第六章 矩阵分析及其应用 矩阵理论课件
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矩阵及其应用ppt课件
线性方程组
• 根据矩阵乘法的定义，第三页中的线性方 程组可以表示成：
• Ax = y • 其中A是第五页中的系数矩阵，x是列向量
[x1, x2, ..., xn]，y是列向量[y1, y2, ..., ym]。 • 当n=m时，A是n阶方阵，如果A可逆，那么：
• x = A-1y
方阵的幂
• 已知n阶方阵A和正整数m，计算Am。其中n 不超过50，m不超过1000000。
方阵的幂（二）
• 已知n阶方阵A和正整数m，计算A1 + A2 + ... + Am。其中n不超过50，m不超过1000000。
路径计数
• 给定一个有向图，问从A点恰好经过k步 （允许多次经过同一条边）走到B点的方案 总数。图中顶点数不超过50，边数不超过 1000000。
线性递推式
已知x1, x2 ,...,xn的值和线性递推关系 xk a1xk1 a2xk2 ... an xkn , 其中k n, a1, a2,...,an是常数。对于任给的正整 数m，计算xm的值。（n不超过50，m 不超过1000000）
数乘矩阵
类似地，矩阵与数c相乘定义为cy1, ..., cym的系数所对应的矩阵：
a11 ... a1n ca11 ... ca1n c ... ... ... ... ... mn
矩阵乘法
设有如下两个方程组：
z1 a11 y1 ... a1m ym .................................. zk ak1 y1 ... akm ym 和 y1 b11x1 ... b1n xn ................................ ym bm1x1 ... bmnxn
矩阵讲义全
本课程的说明：矩阵分析理论是在线性代数的基础上推广的（数学是在已有的基础理论上模仿，推广而发展的。
要大胆猜想，小心证明！） 矩阵分析理论的组成：四部分：一、基础知识（包括书上的前三章内容）重点、难点：约当标准形与多项式矩阵，矩阵的分解等； 二、矩阵分析（第四章：矩阵函数及其应用）重点、难点：范数，矩阵幂级数，微分方程组； 三、矩阵特征值的估计（第五章）重点、难点：Gerschgorin 圆盘定理；广义逆矩阵； 四、非负矩阵（第六章）（注：不讲）重点、难点：基本不等式，素矩阵，随机矩阵等。
§1 线性空间与度量空间一、线性空间： 1．数域：Df 1：若复数的一个非空集合P 含有非零的数，且其中任意两数的和、差、积、商（除数不为0）仍在这个集合中，则称数集P 为一个数域 eg 1：Q （有理数），R （实数），C （复数），Z （整数），N （自然数）中哪些是数域？哪些不是数域？ 2．线性空间— 设P 是一个数域，V 是一个非空集合，若满足：<1> 可加性—指在V 上定义了一个二元运算（加法）即：V ∈∀βα, 经过该运算总存在唯一的元素V ∈γ与之对应，称γ为α与β的和，记βαγ+= 并满足：① αββα+=+② )()(γβαγβα++=++ ③ 零元素—＝有θαθααθ+∈∀∈∃Vt s V .（线性空间必含θ）。
④ αβαβθβααβ-+∈∀∈∃＝记的负元素为＝有对V V<2> 数积：（数乘运算）—在P 与V 之间定义了另一种运算。
即V P k ∈∈∀α,经该运算后所得结果，仍为V 中一个唯一确定的元素（存在唯一确定的元素V ∈δ与之对应），称δ为k 与α的乘积。
记为αδk =并满足：① αα=⋅1② P l k ∈∀, αα)()(kl l k = ③ P l k ∈∀, αααl k l k +=+)( ④ γβα∈∀, βαβαk k k +=+)(则称V 为数域P 上的线性空间（向量空间）记为)...(∙+P V 习惯上V 中的元素—向量， θ—零向量， 负元素—负向量结论：可以证明，线性空间中的零向量是唯一的，负元素也是唯一的，且有：θα=⋅0 θθ=⋅k αα-=⋅-)1( )(βαβα-+=-eg2：}{阶矩阵是n m A A V ⨯= P —实数域R按照矩阵的加法和数与矩阵的乘法，就构成实数域R 上的线性空间，记为：n m R ⨯同样，若V 为n 维向量，则可构成R 上的n 维向量空间n R —线性空间。
矩阵分析与应用
编码理论
象层 步特征分 抽象层面的进一步特征分析
12
教学大纲
第 周 第一周 第二周 第三周 周一 周四 周一 周四 周一 周四 周一 第四周 周四 第五周 周一 周 周四 背景介绍，矩阵分析应用 矩阵基础知识复习 向量空间，赋范空间 矩阵标量函数 逆矩阵，伪逆矩阵，MP逆矩阵 矩阵函数 Hermitian矩阵，酉矩阵，Toeplitz矩阵， 循环矩阵 Vandermonde矩阵，Fourier矩阵， Hadamard矩阵，稀疏矩阵 矩阵对角化分解 数值稳定性 矩阵对角化分解，数值稳定性 矩阵三角化分解，三角对角化分解
-1 -1
特征值，特征向量 特征值 特征向量
Ax x
2
矩阵分析课程介绍
起点：线性代数的矩阵基本知识 起点 线性代数的矩阵基本知识 目标：基于分析的语言，学习矩阵理论
特殊矩阵
矩阵 基本理论
矩阵分解
子空间与 投影分析
抽象代数 简介
矩阵特征 分析
3
矩阵基本理论
向量，向量空间，内积空间 加法，标量乘法，闭合 矩阵范数 矩阵“长度” A 矩阵标量函数
13
教学大纲
第六周 第七周 第八周 第九周 第十周 第十一周周 第十 周周 末 周一 周四 周一 周四 周一 周四 周一 周四 周一 周四 特征值，特征向量，Hamilton-Cayley定理 KL变换，主分量分析 广义特征值分解 R l i h商 特征值扰动 Rayleigh商，特征值扰动 子空间理论，子空间投影 投影分析 最小二乘 投影分析，最小二乘 稀疏矩阵表示，压缩感知 稀疏矩阵方程求解，优化理论与方法 抽象代数：群，环 抽象代数：域 第一阶段考核
y {A x, x R N }
矩阵的实际应用ppt课件
应用1 生产成本
某工厂生产三种产品. 每种产品的原料费、工资支付
、管理费等见表1.
每季度生产每种产品的数量见表2.
该公司希望在股东会议上用一个表格 直观地展示出以下数据：
(1) 每一季度中每一类成本的数量； (2) 每一季度三类成本的总数量； (3) 四个季度每类成本的总数量.
解 我们用矩阵的方法考虑这个问题. 这两张表格中
2
2
1
44
52
3
15
1 1 1 43 43 20 14
反过来查表：
123
24 25 26
ABC
即可得到信息action．
XY Z
我们选择不同的可逆矩阵 A（密钥），则可得到不同的密文。
如： 选择可逆矩阵
1 2 3
A
应用3 应用矩阵编制Hill密码
密码学在经济和军事方面起着极其重要的作用。现在密码学涉及很多 高深的数学知识，这里只做简单介绍。
密码学中将信息代码称为密码，尚未转换成 密码的文字信息称为明文，由密码表示的信息称为密文。从明文到密文的过程 称为加密，反之为解密。
信源 加密 信道 解密 信宿
1929年，希尔（Hill）通过矩阵理论对传输信息进行加密处理，提出了在密 码史上有重要地位的希尔加密算法。下面我们介绍一下这种算法的基本思想。
0.02 0.3 0.98 0.7
Ax0
0.2960 0.7040
人口迁徙模型
从初始到k年，此关系保持不变，因此上 述算式的递推式为
xk Axk1 A2 xk2 Ak x0 输入：A[0.94,0.02;0.06,0.98],
矩阵分析课件-第六章
cos A B＝cosA cos B sin A sin B
dt
dt
d cos At＝A sin At＝－sin At A
dt
6 det eA＝etrA，其中trA是A 的迹
7 cos A＝ 1 eiA＋e－iA ，sinA＝ 1 eiA－e－iA
2
2i
8 sin2 A＋cos2 A＝E，sin －A＝－sin A，cos －A ＝cosA
9当AB＝BA时，有sin A B＝sin A cos B cos A sin B
D
i
其中
D
J
i
＝
D/ i Di
1
di－1
！Ddi－1
i
D/ i
Di
dixdi
设D ＝ E－A ＝－1 p1 －2 p2 －s ps
i
j， i
j
, pi是i的代数重复度；
pi
d
，
i
D i ＝D i ＝ ＝Ddi－1 i ＝0, D Ji ＝0,
故：D A＝0.
f (k) j ＝p(k) j ，j＝1，2， ，s；k＝0，1， ，dj－1
即f x与p 在A的影谱上有相同的值， 则矩阵函数f A定义为：
f A＝pA 称p 为f A的定义多项式。
定理6.2.1：设A
Cnn，J为A的若当标准形，P
Cnn n
且A＝PJP－1，函数 f x 在A的影谱上有定义，
ln E＋A的幂级数展开式见p201
＆6.4 矩阵指数函数与矩阵三角函数
由定理5.5.3知：对任意n阶方阵A
e
At＝
k＝0
Aktk， k！
sin At＝ k＝0
矩阵分析与应用6
Li Bao bin | UCAS
10 / 32
Linear Transformations | Introduction
For T ∈ L(U , V ) and L ∈ L(U , V ), the composition of L with T is defined to be the function C : U → W such that C(x) = L (T(x)). This composition denoted by C(x) = LT, is also a linear transformation because C(αx + y) = L (T(αx + y)) = L (αT(x) + T(y)) = αL (T(x)) + L (T(y)) = αC(x) + C(y). If B, B and B are bases for U , V and W , respectively, then C must have a coordinate matrix representation with respect to (B, B ). So it’s only natural to ask how [C]BB is related to [L]B B and [T]BB : [C]BB = [L]B B [T]BB .
x x x
[αf (t) + g (t)]dt = α
0 0
f (t)dt +
0
g (t)dt.
The rotator Q that rotates vectors u in R2 counterclockwise through an angle θ, is a linear operator on R2 because the /action0of Q on u can be described by matrix multiplication in the sense that the coordinates of the rotated vector Q(u) are given by Q(u) = xcosθ − ysinθ xsinθ + ycosθ = cosθ −sinθ sinθ cosθ x y .
矩阵分析(1)32页PPT
dim(V1 V2 ) dimV1 dim V2
3 子空间与维数定理
第一章 线性空间与线性变换
子空间的交集 WV1 V2 是子空间
零向量属于W
任取 x, yW，则 x, yVi ，所以
xy V i, i1,2
又 P, xW
x Vi
xW
3 子空间与维数定理
第一章 线性空间与线性变换
V1 a b 0 0 a,bR V2 0 0 c 0 cR V3 0 d e 0 a,bR
第一章 线性空间与线性变换
回顾几个预备概念
集合
数集
Q
有理数集 Q 实数集 R 复数集 C
QRC
C
数域
Q
复数集合中的任意非空子集合P含有 非零的数，且其中任意两数的和、差、 积、商仍属于该集合P，则称数集P 为一个数域。（注意0和1）
有理数域 Q
1 线性空间的概念
实数域 R
复数域 C
第一章 线性空间与线性变换
如果这两个运算满足如下八条规则，就称集合 V 为数 域 P上的线性空间或向量空间。 元素称为向量。
任 意 , P ,任 意 x ,y ,z V ,及 零 元 素 V
1 线性空间的概念
第一章 线性空间与线性变换
八条规则
附带性质
交换律 结合律 零元素 负元素 单位元 交换律 分配律 分配律
x y y x;
第一章 线性空间与线性变换 第二章 内积空间 第三章 矩阵的标准形与若干分解形式 第四章 矩阵函数及其应用
第五章 特征值的估计与广义逆矩阵 第六章 非负矩阵
第一章 线性空间与线性变换
第一章 线性空间与线性变换
§1 线性空间的概念 §2 基变换与坐标变换 §3 子空间与维数定理 §4 线性空间的同构 §5 线性变换的概念 §6 线性变换的矩阵表示 §7 不变子空间
矩阵分析课件精品PPT
典型例题解析
例1
求矩阵A的特征值和特征向量，其中A=[[3,1],[2,2]]。
例2
已知矩阵A的特征值为λ1=2, λ2=3，对应的特征向量为 α1=[1,1]T, α2=[1,-1]T，求矩阵A。
解析
首先求出矩阵A的特征多项式为f(λ)=(λ-1)(λ-4)，解得特 征值为λ1=1, λ2=4。然后分别将特征值代入(A-λI)x=0求 解对应的特征向量。
应用举例
通过克拉默法则求解二元、三元线性方程组，并验证解的正确性 。
典型例题解析
01
例题1
求解三元线性方程组，通过高斯消元 法得到增广矩阵的上三角形式，然后 回代求解未知数列向量x。
02
03
例题2
例题3
判断四元线性方程组的解的情况，通 过计算系数矩阵的行列式|A|以及替换 列向量后的矩阵行列式|Ai|，根据克 拉默法则判断方程组的解是唯一解、 无解还是无穷多解。
特殊类型矩阵介绍
01
02
03
04
方阵
行数和列数相等的矩阵称为方 阵。
零矩阵
所有元素都是零的矩阵称为零 矩阵。
对角矩阵
除主对角线外的元素全为零的 方阵称为对角矩阵。
单位矩阵
主对角线上的元素全为1，其 余元素全为0的方阵称为单位 矩阵。
矩阵性质总结
Байду номын сангаас
01
结合律
02
交换律
03 分配律
04
数乘结合律
数乘分配律
• 对于每一个特征值m，求出齐次线性方程组(A-mI)x=0的一个基础解系，则A对应于特征值m的全部特征向量（其中I是与A 同阶的单位矩阵）。
特征值和特征向量求解方法
矩阵理论与方法的应用
2
第二页，课件共44页
一、投入产出数学模型的概念
投入～从事一项经济活动的消耗； 产出～从事经济活动的结果； 投入产出数学模型～通过编制投入产出表，运
用线性代数工具建立数学模型，从而揭示 国民经济各部门、再生产各环节之间的内 在联系，并据此进行经济分析、预测和安 排预算计划。按计量单位不同，该模型可 分为价值型和实物型。
总产出
2500 3050 6000
求各部门间的完全消耗系数矩阵。
21
第二十一页，课件共44页
解 依次用各部门的总产值去除中间消耗栏中
各列，得到直接消耗系数矩阵为
0.6 0 0.1 6 0 1
A
0
0.2
0.1
1 10
0
2
1
0.1 0.5 0.6 1 5 6
4 0 1
E
A
1 10
0
8 1
1 5 4
(7-20)
写成矩阵形式为
X DX Z 或 E DX Z (7-21)
其中 D
diag
n i1
ai1
n
ai2
i1
n i1
ain
,
Z z1 z2 zn
13
第十三页，课件共44页
定理7.2.1 列昂捷夫矩阵E-A是可逆的。
如果各部门的最终需求Y y1 y2 yn
已知，则由定理7.2.1知，方程(7-19)存在惟一
3
第三页，课件共44页
表7.1：投入产出表
流量 产出 消耗部门
最终需求
投入
生 产 部 门
新 创 价 值
1 2
n
工资 纯收入 合计
1 2 n 消费 累计 出口
第二页，课件共44页
一、投入产出数学模型的概念
投入～从事一项经济活动的消耗； 产出～从事经济活动的结果； 投入产出数学模型～通过编制投入产出表，运
用线性代数工具建立数学模型，从而揭示 国民经济各部门、再生产各环节之间的内 在联系，并据此进行经济分析、预测和安 排预算计划。按计量单位不同，该模型可 分为价值型和实物型。
总产出
2500 3050 6000
求各部门间的完全消耗系数矩阵。
21
第二十一页，课件共44页
解 依次用各部门的总产值去除中间消耗栏中
各列，得到直接消耗系数矩阵为
0.6 0 0.1 6 0 1
A
0
0.2
0.1
1 10
0
2
1
0.1 0.5 0.6 1 5 6
4 0 1
E
A
1 10
0
8 1
1 5 4
(7-20)
写成矩阵形式为
X DX Z 或 E DX Z (7-21)
其中 D
diag
n i1
ai1
n
ai2
i1
n i1
ain
,
Z z1 z2 zn
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第十三页，课件共44页
定理7.2.1 列昂捷夫矩阵E-A是可逆的。
如果各部门的最终需求Y y1 y2 yn
已知，则由定理7.2.1知，方程(7-19)存在惟一
3
第三页，课件共44页
表7.1：投入产出表
流量 产出 消耗部门
最终需求
投入
生 产 部 门
新 创 价 值
1 2
n
工资 纯收入 合计
1 2 n 消费 累计 出口
x矩阵分析及其应用学习课程
第22页/共347页
第二十二页，编辑于星期日：八点 四十九分。
例 14 （模式识别中的模式分类问题）
模式分类的问题指的是根据已知类型属性的观测样本
的模式向量
，判断未知类型属性的模式
向量 x 归属于哪一类模式。其基本思想是根据 x 与
模式样本向量 的相似度大小作出判断。
最简单的方法是用两向量之间的距离来表示相似度，距离 越小，相似度越大。最典型的是Euclidean距离
定理15 Euclid范数是酉不变的，即对任意酉矩阵
以及任意
，均有
这个定理的结论是显然的，因为酉变换保持向量的 内积不变，自然也保持了Euclid意义下的几何结构
（长度、角度或范数等）不变。
第26页/共347页
第二十六页，编辑于星期日：八点 四十九分。
定理16 有限维线性空间 V 上的不同范数是等价的，
实际中从算子或变换的角度来定义范数更加有定义21可以拉伸向量的最大倍数即使得不等式成立的最小的数由矩阵范数的正齐性可知的作用是由它对单位向量的作用所决定因此可以等价地用单位向量在下的像来定义矩阵范数即maxmax从几何上看矩阵范数反映了线性映射把一个向量映射为另一个向量向量的长度缩放的比例的上界
§1、从向量范数到矩阵范数
定义3 如果 是数域 上的线性空间，对 V 中的任
意向量
，都有一个非负实数 || x || 与之对应，并
且具有下列三个条件（正定性、正齐性和三角不等式）：
则称|| x || 是向量 x 的向量范数，称定义了范数的线
性空间 为赋范线性空间。
:V R
第4页/共347页
第四页，编辑于星期日：八点 四十九分。
时按此式定义了距离的 满足度量空间的距离三公
矩阵分析与应用教学介绍PPT课件
第1页/共7页
需要上课么?
数学学得好的基本都是自学 的
• 认知学上所谓“悟”和练，佛家所 谓的“修”;
悟有感悟，体悟,顿悟；
修有“修养、修炼”
悟需要天份，机遇;
修只要勤奋，刻苦,所以人人可 以做到。
• 有天份的人可以不上;
谁应该上课?
• 没有天份的应该上, 上课教学的目标就是主要针对那些没有天份只
考查矩阵理论学好与否的标志之一:
你能否提出一个有意义的关于矩阵的问题？不管
你能否解决它？你如何想到这个问题的，问题的
背景是什么？
怎么分析的，考虑解决问题的
出发点在哪里？解决问题的难点在哪里？
基• 本计算计方算法设计的原理是什么？
• 矩阵计算的推导过程是学习矩阵分析应该掌握的 基本技术，考察矩阵计算是否过关的标志之一。
第5页/共7页
向后误差分析法
真实的场景
假设的场景
计算机字长有限，输入数据x 精确， 计算过程由于截断误差影响不精确， 因此输出结果有误差；
用函数映射的语言就是：xf(x) (x精确， f()不能精确实现)
误差f(x)- f (x)分析很困难; 例如:
Ax=b ; x’=f(A,b)。
• 计算机计算过程精确(函数f())精 确， 但是输入x有误差，
• 用函数映射的语言就是： • 求x，使得f (x)= f(x); • 向后误差分析的方法
就是在此假设下分析 | f(x) - f(x)|
• 从而重点在于分析误差x-x。 • Ax=b,x’=(A+△A)\(b+△b)
第6页/共7页
感谢观看！
第7页/共7页
通过课后练习和复习掌握，定理证明我们主要分析证明思路(为什么这样 证明)，证明细节留给大家)。
需要上课么?
数学学得好的基本都是自学 的
• 认知学上所谓“悟”和练，佛家所 谓的“修”;
悟有感悟，体悟,顿悟；
修有“修养、修炼”
悟需要天份，机遇;
修只要勤奋，刻苦,所以人人可 以做到。
• 有天份的人可以不上;
谁应该上课?
• 没有天份的应该上, 上课教学的目标就是主要针对那些没有天份只
考查矩阵理论学好与否的标志之一:
你能否提出一个有意义的关于矩阵的问题？不管
你能否解决它？你如何想到这个问题的，问题的
背景是什么？
怎么分析的，考虑解决问题的
出发点在哪里？解决问题的难点在哪里？
基• 本计算计方算法设计的原理是什么？
• 矩阵计算的推导过程是学习矩阵分析应该掌握的 基本技术，考察矩阵计算是否过关的标志之一。
第5页/共7页
向后误差分析法
真实的场景
假设的场景
计算机字长有限，输入数据x 精确， 计算过程由于截断误差影响不精确， 因此输出结果有误差；
用函数映射的语言就是：xf(x) (x精确， f()不能精确实现)
误差f(x)- f (x)分析很困难; 例如:
Ax=b ; x’=f(A,b)。
• 计算机计算过程精确(函数f())精 确， 但是输入x有误差，
• 用函数映射的语言就是： • 求x，使得f (x)= f(x); • 向后误差分析的方法
就是在此假设下分析 | f(x) - f(x)|
• 从而重点在于分析误差x-x。 • Ax=b,x’=(A+△A)\(b+△b)
第6页/共7页
感谢观看！
第7页/共7页
通过课后练习和复习掌握，定理证明我们主要分析证明思路(为什么这样 证明)，证明细节留给大家)。
《矩阵分析》课件
Gauss消元法原理
LU分解求解线性方程组
通过行变换将矩阵化为上三角矩阵， 从而解线性方程组。
将Ax=b转化为LUx=b，通过前向替 换和后向替换求解。
LU分解定义
将矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个 上三角矩阵U的乘积。
QR分解原理及实现
QR分解定义
将矩阵分解为一个正交矩阵Q和 一个上三角矩阵R的乘积。
Jordan标准型及其性质
Jordan标准型定义： 设A是n阶方阵，如果 存在一个可逆矩阵P， 使得P^(-1)AP为 Jordan矩阵，则称A 可以相似对角化为 Jordan标准型。
Jordan标准型的性质
Jordan标准型是唯一 的，即对于给定的方 阵A，其Jordan标准 型是唯一的。
Jordan标准型中的每 个Jordan块对应A的 一个特征值。
非零行的首非零元所在列在上一行的 首非零元所在列的右边。
同一行的所有非零元均在首非零元的 右边。
线性无关组与基础解系
线性无关组：一组向量线性无关当且仅当它们不 能由其中的部分向量线性表示出来。换句话说， 只有当这组向量中任何一个向量都不能由其余向 量线性表示时，这组向量才是线性无关的。
基础解系中的解向量线性无关。
初等变换和行阶梯形式
初等变换：对矩阵进行以下三种变换称为初等变 换 对调两行（列）。
以数k≠0乘某一行（列）中的所有元。
初等变换和到另一行（列）的对应元上去。
02
行阶梯形式：一个矩阵经过初等行变换可以化为行阶梯形式，
其特点是
非零行在零行的上面。
03
初等变换和行阶梯形式
方阵
行数和列数相等的矩阵称为方阵。
01
对角矩阵
除主对角线外的元素全为零的方阵称 为对角矩阵。
《矩阵分析》PPT课件
握时机，以寻求更大的发展。
2.抑制性（机会+劣势）
抑制性意味着妨碍、阻止、影响与控制。当环境提
供的机会与企业内部资源优势不相适合，或者不能相互
重叠时，企业的优势再大也将得不到发挥。在这种情形
下，企业就需要提供和追加某种资源，以促进内部资源
劣势向优势方面转化，从而迎合或适应外部机会。
3.脆弱性（优势+威胁）
（2）现金牛产品（cash cow）， 又称厚利产品。它是指处于低增 长率、高市场占有率象限内的产 品群，已进入成熟期。其财务特 点是销售量大，产品利润率高、 负债比率低，可以为企业提供资 金，而且由于增长率低，也无需 增大投资。因而成为企业回收资 金，支持其它产品，尤其明星产 品投资的后盾。收获战略；适合 于事业部制组织结构；选拔市场 营销型人物来负责。
说明 相对市场份额
以公司在某个领域的市场份额除以该领域最大竞争对手的 市场份额
通常以1.0把相对市场份额分为高低两部分。
市场增长率
可以用经济增长率作为标准，或者用10%。
圆圈反映了一个领域的份额和增长情况，面积反映了企业 从这个领域得到的销售收入占全部收入的比例。
各象限产品的定义及战略对 策 （1）明星类产品 增长较快速，略显资金不足； 一般水平的利润率和负债比 率。 扩大投资战略；采用事业部 形式的组织结构；选拔对生 产技术和销售都很内行的人 负责 。
缺乏具有竞争意义的技能技术。
缺乏有竞争力的有形资产、无形资产、人力资源、组织 资产。
关键领域里的竞争能力正在丧失。
机会 公司面临的潜在机会（O）：潜在的发展机会可能是： 客户群的扩大趋势或产品细分市场。
技能技术向新产品新业务转移，为更大客户群服务。
前向或后向整合。 市场进入壁垒降低。 获得购并竞争对手的能力。 市场需求增长强劲，可快速扩张。 出现向其他地理区域扩张，扩大市场份额的机会。
矩阵分析课件
x , x , , x
n
例 3
实数域
R 上的线性空间 R 中，函数组 1,cos x,cos 2 x, ,cos nx
R
也是线性无关的。
例 4 实数域
R 上的线性空间空间 R R 中，函数组
1,cos x,cos2 x
2
是线性相关 函数组
cos 2 x 2cos 2 x 1
sin x,cos x,sin x,cos x, ,
最大（线性）无关向量组
定义3 设有向量组A，如果在A中能选出r个向量
A0 : 1 , 2 ,, r，满足 （1）向量组 A0 : 1 , 2 ,, r 线性无关； （2）向量组A中任意r 1个向量（如果 A中有
r 1个向量的话）都线性相 关， 那末称向量组 A0是
向量组A的一个 最大线性无关向量组 （简称 最大 数r称为向量组 无关组） ; 最大无关组所含向量个 的秩 . 只含零向量的向量组没 有最大无关组，规定
第一章
线性空间和线性映射
第一节 线性空间
实数域R 复数域C
一： 线性空间的定义与例子
定义 设 V 是一个非空的集合， F 是一个数域， 在集和 V 中定义两种代数运算, 一种是加法运算, 用 来表示; 另一种是数乘运算, 用 来表示, 并且 这两种运算满足下列八条运算律：
运算的结果是 V中的元素
a
n 1
R 上的线性空间。Hilbert条件是：
2
n
收敛
例8 在
R
中有界的无限序列组成的子集也构成
R 上的线性空间。一个无限序列 [a1, a2 , a3, ]
称为有界的，如果存在一个实数
r ， 使得
矩阵分析PPT课件
(AB)T=BTAT; (AB)*=B*A*; (AB)-1=B-1A-1.
例2引出的一些结论
• 在R2中至少可定义两个不同的内积.
• 欧氏空间是由实线性空间连同内积一起定义的, 同一实线性空间连同不同内积会定义不同的欧 氏空间.因此,用标准内积和例2的内积对R2能 定义出两个不同的欧氏空间.
• 这两个不同内积的确定义了两个不同欧氏空间. 例如,同一向量a=(1,0)T在标准内积下的长度 是(a,a)1/2=1;而在例2的内积下的长度是:
数学的重要性
① 新世纪国家间的竞争主要是经济竞争。但归 根结底是人才的竞争。人才培养的关键是素质 教育。素质教育包括修养、品质、知识、技能 等各个方面。数学教育在素质教育中占据重要 地位。
② 当今社会正日益数学化，数学是高科技的基 础。
数学在素质教育中的重要地位
• 数学授人以能力,数学训练能使人变聪明.
tr(k1A+k2B)=i (k1aii+k2bA+k2trB
欧氏空间例3 (例3.1.3 p.113)
A,BRmn={A=(aij)|aijR,i=1,…m,j=1,…,n}. 定义内积:(A,B)=tr(ATB)=ijaijbij.
1阶方阵
(k,)=TG(k)=kTG=k(,), (+,)=TG(+)=TG+TG=(,)+(,),
TG(b1
2 b2)1
1a1 1a2
(b1
b2)2aa11aa22
2 a 1 b 1 a 1 b 2 a 2 b 1 a 2 b 2
(a,a)1/2=(2+0+0+0)1/2=21/2,
二者不相同.
方阵A=(aij)Cnn,A的迹定义为其所有对角元 之和:
例2引出的一些结论
• 在R2中至少可定义两个不同的内积.
• 欧氏空间是由实线性空间连同内积一起定义的, 同一实线性空间连同不同内积会定义不同的欧 氏空间.因此,用标准内积和例2的内积对R2能 定义出两个不同的欧氏空间.
• 这两个不同内积的确定义了两个不同欧氏空间. 例如,同一向量a=(1,0)T在标准内积下的长度 是(a,a)1/2=1;而在例2的内积下的长度是:
数学的重要性
① 新世纪国家间的竞争主要是经济竞争。但归 根结底是人才的竞争。人才培养的关键是素质 教育。素质教育包括修养、品质、知识、技能 等各个方面。数学教育在素质教育中占据重要 地位。
② 当今社会正日益数学化，数学是高科技的基 础。
数学在素质教育中的重要地位
• 数学授人以能力,数学训练能使人变聪明.
tr(k1A+k2B)=i (k1aii+k2bA+k2trB
欧氏空间例3 (例3.1.3 p.113)
A,BRmn={A=(aij)|aijR,i=1,…m,j=1,…,n}. 定义内积:(A,B)=tr(ATB)=ijaijbij.
1阶方阵
(k,)=TG(k)=kTG=k(,), (+,)=TG(+)=TG+TG=(,)+(,),
TG(b1
2 b2)1
1a1 1a2
(b1
b2)2aa11aa22
2 a 1 b 1 a 1 b 2 a 2 b 1 a 2 b 2
(a,a)1/2=(2+0+0+0)1/2=21/2,
二者不相同.
方阵A=(aij)Cnn,A的迹定义为其所有对角元 之和:
矩阵PPT课件
.
am1 am1 amn
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2、数乘矩阵的运算规律
（设 为A、矩B阵， m为数）n
,
1 A A;
2 A A A; A B A B.
31A A.
4若kA O,则k 0或A O.
矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线 性运算.
第22页/共179页
例1 已知矩阵
第16页/共179页
思考题解答
矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个 算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而 矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同.
第17页/共179页
§2.2 矩阵的运算
一、矩阵的加法
１、定义
设有两个m 矩n阵 A aij 那, B么矩b阵ij ,
A与 的B和记作 A，规B定为
3 6 8 3 2 1 12 1 3 8 5 9 13 11 4 1 6 9 5 0 4 7 4 4. 3 3 6 2 8 1 6 8 9
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2、 矩阵加法的运算规律
1 A B B A;
2 A B C A B C .
3 A O O A A.
是一个m 矩n阵 C ， 其cij 中
cij
a bi1 1 j
ai b2 2 j
aisbsj
s
aik bkj
k 1
i 1,2,m; j 1,2,,n,
并把此乘积记作 C AB .
第25页/共179页
例3 C 2
1
4 2
222 3
4
622
16 8
?
32 16 22
B 18 6,
1 4
AT
2
5 ;
《矩阵分析》课件
行列式的计算方法
代数余子式法
01
利用代数余子式展开行列式，将行列式化为三角形或对角线形
式，从而简化计算。
递推法
02
根据行列式的性质和展开定理，利用递推关系式计算行列式的
值。
公式法
03
对于一些特殊的行列式，可以利用已知的公式直接计算其值。
如三阶行列式公式、范德蒙德公式等。
03
矩阵的秩与线性方程组
矩阵的秩
逆矩阵的求法
高斯-约当消元法是求逆矩阵的一种常用方法，通过一系列行 变换将矩阵变为单位矩阵，其伴随矩阵即为所求的逆矩阵。
行列式的定义与性质
行列式的定义
n阶方阵A的行列式记为det(A)或|A|， 是一个标量，其值是所有n阶排列的 代数和，每个排列对应一个二项式系 数。
行列式的性质
行列式具有一些重要的性质，如交换 律、结合律、分配律等。此外，行列 式的值也可以通过对角线元素、主子 式、余子式等计算得到。
04
矩阵的特征值与特征向量
特征值与特征向量的定义与性质
特征值
对于给定的矩阵A，如果存在一个标量λ和相应的非零向量v，使得A×v=λ×v成立，则称λ为矩阵A的特征值，v为 矩阵A的对应于特征值λ的特征向量。
特征向量的性质
特征向量与特征值是对应的，不同的特征值对应的特征向量是线性无关的，特征向量与特征值之间满足特定的关 系式。
高斯消元法
通过行变换将增广矩阵化为阶梯形矩 阵，从而求解线性方程组。
迭代法
通过迭代的方式逼近方程组的解，常 用的方法有雅可比迭代法和SOR方法 等。
共轭梯度法
一种用于求解大规模稀疏线性方程组 的方法，通过迭代寻找方程组的解。
最小二乘法
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lim
k
||
Ak
||
0
证明：
lim
k
Ak
A
k lim a i (k j) a ij ( i 1 , ,m ;j 1 , ,n )
klim (ai(k j) aij) 0
mn
lim
k
|ai(kj) aij |2 0
i 1j 1
klim||A k A||F 0
由范数的等价性，对于 F m n 上任意一个范
是收敛矩阵，即 k 1
lim
k
Ak
O
这是因为
A k S k S k1 SSO
这个结果与数项级数一致。
定义9 F m n 中的矩阵级数
A k 称为绝
对收敛的，如果数项级数
k1
a(k) ij k1
i 1,2, ,m j 1,2, ,n
都绝对收敛。这里 Ak (a(ikj) ).
同数项级数相吻合的是，判定矩阵级数是否绝 对收敛可借助范数理论转化为判定正项级数的 敛散性。
|| A||α 1
二、矩阵级数
定义8 设有 F m n 中的矩阵序列 { A k } ，矩阵
级数指的是无穷和
A k A 1 A 2
A k
k1
称矩阵级数收敛，且其和为 S ，如果其部分
和序列收敛于 S ，即
k
A k
lim
k
A i
k lim S k
S
k1
i1
显然，矩阵级数
A k 收敛时其通项 A k
可逆，且
Ak
1 k1 1 11
11 11
A
用矩阵的范数理论来研究矩阵序列的收敛性是 最常用、最简洁的方法。
定理5 F m n 中的矩阵序列 { A k } 收敛于 A 的充要条件是对任意一种矩阵范数 | | | | ，都有
klim||A k A || 0
特别地，若 A
O ，则
lim
k
Ak
O 的充
要条件是
数
||
||
，必存在正常数
C
、
1
C
2
，使
C 1 ||A kA ||F||A kA || C 2 ||A kA ||F
所以
k lim ||A k A ||F 0k lim ||A k A || 0
由于向量是特殊的矩阵，因此我们有
推论1 F n 中的向量序列 { x ( k ) } 收敛于 x * 的充要条件是对任意一种向量范数 | | | | ，都有
§1、矩阵序列与矩阵级数
微积分的基础是数列极限的收敛理论及 其衍生出来的级数理论。矩阵可看成一个 “超数”，因此类比可得矩阵序列与矩阵 级数，只要找到度量两个“超数”距离的 适当工具。在矩阵里，这就是范数。尽管 使用给定基下的分量和元素等也可以，但 明显用范数记号简洁明晰，且有助于证明。
定理3 F m n 中的矩阵系列 { Ak }、{Bk } 分别 收敛于 A、B Fmn，则
A P J P 1 ,J d i a g ( J 1 ( λ 1 ) ,, J s ( λ S ) )
则
Ak PJkP1
从而由定理3可知，
lim Ak O
k
limJk O
k
klimJik(λi) O (i 1,2, ,s)
λki Ck1λki 1
C λ mi k mi 1 ki
lim
λki
k
Ck1λki 1
R时幂级数
c k A k 发散。
k0
证明： 设矩阵 A 的Jordan分解为 A P J P 1 ,Jd i a g ( J 1 ( λ 1 ) ,, J s ( λ S ) ) 则 Ak PJkP 1
第六章 矩阵分析及其应用
虽然在微积分开端时期贝克莱将无穷小称 为“上帝的幽灵”，进而导致“第二次数 学危机”，直到柯西的“极限论”和戴德 金等的“实数理论”的出现危机才算彻底 解决。但微积分在近代社会的巨大作用我 们早已深有体会，将微积分中的极限、导 数、积分、级数等分析思想和方法应用于 矩阵的研究，自然就在情理之中。
O
λki
这里规定 l
k
时，C
l k
0
lim
k
λki
0
|λi| 1(i 1 ,2 , ,s)
ρ(A ) m a ix|λi| 1
由于谱半径不易计算，联系到谱半径不超过任 何一种矩阵范数，实际常用范数来判断矩阵是 否是收敛矩阵。只有很难找到这样的范数，才 计算出矩阵的所有特征值，进而得到谱半径。
定理7 F m n中的矩阵 A 是收敛矩阵的充分 条件是存在一种矩阵范数 || ||α ，使得
k1
mn
|a(ikj) |
k1 i 1 j 1
m nM , Mm i,a jxM ij
所以正项级数
|| Ak || m 1收敛。
k1
根据范数的等价性，对任意矩阵范数，正项
级数 | | A k | | 收敛。
k1
证明：充分性。
若级数
| | A k | | 收敛，则由矩阵范数的
等价性可知k 1，正项级数
lim ||x(k) x*|| 0
k
最常见的矩阵序列是方阵的幂构成的矩阵序列。
联想到等比数列 { q n } 收敛当且仅当 q ，1
类似地，我们有
定理6 F m n中的矩阵 A 是收敛矩阵，即
lim Ak O
k
的充要条件是矩阵 A 的谱半径小于1，即
ρ(A) 1
证明： 设矩阵 A 的Jordan分解为
定理10 F m n 中的矩阵级数 A k 绝对
k1
收敛的充要条件是正项级数
| | A k | | 收敛，
这里矩阵范数是任意的。 k 1
证明：必要性。
若级数
A k 绝对收敛，则
|
a (k) ij
|
ij .
i 1,2, ,m j 1,2, ,n
从而
k1
|| Ak||m1
(1) klimAkBk AB (2) klim(PA kQ ) PA Q
PF mm , QF nn
定理4 F m n 中的矩阵序列 { A k } 收敛
于 A ，且所有 A k 和 A 都可逆，则
klim (A k)1 A1
注意定理中条件“所有 A k 和 A 都可逆” 必不可少，例如下面的 A 不可逆，虽然 A k
||
Ak
|
|
m
收敛，故
1
m nk 1
|a(ikj)|
|a(ikj)|
i1j1
||Ak||m1
所以
|
a
(k ) ij
|
都收敛，即
收敛，k 因1 此矩阵级数
Ak
k1
a (k) ij
绝对
k 绝1 对收敛。
定义11 F n n 中的矩阵级数
ckA k c0I c1Ac2A 2
k0
称为矩阵 A 的幂级数。这里 c k
ckA k F.
由前可知矩阵的幂级数是实变量的幂级
数
a k x k 以及复变量的幂级数 c k z k 的
推广k，0因此讨论矩阵幂级数的收敛性k 0问题自然
就与复变量的幂级数的收敛半径联系起来。
定理12 设幂级数的收敛半径为 R ，则
当 ρ(A) 当 ρ(A)
R 时幂级数 c k A k 收敛；
k0