【公开课】双曲线及其标准方程
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2.3.1双曲线及其标准方程1(公开课)
焦点
F（±c，0） F（0，±c）
F（±c，0） F（0，±c） a>0，b>0，但a不一 定大于b，c2=a2+b2
a.b.c的 关系
a>b>0，a2=b2+c2
知识迁移 深化认知
例 1:已知两定点 F1 (5,0) , F2 (5,0) ,动点 P 满足
PF1 PF2 6 ,求动点 P 的轨迹方程. ∵ 解： F1F2 10 >6, PF1 PF2 6
a b c
2 2
2
复习旧知 导入新知
椭圆的定义：
平面内与两定点F1、F2的距离的 2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹. 提出问题： 平面内与两定点F1、F2的距离的 的点的轨迹是什么呢？ 差 等于常数 和 等于常数
实验探究 生成定义
（一）用心观察，小组共探
（要求：请同学们认真观察图中动画，对比椭圆第一定义的生成，思考点M 在运动过程中那些量没有发生变化？在试验中能否找到一种等量关系？）
[1]取一条拉链； [2]如图把它固定在 板上的两点F1、F2； [3] 拉动拉链（M）。 思考：拉链运动的 轨迹是什么？
由①②可得： （差的绝对值）
| |MF1|-|MF2| | = 2a
上面 两条合起来叫做双曲线
根据以上分析，试给双曲线下一个 完整的定义？
实验探究 生成定义
双曲线的几何定义：平面内与两个定点F1，F2的 距离的差的绝对值等于常数（小于︱F1F2︱)的点的 轨迹叫做双曲线.
∴由双曲线的定义可知， 点 P 的轨迹是双曲线的一支 (右支), ∵焦点为 F1 (5,0), F2 (5,0)
x2 y2 ∴可设双曲线方程为: 2 2 1 (a>0,b>0). a b 2 2 2 ∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.∴b =5 －3 =16. 2 2 x y 1 ( x ≥ 3) . 所以点 P 的轨迹方程为 9 16
高中数学新教材《3.2.1双曲线及其标准方程》公开课优秀课件(好用)
| |MF1| - |MF2| | = 2a
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2|=2c ——焦距.
M
说明
（1）2a<2c ；
思考：
（2）2a >0 ；
F1 o F2
（1）若2a=2c,则轨迹是什么？ (1)两条射线
（2）若2a>2c,则轨迹是什么？ (2)不表示任何轨迹 （3）若2a=0,则轨迹是什么？ (3)线段F1F2的垂直平分线
②当 0<||PF1|－|PF2||＝2a<|F1F2|时，点 P 的轨迹是双曲线； ③当|PF1|－|PF2|＝2a 或|PF1|－|PF2|＝－2a 时，点 P 的轨迹 只是双曲线的其中一支； ④当||PF1|－|PF2||＝2a＝|F1F2|时，点 P 的轨迹是以 F1，F2 为端点向外的两条射线； ⑤当||PF1|－|PF2||＝2a>|F1F2|时，点 P 的轨迹不存在．
焦点 a.b.c的关
系
椭圆
|MF1|+|MF2|=2a
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
y2 x2 a2 b2 1(a b 0)
F（±c，0） F（0，±c）
a>b>0，a2=b2+c2
双曲线
||MF1|－|MF2||=2a x2 y2 a2 b2 1(a 0,b 0) y2 x2 1(a 0,b 0) a2 b2
人教A版2019高中数学新教材必修 第二册
看课本P52---P54 1、掌握双曲线的画法及定义 2、能推导双曲线的标准方程 3、能准确判断双曲线焦点的位置 4、掌握参数a,b,c之间的关系 10分钟后回答问题（如有疑问可以问老 师或同桌小声讨论）
双曲线及其标准方程(公开课)
沈阳市第七十六中学
问题1：椭圆的定义是什么？
平面内与两个定点|F1F2|的距离的和等于常数（大于|F1F2| ） 的点的轨迹叫做椭圆。 问题2：椭圆的标准方程是怎样的?
x2 y2 y 2 x2 2 1(a b 0)或 2 2 1(a b 0) 2 a b a b
， ， ab c
通常情况下，我们把|F1F2|记为2c（c>0)； 常数记为2a(a>0).
问题3:定义中为什么强调距离差的绝对值为常数？ 问题4: 定义中为什么强调常数要小于|F1F2|且不等于0（即0<2a<2c）？ 如果不对常数加以限制 ，动点的轨迹会是什么？
分3种情况来看： ①若2a=2c,则轨迹是什么？
2
关系如何？
2 2
a b c
问题3：如果把椭圆定义中“距离的和”改为“距离的差” 那么动点的轨迹会发生怎样的变化？
一、双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数 （小于|F1F2|，且不等于0）的点的轨迹叫做双曲线。 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫 做双曲线的焦距。
P
F1
O
F2
M
F1
F2
Q
| | MF1|－|MF2| | =|F1F2 | 时,M点一定在上图中的 射线F1P,F2Q 上,此时点的轨迹为两条射线F1P,F2Q。
（1）先把非标准方程化成标准方程，再判断焦点所在的坐标轴。
x2 y 2 1(m n 0) 是否表示双曲线？ （2） m n
m 0 n 0 m 0 n 0
双曲线的定义
双曲线的标准方程
应用
51页练习A组1、2；
56页习题2.3 A组1、2题。
问题1：椭圆的定义是什么？
平面内与两个定点|F1F2|的距离的和等于常数（大于|F1F2| ） 的点的轨迹叫做椭圆。 问题2：椭圆的标准方程是怎样的?
x2 y2 y 2 x2 2 1(a b 0)或 2 2 1(a b 0) 2 a b a b
， ， ab c
通常情况下，我们把|F1F2|记为2c（c>0)； 常数记为2a(a>0).
问题3:定义中为什么强调距离差的绝对值为常数？ 问题4: 定义中为什么强调常数要小于|F1F2|且不等于0（即0<2a<2c）？ 如果不对常数加以限制 ，动点的轨迹会是什么？
分3种情况来看： ①若2a=2c,则轨迹是什么？
2
关系如何？
2 2
a b c
问题3：如果把椭圆定义中“距离的和”改为“距离的差” 那么动点的轨迹会发生怎样的变化？
一、双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数 （小于|F1F2|，且不等于0）的点的轨迹叫做双曲线。 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫 做双曲线的焦距。
P
F1
O
F2
M
F1
F2
Q
| | MF1|－|MF2| | =|F1F2 | 时,M点一定在上图中的 射线F1P,F2Q 上,此时点的轨迹为两条射线F1P,F2Q。
（1）先把非标准方程化成标准方程，再判断焦点所在的坐标轴。
x2 y 2 1(m n 0) 是否表示双曲线？ （2） m n
m 0 n 0 m 0 n 0
双曲线的定义
双曲线的标准方程
应用
51页练习A组1、2；
56页习题2.3 A组1、2题。
3-2-1双曲线及其标准方程 课件(共67张PPT)
【解析】 距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．若 F1，F2 表示双曲线的左、右焦点，且点 P 满足|PF1|－|PF2|＝2a，则点 P 在右支上；若点 P 满足|PF2|－|PF1|＝2a，则点 P 在左支上．
互动 2 在双曲线的定义中，必须要求“常数小于|F1F2|”， 那么“常数等于|F1F2|”“常数大于|F1F2|”或“常数为 0”时，动 点的轨迹是什么？
【解析】 (1)若“常数等于|F1F2|”时，此时动点的轨迹是以 F1，F2 为端点的两条射线 F1A，F2B(包括端点)，如图所示．
(2)若“常数大于|F1F2|”，此时动点轨迹不存在． (3)若“常数为 0”，此时动点轨迹为线段 F1F2 的垂直平分线．
互动 3 已知点 P(x，y)的坐标满足下列条件，试判断下列各 条件下点 P 的轨迹是什么图形？
2．关于双曲线应注意的几个问题 (1)双曲线的标准方程与选择的坐标系有关，当且仅当双曲线 的中心在原点，焦点在坐标轴上时，双曲线的方程才具有标准形 式．
(2)如图，设 M(x，y)为双曲线上任意一点，若 M 点在双曲线 的右支上，则|MF1|＞|MF2|，|MF1|－|MF2|＝2a(0＜2a＜|F1F2|)；若 M 在双曲线的左支上，则|MF1|＜|MF2|，|MF1|－|MF2|＝－2a，因 此得|MF1|－|MF2|＝±2a，这与椭圆不同．
(3)列式：由|MF1|－|MF2|＝±2a， 可得 （x＋c）2＋y2－ （x－c）2＋y2＝±2a.①
(4)化简：移项，平方后可得 (c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)． 令 c2－a2＝b2，得双曲线的标准方程为xa22－yb22＝1(a>0，b>0)．② (5)从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标都满足方 程②；以方程②的解(x，y)为坐标的点到双曲线两个焦点(－c， 0)，(c，0)的距离之差的绝对值为 2a，即以方程②的解为坐标的 点都在双曲线上．这样，就把方程②叫作双曲线的标准方程．
互动 2 在双曲线的定义中，必须要求“常数小于|F1F2|”， 那么“常数等于|F1F2|”“常数大于|F1F2|”或“常数为 0”时，动 点的轨迹是什么？
【解析】 (1)若“常数等于|F1F2|”时，此时动点的轨迹是以 F1，F2 为端点的两条射线 F1A，F2B(包括端点)，如图所示．
(2)若“常数大于|F1F2|”，此时动点轨迹不存在． (3)若“常数为 0”，此时动点轨迹为线段 F1F2 的垂直平分线．
互动 3 已知点 P(x，y)的坐标满足下列条件，试判断下列各 条件下点 P 的轨迹是什么图形？
2．关于双曲线应注意的几个问题 (1)双曲线的标准方程与选择的坐标系有关，当且仅当双曲线 的中心在原点，焦点在坐标轴上时，双曲线的方程才具有标准形 式．
(2)如图，设 M(x，y)为双曲线上任意一点，若 M 点在双曲线 的右支上，则|MF1|＞|MF2|，|MF1|－|MF2|＝2a(0＜2a＜|F1F2|)；若 M 在双曲线的左支上，则|MF1|＜|MF2|，|MF1|－|MF2|＝－2a，因 此得|MF1|－|MF2|＝±2a，这与椭圆不同．
(3)列式：由|MF1|－|MF2|＝±2a， 可得 （x＋c）2＋y2－ （x－c）2＋y2＝±2a.①
(4)化简：移项，平方后可得 (c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)． 令 c2－a2＝b2，得双曲线的标准方程为xa22－yb22＝1(a>0，b>0)．② (5)从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标都满足方 程②；以方程②的解(x，y)为坐标的点到双曲线两个焦点(－c， 0)，(c，0)的距离之差的绝对值为 2a，即以方程②的解为坐标的 点都在双曲线上．这样，就把方程②叫作双曲线的标准方程．
双曲线及其标准方程课件
(3)当 k<0 时，方程为y42－－x24k＝1，表示焦点在 y 轴上的双曲线；
(4)当 0<k<1 时，方程为x42＋y42＝1，表示焦点在 x 轴上的椭圆； k
(5)当 k>1 时，方程为x42＋y42＝1，表示焦点在 y 轴上的椭圆． k
[一点通] 解决这类题的基本方法是分类讨论，在分
类讨论的过程中应做到不重不漏，选择适当的分界点．在
(3)若|F1F2|<2a，动点的轨迹不存在．
2．通过双曲线方程xa22－by22＝1(焦点在 x 轴上)和ay22－xb22 ＝1(焦点在 y 轴上)(a>0，b>0)可以看出：如果 x2 项的系 数是正的，那么焦点在 x 轴上；如果 y2 项的系数是正的， 那么焦点在 y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于 b，但是无 论双曲线的焦点在哪个轴上，方程中的三个量都满足 c2 ＝a2＋b2.
[例3] 已知方程kx2＋y2＝4，其中k为实数，对于不同 范围的k值分别指出方程所表示的曲线类型．
[思路点拨] 解答本题可依据所学的各种曲线的标准形 式的系数应满足的条件进行分类讨论．
[精解详析] (1)当 k＝0 时，y＝±2，表示两条与 x 轴平行 的直线；
(2)当 k＝1 时，方程为 x2＋y2＝4，表示圆心在原点，半径 为 2 的圆；
72 b2 ＝1，
解得a12＝19， b12＝116，
即 a2＝9，b2＝16.
∴所求双曲线的标准方程为y92－1x62 ＝1.
法二：∵双曲线的焦点位置不确定，
∴设双曲线方程为 mx2＋ny2＝1(mn<0)． ∵P1，P2 在双曲线上，所以
4m＋445n＝1， 196×7m＋16n＝1，
双曲线及其标准方程完整版课件
2
2
则双曲线的标准方程为20 − 16 =1.
(2)设双曲线方程为 mx2-ny2=1,
1
= 25 ,
49-72 = 1,
则有
解得
1
28-9 = 1,
= ,
75
2
2
则双曲线的标准方程为25 − 75 =1.
归纳总结
求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似,可
以先根据其焦点位置设出标准方程,然后用待定系数法求出a,b
联立两方程解得 x=8(舍负),y=5 3,
所以 P(8,5 3),
kPA=tan∠PAx= 3,所以∠PAx=60°,
所以 P 点在 A 点的北偏东 30°方向.
当堂达标
1.已知两定点F1(-5,0),F2(5,0),动点P满足|PF1|-|PF2|=2a,则当a=3和5时
,P点的轨迹为(
)
A.双曲线和一条直线
情景导学
双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声
音时差测定定位等都要用到双曲线的性质。本节我们将类比椭圆的研究方法研究双
曲线的有关问题。
问题导学
新知探究
如图，在直线
l 上取两个定点
在平面内，取定点
F1 , F 2，以点 F1 为圆心、线段
在以 F 2 为圆心、线段
我们知道，当点
2
2
解析:∵方程1+ + -2=1,∴(m-2)(m+1)<0,
解得-1<m<2,∴m的取值范围是(-1,2).
答案:D
)
4. 一块面积为12公顷的三角形形状的农场.如图所示△PEF,已知
1
tan∠PEF=
2
则双曲线的标准方程为20 − 16 =1.
(2)设双曲线方程为 mx2-ny2=1,
1
= 25 ,
49-72 = 1,
则有
解得
1
28-9 = 1,
= ,
75
2
2
则双曲线的标准方程为25 − 75 =1.
归纳总结
求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似,可
以先根据其焦点位置设出标准方程,然后用待定系数法求出a,b
联立两方程解得 x=8(舍负),y=5 3,
所以 P(8,5 3),
kPA=tan∠PAx= 3,所以∠PAx=60°,
所以 P 点在 A 点的北偏东 30°方向.
当堂达标
1.已知两定点F1(-5,0),F2(5,0),动点P满足|PF1|-|PF2|=2a,则当a=3和5时
,P点的轨迹为(
)
A.双曲线和一条直线
情景导学
双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声
音时差测定定位等都要用到双曲线的性质。本节我们将类比椭圆的研究方法研究双
曲线的有关问题。
问题导学
新知探究
如图，在直线
l 上取两个定点
在平面内，取定点
F1 , F 2，以点 F1 为圆心、线段
在以 F 2 为圆心、线段
我们知道，当点
2
2
解析:∵方程1+ + -2=1,∴(m-2)(m+1)<0,
解得-1<m<2,∴m的取值范围是(-1,2).
答案:D
)
4. 一块面积为12公顷的三角形形状的农场.如图所示△PEF,已知
1
tan∠PEF=
双曲线及其标准方程(公开课)公开课一等奖
详细描述
双曲线的焦点距离公式是根据双曲线的标准方程中的系数计算得出的。这个公式可以帮助我们了解双 曲线的形状和大小，以及焦点在双曲线上的位置。通过焦点距离公式，我们可以进一步研究双曲线的 性质和特点。
05 双曲线与其他曲线的对比
CHAPTER
与椭圆的对比
01 02
形状
双曲线和椭圆都是二次曲线，但它们的形状和结构有所不同。双曲线有 两个分支，分别向两个方向无限延伸，而椭圆则是一个封闭的形状，由 两个焦点和连接它们的线段所形成。
此时，双曲线的两个顶点位于y轴上，坐标分别为 $(0, -a)$ 和 $(0, a)$。
双曲线的焦距为 $2c$，其中 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。
双曲线标准方程的推导
通过平面几何的方法，我们可以推导出双曲线的标准方程。
首先，设双曲线的焦点到任一点 $P(x, y)$ 的距离之差为常数 $2a$，即 $|PF_1 - PF_2| = 2a$。
此时，双曲线的两个顶点位于x轴上， 坐标分别为 $(-a, 0)$ 和 $(a, 0)$。
双曲线的焦距为 $2c$，其中 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。
焦点在y轴上
焦点在y轴上时，双曲线的标准方程为 $frac{y^2}{a^2} frac{x^2}{b^2} = 1$，其中 $a$ 和 $b$ 是常数，分别表示双曲线的实 半轴和虚半轴的长度。
根据平面几何的性质和勾股定理，我们可以推导出双曲线的标准方程为 $frac{x^2}{a^2} frac{y^2}{b^2} = 1$ 或 $frac{y^2}{a^2} - frac{x^2}{b^2} = 1$。
03 双曲线的应用
CHAPTER
双曲线的焦点距离公式是根据双曲线的标准方程中的系数计算得出的。这个公式可以帮助我们了解双 曲线的形状和大小，以及焦点在双曲线上的位置。通过焦点距离公式，我们可以进一步研究双曲线的 性质和特点。
05 双曲线与其他曲线的对比
CHAPTER
与椭圆的对比
01 02
形状
双曲线和椭圆都是二次曲线，但它们的形状和结构有所不同。双曲线有 两个分支，分别向两个方向无限延伸，而椭圆则是一个封闭的形状，由 两个焦点和连接它们的线段所形成。
此时，双曲线的两个顶点位于y轴上，坐标分别为 $(0, -a)$ 和 $(0, a)$。
双曲线的焦距为 $2c$，其中 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。
双曲线标准方程的推导
通过平面几何的方法，我们可以推导出双曲线的标准方程。
首先，设双曲线的焦点到任一点 $P(x, y)$ 的距离之差为常数 $2a$，即 $|PF_1 - PF_2| = 2a$。
此时，双曲线的两个顶点位于x轴上， 坐标分别为 $(-a, 0)$ 和 $(a, 0)$。
双曲线的焦距为 $2c$，其中 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。
焦点在y轴上
焦点在y轴上时，双曲线的标准方程为 $frac{y^2}{a^2} frac{x^2}{b^2} = 1$，其中 $a$ 和 $b$ 是常数，分别表示双曲线的实 半轴和虚半轴的长度。
根据平面几何的性质和勾股定理，我们可以推导出双曲线的标准方程为 $frac{x^2}{a^2} frac{y^2}{b^2} = 1$ 或 $frac{y^2}{a^2} - frac{x^2}{b^2} = 1$。
03 双曲线的应用
CHAPTER
优质实用教学课件精选双曲线及其标准方程PPT课件公开课
解: 6 10 点P的轨迹为双曲线
根据双曲线的焦点在 x 轴上，设它的标准方程为：
x2 y2 a2 b2 1 (a 0, b 0)
∵ 2a = 6, c=5 ∴ a = 3, c = 5 ∴ b2 = 52-32 =16
所以所求双曲线的标准方程为： x2 y2 1 9 16
课堂练习
y
M
F1 o F2 x
y
M F2
F1
x
y2 a2
x2 b2
1
F(0, ± c)
焦点在x轴上
焦点在y轴上
问题：如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？
x2与y2的系数符号，决定焦点所在的坐标轴，x2,y2 哪个系数为正，焦点就在哪个轴上，双曲线的焦点 所在位置与分母的大小无关。
x2 y2 a2 b2 1 F ( ±c, 0)
这表明动点M与两定点C2、C1的距离的差是常数2．根 据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2 的距离大，与C1的距离小)，这里a=1，c=3，则b2=8，设点M 的坐标为(x，y)，其轨迹方程为：
• 例曲线3、，如求果m方的程范m围x-21+2-ym2 = 1 表示双 • 解（m-1)(2-m)<0，∴m>2或m<1
x2
y2
1( x 0)
115600 44400
例2.已知圆C1：(x+3)2+y2=1和圆C2：(x-3)2+y2=9， 动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨 迹方程．
解：设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A 和B，根据两圆外切的条件，
|MC1|-|AC1|=|MA|,|MC2|-|BC2|=|MB|
1. 建系. 以F1,F2所在的直线为X轴，线
根据双曲线的焦点在 x 轴上，设它的标准方程为：
x2 y2 a2 b2 1 (a 0, b 0)
∵ 2a = 6, c=5 ∴ a = 3, c = 5 ∴ b2 = 52-32 =16
所以所求双曲线的标准方程为： x2 y2 1 9 16
课堂练习
y
M
F1 o F2 x
y
M F2
F1
x
y2 a2
x2 b2
1
F(0, ± c)
焦点在x轴上
焦点在y轴上
问题：如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？
x2与y2的系数符号，决定焦点所在的坐标轴，x2,y2 哪个系数为正，焦点就在哪个轴上，双曲线的焦点 所在位置与分母的大小无关。
x2 y2 a2 b2 1 F ( ±c, 0)
这表明动点M与两定点C2、C1的距离的差是常数2．根 据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2 的距离大，与C1的距离小)，这里a=1，c=3，则b2=8，设点M 的坐标为(x，y)，其轨迹方程为：
• 例曲线3、，如求果m方的程范m围x-21+2-ym2 = 1 表示双 • 解（m-1)(2-m)<0，∴m>2或m<1
x2
y2
1( x 0)
115600 44400
例2.已知圆C1：(x+3)2+y2=1和圆C2：(x-3)2+y2=9， 动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨 迹方程．
解：设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A 和B，根据两圆外切的条件，
|MC1|-|AC1|=|MA|,|MC2|-|BC2|=|MB|
1. 建系. 以F1,F2所在的直线为X轴，线
(公开课) 双曲线的标准方程教学设计
(公开课) 双曲线的标准方程教学设计引言本教学设计旨在帮助学生理解和掌握双曲线的标准方程。
通过一系列的教学活动和练，学生将学会如何确定双曲线的方程以及其图形的一些特征。
教学目标- 理解双曲线的定义和基本特性- 掌握双曲线的标准方程的推导和使用方法- 能够确定双曲线图形的一些基本特征- 运用所学知识解决相关问题教学内容1. 双曲线的定义和基本特性- 介绍双曲线的定义和基本特性- 解释双曲线与直线、椭圆以及抛物线的区别2. 双曲线的标准方程- 推导双曲线的标准方程- 解释方程中各项的含义- 演示如何将方程转化为标准形式3. 确定双曲线图形的基本特征- 指导学生如何通过标准方程确定双曲线图形的中心、焦点、顶点等基本特征- 通过练题加深学生对基本特征的理解和掌握4. 解决相关问题- 提供一些实际问题，要求学生运用所学知识解决- 指导学生如何建立方程模型并求解教学活动- 讲解双曲线的定义和基本特性，引导学生思考与其他曲线的区别- 演示推导双曲线的标准方程过程，并解释各项的含义- 给予学生一些练题，要求他们将方程转化为标准形式- 指导学生如何通过标准方程确定双曲线图形的基本特征，例如中心、焦点、顶点等- 给予学生一些练题，加深他们对基本特征的理解和掌握- 提供一些实际问题，要求学生建立方程模型并求解，加强他们的问题解决能力教学评估- 在教学过程中观察学生的参与状况和理解程度- 批改和评价学生的练题和问题解决过程- 给予学生反馈，鼓励他们继续努力提高参考资源- 教材中关于双曲线的章节- 相关练题和题答案- 互动教学工具或软件，用于可视化双曲线的图像以上是本教学设计的简要内容，请根据实际教学情况进行调整和补充。
希望本设计能够帮助学生更好地理解和掌握双曲线的标准方程。
双曲线及其标准方程公开课课件课件
焦点为F1(-c,0),F2(c,0),且c2=a2+b2
M
F1 o F2 x
思考： 当双曲线的焦点在y轴上时,它的标准方程
是怎样的呢？
第13页，幻灯片共20页
理解概念 探求方程
（三）提炼精华，总结方程
（1）焦点在x轴上
y
（2）焦点在y轴上
y
F2
F1 o F2 x
o
x
(ac>2=0,a2＋b>b02)
第15页，幻灯片共20页
知识迁移 深化认知
例 1:已知两定点 F1(5, 0) , F2(5, 0) ,动点 P 满足
PF1 PF2 6 ,求动点 P 的轨迹方程.
解：∵ F1F2 10 >6, PF1 PF2 6
∴由双曲线的定义可知， 点 P 的轨迹是双曲线的一支 (右支),
∵焦点为 F1(5, 0), F2(5, 0)
∴可设双曲线方程为:
x2 a2
y2 b2
1
(a>0,b>0).
∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.∴b2=52－32=16.
所以点 P 的轨迹方程为 x2 y2 1 ( x ≥ 3) . 9 16
第16页，幻灯片共20页
知识迁移 深化认知
变式训练:已知两定点 F1(5, 0) , F2(5, 0) ,动点 P 满足 PF1 PF2 10 ,求动点 P 的轨迹方程. 解： ∵ F1F2 10 , PF1 PF2 10 ∴ 点 P 的轨迹是两条射线, 轨迹方程为 y 0( x ≥ 5或x ≤ 5) .
P
M F1
F2
两条射线F1P、F2Q。
（2）若2a>2c,则轨迹是什么？
双曲线及其标准方程优质课公开课一等奖课件省赛课获奖课件
M
F1 o F2
求双曲线方程：
M
1. 建系.
以F1,F2所在的直线为x轴，线段 F1F2的中点为原点建立直角坐标系
F1
F2
2.设点．设M（x , y）,则F1(-c,0),F2(c,0)
3.限制条件 ||MF1| - |MF2||=2a
4.代入坐标
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
坐标
F ( ±c, 0) ，F(0, ± c)
a.b.c的关系
a>b>0，b2=a2-c2 a>0，b>0，b2=c2-a2
作业：P61 A组 1, 2
检测练习：
练习1 若平面内两定点F1(- 4,0),F2(4, 0)，且平面内一 点P满足｜PF1｜－｜PF2｜＝4，求点P的轨迹方程.
x2 y2 1( x 0)
复习
1. 椭圆的定义
平面内与两定点的距离的 和 等于常数
（大于两定点间的距离） 的点的轨迹.
几何条件：
M
|MF1|+|MF2|=2a>|F1F2|
F1
F2
2. 问题：
平面内与两定点的距离的 差 等于常数 的点的轨迹是什么呢？
双曲线定义:
平面内与两个定点F1，F2的距离的差 的绝对值
等于常数（不大于︱F1F2︱的）点的轨迹叫做双曲线.
C.双曲线
D.两条射线
练习：
练习3 ： 已知双曲线的焦点在x轴上，且通过点 A( 2, 3)
B( 15 , 2) 求双曲线的原则方程. 3
x2 y2 1 3
小结：
❖ 本节课都学了哪些知识； 你是如何得到的这些知识. ❖ P61 A组 1 2
a2 b2
F1 o F2
求双曲线方程：
M
1. 建系.
以F1,F2所在的直线为x轴，线段 F1F2的中点为原点建立直角坐标系
F1
F2
2.设点．设M（x , y）,则F1(-c,0),F2(c,0)
3.限制条件 ||MF1| - |MF2||=2a
4.代入坐标
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
坐标
F ( ±c, 0) ，F(0, ± c)
a.b.c的关系
a>b>0，b2=a2-c2 a>0，b>0，b2=c2-a2
作业：P61 A组 1, 2
检测练习：
练习1 若平面内两定点F1(- 4,0),F2(4, 0)，且平面内一 点P满足｜PF1｜－｜PF2｜＝4，求点P的轨迹方程.
x2 y2 1( x 0)
复习
1. 椭圆的定义
平面内与两定点的距离的 和 等于常数
（大于两定点间的距离） 的点的轨迹.
几何条件：
M
|MF1|+|MF2|=2a>|F1F2|
F1
F2
2. 问题：
平面内与两定点的距离的 差 等于常数 的点的轨迹是什么呢？
双曲线定义:
平面内与两个定点F1，F2的距离的差 的绝对值
等于常数（不大于︱F1F2︱的）点的轨迹叫做双曲线.
C.双曲线
D.两条射线
练习：
练习3 ： 已知双曲线的焦点在x轴上，且通过点 A( 2, 3)
B( 15 , 2) 求双曲线的原则方程. 3
x2 y2 1 3
小结：
❖ 本节课都学了哪些知识； 你是如何得到的这些知识. ❖ P61 A组 1 2
a2 b2
双曲线及其标准方程第一课时公开课教学PPT课件
b>0)
y2 x2
2 1
2
a b
① 方程用“－”号连接。
,b0但 a , b 大小不定。
② 分母是 a2,b2,a0
2
2
2如果 x 的系数是正的,则焦点在 x轴上;
7/16/2024 12:512 AM
如果 y 的系数是正的,则焦点在 y
轴上.
由方程定焦点:
椭圆看大小;
双曲线看正负.
学习目标
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
1.了解双曲线的定义、几何图形及标准方程
的推导过程;
2.掌握双曲线的标准方程及其求法;
3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单
的问题.
作业
必做:课本第 41 页 练习第 1 题
课本第 44 页 A 组第 1 题
选做:课本第 44 页 A 组第 4 题
课后思考
思考 1 若方程
2
2+
−
围为
2
+1
= 1 为双曲线标准方程,则 m 的取值范
;
思考 2 若方程
2
2+
−
2
+1
值范围为
7/16/2024
AM
思考
3 12:51
若 1 − 2 = 12呢?
轨迹不存在
题后反思：
求标准方程要做到先定型,后定量.
7/16/2024 12:51 AM
应用探究
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
3.2.1双曲线及其标准方程课件(人教版)
即2a 680, a 340
又 AB 800，所以2c 800，
c 400, b 2 c 2 a 2 44400
因为 PA PB 680＞0所以点P的轨迹是双曲线的右支，因此x 340
x2
y2
所以，炮弹爆炸点的轨迹方程为
1( x 340)
115600 44400
B.(1,+∞)
C.(-∞,-1)
练1.双曲线 − = 的焦距是6，则k=
D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
.
变1.已知方程
=1对应的图形是双曲线,那么k的取值范围是(
− ||−
A.(5,+∞)
B.(-2,2)∪(5,+∞)
C.(-2,2)
)
D.(-∞,-2)∪(2,+∞)
外切,求动圆圆心M的轨迹方程.
双曲线的轨迹问题
5.已知点 A(0, 7) , B(0, 7) , C (12, 2) ,以点 C 为焦点作过 A、B 两点的椭圆,求满足条件的椭圆
的另一焦点 F 的轨迹方程.
2
x
y2
1( y ≤ 1)
48
6.已知动点P(x,y)满足 ( + ) + - ( − ) + =2,求动点P的轨迹方程.
(1)定义:|r1-r2|=2a.
(2)余弦公式:4c2= + -2r1r2cos θ.
(3)面积公式:△ = r1r2sin θ.
双曲线中的焦点三角形
变式训练3:设双曲线 - =1,F1,F2是其两个焦点,点P在双曲线右支上.
(1)若∠F1PF2=90°,求△F1PF2的面积;
又 AB 800，所以2c 800，
c 400, b 2 c 2 a 2 44400
因为 PA PB 680＞0所以点P的轨迹是双曲线的右支，因此x 340
x2
y2
所以，炮弹爆炸点的轨迹方程为
1( x 340)
115600 44400
B.(1,+∞)
C.(-∞,-1)
练1.双曲线 − = 的焦距是6，则k=
D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
.
变1.已知方程
=1对应的图形是双曲线,那么k的取值范围是(
− ||−
A.(5,+∞)
B.(-2,2)∪(5,+∞)
C.(-2,2)
)
D.(-∞,-2)∪(2,+∞)
外切,求动圆圆心M的轨迹方程.
双曲线的轨迹问题
5.已知点 A(0, 7) , B(0, 7) , C (12, 2) ,以点 C 为焦点作过 A、B 两点的椭圆,求满足条件的椭圆
的另一焦点 F 的轨迹方程.
2
x
y2
1( y ≤ 1)
48
6.已知动点P(x,y)满足 ( + ) + - ( − ) + =2,求动点P的轨迹方程.
(1)定义:|r1-r2|=2a.
(2)余弦公式:4c2= + -2r1r2cos θ.
(3)面积公式:△ = r1r2sin θ.
双曲线中的焦点三角形
变式训练3:设双曲线 - =1,F1,F2是其两个焦点,点P在双曲线右支上.
(1)若∠F1PF2=90°,求△F1PF2的面积;
《双曲线及其标准方程》示范公开课教学课件【高中数学北师大】
又|AB|=2000，所以2c=2000，c=1000，所以= 537600．
因为|PA|-|PB|=1360＞0所以点P的轨迹是双曲线的右支，
所以，炮弹爆炸点的轨迹方程为=1 (x>0) ．
炮弹爆炸点到A哨所的距离与到B哨所的距离之差为定值，由此得到爆炸点的轨迹为双曲线的一支．
已知(3，3)，(－3，3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝4，则P点的轨迹是( )A．双曲线 B．双曲线的一支 C．不存在 D．一条射线
相距2km的两个哨所A，B听到远处传来的炮弹爆炸声，在A哨所听到爆炸声的时间比在B哨所迟4s，已知当时的声速为340m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程．
解：建立平面直角坐标系，使A，B两点在x上，并且原点与线段AB的中点重合． 设炮弹爆炸点P的坐标为（x，y），
则|PA|-|PB|=340×4=1360，即2a=1360， a=680．
解：因为双曲线的焦点x轴上，所以可设它的标准方程为
（，）
又c=5，a=3，故
因此，所求双曲线的标准方程为
．
根据焦点坐标的位置，设出双曲线标准方程，再根据双曲线中a，b，c之间的关系，即可求解．
求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点在x轴上，a=2，经过点A(-5，2)； (2)经过两点A(-7，-6)，B(2，3)．
1.在刚刚的实验中，有哪些点是定点，哪些点是动点，还有哪些定长？
F1和F2是定点，M为动点，F1F2和F2F是定长．
2.当点M满足|M|>|M|时，动点M满足什么关系？
（常数）．
3.当点M满足|M|<|M|时，动点M满足什么关系？
（常数）．
类比椭圆的定义尝试给双曲线下一个定义？
平面内与两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数的点的集合．
因为|PA|-|PB|=1360＞0所以点P的轨迹是双曲线的右支，
所以，炮弹爆炸点的轨迹方程为=1 (x>0) ．
炮弹爆炸点到A哨所的距离与到B哨所的距离之差为定值，由此得到爆炸点的轨迹为双曲线的一支．
已知(3，3)，(－3，3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝4，则P点的轨迹是( )A．双曲线 B．双曲线的一支 C．不存在 D．一条射线
相距2km的两个哨所A，B听到远处传来的炮弹爆炸声，在A哨所听到爆炸声的时间比在B哨所迟4s，已知当时的声速为340m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程．
解：建立平面直角坐标系，使A，B两点在x上，并且原点与线段AB的中点重合． 设炮弹爆炸点P的坐标为（x，y），
则|PA|-|PB|=340×4=1360，即2a=1360， a=680．
解：因为双曲线的焦点x轴上，所以可设它的标准方程为
（，）
又c=5，a=3，故
因此，所求双曲线的标准方程为
．
根据焦点坐标的位置，设出双曲线标准方程，再根据双曲线中a，b，c之间的关系，即可求解．
求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点在x轴上，a=2，经过点A(-5，2)； (2)经过两点A(-7，-6)，B(2，3)．
1.在刚刚的实验中，有哪些点是定点，哪些点是动点，还有哪些定长？
F1和F2是定点，M为动点，F1F2和F2F是定长．
2.当点M满足|M|>|M|时，动点M满足什么关系？
（常数）．
3.当点M满足|M|<|M|时，动点M满足什么关系？
（常数）．
类比椭圆的定义尝试给双曲线下一个定义？
平面内与两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数的点的集合．
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用 解：(1)是 F1( 6,0) ，F2( 6,0)
新
知
⑵ 是 F1(0, 13) ，F2(0, 13)
⑶ 不是 ⑷不是
例1：已知双曲线两个焦点分别为F1 5,0, F25,0
双曲线上一点P到 F1, F2 距离差的绝对值等于6， 求双曲线的标准方程。
解：∵ F1F2 10 >6, PF1 PF2 6
（差的绝对值）
2a是定值, 0<2a < |F1F2|.
2.2.1 双曲线及其标准方程
挖 掘 双 曲
平面内与两个定点F1，F2的距离的差 的绝对值等于常数 2a （小于︱F1F2︱）的 点的轨迹叫做双曲线.
线 的 定
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c ——焦距.
M
义 ⑴当 0< 2a F1F2 时,轨迹是双曲线。
∴ 由双曲线的定义可知，点 P 的轨迹是一条双曲线,
∵焦点为 F1(5, 0), F2(5, 0)
∴可设所求方程为:
x2 a2
y2 b2
1
(a>0,b>0).
∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.
所以点 P 的轨迹方程为 x2 y2 1 . 9 16
例2：写出适合下列条件的双曲线的标准方程
当焦点在 y 轴上时，设所求标准方程为1y62 －bx22＝1(b>0)，把 A 点的坐标代入， 得 b2＝9.故所求双曲线的标准方程为y2 －x2＝1.
16 9
例2：写出适合下列条件的双曲线的标准方程
（2）法一：∵焦点相同，
∴设所求双曲线的标准方程为ax22－by22＝1(a>0，b>0)，
∴c2＝16＋4＝20，即 a2＋b2＝20
2.3.1 双曲线及其标准方程
回顾： 椭圆的定义是怎样叙述的？
一
、 创
平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于
设 情 境
常数（ 大于︱F1F2︱）的点的轨迹叫做椭圆.
y
M
引 入
思考：
F1
o
F2
x
课
题 若把椭圆定义中的“与两定点的距离之和”
改为“距离之差”，这时轨迹又是什么呢？
二 、 思考：
动
手 实
bb2
1 ((aa>>00，，bb>>00))..
y
M
F1 O F2 x
焦点是 F1(-c，0)，F2(c，0)
想一想
焦点在 y 轴上的标准方程是
M
y F2
MM
FF11
OO
FF22x
y y
Fxx1
双曲线与椭圆之间的区别与联系
定义 方程
焦点
椭圆
双曲线
|MF1|+|MF2|=2a
||MF1|－|MF2||=2a
平面内与两定点的距离的差等于非零常
践 数的点的轨迹是怎样的图形？
探
y
索
M
新
知
F1
o
F2
x
2.2.1 双曲线及其标准方程
数学实验展示：
拉 链 演 示
①如图(A)，
|MF1|-|MF2|= 2a(常数)
②如图(B)，
|MF2|-|MF1|= 2a(常数)
由①②可得： | |MF1|-|MF2| | = 2a
设M（x ，y）是双曲线上任意一点， |F1F2|=2c(c>0),则F1(-c,0)、F2(c,0)
点M 满足的集合：
{M| MF1 MF2 2a }
由两点间距离公式得：
设M(x ，y)为椭圆上的任意一点.
{M| MF1 + MF2 2a}
x c2 y2 x c2 y2 2a
(xc)2 y2 (xc)2 y2 2a
a>0，b>0， C最大 但a不一定大于b，
2.2.1 双曲线及其标准方程
三
例1、判断下列方程是否表示双曲线，若是，写出其
、 焦点的坐标.
随 堂 练
⑴ x2 y2 1 42
习
x2 y2 ⑶ 0
应
32
⑵ x2 y2 1 4 9
y2 x2 1 94
⑷ 4 y2 9x2 36 y2 x2 1 94
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
x2 y2 1(a 0,b 0) a2 b2
y2 a2
x2 b2
1(a
0,b
0)
F（±c，0） F（0，±c）
F（±c，0） F（0，±c）
a.b.c的 a>b>0，a2=b2+c2
关系 a>c>0 ，a最大
c2=a2+b2
①.
∵双曲线经过点(3 2，2)，∴1a82－b42＝1
②.
由①②得 a2＝12，b2＝8，∴双曲线的标准方程为 x2 －y2＝1. 12 8
法二：设所求双曲线的方程为16x－2 λ－4＋y2 λ＝1(－4<λ<16)．
∵双曲线过点(3 2，2)，∴161－8 λ－4＋4 λ＝1，
解得λ＝4 或λ＝－14(舍去)．∴双曲线的标准方程为 x2 －y2＝1. 12 8
例2：写出适合下列条件的双曲线的标准方程
(3)设双曲线的方程为 Ax2＋By2＝1，AB<0.
∵点 P，Q 在双曲线上，
9A＋225B＝1， 16
∴ 2596A＋25B＝1，
A＝－ 1 ， 16
解得 B＝19.
∴双曲线的标准方程为y2－ x2 ＝1. 9 16
例3:如果方程 x2 y2 1 表示双曲
⑵当 2a F1F2 时,轨迹是两条射线。 F1 o F2
⑶当 2a F1F2 时,轨迹是不存在。
双曲线的标准方程的推导
y
M
椭圆的标准方程的推导
y
M
F1
o
F2
x
F1
O F2 x
以F1、F2所在直线为x
如图建立直角坐标系，
轴，线段F1F2垂直平分
F1（－c，0），F2（c，0）.
线为y轴，建立坐标系.
双
曲 线 的
x2 a2
y2 b2
1(a>0，b>0)
标
准 这个方程叫做双曲线的标准方程.
方 程
它所表示的双曲线的焦点在x轴
上,焦点是 F1(-c，0)，F2(c，0)
这里 c2 a2 b2
y
M
F1
O F2
x
2.2.1 双曲线及其标准方程
焦点在 x 轴上的标准方程是
yxx222
aa2
yxy2222
课
堂 小
图象
y
M
F1 O F2 x
My
F2
Ox
结
F1
畅 方程
谈
收 获
焦点
a,b,c 的
关系
x2 a2
y2 b2
1
F ( ±c, 0)
y2 a2
x2 b2
1
F(0, ± c)
c2 a2 b2
拓
展
练 习
思考：类比椭圆中a、b、c所构 成的直角三角形找出双曲线中a、
巩 b、c所构成的直角三角形。
固 提 高
(1)a＝4，经过点
A
1，－4
10 3
；
(2)与双曲线 x2 －y2＝1 有相同的焦点，且经过点(3 2，2)； 16 4
(3)过点
P
3，15 4
，Q
－16，5 3
且焦点在坐标轴上．
（1）当焦点在 x 轴上时，设所求标准方程为1x62－by22＝1(b>0)，把点 A 的坐标代入，
得 b2＝－16×160<0，不符合题意； 15 9
2m m1 线，求m的取值范围.
解: 由(2 m)(m 1) 0 得m 2或m 1 ∴ m 的取值范围为 (, 2) (1, ) 变式： 方程 x2 y2 1 表示焦点在y轴双曲线时，
2m m1
则m的取值范围____m_______2__.
五 、
定义Biblioteka | |MF1|－|MF2| | =2a（０ < 2a <2c）