3抛物线(二次函数)中的相似问题

抛物线中的相似问题

三个解题途径

① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边．和角．

的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。

②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。

③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。

例1、如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋1与x 轴交于两点A (－1,0)、B (1,0)，与y 轴交于点C ． （1）求抛物线的解析式；

（2）过点B 作BD ∥CA 与抛物线交于点D ，在x 轴下方的抛物线上是否存在点M ，过M 作

MN ⊥x 轴于点N ，使以A 、M 、N 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

例2：在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线22y x =沿y 轴向上平移1个单位，再沿x 轴向右平移两个单位，平移后抛物线的顶点坐标记作A ，直线3x =与平移后的抛物线相交于B ，

与直线OA 相交于C ． （1）求△ABC 面积；

（2）点P 在平移后抛物线的对称轴上，如果△ABP 与△ABC 相似，求所有满足条件的P 点坐标．

例3、如图，平面直角坐标系中，点A 、B 、C 在x 轴上，点D 、E 在y 轴上，OA =OD =2，OC =OE =4，DB ⊥DC ，直线AD 与经过B 、E 、C 三点的抛物线交于F 、G 两点，与其对称轴交于M .点P 为线段FG 上一个动点(与F 、G 不重合)，PQ ∥y 轴与抛物线交于点Q . (1)求经过B 、E 、C 三点的抛物线的解析式；

(2)是否存在点P ，使得以P 、Q 、M 为顶点的三角形与△AOD 相似？若存在，求出满足条

件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；

练习题： 练1、（09青海）矩形OABC 在平面直角坐标系中位置如图所示，A C 、两点的坐标分别为

(60)A ，，(03)C -，，

直线3

4

y x =-

与BC 边相交于D 点． （1）求点D 的坐标； （2）若抛物线2

9

4

y ax x =-

经过点A ，试确定此抛物线的表达式； （3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线OD 交于点M ，点P 为对称轴上一动点，以

P O M 、、为顶点的三角形与OCD △相似，求符合条件的点P 的坐标．

练2、、已知抛物线2y ax bx c =++

经过0P E ⎫

⎪⎪⎝⎭

及原点(00)O ，．

（1）求抛物线的解析式．

（2）过P 点作平行于x 轴的直线PC 交y 轴于C 点，在抛物线对称轴右侧且位于直线

PC 下方的抛物线上，任取一点Q ，过点Q 作直线QA 平行于y 轴交x 轴于A 点，交直线PC 于B 点，直线QA 与直线PC 及两坐标轴围成矩形OABC ．是否存在点Q ，使得OPC

△与PQB △相似？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，说明理由．

（3）如果符合（2）中的Q 点在x 轴的上方，连结OQ ，矩形OABC 内的四个三角形

OPC PQB OQP OQA ，，，△△△△之间存在怎样的关系？为什么？

练3：如图1，已知抛物线的顶点为A （0，1），矩形CDEF 的顶点C 、F 在抛物线上，D 、E 在x 轴上，CF 交y 轴于点B （2，0），且其面积为8。

⑴求此抛物线的解析式；

⑵如图2，若P 点为抛物线上不同于A 的一点，连结PB 并延长交抛物线于点Q ，过点P 、Q 分别作x 轴的垂线，垂足分别为S 、R 。

①求证：PB =PS ；

②判断△SBR 的形状；

③试探索在线段SR 上是否存在点M ，使得以点A 、S 、M 为顶点的三角形和以点Q 、R 、M 为顶点的三角形相似，若存在，请找出M 点的位置；若不存在，请说明理由。

练4：在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于A B ，两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，其顶点的横坐标为1，且过点(23)，和(312)--，． （1）求此二次函数的表达式；（由一般式．．．得抛物线的解析式为223y x x =-++） （2）若直线:(0)l y kx k =≠与线段BC 交于点D （不与点B C ，重合），则是否存在这样的直线l ，使得以B O D ，，为顶点的三角形与BAC △相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D 的坐标；若不存在，请说明理由；(10)(30),(03)A B C -，，，，

（3）若点P 是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角

PCO ∠与ACO ∠的大小（不必证明），并写出此时点P 的横坐标

x 的取值范围．

练5、（09广西钦州）如图，已知抛物线y ＝34x 2

＋bx ＋c 与坐标轴交于A 、B 、C 三点，

A 点的坐标为（－1，0）过点C 的直线y ＝3

4t

x －3与x 轴交于点Q ，点P 是线段BC 上的一

个动点，过P 作PH⊥OB 于点H ．若PB ＝5t ， 且0＜t ＜1．

（1）填空：点C 的坐标是_ _，b ＝ _，c ＝_ _；（2）求线段QH 的长（用含t 的式子表示）；

（3）依点P 的变化，是否存在t 的值，使以P 、H 、Q 为顶点的三角形与△COQ 相似？若存在，求出所有t 的值；若不存在，说明理由．

练习4图