运筹08(第八章动态规划)运筹学第五版课件(历史上最好的,最全面的课件)
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运筹学胡运权第五版课件
运筹学胡运权第五 版课件大纲
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添加目录项标题 运筹学基础知识 整数规划 图论与网络优化
课件概览 线性规划 动态规划
01
添加章节标题
02
课件概览
课件简介
课程名称:运筹学胡运权第五版课件 课程内容:包括线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划、图与网络优化等 课程目标:帮助学生掌握运筹学的基本理论和方法提高分析和解决问题的能力 课程特点:理论与实践相结合注重案例分析和实际问题的解决
最小生成树问题:在无向图中寻找最小生 成树
最大流问题:在流网络中寻找最大流
最小费用流问题:在流网络中寻找最小费 用流
网络可靠性问题:评估网络可靠性提高网 络稳定性
网络优化算法:如Dijkstr算法、Floyd算 法、Kruskl算法等
网络优化算法
最短路径算 法:Dijkstr
算法、 Floyd算法
等
图论与网络优化应用案例
物流网络优化:通过图论方 法优化物流网络降低物流成 本
社交网络优化:通过图论方 法优化社交网络提高社交网
络的稳定性和可靠性
交通网络优化:通过图论方 法优化交通网络提高交通效 率
电力网络优化:通过图论方 法优化电力网络提高电力系
统的稳定性和可靠性
感谢观看
汇报人:
课件结构
• 运筹学概述 • 线性规划 • 非线性规划 • 动态规划 • 随机规划 • 决策分析 • 网络规划 • 排队论 • 库存论 • 博弈论 • 运筹学应用案例 • 运筹学发展前景 • 运筹学与其他学科的关系 • 运筹学学习方法与技巧
课件特点
内容全面:涵盖了运筹学的基本概念、理论和方法 结构清晰:按照章节进行划分便于理解和掌握 实例丰富:提供了大量的实例和案例便于理解和应用 习题丰富:提供了大量的习题和练习便于巩固和提高
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课件概览 线性规划 动态规划
01
添加章节标题
02
课件概览
课件简介
课程名称:运筹学胡运权第五版课件 课程内容:包括线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划、图与网络优化等 课程目标:帮助学生掌握运筹学的基本理论和方法提高分析和解决问题的能力 课程特点:理论与实践相结合注重案例分析和实际问题的解决
最小生成树问题:在无向图中寻找最小生 成树
最大流问题:在流网络中寻找最大流
最小费用流问题:在流网络中寻找最小费 用流
网络可靠性问题:评估网络可靠性提高网 络稳定性
网络优化算法:如Dijkstr算法、Floyd算 法、Kruskl算法等
网络优化算法
最短路径算 法:Dijkstr
算法、 Floyd算法
等
图论与网络优化应用案例
物流网络优化:通过图论方 法优化物流网络降低物流成 本
社交网络优化:通过图论方 法优化社交网络提高社交网
络的稳定性和可靠性
交通网络优化:通过图论方 法优化交通网络提高交通效 率
电力网络优化:通过图论方 法优化电力网络提高电力系
统的稳定性和可靠性
感谢观看
汇报人:
课件结构
• 运筹学概述 • 线性规划 • 非线性规划 • 动态规划 • 随机规划 • 决策分析 • 网络规划 • 排队论 • 库存论 • 博弈论 • 运筹学应用案例 • 运筹学发展前景 • 运筹学与其他学科的关系 • 运筹学学习方法与技巧
课件特点
内容全面:涵盖了运筹学的基本概念、理论和方法 结构清晰:按照章节进行划分便于理解和掌握 实例丰富:提供了大量的实例和案例便于理解和应用 习题丰富:提供了大量的习题和练习便于巩固和提高
运筹学课件--动态规划
J 表示留在左岸的仆人人数
初始状态s1是T(3,3)
结束状态sn是 T(0,0)
可达状态有哪些?(3,J) (2,2) (1,1) (0,J) J 3 2 1 0
2013-6-9
A
1
运筹学课件
2
3
I
阶段指标——每阶段选定决策xk后所产生的效益,记
vk= vk(Sk, xk)。
指标函数——各阶段的总效益,记相应于Pkn的指标函数
2013-6-9 运筹学课件
动态规划模型的分类: 以“时间”角度可分成:
离散型和连续型。
从信息确定与否可分成:
确定型和随机型。
从目标函数的个数可分成: 单目标型和多目标型。
2013-6-9 运筹学课件
8.2基本概念与方程
1.基本概念
阶段(Stage)——分步求解的过程,用阶段变量k表示,k=1,,n 状态(State)——每阶段初可能的情形或位置,用状态变 量Sk表示。 按状态的取值是离散或连续,将动态规划问题分为
当 k 3,f Max f v
3 0
3 3
3
4
Max 3x 5s 13.6(0.9s 0.2x )
0
3 3
3
3
3
3
Max 0.28x 17.24s
0
3 3
3
3
x s , f 17.52s ,即第3年初将全部完好机器都 投入高负荷。
指标函数vkn=
v
5
表示第k至5年的总产量;
1
递推公式:f Max f v
6
f 0, k 5, ,1
2013-6-9
运筹学课件
初始状态s1是T(3,3)
结束状态sn是 T(0,0)
可达状态有哪些?(3,J) (2,2) (1,1) (0,J) J 3 2 1 0
2013-6-9
A
1
运筹学课件
2
3
I
阶段指标——每阶段选定决策xk后所产生的效益,记
vk= vk(Sk, xk)。
指标函数——各阶段的总效益,记相应于Pkn的指标函数
2013-6-9 运筹学课件
动态规划模型的分类: 以“时间”角度可分成:
离散型和连续型。
从信息确定与否可分成:
确定型和随机型。
从目标函数的个数可分成: 单目标型和多目标型。
2013-6-9 运筹学课件
8.2基本概念与方程
1.基本概念
阶段(Stage)——分步求解的过程,用阶段变量k表示,k=1,,n 状态(State)——每阶段初可能的情形或位置,用状态变 量Sk表示。 按状态的取值是离散或连续,将动态规划问题分为
当 k 3,f Max f v
3 0
3 3
3
4
Max 3x 5s 13.6(0.9s 0.2x )
0
3 3
3
3
3
3
Max 0.28x 17.24s
0
3 3
3
3
x s , f 17.52s ,即第3年初将全部完好机器都 投入高负荷。
指标函数vkn=
v
5
表示第k至5年的总产量;
1
递推公式:f Max f v
6
f 0, k 5, ,1
2013-6-9
运筹学课件
运筹学课件第八章项目管理
B1
B2
B3
3
5
7
8
运筹学课件第八章项目管理
网络图的绘制
例8-1:某化工厂管道安装的工程进度表:
工程项目 分解
器材调查 停用管道 搭脚手架 拆除旧管 道阀门 装备阀门 装备管道 组装管道 安装管道
工序 代号
A B C
D E F G H
紧前 工序 ---
A A
B,C A A F D,E,G
工序
工程项目
时间
分解
8
安装阀门
8
ห้องสมุดไป่ตู้
焊接管道
12
装配管道
和阀门
35
包扎阀门
225
拆脚手架
200
压力试验
40
整理现场
32
运筹学课件第八章项目管理
工序 代号
I J
K L M N P
紧前 工序 D,E H,I
J J K,L K M,N
工序 时间
8 8
8 24 4 6 4
网络图的绘制
例8-1:某化工厂管道安装的网络图
先画出没有紧前工序的工作A,在A后画出紧前 工序为A 的各工作,即B,C,E,F。
项目控制
报告机制:项目进展的信息收集处理系统。 甘特图、成本分解图、时间进度表…
组织机制:项目的组织形式。 组织结构(职能、矩阵)、项目经理、…
运筹学课件第八章项目管理
项目管理背景
网络计划:通过绘制项目网络图与网络计算, 统筹安排工程项目和专项任务。
关键路线技术:运用关键路线制定网络计划.
B
45
60
90 105 135
C
10
60 107 70 117
运筹08(第二章)运筹学第五版课件(历史上最好的,最全面的课件)
初始表中是 I 的位置,经变换后成为 B 1
其中 Y ( y 1 , y 2 ,..., y m )
记
Y CBB
1
1
Y 0 CBB
N
1
则
CN CBB
1
1
N C N YN
1
b B b;
N B
N ,或
P j B
Pj
例:书 P36 例10,验证上述公式。 上述公式对于灵敏度分析很有帮助 。
b
i 1
m
i
ˆ y i ,于是上式应为等式,即有
a
i 1 j 1
m
n
ij
ˆ ˆ x j yi
b
i 1
m
i
ˆ yi
( a
i 1 j 1
m
n
ij
ˆ ˆ x j bi ) y i 0
2012-8-18
19
而
a
j 1
n
ij
ˆ x j bi 0 ;
ˆ yi 0
且两者最优目标函数值相等,即 证明 设有线性规划问题
max z min w
。
max Z CX ; AX X s b ; X , X s 0
经单纯形法计算后,令Y C B B
基可行解 基变量
1
0, 最终表中
非基变量
b
I
0 CB CBB
1
N
B
B
1
j
1 1 N C N C B B N Y C B B
6、设原问题是: max Z CX
2012-8-18
11
第8章 动态规划《管理运筹学》PPT课件
Vk,n (sk , uk , , sn1) fk [sk , uk ,Vk 1,n (sk 1, uk 1, , 1)] ③函数 fk (sk , uk ,Vk 1,n ) 对于变量 Vk1,n 要严格单调。
8.2 动态规划模型建立
下面以投资问题为例介绍动态规划的建模条件。
【例8-2】 某公司现有资金20万元,若投资于三个
8.1 动态规划基础知识
(5)状态转移方程:状态转移方程是确定过程由一
个状态转移到另一个状态的演变过程。动态规划中某一状
态以及该状态下的决策,与下一状态之间具有一定的函数
关系,称这种函数关系的表达式为状态转移方程。如果第
k段的状态为 sk ,该阶段的决策为
的状态就可以用下式来表示:
uk
sk
,则第k+1段
阶段的指标函数,是该阶段最优的指标函数。
8.2 动态规划模型建立
建立动态规划模型,就是在分析实际问题的基础上建 立该问题的动态规划基本方程。成功地应用动态规划方法 的关键,在于识别问题的多阶段特征,将问题分解成为可 用递推关系式联系起来的若干子问题,或者说正确地建立 具体问题的基本方程,这需要经验与技巧。而正确建立基 本递推关系方程的关键又在于正确选择状态变量,保证各 阶段的状态变量具有递推的状态转移关系。
第8章 动态规划
动态规划(DYnamic Programming,缩写为DP)方法 ,是本世纪50年代初期由美国数学家贝尔曼(Richard E ,Bellman)等人提出,后来逐渐发展起来的数学分支, 它是一种解决多阶段决策过程最优化问题的数学规划法 。动态规划的数学模型和求解方法比较灵活,对于连续 的或离散的,线性的或非线性的,确定性的或随机性的 模型,只要能构成多阶段决策过程,便可用动态规划方 法求其最优解。因而在自然科学、社会科学、工程技术 等许多领域具有广泛的用途,甚至一定程度上比线性规 划(LP)、非线性规划(NLP)有成效,特别是对于某 些离散型问题,解析数学无法适用,动态规划方法就成 为非常有用的求解工具。
8.2 动态规划模型建立
下面以投资问题为例介绍动态规划的建模条件。
【例8-2】 某公司现有资金20万元,若投资于三个
8.1 动态规划基础知识
(5)状态转移方程:状态转移方程是确定过程由一
个状态转移到另一个状态的演变过程。动态规划中某一状
态以及该状态下的决策,与下一状态之间具有一定的函数
关系,称这种函数关系的表达式为状态转移方程。如果第
k段的状态为 sk ,该阶段的决策为
的状态就可以用下式来表示:
uk
sk
,则第k+1段
阶段的指标函数,是该阶段最优的指标函数。
8.2 动态规划模型建立
建立动态规划模型,就是在分析实际问题的基础上建 立该问题的动态规划基本方程。成功地应用动态规划方法 的关键,在于识别问题的多阶段特征,将问题分解成为可 用递推关系式联系起来的若干子问题,或者说正确地建立 具体问题的基本方程,这需要经验与技巧。而正确建立基 本递推关系方程的关键又在于正确选择状态变量,保证各 阶段的状态变量具有递推的状态转移关系。
第8章 动态规划
动态规划(DYnamic Programming,缩写为DP)方法 ,是本世纪50年代初期由美国数学家贝尔曼(Richard E ,Bellman)等人提出,后来逐渐发展起来的数学分支, 它是一种解决多阶段决策过程最优化问题的数学规划法 。动态规划的数学模型和求解方法比较灵活,对于连续 的或离散的,线性的或非线性的,确定性的或随机性的 模型,只要能构成多阶段决策过程,便可用动态规划方 法求其最优解。因而在自然科学、社会科学、工程技术 等许多领域具有广泛的用途,甚至一定程度上比线性规 划(LP)、非线性规划(NLP)有成效,特别是对于某 些离散型问题,解析数学无法适用,动态规划方法就成 为非常有用的求解工具。
运筹学胡运权第五版课件
则依次引入松弛变量或剩余变量(统称为松弛变量),
转化为等式约束条件。
约束为≥不等式,减去松弛变量,化为等式约束条件;
多 退
约束为≤不等式,加上松弛变量,化为等式约束条件。 少
补
注意:松弛变量在目标函数中系数全为0。
例:max z=2 x1+3 x2
s.t.
2 x1+2 x2 12 标准化
4x1
16
z=2 x1+3 x2
2 x1+2 x2 12
4x1
16
5 x2
1x510, x2 0
此为有约束极值问题
h
9
1-2 线性规划问题的数学模型
1、原型:现实世界中人们关心、研究的实际对象。 模型:将某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。 数学模型:对现实世界的一个特定对象,为达到一定目的,
根据内在规律做出必要的简化假设,并运用适当数学工具得到 的一个数学结构。
应如何裁剪可使做成的容器的容积最大?
解:如图设四个角上减去的小正方形边
x 长为x,则容器体积为:
a
Va2x2x (0 x a) 2
由 dV 0 dx
有 xa 6
时,容积最大
此为无约束的极值问题
h
7
例2 常山机器厂生产 I、II 两型产品。这两型 产品都分别要在A、B、C三种不同设备上加工。按 工艺规定,生产每件产品的单位利润、消耗三种设 备的工时以及各种设备工时的限额如下表:
2x1 2x2 x3
12
s.t.
4 x1
5 x2
x4 16 x5 15
x1, x2, x3, x4, x5 0
h
28
P1 P2 P3 P4 P5
运筹学基础及应用第五版 胡运权
第八章 动态规划
8.1 多阶段决策问题 8.2 最优化原理与动态规划的数学模型 8.3 离散确定性动态规划模型的求解 8.4 离散随机性动态规划模型的求解
8.5 一般数学规划模型的动态规划 解法
1
学习要点:
理解动态规划基本概念、最优化 原理和基本方程,逆序法和顺序解法,学 习应用动态规划解决多阶段决策问题。
34
最优化原理Optimization Principl
作为整个过程的最优策略具有这样的性质: • 无论过去的状态和决策如何,对先前决策
所形成的状态而言,余下的诸决策必构成 最优策略。
B M A
若M是从A到B的最优路线上的一点,则从 M到B的路线也是最优的。
35
动态规划的基本方程
(最优化原理的应用)
重点 :掌握动态规划模型结构、 逆序法算法原理、资源分配、设备更新、 生产与存贮等问题。
2
第一节 多阶段的决策 问题
3
动态规划(Dynamic Programming)
R. Bellman50年代执教于普林斯顿和斯坦福大学, 后进入兰德(Rand)研究所。1957年发表“Dynamic Programming”一书,标识动态规划的正式诞生。
3
3
C3
3
f(C3)=6
f(D1)=3
D1
3
f(E)=0
E
D2 4
f(D2)=4
状态 最优决策 状态
决A策 (状态A,B3)
B3
最优决策
状态
最优决策
状态
最优
21
f(B1)=11
f(A)=11
A
B1 7 5 6
2 f(B2)=7 3
5
B2 2
8.1 多阶段决策问题 8.2 最优化原理与动态规划的数学模型 8.3 离散确定性动态规划模型的求解 8.4 离散随机性动态规划模型的求解
8.5 一般数学规划模型的动态规划 解法
1
学习要点:
理解动态规划基本概念、最优化 原理和基本方程,逆序法和顺序解法,学 习应用动态规划解决多阶段决策问题。
34
最优化原理Optimization Principl
作为整个过程的最优策略具有这样的性质: • 无论过去的状态和决策如何,对先前决策
所形成的状态而言,余下的诸决策必构成 最优策略。
B M A
若M是从A到B的最优路线上的一点,则从 M到B的路线也是最优的。
35
动态规划的基本方程
(最优化原理的应用)
重点 :掌握动态规划模型结构、 逆序法算法原理、资源分配、设备更新、 生产与存贮等问题。
2
第一节 多阶段的决策 问题
3
动态规划(Dynamic Programming)
R. Bellman50年代执教于普林斯顿和斯坦福大学, 后进入兰德(Rand)研究所。1957年发表“Dynamic Programming”一书,标识动态规划的正式诞生。
3
3
C3
3
f(C3)=6
f(D1)=3
D1
3
f(E)=0
E
D2 4
f(D2)=4
状态 最优决策 状态
决A策 (状态A,B3)
B3
最优决策
状态
最优决策
状态
最优
21
f(B1)=11
f(A)=11
A
B1 7 5 6
2 f(B2)=7 3
5
B2 2
运筹学第8章163页
如果一个图是由点和弧所构成的,那 么称为它为有向图,记作D =(V,A),其中V 表示有向图D的点集合,A表示有向图D的 弧 集 合 。 一 条 方 向 从 vi 指 向 vj 的 弧 , 记 作 (vi,vj)。
1.图的基本概念与基本定理
例如.图8-4是一个无向图G=(V,E)
其中V = {v1,v2,v3,v4}
德国的哥尼斯堡城有一条普雷 格尔河,河中有两个岛屿,河的两 岸和岛屿之间有七座桥相互连接, 如图8-1a所示。
4
引言
C
A
B
D
图8-1 a)
引言
当地的居民热衷于这样一个问题,一 个漫步者如何能够走过这七座桥,并且每 座桥只能走过一次,最终回到原出发地。 尽管试验者很多,但是都没有成功。
为了寻找答案,1736年欧拉将这个问 题抽象成图8-1b所示图形的一笔画问题。 即能否从某一点开始不重复地一笔画出这 个图形,最终回到原点。欧拉在他的论文 中证明了这是不可能的,因为这个图形中 每一个顶点都与奇数条边相连接,不可能 将它一笔画出,这就是古典图论中的第一 个著名问题。
1.图的基本概念与基本定理
太原
石家庄
北京 天津 塘沽
济南 青岛
郑州
徐州 连云港
重庆
武汉
南京
上海
图8-2
9
1.图的基本概念与基本定理
例 8.2: 有 六 支 球 队 进 行 足 球
比赛,我们分别用点v1…v6表示这
六支球队,它们之间的比赛情况,
也可以用图反映出来,已知v1队战 胜v2队,v2队战胜v3队,v3队战胜 v5队,如此等等。这个胜负情况,
常用的有破圈法和生长法(避圈法)两 个方法:
(1)在网络图中寻找一个圈。若不 存在圈,则已经得到最短树或网络不 存在最短树;
1.图的基本概念与基本定理
例如.图8-4是一个无向图G=(V,E)
其中V = {v1,v2,v3,v4}
德国的哥尼斯堡城有一条普雷 格尔河,河中有两个岛屿,河的两 岸和岛屿之间有七座桥相互连接, 如图8-1a所示。
4
引言
C
A
B
D
图8-1 a)
引言
当地的居民热衷于这样一个问题,一 个漫步者如何能够走过这七座桥,并且每 座桥只能走过一次,最终回到原出发地。 尽管试验者很多,但是都没有成功。
为了寻找答案,1736年欧拉将这个问 题抽象成图8-1b所示图形的一笔画问题。 即能否从某一点开始不重复地一笔画出这 个图形,最终回到原点。欧拉在他的论文 中证明了这是不可能的,因为这个图形中 每一个顶点都与奇数条边相连接,不可能 将它一笔画出,这就是古典图论中的第一 个著名问题。
1.图的基本概念与基本定理
太原
石家庄
北京 天津 塘沽
济南 青岛
郑州
徐州 连云港
重庆
武汉
南京
上海
图8-2
9
1.图的基本概念与基本定理
例 8.2: 有 六 支 球 队 进 行 足 球
比赛,我们分别用点v1…v6表示这
六支球队,它们之间的比赛情况,
也可以用图反映出来,已知v1队战 胜v2队,v2队战胜v3队,v3队战胜 v5队,如此等等。这个胜负情况,
常用的有破圈法和生长法(避圈法)两 个方法:
(1)在网络图中寻找一个圈。若不 存在圈,则已经得到最短树或网络不 存在最短树;
运筹学第八章_动态规划(新)a管理精品资料-86页PPT资料
s k 1 T ( s k , x k ( s k ) )或 简 记 为 s k 1 T ( s k , x k )
6. 指标函数: (1)阶段指标函数:对应某一阶段状态和 从该状态出发的一个决策的某种效益的度量。 用 v k= (sk,xk)表示。
(2)过程指标函数Vk,n : 从状态sk(k=1,2,…,n)出发至过程
最 优 决 策 AB3
2.2 动态规划的基本概念 阶段: 问题需要做出决策的步数。阶段用k 表示。通常, k=1,2,…,n。 (逆序编号与顺序编号)。
2. 状态:系统某阶段的出发位置或特征、状况。 通常一个阶段包含有若干个(设r个)状态。
每一阶段所有状态的集合称为状态变量集合。用 Sk={ ski} i=1,2,…,r表示。
决策变量xk(sk)表示第k阶段状态为sk时 对方案的选择。显然,它是状态的函数。
决策变量的取值要受到一定的限制 (约束条件),用Dk(sk)表示k阶段状态为 sk时的决策变量允许取值范围,称为允许 决策集合,因而有 xk(sk) ∈Dk(sk) 。
4. 策略和子策略: 策略:动态规划问题各阶段决策组成的序 列总体。
11
最 优 决 策 B3C2
f1(A)min ((A A,,B B21)) ff2 2((B B12)) min 25 171 min 1 12 3 11
(A,B3)f2(B3)
38
11
质,无论过去的状态和决策如何,对先前决 策所形成的状态而言,余下的诸决策必构成 最优策略。即:最优策略的子策略都是最优 的。
f1 v1 f2 — — —
fk vk fk 1 — — —
fn vn fn 1 — — —
6. 指标函数: (1)阶段指标函数:对应某一阶段状态和 从该状态出发的一个决策的某种效益的度量。 用 v k= (sk,xk)表示。
(2)过程指标函数Vk,n : 从状态sk(k=1,2,…,n)出发至过程
最 优 决 策 AB3
2.2 动态规划的基本概念 阶段: 问题需要做出决策的步数。阶段用k 表示。通常, k=1,2,…,n。 (逆序编号与顺序编号)。
2. 状态:系统某阶段的出发位置或特征、状况。 通常一个阶段包含有若干个(设r个)状态。
每一阶段所有状态的集合称为状态变量集合。用 Sk={ ski} i=1,2,…,r表示。
决策变量xk(sk)表示第k阶段状态为sk时 对方案的选择。显然,它是状态的函数。
决策变量的取值要受到一定的限制 (约束条件),用Dk(sk)表示k阶段状态为 sk时的决策变量允许取值范围,称为允许 决策集合,因而有 xk(sk) ∈Dk(sk) 。
4. 策略和子策略: 策略:动态规划问题各阶段决策组成的序 列总体。
11
最 优 决 策 B3C2
f1(A)min ((A A,,B B21)) ff2 2((B B12)) min 25 171 min 1 12 3 11
(A,B3)f2(B3)
38
11
质,无论过去的状态和决策如何,对先前决 策所形成的状态而言,余下的诸决策必构成 最优策略。即:最优策略的子策略都是最优 的。
f1 v1 f2 — — —
fk vk fk 1 — — —
fn vn fn 1 — — —
运筹学课件动态规划
C4 A — B— C — D — E
f2(C1)=7,f3(C2)=8,f3(C3)=10,f3(c4)=9
阶段1
阶段2 阶段3 阶段4
S0={A} S1={B1,B2} S2={C1,C2,C3,C4 } S3={D1,D2} S4={E}
f3(D1)=11,f4(D2)=13
案例---资源分配
D1 5 E
D2 2
[引例] 马车驿站问题
f(C1)=8
阶段 起点 1A
终点
B1 B2
可选路线
AB1 AB2
路线数 2
f(B1)=8
B1 5 A
f(A)=313 8
B2
2 3 6
7 6
C1 6
f(C2)=85
C2 3
f(C3)=54
3 C3 3
84
f(B2)=11 C4
f(C1)=5
A —B— C —
最k优=4化原理
(Optimality principle) :
最k优=3策略具备这样的决性策质::无D1论初E始 状态与初始决策如何,以后诸决策对 以第一个决策所形成的状态作为初 始状态的过程而言,必决然策构:成D2最优E策 策略.通俗地说:最优策略的子策略 也k是=2最优的.
例 A13—k如,其=B1,子1—在策C导略2入—:B案D11—例—C中决E2决决,,—策最策策最D:短::1优A距—CC策12离E略B,为1DD是11 C2—D1—E, D1—E也决是策最:优C3的。D2
(4)状态转移方程 (5)递归方程(k→n)
1、划分为4个阶段 2、用点集表示各阶段的状态 S1={A};s2= {B1,B2,B3}, s3= {C1,C2,C3}; s4= {D1,D2} 3、指标函数:Vk,4(i)为第k阶段第i点到E点的距离 4、最优值函数fk(i)为i点到E的最短距离 5、决策变量xk=d[i,j]为第k阶段第i状态的选择 6、边界条件: f5(E)=0 7、基本方程: fk(i)=min{d[i,j]+ fk+1(j) }(k=1,2,3,4)
运筹学课件(动态规划)
(二)、动态规划的基本思想 1、动态规划方法的关键在于正确地写出基本的递推 关系式和恰当的边界条件(简称基本方程)。要做到 这一点,就必须将问题的过程分成几个相互联系的阶 段,恰当的选取状态变量和决策变量及定义最优值函 数,从而把一个大问题转化成一组同类型的子问题, 然后逐个求解。即从边界条件开始,逐段递推寻优, 在每一个子问题的求解中,均利用了它前面的子问题 的最优化结果,依次进行,最后一个子问题所得的最 优解,就是整个问题的最优解。
d( B1,C1 ) + f1 (C1 ) 3+1 f2 ( B1 ) = min d( B1,C2 ) + f1 (C2 ) = min 3+3 d( B1,C3 ) + f1 (C3 ) 1+4 4 = min 6 = 4 (最短路线为B1→C1 →D) 5
3
2 A 4 B2 B1 2 1 3
最优策略为(30,20),此时最大利润为105万元。
f 2 ( 40)
g2 ( y) y 0 ,10 ,, 40
max
f1 ( 40 y )
90
最优策略为(20,20),此时最大利润为90万元。
f 2 (30)
g2 ( y) y 0 ,10 , 20 , 30
max
f1 (30 y )
70
最优策略为(20,10),此时最大利润为70万元。
f 2 ( 20) ma 0 ,10 , 20
50
最优策略为(20,0),此时最大利润为50万元。
f 2 (10) maxg 2 ( y ) f1 (10 y )
3 2 A 4 B2 B1 2 3 1 3 1
C1 C2 4 3
运筹学教案动态规划ppt课件
动态规划的应用领域
经济管理、工程技术、工农业生产及军 事部门。
具体讲:如最短路线,资源分配,库存 管理,生产调度,排序,装载,市场营销, 设备维修与更新等方面。
主要解决时序或空间序阶段划分的多阶段 问题。但对一些与时间甚至与空间都无关的 静态问题,在引入特殊序之后用动态规划方 法处理。
多阶段决策过程及实例
(u k,u 2 u n)
注: 指标函数的含义是多样的,如:距离、 利润、成本、产品产量、资源消耗等。
最优化原理与动态规划问题基本方程
最优化原理
“作为全过程的最优策略具有这样的性质: 无论过去的状态和决策如何,对于前面决策所形 成的状态(即该最优策略上某一状态)而言,余 下的诸决策必须构成以此状态为初始状态的最优 策略。
注:阶段的划分与状态的选择要具有此性质, 是动态规划问题的特点。
决策与决策变量
决策:使在k阶段,使状态从xk 到xk+1 发生 转移的选择。
决策变量:描述决策的变量称为决策变
量,一般用uk表示第k个阶段的决策变量。
决策空间:即决策变量可能取值的集合,用
Dk(xk)表示第k个阶段xk状态下的所有允许决策的
fk(xk)0m ukaxkx(gk(uk) fk1(xk1)) xk1 xk uk xn1 0 x1 a fn1(xn1)0 kn,n1,,1
到了E站,从其各点到F的最短距离已易得, 再逆推,可求出D站各点到F点的最短距离,逐次 逆推,到最后可以求出A点到F点的最短距离。
这就是动态规划问题逆推算法。
动态规划问题其它例子,见P193 机器负荷问 题。
动态规划问题的基本概念
以前述求最短路为例说明动态规划问题中概念。 阶段与阶段变量
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上式中“opt”表示“max”或“min”。
对于可乘性指标函数,上式可以写为
f k (s k )
opt
x k D k ( s k )
{v k (s k , x k ) f k 1 (s k 1 )}
k 1,2, , n
以上式子称为动态规划最优指标的递推方程,是动态规划的 基本方程。 终端条件:为了使以上的递推方程有递推的起点,必须要设 定最优指标的终端条件,一般最后一个状态n+1下最优指标 fn+1(sn+1) = 0。
表10-4
阶段1 本阶段始 点(状态) B1 A 4+12=16 本阶段各终点(决策) B2 3+13=16 B3 3+14=17 B4 2+12=14 到E的最 短距离 12 本阶段最优终 点(最优决策)
B4
最后,可以得到:从A到E的最短路径为A B4 C3 D1 E
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8
以上计算过程及结果,可用图2表示,可以看到,以上方法不仅 得到了从A到D的最短路径,同时,也得到了从图中任一点到E的最 短路径。
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动态规划是用来解决多阶段决策过程最优化的一种方法。
多阶段决策: 是动态决策问题的一种特殊形式; 系统的动态过程可以按照时间等进程分为状态相互联系 而又相互区别的各个阶段; 每个阶段都要进行决策,目的是使整个过程的决策 达到 最优效果
多阶段决策求解思路:
将多阶段决策问题(n阶段)分解成n个具有递推关系的单阶 段决策问题,进行正推或逆推计算。
( s k 1 s k x k ) 阶段指标函数:p k ( x k ) 派遣 x k 支巡逻队时第K阶段产生的预 期损失;
最优指标函数:前K个阶段的最优目标
f k ( s k 1 )
状态转移方程: s k s k 1 x k
xk D ( S K )
min
PK ( X K )
f 3 ( s 3 ) min{ p 3 ( x 3 ) f 4 ( s 4 )}
x3
v 3 (s 3 , x 3 )
s3
2
24 24 24 24
3
22 22 22
4
f 3 ( s3 )
x
* 3
2 3 4 5
24
21 21
2 3 4 4
22 21 21
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当K=2时,给B派巡逻队, D ( s 2 ) 5 , 6 , 7
V k , 3 p k ( x k ) V k 1, 3
最优指标函数:
f k (sk )
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xk D ( S K )
min
PK ( X K )
f k 1 ( s k 1 )
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逆序解法: 边界条件 f 4 ( s 4 ) 0
当K=3时,给C派巡逻队, D ( s 3 ) 2 ,3 , 4 ,5 , x 3 2 ,3 , 4
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三、最优化原理
作为整个过程的最优策略具有如下性质:
不管在此最优策略上的某个状态以前的状
态和决策如何,对该状态来说,以后的所有决
策必定构成最优子策略。就是说,最优策略的
任意子策略都是最优的。
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§3 离散确定性动态规划模型求解
例:书P205 ,例4 解:设将向三个部位A,B,C派巡逻队作为三个阶段,K=1,2,3。 决策变量 x k 表示向第K个部位派遣的巡逻队数。 状态变量 s 表示第K个阶段时可供派遣的巡逻队数量。 k 状态转移方程: s k 1 s k x k 阶段指标函数: p k ( x k ) 派遣 x k 支巡逻队时第K阶段产生的预 期损失; 过程指标函数: 第K阶段到第3阶段的预期损失。
D1
8+10=18 7+10=17 1+10=11
D2
6+6=12 5+6=11 6+6=12
分析得知:如果经过C1,则最短路为C1-D2-E; 如果经过C2,则最短路为C2-D2-E; 如果经过C3,则最短路为C3-D1-E。
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6
第二阶段:有4个始点B1,B2,B3,B4,终点有C1,C2,C3。对始点和 终点进行分析和讨论分别求B1,B2,B3,B4到C1,C2,C3 的最短路 径问题: 表-3
本阶段最优终 点(最优决策)
C2 C3 C3 C3
分析得知:如果经过B1,则走B1-C2-D2-E; 如果经过B2,则走B2-C3-D1-E; 如果经过B3,则走B3-C3-D1-E; 如果经过B4,则走B4-C3-D1-E。
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第一阶段:只有1个始点A,终点有B1,B2,B3,B4 。对始点和终 点进行分析和讨论分别求A到B1,B2,B3,B4的最短路径问题:
阶段2
本阶段始点 (状态)
B1 B2 B3 B4
本阶段各终点(决策)
C1 2+12=14 4+12=16 4+12=16 7+12=19 C2 1+11=12 7+11=18 8+11=19 5+11=16 C3 6+11=17 2+11=13 3+11=14 1+11=12
到E的最 短距离 12 13 14 12
总共有3k-1×2条路径;
计算各路径长度总共要进行 (k+1) 3k-1×2次加法以及 3k-1×2-1次比较。随着 k 的值增加时,需要进行的加法和比 较的次数将迅速增加;
例如当 k=20时,加法次数为 4.2550833966227×1015 次, 比较 1.3726075472977×1014 次。若用1亿次/秒的计算机计 算需要约508天。
35+21
31+24
31+22
55
53
4
4
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20
当K=1时,给A派巡逻队,
D ( s1 ) 9
, x1 2 ,3 , 4
f 1 ( s1 ) min{ p 1 ( x1 ) f 2 ( s1 x1 )}
s1
x1
p 1 ( x1 ) f 2 ( s1 x1 )
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4、策略Pk,n(sk):从第k阶段开始到最后第n阶段的决策序列, 称k子策略。P1,n(s1)即为全过程策略。 5、状态转移方程 Sk+1=Tk(Sk, Xk):某一状态以及该状态下的 决策,与下一状态之间的函数关系。
6、阶段指标函数Vk(Sk, Xk):从状态Sk出发,选择决策Xk所产 生的第k阶段指标。
12 B1 4 14 A 3 2 B3 3 2 6 1 11 7 2 4 8 3 1 12 C1 6 7 5 D2 6 6 6 8 10 D1 10
13 4 B2
0 E
C2
C3
11 1
14 7 5
B4
12
以上过程,仅用了22次加法,计算效率远高于穷举法。
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例2 资源分配问题 设有某种机器数台,用于完成两类工作A,B。由于机 器使用后有一定的损坏率,所以每年初的机器数量是变化 的;A、B两项工作产生的收益也不同。如何合理的分配机 器的使用,可使得三年的总收益最大? 假设第k年年初完好机器数是SK,用于A生产的机器数 是XK,则用于B生产的机器数是(SK- XK);
f k 1 ( s k )
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顺序解法: 边界条件
f 0 ( s1 ) 0
当K=1时,给A派巡逻队,
, D ( s 2 ) 2 , 3 , 4 , 5
x1 2 , 3 , 4
下图表示从起点A到终点E之间各点的距离。求A到E的最 短路径。 2 C
B 1 1 8
4
4 A 3 2 3 B2
1 6 7 7 2 C2
6 D 1 10 E
5 6
4
B3 7 3
8 C3 1
1 6
D 2
5
4
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用穷举法的计算量:
如果从A到E的站点有k个,除A、E之外每站有3个位置则
过程指标函数Vk,n(Sk;Xk, Xk+1,…, Xn):从状态Sk出发,选 择决策Xk, Xk+1, …, Xn所产生的过程指标。
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动态规划要求过程指标具有可分离性,即
Vk,n(sk, xk, xk+1, …, xn) = Vk(sk, xk)+Vk+1(sk+1, xk+1, …, xn)
分析得知:从D1和D2到E的最短路径唯一。
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第三阶段:有三个始点C1,C2,C3,终点有D1,D2,对始点 和终点进行分析和讨论分别求C1,C2,C3到D1,D2 的最短路 径问题: 表-2
阶段3 本阶段始点 (状态) C1 C2 C3 本阶段各终点(决策) 到E的最短距离 12 11 11 本阶段最优终点 (最优决策) D2 D2 D1
opt
xk Dk ( sk )
{V k , n ( s k , Pk , n )}
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对于可加性指标函数,上式可以写为
f k (s k )
opt
x k D k ( s k )
{v k (s k , x k ) f k 1 (s k 1 )}
k 1,2,, n
用于A工作的设备的完好率是:a%,用于B工作的设备 的完好率是:b%。则下一年初的完好机器数是
SK+1= a% XK+ b% (SK- XK) 第k年的收益: