【公开课】双曲线及其标准方程

∴ 由双曲线的定义可知，点 P 的轨迹是一条双曲线,
∵焦点为 F1(5, 0), F2(5, 0)
∴可设所求方程为:
x2 a2
y2 b2
1
(a>0,b>0).
∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.
所以点 P 的轨迹方程为 x2 y2 1 . 9 16
例2：写出适合下列条件的双曲线的标准方程
平面内与两定点的距离的差等于非零常
践 数的点的轨迹是怎样的图形？
探
y
索
M
新
知
F1
o
F2
x
2.2.1 双曲线及其标准方程
数学实验展示：
拉 链 演 示
①如图(A)，
|MF1|-|MF2|= 2a(常数)
②如图(B)，
|MF2|-|MF1|= 2a(常数)
由①②可得： | |MF1|-|MF2| | = 2a
用 解：(1)是 F1( 6,0) ，F2( 6,0)
新
知
⑵ 是 F1(0, 13) ，F2(0, 13)
⑶ 不是 ⑷不是
例1：已知双曲线两个焦点分别为F1 5,0, F25,0
双曲线上一点P到 F1, F2 距离差的绝对值等于6， 求双曲线的标准方程。
解：∵ F1F2 10 >6, PF1 PF2 6
⑵当 2a F1F2 时,轨迹是两条射线。 F1 o F2
⑶当 2a F1F2 时,轨迹是不存在。
双曲线的标准方程的推导
y
M
椭圆的标准方程的推导
y
M
F1
o
F2
x
F1
O F2 x
以F1、F2所在直线为x
如图建立直角坐标系，
轴，线段F1F2垂直平分
F1（－c，0），F2（c，0）.
线为y轴，建立坐标系.
①.
∵双曲线经过点(3 2，2)，∴1a82－b42＝1
②.
由①②得 a2＝12，b2＝8，∴双曲线的标准方程为 x2 －y2＝1. 12 8
法二：设所求双曲线的方程为16x－2 λ－4＋y2 λ＝1(－4<λ<16)．
∵双曲线过点(3 2，2)，∴161－8 λ－4＋4 λ＝1，
解得λ＝4 或λ＝－14(舍去)．∴双曲线的标准方程为 x2 －y2＝1. 12 8
bb2
1 ((aa>>00，，bb>>00))..
y
M
F1 O F2 x
焦点是 F1(-c，0)，F2(c，0)
想一想
焦点在 y 轴上的标准方程是
M
y F2
MM
FF11
OO
FF22x
y y
Fxx1
双曲线与椭圆之间的区别与联系
定义 方程
焦点
椭圆
双曲线
|MF1|+|MF2|=2a
||MF1|－|MF2||=2a
设M（x ，y）是双曲线上任意一点， |F1F2|=2c(c>0),则F1(-c,0)、F2(c,0)
点M 满足的集合：
{M| MF1 MF2 2a }
由两点间距离公式得：
设M(x ，y)为椭圆上的任意一点.
{M| MF1 + MF2 2a}
x c2 y2 x c2 y2 2a
(xc)2 y2 (xc)2 y2 2a
2m m1 线，求m的取值范围.
解: 由(2 m)(m 1) 0 得m 2或m 1 ∴ m 的取值范围为 (, 2) (1, ) 变式： 方程 x2 y2 1 表示焦点在y轴双曲线时，
2m m1
则m的取值范围____m_______2__.
五 、
定义
| |MF1|－|MF2| | =2a（０ < 2a <2c）
当焦点在 y 轴上时，设所求标准方程为1y62 －bx22＝1(b>0)，把 A 点的坐标代入， 得 b2＝9.故所求双曲线的标准方程为y2 －x2＝1.
16 9
例2：写出适合下列条件的双曲线的标准方程
（2）法一：∵焦点相同，
∴设所求双曲线的标准方程为ax22－by22＝1(a>0，b>0)，
∴c2＝16＋4＝20，即 a2＋b2＝20
例2：写出适合下列条件的双曲线的标准方程
(3)设双曲线的方程为 Ax2＋By2＝1，AB<0.
∵点 P，Q 在双曲线上，
9A＋225B＝1， 16
∴ 2596A＋25B＝1，
A＝－ 1 ， 16
解得 B＝19.
∴双曲线的标准方程为y2－ x2 ＝1. 9 16
例3:如果方程 x2 y2 1 表示双曲
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
x2 y2 1(a 0,b 0) a2 b2
y2 a2
x2 b2
1(a
0,b
0)
F（±c，0） F（0，±c）
F（±c，0） F（0，±c）
a.b.c的 a>b>0，a2=b2+c2
关系 a>c>0 ，a最大
c2=a2+b2
课
堂 小
图象
y
M
F1 O F2 x
My
F2
Ox
结
Hale Waihona Puke Baidu
F1
畅 方程
谈
收 获
焦点
a,b,c 的
关系
x2 a2
y2 b2
1
F ( ±c, 0)
y2 a2
x2 b2
1
F(0, ± c)
c2 a2 b2
拓
展
练 习
思考：类比椭圆中a、b、c所构 成的直角三角形找出双曲线中a、
巩 b、c所构成的直角三角形。
固 提 高
2.3.1 双曲线及其标准方程
回顾： 椭圆的定义是怎样叙述的？
一
、 创
平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于
设 情 境
常数（ 大于︱F1F2︱）的点的轨迹叫做椭圆.
y
M
引 入
思考：
F1
o
F2
x
课
题 若把椭圆定义中的“与两定点的距离之和”
改为“距离之差”，这时轨迹又是什么呢？
二 、 思考：
动
手 实
a>0，b>0， C最大 但a不一定大于b，
2.2.1 双曲线及其标准方程
三
例1、判断下列方程是否表示双曲线，若是，写出其
、 焦点的坐标.
随 堂 练
⑴ x2 y2 1 42
习
x2 y2 ⑶ 0
应
32
⑵ x2 y2 1 4 9
y2 x2 1 94
⑷ 4 y2 9x2 36 y2 x2 1 94
双
曲 线 的
x2 a2
y2 b2
1(a>0，b>0)
标
准 这个方程叫做双曲线的标准方程.
方 程
它所表示的双曲线的焦点在x轴
上,焦点是 F1(-c，0)，F2(c，0)
这里 c2 a2 b2
y
M
F1
O F2
x
2.2.1 双曲线及其标准方程
焦点在 x 轴上的标准方程是
yxx222
aa2
yxy2222
（差的绝对值）
2a是定值, 0<2a < |F1F2|.
2.2.1 双曲线及其标准方程
挖 掘 双 曲
平面内与两个定点F1，F2的距离的差 的绝对值等于常数 2a （小于︱F1F2︱）的 点的轨迹叫做双曲线.
线 的 定
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c ——焦距.
M
义 ⑴当 0< 2a F1F2 时,轨迹是双曲线。
(1)a＝4，经过点
A
1，－4
10 3
；
(2)与双曲线 x2 －y2＝1 有相同的焦点，且经过点(3 2，2)； 16 4
(3)过点
P
3，15 4
，Q
－16，5 3
且焦点在坐标轴上．
（1）当焦点在 x 轴上时，设所求标准方程为1x62－by22＝1(b>0)，把点 A 的坐标代入，
得 b2＝－16×160<0，不符合题意； 15 9