量子力学课后习题答案

第一章 绪论1.1．由黑体辐射公式导出维恩位移定律：C m b b T m 03109.2 ,⋅⨯==-λ。

证明：由普朗克黑体辐射公式：ννπνρννd e c h d kTh 11833-=， 及λνc=、λλνd cd 2-=得1185-=kThc ehc λλλπρ，令kT hcx λ=，再由0=λρλd d ，得λ.所满足的超越方程为 15-=x xe xe用图解法求得97.4=x ，即得97.4=kThcm λ，将数据代入求得C m 109.2 ,03⋅⨯==-b b T m λ 1.2．在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV,求de Broglie 波长.解：010A 7.09m 1009.72=⨯≈==-mEh p h λ #1.3. 氦原子的动能为kT E 23=，求K T 1=时氦原子的de Broglie 波长。

解：010A 63.12m 1063.1232=⨯≈===-mkTh mE h p h λ 其中kg 1066.1003.427-⨯⨯=m ，123K J 1038.1--⋅⨯=k#1.4利用玻尔—索末菲量子化条件，求： （1）一维谐振子的能量。

（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。

已知外磁场T 10=B ，玻尔磁子123T J 10923.0--⋅⨯=B μ，求动能的量子化间隔E ∆，并与K 4=T 及K 100=T 的热运动能量相比较。

解：（1）方法1：谐振子的能量222212q p E μωμ+=可以化为()12222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+μωμE q Ep的平面运动，轨道为椭圆，两半轴分别为22,2μωμEb E a ==，相空间面积为,2,1,0,2=====⎰n nh EEab pdq νωππ所以，能量 ,2,1,0,==n nh E ν方法2：一维谐振子的运动方程为02=+''q q ω，其解为()ϕω+=t A q sin速度为 ()ϕωω+='t A q cos ，动量为()ϕωμωμ+='=t A q p cos ，则相积分为()()nh TA dt t A dt t A pdq T T==++=+=⎰⎰⎰2)cos 1(2cos 220220222μωϕωμωϕωμω， ,2,1,0=nνμωnh Tnh A E ===222， ,2,1,0=n（2）设磁场垂直于电子运动方向，受洛仑兹力作用作匀速圆周运动。

由R v evB 2μ=，得eBvR μ=再由量子化条件⎰== ,3,2,1,n nh pdq ，以22,eBR R Rv p ===⋅ϕμμϕϕ分别表示广义坐标和相应的广义动量，所以相积分为nh eBR Rv d p d p ====⎰⎰22022ππμϕϕπϕϕ， ,2,1=n ，由此得半径为eBn R=， ,2,1=n 。

电子的动能为B n eBn B e eBR v E B μμμμμ==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==2222212121 动能间隔为J B E B 23109-⨯==∆μ热运动能量（因是平面运动，两个自由度）为kT E =，所以当K 4=T 时，J E 231052.4-⨯=；当K100=T 时，J E 211038.1-⨯=1.5 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两个光子的能量相等，问要实现这种转化，光子波长最大是多少？解：转化条件为2c h e μν≥，其中e μ为电子的静止质量，而λνc=，所以che μλ≤，即有083134max A 024.0103101.910626.6≈⨯⨯⨯⨯===--c e c h λμλ（电子的康普顿波长）。

第二章 波函数和薛定谔方程2.1.证明在定态中，几率流与时间无关。

证：对于定态，可令)]r ()r ()r ()r ([m 2i ]e )r (e )r (e )r (e )r ([m2i )(m 2i J e)r ( )t (f )r ()t r (**Et iEt i **Et i Et i **Etiψψψψψψψψψψψψψψψ∇-∇=∇-∇=∇-∇===-----）（）（，可见t J 与无关。

2.2 由下列定态波函数计算几率流密度： ikr ikr e re r -==1)2( 1)1(21ψψ 从所得结果说明1ψ表示向外传播的球面波，2ψ表示向内(即向原点) 传播的球面波。

解：分量只有和r J J 21在球坐标中 ϕθθϕθ∂∂+∂∂+∂∂=∇sin r 1e r 1e r r 0r mrk r mr k r r ik r r r ik r r m i r e rr e r e r r e r m i mi J ikr ikr ikr ikr30202201*1*111 )]11(1)11(1[2 )]1(1)1(1[2 )(2 )1(==+----=∂∂-∂∂=∇-∇=--ψψψψ r J 1与同向。

表示向外传播的球面波。

rmrk r mr k r r ik r r r ik r r m i r e r r e r e r r e r m i mi J ikr ikr ikr ikr3020220*2*222 )]11(1)11(1[2 )]1(1)1(1[2 )(2 )2(-=-=---+-=∂∂-∂∂=∇-∇=--ψψψψ可见，r J与2反向。

表示向内(即向原点) 传播的球面波。

补充：设ikxe x =)(ψ，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？∞==⎰⎰∞∞dx dx ψψ*∴波函数不能按1)(2=⎰∞dx x ψ方式归一化。

其相对位置几率分布函数为12==ψω表示粒子在空间各处出现的几率相同。

2.3 一粒子在一维势场⎪⎩⎪⎨⎧>∞≤≤<∞=a x a x x x U ，，，0 00)( 中运动，求粒子的能级和对应的波函数。

解：t x U 与)(无关，是定态问题。

其定态S —方程)()()()(2222x E x x U x dx d m ψψψ=+-在各区域的具体形式为Ⅰ： )()()()(2 0111222x E x x U x dx d m x ψψψ=+-< ① Ⅱ： )()(2 0 22222x E x dx d m a x ψψ=-≤≤ ② Ⅲ： )()()()(2 333222x E x x U x dxd m a x ψψψ=+-> ③ 由于(1)、(3)方程中，由于∞=)(x U ，要等式成立，必须0)(1=x ψ 0)(2=x ψ 即粒子不能运动到势阱以外的地方去。

方程(2)可变为0)(2)(22222=+x mEdx x d ψψ 令222 mE k =，得0)()(22222=+x k dxx d ψψ 其解为 kx B kx A x cos sin )(2+=ψ ④根据波函数的标准条件确定系数A ，B ，由连续性条件，得 )0()0(12ψψ=⑤ )()(32a a ψψ=⑥⑤ 0=⇒B⑥ 0sin =⇒ka A),3 ,2 ,1( 0sin 0 ==⇒=∴≠n n ka ka A π∴x an A x πψsin )(2= 由归一化条件 1)(2=⎰∞dx x ψ得 1sin 022=⎰axdx an Aπ由mn abaxdx a n x a m δππ⎰=*2sin sinx a n a x aA πψsin 2)(22=∴=⇒222 mE k =),3,2,1( 22222 ==⇒n n maE n π可见E 是量子化的。

对应于n E 的归一化的定态波函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧><≤≤=-a x a x a x xe an a t x tE in n , ,0 0 ,sin 2),( πψ 2.4. 证明（2.6-14）式中的归一化常数是aA 1='证：⎪⎩⎪⎨⎧≥<+'=a x a x a x a n A n ,0 ),(sin πψ由归一化，得aA a x a n n a A a A dx a x an A x A dx a x an A dx a x an A dx aa aaaa a a aan 222222222)(sin 2)(cos22)](cos 1[21)(sin 1'=+⋅'-'=+'-'=+-'=+'==-----∞⎰⎰⎰⎰πππππψ∴归一化常数aA 1='2.5 求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。

解：222122)(xxe x ααπαψ-⋅=222223222112 24)()(xxe x e x x x ααπαπααψω--⋅=⋅⋅==22]22[2 )(3231x e x x dx x d ααπαω--= 令0 )(1=dx x d ω，得 ±∞=±==x x x 10α 由)(1x ω的表达式可知，±∞==x x 0，时，0)(1=x ω。

显然不是最大几率的位置。

2222)]251[(4)]22(2)62[(2 )( 44223322223212xx e x x ex x x x dx x d ααααπααααπαω----=---=而0142 )(321212<-=±=e dx x d x παω， 可见μωα ±=±=1x 是所求几率最大的位置。

2.6 在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：)()(x U x U =-，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。

证：在一维势场中运动的粒子的定态S-方程为)()()()(2222x E x x U x dx d ψψψμ=+-① 将式中的)(x x -以代换，得 )()()()(2222x E x x U x dx d -=--+--ψψψμ ② 利用)()(x U x U =-，得 )()()()(2222x E x x U x dx d -=-+--ψψψμ ③ 比较①、③式可知，)()(x x ψψ和-都是描写在同一势场作用下的粒子状态的波函数。

由于它们描写的是同一个状态，因此)()(x x ψψ和-之间只能相差一个常数c 。

方程①、③可相互进行空间反演 )(x x -↔而得其对方，由①经x x -→反演，可得③，)()( x c x ψψ=-⇒ ④ 由③再经x x →-反演，可得①，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。

)()( x c x -=⇒ψψ ⑤④乘 ⑤，得 )x ()x (c )x ()x ( 2-=-ψψψψ， 可见，12=c ，所以 1±=c当1+=c 时，)x ()x ( ψψ=-，)(x ψ⇒具有偶宇称， 当1-=c 时，)()( x x ψψ-=-，)(x ψ⇒具有奇宇称，当势场满足)()( x U x U =-时，粒子的定态波函数具有确定的宇称。