量子力学课后习题答案

第一章 绪论

1.1．由黑体辐射公式导出维恩位移定律：C m b b T m 0

3109.2 ,⋅⨯==-λ。

证明：由普朗克黑体辐射公式：

ννπνρννd e c h d kT

h 1

1

83

3

-=

， 及λ

νc

=

、λλ

νd c

d 2

-

=得

1

185

-=

kT

hc e

hc λλλπρ，

令kT hc

x λ=

，再由0=λρλd d ，得λ.所满足的超越方程为 1

5-=x x

e xe

用图解法求得97.4=x ，即得

97.4=kT

hc

m λ，将数据代入求得C m 109.2 ,03⋅⨯==-b b T m λ 1.2．在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV,求de Broglie 波长.

解：010

A 7.09m 1009.72=⨯≈=

=-mE

h p h λ #

1.3. 氦原子的动能为kT E 2

3

=

，求K T 1=时氦原子的de Broglie 波长。 解：010

A 63.12m 1063.1232=⨯≈==

=-mkT

h mE h p h λ 其中kg 1066.1003.427-⨯⨯=m ，1

23K J 1038.1--⋅⨯=k

#

1.4利用玻尔—索末菲量子化条件，求： （1）一维谐振子的能量。

（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。 已知外磁场T 10=B ，玻尔磁子123

T J 10

923.0--⋅⨯=B μ，求动能的量子化间隔E ∆，并与K 4=T 及

K 100=T 的热运动能量相比较。

解：（1）方法1：谐振子的能量2222

1

2q p E μωμ+=

可以化为

(

)

1222

222

2=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+

μωμE q E

p

的平面运动，轨道为椭圆，两半轴分别为2

2,2μω

μE

b E a =

=，相空间面积为

,2,1,0,2===

=

=⎰n nh E

E

ab pdq ν

ω

ππ

所以，能量 ,2,1,0,==n nh E ν

方法2：一维谐振子的运动方程为02

=+''q q ω，其解为

()ϕω+=t A q sin

速度为 ()ϕωω+='t A q cos ，动量为()ϕωμωμ+='=t A q p cos ，则相积分为

()()nh T

A dt t A dt t A pdq T T

==++=+=⎰⎰⎰2)cos 1(2cos 2202202

22

μωϕωμωϕωμω， ,2,1,0=n

νμωnh T

nh A E ===222， ,2,1,0=n

（2）设磁场垂直于电子运动方向，受洛仑兹力作用作匀速圆周运动。由R v evB 2μ=，得eB

v

R μ=

再由量子化条件⎰

== ,3,2,1,n nh pdq ，以2

2

,eBR R Rv p ===⋅

ϕμμϕϕ分别表示广义坐标和相应的广义动量，所以相积分为

nh eBR Rv d p d p ====⎰

⎰220

22ππμϕϕπ

ϕϕ， ,2,1=n ，由此得半径为eB

n R

=

， ,2,1=n 。 电子的动能为B n eB

n B e eBR v E B μμμμμ==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==

222

2212121 动能间隔为J B E B 23

10

9-⨯==∆μ

热运动能量（因是平面运动，两个自由度）为kT E =，所以当K 4=T 时，J E 23

1052.4-⨯=；当K

100=T 时，J E 21

1038.1-⨯=

1.5 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两个光子的能量相等，问要实现这种转化，光子波长最大是多少？

解：转化条件为2

c h e μν≥，其中e μ为电子的静止质量，而λ

νc

=

，所以c

h

e μλ≤

，即有

08

3134

max A 024.010

3101.910626.6≈⨯⨯⨯⨯===--c e c h λμλ（电子的康普顿波长）。 第二章 波函数和薛定谔方程

2.1.证明在定态中，几率流与时间无关。

证：对于定态，可令

)]

r ()r ()r ()r ([m 2i ]

e )r (e )r (e )r (e )r ([m

2i )

(m 2i J e

)r ( )

t (f )r ()t r (**Et i

Et i **Et i Et i **Et

i

ψψψψψψψψψψψψψψψ∇-∇=∇-∇=∇-∇===-----）（）（，

可见t J 与

无关。

2.2 由下列定态波函数计算几率流密度： ikr ikr e r

e r -==

1

)2( 1)1(21ψψ 从所得结果说明1ψ表示向外传播的球面波，2ψ表示向内(即向原点) 传播的球面波。 解：分量只有和r J J 21

在球坐标中 ϕ

θθϕθ∂∂

+∂∂+∂∂=∇sin r 1e r 1e r r 0