投资学PPT 第7章--最优风险资产组合

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1、设M为n阶实系数对称矩阵， 如果对任何非零向量 X ( x1 , x2 , xn ) 都有X T MX 0， 则称M正定( positive definite) 2、对一个 n行n列的非零矩阵A， 如果存在一个矩阵B 使AB = BA =I ( I 是单位矩阵）, 则A为非奇异矩阵。
投资学
第7章
最优风险投资组合
本章主要内容： • 风险资产组合与风险分散化原理 • 风险资产组合的优化
• 从资本配置到证券选择
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7.1 分散化与投资组合风险
• 投资组合的风险来源：
– 来自一般经济状况的风险(系统风险， systematic risk / nondiversifiable risk) – 特别因素风险(非系统风险, unique risk / firm-specific risk / nonsystematic risk / diversifiable risk)
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投资组合的机会集与有效集
– 资产组合的机会集合（Portfolio opportunity set），即资产可构造出的所有组合的期望收益 和方差。 – 有效组合（Efficient portfolio ）：给定风险水平 下的具有最高收益的组合或者给定收益水平下 具有最小风险的组合。每一个组合代表E(r)和σ 空间中的一个点。 – 有效集（ Efficient set） ：又称为有效边界、 有效前沿（ Efficient frontier）,它是有效组合的 集合（点的连线）。
两种资产组合（完全正相关），当权重wD从1 减少到0时可以得到一条直线，该直线就构成 了两种资产完全正相关的机会集合（假定不允 许买空卖空）。
收益 E(rp) E
D
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风险σp
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两种完全负相关资产的可行集
• 两种资产完全负相关，即ρDE =-1，则有
E (rP ) wD E (rD ) wE E (rE ) (1) (2) P wD D wE E w w 1 (3) E D 当wD E /( D E )时, P 0 当wD E /( D E )时, P wD D wE E 0 当wD E /( D E )时, P wE E wD D 0
2 P 2
即： P wD D wE E 令wD D - wE E 0
E D wD , wE 1 wD D E D E 结论： 1时组合P的风险可降至零
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情况三：
若 1 DE 1， 则有： P wD D wE E 结论： 1时组合P的风险可有一定程度降 低
2 [ E (rD ) rf ] E [ E (rE ) rf ]Cov(rD , rE ) 2 2 [ E (rD ) rf ] E [ E (rE ) rf ] D [ E (rD ) rf E (rE ) rf ]Cov(rD , rE )
wE 1 wD
根据式(7-2)、(7-3)计算资产组合P的收益风险特征
配置风险资产组合和无风险资产
根据(7-14)计算风险资产组合P与无风险资产的组合权重 计算最终投资组合中具体投资品种的份额。
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7.4 马科维茨的资产组合选择模型
• 均值-方差（Mean-variance）模型是由Harry Markowitz于1952年建立的，其目的是寻找投资 组合的有效边界。通过期望收益和方差来评价组 合，投资者是理性的：害怕风险和收益多多益善。 因此，根据投资组合比较的占优原则，这可 以转化为一个优化问题，即
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图7.9 The Proportions of the Optimal Overall Portfolio
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小结：两种风险资产与无风险资产 组合的配置程序
确定各证券的收益风险特征（均值、方差、协方差） 建造风险资产组合
根据式(7-13)计算最优风险资产组合P的构成比例
P E D P E (rP ) E (rD ) E (rE ) D E D E
E (rD ) E (rE ) E (rD ) E (rE ) E (rE ) E P D E D E
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最优风险资产组合P的求解
Max S P
wi
E (rP ) rf
P
s.t.
E (rP ) wD E (rD ) wE E (rE )
2 2 2 2 P [ wD D wE E 2wD wE Cov(rD , rE )]1/ 2
wD wE 1 wD
i 1 j 1 i 1 i 1
n
n
n
n
上式左右两边对wi求导数，令其一阶条件 为0，得到方程组
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和方程
n L w w j 1 j r1 0 1 j 1 n L w j 2 j r2 0 w2 j 1 n L w w j nj rn 0 n j 1
min s.t.
w w
c,
i 1 n i i
w
i 1
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i
1
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• 对于上述带有约束条件的优化问题，可以 引入拉格朗日乘子λ 和μ 来解决这一优化 问题。构造拉格朗日函数如下
L wi w j ij ( wi ri c) ( wi 1)
n wi ri c i 1 n wi 1 i 1
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• 这样共有n＋2方程，未知数为wi（i＝1， 2,…,n）、λ和μ，共有n＋2个未知量，其 解是存在的。 • 注意到上述的方程是线性方程组，可以通 过线性代数加以解决。
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• 命题1：完全正相关 1 的两种资产构成的机 会集合是一条直线。 • 证明：由资产组合的计算公式可得
E (rP ) wD E (rD ) wE E (rE ) (1) ( 2) P wD D wE E w w 1 (3) E D 由式(2)(3) wD ( P E ) /( D E )
（1）给定收益的条件下，风险最小化 （2）给定风险的条件下，收益最大化
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11 ... 1n 和 若已知资产组合收益c、方差 协方差矩阵 nn 1n 组合各个资产期望收益向量 r =(r1 , r2 ,..., rn )T ，求解组合中资产权重 向量w=(w1 , w2 ,..., wn ), 则有
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命题2：完全负相关的两种资产构成的机会集合 是两条直线，其截距相同，斜率异号。 证明：
当wD E /( D E )时,
P wD D wE E wD f ( P ), 从而 P E P E E (rP ) E (rD ) (1 ) E (rE ) D E D E
2 2 2 2 2 P wD D wE E 2wD wE Cov(rD , rE ) 又： Cov(rD , rE ) DE D E 2 2 2 2 2 P wD D wE E 2wD wE D E DE
1 DE 1 相关系数越大，组合P的方差越大
E (rD ) E (rE ) E (rD ) E (rE ) E (rE ) E P D E D E
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同理可证， 当wD E /( D E )时,
P wE E - wD D wD f ( P ), 从而
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图7.7 The Opportunity Set of the Debt and Equity Funds with the Optimal CAL and the Optimal Risky Portfolio
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图7.8 Determination of the Optimal Overall Portfolio
证明：暂略
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各种相关系数下、两种风险资产构成的资 产组合机会集合(portfolio opportunity set)
收益E(rp) E
ρ =1 ρ =0.3
风险σp
D
ρ =-1
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表7.1 两只共同基金的描述性统计
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表7.2 通过协方差矩阵计算投资组合方差
7.3 资产在股票、债券与国库券之间 的配置（引入无风险资产）
组合方法：两种风险资产先组合形成一 个新的风险资产组合，然后再向组合中加 入一种无风险资产 形成的资本配置线(CAL)中斜率最高的， 效用水平最高
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图7.6 债券与股票基金的可行集和两条可 行的CALs
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T E (r ) w r
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3.使用矩阵 表示资产之间的方差协方差，有
11 12 21 22 n1 n 2
1n 2n
nn
0
注：方差-协方差矩阵是正定、非奇异矩阵。所以， T 对于任何非0的向量 a, 都有a a 0