融资产的
投资组合配置
线性规划问题解的应用：通过线性规划方法找到最优投资组合，实现风险
和收益的平衡
线性规划问题解的概念和性质：在投资组合优化问题中，线性规划方法用于求解最优解，其概念和性质对于理解和应用投资组合优
解的唯一性：线性规划问题有唯一最优解
解的稳定性：最优解不会因约束条件的微小变化而发生大的改变
解的敏感性：当目标函数系数或约束条件发生变化时，最优解可能会发生改变
算法原理：通过不断迭代，寻找最优解
适用范围：线性规划问题
求解步骤：确定初始解，计算目标函数值，迭代更新解

线性规划问题的解法

线性规划问题的解法线性规划（Linear Programming，LP）是一种数学优化方法，用于求解线性约束条件下的最大化或最小化目标函数的问题。

线性规划问题在经济学、管理学、工程学等领域都具有广泛的应用，其求解方法也十分成熟。

本文将介绍线性规划问题的常用解法，包括单纯形法和内点法。

一、单纯形法单纯形法是解决线性规划问题最常用的方法之一。

它通过在可行解空间中不断移动，直到找到目标函数的最优解。

单纯形法的基本步骤如下：1. 标准化问题：将线性规划问题转化为标准形式，即将目标函数转化为最小化形式，所有约束条件均为等式形式，且变量的取值范围为非负数。

2. 初始可行解：选择一个初始可行解，可以通过人工选取或者其他启发式算法得到。

3. 进行迭代：通过不断移动至更优解来逼近最优解。

首先选择一个非基变量进行入基操作，然后选取一个基变量进行出基操作，使目标函数值更小。

通过迭代进行入基和出基操作，直到无法找到更优解为止。

4. 结束条件：判断迭代是否结束，即目标函数是否达到最小值或最大值，以及约束条件是否满足。

单纯形法的优点是易于理解和实现，而且在实际应用中通常具有较好的性能。

但是，对于某些问题，单纯形法可能会陷入循环或者运算效率较低。

二、内点法内点法是一种相对较新的线性规划求解方法，它通过在可行解空间的内部搜索来逼近最优解。

与单纯形法相比，内点法具有更好的数值稳定性和运算效率。

内点法的基本思想是通过将问题转化为求解一系列等价的非线性方程组来求解最优解。

首先，将线性规划问题转化为等价的非线性优化问题，然后通过迭代求解非线性方程组。

每次迭代时，内点法通过在可行解空间的内部搜索来逼近最优解，直到找到满足停止条件的解。

内点法的优点是在计算过程中不需要基变量和非基变量的切换，因此可以避免单纯形法中可能出现的循环问题。

此外，内点法还可以求解非线性约束条件下的最优解，具有更广泛的适用性。

三、其他方法除了单纯形法和内点法，还有一些其他的线性规划求解方法，如对偶方法、割平面法等。

求解线性规划的方法

求解线性规划的方法
求解线性规划问题的常用方法有以下几种：
1. 单纯形法（Simplex Method）：单纯形法是解线性规划问题的经典方法，通过逐步迭代找到目标函数的最优解。

它适用于小到中等规模的问题。

2. 内点法（Interior Point Method）：内点法通过在可行域内的可行点中搜索目标函数最小化的点来解决线性规划问题。

相对于单纯形法，内点法在大规模问题上的计算效率更高。

3. 梯度法（Gradient Method）：梯度法是基于目标函数的梯度信息进行搜索的一种方法。

它适用于凸优化问题，其中线性规划问题是一种特殊的凸优化问题。

4. 对偶法（Duality Method）：对偶法通过构建原问题和对偶问题之间的关系来求解线性规划问题。

通过求解对偶问题，可以得到原问题的最优解。

5. 分支定界法（Branch and Bound Method）：分支定界法通过将原问题划分为更小的子问题，并逐步确定可行域的界限，来搜索目标函数的最优解。

需要根据具体的问题规模、约束条件和问题特点选择合适的方法进行求解。

线性规划的解法

线性规划的解法线性规划是现代数学中的一种重要分支，它是研究如何在一定约束条件下优化某种目标函数的一种数学方法。

在现实生活中，许多问题都可以用线性规划求解。

如在生产中，如何安排产品的产量才能最大化利润；在运输中，如何安排不同的运输方式最大程度降低成本等等。

线性规划的解法有多种，下面我们就来对其进行详细的介绍。

1. 单纯形法单纯形法是线性规划中最重要的求解方法之一，它是由Dantzig于1947年提出的。

单纯形法的基本思路是从某一个初始解出发，通过挑选非基变量，使得目标函数值逐步减少，直到得到一个最优解。

单纯形法的求解过程需要确定初始解和逐步迭代优化的过程，所以其求解复杂度较高，但是在实际中仍有广泛应用。

2. 对偶线性规划法对偶线性规划法是一种将线性规划问题转化为另一个线性规划问题来求解的方法。

这种方法的主要优势是，它可以用于求解某些无法用单纯形法求解的问题，如某些非线性规划问题。

对偶线性规划法的基本思路是将原问题通过拉格朗日对偶性转化为对偶问题，然后求解对偶问题，最终得到原问题的最优解。

3. 内点法内点法是一种由Nesterov和Nemirovsky于1984年提出的方法，它是一种不需要寻找可行起点的高效的线性规划求解方法。

内点法的基本思路是通过不断向可行域的内部靠近的方式来求解线性规划问题。

内点法的求解过程需要实现某些特殊的算法技术，其求解效率高，可以解决一些规模较大、约束条件复杂的线性规划问题。

4. 分枝定界法分枝定界法是一种通过逐步将线性规划问题分解成子问题来求解的方法。

这种方法的基本思路是，在求解一个较大的线性规划问题时，将其分解成若干个较小的子问题，并在每个子问题中求解线性规划问题，在不断逐步求解的过程中不断缩小问题的规模，最终得到问题的最优解。

总之，不同的线性规划解法各有千秋，根据实际问题的需要来选择合适的求解方法是非常重要的。

希望本文能够对您有所帮助。

线性规划问题的四种求解方法

x +y ≤300 x ≤200 x ≥0 ,y ≥0
可出直线
l0
:y
=-
2 3
x
,
把直线
l0
向右上方
平移 , 当经过可行域上点 B 时 , 直线的截距最
大 .此时 z = 12x +18y 取最大值 .解方程组
z =6x +3y +5[ 300 -(x +y)] +5(200 -x ) +9(450 -y)+6(100 +x +y)=2 x -5y +
★解题方法与技巧
线性规划问题的四种求解方法
江苏溧阳中学(2 13300) 吕清平
线性规划问题是现实生活中一类重要的应用问题 , 它常用来研究物资调运、生产安排、下
时 , zmax =12 ×5 +18 ×4 =132(万美元) 答 :购买第一种机器 5 台 , 第二种机器 4 台
料等工作的资源优化配制问题 , 寻求线性规划时能使工厂获得的年利润最大 .
值线值的大小知 , 当等值线经过可行域上点 C 成本如下表 :
时 , 等值线的值最小 .z 有最小值 5650 元 , 此时 x =0 、y =300 , 故甲地产品运往 B 地 ;乙地产品运往 A 、B 、C 三地分别为 200 吨、150 吨、400
甲乙丙维生素 A(单位 / 千克) 600 700 400
解设每天生产甲、乙产品的件数分别是
维生素 B (单位 / 千克) 800 400 500
成本(单位 / 千克) 11 9 4
某食物营养所想用 x 千克甲种食物 , y 千克乙种食物 , z 千克丙种食物配成 100 千克混合物 , 并使混合物至少含有 56000 单位维生素 A 和 63000 单位维生素 B

线性规划问题的解法与应用

线性规划问题的解法与应用线性规划是一种数学优化方法，用于求解最大化或最小化目标函数的线性约束问题。

线性规划问题的解法涉及到多种算法和技巧，并且具有广泛的应用领域。

本文将介绍线性规划问题的解法以及其在实际应用中的案例。

一、线性规划问题的基本形式线性规划问题的基本形式可以表示为：Max (or Min) Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙsubject to:a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0其中，Z为目标函数，c₁, c₂, ..., cₙ为目标函数中各变量的系数；a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ为约束条件中各变量的系数；b₁, b₂, ..., bₙ为约束条件的右侧常数；x₁, x₂, ..., xₙ为决策变量。

二、线性规划问题的解法线性规划问题的解法通常包括下列步骤：1. 建立模型：根据实际问题和约束条件，确定目标函数和约束条件的形式，并定义决策变量。

2. 简化模型：对模型进行适当的变化和转化，以便于求解。

例如，可以通过引入松弛变量、人工变量或者对偶问题来简化原始问题。

3. 求解模型：根据简化后的模型，通过线性规划算法求解最优解。

常用的线性规划算法包括单纯形法、内点法、分支定界法等。

根据具体情况选择合适的算法。

4. 分析并优化解：分析最优解的意义和解的特点，并进行问题的优化。

如果最优解满足实际需求，则问题得到解决；否则，可以对模型进行进一步优化或者调整。

三、线性规划问题的应用线性规划问题的应用非常广泛，几乎涉及到所有需要进行决策的领域。

以下是一些常见的线性规划应用案例：1. 生产计划问题：生产计划通常需要在有限的资源下最大化产量或者利润。

线性规划可以帮助确定最佳的生产计划，以实现最大化目标。

解线性规划问题

解线性规划问题线性规划问题是数学中的一种重要问题，广泛应用于运筹学、经济学和管理学等领域。

它的求解方法有很多种，下面将介绍两种主要的解线性规划问题的方法：单纯形法和内点法。

一、单纯形法单纯形法是解线性规划问题最常用的方法之一。

它的基本思想是从一个可行解出发，通过不断调整进入和离开基变量，逐步接近最优解。

具体步骤如下：1. 设置线性规划问题的标准型：将目标函数和约束条件转化为标准形式，即目标函数为最小化形式的线性函数，约束条件为一组线性不等式。

2. 初始化：确定初始可行解，选择初始基变量。

3. 检验最优性：计算当前可行解的目标函数值，若满足最优性条件则终止算法，得到最优解；否则进入下一步。

4. 选取离开基变量：根据离开变量的选择准则，确定需要离开的基变量。

5. 选取进入基变量：根据进入变量的选择准则，确定需要进入的基变量。

6. 更新基变量：通过更新基变量，得到新的可行解。

7. 重复步骤3-6，直到找到最优解。

二、内点法内点法是一种通过变量逐渐趋近可行域内部，实现对线性规划问题的解的方法。

与单纯形法相比，内点法在渐近性和稳定性方面具有优势。

内点法的主要思想是引入一个惩罚函数，目标函数加上此惩罚函数之后，约束条件变成等式。

然后通过求解惩罚函数的极小值来逼近原问题的最优解。

具体步骤如下：1. 设置线性规划问题的标准型：将目标函数和约束条件转化为标准形式。

2. 初始化：确定初始可行解，选择初始内点。

3. 更新内点：通过逐步调整内点，使其逼近可行域内部。

4. 求解惩罚函数：将目标函数和约束条件转化为一个待求解的非线性优化问题，通过求解此问题来逼近原线性规划问题的最优解。

5. 重复步骤3-4，直到找到最优解。

通过使用单纯形法和内点法，我们可以解决各种线性规划问题。

无论是单纯形法还是内点法，都有其优缺点和适用范围，选择合适的方法来解决具体问题是非常重要的。

线性规划问题的解

线性规划问题的解线性规划（Linear Programming, LP）是数学规划的一种重要方法，其应用领域十分广泛。

线性规划的目标是在给定的线性约束条件下，寻找使目标函数最大或最小的变量取值。

本文将介绍线性规划问题的解以及如何求解线性规划问题。

一、线性规划问题的解的基本概念1. 可行解：满足线性约束条件的变量取值被称为可行解。

可行解集合构成了解空间。

2. 最优解：在可行解集合中，使目标函数取得最大或最小值的可行解被称为最优解。

二、线性规划问题的求解方法线性规划问题的求解方法通常有两种：图形法和单纯形法。

1. 图形法：适用于二维或三维线性规划问题，即变量的个数较少，可以通过绘制图形来确定最优解。

图形法的基本思路是绘制等式约束和不等式约束的直线或平面，并通过观察它们的交点或交线来确定可行解和最优解。

2. 单纯形法：适用于多维线性规划问题，即变量的个数较多。

单纯形法通过迭代计算，逐步逼近最优解。

其基本思路是从一个初始可行解开始，通过调整变量的取值来提高目标函数的值，直到找到最优解或确定问题无解。

三、线性规划问题的示例下面以一个简单的线性规划问题为例。

假设有两种产品A和B，它们的生产需要使用以下资源：钢材、机器时数和人工时数。

每单位产品A需要2吨钢材、4机器时数和6人工时数；每单位产品B需要3吨钢材、5机器时数和4人工时数。

公司目前有100吨钢材、120机器时数和150人工时数可用。

已知产品A的利润为1000元/单位，产品B的利润为2000元/单位。

问如何安排生产，使得利润最大化？1. 建立数学模型：令x为产品A的产量，y为产品B的产量。

则目标函数为最大化利润：1000x+2000y。

约束条件为：2x+3y≤100（钢材约束），4x+5y≤120（机器时数约束），6x+4y≤150（人工时数约束），x≥0，y≥0。

2. 通过图形法找到可行解和最优解：先绘制钢材约束的直线2x+3y=100，机器时数约束的直线4x+5y=120，人工时数约束的直线6x+4y=150。

1.2线性规划的解

. ..
x2 .3 .
. x1 2x2 2 . . . . .
0
x1
解：（1）在直角坐标系上画出可行域
x1 4
x1 2x2 8
（2）做目标函数的等值线 x1 2x2 2
(3)最优值z* 8
求交点：
x1 x2
2x2 3
8
x1 x1
2x2 4
8
(x1, x2 ) (2,3)
(x1, x2 ) (4,2)
max z 7x1 x2
x1 2x2 6
s.t
x1 x2 1 x1 2
x1 , x2 0
其标准型为
max z 7x1 x2
x1 2x2 x3 6
s.t
x1 x2 x4 1 x1 x5 2
x1, x2 , x3 , x4 , x5 0
1 2 1 0 0
系数矩阵A
2x1 x2 3
可行域为空集
无可行解
该问题无最优解
图解法的基本步骤：
1、在直角坐标系x1ox2上做出可行域S的图形
（一般是一个凸多边形）
2、令目标函数值取一个给定的常数k,
做等值线Z c1x1 c2 x2 k 3、对max 问题，令目标函数值k由小变大, 即让等值线向上平移，
若它与可行域S最后交于一个点（一般是S的一个顶点），则该点就是所求的最优点，若与S的一条边界重合，此时边界线上的点均是最优点
退化基本可行解：基本可行解中，存在取0值的基变量
对应的基称为退化基
非退化基本可行解：基本可行解中，基变量的取值均>0
对应的基称为非退化基
线性规划问题
退化的线性规划问题：存在退化基非退化的线性规划问：题所有基均非退化

解线性规划问题的常见方法与策略

解线性规划问题的常见方法与策略线性规划是数学中的一类优化问题，目标函数和约束条件都是线性的。

线性规划在运筹学、经济学、管理学、工程学等领域得到了广泛的应用。

本文将介绍解决线性规划问题的常见方法与策略。

1. 模型建立在解决线性规划问题之前，应该先建立数学模型。

模型主要包含目标函数和约束条件。

通常需要对问题进行分析和抽象，确定需求变量、决策变量、目标和限制条件。

建立好模型后，就可以应用各种算法进行求解了。

2. 单纯性法单纯性法是一种直接、高效的线性规划求解方法，也是最为广泛应用的方法。

它通过不断的交替基变换来逐步靠近最优解。

具体而言，单纯性法首先选择一个基本可行解，然后通过行变换和列变换找到下一个更优的基本可行解，直到找到最优解或者无法继续优化为止。

3. 对偶理论对偶理论是解决线性规划问题的另一种方法，它将线性规划问题转化为一个对偶问题。

对偶问题又称对偶线性规划，它的目标函数与原问题的约束条件有关。

对偶问题可以通过单纯性法或其他优化方法来求解，从而得到原问题的最优解。

4. 网络流算法网络流算法是一种常用的线性规划求解方法，它通过流量平衡条件和容量限制条件来描述约束条件。

将线性规划问题转化为网络流问题，然后应用最大化流算法或最小费用最大流算法求解。

5. 分支定界法分支定界法是一种可以求解任何类型的数学规划问题的通用方法。

其基本思想是将问题分解成多个子问题，然后用分支定界法求解。

分支定界法可以解决较小规模的线性规划问题，但是对于大规模问题求解效率较低。

综上所述，单纯性法、对偶理论、网络流算法和分支定界法是解决线性规划问题的常见方法。

在实际应用中，应该结合问题的特点和求解效率选择合适的方法和策略。

线性规划问题解的基本理论

8.基本可行解（对应的基为可行基）：满
足非负条件的基本解。
4
9.退化的基本可行解
非零分量个数小于m（至少有一个基变量取值为0）。
10.最优基
该基对应的基本可行解为LP的最优解。
结论
基本解的个数≤Cmn
基本可行解的非零分量均为正分量个数不超过m
5
皮肌炎图片——皮肌炎的症状表现
皮肌炎是一种引起皮肤、肌肉、心、肺、肾等多脏器严重损害的，全身性疾病，而且不少患者同时伴有恶性肿瘤。它的1症状表现如下：
（即可行域）
D
X
n
Pj x j
j 1
b, x j
0是凸集。
定理3-2 线性规划几何理论基本定理
若
D
X
n
Pj x j
j 1
b,
x，j
0
则X是D的一个顶点的充分必要条件是X为线性
规划的基本可行解。
8
定理3-3 若可行域非空有界，则线性规划问题的目标函数一定可以在可行域的顶点上达到最优值。
化为只在可行域的顶点中找，从而把一个无限的问题转化为一个有限的问题。
☺ 若已知一个LP有两个或两个以上最
优解，那麽就一定有无穷多个最优解。
11
二、线性规划问题解的概念和性质
1
一、LP问题的各种解
1. 可行解：满足约束条件和非负条
件的决策变量的一组取值。
2. 可行解集：所有可行解的集合。 3. 可行域：LP问题可行解集构成n维
空间的区域，可以表示为：
D {X | AX b, X 0}
2
4.最优解:使目标函数达到最优值的可行解。 5.最优值：最优解对应目标函数的取值。 6.求解LP问题:求出问题的最优解和最优值。

三类线性规划问题的解法

思路探寻在线性约束条件下求解线性目标函数的最值问题就叫做线性规划问题.对于线性规划问题来说，如何把问题转变成与几何图形有关的最值问题是解题的关键.常见的线性规划问题有三类：截距问题、斜率问题、距离问题.下面我们结合实例来探讨这三类问题的解法.一、截距问题对于z =ax +by 型的目标函数，我们常将函数z =ax +by 转化为直线的斜截式：y =-a b x +z b，通过求可行域内直线的纵截距zb的最值，从而求出z 的最值.一般地，若b >0，则纵截距取最大值时，z 也取最大值；纵截距取最小值时，z 也取最小值.若b <0，则纵截距取最大值时，z 取最小值；纵截距取最小值时，z 取最大值．例1.如果实数x ，y 满足不等式组ìíîïïx +y ≥2，2x -y ≤4x -y ≥0，，那么2x +3y 的最小值为______.解：根据题意画出如图1所示的图形，阴影部分为可行域.设z =2x +3y ，则y =-23x +z ，在可行域内移动该直线，当直线y =-23x +z 过点()2,0时直线的纵截距最小，此时z =2x +3y 取得最小值，即()2x +3y min =4.我们将目标函数变形为截距式，在可行域内找到直线y =-23x +z 的纵截距最小时的点，便可求得目标函数的最小值.图1图2图3二、斜率问题当遇到形如z =ay +bcx +d(ac ≠0)的目标函数时，我们一般要利用直线的斜率的几何意义来求最值，即将目标函数变形为z =a c ·y -(-b a)x -(-d c)的形式，这样就把问题化为求可行域内的点(x ，y )与点(-d c ,-ba)连线的斜率的最值.例2.已知函数f ()x =x 2-6x +5，且实数x ，y 满足不等式组{f ()x -f ()y ≥0，1≤x ≤5，那么y x 的最大值为______.分析：我们可直接将求yx的最大值转化为求点()x ,y 和点()0，0连线的斜率的最大值.根据约束条件画出可行域，找到点()x ,y ，便可解题.解：由f ()x -f ()y ≥0可得x 2-6x +5-(y 2-6y +5)≥0，即||x -3≥||y -3，画出如图2所示的图形，阴影部分即为可行域.可将yx看作直线OA 的斜率，当直线OA 经过点A时，其斜率最大，而点A 的坐标为A ()1,5，那么yx的最大值为5.三、距离问题若目标函数为z =(x －a )2＋(y -b )2，可将其视为两点间距离的平方，将问题转化为可行域内的点(x ,y )与点(a ,b )之间的距离的平方来求解即可.根据题意和可行域求得(a ,b )的坐标，便能根据两点间的距离公式快速求得目标函数的最值.例3.已知x ，y 满足条件ìíîïïx ≥1，x -y +1≤0，2x -y -2≤0，那么x 2+y 2的最小值为______.分析：我们需首先根据线性约束条件画出可行域，在可行域内找到一个点P ()x ,y ，使||OP 2最小，求得P 点的坐标，就能求出来x 2+y 2的最小值.解：如图3所示，图中的阴影和边界是符合条件的区域.由图3可知，B 点到原点的距离最小，此时x 2+y 2最小.联立方程{x -y +1=0，x =1，可得B ()1,2，所以||OP 2的最小值等于5，即x 2+y 2的最小值为5.由此可见，解答线性规划问题的思路是将目标函数转化为直线的斜截式方程、直线的斜率、两点间的距离的平方，然后在可行域内寻找使直线的纵截距、斜率、两点间的距离最大或最小的点，求得点的坐标，便可求得目标函数的最值.（作者单位：北京市中央民族大学附属中学）51Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。

线性规划问题解的概念和性质

第五节线性规划问题解的概念和性质
第五节线性规划问题解的概念和性质
非退化的基本(可行)解，并恰有 n – m 个 0 分量。
基本可行解对应的基，称为可行基；最优基本解对应的基，称为最优基。如：基 B0= ( a2 ,a3 ,a4 ) 对应 X0 = ( 0，0，8，12，36 )T 可行基 B1= ( a2 ,a3 ,a4 ) 对应 X1 = ( 0，9，8，- 6，0 )T 不可行基 B2 = ( a1 ,a2 ,a3 ) 对应 X2 = ( 4，6，4，0，0 )T
恰有 m 个非 0 分量，
为可行基
为非可行基
为最优基
x*
x*
B*
第五节线性规划问题解的概念和性质
解: 约束方程的系数矩阵为2×5矩阵
例：求线性规划问题的所有基矩阵。
r(A)=2，2阶子矩阵有10个，其中基矩阵（不等于0）只有9个，即
第五节线性规划问题解的概念和性质
凸性的几个基本概念一、凸集设S En，对任意两点X∈S ，Y∈S，若对满足0 ≤μ ≤1的一切实数μ ，都有 μX+(1- μ)Y ∈ S 则称S为凸集。
X
Y
X
Y
凸集
凸集
非凸集
非
表示S 中两点 X，Y 连线上的任一点
凸集的几何意义：凸集S中任意两点 X，Y 连线上的点，都在凸集S中。
第五节线性规划问题解的概念和性质
二、极点设凸集S En, X∈S，如果X不能用S中不同的两点Y和Z 表示为 X =λY+(1-λ)Z (0<λ<1) 则称X为S的一个极点。三、凸组合设Xi∈En, 实数μi ≥0,i = 1,2,… , s,且∑μi = 1，则称 X = μ1X1 + μ2X2 +…+ μsXs 为点 X1，X2，… ，Xs 的一个凸组合。

三类线性规划问题及其解法

方法集锦线性规划问题是指在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，重点考查同学们的建模、运算、分析能力.本文主要探讨三种不同类型目标函数的线性规划问题及其解法.一、z =ax +by 型若目标函数为z =ax +by 型（直线型），我们一般需先将目标函数变形为：y =-a b x +zb，通过求直线的截距的最值间接求出z 的最值，这样便将求目标函数最值问题转化为求直线的截距的最值.①若b >0，当y =-a b x +z b截距最大时z 最小，当截距最小时z 最大；若b <0，当y =-a b x +zb截距最大时z 最大，当截距最小时z 最小.例1.已知x ,y 满足约束条件ìíîïïïï2x +y ≤40,x +2y ≤50,x ≥0,y ≥0,则z =3x +2y 的最大值为_____.解：将z =3x +2y 变形为y =-32x +z2.作出如图1所示的可行域，由图可知当y =-32x +z 2过点A 时，直线的截距最大，则{2x +y =40，x +2y =50，解得ìíîx =10,y =20，此时z max =70.在画出可行域后，我们通过观察图形便能很快确定当直线经过A 点时y =-32x +z2的截距最大，此时z 最大，解方程组便可求得z 的最值.图1图2图3二、z =y -bx -a型对于目标函数为z =y -bx -a （斜率型）的线性规划问题，我们一般要依据y -bx -a的几何意义来求解.首先，根据线性约束条件画出可行域，将z 看作是可行域内的动点P (x ,y )与定点A (a ,b )连线的斜率，求得斜率的最值便可求出z 的最值.例2.已知x ,y 满足约束条件ìíîïïx -y +1≤0,x >0,x ≤1,求z =yx的最大值.解析：该目标函数为斜率型，可将z 看作是可行域内的动点P (x ,y )与原点连线的斜率，求出斜率的最值即可.解：作出如图2所示的可行域，将z =yx变形为z =y -0x -0，可将z 看作可行域内任意一点P (x ,y )与原点的连线的斜率.由图2可知当直线过交点A 时，PO 的斜率最大，{x -y +1=0,x =1,解得ìíîx =1,y =2，所以z max =2.三、z =(x -a )2+(y -b )2型当遇到目标函数为z =(x -a )2+(y -b )2（距离型）的线性规划问题时，我们可以把z 看作可行域内动点P (x ,y )与定点A (a ,b )的距离的平方，结合可行域找到最值点，利用两点间的距离公式便能求出z 的最值.例3.已知x ,y 满足约束条件ìíîïïx -y +1≤0,2x -y -2≤0,x ≥1,则z =x 2+y 2的最小值为_____.解析：该目标函数为距离型，可将z 看作是可行域内任意一点P (x ,y )到原点的距离的平方，求得PO 两点间距离的最小值，便可求得z 的最小值.解：将z =x 2+y 2变形为z =（x -0）2+(y -0)2，作出如图3所示的可行域，由图可知点A 到原点的距离最小，{x -y +1=0,x =1,解得ìíîx =1,y =2，所以z min =5.可见，解答线性规划类问题的基本思路是，（1）根据线性约束条件画出可行域；（2）将目标函数变形为直线型、斜率型、距离型；（3）在可行域内移动直线、点，找出最值点；（4）联立交点处的直线方程，求出最值点的坐标；（5）将点的坐标代入目标函数中求得最值.（作者单位：中国烟台赫尔曼·格迈纳尔中学）44。