专题01 导数与函数的最(极)值(精讲篇)-用思维导图突破导数压轴题

用思维导图突破导数压轴题

《挑战压轴题•高中数学•精讲解读篇》（华东师大出版社第1-10版（2009-2019年））、《上海高考好题赏析》（浙江大学出版社2019年）、330多篇论文（文章）作者

上海市特级教师文卫星

解答数学题的“思维导图”：

逛公园顺道看景，好风光驻足留影.

把条件翻成图式，关键处深挖搞清. 综合法由因导果，分析法执果索因. 两方法嫁接联姻，让难题无以遁形.

这里把解题比作逛公园，沿路而行，顺道看景，既有活跃气氛，又有借景喻理之意，即理解题意后把已知条件“翻译”出来，如果能得到结论那是最好，如果不行就要转化，即从已知条件入手推出中间结论（可知），当中间结论能直接证明最终结论时，则解题成功.当中间结论不能直接证明最终结论时，可把最终结论等价转化为“需知”，再用中间结论证明“需知”从而达到解题目的.有时还要挖掘题目的隐含条件.从某种意义上说，解题就是“找关系”----找出已知与未知的联系，不断缩小以至消除二者之间的差距，从而达到解题目的.

这个思维导图不仅是用来解答压轴题，其实，每个层次的学生都有相应的难题。中等以下水平的学生高考基本不用做压轴题的，但他们做中档题会有困难，思维导图一样适用。

专题01 导数与函数的最（极）值问题

利用导数求函数f (x )极值、最值的基本方法是先求f (x )的导数f 'x （），再求f 'x （）的零

点i x ，i N ∈，根据f 'x （）在i x 两边的符号判断的单调性，最后确定i f x （）是极大值或极小

值，再确定最值。

先求导数 再定零点 考查单调 极值来了

否

已知条件

隐含条件

中间结论（可知）

已知条件的等价转化

待求（证）的结论

结论的等价转化（需知）

能

否

能

引例（2019江苏卷第19题）设函数()()()()f x x a x b x c =---，a ，b ，c R ∈，()f x '为()f x 的导函数.

（1）若a b c ==，f （4）8=，求a 的值；

（2）若a b ≠，b c =，且()f x 和()f x '的零点均在集合{3-，1，3}中，求()f x 的极小值；

（3）若0a =，01b <„，1c =，且()f x 的极大值为M ，求证：4

27

M „.

思路点拨

第（1）只要直接计算即可。第（2）题先求出()f x 和()f x '的含参数零点（用a 、b 表示），再根据零点均在集合{3-，1，3}中确定a 、b 的值。第（3）题求出()f x '的零点12,x x （设12x x <），根据单调性确定极大值为321111()(1)=-++f x x b x bx ，这里含有两个变量，最容易想到的方法就是转化为一元变量，但恒等变形能力要求较高，也可以挖掘隐含条件利用基本不等式整体消元。第（3）解题思维导图如下：

（1）因为a b c ==，所以3()()f x x a =-，又(4)8f =，所以3(4)8a -=，解得2a =.

（2）a b ≠，b c =，设2()()()f x x a x b =--， 令2()()()0f x x a x b =--=，解得x a =，或x b =.

又2()()2()()()(32)f x x b x a x b x b x b a '=-+--=---，令()0f x '=，解得x b =，或23

a b x +=.

因为()f x 和()f x '的零点均在集合{3A =-，1，3}中，所以

3a =-，1b =，则2615

333a b A +-+==-∉，舍去； 1a =，3b =-，则2231

333a b A +-==-∉，舍去； 3a =-，3b =，则263

133a b A +-+==-∉，舍去； 3a =，3b =-，则263

133

a b A +-==∈； 求的极大值 对求导可得的极大值= 又

，，再放大，或

再放大求M ， ，令 ， 证明其在单调递增求M 利用，可得 ， 。构造，，求M

利用，可得

3a =，1b =，则

2617

333a b A ++==∉，舍去； 1a =，3b =，则25

33a b A +=∉，舍去. 因此3a =，3b =-，213

a b

A +=∈，从而2()(3)(3)f x x x =-+，()3[(3)](1)f x x x '=---， 令()0f 'x =，得3x =-或1x =．列表如下：

从而可知，()f x 的单调递增区间为(−∞,−3]和[1,+∞),单调递减区间为[−3,1]，由此可知当1x =时，函数()f x 取得极小值，2(1)2432f =-⨯=-.

（3）证明：0a =，01b <„，1c =，()()(1)f x x x b x =--，则

2()()(1)(1)()3(22)f x x b x x x x x b x b x b '=--+-+-=-++.

因为△22

214(1)124444()332

b b b b b =+-=-+=-+…

，所以()0f x '=有两实根12,x x ，设12x x <，则()f x 单调递增区间为(−∞,1x ]和[2x ,+∞),单调递减区间为12[,]x x ，于是()

f x 取得极大值为1111()()(1)M f x x x b x ==--。

这里有两个变量，随着把二元变量转化为一元变量有两种方法，这对恒等变形能力要求较高，也可以根据b 的范围确定x 1的范围，利用基本不等式整体消元，这样比较简单。

解1 利用求根公式由b 表示1x ，消1x

由2111()3(22)0f x x b x b '=-++=得 2

111[(22)]3

x b x b =+-，从而

1111()()(1)M f x x x b x ==--2111111(22)()()()()3

b x b

x b x x x b x +-=--=--

222111[(21)2]3

b x b x b =--+2211(22)1

[(21)2]33b x b b b x b +-=-⋅-+

2211

[(222)]9

b b x b b =-+-++。

由于2

2132222()022b b b -+-=---<，且11(0,]3

x =，所以

M 在11(0]3∈x ，，上单调递减，222

1222524(

)932727b b b b M b b -+-+-++=剟. 即427

M „. 还可以这样消去x 1：

因为2111'()32(1)0=-++=f x x b x b ，所以

12==

x x