上海交通大学高等数学A下册期中试题汇编

2015级第二学期《高等数学》期中考试试卷 (A 类)一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 设ln(1)0,(,),0xy x f x y xy x +⎧≠⎪=⎨⎪=⎩是定义在{(,)|1}D x y xy =>-上的二元函数，则(,)f x y 在其定义域D 内的不连续点的集合为 （ ） （A ）∅（空集）； （B ）{(0,0)}；（C ）{(,)|0}x y x =； （D ）{(,)|0x y x =或0}y =。

2. 下列二元函数中，在(0,0)点可微的是 （ ） （A（B（C ）2||x y +； （D ）2||x y 。

3. 已知曲面224z x y =--上点P 处的切平面平行于平面4210x y z ++-=，则点P 的坐标是 （ ）（A ）(2,1,1)--； （B ）(2,1,1)-； （C ）(2,1,1)---； （D ）(2,1,1)--。

4. 设(,)f x y 在(0,0)点的邻域内连续，且22(,)(0,0)(,)4lim1x y f x y xyx y →-=+，则（ ）（A ）(0,0)点是(,)f x y 的极小值点； （B ）(0,0)点是(,)f x y 的极大值点； （C ）(0,0)点不是(,)f x y 的极值点；（D ）所给条件不足以判断(0,0)点是否(,)f x y 的极值点。

5. 设2222(){(,)|}B r x y x y r =∈+≤R ，二元连续函数(,)f x y 满足0(,)1f x y <<。

记()1()(,)(,)nn B r F n r f x y d σ=⎰⎰，则下列选项正确的是 （ ）（A ）1lim (,)n F n n →∞一定不存在； （B ）1lim (,)n F n n→∞不一定存在；（C ）1lim (,)n F n n →∞一定存在，且1lim (,)(0,1)n F n n →∞∈。

（D ）以上结论(A)，(B)，(C)都错误。

二、填空题（每小题3分，共15分）6. 若2R 上的可微函数(,)F x y 的梯度为2222grad ,11y x F x y x y ⎛⎫= ⎪++⎝⎭，且(0,0)3F =, 则(,)F x y =________________________。

7. 曲面222231x y z ++=的切平面与三个坐标平面围成的有限区域的体积的最小值=___________________。

8. 空间中曲面片z xy =（221x y +≤）的面积A =________________。

9. 设二元函数2(,)sin x y t f x y e tdt +=⎰, 则2(,)22fx y ππ∂=∂∂________________。

10.22(,)(,3)lim (1)__________x x y x y yx+→∞+=。

三、求偏导数（本题8分）11. 设方程2222222440x y z xy x y z +++---+=在点(0,1,1)附近确定隐函数(,)z z x y =，求(0,1,1)zx ∂∂，22(0,1,1)z x∂∂，2(0,1,1)z x y ∂∂∂。

四、（每小题10分，共20分）12. 设(,)z z x y =满足方程2222z z y y x y∂∂+=∂∂。

令w xz y =-，在变换x u y =，v x =下，请将方程2222z z y y x y ∂∂+=∂∂表示为w 关于u 、v 的方程。

13. 设2222(){(,)|}B r x y x y r =∈+≤R 。

若函数222()()()x y B r F r eay d σ+=-⎰⎰在(0,)r ∈+∞内单调, 其中a 为常数，求a 的最大取值范围。

五、积分计算（每小题10分，共20分）14. 记D 为平面曲线1xy =，3xy =，2y x =，23y x =所围的有界闭区域，计算二重积分232Dxd y xyσ+⎰⎰。

15.计算三次积分2110z dx dz ⎰。

六、应用题（第16题6分，第17题8分，共14分）16. 设三角形ABC ∆的一个顶点是(2,1)A ，而B 、C 分别在直线0y =和y x =上，求此类三角形周长的最小值。

17. 求区域3222222{(,,):1,1,1}x y z x y y z x z Ω=∈+≤+≤+≤R 的体积。

七、证明题（本题8分）18. 设()f x 和()g x 在R 上、(,)K x y 在2R 上都是连续的正值函数，且满足1()(,)()f y K x y dy g x =⎰，1()(,)()g y K x y dy f x =⎰，证明：（1）若01()min()x f x m g x ≤≤=，01()max ()x f x M g x ≤≤=，则1mM =；（2）当01x ≤≤时，()()f x g x =。

2014级第二学期《高等数学》期中考试试卷(A 类)一、单项选择题（每小题3分，共15分）1．设24222(,)x y f x y x y -=+，则00lim (,)x y f x y →→= ( ) （A ）等于0； （B ）等于1； （C ）等于2； （D ）不存在。

2．函数e ,0(,)1,0x y xy f x y xy +⎧≠=⎨=⎩在点)0,0(处指向点(1,1)的方向导数为 ( )（A ）0； （B ）1； （C； （D ）2。

3．设有二元方程2sin()0x y xy ++=，则在(0,0)点的某邻域内，此方程 ( ) （A ）仅可确定一个具有连续导数的隐函数()x x y =； （B ）仅可确定一个具有连续导数的隐函数()y y x =； （C ）可确定两个具有连续导数的隐函数()y y x =和()x x y =； （D ）以上（A ）、（B ）、（C ）都不正确。

4．设()d tF t fV Ω=⎰⎰⎰，其中t Ω：0z ≤≤0t >)，()f u 为连续函数，则()F t '= ( ) （A ）22π()tf t ； （B ）22π()t f t ； （C ）24π()t f t ； （D ）24π()tf t 。

5．考虑以下命题，其中正确命题的个数为 ( )① 若可微函数(,)f x y 在区域D 内满足(,)0x f x y ≡，则有)(),(y y x f ϕ=；② 若00(,)f x y 是函数),(y x f 在区域D 内的唯一极值，且为极大值，则),(00y x f 必为),(y x f 在D 内的最大值；③ 若函数),(y x f 在00((,),)U x y δ内可偏导，且),(y x f 在点),(00y x 间断，则),(y x f x 与),(y x f y 中至少有一个在00((,),)U x y δ内无界。

(其中0δ>。

)（A ）0； （B ）1； （C ）2； （D ）3。

二、填空题（每小题3分，共15分） 6．设y z x =，则(e,1)d |z = 。

7．设{}22(,)1E x y x y =+<\0E ，其中{}0(,)0(11)E x y y x ==-<<，则E 的边界E ∂= 。

8．交换二次积分的次序：1110d (,)d d (,)d x x f x y y x f x y y --+=⎰⎰⎰⎰。

9．设,0x y ≥，且满足条件2248x y +=，则u xy =的最大值为： 。

10．设{}22(,)1,0D x y x y x =+≤≥，则22ln(1e )d d xy Dy x y +⎤+=⎦⎰⎰ 。

三、（本题共8分）11．求极限()102lim e sin xxyx y y x →→+。

四、（每小题8分，共16分）12．设函数(,)f u v 具有一阶连续偏导数，0(,e )d xy tz f t t =⎰，求zx∂∂，2z x y ∂∂∂。

13．设函数(,)z f x y =具有二阶连续偏导数。

令,u x y v x y =+=-，并取,u v 为新自变量，试变换方程22220z zx y∂∂-=∂∂。

五、计算下列积分（每小题10分，共20分） 14．2222316min )d d x y x y x y +≤⎫⎪+⎬⎪⎭⎰⎰。

15．2()d x y z V Ω+-⎰⎰⎰，其中Ω：z ≥222(2)4x y z ++-≤。

六、应用题（第16小题8分，第17小题10分，共18分） 16．求锥面222(1)z x y =-+被柱面221x z +=所截下部分曲面的面积。

17．过直线l ：102227x y z x y z +-=⎧⎨+-=⎩作曲面222327x y z +-=的切平面，求此切平面的方程。

七、证明题（本题共8分）18．已知二元函数的拉格朗日中值定理是：设函数(,)f x y 在000(,)P x y 的邻域0()U P 有一阶连续偏导函数(,)x f x y 和(,)y f x y ，则对任意0(,)()P x y U P ∈，存在0(,)()U P ξη∈，使得0000(,)(,)(,)()(,)()x y f x y f x y f x x f y y ξηξη-=-+-。

设函数(,)f x y 在R 2上具有一阶连续偏导数，且(,)f x y 在{}222(,)|D x y x y R =+≤的边界{}222(,)|x y x y R +=上取值为零，其中常数0R >。

（1）证明：对任意的(),P x y D ∈，存在(),D ξη∈，使得())(,),ff x y Rξη∂=∂l,其中OP l =,而O 为坐标原点； （2）证明：()()3,π,d d max3x y DR f x y x y ∈≤⋅⎰⎰2013级第二学期《高等数学》期中考试试卷(A 类)一、单项选择题(每小题3分，共15分)1. 函数2222sin()(,)(0,0),(,)(,)(0,0)1,x y x y f x y x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪=⎩在22{(,)|1}D x y x y =+≤上( ) (A) 有最大值，无最小值； (B) 有最小值，无最大值； (C) 既无最大值，又无最小值； (D) 既有最大值，又有最小值。

2. 设22221()sin ,(,)(0,0)(,)(,)(0,0)0,x y x y x yf x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪=⎩，则 ( ) (A)(,)f x y 在(0,0)点不连续； (B)(,)f x y 在(0,0)点的偏导数不存在； (C)(,)f x y 在(0,0)点可微； (D)(,)f x y 的偏导数在(0,0)点连续。