2020年河北省衡水市武邑中学高考数学一模试卷(一)(有答案解析)

2020年河北省衡水市武邑中学高考数学一模试卷（一）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合M={x|log2x＜1}，集合N={x|x2-1≤0}，则M∩N=（）A. {x|1≤x＜2}B. {x|-1≤x＜2}C. {x|-1＜x≤1}D. {x|0＜x≤1}2.设（i为虚数单位），则|z|=（）A. B. C. D. 23.执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A.B.C. 0D.4.已知直线m、n与平面α、β，下列命题正确的是（）A. m⊥α，n∥β且α⊥β，则m⊥nB. m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥nC. α∩β=m，n⊥m且α⊥β，则n⊥αD. m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n5.已知等差数列{a n}的前n项为S n，b n=且b1+b3=17，b2+b4=68，则S10=（）A. 90B. 100C. 110D. 1206.设函数，则下列结论错误的是（）A. f（x）的一个周期为2πB. f（x）的图形关于直线对称C. f（x）的一个零点为D. f（x）在区间上单调递减7.若，x∈（0，π），则tan2x的值构成的集合为（）A. B.C. D.8.中国明代数学家程大位的著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第四天比第六天多走了（）A. 24里B. 18里C. 12里D. 6里9.如图所示，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，BC1⊥AC，则C1在面ABC上的射影H必在（）A. 直线AB上B. 直线BC上C. 直线CA上D. △ABC内部10.设x，y满足约束条件，若目标函数的最大值为2，则的图象向右平移后的表达式为（）A. B.C. y=sin2xD.11.已知直线l1：3x+y-6=0与圆心为M（0，1），半径为的圆相交于A，B两点，另一直线l2：2kx+2y-3k-3=0与圆M交于C，D两点，则四边形ACBD面积的最大值为（）A. B. C. D.12.已知奇函数f（x）是定义在R上的单调函数，若函数g（x）=f（x2）+f（a-2|x|）恰有4个零点，则a的取值范围是（）A. （-∞，1）B. （1，+∞）C. （0，1]D. （0，1）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数f（x）=x lnx，则曲线y=f（x）在点x=e处切线的倾斜角的余弦值为______．14.设f（x）=ln（x+），若f（a）=，则f（-a）=______．15.若椭圆上一点到两个焦点的距离之和为m-3，则此椭圆的离心率为______．16.已知函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）在（，）上有最大值，但没有最小值，则ω的取值范围是______.三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在等差数列{a n}中，S n为其前n项的和，若S5=25，a10=19．（1）求数列{a n}的通项公式a n及前n项和S n；（2）若数列{b n}中b n=，求数列{b n}的前n和T n．18.为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动．活动后，为了解阅读情况，学校统计了甲、乙两组各10名学生的阅读量（单位：本），统计结果用茎叶图记录如下，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a表示．（Ⅰ）若甲组阅读量的平均值大于乙组阅读量的平均值，求图中a的所有可能取值；（Ⅱ）将甲、乙两组中阅读量超过15本的学生称为“阅读达人”．设a=3，现从所有的“阅读达人”里任取2人，求至少有1人来自甲组的概率；（Ⅲ）记甲组阅读量的方差为s02．若在甲组中增加一个阅读量为10的学生，并记新得到的甲组阅读量的方差为s12，试比较s02，s12的大小．（结论不要求证明）（注：s2=，其中为数据x1，x2，…，x n的平均数）19.如图，三棱台ABC-EFG的底面是正三角形，平面ABC⊥平面BCGF，CB=2GF，BF=CF．（Ⅰ）求证：AB⊥CG；（Ⅱ）若BC=CF=4，求三棱锥G-ABC的体积．20.如图，已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过过点P（2，1）．（1）求椭圆M的标准方程；（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆M上异于顶点的任意两点，直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，且k1k2=-．①求x12+x22的值；②设点B关于x轴的对称点为C（点C，A不重合），试求直线AC的斜率．21.已知函数f（x）=a ln x+x2，其中a∈R．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当a=1时，证明：f（x）≤x2+x-1；（Ⅲ）求证：对任意正整数n，都有（1+）（1+）…（1+）＜e（其中e≈2.7183为自然对数的底数）22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（m为参数），在极点和直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合的极坐标系中，圆O的极坐标方程为ρ=a（a＞0）．（1）若直线l与圆O相切，求a的值；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，求|AB|的值．23.已知f（x）=x2+|2x-4|+a．（1）当a=-3时，求不等式f（x）＞x2+|x|的解集；（2）若不等式f（x）≥0的解集为实数集R，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：【分析】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．化简集合M、N，根据交集的定义写出M∩N即可．【解答】解：集合M={x|log2x＜1}={x|0＜x＜2}，集合N={x|x2-1≤0}={x|-1≤x≤1}，则M∩N={x|0＜x≤1}．故选：D．2.答案：A解析：【分析】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：设====-+i，∴|z|==，故选：A．3.答案：A解析：解：当i=1时，执行完循环体后：S=，满足继续循环的条件，故i=2；当i=2时，执行完循环体后：S=，满足继续循环的条件，故i=3；当i=3时，执行完循环体后：S=，满足继续循环的条件，故i=3；当i=4时，执行完循环体后：S=，满足继续循环的条件，故i=5；当i=5时，执行完循环体后：S=0，满足继续循环的条件，故i=6；当i=6时，执行完循环体后：S=0，满足继续循环的条件，故i=7；当i=7时，执行完循环体后：S=，满足继续循环的条件，故i=8；当i=8时，执行完循环体后：S=，满足继续循环的条件，故i=9；当i=9时，执行完循环体后：S=，不满足继续循环的条件，故输出结果为，故选：A．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．4.答案：B解析：解：对于A，m⊥α，n∥β且α⊥β，则m∥n，故不正确；对于B，由m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m与n一定不平行，否则有α∥β，与已知α⊥β矛盾，通过平移使得m与n相交，且设m与n确定的平面为γ，则γ与α和β的交线所成的角即为α与β所成的角，因为α⊥β，所以m与n所成的角为90°，故命题正确；对于C，若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，n⊥m，利用面面垂直的性质定理即可得出：n⊥α，因此不正确；对于D，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，A1D1∥平面ABCD，AD∥平面A1B1C1D1，A1D1∥AD；EP∥平面ABCD，PQ∥平面A1B1C1D1，EP∩PQ=P；A1D1∥平面ABCD，PQ∥平面A1B1C1D1，A1D1与PQ异面．综上，直线m，n与平面α，β，m∥α，n∥β且α∥β，则直线m，n的位置关系为平行或相交或异面．故选：B．利用空间中线线、线面、面面的判定定理及其性质定理，即可得出结论．本题综合考查了空间中线线、线面、面面的位置关系，熟练掌握判定定理及其性质定理是解决问题的关键，属于中档题．5.答案：A解析：【分析】等差数列{a n}的公差设为d，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，再由等差数列求和公式计算可得所求值．本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．【解答】解：等差数列{a n}的公差设为d，前n项为S n，b n=且b1+b3=17，b2+b4=68，可得+=17，+=68，解得a1=0，d=2，则S10=10a1+×10×9d=0+45×2=90，故选：A．6.答案：D解析：【分析】本题考查正弦型函数的性质，函数的零点，属于简单题．直接利用正弦型函数的周期性，对称性和单调性求出结果．【解答】解：函数，则：①函数的最小正周期为T=，则函数的周期是的整数倍，故选项A正确．②当x=时，函数f（）=sin=1，故选项B正确．③当x=-时，函数f（-）=0，故选项C正确．当x∈时，，则f（x）在区间上不单调，故选项D错误.故选：D．7.答案：C解析：【分析】本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式的应用，是基础题．由已知求解三角方程可得x值，进一步求得tan2x的值得答案．【解答】解：∵，∴2sin x cosx==cos x，∴cos x=0或sin x=，又x∈（0，π），∴x=，，．∴2x=π，，．∴tan2x=0或．则tan2x的值构成的集合为，故选：C．8.答案：B解析：【分析】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．由题意可得：该人每天所走的路程为等比数列{a n}，其中S6=378，q=．利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：由题意可得：该人每天所走的路程为等比数列{a n}，其中S6=378，q=．∴=378，解得a1=192，∴a4-a6=192×=18里．故选：B．9.答案：A解析：解：⇒CA⊥面ABC1⇒面ABC⊥面ABC1，∴过C1在面ABC内作垂直于平面ABC，垂线在面ABC1内，也在面ABC内，∴点H在两面的交线上，即H∈AB．故选：A．如图，C1在面ABC上的射影H必在两个相互垂直平面的交线上，所以证明面ABC⊥面ABC1就可以了．本题通过射影问题来考查线面垂直和面面垂直问题．10.答案：C解析：解：作出不等式组对应的平面区域如图，∵m＞0，∴平移直线，则由图象知，直线经过点B时，直线截距最大，此时z最大为2，由，解得，即B（1，1），则1+=2，解得m=2，则=sin（2x+），则的图象向右平移后，得到y=sin[2（x-）+]=sin2x，故选：C．作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识求出m的值，利用三角函数的图象关系进行平移即可．本题主要考查三角函数解析式的求解以及线性规划的应用，根据条件求出m的取值是解决本题的关键．11.答案：A解析：【分析】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．由已知写出圆的方程，联立直线方程与圆方程，求出A，B的坐标，可知动直线过AB 的中点，则当CD为圆的直径时四边形ACBD面积最大，代入四边形ACBD面积公式求解即可．【解答】解：以M（0，1）为圆心，半径为的圆的方程为x2+（y-1）2=5，联立，解得A（2，0），B（1，3），∴AB中点为（，）．而直线l2：2kx+2y-3k-3=0恒过定点（，），∴|AB|=．∴四边形ACBD的面积最大值为：．故选：A．12.答案：D解析：解：由奇函数f（x）是定义在R上的单调函数，令f（x2）+f（a-2|x|）=0，由函数g（x）=f（x2）+f（a-2|x|）恰有4个零点，则x2-2|x|+a=0有4个根，则x2-2x+a=0有2个不等正根，即，解得：0＜a＜1，即a的取值范围是0＜a＜1，故选：D．由函数的奇偶性、单调性得：x2-2|x|+a=0有4个根，由二次方程的区间根问题得：x2-2x+a=0有2个不等正根，即，解得：0＜a＜1，得解．本题考查了函数的奇偶性、单调性及二次方程的区间根问题，属中档题13.答案：解析：解：∵f（x）=ln x+1，f′（e）=ln e+1=2；故曲线y=f（x）在x=e处的切线的倾斜角θ的正切函数值为：tanθ=2．所以曲线y=f（x）在点x=e处切线的倾斜角θ的余弦值为：cosθ===．故答案为：．求导f′（x），求出切线的斜率；从而求切线的倾斜角．本题考查导数的几何意义，倾斜角的求法，三角函数的化简取值，属于基础题．14.答案：解析：【分析】考查分子有理化的方法，以及对数的运算，奇函数的定义．可求出f（-x）=-f（x），从而可求出f（-a）=-f（a）=．【解答】解：=；∴．故答案为：．15.答案：解析：【分析】本题考查椭圆的几何性质，涉及椭圆的离心率计算公式，关键是求出m的值．根据题意，按椭圆的焦点位置分2种情况讨论，结合椭圆的定义分析可得m的值，即可得椭圆的标准方程为：+=1，据此求出a、b、c的值，由椭圆的离心率公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，对于椭圆，分2种情况讨论：①，椭圆的焦点在x轴上，有4＞m，则a==2，若椭圆上一点到两个焦点的距离之和为m-3，则有2a=m-3=4，解可得m=7，又由4＞m，m=7不合题意，舍去；②椭圆的焦点在y轴上，有4＜m，则a=，若椭圆上一点到两个焦点的距离之和为m-3，则有2a=m-3=2，解可得：m=9或m=1（舍）故m=9，椭圆的标准方程为：+=1，则a=3，b=2，则c=，则椭圆的离心率e=.故答案为：．16.答案：（，3）解析：【分析】本题主要考查了函数y=A sin(ωx+φ)的图象与性质，三角的函数的最值问题，灵活应用三角函数的图象和性质解题，难度适中.要求函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）在（，）上有最大值，但没有最小值，可得所以-ω•+＜＜ω•+，解之即可得结论．【解答】解：要求函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）在（，）上有最大值，但没有最小值，所以-＜T，即＜，解得0＜ω＜8．且存在k∈Z，使得-+2kπω•+＜＜ω•++2kπ．因为0＜ω＜8，所以．所以-＜k＜，所以k=0，所以-ω•+＜＜ω•+，由-ω•+＜，解得-9ω＜3．由＜ω•+，解得＜ω，所以＜ω＜3．故答案为（，3）．17.答案：解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵S5=25，a10=19．∴5a1+d=25，a1+9d=19，联立解得：a1=1，d=2．∴a n=1+2（n-1）=2n-1．S n==n2．（2）b n===，∴数列{b n}的前n和T n===．解析：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由S5=25，a10=19．可得5a1+d=25，a1+9d=19，联立解得：a1，d．即可得出．（2）b n===，利用裂项求和即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：（本小题满分13分）解：（Ⅰ）甲组10名学生阅读量的平均值为：，乙组10名学生阅读量的平均值为：．………（2分）由题意，得，即a＜2．………………（3分）故图中a的取值为0或1．………………（4分）（Ⅱ）记事件“从所有的“阅读达人”里任取2人，至少有1人来自甲组”为M．…（5分）由图可知，甲组“阅读达人”有2人，在此分别记为A1，A2；乙组“阅读达人”有3人，在此分别记为B1，B2，B3．则从所有的“阅读达人”里任取2人，所有可能结果有10种，即：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3）．……（7分）而事件M的结果有7种，它们是：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），………………（8分）所以．即从所有的‘阅读达人’里任取2人，至少有1人来自甲组的概率为．…（10分）（Ⅲ）．………………（13分）解析：（Ⅰ）分别求出甲组10名学生阅读量的平均值和乙组10名学生阅读量的平均值，由此能求出图中a的取值．（Ⅱ）记事件“从所有的“阅读达人”里任取2人，至少有1人来自甲组”为M．甲组“阅读达人”有2人，在此分别记为A1，A2；乙组“阅读达人”有3人，在此分别记为B1，B2，B3．从所有的“阅读达人”里任取2人，利用列举法能求出从所有的‘阅读达人’里任取2人，至少有1人来自甲组的概率．（Ⅲ）．本题考查平均数、概率、方差的求法，考查茎叶图、古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.答案：（I）证明：取BC的中点D，连结DF．由ABC-EFG是三棱台得，BC∥FG．又BC=2FG，D是BC的中点，∴CD=FG，∴四边形CDFG为平行四边形，∴CG∥DF．∵CF=BF，D为BC的中点，∴DF⊥BC，∵平面ABC⊥平面BCGF，平面ABC∩平面BCGF=BC，DF⊂平面BCGF，∴DF⊥平面ABC，而AB⊂平面ABC，∴DF⊥AB，又DF∥CG，∴AB⊥CG．（Ⅱ）∵BC=BF=CF=4，∴DF=2，S△ABC==4，由（I）知DF⊥平面ABC，又FG∥BC，∴G到平面ABC的距离等于DF．∴V G-ABC=V F-ABC===8．解析：（1）取BC的中点D，可得四边形CDFG是平行四边形，得出CG∥DF，证明DF⊥平面ABC即可得出DF⊥AB，故而AB⊥CG；（2）根据V G-ABC=V F-ABC计算．本题考查了线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．20.答案：解：（1）由题意可得e==，+=1，a2-b2=c2，解得a=2，b=，可得椭圆标准方程为+=1；（2）①由题意可得k1k2==-，即为x12x22=16y12y22，又点A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆M上异于顶点的任意两点，可得4y12=8-x12，4y22=8-x22，即有x12x22=（8-x12）（8-x22），化简可得x12+x22=8；②由题意可得C（x2，-y2），由4y12=8-x12，4y22=8-x22，可得y12+y22==2，由x12+x22=（x1-x2）2+2x1x2=8，可得（x1-x2）2=8-2x1x2，由y12+y22=（y1+y2）2-2y1y2=2，可得（y1+y2）2=2+2y1y2=2（1+y1y2），由=-，即x1x2=-4y1y2，可得（x1-x2）2=8-2x1x2=8+8y1y2，则直线AC的斜率为k AC==±=±．解析：（1）运用椭圆的离心率公式和P的坐标满足椭圆方程，结合a，b，c的关系，解方程可得椭圆方程；（2）①运用直线的斜率公式，可得k1k2==-，两边平方，再由点A，B的坐标满足椭圆方程，化简整理即可得到所求值；②由题意可得C（x2，-y2），运用椭圆方程可得y12+y22=2，配方可得（y1+y2）2=（4+4y1y2），（x1-x2）2=8-2x1x2=6+8y1y2，再由直线的斜率公式，化简整理，即可得到所求值．本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，考查直线的斜率的求法，注意运用点满足椭圆方程，直线的斜率公式和两边平方及配方的思想方法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21.答案：解：（Ⅰ）f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=+2x=，a≥0时，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）递增，a＜0时，令f′（x）＞0，解得：x＞，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，故f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增；（Ⅱ）证明：a=1时，f（x）=ln x+x2，f（x）≤x2+x-1即ln x≤x-1，令h（x）=ln x-x+1，（x＞0），则h′（x）=-1=，令h′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令h′（x）＜0，解得：x＞1，故h（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，故h（x）max=h（1）=0，故h（x）≤0恒成立，故f（x）≤x2+x-1；（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，当a=1时，ln（x+1）≤x，令x=（n∈N+），得ln（1+）≤，∴ln（1+）+ln（1+）+…+ln（1+）≤++…+==1-（）n＜1，∴（1+）（1+）…（1+）＜e．解析：（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）代入a的值，问题转化为ln x≤x-1，令h（x）=ln x-x+1，（x＞0），根据函数的单调性证明即可；（Ⅲ）根据ln（x+1）≤x，令x=（n∈N+），得ln（1+）≤，累加即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．22.答案：解：（1）根据题意，圆O的极坐标方程为ρ=a（a＞0），则圆O的直角坐标方程为x2+y2=a2，直线l的参数方程为，则直线l的一般方程为2x-y+2=0，若若直线l与圆O相切，则有a=，解可得；（2）曲线C的参数方程为（m为参数），其一般方程为y=x2，又由直线的一般方程为2x-y+2=0，则有x2-2x-2=0，∴x1+x2=2，x1x2=-2，∴=．解析：本题考查参数方程、极坐标方程与一般方程的转化，关键是掌握曲线的参数方程、极坐标方程与一般方程的转化的方法．（1）根据题意，求出圆与直线的一般方程，又由直线与圆相切，则有a=，即可得答案；（2）由曲线C的参数方程分析可得其一般方程，将其代入直线的一般方程中可得x2-2x-2=0，结合根与系数的关系的分析可得，计算即可得答案．23.答案：解：（1）当a=-3时，f（x）=x2+|2x-4|-3，当x≤0时，由f（x）＞x2+|x|得-x+1＞0，得x＜1，∴x≤0．当0＜x≤2时，由f（x）＞x2+|x|得-3x+1＞0，解得x＜．∴0＜x＜．当x＞2时，由f（x）＞x2+|x|得x-7＞0，解得x＞7．∴x＞7．当a=-3时，f（x）＞x2+|x|的解集为{x|x＜或x＞7}．（2）f（x）≥0的解集为实数集R⇔a≥-x2-|2x-4|，当x≥2时，-x2-|2x-4|=-x2-2x+4=-（x+1）2+5≤-4，当x＜2时，-x2-|2x-4|=-x2+2x-4=-（x-1）2-3≤-3，∴-x2-|2x-4|的最大值为-3．∴实数a的取值范围为[-3，+∞）．解析：（1）当a=-3时，f（x）=x2+|2x-4|-3，通过对x的取值范围分类讨论，去掉绝对值符号，即可求得不等式f（x）＞x2+|x|的解集；（2）f（x）≥0的解集为实数集R⇔a≥-x2-|2x-4|，通过对x的取值范围分类讨论，去掉绝对值符号，可求得-x2-|2x-4|的最大值为-3，从而可得实数a的取值范围．本题考查绝对值不等式的解法，着重考查分类讨论思想的应用，去掉绝对值符号是解不等式的关键，属于中档题．。