第3章-工程材料的本构关系
本构关系
本构关系，本质上说，就是物理关系，建立的方程称为物理方程，它是结构或者材料的宏观力学性能的综合反映。
广义上说，就是广义力-变形（F-D）全曲线，或者说是强度-变形规律。
一定要从“宏观角度”来理解“本构关系”。
因为各种材料或者构件或者结构，它在各种受力阶段的性能可有许多不同的具体反应，但是若绘制出它的广义力-变形（F-D）全曲线，则各种不同反应的现象在曲线上都会有相类似和相对应的几何特征点，即在宏观上是一致的。
从“宏观角度”出发看问题也是一种不错的学习和看问题的思路，在我们的研究和工程实践中都大有用途。
（1）本构关系有材料层次、构件截面层次、构件层次、结构层次等几个层次，不过现在的本构关系多是构件层次上的，对于结构层次的本构关系，目前研究较少，不过这会是以后的研究方向。
（2）另外，现在也多是一维本构，其经验模型已基本定型，而多维本构方面的强度准则的经验模型基本成熟，不过还有待进一步完善，多维本构也是是以后的发展趋势。
（3）现在的本构关系多是不考虑时间的影响的静本构关系，也发展到考虑短时间内影响的（譬如地震作用下几十秒内）动本构关系，其发展方向会是：即时（随时间发生变化的）本构关系，这有难度，不过总是有可研究的嘛！
wanghaiwei wrote:
另外，影响本构关系的因素有哪些？
影响本构关系的因素有很多：
（1）.材料本身的组成和材性；
（2）.受力状态：拉压剪扭弯等等；
（3）.荷载重复加卸作用；
（4）.偏心受力与否，构件截面非均匀受力与否，即有否应力或应变梯度；
（5）.砼的龄期;
（6）.荷载长期持续作用；
（7）.收缩；
（8）.徐变；。
混凝土的本构关系
混凝土的本构关系摘要：本构关系，即应力张量与应变张量的关系。
在分析混凝土本构关系时，模型的选择是一个重要问题，不同的模型对应的精度都不相同且会产生不同程度的误差。
本文对混凝土本构模型的发展进行了简要回顾，综述了本构关系研究现状，并简述了部分算法尚待解决的问题。
关键词：混凝土本构关系；力学模型1 前言工程材料的本构关系是材料的物理关系，是受力全过程中材料力和变形关系的概括，是材料内部微观机理的宏观行为表现，是结构强度和变形计算中必不可少的根据。
多年来，众多学者一直在寻求一种能反应混凝土工作机理的本构关系模型，迄今已取得了许多突破性的研究成果，建立了一系列不同的本构关系模型，然而，由于问题本身的复杂性，目前所建立的各类模型尚存在这样或那样的问题。
对混凝土结构进行有限元分析的实践表明，误差的主要来源是所选用的混凝土本构模型不能很好地描述材料的本构行为，因此对混凝土本构关系进行更精确的研究十分必要。
2 混凝土的本构关系模型研究现状现有的本构关系模型一般可分为以下几类：（1）以弹性力学为基础的模型；（2）以塑性力学为基础的模型；（3）塑性一断裂模型；（4）以不可逆热力学为基础的模型；（5）内时理论模型。
2.l 以弹性力学为基础的模型（l）线弹性模型这种模型最早应用于混凝土结构的分析中，能较好地描述混凝土受拉时的工作性能，对其它受力情况只适于初始受力状态。
这是最初的模型，随着对混凝土材料的不断认识，该理论已不能满足混凝土分析的要求。
（2）非线性弹性模型分为三种：Cauchy型、Green型及Incremental型。
Cauchy型认为应力只依赖于应变，与变化路径无关，根据以上概念所建立的模型是违背能量守恒定律的。
Green型模型能满足能量守恒定律，且能描述混凝土的非线性、膨胀、应力引起的各向异性，但由于材料常数太多很难确定。
Incremental型模型认为材料的力学性能不仅与此时的应力和应变状态有关，而且还与达到此应力状态的变化路径有关。
材料工程塑性理论(本构关系)
L
d
p i
用来描述硬化程度
i
H(
L
d
p i
)
对上式求导，有：
H
di
d
p i
d 3dip 3di 2i 2iH
等效塑性应变总量：沿应变路径累积
Levy-Mises方程：
d ij
d ij '
3d i 2 iH
ij
'
Levy-Mises硬化材料本构方程
d x
3d i 2 iH
x
dy 23diHi y
d z
3d i 2 iH
z
d ij
3d
2
i
iH
ij
4. 全量理论（形变理论）
Hencky 全量理论，1924 应力偏量分量与塑性应变偏量分量（不含弹性部分）应相似且同轴：
p x
p y
p z
p xy
p yz
p zx
' x
' y
' z
xy
yz
zx
或
ij
' ij
物理概念： 1）塑性应变全量与应力主轴重合 2）塑性应变全量的分量与应力偏量分量成比例
dij d ij
Note:（1）已知应变增量分量且对于特定材料，可以 求得应力偏量分量或正应力之差 ，但一般不能求出正 应力的数值 ，因为这时平均应力未知。 （2）已知应力分量，能求得应力偏量，但只能求得应 变增量的比值而不能求得应变增量的数值（对于理想 塑性材料）。理想塑性材料应变分量的增量与应力分 量之间无单值关系（很多解），dλ不是常数。 （3）若两正应力相等，则由于应力偏量分量相同，相 应的应变增量也相同，反之亦然。 （4）若某一方向的应变增量为零，则该方向的正应力 应等于平均应力。
本构关系
④其它力学理论类模型。 (非弹性模型) 各类本构模型的理论基础、观点和方法迥异，表达形式多样， 简繁相差悬殊，适用范围和计算结果的差别大。很难确认一个 通用的混凝土本构模型，只能根据结构的特点、应力范围和精 度要求等加以适当选择。至今，实际工程中应用最明和使用方便的非线弹性 类本构模型。
1、各向同性本构模型
结构中的任何一点，共有6个独立的应力分量： 即正应力σ11、 σ22 、 σ33 剪应力τ12=τ21、 τ23=τ32 、 τ31=τ13 。 相应地也有6个应变分量： 为正应变ε11、 ε22 、 ε33 剪应变γ12=γ21、 γ23=γ32 、 γ31=γ13 假设材料的各方向同性、有相等的弹性常数，即可建立正应 力-正应变和剪应力-剪应变之间的关系如下：
所以，钢筋混凝土非线性本构关系的内容非常丰富，试验和 理论研究也有一定难度。经过各国研究人员的多年努力，本构 关系的研究已在宽广的领域内取得了大量成果，其中比较重要 和常用的本构关系有： ◆混凝土的单轴受压和受拉应力-应变关系；
◆混凝土的多轴强度（破坏准则）和应力-应变关系；
◆多种环境和受力条件下的混凝土应力-应变关系，包括受压 卸载和再加载，压拉反复加卸载，多次重复荷载（疲劳）， 快速（毫秒或微秒级）加载和变形，高温（＞l00oC）和低温 ＜0oC）状况下的加卸载，……；
4.8.2非线性分析中的各种本构关系
结构分析时，无论采用解析法和有限元法都要将整体结构离 散化、分解成各种计算单元。例如二、三维结构的解析法取为 二维或三维应力状态的点（微体），有限元法取为形状和尺寸 不同的块体；杆系结构可取为各杆件的截面、或其一段、或全 长；结构整体分析可取其局部，如高层建筑的一层作为基本计 算单元。因此，本构关系可建立在结构的不同层次和分析尺度 上．当然最基本的是材料一点的应力-应变关系，由此决定或推 导其他各种本构关系。 各种计算单元的本构关系一般是以标准条件下，即常温下短 时一次加载试验的测定值为基础确定的。当结构的环境和受力 条件有变化时，如反复加卸载、动载、荷载长期作用或高速冲 击作用、高温或低温状况、……等，混凝土的性能和本构关系随 之有不同程度的变化、必须进行相应修正，甚至重新建立专门 的本构关系。
高等土力学(李广信)2-5章部分习题答案
2-1.什么叫材料的本构关系？在上述的本构关系中，土的强度和应力-应变有什么联系？ 答：材料的本构关系是反映材料的力学性质的数学表达式，表现形式一般为应力-应变-强度-时间的关系，也成为本构定律，本构方程。
土的强度是土受力变形发展的一个阶段，即在微小的应力增量作用下，土单元会发生无限大或不可控制的应变增量，它实际上是土的本构关系的一个组成部分。
2-7什么是加工硬化？什么是加工软化？请绘出他们的典型的应力应变关系曲线。
答：加工硬化也称应变硬化，是指材料的应力随应变增加而增加，弹增加速率越来越慢，最后趋于稳定。
加工软化也称应变软化，指材料的应力在开始时随着应变增加而增加，达到一个峰值后，应力随应变增加而下降，最后也趋于稳定。
加工硬化与加工软化的应力应变关系曲线如右图。
2-8什么的是土的压硬性？什么是土的剪胀性？答：土的变形模量随着围压提高而提高的现象，称为土的压硬性。
土的剪胀性指土体在剪切时产生体积膨胀或收缩的特性。
2-9简述土的应力应变关系的特性及其影响因素。
答：土是岩石风化形成的碎散矿物颗粒的集合体，通常是固、液、气三相体。
其应力应变关系十分复杂，主要特性有非线性，弹塑性，剪胀性及各向异性。
主要的影响因素是应力水平，应力路径和应力历史。
2-10定性画出在高围压（MPa 303<σ）和低围压（KPa 1003=σ）下密砂三轴试验的v εεσσ--)(131-应力应变关系曲线。
答：如右图。
横坐标为1ε，竖坐标正半轴为)(31σσ-，竖坐标负半轴为v ε。
2-13粘土和砂土的各向异性是由于什么原因？什么是诱发各向异性？答：粘土和砂土的各向异性是由于其在沉积过程中，长宽比大于1的针、片、棒状颗粒在重力作用下倾向于长边沿水平方向排列而处于稳定的状态。
同时在随后的固结过程中，上覆土体重力产生的竖向应力与水平土压力大小不等，这种不等向固结也造成了土的各向异性。
诱发各向异性是指土颗粒受到一定的应力发生应变后，其空间位置将发生变化，从而造成土的空间结构的改变，这种结构的改变将影响土进一步加载的应力应变关系，并且使之不同于初始加载时的应力应变关系。
第3章-工程材料的本构关系
第3章1第3章工程材料的本构关系1.概述¾描述工程材料作用与其作用效应之间的数学表达式称为材料的本构关系或本构方程。
¾连续介质模型：将微观上由无数分子组成的物体在宏观上视作由大量质点组成的连续介质。
即质点具有宏观充分小、微观充分大的特点。
第3章2¾弹性、塑性和粘性是连续介质的三种基本性质。
理想的弹性模型、理想的塑性模型（刚塑性模型）和理想的粘性模型是分别与这三种性质相应的理想模型。
¾迄今建立的工程材料的本构模型主要有：z 弹性模型；z 弹塑性模型；z 粘弹塑性模型；z 损伤模型；z 内蕴时间塑性模型。
第3章3¾在线弹性力学分析中，均假定材料的本构关系为理想的线弹性体，即符合虎克定律。
¾材料本构关系的非线性将导致结构的受力行为表现出非线性，这种非线性称为结构的物理非线性或材料非线性。
第3章42. 材料的弹性、塑性、粘性以及线性和非线性σεσεεeεp εpεe¾材料的弹性和塑性第3章5z 应力为σ时的总应变ε，ε＝εe +εpεe －弹性变形，卸载后可恢复的变形；εp －塑性变形，卸载后不可恢复的变形。
z 材料的弹性变形与加载过程和时间无关。
z 材料的塑性变形与时间无关，但与加载过程有关。
第3章6¾材料的粘性z 粘性是流体的基本特性。
z 当流体一旦运动，流体内部就具有抵抗剪切变形的特性，流体内部以内摩擦力的形式抵抗流层之间的相对运动，流体的这种特性即为运动流体的粘性。
z 固体材料的粘性反映的是固体材料内部质点的粘性流动。
z 材料的粘性变形是指受力后材料产生的不可回复的且与时间有关的变形。
第3章7¾弹性材料σεσεoεσσεo线弹性材料非线性弹性材料E σε=()t E d E d σσεσε==第3章8¾塑性材料－理想(刚)塑性材料εσf yo第3章9¾弹塑性材料σεσεεeεp εpεe第3章10εσf yεyoεyεσf yεyo理想的弹塑性模型线性强化的弹塑性模型第3章11¾粘性材料理想粘性材料tσεη=εtσd dtεd dtεση=第3章12¾粘弹性材料线性粘弹性材料12t t ，εσ12t t 弹性粘弹性()f t σε=第3章13非线性粘弹性材料12t t ，εσ12t t 弹性粘弹性(,)f t σε=第3章14¾粘塑性和粘弹塑材料z 当材料仅在塑性阶段才表现出明显粘性时，称为粘塑性材料；当材料在弹性阶段和塑性阶段均表现出明显粘性时，称为粘弹塑性材料。
第三章 塑性状态下的本构关系
（3.26）
同济大学水利工程系
李遇春编
由（3.26）式得：
( dε
p 1
2 2 2 − d ε p 2 ) + ( d ε p1 − d ε p 3 ) + ( d ε p 2 − d ε p 3 ) = ( d λ ) ⎡ ⎣(σ 1 − σ 2 ) + (σ 1 − σ 3 ) + (σ 2 − σ 3 ) ⎤ ⎦ 2 2 2 2
复杂应力状态
同济大学水利工程系
李遇春编
′+ + σ s′− = 2σ s 单向应力状态 σ s
复杂应力状态
f * (σ ij ) − c = 0
（初始屈服面）
m ) − c = 0 （后继屈服面） f * (σ ij + σ ij
m ：应力位移 σ ij
， c 不变。见图 3.9,屈服面作平移，位置改变，大小与形状不变。
N
d ε p ij
（塑性应变）
2 产生塑性变形为 d ε 过程○
p ij
，其塑性功为： (σ ij + dσ ij − σ ij )d ε
o
p ij
o = (σ ij − σ ij )d ε p ij
若
塑性功满足下式：
同济大学水利工程系
李遇春编
o (σ ij − σ ij )d ε p ij = dσ ij d ε p ij ≥ 0
⇓
平均弹性正应变增量
dsij deeij
= 2G
钢筋混凝土结构的本构关系及有限元模式共3篇
钢筋混凝土结构的本构关系及有限元模式共3篇钢筋混凝土结构的本构关系及有限元模式1钢筋混凝土结构的本构关系及有限元模式钢筋混凝土是建筑结构中广泛使用的材料之一。
在结构设计与分析过程中，了解钢筋混凝土的本构关系和有限元模式是十分重要的。
本文将从理论和实践两个层面介绍钢筋混凝土结构的本构关系及有限元模式。
一、理论基础1.1 本构关系本构关系是描述材料应力和应变之间关系的数学模型。
对于钢筋混凝土结构来说，其本构关系可以分为弹性和塑性两个阶段。
如图1所示，该曲线表现了材料的应变和应力之间的关系。
在开始阶段，钢筋混凝土材料表现出弹性行为，即在一定范围内，应变和应力呈线性关系，在这个范围内，应力的变化只取决于外力的变化。
当荷载增加时，材料进入塑性阶段，即出现残余变形，弹性不再适用。
此时，应变和应力的关系呈现非线性态势，应力会逐渐增大，直至材料失效。
图1 钢筋混凝土的本构关系曲线1.2 有限元分析有限元分析是一种近似解微分方程的数值分析方法。
该方法将问题分解成一个有限数量的小区域，在每个小区域内建立数学模型，通过连接小区域，组成总体的数学模型。
对于钢筋混凝土结构的有限元分析，可以采用三维有限元模型或二维\轴对称有限元模型等。
二、实践操作2.1 有限元模型的建立在进行有限元分析前，需要建立合适的有限元模型。
在钢筋混凝土结构的有限元分析中，通常采用ABAQUS、ANSYS软件进行模拟。
有限元模型的建立需要考虑结构的几何形状、材料特性、加载条件等，在模型建立的过程中需要进行模型分析和后处理，如应力监测、应变监测、变形量分析等。
2.2 本构关系的采用在建立有限元模型时需要设置材料弹性模量、泊松比、破坏应力等本构关系参数，这些参数可以通过试验数据和经验公式进行估算。
同时，基于实际结构的材料本身的特性和结构内力状态等影响因素，还需要考虑材料的非线性效应，包括弹塑性分析和的动力分析等。
三、应用现状在实际的建筑结构设计和分析中，钢筋混凝土结构的有限元分析被广泛采用，可以帮助工程师更加准确地预测材料的行为，并定位结构的破坏点及应急防御措施。
获取材料本构关系和硬度
塑性本构关系
塑性本构关系描述了材料在塑性 变形阶段的应力-应变关系，通 常用屈服准则和流动法则表示。
塑性本构关系具有非线性、不可 逆和有记忆的特性，适用于描述 大变形和复杂应力状态的情况。
屈服点和加工硬化速率是描述塑 性本构关系的两个重要参数。
超弹性本构关系
降低实验成本
创新材料设计
通过探索材料的本构关系和硬度，可 以发现新的材料设计思路，推动材料 科学的创新发展。
在设计阶段了解材料的本构关系和硬 度，可以减少实验次数，降低实验成 本。
在材料加工中的应用
加工工艺优化
了解材料的本构关系和硬度，可 以帮助优化加工工艺，提高加工 效率，减少加工过程中的材料浪 费。
弹性硬度测试
通过测量材料在受到外力 作用下的弹性变形量，计 算材料的弹性模量和硬度 。
硬度与其他性能的关系
硬度与耐磨性
硬度较高的材料通常具有 较好的耐磨性，因为它们 能够更好地抵抗摩擦和磨 损。
硬度与强度
硬度与材料的强度之间存 在一定的关系，通常硬度 较高的材料具有较高的抗 拉、抗压和抗剪强度。
硬度与韧性
03
材料本构关系的获取方法
实验测量
实验测量是获取材料本构关系和硬度最直接的方法。通过在实验室中对材料进行 拉伸、压缩、弯曲等实验，可以测量材料的应力-应变曲线，从而得到材料的本 构关系。
实验测量还可以通过硬度试验机来获取材料的硬度值，如洛氏硬度、布氏硬度和 维氏硬度等。
理论计算
01
02
03
理论计算是通过材料的 物理和化学性质，结合 力学理论进行计算的方
通过分析材料的本构关系和硬度，可以对材料的可靠性进行评估 ，为产品的寿命预测提供依据。
材料力学中的本构关系
材料力学中的本构关系材料力学是研究材料在力学作用下的力学性质和变形规律的学科。
而本构关系则是研究材料在某种载荷作用下的应力与应变的数学关系，它是捕捉材料本质的重要数学模型。
本构关系的重要性在材料力学研究中，本构关系是一种重要的数学工具。
一个成功的材料力学模型必须明确材料的本构关系，也就是应力与应变的关系。
要发展一个有效的模型，我们必须首先理解材料的组成及其物理属性。
许多材料，如塑料和金属，都有一系列复杂的物理特性，这些特性与其结构和化学成分有关。
在许多情况下，物理特性取决于样品所受的应力和应变的类型和大小。
根据不同的载荷类型，我们可以将本构关系分为静态本构和动态本构。
静态本构是指材料在恒定应力下的应变性质；而动态本构是指在变形下材料的响应性能，包括位移速度和波的传播速度等。
不同的本构关系类型它有多种类型的本构关系，包括线性弹性、非线性弹性、弹塑性和粘弹性等。
这些模型的选择取决于不同的载荷类型、材料类型和实验数据的可用性。
在接下来的几个小节中，将讨论其中的一些本构关系。
1. 线性弹性本构关系线性弹性本构关系是一种最常见的本构关系。
在这种情况下，应力和应变之间存在线性关系。
这种关系使得当应力和应变从负向正变化时，材料的应力和应变表现出可逆性。
当材料受到小的形变时，只存在弹性响应，而不会引起材料的破坏或变形。
这种响应成为胡克定律。
2. 非线性本构关系另外一类本构关系称为非线性本构关系。
这种模型是线性模型的推广。
在非线性模型中，应力和应变不再呈线性关系。
应力-应变关系的非线性性质可以由多种因素引起，包括组织的变化和材料的损伤。
3. 弹塑性本构关系弹塑性本构关系可以用于描述强塑性金属和一些聚合物的材料行为。
在这种材料中，弹性行为用胡克定律描述，而塑性加载则由塑性本构关系描述。
这些模型通常包括一个塑性应变区域，其中材料将始终保持塑性形变中。
4. 粘弹性本构关系最后一种本构关系是粘弹性本构关系。
这种模型适用于材料在较长时间尺度下的响应行为。
本构关系
1.弹性体应变能学习思路:弹性体在外力作用下产生变形，因此外力在变形过程中作功。
同时，弹性体内部的能量也要相应的发生变化。
借助于能量关系，可以使得弹性力学问题的求解方法和思路简化，因此能量原理是一个有效的分析工具。
本节根据热力学概念推导弹性体的应变能函数表达式，并且建立应变能函数表达的材料本构方程。
根据能量关系，容易得到由于变形而存储于物体内的单位体积的弹性势能，即应变能函数。
探讨应变能的全微分，可以得到格林公式，格林公式是以能量形式表达的本构关系。
如果材料的应力应变关系是线性弹性的，则单位体积的应变能必为应变分量的齐二次函数。
因此由齐次函数的欧拉定理，可以得到用应变或者应力表示的应变能函数。
学习要点：1. 应变能；2. 格林公式；3. 应变能原理。
弹性体发生变形时，外力将要做功，内部的能量也要相应的发生变化。
本节通过热力学的观点，分析弹性体的功能变化规律。
根据热力学的观点，外力在变形过程中所做的功，一部分将转化为内能，一部分将转化为动能；另外变形过程中，弹性体的温度将发生变化，它必须向外界吸收或释放热量。
设弹性体变形时，外力所做的功为d W，则d W=d W1+d W2其中，d W1为表面力F s所做的功，d W2为体积力F b所做的功。
变形过程中，由外界输入热量为d Q，弹性体的内能增量为d E，根据热力学第一定律,d W1+d W2=d E - d Q因为将上式代入功能关系公式，则如果加载很快，变形在极短的时间内完成，变形过程中没有进行热交换，称为绝热过程。
绝热过程中，d Q=0，故有d W1+d W2=d E对于完全弹性体,内能就是物体的应变能，设U0为弹性体单位体积的应变能，则由上述公式，可得即设应变能为应变的函数，则由变应能的全微分对上式积分，可得U0=U0（ ij），它是由于变形而存储于物体内的单位体积的弹性势能，通常称为应变能函数或变形比能。
在绝热条件下，它恒等于物体的内能。
比较上述公式，可得以上公式称为格林公式，格林公式是以能量形式表达的本构关系。
橡胶材料的基本实验及本构关系模型
第3章：橡胶材料的基础实验及本构模型作为一种具有良好弹性性能的工程材料，硫化橡胶早在19世纪就被广泛应用于密封、承载、减振降噪等工业领域。
而橡胶轨道减振器的使用则是最近20年来的事情，然而，不同于金属材料仅需要几个参数描述其材料特性，橡胶的行为复杂，材料本构关系是非线性的。
它的力学行为对温度，环境，应变历史，加载的速率都非常敏感，这样使得描述橡胶的行为变得更为复杂。
而橡胶的制造工艺和成分也对橡胶力学性能有显著的影响。
简单依赖单向拉伸性能实验并不能完全描述材料包括压缩及剪切在内的所有力学行为，这也意味着对橡胶轨道减振器进行有限元分析和结构模拟，必须对橡胶材料进行包括拉伸、压缩，剪切及体积实验等在内的全部基础实验。
3.1 橡胶基础实验简介描述橡胶材料的基础实验有8种（如图3-1）：单轴拉伸和压缩实验，双轴拉伸和压缩实验，平面拉伸和压缩（纯剪）实验以及测定体积变化的实验（拉或压）。
在长期的研究和实验，发现从单轴拉伸，双轴拉伸，平面拉伸及体积压缩实验中能够获得足够精确的实验数据。
因此，目前国际上定义橡胶材料力学行为的实验为：单向拉伸、双向拉伸、平面剪切及体积压缩。
图3-1 橡胶材料的8种基础实验对有限元分析所用的实验数据，一个重要的要求是，实验时实验试样应能达到“纯”的应变状态，这样得到的应力应变曲线是我们期望的能代表橡胶的行为特性的状态。
有限元程序通常需要输入的应力应变实验数据范围应大于要分析结构的预期的最大应力应变范围。
通常，理想状态应该是测得在几种准静态荷载模式下的应力应变曲线，这样可以选择出最合适的材料的本构模型以及反映这种模型的参数。
图3-2是本课题研究工作中所用到的一组橡胶材料数据，该实验在美国AXEL实验室完成，材料是公司生产轨道减振器产品所用配方。
图3-2 橡胶基础实验数据3.2 橡胶材料的基础实验3.2.1单轴拉伸实验单轴拉伸实验是最常用到的一种实验，有很多种橡胶拉伸的实验标准。
但是为有限元分析的实验要求比标准的实验方法还要高些，最为明显的是实验要达到一个纯的拉伸状态，也就是实验应该尽量减小对试样侧面的约束。
第3章-工程材料的本构关系.
在线弹性力学分析中，均假定材料的本构 关系为理想的线弹性体，即符合虎克定律。 材料本构关系的非线性将导致结构的受力 行为表现出非线性，这种非线性称为结构 的物理非线性或材料非线性。
第3章
3
2. 材 料 的 弹 性 、 塑 性 、 粘 性 以及线性和非线性
材料的弹性和塑性
σ σ
2 0.4 0 ( 2 4.5 6) 0 0 0 u
第3章
24
《混凝土结构规范（GB50010-2002)》应力-应变关系-1
c n f [ 1 ( 1 ) ] 0 上升段： c c 0
70
C80
60
下降段： c f c
25
《规范》混凝土应力-应变曲线参数 fcu n ≤C50 2 0.002 0.0033 C60 1.83 0.00205 0.0032 C70 1.67 0.0021 0.0031 C80 1.5 0.00215 0.003
n =1~0.5
第3章 21
Hognestad 建议的应力-应变曲线
2 2 fc 0 0 0 f c 1 0.15 u 0
fc
0 0
0 u
0.15 fc
0
第3章
u
0.0038
22
0
0.002
Rush 建议的应力-应变曲线
2 2 fc 0 0 fc
fc
0 0
0 u
0
0
第3章
u
0.0035
23
3_弹性模型
A-3 实体模型概述 直接输入几何实体来建模很方便,但有些情况下需 要在ANSYS中来建立实体模型。例如:
需要建立参数模型时，— 在优化设计及参数敏感性分 析时建立的包含变量的模型。 没有ANSYS能够读入的几何实体模型时。 计算机上没有相关的绘图软件时（与ANSYS程序兼容 的）。 在对输入的几何实体需要修改或增加时，或者对几何 实体进行组合时。
4
3.2 线性弹性模型
5
线性弹性模型
线性弹性模型是最简单的力学本构方程，其一般表达式为
材料刚度张量 或模量张量
ij Dijkl kl
各向同性 弹性体
ij 2 ij kk ij
四阶张量Dijkl 一般有 81 个元素; 均质连续各向异性弹性体，Dijkl 有 21个元素是独立的； 对三向正交各向异性弹性体， Dijkl中 9 个元素就可确定 ； 横观各向同性体是三向正交各向 异性体的特殊情况，Dijkl需要 5 个 独立参数即可确定； 对各向同性弹性体，Dijkl只有两 个独立的参数。
15
K
G
超弹性模型
超弹性模型( HyPerelastic models)又称 Green超弹性模型。它通过材料的应变能函 数或余能函数来建立材料的本构方程。
考虑-体积为V，表面积为 A 的物体。物体上作用有体力 Fi和表面上作用有外力Ti，物体中产生的应力为 ij，相应的 位移和应变分别为uij 和 ij 。对弹性材料，应力可由应变唯 一确定，即
应力张量增量可分解为应力球张量增量和应力偏张量增量两部分
ij Sij 8ij
八面体正应变增量可表示为
ij Sij 3Kt8ij
8 kk kl kl
力学中的材料本构关系
力学中的材料本构关系力学是一门研究物体运动和相互作用的基础科学。
其中，材料本构关系是力学领域中关键的概念之一。
在这篇文章中，我们将深入探讨材料本构关系的相关知识。
什么是材料本构关系？材料本构关系是材料力学分支中一个非常重要的概念。
它描述了材料受力时内部的应变与应力之间的关系。
简而言之，材料本构关系是描述材料物理性质的一种模型。
材料本构关系的具体表达方式有多种，其中最为广泛应用的是拉伸-压缩本构关系。
通过对拉伸和压缩的试验获得的应变与应力数据，可以建立材料本构关系模型，并据此预测材料在受力时的表现。
为什么要研究材料本构关系？材料本构关系的研究对于工程应用和科学研究都具有重要意义。
在工程应用中，材料本构关系是设计产品和结构的关键因素之一。
例如，建筑师在设计桥梁或者大楼时需要考虑材料受力的情况，设计出合适的结构，在确保安全的前提下，使用尽可能少的材料。
在科学研究中，材料本构关系与材料微观结构之间的关系被广泛研究。
其关系不仅有助于深入理解材料的力学性质，还有助于提高材料结构设计的可行性。
材料本构关系的测量方法为了确定一个材料的本构关系，需要进行一系列实验。
目前，常用的测量方法主要分为两种：静态加载试验和动态加载试验。
静态加载试验可以测出材料的应力-应变曲线。
在这种试验中，常见的应力测量方法有万能试验机、杠杆式传感器等。
而应变的测量方法，则通常采用应变片或者测微计之类的工具。
动态加载试验主要适用于热力学和声学领域的研究。
与静态加载试验不同，它需要在振动状态下对材料进行测量。
目前，数据采集系统和光学测量设备等技术手段已经成为了动态加载试验的标配。
材料本构关系的分类材料本构关系可以大致分为两类：线性本构关系和非线性本构关系。
其中，线性本构关系的情况较为简单，可以通过弹性模量E和泊松比v进行描述。
而对于非线性本构关系，则需要使用更加复杂的数学模型。
在非线性本构中，又可根据材料受力的方式，将本构关系分为塑性本构关系和粘弹性本构关系两种类型。
工程材料的本构关系
0.15 fc
0
第3章
u
0.0038
21
0
0.002
Rush 建议的应力-应变曲线
2 2 fc 0 0 fc
fc
0 0
0 u
0
0
第3章
u
0.0035
22
0.002
孙文达建议的公式
弹性、塑性和粘性是连续介质的三种基本性 质。理想的弹性模型、理想的塑性模型（刚 塑性模型）和理想的粘性模型是分别与这三种 性质相应的理想模型。 迄今建立的工程材料的本构模型主要有： 弹性模型； 弹塑性模型； 粘弹塑性模型； 损伤模型； 内蕴时间塑性模型。
第3章 1
在线弹性力学分析中，均假定材料的本构 关系为理想的线弹性体，即符合虎克定律。 材料本构关系的非线性将导致结构的受力 行为表现出非线性，这种非线性称为结构 的物理非线性或材料非线性。
19
Es/E0
1
x= /0
第3章
混凝土的弹性模量
’ ’ Ec’ = tan a’
Ec= tan a
Ec’ = tan a’
原点切线模量
割线模量
瞬时切线模量
d Ec d
0
Ec el nEc Ec
d Ec d
弹性系数n 随应力增大而减小：
当材料仅在塑性阶段才表现出明显粘性
时，称为粘塑性材料；当材料在弹性阶段 和塑性阶段均表现出明显粘性时，称为粘 弹塑性材料。
第3章
13
三种基本元件
弹性元件－Hooke 体或弹簧元件； 塑性元件－St. Venant 体或滑块元件； 粘性元件－Newton 体或阻尼元件。
关于本构关系
关于本构关系我用过镇海的本构关系!指定C15-C80混凝土单轴抗压强度标准值(MPa) *SET,fc15,10.0 *SET,fc20,13.4*SET,fc25,16.7*SET,fc30,20.1*SET,fc35,23.4*SET,fc40,26.8*SET,fc45,29.6*SET,fc50,32.4*SET,fc55,35.5*SET,fc60,38.5*SET,fc65,41.5*SET,fc70,44.5*SET,fc75,47.4*SET,fc80,50.2!指定C15-C80混凝土单轴抗拉强度标准值(MPa) *SET,ft15,1.27 *SET,ft20,1.54*SET,ft25,1.78*SET,ft30,2.01*SET,ft35,2.20*SET,ft40,2.39*SET,ft45,2.51*SET,ft50,2.64*SET,ft55,2.74*SET,ft60,2.85*SET,ft65,2.93*SET,ft70,2.99*SET,ft75,3.05*SET,ft80,3.11!指定C15-C80混凝土拉压弹性模量(MPa)*SET,exc15,22000*SET,exc20,25500*SET,exc25,28000*SET,exc30,30000*SET,exc35,31500*SET,exc40,32500*SET,exc45,33500*SET,exc50,34500*SET,exc55,35500*SET,exc60,36000*SET,exc65,36500*SET,exc70,37000*SET,exc75,37500*SET,exc80,38000!指定C15-C60混凝土单轴抗压强度对应的应变*SET,strn15,0.00137*SET,strn20,0.00147*SET,strn25,0.00156*SET,strn30,0.00164*SET,strn35,0.00172*SET,strn40,0.00179*SET,strn45,0.00185*SET,strn50,0.00192*SET,strn55,0.00198*SET,strn60,0.00203*SET,strn65,0.00207*SET,strn70,0.00210*SET,strn75,0.00212*SET,strn80,0.00213*SET,fc,48 !指定混凝土单轴抗压强度(MPa)*SET,ft,ft75+(fc-fc75)*(ft80-ft75)/(fc80-fc75) !指定混凝土单轴抗拉强度(MPa) *SET,EXC,exc75+(fc-fc75)*(exc80-exc75)/(fc80-fc75) !指定混凝土初始弹性模量(MPa)*SET,strn0,strn75+(fc-fc75)*(strn80-strn75)/(fc80-fc75) !指定混凝土对应于fc的应变/PREP7!定义混凝土材料*set,a,strn0*exc/fc*set,inc1,0.05 !指定上升段x增量*set,inc2,0.05 !指定下降段x增量ET,1,SOLID65MP,EX,1,EXCMP,PRXY,1,0.25TB,MISO,1,1,100,0!确定第一点TBPT,,inc1*strn0,inc1*strn0*exc!确定上升段其它点*DO,x,2*inc1,1,inc1TBPT,,x*strn0,fc*(a*x+(3-2*a)*x**2+(a-2)*x**3)*enddo!确定下降段各点*DO,x,1+inc2,4,inc2TBPT,,x*strn0,fc*x/(0.8*(x-1)**2+x)*enddoTB,CONCR,1,1TBDATA,,1,1,ft,-1可以定义应力应变的点来定义混凝土的本构关系,基本格式是et,1,solid65tb,miso,1,1,12tbpt,,0,0tbpt,,0.0002,0.0002*5e10tbpt,,tbpt,,tbpt,,tbpt,,tbpt,,tbpt,,tbpt,,tbpt,,tbpt,,定义本构关系的第一组数据相除的结构应该等于设置的弹性模量。
机械工程中的材料本构关系研究
机械工程中的材料本构关系研究材料是机械工程领域的核心，其性能和行为对于机械系统的设计和运行具有重要影响。
在机械工程中，研究材料的本构关系是一项至关重要的任务。
本构关系描述了材料的应力-应变行为，即在给定应力下材料的变形行为。
研究材料的本构关系有助于了解材料的机械性能和力学行为，为机械系统的设计和优化提供依据。
一、材料本构关系的定义材料的本构关系揭示了材料受力时的响应规律。
简单来说，材料的本构关系是描述材料应力-应变响应的数学模型。
它可以用数学公式或图表的形式表示。
材料的本构关系通常单独考虑各个方向的应力和应变，并且根据应力和应变之间的关系建立不同的本构方程。
二、弹性本构关系的研究弹性本构关系是材料力学研究的基础，也是机械工程中常用的本构关系。
弹性材料在受力之后能够恢复到原来的形状和尺寸，而不发生永久性变形。
常见的弹性本构关系有胡克定律和刚塑本构关系。
胡克定律是描述线弹性材料本构关系的基本法则。
该定律认为，应力和应变之间的关系是线性的。
即应力等于弹性模量和应变的乘积。
这种本构关系适用于大多数金属和一些非金属材料。
刚塑本构关系则是将弹性本构关系扩展到塑性行为的材料。
刚塑材料在超出弹性阈值后会发生塑性变形，即会发生形状和尺寸的永久性变化。
刚塑本构关系的描述包括两个部分：弹性部分和塑性部分。
弹性部分遵循胡克定律，而塑性部分则依赖于材料的应力状态和变形历史。
三、塑性本构关系的研究塑性本构关系研究的是材料在超出其弹性限度后的变形行为。
塑性行为是材料分子结构的改变，导致永久性的材料形变。
塑性本构关系可以用来描述材料在给定应力下的应变行为。
常用的塑性本构关系包括von Mises本构关系和Mohr-Coulomb本构关系。
von Mises本构关系是用来描述金属塑性行为的常用模型。
它假设材料在塑性区域内的应力-应变行为主要受到应力和应变的等效应力和等效应变的影响。
von Mises本构关系适用于金属材料在屈服点后的塑性变形行为。
混凝土的本构关系
7.1.4 混凝土的本构关系
7.1.4 混凝土的本构关系
一．混凝土各类本构模型简介___弹塑性本构模型 经典塑性理论是针对理想弹塑性材料建立的，材料本构关系包含 四方面的内容：屈服条件；判别加载和卸载状态的准则；强化条 件或后续屈服面；塑性应力与应变关系的规律。
7.1.4 混凝土的本构关系
混凝土非线弹性本构模型
这类本构模型的数量很多，具体表 达式差别很大。但在CEB-FIP标准 规范（1990年版）中，明确建议 Ottosen和Darwin-Pecknold两个 本构模型用于有限元分析。下面将 这两个本构模型作一简单介绍。
§7.1.4 混凝土的本构关系
2、混凝土非线弹性本构模型____Ottosen本构模型
定义一非线性指标 ，表示当前应力状态
（包络面）的距离，也即塑性变形发展的程度。假定
力 增大至
时混 凝3 土破坏，则3 f
(1,至2,混3凝) 土破坏
保持不变，1,压2应
3 3f
混凝土的多轴应力应变关系采用Sargin的单轴受压方程，即
A
c
(D
§7.1.4 混凝土的本构关系
2、混凝土非线弹性本构模型____Ottosen本构模型
等效一维应力-应变关系
Ottosen建议采用Sargin提出的单轴受压方程式，来等效描述三轴应力状
态下的应力应变特征，并将三轴应力状态下混凝土破坏时的割线模量 代
替单轴破坏时的割线模量 。割线模量 Ottosen建议取：
§7.1.4 混凝土的本构关系
2、混凝土非线弹性本构模型____Darwin-Pecknold 本构模型
双轴峰值应变 的ip 取值
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显著，下降段越陡。 显著，下降段越陡。
第3章
19
混凝土应力-应变全曲线的几何特征
采用无量纲坐标 x=ε/ε0，y=σ/fc，
y=σ /fc 1 D
dy ① x=0，y=0，
E
dx d2 y ≤ ② 0≤x ≤1， 2 0 dx dy = 0 ，y=1 ③ x=1， dx d2 y ④ 拐点 D， 2 xd=0，xd≥1 dx d3 y ⑤ 曲率最大 E， 3 xe=0，xe> xd dx 点 dy x→∞时， →0， = 0 y ⑥当 dx ⑦ x≥0，0≤y ≤1
σ
fu fy
b a a’ c d
e f
a’ 为比例极限，σ =Esε a 为弹性极限 b 为屈服上限 c 为屈服下限，即屈服强度 fy cd为屈服台阶
ε
de为强化段 e为极限抗拉强度 fu
第3章
42
有明显屈服点钢筋（软钢）应力-应变 软钢） 关系的数学模型
一般可采用双线性理想的弹－ 一般可采用双线性理想的弹－塑性关系或线性强化 的弹－ 的弹－塑性关系
y = 1.2 x − 0.2 x 6 x y= α t ( x − 1)1.7 + x x ≤1 x ≥1
ε σ x= ，= y ft εt0
第3章
37
线性式
σ
ft
ε
ε t 0 (ε tu )
第3章
38
双折线式－1
σ
ft
ε t 0 ε tu
ε
第3章
39
双折线式－2
σ
ft
α ft
ε t 0 ε tu
σ (MPa)
C80
60
C60
40
C40
20
C20
ε
第3章
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
27
Saenz 建议的公式
σ= ε ε 2 ε 3 A + B( ) + C ( ) + D( ) ε0 ε0 ε0
E0ε
式中系数 A、B、C、D 由下列条件确定： (1) ε = 0, σ = 0; dσ (2) ε = 0, = E0 ; dε (3) ε = ε 0 , σ = σ 0 ; dσ (4) ε = ε 0 , = 0; dε (5) ε = ε u , σ = σ u
C40
30
20
C20
ε u = 0 . 0033 − ( f cu − 50 ) × 10
−6
10
ε
0 0.001 0.002 0.003 0.004
第3章
25
《规范》混凝土应力-应变曲线参数 fcu n ≤C50 2 0.002 0.0033 C60 1.83 0.00205 0.0032 C70 1.67 0.0021 0.0031 C80 1.5 0.00215 0.003
第3章 5
材料的粘性
粘性是流体的基本特性。 粘性是流体的基本特性。 当流体一旦运动， 当流体一旦运动，流体内部就具有抵抗剪 切变形的特性， 切变形的特性，流体内部以内摩擦力的形 式抵抗流层之间的相对运动， 式抵抗流层之间的相对运动，流体的这种 特性即为运动流体的粘性。 特性即为运动流体的粘性。 粘性 固体材料的粘性反映的是固体材料内部质 点的粘性流动。 点的粘性流动。 材料的粘性变形 粘性变形是指受力后材料产生的不 材料的粘性变形是指受力后材料产生的不 可回复的且与时间有关的变形。 可回复的且与时间有关的变形。
第3章
10
粘性材料
ε
σ ε = t η
σ
dε σ =η dt
dε dt
t
理想粘性材料
第3章
11
粘弹性材料
σ
弹性
t1， t 2
t1
粘弹性
t2
σ = ε f (t )
ε
线性粘弹性材料
第3章 12
σ
弹性
t1， t 2
t1
粘弹性
t2
σ = f (ε , t )
ε
非线性粘弹性材料
第3章
13
粘塑性和粘弹塑材料
fu
a点：比例极限，约为0.65fu 比例极限，约为0.65 a点前：应力-应变关系为线弹性 点前：应力a
σ0.2
a点后：应力-应变关系为非线性， 点后：应力-应变关系为非线性， 有一定塑性变形， 有一定塑性变形，且没有明显的屈 服点 残余应变为0.2% 0.2%所 条件屈服点σ0.2，残余应变为0.2%所 对应的应力 《规范》取σ0.2＝0.85fu 规范》
σ = 6.75σ 0 [e
−e
]
第3章
32
4.混凝土单向受拉时的本构关系 4.混凝土单向受拉时的本构关系
第3章
33
Hillerborg 建议的双折线式
σ / ft
1.0
（ ε ×10 ）
－6
200 800
第3章
34
朱伯龙 建议的公式
2ε σ = ft ⋅ ε + 0.0001 σ = ft σ = 0
fy
1
σ = Esε
Es
ε ≤εy ε >εy
σ = fy
εy
第3章 43
σ fy
o
ε
εy
带线性强化的弹－ 带线性强化的弹－塑性关系
第3章
44
σ fy
o
ε
εy
带屈服平台和线性强化段的弹－ 带屈服平台和线性强化段的弹－塑性关系
第3章
45
无明显屈服点钢筋（硬钢）的应力－应变曲线 无明显屈服点钢筋（硬钢）的应力－
第3章
15
σ
E
σ
σ
f
σ
塑性元件
η
σ
粘性元件 dε σ =η dt
σ
弹性元件
σ = Eε
σ < f , ε =0 σ = f, ε >0
第3章
16
三种基本元件中的两个或三个的不同组合 即可刻划出不同的本构关系。 即可刻划出不同的本构关系。
第3章
17
3.混凝土单向受压时的本构关系 3.混凝土单向受压时的本构关系
ν =1~0.5
第3章 21
Hognestad 建议的应力-应变曲线
2ε ε 2 σ = fc − ε0 ε0 ε − ε0 σ = f c 1 − 0.15 εu − ε0
σ
fc
0.15 fc
0 ≤ ε ≤ ε0
ε0 ≤ ε ≤ εu
ε0 εu
第3章
26
过镇海提出的应力-应变全曲线表达式
ax + (3 − 2a ) x 2 + (a − 2) x 3 x ≤ 1 y ( x) = x x >1 α ( x − 1)2 + x c
a=Es/E0， E0为初始弹性模量； 为初始弹性模量； Es为峰值点时的割线模 量， 为满足条件① 为满足条件①和②，一 般应有1.5≤a≤3；αc 为下 般应有 ； 降段参数
第3章 工程材料的本构关系 1.概述 1.概述
描述工程材料作用与其作用效应之间的数 学表达式称为材料的本构关系 本构方程。 本构关系或 学表达式称为材料的本构关系或本构方程。 连续介质模型：将微观上由无数分子组成 连续介质模型： 的物体在宏观上视作由大量质点组成的连 续介质。即质点具有宏观充分小、 续介质。即质点具有宏观充分小、微观充 分大的特点。 分大的特点。
第3章
1
弹性、塑性和粘性是连续介质的三种基本性 弹性、塑性和粘性是连续介质的三种基本性 理想的弹性模型、理想的塑性模型（ 质。理想的弹性模型、理想的塑性模型（刚 塑性模型） 塑性模型）和理想的粘性模型是分别与这三种 性质相应的理想模型。 性质相应的理想模型。 迄今建立的工程材料的本构模型主要有： 迄今建立的工程材料的本构模型主要有： 弹性模型； 弹性模型； 弹塑性模型； 弹塑性模型； 粘弹塑性模型； 粘弹塑性模型； 损伤模型； 损伤模型； 内蕴时间塑性模型。 内蕴时间塑性模型。
第3章 6
弹性材料
σ = Eε
σ σ
σ σ
σ = E (σ )ε dσ = Et d ε
o
ε
ε
o
ε
ε
线弹性材料
第3章
非线性弹性材料
7
塑性材料－理想(刚)塑性材料
σ fy
o
ε
第3章
8
弹塑性材料
σ σ
εp
εe
ε
εp
ε
第3章
εe
9
σ
σ
fy
fy
o
ε
εy
εy
o
ε
εy
理想的弹塑性模型
线性强化的弹塑性模型
当材料仅在塑性阶段才表现出明显粘性 称为粘塑性材料 粘塑性材料； 时，称为粘塑性材料；当材料在弹性阶段 和塑性阶段均表现出明显粘性时，称为粘 和塑性阶段均表现出明显粘性时，称为粘 弹塑性材料。 弹塑性材料。
第3章
14
三种基本元件
弹性元件－ 体或弹簧元件； 弹性元件－Hooke 体或弹簧元件； 塑性元件－ 体或滑块元件； 塑性元件－St. Venant 体或滑块元件； 粘性元件－ 体或阻尼元件。 粘性元件－Newton 体或阻尼元件。
ε
ft ε ε t0 σ = f (1 − α ε − ε t 0 ) t ε tu − ε t 0
ε ≤ εt0 ε t 0 ≤ ε ≤ ε tu
第3章
40
5.钢筋受拉和受压时的本构关系 5.钢筋受拉和受压时的本构关系
第3章
41