第二章第三节曲面的切平面和法线计算例题

解 ,
切平面方程为 ;
法线方程为
.
图(4)
椭球面的切平面
4 求两个曲面的交线的切线方程
设曲面 ： ，
： .
曲线 是 与 的交线. .如图(5)所示.
图(5)
注意到 、 在点 的法向量分别为 和
,由于 过点 的切线的方向向量 同时垂直于 与 ,故可令 ,得
… … (6)
简记为
,
于是切线方程为
.
例4求球面
第二章 曲面的表示与曲面论
第三节曲面的
切平面和法线、
光滑曲面
1、平面曲线的切线与法线
设平面曲线的方程为
,
是其上一定点。在该点的切线斜率为
.
从而曲线过点 的切线方程为
,
即 ，(1)
法线方程为
，
(2)
例1、求笛卡尔叶形线 在点 处的切线与法线.
解 ,
, .
,
得到
切线方程 ,即 ;
法线方程 ,即 .如图(1)所示.
图(1)
2、空间曲线的切线与法平面
设空间曲线 的方程为
, .
定点 ,
,
动点
.
动割线 的方程为
,
当 时,动点 沿曲线无限接近定点 ,
达到动割线 的极限位置 : ，(3)
称之为曲线 在点 的切线.其方向向量为
。
过 且与切线垂直的平面叫做曲线 在点 的法平面,其方程为
… … (4)
例2求螺旋线 在点 的切线方程与法平面方程.
.设曲线 : 是曲面 上过点 的任意一条可微分曲线, ,
为 在点 的切线,则 .
证明因为 ,所以有 .两边对 求导,再取
,得 … … ①
则 为切线 的方向向量.①式表示 .
图(3)
由该定理可见:曲面 在点 的切平面 恰好是由 上过点 的所有曲线在 点的切线所织成的平面(如图(3)所示).
例3求椭球面 在点 的切平面及法线方程.
与锥面 的交线在点 处的切线与法平面方程.
解 , ;
, ;
.
切线方程是 ,即
;
法平面方程是
,
即 .
图(6)球面与锥面交线的切线
例5、设球面的双参数方程为
，
。
求过点 的切平面方程。
提示：
因为Hale Waihona Puke Baidu
所以, 法向量
或
故过点 的切平面方程为
整理得
即 球面 在其上一点
处的切平面方程为
。
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解 切向量为 ,切线方程为 ;
法平面方程为 ,即
.
图(2)螺旋线的切线与法平面
3 曲面的切平面与法线
设曲面 的一般式方程为 ，
是由该方程确定的隐函数，则 ， .设 ,
令 , ,
则曲面 在点 的切平面方程的法向量可表为
… … (5)
于是切平面 的方程为 ;
法线方程为 .
定理设曲面 的一般式方程为 ， ,