高考数学专题之数学文化
高三数学传统文化
教育部考试中心要求“增加中华优秀传统文化的考核内容，积极培育和践行社会主义核心价值观，充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用．比如，在数学中增加数学文化的内容”．因此，我们特别编写了此课时，将数学文化与数学知识相结合．考点一立体几何中的数学传统文化题[典例1]“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体，它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图1，图2中四边形是为体现其直观性所作的辅助线，当其主视图和左视图完全相同时，它的主视图和俯视图分别可能是()A．a，b B．a，cC．c，b D．b，d[解析]A[当主视图和左视图完全相同时，“牟合方盖”相对的两个曲面正对前方，主视图为一个圆，俯视图为一个正方形，且两条对角线为实线，故选A.]“牟合方盖”是我国古代利用立体几何模型和数学思想方法解决数学问题的代表之一．本题取材于“牟合方盖”，通过加工改造，添加解释和提供直观图的方式降低了理解题意的难度．解题从识“图”到想“图”再到构“图”，考生要经历分析、判断的逻辑过程．另外，我国古代数学中的其他著名几何体，如“阳马”“鳖臑”和“堑堵”等的三视图问题都有可能在高考中考查．[跟踪训练1]《九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺313寸，容纳米2 000斛(1丈＝10尺，1尺＝10寸，斛为容积单位，1斛≈1.62立方尺，π≈3)，则圆柱底面圆周长约为( )A ．1丈3尺B ．5丈4尺C ．9丈2尺D ．48丈6尺解析：B [设圆柱底面圆半径为r 尺，高为h 尺，依题意，圆柱体积为V ＝πr 2h ＝2 000×1.62≈3×r 2×13.33，所以r 2≈81，即r ≈9，所以圆柱底面圆周长为2πr ≈54,54尺＝5丈4尺，则圆柱底面圆周长约为5丈4尺，故选B.]考点二 数列中的数学传统文化题[典例2] 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )A ．192里B ．96里C ．48里D ．24里[解析] B [设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ＝12，依题意有a 1⎝⎛⎭⎫1－1261－12＝ 378，解得a 1＝192，则a 2＝192×12＝ 96，即第二天走了96里，故选B.]与等差数列一样，我国古代数学涉及等比数列问题也有很多，因此，涉及等比数列的数学文化题也频繁出现在各级各类考试试卷中．解决这类问题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，掌握等比数列的概念、通项公式和前n 项和公式．[跟踪训练2]《周髀算经》是中国古代的天文学和数学著作．其中一个问题大意为：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同(即太阳照射物体影子的长度增加和减少大小相同)．若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸(注：一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则夏至之后的那个节气(小暑)晷长为( )A ．五寸B ．二尺五寸C．三尺五寸D．一丈二尺五寸解析：B[设晷长为等差数列{a n}，公差为d，a1＝15，a13＝135，则15＋12d＝135，解得d＝10.∴a2＝15＋10＝25，∴《易经》中所记录的惊蛰的晷影长是2尺5寸．故选B.]考点三算法中的数学传统文化题[典例3]如图所示算法框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该算法框图，若输入的a，b分别为8,12，则输出的a＝()A．4B．2C．0 D．14[解析]A[由算法框图输入的a＝8，b＝12，按算法框图所示依次执行，可得b＝12－8＝4，a＝8；a＝8－4＝4，b＝4，a＝b，所以输出a＝4.故选A.]《九章算术》系统总结了我国古代人民的优秀数学思想，开创了构造算法以解决各类问题的东方数学发展的光辉道路，这与当今计算机科学的飞速发展对数学提出的要求不谋而合．本题算法框图的算法思路源于《九章算术》中计算两个正整数的最大公约数的“更相减损术”算法．[跟踪训练3](2019·益阳、湘潭调研)秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的算法框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例．若输入n，x的值分别为3,3.则输出v的值为()A. 15B. 16C. 47D. 48解析：D [执行算法框图：输入n ＝3，x ＝3，v ＝1，i ＝2，i ≥0，是 i ≥0，是， v ＝1×3＋2＝5，i ＝1； i ≥0，是， v ＝5×3＋1＝16，i ＝0； i ≥0，是， v ＝16×3＋0＝48，i ＝－1； i ≥0，否，输出v ＝48.]考点四 概率统计中的传统文化题[典例4] (2018·全国Ⅰ卷)下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC .△ABC 的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则( )A ．p 1＝p 2B ．p 1＝p 3C ．p 2＝p 3D ．p 1＝p 2＋p 3[解析] A [法一：设直角三角形ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则区域Ⅰ的面积即△ABC 的面积为S 1＝12bc ，区域Ⅱ的面积S 2＝12π×⎝⎛⎭⎫c 22＋12π×⎝⎛⎭⎫b 22－⎣⎢⎡⎦⎥⎤π×⎝⎛⎭⎫a 222－12bc ＝18π(c 2＋b 2－a 2)＋12bc ＝12bc ，所以S 1＝S 2，由几何概型的知识知p 1＝p 2，故选A.法二：不妨设△ABC 为等腰直角三角形，AB ＝AC ＝2，则BC ＝22，所以区域Ⅰ的面积即△ABC 的面积，为S 1＝12×2×2＝2，区域Ⅱ的面积S 2＝π×12－⎣⎢⎡⎦⎥⎤π×(2)22－2＝2，区域Ⅲ的面积S 3＝π×(2)22－2＝π－2.根据几何概型的概率计算公式，得p 1＝p 2＝2π＋2，p 3＝π－2π＋2，所以p 1≠p 3，p 2≠p 3，p 1≠p 2＋p 3，故选A.]从中国古代文学作品中选取素材考查数学问题，丰富了数学文化题的取材途径．试题插图的创新是本题的一个亮点，其一，增强了数学问题的生活化，使数学的应用更贴近考生的生活实际；其二，有利于考生分析问题和解决问题，这对稳定考生在考试中的情绪和心态起到了较好的效果；其三，探索了数学试题插图的新形式，给出了如何将抽象的数学问题直观化的范例．[跟踪训练4](理科)(2018·全国Ⅱ卷)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是( )A.112B.114C.115D.118解析：C [不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，从中随机选取两个不同的数有C 210种不同的取法，这10个数中两个不同的数的和等于30的有3对，所以所求概率p ＝3C 210＝115，故选C.](文科)2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年纪念日，中国人民银行发行了以此为主题的金银纪念币．如图所示的是一枚8克圆形金质纪念币，直径22毫米， 面额100元．为了测算图中军旗部分的面积，现向硬币内随机投掷100粒芝麻，已知恰有30粒芝麻落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是( )A. 726π5mm 2 B. 363π10mm 2C.363π5mm 2 D.363π20mm 2 解析：B [利用古典概型近似几何概型可得，芝麻落在军旗内的概率为p ＝30100＝310，设军旗的面积为S ，由题意可得：S π×112＝310，∴S ＝310×π×112＝36310π()mm 2，故选B.] 考点五 三角函数中的数学传统文化题[典例5] 第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的．如图，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较大的锐角为θ，那么tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝ ________ .[解析] 依题意得大、小正方形的边长分别是5,1，于是有5sin θ－5cos θ＝1(0＜θ＜π2)，即有sin θ－cos θ＝15.从而(sin θ＋cos θ)2＝2－(sin θ－cos θ)2＝4925，则sin θ＋cos θ＝75，因此sin θ＝45，cos θ＝35，tan θ＝43，故tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝tan θ＋11－tan θ＝－7. [答案] －71700多年前，赵爽绘制了极富创意的弦图，采用“出入相补”原理使得勾股定理的证明不证自明．该题取材于第24届国际数学家大会会标，题干大气，设问自然，流露出丰富的文化内涵．既巧妙地考查了三角函数的相关知识，又丰富了弦图的内涵，如正方形四边相等寓言各国及来宾地位平等，小正方形和三角形紧紧簇拥在一起，表明各国数学家要密切合作交流，等等．[跟踪训练5](2019·沈阳监测)刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国最宝贵的文化遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意的精度．割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积．若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是( )A. 334π B. 332π C.12πD. 14π解析：B [设圆的半径为R ，则圆的内接正六边形可以分解为6个全等的三角形，且每个三角形的边长为R ，据此可得，圆的面积为S 1＝πR 2，其内接正六边形的面积为S 2＝6×⎝⎛⎭⎫12×R 2×sin 60°＝332R 2，利用几何概型计算公式可得：此点取自该圆内接正六边形的概率是p ＝S 2S 1＝332π.故选B.]特色专题 数学文化[基础训练组]1．二十四节气(The 24 Solar Terms)是指中国农历中表示季节变迁的24个特定节令，是根据地球在黄道(即地球绕太阳公转的轨道)上的位置变化而制定的，每一个分别相应于地球在黄道上每运动15°所到达的一定位置。
专题03 数列与数学文化-高考中的数学文化试题 (解析版)
专题03 数列与数学文化纵观近几年高考，数列以数学文化为背景的问题，层出不穷，让人耳目一新。
同时它也使考生们受困于背景陌生，阅读受阻，使思路无法打开。
本专题通过对典型高考问题的剖析、数学文化的介绍、及精选模拟题的求解，让考生提升审题能力，增加对数学文化的认识，进而加深对数学文理解，发展数学核心素养。
【例1】 (2018北京) “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这 个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122．若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为（ ） A 32B 322C ．1252D ．1272【答案】D【解析】从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122 率为f ，由等比数列的概念可知，这十三个单音的频率构成一个首项为f ，公比为122的等比数列，记为{}n a ，则第八个单音频率为128171282)2a f -=⋅=，故选D ．【试题赏析】本题以《律学新说》中的“十二平均律”为背景，考查等比数列的应用，既考查了等比数列的相关知识，又展示了我国古代在音乐、数学、天文等方面的成就．【例2】（2017新课标Ⅱ）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍 加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一 层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏 【答案】B【解析】设塔顶共有灯1a 盏，根据题意各层等数构成以1a 为首项，2为公比的等比数列，∴77171(12)(21)38112a S a -==-=-，解得13a =．选B ． 【试题赏析】《算法统宗》是由明代数学家程大位写的数学巨著，它是一部应用数学书， 反映了中华文明源远流长，中国古代为世界数学做出了杰出的贡献。
高考数学试题中的文化内涵及其教育意蕴
高考数学试题中的文化内涵及其教育意蕴随着教育的不断发展和进步，高考数学试题已经不仅仅局限于对数学知识的考察，而是更加注重数学与文化的结合，以及数学在教育中的深远意义。
本文将探讨高考数学试题中的文化内涵及其教育意蕴。
一、文化内涵1. 中华文化的融入近年来，高考数学试题中越来越多地融入了中华文化的元素。
例如，一些试题可能会以我国古代的数学问题或者历史事件为背景，要求学生运用数学知识进行解答。
这种方式不仅丰富了数学试题的内容，也有助于学生在解题过程中了解和传承中华文化。
2. 跨学科的文化融合除了中华文化，高考数学试题还注重与其他学科的结合。
例如，地理、物理、化学等学科的知识可能会与数学知识相结合，要求学生综合运用各学科知识解决问题。
这种跨学科的融合，有助于培养学生的综合素质和跨学科思考能力。
二、教育意蕴1. 培养学生的逻辑思维数学是一门强调逻辑思维的学科。
高考数学试题通过各种形式的问题，如证明题、应用题等，有助于培养学生的逻辑思维能力和推理能力。
这种能力不仅在数学学习中重要，对学生的日常生活和工作也有很大的帮助。
2. 提高学生的问题解决能力高考数学试题往往以实际问题为背景，要求学生运用数学知识进行解决。
这种方式有助于提高学生的问题解决能力，使他们更好地理解和应对生活中的各种挑战。
3. 激发学生的创新精神在高考数学试题中，往往会有一些开放性问题，没有固定的答案，需要学生发挥创新精神，提出自己的解决方案。
这种问题设置有助于激发学生的创新精神，培养他们的创新能力。
4. 引导学生关注社会热点问题高考数学试题还会涉及一些社会热点问题，引导学生关注社会、思考问题。
这种方式有助于培养学生的社会责任感和公民意识。
高考数学试题中的文化内涵及其教育意蕴是十分丰富的。
通过融入中华文化和其他学科知识，以及注重逻辑思维、问题解决能力和创新精神的培养，高考数学试题不仅考察了学生的数学知识，更在教育上有着深远的意义。
高考中的数学文化(解析版)
高考中的数学文化一、单选题1．1750年，欧拉在给哥德巴赫的一封信中列举了多面体的一些性质，其中一条是：如果用V 、E 和F 表示闭的凸多面体的顶点数、棱数和面数，则有如下关系：2V E F -+=.已知正十二面体有20个顶点，则正十二面体有（）条棱A ．30B ．14C ．20D ．26【答案】A 【分析】由已知条件得出20V =，12F =，代入欧拉公式2V E F -+=可求得E 的值，即为所求.【详解】由已知条件得出20V =，12F =，由欧拉公式2V E F -+=可得22012230E V F =+-=+-=.故选：A.2．龙马负图、神龟载书图像如图甲所示，数千年来被认为是中华传统文化的源头；其中洛书有云，神龟出于洛水，甲壳上的图像如图乙所示，其结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足u ，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数；若从阳数和阴数中分别随机抽出2个和1个，则被抽到的3个数的数字之和超过16的概率为（）A ．1340B ．720C ．14D ．310【答案】A 【分析】由题可求出所有情况共40种，再求出满足条件的情况即可求出概率.【详解】依题意，阳数为1、3、5、7、9，阴数为2、4、6、8，故所有的情况有215440C C =种，其中满足条件的为()7,8,9，()7,6,9，()7,4,9，()7,2,9，()5,8,9，()5,6,9，()5,4,9，()3,8,9，()3,6,9，()1,8,9，()7,8,5，()7,6,5,，()7,8,3，共13种，故所求概率1340P =.故选：A ．3．数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，问物几何？”现将1到2020共2020个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{},n a 则该数列共有（）A ．132项B ．133项C ．134项D ．135项【答案】D 【分析】由题意抽象出数列是等差数列，再根据通项公式计算项数.【详解】被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，记为{}n a ，则()8151157n a n n =+-=-，令1572020n a n =-≤，解得：213515n ≤，所以该数列的项数共有135项.故选：D 【点睛】关键点点睛：本题以数学文化为背景，考查等差数列，本题的关键是读懂题意，并能抽象出等差数列.4．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式．宋代称为撮尖，清代称攒尖．依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑．如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥的侧面等腰三角形的底角为α，则侧棱与底面外接圆半径的比为（）A ．12cos αB ．12sin αC ．sin 3πsin8αD ．cos 3πcos8α【答案】A 【分析】根据正六棱锥的底面为正六边形计算可得结果.【详解】正六棱锥的底面为正六边形，设其外接圆半径为R ，则底面正边形的边长为R ，因为正六棱锥的侧面等腰三角形的底角为α，所以侧棱长为2cos 2cos RR αα=，所以侧棱与底面外接圆半径的比为12cos 2cos RR αα=.故选：A 【点睛】关键点点睛：掌握正六棱锥的结构特征是解题关键.5．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺”，则从第2天起每天比前一天多织（）A ．12尺布B ．518尺布C ．1631尺布D ．1629尺布【答案】D 【分析】设该女子第()Nn n *∈尺布，前()N n n *∈天工织布n S 尺，则数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，根据15a =，30390S =可求得d 的值.【详解】设该女子第()Nn n *∈尺布，前()N n n *∈天工织布n S 尺，则数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，由题意可得30130293015015293902S a d d ⨯=+=+⨯=，解得1629d =.故选：D.6．中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何?”意思是:“现有一根金锤，长五尺，一头粗一头细.在粗的一端截下一尺，重四斤;在细的一端截下一尺，重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为（）A ．3斤B ．6斤C ．9斤D ．12斤【答案】C 【分析】根据题意转化成等差数列问题，再根据等差数列下标的性质求234a a a ++.【详解】由题意可知金锤每尺的重量成等差数列，设细的一端的重量为1a ，粗的一端的重量为5a ，可知12a =，54a =，根据等差数列的性质可知1533263a a a a +==⇒=，中间三尺为234339a a a a ++==.故选：C 【点睛】本题考查数列新文化，等差数列的性质，重点考查理解题意，属于基础题型.7．古希腊时期，人们把宽与长之比为512-的矩形称为黄金矩形，把这个比值512称为黄金分割比例．下图为希腊的一古建筑.其中部分廊、檐、顶的连接点为图中所示相关对应点，图中的矩形ABCD ，EBCF ，FGHC ，FGJI ，LGJK ，MNJK 均近似为黄金矩形.若A 与D 间的距离大于18.7m ，C 与F 间的距离小于12m ．则该古建筑中A 与B 间的距离可能是（）（参考数据：510.6182-≈，70.6180.38≈，30.6180.236≈）A ．29mB ．29.8mC ．30.8mD ．32.8m【答案】C 【分析】由矩形ABCD 和EBCF 是黄金矩形，由边长的比求出AB 范围即可得．【详解】由黄金矩形的定义可知0.618AD AB ≈，20.6180.38BC CF CFAB BC AB⋅=≈≈，所以18.730.260.6180.618AD AB m ≈>≈，1231.580.380.38CF AB m ≈<≈，即()30.26,31.58AB ∈，对照各选项，只有C 符合．故选：C ．【点睛】本题考查数学文化，考查学生的阅读理解能力，转化与化归能力，创新意识．属于基础题．8．德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36o 的等腰三角形（另一种是顶角为108 的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC 中，512BC AC -=.根据这些信息，可得sin126= （）A ．1254-B．38+C ．154+D ．458+【答案】C 【分析】计算出51cos 724-= ，然后利用二倍角公式以及诱导公式可计算得出sin126cos36= 的值，即可得出合适的选项.【详解】因为ABC 是顶角为36o 的等腰三角形，所以，72ACB ∠= ，则1512cos 72cos 4BCACB AC-=∠==，()sin126sin 9036cos36=+= ，而2cos722cos 361=-，所以，51cos364+====.故选：C.【点睛】本题考查利用二倍角公式以及诱导公式求值，考查计算能力，属于中等题.9．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著.书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周四尺.高三尺.何积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米，米堆底部的弧长为4尺.米堆的高为3尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（）A ．7斛B ．3斛C ．9斛D ．12斛【答案】B 【分析】根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可．【详解】解：设圆锥的底面半径为r ，则42r π=，解得8r π=，故米堆的体积为2118163433ππ⎛⎫⨯⨯⨯⨯≈ ⎪⎝⎭，∵1斛米的体积约为1.62立方，∴161.6233÷≈，故选：B ．【点睛】本题主要考查椎体的体积的计算，比较基础．10．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为（）A ．2B ．242+C ．42+D ．442+【答案】D 【分析】利用三视图还原原几何体，结合三视图中的数据可计算出该“堑堵”的侧面积.【详解】由三视图还原原几何体如下图所示：2的等腰直角三角形，且直三棱柱的高为2，因此，该“堑堵”的侧面积为()22224+⨯=.故选：D.【点睛】本题考查利用三视图计算几何体的侧面积，一般要求还原原几何体，考查空间想象能力与计算能力，属于基础题.11．干支是天干（甲、乙、…、癸）和地支（子、丑、…、亥）的合称，“干支纪年法”是我国传统的纪年法.如图是查找公历某年所对应干支的程序框图.例如公元2041年，即输入2041N =，执行该程序框图，运行相应的程序，输出58x =，从干支表中查出对应的干支为辛酉.我国古代杰出数学家秦九韶出生于公元1208年，则该年所对应的干支为（）六十干支表（部分）56789戊辰己巳庚午辛未壬申5657585960己未庚申辛酉壬戌癸亥A ．戊辰B ．辛未C ．已巳D ．庚申【答案】A 【分析】输出1208N =，计算输出结果，查表可得结果.【详解】输入1208N =，1i =，第一次循环，120836011145x =--⨯=，2i =，60x ≤不成立；第二次循环，120836021085x =--⨯=，3i =，60x ≤不成立；第三次循环，120836031025x =--⨯=，4i =，60x ≤不成立；由上可知，每执行一次循环后，x 的值对应地在上一次循环后x 的值中减去60，则输出的x 的值为1205除60后的余数，120620605=⨯+ ，则输出的x 的值为5，因此，公元1208年对应的干支为戊辰.故选：A.【点睛】本题考查数学文化中的“干支纪年法”，考查程序框图的应用，考查计算能力，属于中等题.12．古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有个阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律.图2（正八边形ABCDEFGH ）是由图1（八卦模型图）抽象而得到，并建立如下平面直角坐标系，设1OA =.则下述四个结论：①以直线OH 为终边的角的集合可以表示为32,4k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；②以点O 为圆心、OA 为半径的圆的弦AB 所对的弧长为4π；③22OA OD ⋅= ；④(BF = 中，正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【分析】根据终边相同的角的定义可判断命题①的正误；利用扇形的弧长公式可判断命题②的正误；利用平面向量数量积的定义可判断命题③的正误；利用平面向量的坐标运算可判断命题④的正误.【详解】对于命题①，以直线OH 为终边的角的集合可以表示为3,4k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭，命题①错误；对于命题②，4AOB π∠=，以点O 为圆心、OA 为半径的圆的弦AB 所对的弧长为4π，命题②正确；对于命题③，由平面向量数量积的定义可得3cos 42OA OD OA OD π⋅=⋅=- ，命题③错误；对于命题④，易知点22,22B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，22,22F ⎛-- ⎝⎭，所以，(BF = ，命题④正确.故选：B.【点睛】本题以数学文化为背景，考查了终边相同的角的集合、扇形的弧长、平面向量数量积的定义以及平面向量的坐标运算，考查计算能力，属于基础题.二、填空题13．世界四大历史博物馆之首卢浮宫博物馆始建于1204年，原是法国的王宫，是法国文艺复兴时期最珍贵的建筑物之一，以收藏丰富的古典绘画和雕刻而闻名于世，卢浮宫玻璃金字塔为正四棱锥，且该正四棱锥的高为21米，底面边长为30米，是华人建筑大师贝聿铭设计的.若玻璃金字塔五个顶点恰好在一个球面上，则该球的半径为______米.【答案】29714【分析】作出图形，设球体的半径为R ，根据几何关系可得出关于R 的等式，进而可解得R 的值.【详解】如下图所示：在正四棱锥P ABCD -中，设M 为底面正方形ABCD 的对角线的交点，则PM ⊥底面ABCD ，由题意可得21PM =，30AB =，2302BD ==，则152BM =设该球的半径为R ，设球心为O ，则O PM ∈，由勾股定理可得222OB OM BM =+，即()(22221152R R =-+，解得29714R =.故答案为：29714.【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.14．明朝著名易学家来知德以其太极图解释一年、一日之象的图式，一年气象图将二十四节气配以太极图，说明一年之气象，来氏认为“万古之人事，一年之气象也，春作夏长秋收冬藏，一年不过如此”.上图是来氏太极图，其大圆半径为4，大圆内部的同心小圆半径为1，两圆之间的图案是对称的，若在大圆内随机取一点，则该点落在黑色区域的概率为______.【答案】1532【分析】设大圆面积为1S ，小圆面积2S ，求得116S π=，2S π=，进而求得黑色区域的面积，结合面积比，即可求解.【详解】设大圆面积为1S ，小圆面积2S ，则21416S ππ=⨯=，221S ππ=⨯=，可得黑色区域的面积为()1211522S S π⨯-=，所以落在黑色区域的概率为()121115232S S P S -==.故答案为：1532.【点睛】本题主要考查了几何概型的概率的计算问题，解决此类问题的步骤：求出满足条件A 的基本事件对应的“几何度量()N A ”，再求出总的基本事件对应的“几何度量N ”，然后根据()N A P N =求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．15．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述，比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小；以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺，问这块圆柱形木料的直径是多少？长为0.5丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示（阴影部分为镶嵌在墙体内的部分）.已知弦1AB =尺，弓形高1CD =寸，估算该木材镶嵌墙内部分的体积约为______立方寸.（注：一丈=10尺=100寸，53.14,sin 22.513π≈≈ ，答案四舍五入，只取整数．．．．．．．．．．．）【答案】317【分析】根据弓形的锯口深1寸，锯道长1尺，求出圆的半径，从而求出弓形（阴影部分）面积后，由柱体体积公式得木材体积【详解】如图，设圆半径为r 寸（下面长度单位都是寸），连接,OA OD ，已知152AD AB ==，1OD OC CD r =-=-，在Rt ADO 中，222AD OD OA +=，即2225(1)r r +-=，解得13r =，由5sin 13AD AOD AO ∠==得22.5AOD ∠=︒，所以45AOB ∠=︒，图中阴影部分面积为S S =扇形214131012 6.332522AOB S πππ-=⨯⨯-⨯⨯≈△（平方寸），镶嵌在墙体中木材是以阴影部分为底面，以锯刀长为高的柱体，所以其体积为 6.332550317V Sh =≈⨯≈（立方寸）故答案为：317．【点睛】本题考查柱体的体积，关键是求底面面积，方法是由扇形面积减去相应三角形面积得弓形面积，属基础题．16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体的棱长为______1-【分析】从图形中作一个最大的水平截面，它是一个正八边形，八个顶点都在边长为铁正方形边上，由此可计算出棱长．【详解】作出该图形的一个最大的水平截面正八边形ABCDEFGH ，如图，其八个顶点都在边长为1的正方形上，设“半正多面体”棱长为a ，则2212a a ⨯+=，解得1a =-，1-．【点睛】本题考查学生的空间想象能力，抽象概括能力，解题关键是从“半正多面体”中作出一个截面为正八边形且正八边形的八个顶点都在边长为1的正方形上，由此易得棱长．。
高考数学----解决数学文化、情境问题典型例题讲解
高考数学----解决数学文化、情境问题典型例题讲解【典型例题】例11．（2023·全国·高三专题练习）几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M ，N 是锐角AQB ∠的一边QA 上的两点，试在QB 边上找一点P ，使得MPN ∠最大．”如图，其结论是：点P 为过M ，N 两点且和射线QB 相切的圆与射线QB 的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xOy 中，给定两点M （-1，2），N （1，4），点P 在x 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标是（ ）A ．1B ．-7C ．1或-1D ．2或-7【答案】A【解析】由题M （-1，2），N （1，4），则线段MN 的中点坐标为（0，3）， 易知1MN k =，则经过M ，N 两点的圆的圆心在线段MN 的垂直平分线3y x =−上．设圆心为(),3S a a −，则圆S 的方程为()()()222321x a y a a −+−+=+．当MPN ∠取最大值时，圆S 必与x 轴相切于点P （由题中结论得），则此时P 的坐标为(),0a ，代入圆S 的方程，得()()22213a a +=−，解得1a =或7a =−，即对应的切点分别为P （1，0）和()7,0P '−． 因为对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大， 又过点M ，N ，P '的圆的半径大于过点M ，N ，P 的圆的半径， 所以MPN MP N ∠>∠'，故点P （1，0）为所求，即点P 的横坐标为1． 故选：A ．例12．（2023春·北京大兴·高三校考阶段练习）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线22:C x y x y +=+就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论：①曲线C 围成的图形的面积是2π+； ②曲线C 上的任意两点间的距离不超过2；③若(),P m n 是曲线C 上任意一点，则3m n +−的最小值是1． 其中正确结论的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】当0x …且0y …时，曲线C 的方程可化为22111222x y ⎛⎫⎛⎫−+−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 当0x …且0y …时，曲线C 的方程可化为22111222x y ⎛⎫⎛⎫++−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当0x …且0y …时，曲线C 的方程可化为22111222x y ⎛⎫⎛⎫−++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当0x …且0y …时，曲线C 的方程可化为22111222x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，曲线C 的图像如图所示；由图可知，曲线C从而曲线C 所围成的面积2114π2π22⨯⨯+=+，故①正确；过原点O 且连接两个半圆圆心M 、N 的直线交曲线C 于D 、E 两点，如下图所示：则|||||MN DM EN=所以，||||||||2DE MN DM EN=++=，故命题②错误；因为(,)P m n到直线30x y+−=的距离为d所以|3|m n+−，当d最小时，易知(,)P m n在曲线C的第一象限内的图像上，因为曲线C的第一象限内图像是圆心为11,22⎛⎫⎪⎝⎭，半径2的半圆，所以圆心11,22⎛⎫⎪⎝⎭到直线30x y+−=的距离d'=所以min d d'⎭所以|3|m n+−的最小值为12=，故③正确．故选：C例13．（2023·青海海东·统考一模）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的前纸，它是中国古老的传统民间艺术之一．在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）．已知正方形ABCD的边长为2，中心为O，四个半圆的圆心均为正方形ABCD各边的中点（如图2），若P在BC的中点，则()PA PB PO+⋅=___________．【答案】8 【解析】方法一：图3如图3，取BC 中点为E ，连结PO ，显然PO 过E 点． 易知，90BPC ∠=o ，45BPE ∠=，则1EP EB EC ===，PB 2PO PE OE =+=．所以，cos PB PO PB PO BPE ⋅=∠22=．图4如图4，延长PO 交AD 于F ，易知F 是AD 的中点，且PF AD ⊥．则3PF PE EF =+=，1AF =，在Rt AFP 中，AP cosPF APF PA ∠===所以，cos PO PA PO PA APF ⋅=∠26==．所以，()8PA PB PO PA PO PB PO +⋅⋅==⋅+． 故答案为：8． 方法二：图5取BC 中点为E ，连结PO ，显然PO 过E 点． 易知，90BPC ∠=o ，45BPE ∠=，1PE =如图5，取AB 中点为G ，显然OG PO ⊥，1OG =，2PO PE OE =+=．在Rt GOP 中，PG =cosOP GPO PG ∠== 又G 为AB 中点，则2G PA B P P =+．所以，()2PA PB PO PG PO +⋅=⋅cos 2GPO PG PO =∠228==．故答案为：8．。
数学文化在数学高考题中的渗透
数学文化在数学高考题中的渗透【摘要】数或者格式要求等。
数学文化在数学高考题中有着深远的影响。
历史地理文化题中融入了数学元素，让学生在解题过程中增进对数学文化的了解。
数学名人及其作品在高考题中体现，激发学生对数学的兴趣和探索欲。
艺术与数学的结合也在高考中展现，丰富了数学的文化内涵。
数学思想在语言文字题中的体现让学生理解数学思维与语言文字的关联。
数学文化不仅影响着高考命题的方向，也对学生的数学学习产生启发，提升他们对数学文化的理解和认识。
数学文化在高考中扮演着重要的角色，对学生数学学习的启发与指导将成为未来数学高考命题的发展趋势。
【关键词】数学文化、数学高考题、历史地理文化题、数学名人、艺术与数学、数学思想、语言文字题、高考命题、重要性、发展趋势、学生数学学习、启发1. 引言1.1 数学文化在数学高考题中的渗透数学文化在数学高考题中的渗透是一种重要的现象，它反映了数学在历史、地理、文化、艺术等方面的广泛影响。
数学不仅是一种抽象的学科，更是一种深刻的文化表达。
在高考中，我们经常可以发现一些与历史、地理、文化等领域密切相关的数学题目，这些题目不仅考察了学生对数学知识的掌握，更体现了数学与其他学科之间的紧密联系。
数学名人及其作品在高考题中的体现也是一种典型的数学文化渗透，通过这些题目，学生可以更深入地了解数学史上的一些重要人物和成就。
艺术与数学的结合是另一个重要的方面，数学在艺术领域中的应用不仅体现了数学的美学价值，更激发了学生对数学的兴趣和热爱。
数学思想在语言文字题中的体现也是数学文化在高考中的重要表现形式，这些题目不仅考察了学生的逻辑推理能力，更反映了数学与语言之间的微妙联系。
数学文化对高考命题的影响是全面的，它促使高考试卷更加丰富多样，更具有思想性和文化内涵。
数学文化的渗透对学生的数学学习有着重要的启发作用，它让学生更深入地了解数学的本质和意义，培养了他们对数学的热爱和兴趣。
数学文化在高考中的发展趋势是不可阻挡的，它将继续对高考命题产生积极的影响，促进学生素质的全面提升。
高考数学卷里的亮点———“数学文化”题
哈尔滨师范大学附属中学刘冰2017年，高考考试大纲修订内容中增加了对数学文化的要求，但是高考数学试题中早就出现过以数学文化为背景的新颖命题，经过持续发展，在2018年高考中呈现出了求新、求变的效果.把历史和文化内容引入高考数学，为高考数学题打上了文化的烙印.教师应在平时的教学中弘扬中国传统文化，吸收世界文化的精华，引导学生胸怀祖国，放眼世界.例1（2018年全国新课标I，理10）下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，A C.△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自I，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则A.p1=p2B.p1=p3C.p2=p3D.p1=p2+p3解析：设AB=a，A C=b，BC=a2+b2，√设整个图形的面积为S则p1=ab2S，p2=1S｛π（a2）22+π（b2）22-［π（a2+b2√2）22-1 2ab］｝=ab2S=p1故选A.【数学文化】古希腊数学家希波克拉底发现的一条平面几何里应用广泛的优美定理———月牙定理，指以直角三角形两条直角边为直径向外做两个半圆，以斜边为直径向内做半圆，则三个半圆所围成的两个月牙型面积之和等于该直角三角形的面积.本题依据这一定理考查几何概型问题.例2（2017年全国卷II，理3）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏解析：设顶层灯数为a1，q=2，s7=a1（1-27）1-2=381，解得a1=3.故选B.【数学文化】《算法统宗》，又名《直指算法统宗》《新编直指算法统宗》，明代数学家程大位撰，共17卷.1592年编成《算法统宗》共列算题595道，以珠算为主要的计算工具，卷一介绍数学常识，卷二介绍珠算，卷三以后分别为方田、粟布、衰分、少广、分田截积、商功、均输、盈亏、方程、勾等，第十七卷附以难题杂法，又列有14个纵横图.本题以数学史中《算法统宗》的一个问题为包装，考查数列问题.例3（2016年全国新课标II，理8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，实现该算法的程序框图见下页.执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s=.（A）7（B）12（C）17（D）34解析：第一次运算：s=0×2+2=2，第二次运算：s=2×2+2=6，第三次运算：s=6×2+5=17，故选C.【数学文化】秦九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法.在著作《数书九章》中提出了这一先进的多项式简化算法.一般一元n次多项式的求值需要经过n（n+1）2次乘. All Rights Reserved.a ，ba ≠ba ＞ba =a -bb =b-aa法和n 次加法，而秦九韶算法只需要n 次乘法和n 次加法.在人工计算时，大大简化了运算过程.本题以数学史中《秦九韶算法》的问题为背景，考查程序框图问题.例4（2015年全国卷II，理8）下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入a ，b 分别为14，18，则输出的a =.（A ）0（B ）2（C ）4（D ）14解析：逐次运行程序，直至程序结束得出a .a=14，b =18.第一次循环：14≠18且14＜18，b =18-14=4；第二次循环：14≠4且14＞4，a=14-4=10；第三次循环：10≠4且10＞4，a=10-4=6；第四次循环：6≠4且6＞4，a=6-4=2；第五次循环：2≠4且2＜4，b =4-2=2；第六次循环：a=b =2，跳出循环，输出a=2，故选B.【数学文化】更相减损术出自《九章算术》中的求最大公约数的算法，原本是为约分而设计的，但它适用于任何需要求最大公约数的场合.本题将更相减损术与程序框图相结合，加大了该问题的考查难度.考生若能看出此程序框图的功能，便很容易解决.例5（2015年湖北卷，理2）我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓有人送来米1534石，验得米内夹谷，254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（A ）134石（B）169石（C）338石解析：254粒和1534致相同的，设1534解得x =169，故这批米内夹谷约为169石.【数学文化】中的“米谷粒分”问题，体.本题以《数书九章》为载体，例6（2018年全国新课标II，理8）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（）A.112B.114C.115D.118解析：不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有n =C 210=45种不同的情况，其中和等于30的有7+23=30，11+19=30，13+17=30，共m =3种不同的情况，则所求的概率p =m n =345=115，故选C.【数学文化】在1742年给欧拉的信中，哥德巴赫提出了如下猜想：任一大于2的偶数都可写成两个素数之和.但是哥德巴赫自己无法证明它，于是就写信请教赫赫有名的大数学家欧拉帮忙证明，但是一直到死，欧拉也无法证明.1966年，陈景润证明了“1+2”成立，即“任一充分大的偶数都可以表示成二个素数的和，或是一个素数和一个半素数的和”.本题依据这一定理，考查古典概型问题.“数学文化”题是经典与创新的完美结合，也是近几年全国及各省份高考数学题中的一大亮点.我们在教学中应引导学生多多了解中国数学史及世界数学史，以便学生在高考中更好地发挥.编辑/王一鸣E-mail：***************考试KAOSHI. All Rights Reserved.。
高考数学数学文化题总结
高考数学数学文化题总结1. 某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为120°，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩色光的小灯泡且在背面用导线相连(弧的两端各一个，导线接头忽略不计)，已知扇形的半径为30厘米，则连接导线最小大致需要的长度为（ ）A. 58厘米B. 63厘米C. 69厘米D. 76厘米2. “勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”.三国时期，吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角12πα=，现在向该正方形区域内随机地投掷100枚飞镖，则估计飞镖落在区域1的枚数最有可能是（ ）A. 30B. 40C. 50D. 603. 我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为S =，若2sin 5sin a C A =，22()16a c b +=+则用“三斜求积”公式求得ABC ∆的面积为________.4. 《易经》包含着很多哲理，在信息学、天文学中都有广泛的应用，《易经》的博大精深，对今天 的几何学和其它学科仍有深刻的影响．下图就是易经中记载的几何图形——八卦田，图中正八 边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，八块面积相等的曲边梯形代表八卦田．已知正八边 形的边长为10m ，阴阳太极图的半径为4m ，则每块八卦田的面积约为（ ）A. 247.79mB. 254.07mC. 257.21mD. 2114.43m5. 上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1），充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图，图3是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角.由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表：根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是( )A. 公元前2000年到公元元年B. 公元前4000年到公元前2000年C. 公元前6000年到公元前4000年D. 早于公元前6000年6. 1611年，约翰内斯·开普勒提出了“没有任何装球方式的密度比面心立方与六方最密堆积要高”的猜想.简单地说，开普勒猜想就是对空间中如何堆积最密圆球的解答.2017年，由匹兹堡大学数学系教授托马斯·黑尔斯（Thomas Hales ）带领的团队发表了关于开普勒猜想证明的论文，给这个超过三百年的历史难题提交了一份正式的答案.现有大小形状都相同的若干排球，按照下面图片中的方式摆放（底层形状为等边三角形，每边4个球，共4层），这些排球共__________个，最上面球的球顶距离地面的高度约为__________cm （排球的直径约为21cm ）7. 为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示：劳伦茨曲线为直线OL 时，表示收入完全平等，劳伦茨曲线为折线OKL 时，表示收入完全不平等记区域A 为不平等区域，a 表示其面积，S 为OKL △的面积．将a Gini S=，称为基尼系数．对于下列说法：①Gini 越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为()y f x =，则对(0,1)x ∀∈，均有()1f x x >； ③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为2([0,1])y x x =∈，则14Gini =；④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为3([0,1])y x x =∈，则12Gini =． 其中不正确的是：（ ）A. ①④B. ②③C. ①③④D. ①②④8. 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍.其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一”.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积2136V L h ≈的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式23112V L h ≈相当于将圆锥体积公式中的圆周率近似取为（ ） A.227 B. 15750 C. 289 D. 3371159. “割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一，他在《九章算术注》中提出割圆术，并作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础.刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率为3.1415和3.1416这两个近似数值，这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据.如图，当分割到圆内接正六边形时，某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点，计算得出该点落在正六边形内的频率为0.8269，那么通过该实验计算出来的圆周率近似值为（ ）（参考数据： 2.09460.8269≈）A. 3.1419B. 3.1417C. 3.1415D. 3.141310. 《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的概率为（ ）A.15 B. 120 C. 112 D. 34011. 在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有—段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，曰增十三里：驽马初日行九十七里，曰减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：几日相逢？（ ）A ． 12日B ．16日C ． 8日D ．9日12. 《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能放多少斛米”(古制1丈10=尺，1斛 1.62=立方尺，圆周率3π=)，则该圆柱形容器能放米( )A. 900斛B. 2700斛C. 3600斛D. 10800斛13. 《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元466-485年间．其中记载着这么一道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，且每日增加的数量相同．已知第一日织布5尺，30日共织布390尺，则该女子织布每日增加（） A. 47 B. 1629 C. 815 D. 163114.《周髀算经》是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，…．生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”，某老年公寓住有20位老人，他们的年龄(都为正整数)之和恰好为一遂，其中年长者已是奔百之龄(年龄介于90至100)，其余19人的年龄依次相差一岁，则年长者的年龄为( )A. 94B. 95C. 96D. 9815.明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”．在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法．比如，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有大吕大吕太簇据此，可得正项等比数列{}n a中，k a= ( )A. n k-B. n-C.16.我国古人认为宇宙万物是由金，木，水，火，土这五种元素构成，历史文献《尚书·洪范》提出了五行的说法，到战国晚期，五行相生相克的思想被正式提出这五种物质属性的相生相克关系如图所示，若从这五种物质属性中随机选取三种，则取出的三种物质属性中，彼此间恰好有一个相生关系和两个相克关系的概率为( )A. 35B.12C.25D.1317.张衡(78年~139年)是中国东汉时期伟大的天文学家､文学家､数学家.他的数学著作有《算罔论》，他曾经得出结论：圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点A，B，若线段AB1，利用张衡的结论可得该正方体的外接球的表面积为( )A. 30B.C.D. 3618.朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有100根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是( )（多选题）A. 4B. 5C. 7D. 819.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹.古代用算筹(一根根同样长短和粗细的小棍子)来进行运算.算筹的摆放有纵式､横式两种(如图所示).当表示一个多位数时，个位､百位､万位数用纵式表示，十位､千位､十万位数用横式表示，以此类推，遇零则置空.例如3266用算筹表示就是，则8771用算筹应表示为( )A. B.C. D.。
高考数学文化题集锦含答案.docx
历年高考数学文化题集锦一. 数学名著中的立几题，例如：2015年全国1卷文6理6题6、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书屮有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问''积及为米几何？”其意思为广在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？"已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3,估算出堆放的米约有（）（A） 14斛（B） 22 斛（C） 36斛（D） 66 斛答案：B2012年湖北理科数学第10题10.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积〃，求其直径〃的一个近似公式d 珂尹.人们还用过一些类似的近似公式.根据71=3.14159…判断，下列近似公式中最精确的一个是A. B. d =何 C・d = J型7—vV 9 V157考点分析：考察球的体积公式以及估算.解析：由卩二彳龙上几削二:胚‘设选项中常数为纟，则好④；力中代入得好空=3.375,3 2 V 7C b a163中代入得K空=3, C中代入得好空卫=3.14,科代入得好空丄3.142857,2 300 21曲于I）中值最接近加勺真实值，故选择D。
二、数学名著中的数列题，例如：2011年湖北卷文9理13题;13.《九章算术》“竹九节”问题：现有1根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为【解析】设该数列的杵项为公筮为依题总应该疇（8）右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术"。
执行该程序框图，若输入a,b分别为14,18,则输出的玄= ___________【答幻B晦】師atWTil®中，a, 6的值依次为a = 14. 6 = 18； 6 = 4； a = 10； a = 6； a=2 b = 2・d匕时a = b = 2程牌抹,输岀a的值为2・故选B・数学名著中的统计题，例如：2015年湖北卷文2理2题2. （5分）（2015-湖北）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（A. 134 石)B. 169 石C. 338 石D. 1365 石升。
新高考题型：数学文化(精选100题)-数学附答案
“ 4 − 78 ”，1周角等于 6000 密位，记作1周角= 60 − 00 ，1直角= 15 − 00 ．如果一个
半径为 2 的扇形，它的面积为 7 π ，则其圆心角用密位制表示为（ ） 6
A．12 − 50
B．17 − 50
C． 21− 00
D． 35 − 00
2．天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲、乙、
10
5
15
过剩近似值，即 27 < e < 41 ，若每次都取最简分数，那么第二次用“调日法”后可得 e 10 15
的近似分数为（ ）
68
A．
25
41
B．
15
27
C．
10
14
D．
5
6．如图，洛书（古称龟书），是阴阳五行术数之源.在古代传说中有神龟出于洛水，其 甲壳上有此图像，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五 方白圈皆阳数，四角黑点为阴数.若从四个阴数和五个阳数中随机选取 3 个数，则选取 的 3 个数之和为奇数的方法数为（ ）
半球时取正值，直射南半球时取负值).设第 x 天时太阳直射点的纬度值为 y, 该科研小 组通过对数据的整理和分析.得到 y 与 x 近似满足 y = 23.4392911sin0.01720279x .则
每 400 年中，要使这 400 年与 400 个回归年所含的天数最为接近.应设定闰年的个数为
(精确到1)（ ）
A．30
B．40
C．44
D．70
7．《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子
在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦
专题09 解析几何专题(数学文化)(原卷版)2023年新高考数学创新题型微专题
A．
1 59
B．
1 2
C． 29 56
D．
1 57
7．（2022 秋·福建·高二校联考期中）几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点 M , N 是锐角 AQB 的一边 QA
上的两点，试在 QB 边上找一点 P ，使得 MPN 最大.”如图，其结论是：点 P 为过 M ， N 两点且和射线 QB
相切的圆与射线 QB 的切点.根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系 xOy 中，给定两点
我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率 与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘
积，已知椭圆 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
的面积为 6
2 ，两个焦点分别为 F1, F2 ，点 P 为椭圆 C 的上顶点．直
线 y kx 与椭圆 C 交于 A，B 两点，若 PA, PB 的斜率之积为 8 ，则椭圆 C 的长轴长为（ ） 9
R 的纵坐标为（ ）
A． 3
B．2
C． 2 3
D．4
6．（2022 秋·新疆乌鲁木齐·高二乌市八中校考期中）德国天文学家开普勒发现天体运行轨道是椭圆，已知地
球运行的轨道是一个椭圆，太阳在它的一个焦点上，若轨道近日点到太阳中心的距离和远日点到太阳中心
的距离之比为 28 : 29 ，那么地球运行轨道所在椭圆的离心率是（ ）
A．3
B．6
C． 2 2
D． 4 2
12．（2022 秋·北京·高二北京工业大学附属中学校考期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直觉，形
少数时难入微.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如： x a2 y b2 可以转化为
专题二第2讲高考中的数学传统文化
热点4 【例4】
数学推理与算法中的数学文化
公元263年左右，我国数学家刘徽发现：当
圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼 近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽 得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是 著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计 的一个程序框图，则输出n的值为_____．(参考数据：sin 15°≈0.258 8，sin 7.5°≈0.130 5， 3≈1.732)
《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光 点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意 思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一 层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( A．1盏 B．3盏 C．5盏 )
D．9盏
(2)(2018· 济南调研)《九章算术》之后，人们学会了 用等差数列的知识来解决问题，《张丘建算经》卷上第 22题为：“今有女善织，日益功疾(注：从第2天开始， 每天比前一天多织相同量的布)，第一天织5尺布，现一 月(按30天计)共织390尺布”，则从第2天起每天比前一 天多织________尺布．( ) 1 8 16 16 A. B. C. D. 2 15 31 29 解析：(1)设灯塔的顶层有x盏灯，则各层的灯数an
[变式训练]
(1)我国古代数学名著《九章算术》有
“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石， 验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒， 则这批米内夹谷约为( A．134石 ) B．169石
C．338石 D．1 365石 (2)如图是某老师讲解欧阳修《卖油翁》的课件用
图，若铜钱的直径为3 cm，中间有边长为0.25 cm的正方 形孔，则随机向铜钱上滴一滴油(油滴的大小忽略不 计)，则油滴正好落入孔中的概率是________．
高考数学文化常识知识点汇总
高考数学文化常识知识点汇总
数学文化常识在高考数学中发挥着重要的作用，涉及到数学的发展历程、数学家的贡献、数学的应用等方面知识点。
以下是一些常见的高考数学文化常识知识点的汇总：
1. 古代数学家：
- 莫西亚斯：古希腊早期数学家，被认为是几何学的奠基人。
- 毕达哥拉斯：古希腊数学家及哲学家，创立了毕达哥拉斯学派，提出了毕达哥拉斯定理。
- 欧几里得：古希腊数学家，著有《几何原本》，成为后世几何学的基础。
2. 数学的历史：
- 阿拉伯数字系统：阿拉伯人引入的一种数字系统，由0-9这十个数字组成，是现代数学计算的基础。
- 希腊几何学：希腊人在几何学领域取得了重大的成就，如平面几何和空间几何。
- 度量衡：古代人民为了解决实际问题而发展的度量衡系统，如长度、面积和体积的计算方法。
3. 数学家的贡献：
- 牛顿和莱布尼茨：发现了微积分的独立理论，为现代数学的
发展奠定了基础。
- 狄利克雷：提出了狄利克雷函数和狄利克雷级数等重要概念，对数论的发展做出了贡献。
- 庞加莱：是20世纪初最重要的数学家之一，对拓扑学和微分
几何学做出了巨大贡献。
4. 数学的应用：
- 密码学：利用数学的原理和算法进行加密和解密，保护数据
的安全性。
- 数据分析：利用数学的统计学方法对大量数据进行分析和推断，为决策提供依据。
- 金融工程：应用数学模型和方法进行金融风险的评估与管理。
以上是一些高考数学文化常识知识点的汇总，希望对你的学习
有所帮助。
在备考高考数学文化常识时，可以重点关注这些知识点，做好复习准备。
专题05 立体几何与数学文化-高考中的数学文化试题 (解析版)
专题05 立体几何与数学文化纵观近几年高考，立体几何以数学文化为背景的问题，层出不穷，让人耳目一新。
同时它也使考生们受困于背景陌生，阅读受阻，使思路无法打开。
本专题通过对典型高考问题的剖析、数学文化的介绍、及精选模拟题的求解，让考生提升审题能力，增加对数学文化的认识，进而加深对数学文理解，发展数学核心素养。
【例1】（2019课标2）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有个面，其棱长为．【答案】26，21．【解析】中间层是一个正八棱柱，有8个侧面，上层是有81+，个面，下层也有81+个面，故共有26个面；半正多面体的棱长为中间层正八棱柱的棱长加上两个棱长的2cos452=倍．该半正多面体共有888226+++=个面，设其棱长为x，则221x x=，解得21x．【试题赏析】本题以金石文化为背景，考查了球内接多面体，体现了对直观想象和数学运算素养的考查。
【例2】（2018课标Ⅲ）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题意可知，如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，小的长方体，是榫头，从图形看出，轮廓是长方形，内含一个长方形，并且一条边重合，另外3边是虚线，所以木构件的俯视图是A ．【试题赏析】本题以中国古建筑借助榫卯将木构件为背景，考查了简单几何体的三视图的画法。
【例2】 (2019浙江高考) 祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V sh 柱体，其中s 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是A ．158B ．162C ．182D ．324【答案】B【解析】由三视图还原原几何体如图，该几何体为直五棱柱，底面五边形的面积可用两个直角梯形的面积求解， 即()()114632632722ABCDE S =+⨯++⨯=五边形，高为6，则该柱体的体积是276162V =⨯=．故选：B ． 【试题赏析】本题以祖暅原理为背景，考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体。
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第5讲数学文化立体几何中的数学文化[题组练透]1．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有()A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛2．(2019·浙江高考)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体＝Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示(单位：cm)，则该柱体的体积(单位：cm3)是()A．158B．162C．182D．3243．《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如，将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．将一堑堵沿其一顶点与相对的棱所在平面切开，得到一个阳马(底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥)和一个鳖臑(四个面均为直角三角形的四面体)．在如图所示的堑堵ABC A1B1C1中，AA1＝AC＝5，AB＝3，BC＝4，则阳马C1ABB1A1的外接球的表面积是()A．25πB．50πC．100πD．200π4．(2019·全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCDA1B1C1D1挖去四棱锥OEFGH后所得的几何体．其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm.3D打印所用原料密度为0.9g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.5．(2019·全国卷Ⅱ)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图①)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图②是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．数列中的数学文化[题组练透]1．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50，…，则此数列的第20项为()A．220B．200C．180D．1622．《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗．苗主责之粟五斗．羊主曰：“我羊食半马”．马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何．其意思是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟．羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半．”若按此比例偿还，牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟？在这个问题中，牛主人比羊主人多赔偿()A.507斗粟B．107斗粟C.157斗粟D．207斗粟3．“斐波那契”数列是由十三世纪意大利数学家斐波那契发现的．数列中的一系列数字常被人们称为神奇数．具体数列为：1,1,2,3,5,8,13，…，即从该数列的第三项开始，每个数字都等于前两个相邻数字之和．已知数列{a n}为“斐波那契”数列，S n为数列{a n}的前n项和，若a2 021＝m，则S2 019＝()A．2m B．2m－12C．m＋1D．m－1算法中的数学文化[题组练透]1．公元三世纪中期，数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并因此创立了割圆术．利用割圆术，刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n为(参考数据：sin 15°≈0.258 8，sin 7.5°≈0.130 5)()A．12B．24C．36D．482．1927年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜想：对于任意一个正整数，如果它是奇数，对它乘3再加1，如果它是偶数，对它除以2，这样循环，最终结果都能得到1.该猜想看上去很简单，但有的数学家认为“该猜想任何程度的解决都是现代数学的一大进步，将开辟全新的领域”．至于如此简单明了的一个命题为什么能够开辟一个全新的领域，这大概与其蕴含的“奇偶归一”思想有关．如图是根据考拉兹猜想设计的一个程序框图，则①处应填写的条件及输出的结果i分别为()A．a是偶数？6B．a是偶数？8C．a是奇数？5D．a是奇数？7概率中的数学文化1．(2019·全国卷Ⅲ)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为()A．0.5B．0.6C．0.7D．0.82．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现从该三角形内随机取一点，则此点取自内切圆的概率是()A.π15B．2π5C.2π15D．4π153．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，田忌获胜的概率是( ) A.13 B ．14 C.15 D ．164．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中把三角形的田称为“圭田”，把直角梯形的田称为“邪田”，称底是“广”，称高是“正从”，“步”是丈量土地的单位．现有一邪田，广分别为十步和二十步；正从为十步，其内有一块广为八步，正从为五步的圭田．若在邪田内随机种植一株茶树，求该株茶树恰好种在圭田内的概率为( )A.215 B ．25C.415 D ．155.太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象化地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O 被函数y ＝3sin π6x 的图象分割为两个对称的鱼形图案，如图所示，其中小圆的半径均为1，现从大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为( )A ．136B ．118C ．112D ．19[题组练透]1.中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”．如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美．定义：图象能够将圆O 的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”，给出下列命题：①对于任意一个圆O ，其“太极函数”有无数个；②函数f (x )＝ln(x 2＋ x 2＋1)可以是某个圆的“太极函数”；③正弦函数y ＝sin x 可以同时是无数个圆的“太极函数”；④函数y ＝f (x )是“太极函数”的充要条件为函数y ＝f (x )的图象是中心对称图形．其中正确的命题为( )A ．①③B ．①③④C ．②③D ．①④2.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，如图所示，鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，且BD ⊥CD ，AB ＝BD ＝CD ，点P 在棱AC 上运动，设CP 的长度为x ，若△PBD 的面积为f (x )，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )[专题过关检测]一、选择题1．我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷(ɡuǐ)长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)．二十四个节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长的变化量相同，周而复始．若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则夏至之后的那个节气(小暑)晷长是()A．五寸B．二尺五寸C．三尺五寸D．四尺五寸2.随着计算机的出现，图标被赋予了新的含义，又有了新的用武之地．在计算机应用领域，图标成了具有明确指代含义的计算机图形．如图所示的图标是一种被称之为“黑白太阳”的图标，该图标共分为三部分．第一部分为外部的八个全等的矩形，每一个矩形的长为3，宽为1；第二部分为圆环部分，大圆半径为3，小圆半径为2；第三部分为圆环内部的白色区域．在整个“黑白太阳”图标中随机取一点，则此点取自图标第三部分的概率为()A.π24＋9πB．4π24＋9πC.π18＋9πD．4π18＋9π3．朱世杰是历史上伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下一段话：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人．”其大意为“官府陆续派遣1 864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人．”该段话中的1 864人全部派遣到位需要的天数为() A．9B．16C．18D．204.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例．若输入n，x的值分别为3,3，则输出v的值为() A．15B．16C．47D．485．刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国宝贵的数学遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积．若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是()A.334πB．332πC.12πD．14π6．(2018·北京高考)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为()A.32f B．322fC.1225f D．1227f7．“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅、…、癸酉，甲戌、乙亥、丙子、…、癸未，甲申、乙酉、丙戌、…、癸巳，…，癸亥，60个为一周，周而复始，循环记录.2014年是“干支纪年法”中的甲午年，那么2020年是“干支纪年法”中的()A．己亥年B．戊戌年C．庚子年D．辛丑年8．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．”该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈136L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V≈7264L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为()A．227B．258C．15750D．3551139．《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八封所代表的数表示如下：卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤0000艮0011坎0102巽0113依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“”，其表示的十进制数是()A．33B．34C．36D．3510．《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公约数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也．以等数约之．”翻译为现代语言如下：第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数．若是，用2约简；若不是，执行第二步；第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数．继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数．现给出“更相减损术”的程序框图如图所示，如果输入的a＝114，b＝30，则输出的n为()A ．3B ．6C ．7D ．3011．中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，关于“刍童”体积计算的描述，《九章算术》注曰：“倍上袤，下袤从之．亦倍下袤，上袤从之．各以其广乘之，并，以高乘之，六而一．”其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘；将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘；把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一．已知一个“刍童”的下底面是周长为18的矩形，上底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，则该“刍童”的体积的最大值为( )A ．392B ．752C ．39D ．601812．刍甍，中国古代算数中的一种几何形体，《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也”．翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍字面意思为茅草屋顶”．如图为一个刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则该茅草屋顶的面积为( )A ．24B ．325C ．64D ．326二、填空题13．我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁、鸡母、鸡雏个数分别为x ，y ，z ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝100，5x ＋3y ＋13z ＝100，当z ＝81时，x ＝________，y ＝________. 14．我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边长求三角形的面积的“三斜求积”公式：设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则△ABC 的面积S ＝14⎣⎡⎦⎤c 2a 2－⎝⎛⎭⎫c 2－a 2－b 222.若a 2sin C ＝4sin A ，(a ＋c )2＝12－b 2.则用“三斜求积”公式求得△ABC 的面积为________．15．我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n＝________.16．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺．莞生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，莞草第1天长高1尺．以后，蒲草每天长高前一天的一半，莞草每天长高前一天的2倍．问第几天蒲草和莞草的高度相同？”根据上述的已知条件，可求得第________天时，蒲草和莞草的高度相同．(结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg 3≈0.477 1，lg 2≈0.301 0)．。