向量的数量积的定义与运算律

A ．|a·b |＝|a |·|b |

B ．a·b≠b·a

C ．(λa )·b ≠a ·(λb )

D ．非零向量a 与b 的夹角余弦值为a·b

|a||b |

【题型二 平面向量数量积的基本运算】

【例2】 已知|a |＝3，|b |＝6，当①a ∥b ，②a ⊥b ，③a 与b 的夹角是60°时，分别求a ·b .

【变式2】 设正三角形ABC 的边长为2，AB →＝c ，BC →＝a ，CA →

＝b ，求a ·b ＋b ·c ＋c ·a .

【题型三 与向量的模有关的问题】

【例3】 已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角为120°，求(1)a 2

－b 2

； (2)|a ＋b |.

【变式3】 设向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，(a －b )⊥c ，a ⊥b ，若|a |＝1，则|a |2

＋|b |2

＋|c |2

的值是________．

【题型四 向量垂直与夹角问题】

【例4】 已知|a |＝5，|b |＝4，且a 与b 的夹角为60°，则当k 为何值时，向量k a －b 与a ＋2b 垂直

【变式4】 设n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a ＝2m ＋n 与b ＝2n －3m 的夹角．

误区警示 混淆两向量的夹角为钝角与两向量的数量积为负之间的关系而出错

【示例】 设两向量e 1，e 2满足：|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角为60°.若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．