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导数的单调性与极值题型归纳

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第5讲 导数研究函数单调性5种题型总结(解析版)

第5讲 导数研究函数单调性5种题型总结(解析版)

第5讲 导数研究函数单调性5种题型总结【考点总结】 含参数单调性讨论（1）求导化简定义域(化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间)；（2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)；（3）恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负)；然后再求有效根； （4）根的分布来定参(此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系)；（5）导数图像定区间； 【题型目录】题型一：导函数为一次函数型 题型二：导函数为准一次函数型 题型三：导函数为二次可分解因式型 题型四：导函数为二次不可因式分解型 题型五：导函数为准二次函数型 【典型例题】题型一：导函数为一次函数型【例1】（2023河南·高三开学考试（文））已知函数()()()ln 12f x a x x a =+-∈R . （1）讨论函数()f x 的单调性；【答案】（1）当0a 时，()f x 在()0,∞+上单调递；当0a >时，数()f x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；【分析】（1）对函数求导，讨论0a 和0a >两种情况，即可得出函数的单调性； 【详解】（1）由题知函数()f x 的定义域为()0,∞+，()22a a xf x x x-'=-= ①当0a ≤时，()0f x '<，此时函数()f x 在()0,∞+上单调递； ②当0a >时，令()0f x '>，得02a x <<；令()0f x '<，得2a x >， 所以函数()f x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；综上，当0a 时，()f x 在()0,∞+上单调递；当0a >时，数()f x 在0,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减； 【例2】（2022·辽宁营口·高二期末）已知函数()ln 1f x a x x =+-（其中a 为参数）． (1)求函数()f x 的单调区间； 【答案】(1)答案见解析【分析】（1）求出原函数的导函数，然后对a 分类求得函数的单调区间； 【详解】（1）()x af x x+'=，,()0x ∈+∞， 当0a ≥时，()0f x '>，()f x ∴在(0,)+∞单调递增， 当0a <时，令()0f x '=，得x a =-， (0,)x a ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减，(,)x a ∈-+∞时，()0,()f x f x '>单调递增；综上：0a ≥时，()f x 在(0,)+∞上递增，无减区间，当0a <时，()f x 的单调递减区间为(0,)a -，单调递增区间为(,)a -+∞；【例3】（2022·江西·二模（文））己知函数()()R a x ax x f ∈++=1ln ，讨论()f x 的单调性。

利用导数研究函数单调性5种常见题型总结(原卷版)

利用导数研究函数单调性5种常见题型总结(原卷版)

第10讲 利用导数研究函数单调性5种常见题型总结【考点分析】考点一：利用导数判断函数单调性的方法 ①求函数的定义域（常见的0,ln >x x ）；①求函数的导数，如果是分式尽量通分，能分解因式要分解因式；①令()0='x f ，求出根 ,,,321x x x ，数轴标根，穿针引线，注意x 系数的正负；④判断()x f '的符号，如果()0f x '>，则()y f x =为增函数；如果()0f x '<，则()y f x =为减函数． 考点二：已知函数的单调性求参数问题①若()f x 在[]b a ,上单调递增，则()0f x '≥在[]b a ,恒成立（但不恒等于0）； ①若()f x 在[]b a ,上单调递减，则()0f x '≤在[]b a ,恒成立（但不恒等于0）．【题型目录】题型一：利用导数求函数的单调区间题型二：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像 题型三：已知含量参函数在区间上单调性求参数范围 题型四：已知含量参函数在区间上不单调求参数范围 题型五：已知含量参函数存在单调区间求参数范围【典型例题】题型一：利用导数求函数的单调区间【例1】（2022·广东·雷州市白沙中学高二阶段练习）函数()()2e x f x x =+的单调递减区间是（ ）A ．(),3-∞-B ．()0,3C ．()3,0-D ．()3,-+∞【例2】（2022·北京市第三十五中学高二阶段练习）函数ln xy x=的单调递增区间是（ ） A ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．()e,+∞C ．10,e ⎛⎫⎪⎝⎭D ．()0,e【例3】（2023·全国·高三专题练习）函数21()ln 2f x x x =-的单调递减区间为（ ） A ．(1,1)-B ．(0,1)C ．(1,)+∞D ．(0,2)【例4】（2022·黑龙江·铁人中学高三开学考试）函数2()ln 1f x x x =--的单调增区间为_________.【例5】（2022·河南·安阳一中高三阶段练习（理））已知函数()()ln 1f x x x =+，则（ ） A ．()f x 在()1,-+∞单调递增 B ．()f x 有两个零点C ．曲线()y f x =在点11,22f⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处切线的斜率为1ln2-- D ．()f x 是偶函数【例6】（2022·江苏·盐城市第一中学高三阶段练习）若函数()312f x x x =-在区间()1,1k k -+上不是单调函数，则实数k 的取值范围是（ ） A ．3k ≤-或11k -≤≤或3k ≥ B ．31k -<<-或13k << C ．22k -<<D ．不存在这样的实数【例7】（2022·全国·高二课时练习多选题）设函数()e ln x f x x =，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 的定义域是()0,∞+B ．当()0,1x ∈时，()f x 的图象位于x 轴下方C ．()f x 存在单调递增区间D ．()f x 有两个单调区间【例8】（2022·河北·石家庄二中模拟预测）已知函数f (x )满足()()()2212e 02x f x f f x x -'=-+，则f (x )的单调递减区间为（ ） A ．()0,∞- B ．(1,+∞)C ．()1,∞-D ．(0,+∞)【例9】 （2022·全国·高二专题练习）已知函数()1xlnx f x e +=，（其中e ＝2.71828…是自然对数的底数）．求()x f 的单调区间.【例10】【2020年新课标2卷理科】已知函数()x x x f 2sin sin 2=.（1）讨论()x f 在区间()π,0的单调性；【例11】（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期末）已知函数()ln f x x x x =-. (1)求()f x 的单调区间；【例12】（2022·陕西渭南·高二期末（文））函数()()2e x f x x ax b =++，若曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为：450x y ++=. (1)求,a b 的值；(2)求函数()f x 的单调区间.【例13】【2020年新课标1卷理科】已知函数2()e x f x ax x =+-. （1）当1=a 时，讨论()x f 的单调性；【例14】【2019年新课标2卷理科】已知函数()11ln x f x x x -=-+.（1）讨论()x f 的单调性，并证明()x f 有且仅有两个零点；【题型专练】1．（2022湖南新邵县教研室高二期末（文））函数()4ln f x x x =-的单调递减区间为（ ） A ．()0,∞+ B ．10,4⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭2．（2022·广东·东莞四中高三阶段练习）函数()()3e x f x x =-，则()f x 的单调增区间是（ ）A ．(),2-∞B ．()2,+∞C ．(),3-∞D ．()3,+∞3．（2022·四川绵阳·高二期末（文））函数()2ln 2x x x f -=的单调递增区间为（ ）A ．()1,-∞-B ．()+∞,1C ．()1,1-D ．()1,04．（2022·广西桂林·高二期末（文））函数()3213f x x x =-的单调递减区间为（ ）A ．()02，B ．()()02∞∞-+，，，C ．()2+∞，D ．()0-∞，5．（2022·重庆长寿·高二期末）函数()65ln f x x x x=--的单调递减区间为（ ）A ．（0，2）B ．（2，3）C ．（1，3）D ．（3，+∞）6．（2023·全国·高三专题练习）函数21()ln 3f x x x =-的单调减区间为__________．7．（2022·全国·高二专题练习）函数2()2x x f x =的单调递增区间为__________.8.（2022·全国·高二专题练习）函数cos y x x =+的单调增区间为_________.9.（2023·全国·高三专题练习）求下列函数的单调区间(1)()211x f x x +=-；(2)()21ln 2f x x x =-； (3)()3223361f x x x x =+-+；(4)()sin ,0f x x x x π=-<<；(5)()()22e xf x x x -=+；(6)()sin 2cos xf x x=+．10．（2022·全国·高二单元测试）已知函数()()321313x x x f x =-++，求()f x 的单调区间．11.函数()x e x x f -=2的递增区间是（ ） A ．()0,2B ．(),0∞-C ．(),0∞-，()2,+∞D ．()(),02,-∞+∞12.【2022年新高考2卷】已知函数f(x)=x e ax −e x ． (1)当a =1时，讨论f(x)的单调性；13.（2022·四川省绵阳南山中学高二期末（理））已知函数()29ln 3f x x x x =-+在其定义域内的一个子区间()1,1m m -+上不单调，则实数m 的取值范围是（ ）A ．51,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．51,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭14.（2020·河北省石家庄二中高二月考）函数1()ln f x x x=的单调递减区间为____________. 15.（2022·全国·高三专题练习（文））函数(2)e ,0()2,0x x x f x x x ⎧-≥=⎨--<⎩的单调递减区间为__________．题型二：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像【例1】（2022·河南·高三阶段练习（文））如图为函数()f x （其定义域为[],m m -）的图象，若()f x 的导函数为()f x '，则()y f x '=的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【例2】（2022·四川·遂宁中学外国语实验学校高三开学考试（理））设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图像如图所示，则()y f x =的图像最有可能的是（ ）A ．B ．C ．D ．【例3】（2022·全国·高二课时练习）已知函数()y f x =在定义域3,32⎛⎫- ⎪⎝⎭内可导，其图象如图所示.记()y f x =的导函数为()y f x '=，则不等式()0xf x '≤的解集为（ ）A ．[][)31,0,12,323⎛⎤--⋃⋃ ⎥⎝⎦B ．[]18,01,2,333⎡⎤⎡⎫-⋃⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C ．[)1,12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．31148,,,323233⎛⎫⎡⎤⎡⎫--⋃⋃ ⎪⎪⎢⎥⎢⎝⎭⎣⎦⎣⎭【例4】（2022·全国·高二单元测试）已知函数()f x 的导函数()'f x 图像如图所示，则()f x 的图像是图四个图像中的（ ）．A ．B ．C ．D ．【例5】（2022·广东潮州·高二期末多选题）已知函数()f x 与()f x '的图象如图所示，则下列结论正确的为（ ）A ．曲线m 是()f x 的图象，曲线n 是()f x '的图象B ．曲线m 是()f x '的图象，曲线n 是()f x 的图象C ．不等式组()()02f x f x x >⎧⎨<<'⎩的解集为()0,1D ．不等式组()()02f x f x x >⎧⎨<<'⎩的解集为41,3⎛⎫⎪⎝⎭【题型专练】1．（2022·江苏常州·高三阶段练习）如图是()y f x '=的图像，则函数()y f x =的单调递减区间是（ ）A ．()2,1-B ．()()2,0,2,-+∞C ．(),1-∞-D ．()(),1,1,-∞-+∞2．（2022·吉林·东北师大附中高三开学考试）已知函数()y f x =的部分图象如图所示，且()f x '是()f x 的导函数，则（ ）A ．()()()()12012f f f f ''''-=-<<<B ．()()()()21012f f f f ''''<<<-=-C ．()()()()02112f f f f ''''>>>-=-D ．()()()()21021f f f f ''''<<<-<-3．（2022·福建莆田·高二期末）定义在()1,3-上的函数()y f x =，其导函数()y f x '=图像如图所示，则()y f x =的单调递减区间是（ ）A ．()1,0-B ．()1,1-C ．()0,2D ．()2,34．（2022·广东广州·高二期末）已知函数()y f x =的图象是下列四个图象之一，函数()y f x ='的图象如图所示，则函数()y f x =图象是（ ）A ．B ．C ．D ．5．（2022·北京·牛栏山一中高二阶段练习）设()f x '是函数()f x 的导函数，在同一个直角坐标系中，()y f x =和()y f x '=的图象不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6．（2022·福建宁德·高二期末多选题）设()f x 是定义域为R 的偶函数，其导函数为()f x '，若0x ≥时，()f x 图像如图所示，则可以使()()0f x f x '⋅<成立的x 的取值范围是（ ）A ．(),3-∞-B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,3题型三：已知含量参函数在区间上单调性求参数范围【例1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()ax x x x f ++=2ln 的单调递减区间为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，则（ ）.A ．(],3a ∈-∞-B ．3a =-C ．3a =D ．(],3a ∈-∞【例2】（2022·全国·高三专题练习）已知函数()32391f x x mx mx =-++在()1,+∞上为单调递增函数，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(),1-∞- B ．[]1,1- C ．[]1,3 D ．[]1,3-【例3】（2022·浙江·高二开学考试）已知函数()sin cos f x x a x =+在区间ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1a >B ．1a ≥C ．1a >D ．1a ≥-【例4】（2022·全国·高二课时练习）若函数()2ln f x x ax x =-+在区间()1,e 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)3,+∞ B ．(],3-∞C ．23,e 1⎡⎤+⎣⎦ D ．(2,e 1⎤-∞+⎦【例5】（2022·河南·荥阳市教育体育局教学研究室高二阶段练习）已知函数()321f x x x ax =+-+在R 上为单调递增函数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【例6】（2023·全国·高三专题练习）若函数1()sin 2cos 2f x x a x =+在区间(0,)π上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,1]-∞-B ．[1,)-+∞C ．(,1)-∞-D ．[1,)+∞【例7】（2022·山东临沂·高二期末）若对任意的()12,,x x m ∈+∞，且当12x x <时，都有121212ln ln 3x x x x x x ->-，则m 的最小值是________.【例8】（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()()0ln 232>+-=a x x axx f ，若函数()x f 在[]2,1上为单调函数，则实数a 的取值范围是________.【题型专练】1．（2023·全国·高三专题练习）若函数2()ln 5f x x ax x =+-在区间11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,3]-∞ B ．3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C ．253,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．25,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2．（2022·山西·平遥县第二中学校高三阶段练习）若函数()ln 1f x x x ax =-+在[e,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,2)-∞ B ．(,2]-∞ C ．(2,)+∞ D ．[2,)+∞3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()sin 2cos f x a x x =+在ππ,34x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦上单调递增，则a 的取值范围为（ ） A ．0a ≥ B ．22a -≤≤ C ．2a ≥- D ．0a ≥或2a ≤-4.（2022·全国·高三专题练习）若函数()d cx bx x x f +++=23的单调递减区间为()3,1-，则=+c b （ ）A ．－12B ．－10C ．8D ．105.（2022·全国·高三专题练习）若函数()32236f x x mx x =-+在区间()1,+∞上为增函数，则实数m 的取值范围是_______. 6.函数321()3f x ax x a =-+在[1,2]上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a >B ．1a ≥C ．2a >D ．2a ≥7.对于任意1x ，2[1,)x ∈+∞，当21x x >时，恒有2211ln 2()x a x x x <-成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,0]-∞ B ．(,1]-∞C ．(,2]-∞D ．(,3]-∞8.若函数2()ln f x x x x=++在区间[],2t t +上是单调函数，则t 的取值范围是（ ） A ．[1,2] B ．[1,)+∞C ．[2,)+∞D ．(1,)+∞题型四：已知含量参函数在区间上不单调，求参数范围【例1】（2022·河南宋基信阳实验中学高三阶段练习（文））已知函数()3212132a g x x x x =-++．若()g x 在()2,1--内不单调，则实数a 的取值范围是______．【例2】（2021·河南·高三阶段练习（文））已知函数()()41xf x ax x e =+-在区间[]1,3上不是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2,416e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．2,416e e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦C ．32,3616e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．3,416e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【题型专练】 1.函数()()2244xf x e xx =--在区间()1,1k k -+上不单调，实数k 的范围是 .2.（2022·全国·高三专题练习）若函数()324132x a f x x x =-++在区间(1，4)上不单调，则实数a 的取值范围是___________.题型五：已知含量参函数存在单调区间，求参数范围【例1】（2023·全国·高三专题练习）若函数()21()ln 12g x x x b x =+--存在单调递减区间，则实数b 的取值范围是（ ） A ．[)3,+∞ B ．()3,+∞ C ．(),3-∞D ．(],3-∞【例2】（2022·全国·高三专题练习）若函数()313f x x ax =-+有三个单调区间，则实数a 的取值范围是________．【例3】（2022·河北·高三阶段练习）若函数()2()e xf x x mx =+在1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上存在单调递减区间，则m 的取值范围是_________．【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知()2ln ag x x x x=+-. (1)若函数()g x 在区间[]1,2内单调递增，求实数a 的取值范围； (2)若()g x 在区间[]1,2上存在单调递增区间，求实数a 的取值范围.【题型专练】1.（2022·全国·高三专题练习（文））若函数()()0221ln 2≠--=a x ax x x h 在[]4,1上存在单调递减区间”，则实数a 的取值范围为________.2.若函数()2ln f x ax x x =+-存在增区间，则实数a 的取值范围为 .3.故函已知函数32()3()f x ax x x x =+-∈R 恰有三个单调区间，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()3,-+∞ B ．()()3,00,-+∞C ．()(),00,3-∞D ．[)3,-+∞4.已知函数()()R a x ax x x f ∈+++=123在⎪⎭⎫⎝⎛--31,32内存在单调递减区间，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(0,√3] B ．(−∞,√3]C ．(√3,+∞)D ．(√3,3)。

导数的单调性与极值题型归纳

导数的单调性与极值题型归纳

导数的应用（单调性与极值）一、求函数单调区间1、函数y=x y—3x的单调递减区间是_______________2、函数/U）=（x—3）"的单调递增区间是____________3、函数金） = hu—Q（“>0）的单调递增区间为（）A.（0,》B. 十8）B. C. （— 8, » D. （— 8, “）4、函数y=x—2shu・在（0,2町内的单调增区间为_____5、求函数/（A）=A（e v—1）—y的单调区间.6、已知函数/（x）=-+x+（6/ — l）ln A + 15«,其中“<0,且—1.讨论函数夬尤）的单调性.二、导函数图像与原函数图像关系导函数正负决定原函数递增递减导函数大小等于原函数上点切线的斜率导函数大小决定原函数陡峭平缓1、若函数y=f(x)的导函数在区间R/, h ］上是增函数，则函数 >=心)在区间［⑺切上的图象可能是()2、若函数y=f(x)的导函数在区间饲上是先增后减的函数，则函数y=J(x)在 区间［g b ］上的图象可能是()4、函数/(x)的导函数f (x)的图象，如图所示，则(B. x=0是极小值点 D.函数人劝在(1,2)上单增三. 恒成立问题 1、已知函数f (x)二x'-；x~+bx+c.若f(x)在(-8, +oo)上是增函数，求b 的取x=\是最小值点C. x=2是极小值点3、设曲线y =工+1在其任一点(X,刃处切线斜率为g(x),则函数y=g(x)・cos x值范围；72、已知函数/(x) = 4x+av2-|x3(xeR)在区间［-1,1］上是增函数，求实数a的取值范围.3、若函数)'=丘_亦+4在(02)内单调递减，则实数"的取值范亂4、已知函数f(x)=ax-\nx,若/⑴＞1在区间(1, +~)rt恒成立，实数。

的取值范围。

四. 极值的应用U 若 ynalnx+bF+x 在 x=l 和 x=2 处有极值，则，b= ---------------------- 2、当函数y=x ^取极小值时，x=（） A •需 B ・-珏 C. ~ln2 D. In2 3、函数用）=丘一3加+3方在（0,1）内有极小值，则（ ）A. 0<b<lB. XIC. h>0D. /?<|r 34、函数）=专+/ — 3兀一4在［0,2］上的最小值是（5、已知函数f(x) = — x 3 + 3A 2+9%+«.A. 17 B. 10 TC. -4D. 64 T⑴求・ZU)的单调递减区间：⑵若用)在区间［一2,2］上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.6、设函数/U) = 2v3+3+3+8c在x= 1及x=2时取得极值. ⑴求°、b的值；(2)若对任意的•胆［0,3］,都有/(x)vc2成立，求c的取值范围.7、若函数J［x)=x i-3x+a有三个不同的零点，则实数。

导数的应用-单调性、极值与最值10大题型

导数的应用-单调性、极值与最值10大题型

导数的应用-单调性、极值与最值10大题型导数与函数是高中数学的核心内容，高考中经常在函数、导数与不等式等模块的知识交汇处命题，形成层次丰富的各类题型，常涉及的问题有利用导数解决函数的单调性、极值和最值；与不等式、数列、方程的根（或函数的零点），三角函数等问题。

此类问题体现了分类讨论、数形结合、转化与化归等数学思想，重点考查学生的数形结合能力，处理综合性问题的能力和运算求解能力。

本题考试难度大，除了方法与技巧的训练，考生在复习中要注意强化基础题型的解题步骤，提高解题熟练度。

一、导数与函数的单调性相关问题及解决方法1、求函数单调区间的步骤（1）确定函数()f x 的定义域；（2）求()f x '（通分合并、因式分解）；（3）解不等式()0f x '>，解集在定义域内的部分为单调递增区间；（4）解不等式()0f x '<，解集在定义域内的部分为单调递减区间．2、已知函数的单调性求参数（1）函数()f x 在区间D 上单调增（单减）⇒）（00)(≤≥'x f 在区间D 上恒成立；（2）函数()f x 在区间D 上存在单调增（单减）区间⇒）（00)(<>'x f 在区间D上能成立；（3）已知函数()f x 在区间D 内单调⇒)(x f '不存在变号零点（4）已知函数()f x 在区间D 内不单调⇒)(x f '存在变号零点3、含参函数单调性讨论依据：（1）导函数有无零点讨论（或零点有无意义）；（2）导函数的零点在不在定义域或区间内；（3）导函数多个零点时大小的讨论。

二、利用导数求函数极值的方法步骤（1）求导数()f x '；（2）求方程()0f x '=的所有实数根；（3）观察在每个根x 0附近，从左到右导函数()f x '的符号如何变化．①如果()f x '的符号由正变负，则0()f x '是极大值；②如果由负变正，则0()f x '是极小值．③如果在()0f x '=的根x ＝x 0的左右侧()f x '的符号不变，则不是极值点．三、函数的最值与极值的关系1、极值是对某一点附近（即局部）而言，最值时对函数的定义区间[,]a b 的整体而言；2、在函数的定义区间[,]a b 内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；3、函数()f x 的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；4、对于可导函数，函数的最大（小）值必在极大（小）值点或区间端点处取得。

考点17导数与函数的单调性(3种核心题型)(学生版) 2025年高考数学大一轮复习核心题型(新高考版

考点17导数与函数的单调性(3种核心题型)(学生版) 2025年高考数学大一轮复习核心题型(新高考版

考点17导数与函数的单调性（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）【考试提醒】1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).3.会利用函数的单调性判断大小，求参数的取值范围等简单应用【知识点】1．函数的单调性与导数的关系条件恒有结论f ′(x )>0f (x )在区间(a ，b )上________f ′(x )<0f (x )在区间(a ，b )上________函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上可导f ′(x )＝0f (x )在区间(a ，b )上是________2.利用导数判断函数单调性的步骤第1步，确定函数的 ；第2步，求出导数f ′(x )的；第3步，用f ′(x )的零点将f (x )的定义域划分为若干个区间，列表给出f ′(x )在各区间上的正负，由此得出函数y ＝f (x )在定义域内的单调性．常用结论1．若函数f (x )在(a ，b )上单调递增，则当x ∈(a ，b )时，f ′(x )≥0恒成立；若函数f (x )在(a ，b )上单调递减，则当x ∈(a ，b )时，f ′(x )≤0恒成立．2．若函数f (x )在(a ，b )上存在单调递增区间，则当x ∈(a ，b )时，f ′(x )>0有解；若函数f (x )在(a ，b )上存在单调递减区间，则当x ∈(a ，b )时，f ′(x )<0有解【核心题型】题型一　不含参函数的单调性确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点，一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．【例题1】（2023·全国·模拟预测）已知函数()()()ln 2ln 4f x x x =-+-，则()f x 的单调递增区间为（ ）A ．()2,3B ．()3,4C ．(),3-¥D ．()3,+¥【变式1】（2024·四川成都·三模）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()()1ln f x x x =-，则当0x <时，()f x 的单调递增区间为（ ）A ．(),e -¥-B ．()e,0-C ．(),0¥-D ．()1,0-【变式2】（2024·四川巴中·一模）已知奇函数()f x 的导函数为()f x ¢，若当0x <时()2af x x x=-，且()10f ¢-=.则()f x 的单调增区间为 .【变式3】（2024·河南开封·三模）已知函数()33ln f x x x =-，()f x ¢为()f x 的导函数．(1)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)求函数()()()9g x f x f x x¢=--的单调区间和极值．题型二　含参数的函数的单调性(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点【例题2】（多选）（23-24高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）函数()322f x x ax x=++（R a Î）的大致图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【变式1】（2024·天津·二模）已知()()ln R f x x ax x a =+×Î，(1)当2a =时，求()f x 在点()()e e f ，处的切线方程；(2)讨论()f x 的单调性；(3)若函数()f x 存在极大值，且极大值为1，求证：()2e xf x x -£+．【变式2】（2024·陕西商洛·三模）已知函数()()2212ln 2f x a x x ax a =--ÎR ．(1)求函数()f x 的单调区间；(2)当0a >时，若函数()2e e 2x x g x a =+和()22h x a x =的图象在()0,1上有交点，求实数a 的取值范围．【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知函数()(2)ln f x a x a x =+-．(1)讨论()f x 的单调性；(2)证明：当0a >时，()9ln f x a >．（参考数据：ln 20.693»）题型三　函数单调性的应用由函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)函数在区间(a ，b )上单调，实际上就是在该区间上f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立．(2)函数在区间(a ，b )上存在单调区间，实际上就是f ′(x )>0 (或f ′(x )<0)在该区间上存在解集命题点1　比较大小或解不等式【例题3】（2024·四川成都·模拟预测）若函数()f x 对任意的x ÎR 都有()()f x f x ¢<恒成立，则2(2)f 与2e (ln 2)f 的大小关系正确的是（ ）A ．2(2)f >2e (ln 2)fB ．2(2)f =2e (ln 2)fC ．2(2)f <2e (ln 2)f D ．无法比较大小【变式1】（2023·全国·模拟预测）比较11101011a =-，ln1.2b =，0.115ec =的大小关系为（ ）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．b a c>>D ．a b c>>【变式2】（23-24高三上·湖南衡阳·期末）已知函数()()21e ln 12xf x x a x =--+.(1)证明：当1a £时，()1f x ≥对[)0,x Î+¥恒成立.(2)若存在()1212,x x x x ¹，使得()()12f x f x =，比较()()1211x x ++与2e e a的大小，并说明理由.【变式3】（23-24高三上·河北保定·阶段练习）已知函数()()2ln 12x f x x =++.(1)当[)0,x Î+¥时，比较()f x 与x 的大小；(2)若函数()2cos 2x g x x =+，且()()2e 10,0a f g b a b æö=->>ç÷èø，证明：()()211f b g a +>+.命题点2　根据函数的单调性求参数【例题4】（2023·全国·模拟预测）若对任意的1x ，2(,)x m Î+¥，且12x x <，122121ln ln 2x x x x x x -<-，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1,e e æöç÷èøB ．1,e e éùêúëûC ．1,e ¥éö+÷êëøD ．1,e æö+¥ç÷èø【变式1】（23-24高三上·广东汕头·期中）设()0,1a Î，若函数()(1)x xf x a a =++在()0,¥+递增，则a 的取值范围是（ ）A．B．ö÷÷øC．ö÷÷øD．æççè【变式2】（多选）（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数()2ln f x x ax x =--，下列命题正确的是（ ）A ．若1x =是函数()f x 的极值点，则1a =B ．若()10f =，则()f x 在[]0,2x Î上的最小值为0C ．若()f x 在()1,2上单调递减，则1a ≥D ．若()()l ln x x f x -≥在[]1,2x Î上恒成立，则2a ≥【变式3】（23-24高三上·山东青岛·期末）若函数2()e 1x f x a x =+-在(0,)+¥上单调递增，则a 的取值范围是 ．【课后强化】基础保分练一、单选题1．（2023·全国·高考真题）已知函数()e ln x f x a x =-在区间()1,2上单调递增，则a 的最小值为（ ）．A ．2e B ．eC ．1e -D ．2e -2．（23-24高三上·山西大同·阶段练习）设()af x x a x=-+在()1,+¥上为增函数，则实数a 取值范围是（ ）A ．[)0,¥+B ．[)1,+¥C ．[)2,-+¥D ．[)1,-+¥3．（2024·云南楚雄·一模）若a b >，则函数()2()y a x a x b =--的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．4．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数()()ln 224(0)f x x a x a a =+--+>，若有且只有两个整数12,x x 使得1()0>f x ，且2()0f x >，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[ln 3,2)B ．(0,2ln 3]-C ．(0,2ln 3)-D ．[2ln 3,2)-5．（2024·全国·模拟预测）已知8sin 15a =，3ln 2b =，25c =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b>>C ．b a c>>D ．c b a>>二、多选题6．（2023·全国·模拟预测）已知函数()33f x x x =-，则（ ）A ．函数()()()'g x f x f x =× 是偶函数B ．y x =-是曲线()y f x =的切线C ．存在正数(),a f x 在(),a a -不单调D ．对任意实数a ，()(f a f a £+7．（23-24高三上·江西宜春·期中）下列函数中，是奇函数且在区间()0,1上是减函数的是（ ）A ．()exf x =B ．()sin f x x =-C ．()1f x x=D ．3()2f x x x=-三、填空题8．（2024·云南大理·模拟预测）函数()12ln f x x x =--的最大值为.9．（2024·全国·模拟预测）已知函数()2e e e x x x g x x x =--，若方程()g x k =有三个不同的实根，则实数k 的取值范围是 .四、解答题10．（2024·江西南昌·一模）已知函数()()2ln2ln f x x x x =+-.(1)求()f x 的单调递减区间；(2)求()f x 的最大值.11．（2024·江苏盐城·模拟预测）已知函数()2ln f x ax x x =--．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若不等式()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.综合提升练一、单选题1．（2023·贵州毕节·一模）给出下列命题：①函数2()2x f x x =-恰有两个零点；②若函数()4a af x x x =-+在(1,)+¥上单调递增，则实数a 的取值范围是[1,)-+¥；③若函数()f x 满足()(1)4f x f x +-=，则12918101010f f f æöæöæö+++=ç÷ç÷ç÷èøèøèøL ；④若关于x 的方程20x m -=有解，则实数m 的取值范围是(0,1].其中正确的是（ ）A ．①③B ．②④C ．③④D ．②③2．（2023·江西·模拟预测）已知函数()32f x ax bx cx d =+++的大致图象如图所示，则（ ）A ．0,0,0a b c >><B ．0,0,0a b c ><<C ．0,0,0a b c ><>D ．a 0,b 0,c 0<>>3．（2024·云南昆明·模拟预测）已知函数()()()1e x f x x a =-+在区间()1,1-上单调递增，则a 的最小值为（ ）A ．1e -B ．2e -C ．eD ．2e 4．（2024·全国·模拟预测）已知函数2()4e e 2e x x xf x x =--，()f x ¢为()f x 的导函数，()()e xf xg x ¢=，则（ ）A ．()g x 的极大值为24e 2-，无极小值B ．()g x 的极小值为24e 2-，无极大值C ．()g x 的极大值为4ln22-，无极小值D ．()g x 的极小值为4ln22-，无极大值5．（2024·全国·模拟预测）已知13,,ln2e 14a b c ===-，则它们之间的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b<<D ．c b a<<6．（2023·贵州遵义·模拟预测）若函数()2e x axf x -=在区间()1,3上单调递增，则a 的可能取值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．57．（2024·全国·模拟预测）若22ln 2e a -=，12e b =，ln 24c =，则a ，b ，c 的大小顺序为（ ）A ．a c b<<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b a c<<8．（2023·吉林通化·模拟预测）已知函数()e ln xf x a x =-有两个大于1的零点，则a 的取值范围可以是（ ）A ．(]0,1B ．1e 1,e æùçúèûC ．1ee ,e æùçúèûD ．)e 12e e ,e +éë二、多选题9．（22-23高三上·云南昆明·阶段练习）已知函数21e 1xx y x -=×-，则（ ）A ．函数的极大值点为=0x B ．函数的极小值点为=0x C ．函数在(1,)+¥上单调递增D ．函数在31,2æöç÷èø上单调递减10．（2023·云南昆明·模拟预测）已知函数3()f x x mx n =--，其中,m n ÎR ，下列选项中，能使函数()y f x =有且仅有一个零点的是（ ）A ．1m =-，1n =B ．0m =，1n =C ．3m =，2n =D ．3m =，3n =-11．（2023·山东泰安·一模）已知函数()()()ln f x x x ax a =-ÎR 有两个极值点1x ，2x ()12x x <，则（ ）A ．102a <<B ．2112x a<<C ．21112x x a->-D ．()10<f x ，()212f x >-三、填空题12．（2024·四川成都·三模）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()()1ln f x x x =-，则当0x <时，()f x 的单调递增区间为 ．13．（2023·湖南·模拟预测）已知函数()sin esin a xf x a x =-，对于任意12,x x ÎR ，都有()()12e 2f x f x -£-，则实数a 的取值范围为 .14．（2023·广东广州·模拟预测）已知函数()()()222e 22e 0x xf x a x a x a =--->恰有两个零点，则=a .四、解答题15．（2024·全国·模拟预测）已知函数2()ln f x x ax bx =+-．(1)当1a =，3b =时，求()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 在2x =处取得极值ln 2，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程．16．（2024·全国·模拟预测）已知函数()2()e x f x a a x =+-．(1)讨论()f x 的单调性；(2)证明：当0a >时，()4ln 2f x a ≥+．17．（2024·全国·模拟预测）已知函数()()21ln 12f x x x a x =+++，a ÎR ．(1)讨论()f x 的单调性；(2)证明：当1a <-时，()21a f x +>．18．（2024·青海·模拟预测）已知函数()()3211132f x x mx m x =+-+．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 有3个不同的零点，求m 的取值范围．19．（2023·全国·模拟预测）已知函数()e xf x ax b =+-，其中e 为自然对数的底数．(1)若()f x 在区间(]1,2上不是单调函数，求a 的取值范围．(2)当0x ≥时，()2112f x x b ≥+-恒成立，求a 的取值范围．拓展冲刺练一、单选题1．（2024·全国·模拟预测）下列函数是奇函数且在()0,¥+上单调递减的是（ ）A ．()32xxf x -=+B ．()2222x xxxf x ---=+C ．()3f x x x=-D ．()(12log f x x =2．（2024·全国·模拟预测）已知函数()32()log 2(0a f x x ax x a a =-+->且1)a ¹在区间(1,)+¥上单调递减，则a 的取值范围是（ ）A ．20,3æùçúèûB ．2,13éö÷êëøC ．(1,2]D ．[2,)+¥3．（2024·甘肃兰州·三模）函数()21ln f x x ax x =-++-，若()f x 在0,12æöç÷èø是减函数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,2]-¥B ．(,2)-¥C ．(,3]-¥D ．(3),-¥4．（2024·全国·模拟预测）已知 2.012.0111110312,ln ,1001011021001015a b c æöæö=++==+ç÷ç÷èøèø，则（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．<<b c aD ．<<c a b二、多选题5．（2024·云南昆明·模拟预测）已知函数()321f x x ax ax =+-+，则下列说法正确的是（ ）A ．若()f x 为R 上的单调函数，则3a <-B ．若2a =时，()f x 在()1,1-上有最小值，无最大值C ．若()1f x -为奇函数，则0a =D ．当0a =时，()f x 在1x =处的切线方程为310x y --=6．（2024·云南曲靖·一模）下列不等式正确的是（ ）A ．πe e π>B ．1ln 0.99-<C ．15sin 15<D ．11sin 3π<三、填空题7．（2024·全国·模拟预测）已知1a >，0b >，1c >，且e e ln a b a b --==a ，b ，c 的大小关系为 ．（用“<”连接）8．（2023·安徽·二模）若不等式2ln 23x ax a -£-对(0,)"Î+¥x 恒成立，则实数a 的取值范围为 ．四、解答题9．（2024·湖南衡阳·二模）已知函数()()321f x ax bx a =++ÎR ，当2x =时，()f x 取得极值3-．(1)求()f x 的解析式；(2)求()f x 在区间[]1,3-上的最值．10．（2024·陕西西安·三模）已知函数1()ln ()m f x mx x m x-=--ÎR ，函数1π()ln ,[0,cos 2g x x x q q =+Î在区间[1,)+¥上为增函数．(1)确定q 的值，求3m =时曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；(2)设函数()()()h x f x g x =-在,()0x Î+¥上是单调函数，求实数m 的取值范围．11．（2024·辽宁丹东·一模）已知函数()ln 1f x x mx =++．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)当1m =时，数列{}n a 满足11a =，1()n n a f a +=①求证：12n n a -£；②求证：22223111(1)(1(1e na a a +++<L ．。

新高考数学二轮复习知识点总结与题型归纳 第6讲 导数的应用之单调性、极值和最值(解析版)

新高考数学二轮复习知识点总结与题型归纳 第6讲 导数的应用之单调性、极值和最值(解析版)

第6讲 导数的应用之单调性、极值和最值1．函数单调性与导函数符号的关系一般地，函数的单调性与其导数正负有以下关系：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在该区间内单调递增；如果()0f x '<，那么函数()y f x =在该区间内单调递减.2．求可导函数单调区间的一般步骤 （1）确定函数()f x 的定义域；（2）求()f x '，令()0f x '=，解此方程，求出它在定义域内的一切实数； （3）把函数()f x 的间断点（即()f x 的无定义点）的横坐标和()0f x '=的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数()f x 的定义域分成若干个小区间；（4）确定()f x '在各小区间内的符号，根据()f x '的符号判断函数()f x 在每个相应小区间内的增减性.注①使()0f x '=的离散点不影响函数的单调性，即当()f x '在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，()f x 在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的.例如，在(,)-∞+∞上，3()f x x =，当0x =时，()0f x '=；当0x ≠时，()0f x '>，而显然3()f x x =在(,)-∞+∞上是单调递增函数.②若函数()y f x =在区间(,)a b 上单调递增，则()0f x '≥（()f x '不恒为0），反之不成立.因为()0f x '≥，即()0f x '>或()0f x '=，当()0f x '>时，函数()y f x =在区间(,)a b 上单调递增.当()0f x '=时，()f x 在这个区间为常值函数；同理，若函数()y f x =在区间(,)a b 上单调递减，则()0f x '≤（()f x '不恒为0），反之不成立.这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件.于是有如下结论： ()0f x '>⇒()f x 单调递增； ()f x 单调递增()0f x '⇒≥； ()0f x '<⇒()f x 单调递减； ()f x 单调递减()0f x '⇒≤.3．函数极值的概念设函数()y f x =在点0x 处连续且0()0y f x '==，若在点0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，则0x 为函数的极大值点；若在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，则0x 为函数的极小值点.函数的极值是相对函数在某一点附近的小区间而言，在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值，且极大值不一定比极小值大.极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点. 4．求可导函数()f x 极值的一般步骤 （1）先确定函数()f x 的定义域； （2）求导数()f x '；（3）求方程()0f x '=的根；（4）检验()f x '在方程()0f x '=的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数()y f x =在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数()y f x =在这个根处取得极小值.注①可导函数()f x 在点0x 处取得极值的充要条件是：0x 是导函数的变号零点，即0()0f x '=，且在0x 左侧与右侧，()f x '的符号导号.②0()0f x '=是0x 为极值点的既不充分也不必要条件，如3()f x x =，(0)0f '=，但00x =不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数()f x x =，在极小值点00x =是不可导的，于是有如下结论：0x 为可导函数()f x 的极值点0()0f x '⇒=；但0()0f x '=⇒0x 为()f x 的极值点. 5．函数的最大值、最小值若函数()y f x =在闭区间[],a b 上的图像是一条连续不间断的曲线，则该函数在[],a b 上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在极值点或区间端点处取得.6．求函数的最大值、最小值的一般步骤设()y f x =是定义在区间[],a b 上的函数，()y f x =在(,)a b 可导，求函数()y f x =在[],a b 上的最大值与最小值，可分两步进行：（1）求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；（2）将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值(),()f a f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.注①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点； ③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.1．已知0x 是函数()e ln x f x x =-的极值点，若()00,a x ∈， ()0,b x ∈+∞，则 A. ()0f a '>， ()0f b '< B. ()0f a '<， ()0f b '< C. ()0f a '>， ()0f b '> D. ()0f a '<， ()0f b '> 【答案】D【解析】因为()1(0)x f x e x x '=->，令()1=0x f x e x '=-，即1=x e x ，在平面直角坐标系画出1,x y e y x==的图象，如图：根据图象可知， ()()()()000,,0,,,0x x f x x x f x '∞'∈∈+，所以 ()0f a '<， ()0f b '>，故选D.2．已知20a b =≠，且关于x 的函数()321132f x x a x a bx =++⋅在R 上有极值，则a 与b 的夹角范围为（ ）A. 0,6π⎛⎫⎪⎝⎭B. ,6ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦C. ,3ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 2,33ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C【解析】()321132f x x a x a bx =++⋅在R 有极值， ()2'0f x x a x a b ∴=++⋅=有不等式的根， 0∴∆>，即2240,4cos 0a a b a a b θ-⋅>∴->，120,cos 2a b θ=≠∴<， 0,3πθπθπ≤≤∴<≤，即向量,a b 夹角范围是,3ππ⎛⎤⎥⎝⎦，故选C. 【方法点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式、利用导数研究函数的极值，属于难题.平面向量数量积公式有两种形式，一是cos a b a b θ⋅=，二是1212a b x x y y ⋅=+，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， ·cos ·a ba bθ=（此时·a b 往往用坐标形式求解）；（2）求投影， a 在b 上的投影是a b b⋅；（3）,a b 向量垂直则0a b ⋅=;(4)求向量ma nb + 的模（平方后需求a b ⋅）.3．在ABC ∆中， ,,a b c 分别为,,A B C ∠∠∠所对的边，若函数()()3222113f x x bx a c ac x =+++-+有极值点，则sin 23B π⎛⎫- ⎪⎝⎭的最小值是（ ） A. 0 B. 32- C. 32D. -1 【答案】D【解析】()()3222113f x x bx a c ac x =+++-+，∴f′（x ）=x 2+2bx+（a 2+c 2-ac ），又∵函数()()3222113f x x bx a c ac x =+++-+有极值点，∴x 2+2bx+（a 2+c 2-ac ）=0有两个不同的根，∴△=（2b ）2-4（a 2+c 2-ac ）＞0，即ac ＞a 2+c 2-b 2，即ac ＞2accosB ；即cosB ＜12，故∠B 的范围是（π3π，），所以23B π- 5,33ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当3112B 326B πππ-==，即 时sin 23B π⎛⎫- ⎪⎝⎭的最小值是-1 故选D4．设定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足xf′(x)－f(x)＝xlnx ， 11f e e⎛⎫= ⎪⎝⎭，则f(x)( )A. 有极大值，无极小值B. 有极小值，无极大值C. 既有极大值，又有极小值D. 既无极大值，又无极小值 【答案】D【解析】因为xf ′(x )－f (x )＝x ln x ，所以()()2ln xf x f x x x x -='，所以()'ln ()f x xx x=，所以f (x )＝12x ln 2x ＋cx .因为f (1e )＝12e ln 21e ＋c ×1e ＝1e ，所以c ＝12，所以f ′(x )＝12ln 2x ＋ln x ＋12＝12(ln x ＋1)2≥0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )在(0，＋∞)上既无极大值，也无极小值，故选D.点睛：根据导函数求原函数，常常需构造辅助函数，一般根据导数法则进行：如()()f x f x '-构造()()x f x g x e =， ()()f x f x '+构造()()x g x e f x =，()()xf x f x '-构造()()f xg x x=， ()()xf x f x '+构造()()g x xf x =等 5．设a R ∈，若函数,x y e ax x R =+∈有大于零的极值点，则（ ）A. 1a e<- B. 1a e >- C. 1a >- D. 1a <-【答案】D【解析】()x f x e a '=+（x>0）,显然当0a ≥时， ()0f x '>，f(x)在R 上单调递增，无极值点，不符。

导数的常考题型

导数的常考题型

导数及其应用题型一：求解导数中的切线问题题型二：利用导数研究函数的单调性1、求不含任何参数的函数的单调区间2、求含参函数的单调区间3、根据函数的单调性求参数的取值范围 常考题型 题型三：利用导数研究函数的极值1、求函数的极值（含参与不含参）；2、已知函数的极值求参数题型四：导数与零点题型五：导数中的恒成立问题题型六：利用导数证明不等式题型七：有关隐零点的导数题题型一：求解导数中的切线问题1、已知曲线C ：y ＝ln x x. (1)求曲线C 在点(1,0)处的切线l 1的方程；(2)求过原点与曲线C 相切的直线l 2的方程．2、若直线1y x =+与函数()ln f x ax x =-的图像相切，则a 的值为 ．题型二：利用导数研究函数的单调性：1、求不含任何参数的函数的单调区间2、求含参函数的单调区间3、根据函数的单调性求参数的取值范围1、求函数3()4ln f x x x x=--的单调区间2、设函数()(1)ln(1)f x ax a x =-++其中1a ≥-，求()f x 的单调区间。

3、若函数21()ln 2f x x x x tx =+++在定义域内递增，求实数t 的范围。

题型三：利用导数研究函数的极值：1、求函数的极值（含参与不含参）；2、已知函数的极值求参数例1、求函数2()ln 1f x x x x =--+的极值例2、求函数23212()=33f x a x ax -+，0a >在[1,1]-上的极值例3、已知函数322()3f x x ax bx a =+++在1x =-时有极值0，求,a b思路点拨：求定义域→求导→令'(1)0(1)0f f -=⎧⎨-=⎩→求得,a b →检验变式1：已知f (x )＝x 3＋12mx 2－2m 2x －4(m 为常数，且m >0)有极大值－52，求m 的值．变式2：已知函数32()132x a f x x x =-++在区间1(,3)2上有极值点，求实数a 的取值范围。

第11讲导数中极值的5种常考题型总结(原卷版)

第11讲导数中极值的5种常考题型总结(原卷版)

第11讲 导数中极值的5种常考题型总结【考点预测】 知识点一：极值 1．函数的极值函数()f x 在点0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有点都有0()()f x f x <，则称0()f x 是函数的一个极大值，记作0()y f x =极大值．如果对0x 附近的所有点都有0()()f x f x >，则称0()f x 是函数的一个极小值，记作0()y f x =极小值．极大值与极小值统称为极值，称0x 为极值点．求可导函数()f x 极值的一般步骤 （1）先确定函数()f x 的定义域； （2）求导数()f x '； （3）求方程()0f x '=的根；（4）检验()f x '在方程()0f x '=的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数()y f x =在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数()y f x =在这个根处取得极小值.注①可导函数()f x 在点0x 处取得极值的充要条件是：0x 是导函数的变号零点，即0()0f x '=，且在0x 左侧与右侧，()f x '的符号导号.①0()0f x '=是0x 为极值点的既不充分也不必要条件，如3()f x x =，(0)0f '=，但00x =不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数()f x x =，在极小值点00x =是不可导的，于是有如下结论：0x 为可导函数()f x 的极值点0()0f x '⇒=；但0()0f x '=⇒0x 为()f x 的极值点. 【题型目录】题型一：求函数的极值与极值点 题型二：利用导函数图像判断极值 题型三：根据极值、极值点求参数的值 题型四：根据极值、极值点求参数的范围 题型五：证明函数存在极值点极值问题 【典型例题】题型一：求函数的极值与极值点 【方法总结】利用导数求函数极值的步骤如下： （1）求函数()f x 的定义域； （2）求导；（3）解方程()00f x '=，当()00f x '=； （4）列表，分析函数的单调性，求极值：①如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值； ①如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值【例1】（2022·全国·高二课时练习）“()00f x '=”是“函数()f x 在0x x =处有极值”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【例2】(2022石泉县石泉)函数()2x x f x e=的极小值为( )A ．0B ．1eC ．2D ．24e【例3】（2022·北京大兴·高二期中）已知函数21f x x x ，则（ ）A ．()f x 有极小值，无极大值B ．()f x 有极大值，无极小值C ．()f x 既有极小值又有极大值D ．()f x 无极小值也无极大值【例4】（2022·全国·高三专题练习）函数()3211y x =-+在1x =-处（ ）A ．有极大值B ．无极值C ．有极小值D ．无法确定极值情况【例5】（2023·全国·高三专题练习多选题）设函数()f x 的定义域为R ，()000x x ≠是()f x 的极小值点，以下结论一定正确的是（ ） A ．0x 是()f x 的最小值点 B ．0x 是()f x -的极大值点 C ．0x -是()f x -的极大值点 D ．0x -是()f x --的极大值点【例6】（2022全国·高二期末）已知函数()c bx ax x x f +++=23，下列结论中错误的是（ ）A ．存在R x ∈，使得()0=x fB ．若0==c a ，则函数()x f y =的图像是中心对称图形C ．若0x 是()x f 的极小值点，则()x f 在区间()0,x ∞-上单调递减D ．若0x 是()x f 的极值点，则()00='x f【例7】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的导函数()()()()324123f x x x x x '=---，则下列结论正确的是A ．()f x 在0x =处有极大值B ．()f x 在2x =处有极小值C ．()f x 在[]1,3上单调递减D ．()f x 至少有3个零点【例8】（2022·浙江·高二期中）下列关于极值点的说法正确的是（ ） A ．若函数()f x 既有极大值又有极小值，则该极大值一定大于极小值 B ．2()1f x x x =++在任意给定区间[,]a b 上必存在最小值 C ．()||f x x =-的最大值就是该函数的极大值D ．定义在R 上的函数可能没有极值点，也可能存在无数个极值点【题型专练】1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()e 1x f x x-=，则（ ）A ．()f x 在()0,∞+上为增函数B ．()f x 在()0,∞+上为减函数C ．()f x 在()0,∞+上有极大值D ．()f x 在()0,∞+上有极小值2．（2022·全国·高三专题练习）函数21()(1)x f x x e +=-（e 为自然对数的底数），则下列说法正确的是（ ） A ． ()f x 在R 上只有一个极值点 B ．()f x 在R 上没有极值点 C ．()f x 在0x =处取得极值点 D ．()f x 在1x =-处取得极值点3．（2022·全国·高二课时练习）若函数3()ln f x x x =，则（ ） A ．既有极大值，也有极小值 B ．有极小值，无极大值 C ．有极大值，无极小值 D ．既无极大值，也无极小值4．（2022·全国·高三专题练习）设()21cos 2=+f x x x ，则函数()f x （ ） A ．有且仅有一个极小值 B ．有且仅有一个极大值 C ．有无数个极值 D ．没有极值5．（2018·云南·红河县第一高二期末（文））已知函数()3269f x x x x =-+，则下列结论中错误的是（ ）A ．0x R ∃∈，()00f x =B ．函数()y f x =的图像是中心对称图形C ．3x =是函数()y f x =的极大值点D ．函数()y f x =在区间()1,3单调递减6．（2022·河南·高二阶段练习（理））已知函数()3x x f x e=，那么（ ）A ．()f x 有极小值，也有大极值B ．()f x 有极小值，没有极大值C ．()f x 有极大值，没有极小值D ．()f x 没有极值7．（2022·福建·厦门外国语高二期末多选题）已知函数()ln f x x x =，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 在点()e,e 处的切线方程为2e 0x y --=B ．()f x 的单调递减区间为()1,e ∞--C ．()f x 有且只有一个零点D ．()f x 的极小值点为()11e ,e ---8．（2022·重庆·高二阶段练习多选题）对于定义在R 上的可导函数()f x ，()'f x 为其导函数，下列说法不正确的是（ ）A ．使()0f x '=的x 一定是函数的极值点B ．()f x 在R 上单调递增是()0f x '>在R 上恒成立的充要条件C ．若函数()f x 既有极小值又有极大值，则其极小值一定不会比它的极大值大D ．若()f x 在R 上存在极值，则它在R 一定不单调9．（2022全国高三专题练习）设函数()f x 的定义域为R ，()000x x ≠是()f x 的极大值点，以下结论错误的是（ ）A ．x R ∀∈，()()0f x f x ≤B ．0x -是()f x -的极小值点C ．0x -是()f x -的极小值点D ．0x -是()f x --的极小值点10．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()ln x f x x =，则1f e ⎛⎫'= ⎪⎝⎭_____，()f x 有极__________（填大或小）值．题型二：利用导函数图像判断极值【例1】（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数f （x ），其导函数()f x '的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ）A ．()()()f b f a f c >>B ．函数()f x 在x ＝c 处取得最大值，在e x =处取得最小值C ．函数()f x 在x ＝c 处取得极大值，在e x =处取得极小值D ．函数()f x 的最小值为()f d【例2】（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级高三阶段练习）设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()()1y x f x '=+的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）A ．函数()f x 有极大值()3f -和()3fB ．函数()f x 有极小值()3f -和()3fC ．函数()f x 有极小值()3f 和极大值()3f -D ．函数()f x 有极小值()3f -和极大值()3f【例3】（2022·重庆市璧山来凤中高二阶段练习）已知函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，则下列选项中正确的是（ ）A ．1x =是函数()f x 的极值点B ．()f x 在区间(2,3)-上单调递减C ．函数()f x 在1x =-处取得极小值D ．()f x 的图象在0x =处的切线斜率小于零【题型专练】1．（2022·陕西·泾阳县教育局教学研究室高二期中（理））定义在区间1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）A ．函数()f x 在区间()0,4单调递增B ．函数()f x 在区间1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减C ．函数()f x 在0x =处取得极小值D ．函数()f x 在3x =处取得极小值2．（2022·全国·高二单元测试）设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()2y x =-()f x '的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）A ．函数()f x 有极大值()2f 和极小值()1fB ．函数()f x 有极大值()2f -和极小值()1fC ．函数()f x 有极大值()2f 和极小值()2f -D ．函数()f x 有极大值()2f -和极小值()2f3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的导函数为'()f x ，函数()()1'()g x x f x =-的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 在(),2-∞-，()1,2上为减函数B ．()f x 在()2,1-，()2,+∞上为增函数C ．()f x 的极小值为()2f -，极大值为()2fD ．()f x 的极大值为()2f -，极小值为()2f4．（2022·河北邢台·高二阶段练习）如图是导函数()y f x '=的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．(1,3)-为函数()y f x =的单调递增区间B ．(0,5)为函数()y f x =的单调递减区间C ．函数()y f x =在0x =处取得极大值D ．函数()y f x =在5x =处取得极小值题型三：根据极值、极值点求参数的值 【方法总结】解含参数的极值问题要注意：①()00f x '=是0x 为函数极值点的必要不充分条件，故而要注意检验；①若函数()y f x =在区间(,)a b 内有极值，那么()y f x =在(,)a b 内绝不是单调函数，即在某区间上的单调函数没有极值．【例1】（2022·天津市第四高二期中）函数()3222f x x cx c x =-+在2x =处取极小值，则c =（ ）A ．6或2B ．6或2-C ．6D ．2【例2】(2022全国课时练习)若函数()2()1xf x x ax e =--的极小值点是1x =，则()f x 的极大值为( )A ．e -B ．22e -C ．25e -D ．2-【例3】（2022·四川·阆中高二阶段练习（文））函数()()2f x x x a =-在2x =处有极大值，则a 的值为（ ） A ．2 B ．6 C ．2或6 D ．【例4】（2022·重庆·万州纯阳中高二期中）已知函数()3223f x x mx nx m =+-+在1x =-时有极值0，则mn =______ .【题型专练】1．（2023全国高三专题练习）已知函数()ln 1xf x ae x =--，设1=x 是()f x 的极值点，则a =___，()f x 的单调增区间为___.2.（2022·江苏南通·模拟预测）已知函数()()()e xf x x a x b =--在x a =处取极小值，且()f x 的极大值为4，则b =（ ） A ．-1 B ．2 C ．-3 D ．43.设函数()23ln 2f x x ax x =+-，若1x =是函数()f x 是极大值点，则函数()f x 的极小值为________4．（2023河南省实验高二月考）函数1sin sin 33y a x x =+在3x π=处有极值，则a 的值为（ ） A ．6- B ．6 C ．2-D ．25.(2021·河南新乡市)已知函数()ln f x x ax =-的图象在1x =处的切线方程为0x y b ++=，则()f x 的极大值为( ) A ．ln21-- B ．ln21-+ C ．1-D ．1题型四：根据极值、极值点求参数的范围【例1】（2022·全国·高二专题练习）若函数()()22e x x a f x x =++既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是______．【例2】（2022·四川绵阳·二模（文））若2x =是函数()()2224ln f x x a x a x =+--的极大值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),2-∞-B ．()2,-+∞C ．()2,+∞D ．()2,2-【例3】（2022·全国·高二课时练习）若函数32()1(0)f x x mx m =-++≠在区间(0,2)上的极大值为最大值，则m 的取值范围是（ ） A ．(0,3) B ．(3,0)- C ．(,3)-∞- D ．(3,)+∞【例4】（2022·江西江西·高三阶段练习（文））设0a ≠，若=x a 为函数2()()(1)f x a x a x =--的极小值点，则（ ） A ．1a < B ．1a > C ．2a a < D ．2a a >【例5】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2e 2ln x f x k x kx x=-+，若2x =是函数()f x 的唯一极值点，则实数k 的取值集合是（ ）A ．2e ,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．2e ,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．2e ,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．2e ,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【例6】（2022·全国·高二课时练习）若函数2()e 21x f x ax =-+有两个不同的极值点，则实数a 的取值范围是__________．【例7】（2022·河南·安阳高三阶段练习（理））已知函数()()2ln 21f x x a x =++有两个不同的极值点21,x x ，且12x x <，则实数a 的取值范围是___________.【例8】（2022·全国·高二专题练习）已知函数()e 1x f x t x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在区间()0,∞+上有且只有一个极值点，则实数t 的取值范围为___________.【例9】（2022·河南·高三阶段练习（文））若函数()()22e xx a f x x =++⋅在R 上无极值，则实数a 的取值范围（ ）A ．()2,2-B ．(-C ．⎡-⎣D ．[]22-,【题型专练】1.（2022吉林通榆县第高二期末（理））已知函数321()(23)13f x x ax a x =+++-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(1,3)- B ．(,1)(3,)-∞-+∞ C ．(3,1)- D ．(,3)(1,)-∞-⋃+∞2．（2023·全国·高三专题练习）若函数3()3f x x bx b =-+在区间(0,1)内有极小值，则b 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞ B ．(0,1) C ．(1,)+∞ D ．(1,0)-3．（2022·黑龙江·哈尔滨市阿城区第高二期末）若函数()()216ln 62f x a x x a x =+-+有2个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()(),66,-∞⋃+∞B ．()()0,66,⋃+∞C ．{}6D ．()0,∞+4.（2022·江西·丰城高二期末（理）多选题）函数32()132ax ax f x x =-++在区间1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭内仅有唯一极值点的一个充分不必要条件为（ ）A ．9,2a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭B ．9,2a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭C ．1,06a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭D ．19,62a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭5．（2022·辽宁葫芦岛·高二期末多选题）设函数()()24143e xf x ax a x a ⎡⎤=-+++⎣⎦.若()f x 在2x =处取得极大值，a 的值可能为（ ） A ．-2 B ．14C ．1D ．26．（2022·广东·东莞市东华高级高三阶段练习多选题）对于函数()ln xf x x=，下列选项正确的是（ ） A ．函数()f x 的极小值点为e -，极大值点为eB ．函数()f x 的单调递减区间为 ][,,(e e ) -∞-⋃+∞，单调递增区为[]e,0)(0,e -⋃C ．函数()f x 的最小值为1e -，最大值为1eD ．函数()f x 存在两个零点1和1-7．（2022·广东广雅高三阶段练习）若函数()22ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点，则实数a 的取值范围是____________.8．（2022·山东青岛·高三开学考试）已知函数()()e xf x x a =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是___________.9.（2022·全国·高三专题练习）函数()(ln )xe f x a x x x =--在()1,0内有极值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,)e -∞B ．(0,)eC ．(,)e +∞D ．[),e +∞10．（2022贵州遵义·高三）若函数无极值点则实数a 的取值范围是（ ） A ． B ．C ．D ．11.（2022辽宁高三月考）已知函数()22ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，则a 的取值范围___________；且不等式()()1212f x f x x x t +<++恒成立，则实数t 的取值范围___________.321()53f x x ax x =-+-(1,1)-[1,1]-(,1)(1,)-∞-+∞(,1][1,)-∞-+∞题型五：证明函数存在极值点极值问题【例4】（2022·上海市进才高三阶段练习）已知函数()()e 0=->xf x ax x a .(1)求()()0,0f 处的切线方程； (2)求证：()f x 有且仅有一个极值点；【例2】（2022·江西师大附中三模（理））已知函数()sin ,()e xxf x xg x =-为()f x 的导函数． (1)判断函数()g x 在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是否存在极值，若存在，请判断是极大值还是极小值；若不存在，说明理由；【例3】（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()ln 1e xx f x +=. (1)求证：函数()f x 存在唯一的极大值点；【题型专练】1．（2022·安徽省定远县第三高三阶段练习）已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()'f x 为()f x 的导数． (1)判断并证明()'f x 在区间1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上存在的极大值点个数；2.（2022·北京房山·高三开学考试）已知函数()ln(1)sin =++f x x x ． (1)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； (2)设()()g x f x '=，讨论函数()g x 在(0,)π上的单调性； (3)证明：()f x 在(1,)π-上存在唯一的极大值点．3.（2022·江苏苏州·模拟预测）函数()sin cos f x x x x =--．(1)求函数()f x 在(),2ππ-上的极值；。

(完整版)利用导数求函数单调性题型全归纳

(完整版)利用导数求函数单调性题型全归纳

利用导数求函数单调性题型全归纳一.求单调区间二.函数单调性的判定与逆用 三.利用单调性求字母取值范围 四.比较大小 五.证明不等式 六.求极值 七.求最值 八.解不等式九.函数零点个数（方程根的个数） 十.探究函数图像一.求单调区间 例1. 已知函数2()ln (0,1)x f x a x x a a a =+->≠，求函数)(x f 的单调区间解：()ln 2ln 2(1)ln x x f x a a x a x a a '=-=-++.则令()()g x f x '=，因为当0,1a a >≠，所以2()2ln 0xg x a a '=+>所以()f x '在R 上是增函数,又(0)0f '=,所以不等式()0f x '>的解集为(0,)∞+, 故函数()f x 的单调增区间为(0,)∞+ 减区间为：(0)-∞， 变式：已知()xf x e ax =-，求()f x 的单调区间解：'()xf x e a =-，当0a ≤时，'()0f x >，()f x 单调递增当0a >时，由'()0xf x e a =->得：ln x a >，()f x 在(ln ,)a +∞单调递增 由'()0xf x e a =-<得：ln x a <，()f x 在(ln )a -∞，单调递增综上所述：当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为：-∞+∞（，），无单调递减区间 当0a >时，()f x 的单调递增区间为：(ln ,)a +∞，递减区间为：(ln )a -∞，二.函数单调性的判定与逆用例2.已知函数32()25f x x ax x =+-+在1132（，）上既不是单调递增函数，也不是单调递减函数，求正整数a 的取值集合 解：2()322f x x ax '=+-因为函数32()25f x x ax x =+-+在1132（，）上既不是单调递增函数，也不是单调递减函数 所以2()322=0f x x ax '=+-在1132（，）上有解 所以''11()()032f f <，又*a N ∈，解得：5542a <<，所以正整数a 的取值集合{2} 三.利用单调性求字母取值范围 例3. 已知函数()ln xf x ax x，若函数()y f x 在1（，）上是减函数，求实数a 的最小值. 解：因为()ln xf x ax x在1（，）上是减函数所以'2ln 1()0(ln )x f x ax 在1（，）上恒成立，即2ln 1(ln )x ax 在1（，）上恒成立令ln ,(1)t x x ，则0t，21()(0)t h t t t ，则max ()ah t因为222111111()=()()24t h t t t tt，所以max 1()=(2)4h t h ，所以14a 变式：若函数3211()(1)132f x x ax a x 在区间1,4（）上为减函数，在区间(6,)上为增函数，试求实数a 的取值范围.解：2'()=1f x x ax a因为函数()yf x 在区间1,4（）上为减函数，在区间(6,)上为增函数所以''()0(1,4)()0,(6,)f x x f x x，恒成立，即2210(1,4)10,(6,)x ax a x xaxa x，所以2211,(1,4)111,(6,)1x ax x x x ax xx ，所以4161a a，所以57a四.比较大小例4. 设a 为实数，当ln 210a x且时，比较x e 与221x ax 的大小关系.解：令2()21(0)x f x e x axx，则'()=22xf x e x a令'()()g x f x则'()e 2xg x ，令'()0g x 得：ln 2x当ln 2x 时，'()0g x ；当ln 2x时，'()0g x所以ln2min ()()=(ln 2)2ln 2222ln 22g x g x g e aa极小值，因为ln 21a，所以'()()0g x f x ，所以()f x 在0（，）上单调递增 所以()(0)0f x f ，即2210xe x ax ，所以221xe x ax变式：对于R 上的可导函数()y f x ，若满足'(3)()0xf x ，比较(1)(11)f f 与2(3)f 的大小关系.解：因为'(3)()0xf x所以当3x >时，'()0f x >，()f x 单调递增，故(11)(3)f f > 当3x <时，'()0f x <，()f x 单调递减，故(1)(3)f f > 所以(1)(11)2(3)f f f五.证明不等式例5.已知函数|ln |)(x x f =，()(1)g x k x =- (R)k ∈.证明：当1k <时，存在01x >，使得对任意的0(1,)x x ∈，恒有()()f x g x >. 证明：令()|ln |(1)=ln (1),(1,)G x x k x x k x x =----∈+∞ 则有'11(),(1,)kxG x k x x x-=-=∈+∞ 当01k k ≤≥或时，'()0G x >，故 ()G x 在1+∞（，）上单调递增，()G(1)0G x >=.故任意实数 (1,)x ∈+∞ 均满足题意.当 01k << 时，令'()=0G x ，得11x k=>. 当1(1,)x k ∈时，'()0G x >，故 ()G x 在1(1,)k 上单调递增当1()x k ∈+∞，时，'()0G x <，故 ()G x 在1()k +∞，上单调递减 取01x k=，对任意0(1,)x x ∈，有'()0G x >，故()G x 在0(1,)x 上单调递增所以()G(1)0G x >=即()()f x g x >，综上所述：当1k <时，存在01x >，使得对任意的0(1,)x x ∈，恒有()()f x g x >. 变式：已知关于x 的方程2(1)xx e ax a --=有两个不同的实数根12x x 、.求证：120x x <+证明：因为2(1)xx e ax a --=，所以2(1)1x x e a x -=+，令2(1)()1x x e f x x -=+则222222(23)[(1)2]()11x xx x x e x x e f x x x --+--+'==++（）（）当0x >时()0f x '<，()f x 单调递减，当0x <时()0f x '>，()f x 单调递增 因为关于x 的方程2(1)xx e ax a --=有两个不同的实数根12x x 、 所以不妨设12(,0),(0,)x x ∈-∞∈+∞，要证：120x x <+，只需证：21x x <-因为210x x -∈+∞（，），且函数()f x 在0+∞（，）上单调递减 所以只需证：21()()f x f x >-，又因为21()=()f x f x ，所以只需证：11()()f x f x >-即证：11112211(1)(1)11x x x e x e x x --+>++ 即证：(1)(1)0xxx e x e---+>对0x ∈-∞（，）恒成立 令g()(1)(1)x xx x e x e -=--+，0x ∈-∞（，），则g ()()xx x x e e -'=-因为0x ∈-∞（，），所以0xx e e -->所以g ()()0xx x x ee -'=-<恒成立所以g()(1)(1)xxx x e x e -=--+在0-∞（，）上单调递减，所以g()(0)0x g >= 综上所述：120x x <+ 六.求极值例6.已知函数2()()xf x x ax a e =++，是否存在实数a ，使得函数()f x 的极大值为3？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由.解：'22()(2)()[(2)2]=()(2)xxxxf x x a e x ax a e x a x a e x a x e =++++=+++++ 令'()=0f x 得：2x a x =-=-或当2a =时，'()0f x ≥恒成立，无极值，舍去由表可知：2()=(2)(42)3f x f a a e --=-+=极大值解得：2432a e =-< 当2a >时，2a -<-由表可知：22()=()()3a f x f a a a a e --=-+=极大值，即3a ae -=，所以：=3a a e令()3(2)ag a e a a =->，则'2()31310ag a e e =->-> 所以()y g a =在2+∞（，）上单调递增，又2(2)320g e =-> 所以函数()y g a =在2+∞（，）上无零点，即方程=3aa e 无解 综上所述：存在实数a ，使得函数()f x 的极大值为3，此时243a e =- 七.求最值例7. 已知函数2()ln (0,1)xf x a x x a a a =+->≠，若存在]1,1[,21-∈x x ,使得12()()e 1f x f x -≥-（其中e 是自然对数的底数),求实数a 的取值范围.解：因为存在12,[1,1]x x ∈-,使得12()()e 1f x f x --≥成立, 而当[1,1]x ∈-时,12max min ()()()()f x f x f x f x --≤, 所以只要max min ()()e 1f x f x --≥即可 又因为x ,()f x ',()f x 的变化情况如下表所示:所以()f x 在[1,0]-上是减函数,在[0,1]上是增函数,所以当[1,1]x ∈-时,()f x 的最小值()()min 01f x f ==,()f x 的最大值()max f x 为()1f -和()1f 中的最大值.因为11(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a a a a aa--=--=--+++, 令1()2ln (0)g a a a a a =-->,因为22121()1(1)0g a a a a '=-=->+,所以1()2ln g a a a a=--在()0,a ∈+∞上是增函数.而(1)0g =,故当1a >时,()0g a >,即(1)(1)f f >-; 当01a <<时,()0g a <,即(1)(1)f f <-所以,当1a >时,(1)(0)e 1f f --≥,即ln e 1a a --≥,函数ln y a a =-在(1,)a ∈+∞上是增函数,解得e a ≥;当01a <<时,(1)(0)e 1f f ---≥,即1ln e 1a a +-≥,函数1ln y a a=+在(0,1)a ∈上是减函数,解得10ea <≤.综上可知,所求a 的取值范围为1(0,][e,)ea ∈∞+ 变式：已知函数()ln()(0)x af x e x a a -=-+>在区间0+∞（，）上的最小值为1，求实数a 的值. 解：1()=x af x ex a -'-+，令()()g x f x '=，则21()=0(x ag x e x a -'+>+） 所以()y g x =在区间0+∞（，）单调递增，所以存在唯一的00x ∈+∞（，），使得0001()0x a g x e x a -=-=+，即001=x a e x a -+ 所以当0(0,)x x ∈时，()()0g x f x '=<，()y f x =单调递减当0()x x ∈+∞，时，()()0g x f x '=>，()y f x =单调递增 所以0min 00()()ln()x af x f x ex a -==-+，由001=x aex a-+得：00=ln()x a x a --+所以0min 00001()()ln()=x af x f x ex a x a x a-==-++-+001=()2222x a a x aa a++-+≥=- 当且仅当001=x a x a++即0=1x a +，min 0()()22f x f x a ==- 由22=1a -得12a =，此时01=2x ，满足条件，所以12a = 八.解不等式例8. 函数2)0())((=∈f R x x f ，，对任意1)()('>+∈x f x f R x ，，解不等式：1)(+>x x e x f e解：令()()xxg x e f x e =-，则()()()(()()1)xxxxg x e f x e f x e e f x f x '''=+-=+- 因为对任意1)()('>+∈x f x f R x ，，所以()0g x '>， 所以()y g x =为R 上的单调递增函数，又(0)(0)11g f =-=所以当1)(+>xxe xf e 即()1xxe f x e ->，所以()(0)g x g >，所以0x > 即不等式：1)(+>xxe xf e 的解集为0+∞（，） 变式：已知定义在R 上的可导函数()yf x 满足'()1f x ，若(12)()13f m f m m ，求m 的取值范围.解：令()()g x f x x =-，则()()1g x f x ''=-，因为'()1f x所以()()10g x f x ''=-<，所以()()g x f x x =-为R 上递减函数 由(12)()13f m f m m ，得：(12)()f m m f m m （1-2)>即(12)()g m g m ->，所以12m m ->，即13m < 九.函数零点个数（方程根的个数）例9. 已知2()2ln()f x x a x x =+--在0x =处取得极值.若关于x 的方程()0f x b +=在区间[1,1]-上恰有两个不同的实数根，求实数b 的取值范围. 解： '2()21f x x x a =--+，因为2()2ln()f x x a x x =+--在0x =处取得极值 所以'2(0)1=0f a=-，即2a =，检验知2a =符合题意. 令2()()2ln(2)[1,1]g x f x b x x x b x =+=+--+∈-，'52()22()21(11)x x g x x x +=--=--≤≤ 所以()=(0)2ln 2g x g b =+极大值因为方程()0f x b +=在区间[1,1]-上恰有两个不同的实数根所以(1)0(0)0(1)0g g g -≤⎧⎪>⎨⎪≤⎩，即02ln 202ln 320b b b ≤⎧⎪+>⎨⎪-+≤⎩解得：2ln 222ln3b -<≤-所以实数b 的取值范围是：2ln 222ln 3]--（， 变式：已知函数()y f x 是R 上的可导函数，当0x时，有'()()0f x f x x，判断函数13()()F x xf x x的零点个数 解：当0x时，有'()()f x f x x，即'()()xf x f x x令()()g x xf x =，则'()()()g x xf x f x所以当0x >时，'()()()0g x xf x f x ，函数()y g x =在0+∞（，）单调递增 且()g(0)=0g x >， 所以当0x >时，13()()0F x xf x x恒成立，函数()y F x 无零点当0x <时，'()()()0g x xf x f x ，函数()y g x =在0∞（-，）单调递减 且()g(0)=0g x >恒成立所以13()()F x xf x x在0∞（-，）上为单调递减函数 且当0x →时，()0xf x ，所以13()0F x x当x →-∞时，10x，所以()()0F x xf x所以13()()F x xf x x 在0∞（-，）上有唯一零点 综上所述：13()()F x xf x x在0∞∞（-，）（0,+）上有唯一零点 十.探究函数图像例10.设函数在定义域内可导，()y f x =的图像如图所示，则导函数()y f x '=的图像可能为下列图像的 .解：由()y f x =的图像可判断出：()f x 在(,0)-∞递减，在(0)+∞，上先增后减再增所以在(,0)-∞上()0f x '<，在(0)+∞，上先有()0f x '>，后有()0f x '<，再有()0f x '>. 所以图（4）符合. 变式：已知函数ln(2)()x f x x=，若关于x 的不等式2()()0f x af x +>只有两个整数解，求实数a 的取值范围.解：21ln(2)()=x f x x -'，令()=0f x '得2ex = 所以当02ex <<时，()0,()f x f x '>单调递增当2ex >时，()0,()f x f x '<单调递减由当12x <时，()0f x <，当12x >时，()0f x >作出()f x 的大致函数图像如图所示： 因为2()()0f x af x +>（1）若0a =，即2()0f x >，显然不等式有无穷多整数解，不符合题意；（2）若0a >，则()()0f x a f x <->或，由图像可知，()0f x >，有无穷多整数解（舍）（1） （2）（4）（3）若0a <则()0()f x f x a <>-或，由图像可知，()0f x <无整数解，所以()f x a >-有两个整数解，因为(1)(2)ln 2f f ==，且()f x 在(,)2e +∞上单调递减 所以()f x a >-的两个整数解为：1,2x x == 又ln 6(3)3f =，所以ln 6ln 23a ≤-<，所以ln 6ln 23a -<≤-。

函数的单调性与极值点例题和知识点总结

函数的单调性与极值点例题和知识点总结

函数的单调性与极值点例题和知识点总结在数学的学习中，函数的单调性与极值点是非常重要的概念，它们不仅在理论上有着深刻的意义，在实际应用中也能帮助我们解决很多问题。

接下来，让我们通过一些具体的例题来深入理解函数的单调性与极值点，并对相关知识点进行总结。

一、函数单调性的定义函数的单调性是指函数在某个区间内的增减性质。

如果对于区间内的任意两个自变量的值\（x_1\）和\（x_2\），当\（x_1 ＜ x_2\）时，都有\（f(x_1) ＜ f(x_2)＼），那么就说函数在这个区间上是单调递增的；如果当\（x_1 ＜ x_2\）时，都有\（f(x_1) ＞ f(x_2)＼），那么就说函数在这个区间上是单调递减的。

二、函数单调性的判定方法1、导数法对于一个可导函数\（f(x)＼），如果其导数\（f'（x) ＞ 0\）在某个区间内恒成立，那么函数在这个区间上单调递增；如果\（f'（x) ＜0\）在某个区间内恒成立，那么函数在这个区间上单调递减。

例如，函数\（f(x) ＝ x^2\），其导数\（f'（x) ＝ 2x\）。

当\（x ＞0\）时，＼（f'（x) ＞ 0\），函数单调递增；当\（x ＜ 0\）时，＼（f'（x) ＜ 0\），函数单调递减。

2、定义法设\（x_1\），＼（x_2\）是给定区间上的任意两个自变量的值，且\（x_1 ＜ x_2\），计算\（f(x_2) f(x_1)＼），然后判断其正负。

若\（f(x_2) f(x_1) ＞ 0\），则函数单调递增；若\（f(x_2) f(x_1) ＜ 0\），则函数单调递减。

三、函数极值点的定义设函数\（f(x)＼）在点\（x_0\）处可导，且在\（x_0\）附近左侧导数\（f'（x) ＜ 0\），右侧导数\（f'（x) ＞ 0\），则\（x_0\）为函数的极小值点，＼（f(x_0)＼）为极小值；若在\（x_0\）附近左侧导数\（f'（x) ＞ 0\），右侧导数\（f'（x) ＜ 0\），则\（x_0\）为函数的极大值点，＼（f(x_0)＼）为极大值。

导数与函数的单调性、极值、最值问题(题型归纳)

导数与函数的单调性、极值、最值问题(题型归纳)

导数与函数的单调性、极值、最值问题【考情分析】1.考查特点:(1)高考对导数几何意义的考查,多在选择题、填空题中出现,难度较小,有时出现在解析题第一问;(2)高考重点考查导数的简单应用,即利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题,多在选择题、填空题的后几题中出现,难度中等,有时也出现在解析题的第一问.2.关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力,创新能力.3.学科素养:逻辑推理、数学运算、数据分析.【题型一】导数的几何意义【典例分析】1．（2020·湖北武汉市·华中师大一附中高三模拟）已知函数()2ln f x ax b x =+的图象在点()()1,1f 的切线方程为32y x =-，则a b +=（）A ．2B ．0C ．1D ．2-【答案】A【解析】()2ln f x ax b x =+ ，则()2bf x ax x'=+，由题意可知点()()1,1f 在直线32y x =-上，所以，()1321f =-=，所以，()()11123f a f a b ⎧==⎪⎨=+='⎪⎩，解得1a b ==，因此，2a b +=.故选：A.2．（2021·湖南长沙长郡中学高三模拟）已知P 是曲线[]()sin 0,y x x π=-∈上的动点，点Q 在直线260x y --=上运动，则当PQ 取最小值时，点P 的横坐标为（）A ．4πB ．2πC ．23πD ．56π【答案】C【解析】如下图所示：若使得PQ 取值最小值，则曲线[]()sin 0,y x x π=-∈在点P 处的切线与直线260x y --=平行，对函数sin y x =-求导得cos y x '=-，令12y ¢=，可得1cos 2x =-，0x π≤≤ ，解得23x π=.故选：C.【提分秘籍】应用导数的几何意义解题时应注意：(1)f ′(x )与f ′(x 0)的区别与联系，f ′(x 0)表示函数f (x )在x ＝x 0处的导数值，是一个常数；(2)函数在某点处的导数值就是对应曲线在该点处切线的斜率；(3)切点既在原函数的图象上也在切线上.【变式演练】1．（2021·浙江镇海中学高三模拟）已知曲线322()13f x x x ax =-+-上存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a 可能的取值（）A ．196B ．3C ．103D ．92【答案】AC【解析】∵322()13f x x x ax =-+-，∴2()22f x x x a '=-+，可令切点的横坐标为m ，且0m >，可得切线斜率2223k m m a =-+=即22230m m a -+-=，由题意，可得关于m 的方程22230m m a -+-=有两个不等的正根，且可知1210m m +=>，则1200m m ∆>⎧⎨⋅>⎩，即2242(3)0302a a ⎧-⨯⨯->⎪⎨->⎪⎩，解得：732a <<，所以a 的取值可能为196，103.故选：AC.2．（2021·湖北武汉市·汉阳一中高三模拟）曲线ln xy x=在1x =处的切线与曲线2y ax ax =-相切，则a =_________．【答案】1【解析】因为ln x y x =，所以()22ln ln 1ln x x x x x y x x''--'==，则121ln1|11x y =-'==，且切点坐标为()1,0，故切线方程为1y x =-，又2y ax ax =-，则2y ax a '=-，设切点坐标为()00,x y ，则0002000211ax a x y ax ax y -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩解得00110a x y =⎧⎪=⎨⎪=⎩，故答案为：1【题型二】利用导数研究函数的单调性【典例分析】【例1】（2020·海南中学高三模拟）已知ln a =，1b e -=，3ln 28c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．b c a>>C ．c a b>>D ．b a c>>【答案】D【解析】根据题意，ln55a =，1ln =e b e e -=，ln88c =.令()ln x f x x =，则()21ln xf x x -'=，由()0f x '<得x e >；由()0f x '>得0x e <<；则函数()f x 在()0e ，上单调递增，在(),e +∞上单调递减，又58e <<，所以()()()58f e f f >>，因此b a c >>．故选：D ．【例2】（2020·武汉外国语学校高三模拟）定义在R 上的函数()f x 满足：()()22f x f x x -+=，且当0x ≤时，()2f x x '<，则不等式()()25510f x x x f +-+≥的解集为______．【答案】5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】因为()()22f x f x x -+=，所以()()()220f x x f x x ---+-=，令()()2g x f x x =-，则()()0g x g x -+=，所以()g x 为奇函数．又因为当0x ≤时，()()20g x f x x ''=-<，所以()g x 在(],0-∞上单调递减，即()g x 在R 上单调递减．而不等式()()()()()()()2225510555f x f x x f x x f x x g x g x +≥-+⇔-≥---⇔≥-，所以5x x ≤-，所以52x ≤．故答案为：5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【提分秘籍】利用导数研究函数单调性的关键：(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；(2)单调区间的划分要注意对导数等于零的点的确认；(3)已知函数单调性求参数范围，要注意导数等于零的情况【变式演练】1．（2021·湖南长沙雅礼中学高三模拟）已知定义在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的函数()f x ，()'f x 是()f x 的导函数，且恒有cos ()sin ()0xf x xf x '+<成立，则()A．64f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B63f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C．63f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D64ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】CD【解析】根据题意，令()()cos f x g x x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则其导数2()cos sin ()()f x x x f x g x cos x '+'= ，又由(0,2x π∈，且恒有cos ()sin ()0x f x x f x '+< ，则有()0g x '<，即函数()g x 为减函数，又由63ππ<，则有()()63g g ππ>，即()()63cos cos 63f f ππππ>，分析可得()()63f ππ>；又由64ππ<，则有()(64g g ππ>，即()(64cos cos 64f f ππππ>()()64ππ>．故选：CD ．2.（2011·山东青岛市·高三一模）已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足'()()0f x f x ->，()20212021f e =，则不等式1ln 3f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为【答案】()60630,e【解析】由题可设()()x f x F x e=，'()()0f x f x -> ，则2'()()'()()'()0x x x xf x e f x e f x f x F x e e--==>，所以函数()F x 在R 上单调递增，2021(2021)(2021)1f F e ==，将不等式1ln 3f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭1ln 311ln ln 3311ln ln 33x x x f x f x e e e⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⋅=，可得1ln 13F x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即1ln (2021)3F x F ⎛⎫< ⎪⎝⎭，有1ln 20213x <，故得60630x e <<，所以不等式1ln 3f x ⎛⎫<⎪⎝⎭的解集为()60630,e 【题型三】利用导数研究函数的极值和最值【典例分析】1.（安徽省宣城市2021届高三下学期第二次调研数学试题）已知函数3()7f x x ax =-+的极小值为5．（1）求a 的值，并求出()f x 的单调区间；（2）若函数()()g x f x mx =+在(3,1)a --上的极大值不小于10m -，求实数m 的取值范围．【解析】（1）2()3f x x a '=- ，当0a ≤时，()0f x '≥恒成立，()f x ∴在R 上单调递增，无极值，当0a >时，2()30f x x a '=-=，解得：3x =±，x ，()f x'，()f x 的变化如下：()f x 递增极大值递减极小值递增()53f x f ⎛⎫∴== ⎪ ⎪⎝⎭极小值，即3337533a ⎛⎫-⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭，解得：3a =；()f x ∴的递减区间是3,3⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭，3,3⎫+∞⎪⎪⎝⎭，递减区间是33,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭；（2）由（1）知3a =，故3()(3)7g x x m x =+-+，2()3(3)g x x m '=+-，当30m -≥时，()0g x '≥恒成立，()g x ∴在R 上递增，无极值，当30m -<时，()0g x '=，解得：3x =±，x ，()g x'，()g x 的变化如下：93()103g x g m ⎛⎫∴=-≥- ⎪ ⎪⎝⎭极大值，即39393(3)71033m m ⎛⎛-+--+≥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：154m ≤-，又323m --<-< ，解得：243m -<<，15244m ∴-<≤-，即实数m 的取值范围是15244m m ⎧⎫-<≤-⎨⎬⎩⎭∣．2.（2021·重庆南开中学高三模拟）已知A 、B 两地相距200km ，一只船从A 地逆水行驶到B 地，水速为8km /h ，船在静水中的速度为v km/h(8<v ≤v 0)．若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比，当v ＝12km/h 时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度为多少？【解析】设每小时的燃料费为y 1，比例系数为k (k >0)，则y1＝k v2，当v＝12时，y1＝720，∴720＝k·122，得k＝5，即y1＝5v2.设全程燃料费为y，由题意，得y＝y1·2 200100088vv v=--，∴y′＝222000(8)1000(8)v v vv---＝22100016000(8)v vv--.令y′＝0，得v＝16，∴当v0≥16时，y在(8,16)上递减，在[16，v0]上递增，即v＝16km/h时全程燃料费最省，y min＝32000(元)；当v0<16时，即y在(8，v0]上为减函数，∴当v＝v0时，y min＝210008vv-(元)．综上，当v0≥16时，v＝16km/h时全程燃料费最省，为32000元；当v0<16时，v＝v0时全程燃料费最省，为210008vv-元．【提分秘籍】1.利用导数研究函数极值、最值的方法(1)若求极值,则先求方程f′(x)=0的根,再检查f′(x)在方程根的左右函数值的符号.(2)若已知极值大小或存在情况,则转化为已知方程f′(x)=0根的大小或存在情况来求解.(3)求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值时,在得到极值的基础上,结合区间端点的函数值f(a),f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值.2.已知函数极值点或极值求参数的方法(1)列式:根据极值点处的导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解.(2)验证:因为导数值等于0并不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.3.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)建模：分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y ＝f (x ).(2)求导：求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0.(3)求最值：比较函数在区间端点和使f ′(x )＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值.(4)结论：回归实际问题作答.【变式演练】（2021·山东滕州一中高三模拟）音乐是用声音来表达思想情感的一种艺术，数学家傅里叶证明了所有的器乐和声乐的声音都可用简单正弦函数sin y A x ω=的和来描述，其中频率最低的称为基音，其余的称为泛音，而泛音的频率都是基音频率的整数倍，当一个发声体振动发声时，发声体是在全段振动的，除了频率最低的外，其余各部分(如二分之一､三分之一…)也在振动，所以我们听到声音的函数是11sin sin 2sin 323y x x x =+++ ，则声音函数1sin sin 22y x x =+的最大值是（）A ．32B ．1C ．4D ．4-【答案】C【解析】1sin sin 22y x x =+，周期为2π，只需要求y 在[0,2]π上最大值.令cos cos 20y x x =+='，解得：3x π=或x π=或53x π=，当(0,3x π∈时，'0y >，当(,)3x ππ∈时，'0y <，当5(,)3x ππ∈时，'0y <，当5(,2)3x ππ∈时，'0y >，所以y 在550,,,,,,,23333πππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭3x π=时，4y =；2x π=时，y =0max 334y ∴=.故选：C.2.（2021·福建省福州第一中学高三模拟）已知函数()sin sin 2f x a x x =+，a R ∈.（1）若()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有极值点，求a 的取值范围；（2）若1a =，20,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()cos f x bx x ≥，求b 的最大值.【解析】（1）2'()cos 2cos 24cos cos 2f x a x x x a x =+=+-，依题意，'()f x 有变号零点，令cos x t =，则()0,1t ∈，所以()2420g t t at =+-=在()0,1有实根，注意到0∆>，所以()()010g g ⋅<，解得2a >-，即()2,a ∈-+∞.（2）1a =，()sin sin 2f x x x =+，当2,23x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0cos f x bx x ≥≥，显然成立；当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x >，所以tan 2sin x x bx +≥.记()tan 2sin h x x x bx =+-，则()0h x ≥恒成立，21'()2cos cos h x x b x =+-，()3332sin 1cos 2sin ''()2sin 0cos cos x x x h x x x x-=-=>，)'(h x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，()'03h b =-，若3b >，则()0'0h <，记cosθ=，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()'0h b b θ=-=>，所以存在()00,x θ∈，使得()0'0h x =，当()00,x x ∈时，'()0h x <，()h x 单调递减，所以()00,x x ∈时，()()00h x h <=，不符题意，当3b =时，()'()'00h x h >=，即0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()h x 单调递增，所以，()()00h x h >=，符合题意，当,23x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin 2sin cos sin (12cos )f x x x x x x =+=+，由22cos 12cos103x π+>+=，sin 0x >，所以()0f x >，而3b =时，cos 0bx x <，所以()cos f x bx x >成立，综上所述，b 的最大值为3.1．（2021·山东济宁市·高三一模）已知曲线x y e =在点()11,xx e 处的切线与曲线ln y x =在点()22,ln x x 处的切线相同，则()()1211x x +-=（）A ．-1B ．-2C ．1D ．2【答案】B 【解析】已知曲线x y e =在点()11,x x e 处的切线方程为()111x xy e e x x -=-，即1111x x x y e x e x e =-+，曲线ln y x =在点()22,ln x x 处的切线方程为()2221ln y x x x x -=-，即2211ln y x x x =-+，由题意得11121211ln x x x e x e e x x ⎧=⎪⎨⎪-=-+⎩，得121x x e =，11112111ln 1ln 1x x x e x e x e x -=-+=-+=--，则11111x x e x +=-.又121x x e=，所以12111x x x -=+，所以1211121111x x x x ---=-=++，所以()()12112x x +-=-.故选B.2．（2021·福建莆田市·高三模拟）已知函数3()f x x kx k =+-，则“0k <”是“()f x 有极值”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若“()f x 有极值”，则2()30f x x k '=+=有两个不等的实数根，所以0430k ∆=-⨯>，解得0k <，当0k <时，令2()30f x x k '=+=可得x =，此时3()f x x kx k =+-在,⎛-∞ ⎝单调递增，在⎛ ⎝单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭单调递增，所以“0k <”可以推出“()f x 有极值”，所以“0k <”是“()f x 有极值”的充要条件.故选：C 3．（2021·江西高三二模）已知函数21()ln 12f x x x =-+，若()0f x kx ->恰有3个正整数解，则k 的取值范围为（）A ．ln 27ln 37,2436⎡⎫--⎪⎢⎣⎭B ．ln 27ln 37,2436⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．ln 27ln 37,2436⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．ln 27ln 37,2436⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】由题意，()0f x kx ->恰有3个正整数解，转换为ln y x =的图象与2112y x kx =-+的图象交点问题，作出ln y x =和2112y x kx =-+的图象，如图：要使21ln 12x x kx >-+恰有3个正整数解，则需满足：9ln 313k 2ln 474k⎧>-+⎪⎨⎪<+⎩，解得：ln 27ln 372436k -<<-，故选B ．4．（2021·钦州市第三中学高三模拟）若函数op =12B 2+En −存在单调递增区间，则的取值范围是（）A ．(−1,1)B ．(−1,+∞)C ．(−1,+∞)D ．(−∞,1)【答案】B【解析】解：f′（x ）=ax+ln ，∴f′（x ）＞0在x ∈0，+∞上成立，即ax+ln ＞0，在x ∈0，+∞上成立，即a ＞−l 在x ∈0，+∞上成立．令g （x ）=−l ，则g′（x ）=−1−lnx 2，∴g （x ）=−l，在（0，e ）上单调递减，在（e ，+∞）上单调递增，∴g （x ）=−l 的最小值为g （e ）=−1∴a ＞−1．故选B ．5．（2021·山东枣庄市·滕州市第一中学高三月考）函数()2ln x f x x=的图象大致是()A．B ．C ．D ．【答案】D【解析】因为()()f x f x -=-，所以函数的奇函数，排除答案A 、C ，又当01x <<时，1()2ln x f x x=，21ln 1()02(ln )x f x x -'=<，函数1()2ln x f x x=单调递减，故排除答案B ，应选答案D ．6．（2021·安徽省涡阳第一中学高三模拟）已知函数()f x 满足(2)()f x f x +=，当[]1,1x ∈-时，2()f x x =，那么函数()()lg g x f x x =-的零点共有（）A ．7个B ．8个C ．9个D ．10个【答案】D【解析】根据题意，函数()y f x =满足()()f x f x 2=+，则函数()y f x =是周期为2的周期函数，设()h x lgx =，则函数()()g x f x lgx =-的零点个数即图象()y f x =与()y h x =的交点个数，由于()f x 的最大值为1，所以x 10>时，图象没有交点，在()0,1上有一个交点，()1,3，()3,5，()5,7，()7,9上各有两个交点，如图所示，在()9,10上有一个交点，故共有10个交点，即函数零点的个数为10；故选D ．7．（2021·江苏苏州大学附属中学高三模拟）已知函数()()(ln )e x f x x ax ax =--，若()0f x <恒成立，则a 的取值范围为（）A ．1,e e ⎫⎛ ⎪⎝⎭B ．1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(0,e)D ．(1,e)【答案】A【解析】若()0f x <，则ln x ax -与e x ax -异号，如图所示，ln >x e x 恒成立∴问题等价于y ax =在x y e =与ln y x =之间转动根据重要不等式x e ex ≥，ln x x e≤.∴1a e e<<，故选：A 8．（2021·重庆南开中学高三模拟）已知函数()3121,02,0x x f x x x ⎧-++<⎪=⎨⎪≥⎩，若存在实数a ，b ，c ，当a b c <<时，满足()()()f a f b f c ==，则()()()af a bf b cf c ++的取值范围是（）A ．()4,0-B ．()3,0-C ．[)4,0-D ．[)3,0-【答案】B 【解析】312,221(),202,0x x f x x x x x ⎧+<-⎪⎪⎪=--≤<⎨⎪≥⎪⎪⎩，作出函数()f x 的图象，如图：由图可知4a b +=-，01c <<，所以()()()af a bf b cf c ++343()()(4)()(4)4a b c f c c f c c c c c =++=-=-=-，令43()4(01)g c c c c =-<<，则32()412g c c c '=-24(3)c c =-，因为01c <<，所以()0g c '<，所以43()4g c c c =-在(0,1)上为单调递减函数，所以(1)()(0)g g c g <<，即30c -<<，所以()()()af a bf b cf c ++的取值范围是()3,0-.故选：B9．（2021·山东淄博实验中学高三模拟）已知函数2()ln f x x x x =+，0x 是函数()f x 的极值点，以下几个结论中正确的是（）A ．010x e <<B ．01x e >C ．00()20f x x +<D ．00()20f x x +>【答案】AD 【解析】函数2()l (),n 0f x x x x x =+>,()ln 12f x x x '∴=++,∵0x 是函数()f x 的极值点，∴()'00f x =，即00ln 120x x ∴++=，120f e e'⎛⎫∴=> ⎪⎝⎭,当1x e >时，()0f x '>0,()x f x '→→-∞ ,010x e∴<<,即A 选项正确,B 选项不正确;()()()2000000000002ln 2l 1n 20f x x x x x x x x x x x +=++=-++=>,即D 正确,C 不正确.故答案为:AD.10．（2021·江苏省南京师大附中高三模拟）已知函数()f x 定义域为[]1,5-，部分对应值如表，()f x 的导函数()f x '的图象如图所示.下列关于函数()f x 的结论正确的有（）x 1-0245()f x 12021A ．函数()f x 的极大值点有2个B ．函数在()f x 上[]0,2是减函数C ．若[]1,x t ∈-时，()f x 的最大值是2，则t 的最大值为4D ．当12a <<时，函数()y f x a =-有4个零点【答案】ABD【解析】由导数的正负性可知，函数()y f x =的单调递增区间为(),0-∞、()2,4，单调递减区间为()0,2、()4,+∞，B 选项正确；函数()y f x =有2个极大值点，A 选项正确；当[]1,5x ∈-时，函数()y f x =最大值是2，而t 最大值不是4，C 选项错误；作出函数()y f x =的图象如下图所示，由下图可知，当12a <<时，函数y a =与函数()y f x =的图象有四个交点，D 选项正确.故选：ABD.12．（2021·山东省烟台高三一模）若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =-，其导函数()f x '满足()1f x m '>>，则下列成立的有（）A ．11m f m m -⎛⎫> ⎪⎝⎭B ．11f m ⎛⎫<- ⎪⎝⎭C ．1111f m m ⎛⎫> ⎪--⎝⎭D ．101f m ⎛⎫<⎪-⎝⎭【答案】AC【解析】设()()g x f x mx =-，则()()0g x f x m ''=->，故函数()()g x f x mx =-在R 上单调递增，且10m>，()10g g m ⎛⎫> ⎪⎝⎭，故111f m ⎛⎫->- ⎪⎝⎭，10f m ⎛⎫∴> ⎪⎝⎭，而10m m -<，11m f m m -⎛⎫∴> ⎪⎝⎭，故A 正确，B 错误．101m >-，故()101g g m ⎛⎫> ⎪-⎝⎭，所以1111m f m m ⎛⎫->-⎪--⎝⎭，11011f m m ⎛⎫>> ⎪--⎝⎭，故C 正确，D 错误．故选：AC .13．（2021·辽宁省实验中学高三模拟）定义在()0+∞，的函数()f x 满足()()()1,11f x xf x f x'+==，则()f x 的零点是_______．【答案】1e【解析】令()()ln F x xf x x =-，则()()()1F x f x xf x x ''=+-，又()()1f x xf x x '+=，所以()()()10F x f x xf x x''=+-=，则函数()F x 为常函数，又()()111ln11F f =⨯-=，所以()()()1ln ln 1x F x xf x x f x x +=-=⇒=令()0f x =，所以1=x e 故答案为：1e14．（2021·嘉祥县第一中学高三模拟）某中学开展劳动实习，学习加工制作模具，有一个模具的毛坯直观图如图所示，是由一个圆柱体与两个半球对接而成的组合体，其中圆柱体的底面半径为1，高为2，半球的半径为1.现要在该毛坯的内部挖出一个中空的圆柱形空间，该中空的周柱形空间的上下底面与毛坯的圆柱体底面平行，挖出中空的圆柱形空间后模具制作完成，则该模其体积的最小值为___________.【答案】2627π【解析】设中空圆柱的底面半径为r ，圆柱的高为2(02)h h +<<，则22()12h r +=，2214h r =-，∴中空圆柱的体积22(2)(1)(2)4h V r h h ππ=+=-+．23(1)4V h h π'=-+-，可得当2(0,3h ∈时，0V '>，当2(3h ∈，2)时，0V '<，则当23h =时，V 取得最大值为6427π，又毛坯的体积为2341012133πππ⨯⨯+⨯=，∴该模具体积的最小值为10642632727πππ-=．故答案为：2627π．15．（2021·重庆高三模拟）已知函数()()x x f x x ae e -=-为偶函数，函数()()x g x f x xe -=+，则a =______；若()g x mx e >-对()0,x ∈+∞恒成立，则m 的取值范围为______.【答案】1(),2e -∞【解析】因为y x =为奇函数，()()x x f x x ae e =-为偶函数，所以x x y ae e =-为奇函数，∴000ae e =-，所以1a =，则()xg x xe =.因为()g x mx e >-对()0,x ∈+∞恒成立，所以x e m e x<+对()0,x ∈+∞恒成立.设函数()()0x e h x e x x =+>，则()2'x e h x e x =-，显然()2'x e h x e x=-在()0,x ∈+∞上单调递增，且()'10h =，所以当01x <<时，()'0h x <；当1x >时，()'0h x >.从而可得()()min 12h x h e ==，故m 的取值范围为(),2e -∞.16.（2021·福建省福州第一中学高三模拟）已知函数()sin sin 2f x a x x =+，a R ∈.（1）若()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上有极值点，求a 的取值范围；（2）若1a =，20,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()cos f x bx x ≥，求b 的最大值.【解析】（1）2'()cos 2cos 24cos cos 2f x a x x x a x =+=+-，依题意，'()f x 有变号零点，令cos x t =，则()0,1t ∈，所以()2420g t t at =+-=在()0,1有实根，注意到0∆>，所以()()010g g ⋅<，解得2a >-，即()2,a ∈-+∞.（2）1a =，()sin sin 2f x x x =+，当2,23x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0cos f x bx x ≥≥，显然成立；当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x >，所以tan 2sin x x bx +≥.记()tan 2sin h x x x bx =+-，则()0h x ≥恒成立，21'()2cos cos h x x b x =+-，()3332sin 1cos 2sin ''()2sin 0cos cos x x x h x x x x-=-=>，)'(h x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，()'03h b =-，若3b >，则()0'0h <，记cosθ=，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()'0h b b θ=-=>，所以存在()00,x θ∈，使得()0'0h x =，当()00,x x ∈时，'()0h x <，()h x 单调递减，所以()00,x x ∈时，()()00h x h <=，不符题意，当3b =时，()'()'00h x h >=，即0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()h x 单调递增，所以，()()00h x h >=，符合题意，当,23x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin 2sin cos sin (12cos )f x x x x x x =+=+，由22cos 12cos103x π+>+=，sin 0x >，所以()0f x >，而3b =时，cos 0bx x <，所以()cos f x bx x >成立，综上所述，b 的最大值为3.17.（北京市海淀区2021届高三一模数学试题）已知函数()sin f x x x =.（1）判断函数()f x 在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的单调性，并说明理由；（2）求证：函数()f x 在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭内有且只有一个极值点；（3）求函数()1()ln f x g x x+=在区间(1,]π上的最小值.【答案】（1）增函数，理由见解析（2）证明见解析（3）1ln π【解析】（1）因为()sin f x x x =，所以()sin cos f x x x x '=+⋅，因为02x π<<，所以()0f x '>，所以函数()f x 在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数.（2）设()()h x f x '=，则()cos cos sin 2cos sin h x x x x x x x x '=+-⋅=-⋅，当2x ππ<<时，()0h x '<，所以()h x 在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，又()102h π=>，()0h ππ=-<，所以存在唯一0(,)2x ππ∈，使得0()0h x =，即存在唯一0(,)2x ππ∈，使得0()0f x '=，()f x 与()'f x 在区间,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭内的变化情况如下：x 0(,)2x π0x 0(,)x π()'f x +0-()f x 增函数极大值减函数所以函数()f x 在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭内有且只有一个极值点.（3）由（1）（2）知，()f x 在0(1,)x 内单调递增，在0(,)x π内单调递减，又因为(1)sin10f =>，()0f π=，所以当(1,]x π∈时，()11f x +≥，又因为当(1,]x π∈时，0ln ln x π<≤，所以()11()ln ln f x g x x π+=≥，当且仅当x π=时等号成立，所以()g x 在(1,]π上的最小值为1ln π.。

方法技巧专题12 函数单调性、极值、最值与导数问题(解析版)

方法技巧专题12 函数单调性、极值、最值与导数问题(解析版)

方法技巧专题12 函数单调性、极值、最值与导数问题解析篇【一】判断函数单调性1.例题【例1】已知函数()xf x ax e =-判断函数()f x 的单调性。

【解析】由题意可求，()´xf x a e =-1.当0a ≤时，()()´0,f x f x <在R 上为减函数；2.当0a >时，令()´0f x >，解得x lna <, 令()´0f x <，解得x lna > 于是()f x 在(,ln ]a -∞为增函数，在[ln ,)a +∞为减函数；【例2】已知函数2()ln 1a f x x x +=++，其中a ∈R ，讨论并求出f (x )在其定义域内的单调区间． 【解析】()222121()1(1)(1)a f x x ax x x x x +'=-=-+++，设g (x )＝x 2－ax ＋1， ∵x ＞0，∴①当a ＜0时，g (x )＞0，f ′(x )＞0在x ∈(0，＋∞)上恒成立， 此时函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增；②当a ＞0时，222()1124a a g x x ax x ⎛⎫=-+=-+-⎪⎝⎭. 当1－24a ≥0，即0＜a ≤2时，g (x )＞0，f ′(x )＞0在x ∈(0，＋∞)上恒成立，此时函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增；当a ＞2时，方程g (x )＝0的两根分别为12,22a a x x +==，且0＜x 1＜x 2， ∴当x ∈(0，x 1)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，故函数f (x )在(0，x 1)上单调递增； 当x ∈(x 1，x 2)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，故函数f (x )在(x 1，x 2)上单调递减； 当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，故函数f (x )在(x 2，＋∞)上单调递增． 综上所述，当a ≤2时，函数f (x )的单调增区间为(0)∞，＋，没有减区间；当a ＞2时，函数f (x )的减区间为12()x x ，；增区间为(0，x 1)，(x 2，＋∞)．2.巩固提升综合练习【练习1】已知函数()xf x e =，()()210g x ax x a =++>.设()()()g x F x f x =，讨论函数()F x 的单调性；【解析】因为2()1()()xg x ax x F x f x e++==， 所以221(21)'()xx a ax x ax a x a F x e e -⎛⎫-- ⎪-+-⎝⎭==， ①若12a =，2'()0xax F x e-=≤.∴()F x 在R 上单调递减. ②若12a >，则210a a->， 当0x <，或21a x a ->时，'()0F x <，当210a x a-<<时，'()0F x >，∴()F x 在(,0)-∞，21,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在210,a a -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增.③若102a <<，则210a a-<， 当21a x a -<，或0x >时，'()0F x <，当210a x a-<<时，'()0F x >. ∴()F x 在21,a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，(0,)+∞上单调递减，在21,0a a -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增. 【练习2】已知x ax x x ax x f +--=2221ln )()(，求)(x f 单调区间. 【解析】该函数定义域为），（∞+0（第一步：对数真数大于0求定义域）令x ax x f ln 12)('）（-=，解得121,12x x a==（第二步，令导数等于0，解出两根21,x x ） （1）当0≤a 时，'(0,1),()0,()x f x f x ∈>单调增，'(1,),()0,()x f x f x ∈+∞<单调减 （第三步，1x 在不在进行分类，当其不存在得到0≤a ；第四步数轴穿根或图像判断正负）（2）当121=a 时即21=a '(0,),()0,()x f x f x ∈+∞>单调增， （第五步，x 1在区间时，进行比较大小，当21x x =得到21=a 第四步图像判断正负）①当1210<<a 时，即21>a'1(0,),(1,)()0,()2x x f x f x a ∈∈+∞>单调增，'1[,1],()0,()2x f x f x a∈<单调减（当21x x <得到21>a ；第四步图像判断正负）②当121>a 时，即210<<a'1(0,1),(,)()0,()2x x f x f x a ∈∈+∞>单调增，'1[1,],()0,()2x f x f x a∈<单调减（21x x >得到210<<a ；第四步图像判断正负）综上可知：0≤a ，'(0,1),()0,()x f x f x ∈>单调增，'(1,),()0,()x f x f x ∈+∞<单调减；21=a ，'(0,),()0,()x f x f x ∈+∞>单调增 21>a '1(0,),(1,)()0,()2x x f x f x a ∈∈+∞>单调增，'1[,1],()0,()2x f x f x a ∈<单调减210<<a ，'1(0,1),(,)()0,()2x x f x f x a ∈∈+∞>单调增，'1[1,],()0,()2x f x f x a ∈< 单调减【二】根据单调性求参数 1.例题【例1】（1）若函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(],4-∞上是减函数，则实数a 的取值范围是 . （2）函数()()2244xf x exx =--在区间()1,1k k -+上不单调，实数k 的范围是（ ）（3）若函数()()212log 45f x x x =-++在区间()32,2m m -+内单调递增，则实数m 的取值范围为 .（4）若函数()2ln f x ax x x =+-存在增区间，则实数a 的取值范围为 .【解析】（1）因为函数2()2(1)2f x x a x =+-+的单调减区间为(],1a -∞-，又函数()f x 在区间(],4-∞上是减函数，则(],4-∞⊆(],1a -∞-，则14a -≥，解得：3a ≤-， （2）()()2244xf x exx =--，()()228x f x e x '∴=-，令()0f x '=，得2x =±. 当2x <-或2x >时，()0f x '>；当22x -<<时，()0f x '<. 所以，函数()y f x =的极大值点为2-，极小值点为2.由题意可得121k k -<-<+或121k k -<<+，解得31k -<<-或13k <<. （3）由2450x x -++>，即2450x x --<，解得15x -<<. 二次函数245y x x =-++的对称轴为2x =.由复合函数单调性可得函数()()212log 45f x x x =-++的单调递增区间为()2,5．要使函数()()212log 45f x x x =-++在区间()32,2m m -+内单调递增， 则()()32,22,5m m -+⊆，即32225322m m m m -≥⎧⎪+≤⎨⎪-<+⎩，解得423m ≤<.（4）若函数()f x 不存在增区间，则函数()f x 单调递减， 此时()1210f x ax x'=+-≤在区间()0,∞+恒成立， 可得2112a x x ≤-，则22111111244x x x ⎛⎫-=--≥- ⎪⎝⎭，可得18a ≤-，故函数存在增区间时实数a 的取值范围为1,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．【例2】已知函数32()3()f x ax x x x =+-∈R 恰有三个单调区间，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()3,-+∞ B ．()()3,00,-+∞C ．()(),00,3-∞ D ．[)3,-+∞【解析】（1）2'()361f x ax x =+-，∴()f x 有三个单调区间，∴036120a a ≠⎧⎨∆=+>⎩，解得3a >-且0a ≠．故选B ．2.巩固提升综合练习 【练习1】函数321()3f x ax x a =-+在[1,2]上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a > B ．1a ≥C ．2a >D ．2a ≥【答案】D【解析】由题意得：()22f x ax x '=-()f x 在[]1,2上单调递增等价于：()0f x '≥在[]1,2上恒成立即：220ax x -≥ 222x a x x∴≥=当[]1,2x ∈时，22x≤ 2a ∴≥本题正确选项：D【练习2】已知函数f(x)=x 3+ax 2+x +1（a ∈R ）在(−23,−13)内存在单调递减区间，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(0,√3] B ．(−∞,√3] C ．(√3,+∞) D ．(√3,3)【答案】C【解析】f ′(x )=3x 2+2ax +1 假设f(x) 在(−23,−13)内不存在单调递减区间，而f(x)又不存在常函数情况，所以f(x) 在(−23,−13)内递增，即有x ∈ (−23,−13)时不等式f ′(x )=3x 2+2ax +1≥0恒成立，即x ∈ (−23,−13)时，a ≤−32x −12x =−32(x +13x)恒成立，解得a ≤√3，所以函数f(x) 在(−23,−13)内存在单调递减区间，实数a 的取值范围是(√3,+∞)故选C【练习3】若函数2()ln f x x x x=++在区间[],2t t +上是单调函数，则t 的取值范围是（ ） A ．[1,2] B ．[1,)+∞C ．[2,)+∞D ．(1,)+∞【答案】B【解析】22222122(2)(1)()ln '()1(0)x x x x f x x x f x x x x x x x+-+-=++⇒=+-==> 1x ≥单调递增，01x <<单调递减.函数2()ln f x x x x=++在区间[],2t t +上是单调函数 区间[],2t t +上是单调递减不满足只能区间[],2t t +上是单调递增. 故1t ≥故答案选B【三】函数的极值问题1.例题【例1】(1)函数3()12f x x x =-的极大值点是_______，极大值是________。

高考数学利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题(解析版)题型一：利用导数研究函数的单调性

高考数学利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题(解析版)题型一：利用导数研究函数的单调性

题型一：利用导数研究函数的单调性1、讨论函数的单调性（或区间）1．已知函数211()(1)ln (,0)22f x x a x a a =-+-∈≠R ． （1）讨论函数的单调性；【答案】（1）答案见解析；（2）0a ≤.【详解】解：（1）由已知定义域为()0,∞+，()211'()x a a f x x x x-++=-= 当10a +≤，即1a ≤-时，()'0f x >恒成立，则()f x 在()0,∞+上单调递增；当10a +>，即1a >-时，x =或x =所以()f x 在(上单调递减，在)+∞上单调递增.所以1a ≤-时，()f x 在()0,∞+上单调递增；1a >-时，()f x 在(上单调递减，在)+∞上单调递增. （2）由（1）可知，当1a ≤-时，()f x 在()1,+∞上单调递增，若()0f x ≥对任意的[1,)x ∈+∞恒成立，只需(1)0f ≥，而(1)0f =恒成立，所以1a ≤-成立；当1a >-1≤，即10a -<≤，则()f x 在()1,+∞上单调递增，又(1)0f =，所以10a -<≤成立；若0a >，则()f x 在(上单调递减，在)+∞上单调递增，又(1)0f =，所以(0x ∃∈，()0()10f x f <=，不满足()0f x ≥对任意的[1,)x ∈+∞恒成立.所以综上所述：0a ≤.2．已知函数32()f x x x mx =+-.（1）若函数()f x 在2x =处取到极值，求曲线()y f x =在(1,())f x 处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调性.【答案】（1）113y x =--；（2）()f x 在⎛-∞ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增，在⎝⎭上单调递减. 【详解】（1）依题意，2()32f x x x m '=+-，(2)1240f m '=+-=，解得16m =，经检验，16m =符合题意；故32()16f x x x x =+-，2()3216f x x x '=+-，故(1)21614f =-=-，(1)11f '=-，故所求切线方程为1411(1)y x +=--，即113y x =--；（2）依题意2()32f x x x m '=+-，412m ∆=+，若0∆，即13m -时，()0f x '，()f x 在R 上单调递增；若0∆>，即13m >-时，令()0,f x x '===令12x x == 故当()1,x x ∈-∞时，()0f x '>，当()12,x x x ∈时，()0f x '<，当()2,x x ∈+∞时，()0f x '>，故函数()f x 在⎛-∞ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增，在⎝⎭上单调递减. 3．已知函数()ln a f x x x=+（a 为常数） （1）讨论函数()f x 的单调性；【答案】（1）0a ≤时，(0,)+∞递增，0a >时，在(0,)a 递减，(,)a +∞递增；【详解】（1）函数定义域是(0,)+∞，221()a x a f x x x x-'=-=， 0a ≤时，()0f x '>恒成立，()f x 在(0,)+∞上是增函数；0a <时，0x a <<时，()0f x '<，()f x 递减，x a >时，()0f x '>，()f x 递增．2、根据函数的单调性求参数的取值范围1．已知函数321()23f x ax x x =+-+，其中a R ∈. （1）若函数()f x 恰好有三个单调区间，求实数a 的取值范围；【答案】（1）()()1,00,a ∈-+∞； 【详解】（1）由321()23f x ax x x =+-+，得2()21f x ax x '=+-. ∵()f x 存在三个单调区间∴()0f x '=有两个不相等的实数根，即2210ax x .∴00a ≠⎧⎨∆>⎩，即0440a a ≠⎧⎨+>⎩，故()()1,00,a ∈-+∞.2．已知函数()321f x x ax =++，a R ∈. （1）讨论函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在区间2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭内是减函数，求a 的取值范围； （3）若函数()f x 的单调减区间是2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭，求a 的值. 【答案】（1）答案见解析（2）[)1,+∞（3）1（1） 由题意知，22()323()3a f x x ax x x '=+=+， 当0a =时，2()30f x x '=≥恒成立，所以()f x 的单调递增区间是()-∞+∞，； 当0a >时，令2()0()(0)3a f x x '>⇒∈-∞-+∞，，，令2()0(0)3a f x x '<⇒∈-，， 所以()f x 的单调递增区间为2(),(0)3a -∞-+∞，，，单调递减区间为2(0)3a -，， 当0a <时，令2()0(0)()3a f x x '>⇒∈-∞-+∞，，，令2()0(0)3a f x x '<⇒∈-，， 所以()f x 的单调递增区间为2(0)()3a -∞-+∞，，，，单调递减区间为2(0)3a -，； （2）由(1)知，当0a >时，有22(0)(0)33a -⊆-，，，所以2233a -≤-， 解得1a ≥，即a 的取值范围为[1)+∞，； （3）由(1)知，当0a >时，有22(0)(0)33a -=-，，，所以2233a -=-， 解得1a =.3．已知函数()3f x x ax =-+，a R ∈（1）若()f x 在)1,⎡+∞⎣上为单调减函数，求实数a 取值范围；【答案】（1）3a ≤；（2）最大值为0，最小值为16-．【详解】解：（1）因为()3f x x ax =-+，则()'23f x x a =-+．依题意得()'230f x x a =-+≤在[)1,x ∈+∞恒成立，∴23a x ≤在[)1,x ∈+∞恒成立． 因为当1≥x 时，233x ≥，所以 3a ≤．（2）当12a =时，()312f x x x =-+，()()()'2312322f x x x x =-+=-+-，令'0f x 得[]123,0x =∉-，22x =-，所以当32x -<<-时，()'0f x <，()f x 单调递减，当20x -<<时，()'>0f x ，()f x 单调递增，又()327369f -=-=-，()282416f -=-=-，()00f =．∴()f x 在[]3,0-上最大值为0，最小值为16-．。

完整版)利用导数求函数单调性题型全归纳

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完整版)利用导数求函数单调性题型全归纳利用导数求函数单调性题型全归纳一、求单调区间例1：已知函数$f(x)=ax+x^2-x\ln a(a>0,a\neq 1)$，求函数$f(x)$的单调区间。

解：$f'(x)=ax\ln a+2x-\ln a=2x+(a x-1)\ln a$。

令$g(x)=f'(x)$，因为当$a>0,a\neq 1$时，$g'(x)=2+a\ln a>0$，所以$f'(x)$在$\mathbb{R}$上是增函数，又$f'(0)=-\ln a0$的解集为$(0,+\infty)$，故函数$f(x)$的单调增区间为$(0,+\infty)$，减区间为$(-\infty,0)$。

变式：已知$f(x)=e^{-ax}$，求$f(x)$的单调区间。

解：$f(x)=e^{-ax}$，当$a\leq 0$时，$f(x)>0$，$f(x)$单调递增；当$a>0$时，由$f(x)=e^{-a x}>0$得：$x>\ln a$，$f(x)$在$(\ln a,+\infty)$单调递增；由$f(x)=e^{-a x}0$时，$f(x)$的单调递增区间为$(\ln a,+\infty)$，递减区间为$(-\infty,\ln a)$。

二、函数单调性的判定与逆用例2：已知函数$f(x)=x+ax-2x+5$在$(0,+\infty)$上既不是单调递增函数，也不是单调递减函数，求正整数$a$的取值集合。

解：$f'(x)=3x+2ax-2$。

因为函数$f(x)=x+ax-2x+5$在$(0,+\infty)$上既不是单调递增函数，也不是单调递减函数，所以$f'(x)=3x+2ax-2=0$在$(0,+\infty)$上有解。

所以$f''(x)=6+2a>0$在$(0,+\infty)$上恒成立。

导数与函数的单调性、极值、最值

导数与函数的单调性、极值、最值

§3.2导数与函数的单调性、极值、最值1．函数的单调性在某个区间(a，b)，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间单调递减．2．函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．3．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在(a，b)的极值；②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f′(x)>0是f(x)为增函数的充要条件．(×)(2)函数在某区间上或定义域极大值是唯一的．(×)(3)函数的极大值不一定比极小值大．(√)(4)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件．(×)(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．(√)(6)函数f(x)＝x sin x有无数个极值点．( √ )2． 函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调减区间是( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－1,1)答案 A解析 ∵f ′(x )＝2x －2x ＝2(x ＋1)(x －1)x (x >0)．∴当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数．3． (2013·)已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )＝(e x －1)(x －1)k (k ＝1,2)，则 ( )A ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极小值B ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极大值C ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极小值D ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极大值 答案 C解析 当k ＝1时，f ′(x )＝e x ·x －1，f ′(1)≠0. ∴x ＝1不是f (x )的极值点．当k ＝2时，f ′(x )＝(x －1)(x e x ＋e x －2)显然f ′(1)＝0，且x 在1的左边附近f ′(x )<0， x 在1的右边附近f ′(x )>0， ∴f (x )在x ＝1处取到极小值．故选C.4． 函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)答案 B解析 设m (x )＝f (x )－(2x ＋4)， ∵m ′(x )＝f ′(x )－2>0， ∴m (x )在R 上是增函数． ∵m (－1)＝f (－1)－(－2＋4)＝0， ∴m (x )>0的解集为{x |x >－1}， 即f (x )>2x ＋4的解集为(－1，＋∞)．5． 函数f (x )＝x 3＋ax －2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值围是________．答案 [－3，＋∞)解析 f ′(x )＝3x 2＋a ，f ′(x )在区间(1，＋∞)上是增函数，则f′(x)＝3x2＋a≥0在(1，＋∞)上恒成立，即a≥－3x2在(1，＋∞)上恒成立．∴a≥－3.题型一利用导数研究函数的单调性例1已知函数f(x)＝e x－ax－1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)是否存在a，使f(x)在(－2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值围，若不存在，请说明理由．思维启迪函数的单调性和函数中的参数有关，要注意对参数的讨论．解f′(x)＝e x－a，(1)若a≤0，则f′(x)＝e x－a≥0，即f(x)在R上单调递增，若a>0，e x－a≥0，∴e x≥a，x≥ln a.因此当a≤0时，f(x)的单调增区间为R，当a>0时，f(x)的单调增区间是[ln a，＋∞)．(2)∵f′(x)＝e x－a≤0在(－2,3)上恒成立．∴a≥e x在x∈(－2,3)上恒成立．又∵－2<x<3，∴e－2<e x<e3，只需a≥e3.当a＝e3时，f′(x)＝e x－e3在x∈(－2,3)上，f′(x)<0，即f(x)在(－2,3)上为减函数，∴a≥e3.故存在实数a≥e3，使f(x)在(－2,3)上为减函数．思维升华(1)利用导数的符号来判断函数的单调性；(2)已知函数的单调性求函数围可以转化为不等式恒成立问题；(3)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)的任一非空子区间上f ′(x )≠0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．(1)设函数f (x )＝13x 3－(1＋a )x 2＋4ax ＋24a ，其中常数a >1，则f (x )的单调减区间为________． 答案 (2,2a )解析 f ′(x )＝x 2－2(1＋a )x ＋4a ＝(x －2)(x －2a )， 由a >1知，当x <2时，f ′(x )>0， 故f (x )在区间(－∞，2)上是增函数； 当2<x <2a 时，f ′(x )<0， 故f (x )在区间(2,2a )上是减函数； 当x >2a 时，f ′(x )>0，故f (x )在区间(2a ，＋∞)上是增函数． 综上，当a >1时，f (x )在区间(－∞，2)和(2a ，＋∞)上是增函数， 在区间(2,2a )上是减函数．(2)若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值围是________．答案 (－∞，－1] 解析 转化为f ′(x )＝－x ＋bx ＋2≤0在[－1，＋∞)上恒成立， 即b ≤x (x ＋2)在[－1，＋∞)上恒成立，令g (x )＝x (x ＋2)＝(x ＋1)2－1， 所以g (x )min ＝－1，则b 的取值围是(－∞，－1]． 题型二 利用导数求函数的极值例2 设a >0，函数f (x )＝12x 2－(a ＋1)x ＋a (1＋ln x )．(1)求曲线y ＝f (x )在(2，f (2))处与直线y ＝－x ＋1垂直的切线方程；(2)求函数f (x )的极值．思维启迪 (1)通过f ′(2)的值确定a ；(2)解f ′(x )＝0，然后要讨论两个零点的大小确定函数的极值． 解 (1)由已知，得x >0，f ′(x )＝x －(a ＋1)＋ax ，y ＝f (x )在(2，f (2))处切线的斜率为1， 所以f ′(2)＝1，即2－(a ＋1)＋a2＝1，所以a ＝0，此时f (2)＝2－2＝0， 故所求的切线方程为y ＝x －2. (2)f ′(x )＝x －(a ＋1)＋ax＝x 2－(a ＋1)x ＋a x ＝(x －1)(x －a )x.①当0<a <1时，若x ∈(0，a )，f ′(x )>0， 函数f (x )单调递增；若x ∈(a,1)，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 若x ∈(1，＋∞)，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增． 此时x ＝a 是f (x )的极大值点，x ＝1是f (x )的极小值点， 函数f (x )的极大值是f (a )＝－12a 2＋a ln a ，极小值是f (1)＝－12.②当a ＝1时，f ′(x )＝(x －1)2x >0，所以函数f (x )在定义域(0，＋∞)单调递增， 此时f (x )没有极值点，故无极值．③当a >1时，若x ∈(0,1)，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 若x ∈(1，a )，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 若x ∈(a ，＋∞)，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增． 此时x ＝1是f (x )的极大值点，x ＝a 是f (x )的极小值点， 函数f (x )的极大值是f (1)＝－12，极小值是f (a )＝－12a 2＋a ln a .综上，当0<a <1时，f (x )的极大值是－12a 2＋a ln a ，极小值是－12；当a ＝1时，f (x )没有极值；当a >1时，f (x )的极大值是－12，极小值是－12a 2＋a ln a .思维升华 (1)导函数的零点并不一定就是函数的极值点．所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是函数的极值点．(2)若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )有极值，那么y ＝f (x )在(a ，b )绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．设f (x )＝e x1＋ax 2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值围． 解 对f (x )求导得f ′(x )＝e x·1＋ax 2－2ax(1＋ax 2)2.①(1)当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0，解得x 1＝32，x 2＝12.结合①，可知所以x 1＝32是极小值点，x 2＝12是极大值点．(2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号，结合①与条件a >0，知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立，即Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0，由此并结合a >0，知0<a ≤1. 所以a 的取值围为{a |0<a ≤1}．题型三利用导数求函数的最值例3已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx.(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；(2)当a＝3，b＝－9时，若函数f(x)＋g(x)在区间[k,2]上的最大值为28，求k的取值围．思维启迪(1)题目条件的转化：f(1)＝g(1)且f′(1)＝g′(1)；(2)可以列表观察h(x)在(－∞，2]上的变化情况，然后确定k的取值围．解(1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x2＋b.因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，所以f(1)＝g(1)且f′(1)＝g′(1)，即a＋1＝1＋b且2a＝3＋b，解得a＝3，b＝3.(2)记h(x)＝f(x)＋g(x)，当a＝3，b＝－9时，h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，所以h′(x)＝3x2＋6x－9.令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1.h′(x)，h(x)在(－∞，2]上的变化情况如下表所示：↗当－3<k<2时，函数h(x)在区间[k,2]上的最大值小于28.因此k的取值围是(－∞，－3]．思维升华(1)求解函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在[a，b]所有使f′(x)＝0的点，再计算函数y＝f(x)在区间所有使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．(2)可以利用列表法研究函数在一个区间上的变化情况．已知函数f(x)＝x ln x.(1)求函数f (x )的极值点；(2)设函数g (x )＝f (x )－a (x －1)，其中a ∈R ，求函数g (x )在区间[1，e]上的最小值．(其中e 为自然对数的底数)． 解 (1)f ′(x )＝ln x ＋1，x >0， 由f ′(x )＝0得x ＝1e，所以f (x )在区间(0，1e )上单调递减，在区间(1e ，＋∞)上单调递增．所以，x ＝1e 是函数f (x )的极小值点，极大值点不存在．(2)g (x )＝x ln x －a (x －1)， 则g ′(x )＝ln x ＋1－a ， 由g ′(x )＝0，得x ＝e a －1，所以，在区间(0，e a －1)上，g (x )为递减函数， 在区间(e a －1，＋∞)上，g (x )为递增函数．当e a －1≤1，即a ≤1时，在区间[1，e]上，g (x )为递增函数， 所以g (x )的最小值为g (1)＝0.当1<e a －1<e ，即1<a <2时，g (x )的最小值为g (e a －1)＝a －e a －1. 当e a －1≥e ，即a ≥2时，在区间[1，e]上，g (x )为递减函数， 所以g (x )的最小值为g (e)＝a ＋e －a e. 综上，当a ≤1时，g (x )的最小值为0； 当1<a <2时，g (x )的最小值为a －e a －1； 当a ≥2时，g (x )的最小值为a ＋e －a e.利用导数求函数的最值问题典例：(12分)已知函数f (x )＝(x －k )e x .(1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[0,1]上的最小值．思维启迪 (1)解方程f ′(x )＝0列表求单调区间；(2)根据(1)中表格，讨论k －1和区间[0,1]的关系求最值． 规解答解 (1)由题意知f ′(x )＝(x －k ＋1)e x . 令f ′(x )＝0，得x ＝k －1.[2分] f (x )与f ′(x )的情况如下：所以，f([6分](2)当k－1≤0，即k≤1时，f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；[8分]当0<k－1<1，即1<k<2时，f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－e k－1；当k－1≥1，即k≥2时，f(x)在[0,1]上单调递减，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.[10分]综上，当k≤1时，f(x)在[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；当1<k<2时，f(x)在[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－e k－1；当k≥2时，f(x)在[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.[12分]答题模板用导数法求给定区间上的函数的最值问题一般可用以下几步答题：第一步：求函数f(x)的导数f′(x)；第二步：求f(x)在给定区间上的单调性和极值；第三步：求f(x)在给定区间上的端点值；第四步：将f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比较，确定f(x)的最大值与最小值；第五步：反思回顾：查看关键点，易错点和解题规．温馨提醒(1)本题考查求函数的单调区间，求函数在给定区间[0,1]上的最值，属常规题型．(2)本题的难点是分类讨论．考生在分类时易出现不全面，不准确的情况．(3)思维不流畅，答题不规，是解答中的突出问题.方法与技巧1．利用导数研究函数的单调性、极值、最值可列表观察函数的变化情况，直观而且条理，减少失分．2．求极值、最值时，要求步骤规、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小．3．在实际问题中，如果函数在区间只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．失误与防1．注意定义域优先的原则，求函数的单调区间和极值点必须在函数的定义域进行．2．求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论．3．解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，处理好f′(x)＝0时的情况；区分极值点和导数为0的点．A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题1． 若函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的图象可能为( )答案 C解析 根据f ′(x )的符号，f (x )图象应该是先下降后上升，最后下降，排除A ，D ；从适合f ′(x )＝0的点可以排除B.2． 下面为函数y ＝x sin x ＋cos x 的递增区间的是( )A ．(π2，3π2)B ．(π，2π)C ．(3π2，5π2)D ．(2π，3π)答案 C解析 y ′＝(x sin x ＋cos x )′＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ， 当x ∈(3π2，5π2)时，恒有x cos x >0.故选C.3． 设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则( )A ．a <－1B ．a >－1C ．a >－1eD ．a <－1e答案 A解析 ∵y ＝e x ＋ax ，∴y ′＝e x ＋a . ∵函数y ＝e x ＋ax 有大于零的极值点， 则方程y ′＝e x ＋a ＝0有大于零的解， ∵x >0时，－e x <－1，∴a ＝－e x <－1.4． 设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值围是( )A ．1<a ≤2B ．a ≥4C ．a ≤2D ．0<a ≤3答案 A解析 ∵f (x )＝12x 2－9ln x ，∴f ′(x )＝x －9x (x >0)，当x －9x ≤0时，有0<x ≤3，即在(0,3]上原函数是减函数，∴a －1>0且a ＋1≤3，解得1<a ≤2.5． 函数f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1,1]上的最大值是( )A ．－2B ．0C ．2D ．4答案 C解析 ∵f ′(x )＝3x 2－6x ，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2. ∴f (x )在[－1,0)上是增函数，f (x )在(0,1]上是减函数． ∴f (x )max ＝f (x )极大值＝f (0)＝2. 二、填空题6． 函数f (x )＝x ＋9x的单调减区间为________．答案 (－3,0)，(0,3)解析 f ′(x )＝1－9x 2＝x 2－9x 2，令f ′(x )<0，解得－3<x <0或0<x <3， 故单调减区间为(－3,0)和(0,3)．7． 函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3[(a ＋2)x ＋1]有极大值又有极小值，则a 的取值围是________．答案 a >2或a <－1解析 ∵f (x )＝x 3＋3ax 2＋3[(a ＋2)x ＋1]， ∴f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)．令3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)＝0，即x 2＋2ax ＋a ＋2＝0. ∵函数f (x )有极大值和极小值，∴方程x 2＋2ax ＋a ＋2＝0有两个不相等的实根． 即Δ＝4a 2－4a －8>0，∴a >2或a <－1. 8． 设函数f (x )＝x 3－x 22－2x ＋5，若对任意的x ∈[－1,2]，都有f (x )>a ，则实数a 的取值围是________． 答案 (－∞，72)解析 f ′(x )＝3x 2－x －2，令f ′(x )＝0，得3x 2－x －2＝0， 解得x ＝1或x ＝－23，又f (1)＝72，f (－23)＝15727，f (－1)＝112，f (2)＝7，故f (x )min ＝72，∴a <72.三、解答题9． 已知函数f (x )＝1x＋ln x ．求函数f (x )的极值和单调区间．解 因为f ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x2，令f ′(x )＝0，得x ＝1，又f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：所以x ＝1f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)．10．已知函数f (x )＝x 2＋b sin x －2(b ∈R )，F (x )＝f (x )＋2，且对于任意实数x ，恒有F (x )－F (－x )＝0.(1)求函数f (x )的解析式；(2)已知函数g (x )＝f (x )＋2(x ＋1)＋a ln x 在区间(0,1)上单调递减，数a 的取值围． 解 (1)F (x )＝f (x )＋2＝x 2＋b sin x －2＋2＝x 2＋b sin x ， 依题意，对任意实数x ，恒有F (x )－F (－x )＝0. 即x 2＋b sin x －(－x )2－b sin(－x )＝0， 即2b sin x ＝0，所以b ＝0，所以f (x )＝x 2－2. (2)∵g (x )＝x 2－2＋2(x ＋1)＋a ln x ， ∴g (x )＝x 2＋2x ＋a ln x ， g ′(x )＝2x ＋2＋ax.∵函数g (x )在(0,1)上单调递减，∴在区间(0,1)， g ′(x )＝2x ＋2＋a x ＝2x 2＋2x ＋ax ≤0恒成立，∴a ≤－(2x 2＋2x )在(0,1)上恒成立．∵－(2x 2＋2x )在(0,1)上单调递减，∴a ≤－4为所求．B 组 专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)1． 已知f (x )是可导的函数，且f ′(x )<f (x )对于x ∈R 恒成立，则( )A ．f (1)<e f (0)，f (2 014)>e 2 014f (0)B ．f (1)>e f (0)，f (2 014)>e 2 014f (0)C ．f (1)>e f (0)，f (2 014)<e 2 014f (0)D ．f (1)<e f (0)，f (2 014)<e 2 014f (0) 答案 D解析 令g (x )＝f (x )ex ，则g ′(x )＝(f (x )e x )′＝f ′(x )e x －f (x )e x e 2x ＝f ′(x )－f (x )e x <0，所以函数g (x )＝f (x )e x 是单调减函数，所以g (1)<g (0)，g (2 014)<g (0)， 即f (1)e 1<f (0)1，f (2 014)e 2 014<f (0)1， 故f (1)<e f (0)，f (2 014)<e 2 014f (0)．2． 如图是函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的大致图象，则x 21＋x 22等于( )A.89B.109C.169D.289答案 C解析 由图象可得f (x )＝x (x ＋1)(x －2)＝x 3－x 2－2x ， 又∵x 1、x 2是f ′(x )＝3x 2－2x －2＝0的两根， ∴x 1＋x 2＝23，x 1x 2＝－23，故x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝(23)2＋2×23＝169. 3． 已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值围是________．答案 (0,1)∪(2,3)解析 由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－x 2＋4x －3x＝－(x －1)(x －3)x，由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1,3， 则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)， 函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调， 由t <1<t ＋1或t <3<t ＋1，得0<t <1或2<t <3.4． (2013·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4. (1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值． 解 (1)f ′(x )＝e x (ax ＋b )＋a e x －2x －4 ＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4∵y ＝f (x )在(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4， ∴f ′(0)＝a ＋b －4＝4，f (0)＝b ＝4， ∴a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2(x ＋2) ＝2(x ＋2)(2e x －1)令f ′(x )＝0得x 1＝－2，x 2＝ln 12，列表：∴y ＝f (x )的单调增区间为(－∞，－2)，⎝⎛⎭⎫ln 12，＋∞； 单调减区间为⎝⎛⎭⎫－2，ln 12. f (x )极大值＝f (－2)＝4－4e －2.5． 已知函数f (x )＝(ax 2＋bx ＋c )e x 在[0,1]上单调递减且满足f (0)＝1，f (1)＝0.(1)求a 的取值围．(2)设g (x )＝f (x )－f ′(x )，求g (x )在[0,1]上的最大值和最小值． 解 (1)由f (0)＝1，f (1)＝0，得c ＝1，a ＋b ＝－1， 则f (x )＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x ， f ′(x )＝[ax 2＋(a －1)x －a ]e x ，依题意对于任意x ∈[0,1]，有f ′(x )≤0. 当a >0时，因为二次函数y ＝ax 2＋(a －1)x －a 的图象开口向上， 而f ′(0)＝－a <0，所以需f ′(1)＝(a －1)e<0，即0<a <1； 当a ＝1时，对于任意x ∈[0,1]，有f ′(x )＝(x 2－1)e x ≤0， 且只在x ＝1时f ′(x )＝0，f (x )符合条件；当a ＝0时，对于任意x ∈[0,1]，f ′(x )＝－x e x ≤0， 且只在x ＝0时，f ′(x )＝0，f (x )符合条件； 当a <0时，因f ′(0)＝－a >0，f (x )不符合条件． 故a 的取值围为0≤a ≤1. (2)因g (x )＝(－2ax ＋1＋a )e x ， g ′(x )＝(－2ax ＋1－a )e x ， ①当a ＝0时，g ′(x )＝e x >0， g (x )在x ＝0处取得最小值g (0)＝1， 在x ＝1处取得最大值g (1)＝e.②当a ＝1时，对于任意x ∈[0,1]有g ′(x )＝－2x e x ≤0， g (x )在x ＝0处取得最大值g (0)＝2， 在x ＝1处取得最小值g (1)＝0.③当0<a <1时，由g ′(x )＝0得x ＝1－a2a >0.若1－a 2a ≥1，即0<a ≤13时， g (x )在[0,1]上单调递增，g (x )在x ＝0处取得最小值g (0)＝1＋a ， 在x ＝1处取得最大值g (1)＝(1－a )e. 若1－a 2a <1，即13<a <1时， g (x )在x ＝1－a 2a 处取得最大值g (1－a 2a )＝2a e 1－a 2a ，在x ＝0或x ＝1处取得最小值，而g (0)＝1＋a ，g (1)＝(1－a )e ，由g (0)－g (1)＝1＋a －(1－a )e ＝(1＋e)a ＋1－e ＝0， 得a ＝e －1e ＋1.则当13<a ≤e －1e ＋1时，g (0)－g (1)≤0，g (x )在x ＝0处取得最小值g (0)＝1＋a ； 当e －1e ＋1<a <1时，g (0)－g (1)>0， g (x )在x ＝1处取得最小值g (1)＝(1－a )e.。

导数大题20种主要题型

导数大题20种主要题型

导数大题20种主要题型一、求函数的单调性1. 给出函数解析式，求导数，并根据导数正负确定函数的单调区间。

2. 给出函数解析式和区间，求函数在区间内的单调性。

二、求函数的极值3. 给出函数解析式，求导数，并根据导数正负确定函数的极值点，求出极值。

4. 给出函数解析式和区间，求函数在区间内的极值点，并求出极值。

三、求函数的最大值或最小值5. 给出函数解析式，求导数，并根据导数正负确定函数的单调区间，从而确定函数的最大值或最小值。

6. 给出函数解析式和区间，求函数在区间内的极值点，并求出极值，再与区间端点的函数值比较，得到函数的最大值或最小值。

四、确定函数图像的单调区间7. 给出函数解析式，求导数，并根据导数正负确定函数图像的单调区间。

8. 给出函数图像的大致形状，根据图像的变化趋势，确定函数解析式，并求导数，确定函数图像的单调区间。

五、判断函数的零点9. 给出函数解析式和区间，判断函数在区间内的零点个数。

10. 给出函数解析式和大致的图像，根据图像的变化趋势，判断函数在某一点的零点是否存在。

六、判断函数的最值点11. 给出函数解析式和区间，判断函数在区间内的最值点。

12. 给出函数图像的大致形状，根据图像的变化趋势，确定函数在某一点的最值点。

七、判断函数的极值点13. 给出函数解析式，求导数，并根据导数正负确定函数的极值点。

14. 给出函数图像的大致形状，根据图像的变化趋势，判断函数在某一点的极值点。

八、求解不等式九、求解方程的根十、利用导数证明不等式十一、利用导数求最值十二、利用导数求多变量函数的平衡点十三、利用导数研究函数的图像性质十四、利用导数研究函数的极值和最值十五、利用导数求解高阶导数十六、利用导数求实际问题的最优解十七、利用导数求解曲线的切线方程十八、利用导数研究函数的凹凸性十九、利用导数求解函数的零点个数二十、物理问题的应用。

导数用于单调性和极值问题

导数用于单调性和极值问题

专题十四、导数用于单调性和极值问题题型一利用导数判断函数的单调性sin x n1.证明：函数f(x)= 在区间7，n上单调递减.x 2题型二利用导数求函数的单调区间2•求下列函数的单调区间.(1) f(x)= x3—x；(2)y = e x—x+ 1.3. 求函数y = x2—In x2的单调区间.题型三已知函数单调性求参数的取值范围a4. 已知函数f(x) = x2+ _(x丸,常数a€ R).若函数f(x)在x€ ［2 , +8)上是单调递增的,x的取值范围.5. (1)已知函数f(x)=x3+ bx2+ cx + d的单调减区间为［—1,2］，求b, c的值.(2)设f(x)= ax3+ x恰好有三个单调区间，求实数a的取值范围.题型四用单调性与导数关系证不等式16. 当x >0时，证明不等式ln(x+ 1) > x —；x2.n 17. 当0<x<2时，求证：x—sin x<y.题型五、函数的极值问题8.下列函数存在极值的是( )C . y = 3x — 1 29 .设函数 f (x )= '+ In x ,则()x1x = 2为f (x )的极大值点 1x =；为f (x )的极小值点x = 2为f (x )的极大值点 x = 2为f (x )的极小值点10 •若函数y = f (x )是定义在R 上的可导函数，则A .充分不必要条件B •必要不充分条件C •充要条件D .既不充分也不必要条件 11 .函数y = x e x 的最小值为12 .若函数f (x )= -^(a >0)在［1 ,+R ］上的最大值为」，则a 的值为x 2 + a 3题型六、利用极值求参数范围n 3 n13.已知函数f (x )= a sin x — b cos x 在x = 一时取得极值，则函数 y = f (— x )是()4 4A •偶函数且图象关于点(n, 0)对称 3 nB .偶函数且图象关于点(丁, 0)对称B .y = x 2f '(x o )= 0是x o 为函数y = f (x )的极值点的3 nC•奇函数且图象关于点q-, 0)对称D .奇函数且图象关于点(n, 0)对称14 .已知函数f(x)= x3+ ax2+ bx + c, f(x)在x = 0处取得极值，并且在区间［0,2］和［4,5］上具有相反的单调性.(1) 求实数b的值；(2) 求实数a的取值范围.题型七、导数用于解决实际问题15 .用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒.所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为()A. 6B. 8C. 10 D . 1216 .一工厂生产某型号车床，年产量为N台，分批进行生产，每批生产量相同，每批生产的准备费为C2元，产品生产后暂存库房，然后均匀投放市场(指库存量至多等于每批的生产量).设每年每台的库存费为C1元，求在不考虑生产能力的条件下，每批生产该车床_________ 台，一年中库存费和生产准备费之和最小.题型八、图像问题17.二次函数y= f(x)的图象过原点且它的导函数y=f '(x)的图象是如图所示的一条直线，y=f(x)的图象的顶点在()A •第i象限B.第n象限C .第川象限D .第W象限18.设函数f(x)在定义域内可导，y = f(x)的图象如下图所示，则导函数y= f '(x)的图象可能是( )巩固练习：119.定义域为R的函数f（x）满足f（1）= 1，且f（x）的导函数f '（x）>2，则满足2f （x）<x + 1的X 的集合为（）A . {x|- 1<x<1} B. {x|x<1}C. {x|x< —1 或x>1} D . {x|x>1}n 120 .函数f（x）= sin x+ 2xf'（3）, f '（x）为f（x）的导函数，令a = —；, b = log 32，则下列关系正3 2确的是()A . f(a)>f(b) B. f(a)<f(b)C. f(a) = f(b) D . f(|a|)< f(b)21. 若关于x的方程x3—3x+ m = 0在[0,2]上有根，则实数m的取值范围是()A . [ —2,2] B. [0,2]C. [ —2,0] D . (— s,—2) U (2 ,+^ )1 122. 已知函数f(x) = ax3+ ax2—2ax + 2a +1的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是3 223. 已知函数f(x)= x3—3x，若过点A(1 , m)(m工一2)可作曲线y = f(x)的三条切线，则实数m的取值范围为_________三、解答题24 .求证：x>0 时，1 + 2x<e 2x.x —125.设函数f(x)= a ln x + ，其中a为常数.x +1(1)若a = 0,求曲线y= f(x)在点(1 , f(1))处的切线方程;⑵讨论函数f(x)的单调性.26 .已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y= 4 —x2在x轴上方的曲线上，求矩形的面积最大时的边长.x a327.已知函数f (x ) = 4 + - — ln x —-，其中a € R ，且曲线y = f (x )在点(1 , f (i))处的切线垂直于 4 X2 1y ="X .(1) 求a 的值；(2) 求函数f (x )的单调区间与极值.28 .设函数 f (x )= e x — ax — 2.(1) 求f (x )的单调区间；(2) 若a = 1 , k 为整数，且当x >0时，(x — k )f '(x ) + x + 1>0，求k 的最大值.专题十四、导数用于单调性和极值问题参考答案x cos x — sin x n1.证明f '(x )= : ，又 x € 一，冗， x 2 2贝U cos x <0 ,「.x cos x — sin x <0 ,n•f(X )<0 ,「.f (x )在；,n 上是减函数.2. 解 (1)f'(x ) = 3x 2 — 1 = (一 3x + 1)( ；3x — 1),令 f '(x )<0，贝U x € — , .3 3• f (x ) = x 3 — x 的单调增区间为—o.令 f '(x )>0 ,则 x € 一 oo,-单调减区间为33，(2)y '毛x — i ，令 y >o ，即 e x — 1>0 ,则 x € (0 ,+^ )；令 y '<0，即 e x —1<0，贝U x € ( — g, 0), .•.y = e x — x + 1的单调增区间(0，+g )，单调减区间为(一g, 0).23.解 •••函数 y = f (x )= x 2— In x 2 的定义域为(—g,0) U (0，+g )，又 f '(x ) = 2x — _ =x2 x 2 — 1 2 x — 1 x + 1x = x ，由上表可知，函数 f (x ) = x 2 — In x 2在区间(一1,0) , (1 ,+g )上单调递增；在区间(一g, —1), (0,1)上单调递减.a 2x 3 — a4.解 f'(x )= 2x — 7 = 2—x 2 x 22x 3— a•/x 2>0 , .2x 3— a >0 , •a W 2x 3在x € [2 ,+g )上恒成立..•.a W (2 X 3)min .•••X € [2 ,+g ), y = 2x 3是单调递增的， .•.(2X 3)min = 16 ,「.a W 16.2x 3— 16当 a = 16 时，f'(x ) = ------- 2— >0(x € [2 ,+g ))有且只有 f'(2) = 0 ,.a 的取值范围是(一x 2g, 16].5. 解 (1) ••函数f (x )的导函数f'(x ) = 3x 2 + 2bx + c ,由题设知—1< x <2是不等式3x 2 + 2bx + c <0的解集.• —1,2是方程3x 2 + 2bx + c = 0的两个实根，2c•-1 +2=-3b ,(一1)x2=3,3即 b = — _, c = — 6.2(2) vf '(x ) = 3ax 2+ 1，且f (x )有三个单调区间, •方程f '(x ) = 3ax 2 + 1 = 0有两个不等的实根, ••A= 02 — 4 x 1 x 3a >0 ，―a <0.要使f (x )在［2 ,+g )上是单调递增的，则f '(x )» 在x € [2 ,+g )时恒成立,x 2>0 在 x € [2 , + g )时恒成立.•••a 的取值范围为(一3 0).16. 审题指导利用导数证明不等式，首先要构造函数f (x ) = ln(x + 1) -x +2x 2，证明f (x )在(0, + 3)上单调增，由f (x )> f (0) = 0证得.1［规范解答］令 f (x ) = ln(x + 1) — x + 2x 2, (4 分) 1 x 2贝U f '(x ) = 一 1 + x = .(6 分)1 + x 1 + x 当 x € (0 ,+3 )时,f '(x ) >0 , •••f(x )在(0，+3)上是增函数.(8分) 于是当 x > 0 时，f (x ) > f (0) = 0 ,1•••当 x >0 时，不等式 In(x + 1) >x — ［x 2成立.(12 分) 1 n7. 证明 设 g (x ) = x — sin x —-x 3, x € 0, 一，6 21 xx —_x 2= 2 sin 2_— 2 2n—,二0 v sin x v x ,2x x「•sin 2；< 2 2，：g '(x ) v 0,n•••g(x)在0, 2上单调递减,1 /.g (x )v g (0) = 0 ,.「x — sin x v 一x 3.6 8. ［答案］D［解析］画出图像即可知 y = x 2存在极值f (0) = 0. 9. ［答案］D［解析］本节考查了利用导数工具来探索其极值点问题.f '(x )=—爲 + =一(1 — _) = 0 可得 x = 2. x 2 x x x当 0<x <2 时，f '(x )<0 , f (x )递减，当 x >2 时f '(x )>0 , /f (x )单调递增.所以x = 2为极小值点.对于含有对数形式的函数在求导时，不要忽视定义域.g (x ) = 1 — cos •/x € 0 ,当 x < — 1 时，y '<0，当 x > — 1 时 y >0 1「•y min = f (— 1)=——e12.［答案］,：3 — 1x 2 + a — 2x 2a — x 2厂［解析］f'(x ) =;; =2.当 x>- a 时 f'(x )<0 ,x 2 + a 2 x 2 + a 2减的，当一"a<x <” a 时，f '(x )>0 , f (x )在(一"a ，“ a ) 讨=F ，a = ^<1,不合题意.•••Kg = f ⑴=土 =寸，解得 a = 3一 1.13. ［答案］Dn［解析］■•f(x )的图象关于x = 一对称,4n• .f (0) =f (2)，••- b = a ,/•f(x ) = a si n x — b cos x = a s in x + a cos x = 2a si n( x + ；),3 n3 n n 一一— x )= 2a sin( ： — x +；) =2a sin( n —x ) =2a sin x .3 n 显然f ( — x )是奇函数且关于点(n, 0)对称，故选D.4 14.［解析］ ⑴由导数公式表和求导法则得， f '(x ) = 3x 2+ 2ax + b ,10.［答案］［解析］ 如y = x 3, y ' =3x 2, y '|x = o = 0，但x = 0不是函数y = x 3的极值点.11.［答案］［解析］ y '#x + l)e x= 0, x =— 1.f (x )在(-.a ,+^ )上是递上是递增的.当 x = a 时，fC a )因为f (x )在x = 0处取得极值，所以f'(0) = 0 ,即得b = 0.2 2⑵令f '(x )= 0,即卩3x 2+ 2ax = 0，解得x = 0或x = -；a .依题意有一；a >0.3 3 因为函数在单调区间［0,2］和［4,5］上具有相反的单调性，15. ［答案］B［解析］设截去的小正方形的边长为x cm ，铁盒的容积为 V cm 3,由题意，得 V = x (48—2x )2(0< x <24) , V '^2(24 — x )(8 — x ).令 V '=0,则在(0,24)内有 x = 8，故当 x = 8 时，V 有最大值.17. ［答案］Ab+ b ，由 y = f '(x )的图象可知，2a <0 , b >0 ,「.a <0 , b >0,「.一—>0 ,2 a 故选A. 18. ［答案］A［解析］f (x )在(—g, 0)上为增函数，在(0,+^ )上变化规律是减T 增T 减，因此 f '(x )的图象在( — m, 0)上，f (x )>0，在(0，+g )上f '(x )的符号变化规律是负T 正T 负，故选所以应有 22 一产4，解得一6<a <-3.［解析］ N设每批生产x 台，则一年生产二批.一年中库存费和生产准备费之和 y = C i x +C 2N (0< x <N ).xC 2Ny '毛i -=.由 y ' =0 及 0<x <N ，解得x 2(台).根据问题的实际意义， y 的最小值是存在的，且 y '=0有唯一解.故x =C 2N百台是使费用最小的每批生产台数.［解析］设 f (x ) = ax 2 + bx + C ,'••二次函数 y = f (x )的图象过原点，二 c = 0，-f '(x ) = 2ax4ac — b 2 b 2—47°，4aC 2N16.［答案］C iA.19. ［答案］B1 ［解析］令g(x) = 2f(x) —x— 1 ,・.・f '(X)>2，•••g'(x)= 2f (x)—1>0 ,「.g(x)为单调增函数，•••f(l) = 1 ,「.g(l) = 2f(l) —1 —1 = 0,•••当x<1 时，g (x)<0，即2f(x)<x+ 1，故选 B.20. ［答案］An［解析］'-f '(x)= cos x + 2f '( 一),3n n n•••f '(3)= cos 3 +2f‘(3),/•f(x) = si n x —x.又f (x) = cos x— 1 <0, 故f(x)在R上递减.1又'一Fog 32 ,2f 1 <0,•••f(x ) = 0 在［0,2］上有解，•••f 2 >0 ,6322. ［答案］(-5，-石)［解析］f '(x )= ax 2+ ax — 2a = a (x — 1)(x + 2), 由f (x )的图象经过四个象限知，若a >0，贝Uf — 2<0 ,此时无解；若a <0，则f 1 >0 ,23. ［答案］(—3 , — 2)［解析］f '(x )= 3x 2— 3，设切点为 P (X 0, y °)，则切线方程为 y — (x 3— 3x °)= (3x 6 — 3)(x —X 0),T 切线经过点 A (1 , m ),：m — (x 0 — 3x °) = (3x 0 — 3)(1 — X 0),；m = — 2x 3+ 3x 0 — 3 , m z=-6x 0 + 6x 0, •当0< X 0<1时，此函数单调递增，当X 0<0或X 0>1时，此函数单调递减， 当X 0 = 0时，m = — 3，当X 0 = 1时，m = — 2，•当一3< m < — 2时，直线 y = m 与函数y =—2x 3+ 3x 0 — 3的图象有三个不同交点，从而X 0有三个不同实数根，故过点 A (1 , m )可作三条不同切线，• m 的取值范围是(一3, — 2).24. ［分析］禾U 用函数的单调性证明不等式是常用的方法之一，而函数的单调性，可利用其导 函数的符号确定.［解析］设 f (x ) = 1 + 2x — e 2x , 则 f'(x ) = 2 — 2e 2x = 2(1 — e 2x ).当 x >0 时，e 2x >1 , f '(x ) = 2(1 — e 2x )<0 ,m — 2<0,m• —2 <m <2.f — 2 >0 , f 1<0 ,6 3•—5<a <—材，综上知, 6 3 < a < — . 5 16所以函数f(x) = 1 + 2x —e2x在(0,+^ )上是减函数.当 x >0 时，f (x )<f (O) = 0,即当 x >0 时，1 + 2x — e 2x <0，即 1 + 2x <e 2x . 25. ［解析］(1)f (x )的定义域为(0,+^ )a x +1— x — 1 a 2 f '(x ) = _+" 2 = - + - 2x x +1 1 2 3x x + 1 22 1•••a = 0,「.f '(x ) = ―，根据导数的几何意义，所求切线的斜率k = f '(1)=-,I而 f (1) = 0.1•••所求切线方程为y = [(x — 1), 即 x — 2y — 1 = 0.21 ° 当a = 0 时，f '(x )=;>0 ,x + 1•••f(x )在(0,+s )递增.令 g (x ) = ax 2 + 2(a + 1)x + aA = 4( a + 1)2 — 4a 2 = 8a + 4- a + 1—2 a + 12 ° 当 a >0 时，A >0 ,此时 g (x ) = 0 的两根 X 1 =：, X 2 =a—a + 1 +" 2a + 1a■/a>0 ,「.X 1<0 , X 2<0./•g(x )>0 ,：x € (0,—g ),「.f '(x )>0 故f (x )在(0,+s )递增.13°当锐时，A= 8a + 4® 即时，g (x)切，/f 3°.a (2) f '(x )=-x + 12+ 2x x x + 1 2ax 2+ 2 a + 1 x + a1当 A >0，即- 2<a <° 时,•••令 f '(X )>0 , X € (X 1 , X 2),f '(x )<0 , X € (0 , X 1) U (X 2,+^)• ••f(X )在(X 1 , X 2)递增，在(0, X 1)和(X 2 ,+8 )上递减. 综上所述：当a>0时，f (x )在(0,+^ )递增. 1当一2< a <0 时，f (x )在(X 1, X 2)递增,— a + 1+M 2a + 1 — a + 1—yl 2a + 1在(0 ,X 1)禾廿(X 2, +m)递减(其中 X 1 =：,X 2=:).aa1当 a w —2时，f (x )在(0，+m)递减.26. ［分析］如图，设出AD 的长，进而求出|AB |表示出面积S ,然后利用导数求最值.［解析］设矩形边长为 AD = 2x ，则|AB | = y = 4 — x 2，则矩形面积 S = 2x (4 — x 2)(0< x <2), 即 S = 8x — 2x 3 ,「.S'= — 6x 2,X 1 =X 2 =—a +1+ -• 2a+ 1>0—a +1—2a + 1>083时，矩形的面积最大.［点评］本题的关键是利用抛物线方程，求出矩形的另一边长.27.［解析］ ⑴函数f （x ）的定义域为（0,+^ ）,1 a 1f'（x ）= 一一二一一，由导数的几何意义，且切线与1 y = x 垂直. 21 5得「⑴蔦—a - 1 一 2，心=；•令f '(x ) = 0解得x =— 1或5, — 1不在定义域之内故舍去.•••当 x € (0,5) , f '(x )<0 ,「.f (x )在(0,5)递减. 当 x € (5 , +s ), f '(x )>0 ,「.f (x )在(5 , +s )递增. 5 1 3•••f (x )在 x = 5 时取极小值 f (5) = 一+ 一- ln5 —_=— ln5.4 4228.［分析］［解析］(1)f (x )的定义域为(— °°，+^° ),f '(x )= e x — a .若a w 0,则f (x )>0，所以f (x )在(— s,+s )单调递增. 若 a >0，则当 x € (— g, In a )时，f '(x )<0 ; 当 x € (In a ,+g )时，f '(x )>0 ,x 5 3 ⑵由⑴知 f （x ）=4+4；-lnx -2，•f (x )蔦-4x 21 x2 — 4x - 5x 4x 22 — 2令S'=0，解得X 1 =—尸，X 2=—尸（舍去）寸3 寸3S 取得最大值，此时,即矩形的边长分别为所以f (x )在( — g, In a )单调递减，在(In a ,+^ )单调递增.⑵由于 a = 1，所以(x — k )f '(x )+ x + 1 = (x — k )(e x — 1)+ x + 1.故当 x >0 时，(x — k )f '(x )+ x + 1>0 等价于—x e x — 1e x则 g ，(x)=+ 1 =-由(1)知，函数 h (x ) = e x — x —2 在(0，+g )单调递增.而 h (1)<0 , h (2)>0，所以 h (x ) 在(0 , +g )存在唯一的零点.故g '(X )在(0 ,+g )存在唯一的零点.设此零点为a ,则a € (1,2).当 x € (0, a 时，g ((x )<o ； 当 x € ( a , +g )时,g '(x )>0.所以g (x )在(0，+g )的最小值为g ( a). 又由 g ( a)= 0，可得 e a= a + 2 , 所以 g ( a)= a + 1 € (2,3).由于①式等价于 k <g (a)，故整数k 的最大值为2.1•••f (-；)>f (log 32), 即 f (a )> f (b ). 21. ［答案］A［解析］ 令 f (x ) = x 3 — 3x + m ，则 f '(x )= 3x 1 2— 3 = 3(x + 1)(x — 1)，显然当 x < — 1 或x >1 时，f '(x )>0 , f (x )单调递增，当一1< x <1 时，f '(x )<0 , f (x )单调递减，•在 x =— 1 时，f (x ) 取极大值f ( — 1) = m + 2，在x = 1时，f (x )取极小值f (1) = m — 2.故f (x )在(0,+s )递减.x + 1k<L +x(x >0).e x — x —2 e x — 1 2。

热点题型三 导数与函数的单调性、极值、最值《奇招制胜》数学(理)热点+题型全突破

热点题型三 导数与函数的单调性、极值、最值《奇招制胜》数学(理)热点+题型全突破

热点题型三导数与函数的单调性、极值、最值【知识梳理】1。

函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x）在某个区间内可导,则：(1)若f′(x)〉0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)<0,则f(x)在这个区间内单调递减；（3)若f′（x）＝0,则f（x）在这个区间内是常数函数。

2.函数的极值与导数的关系（1)函数的极小值与极小值点若函数f(x）在点x＝a处的函数值f(a）比它在点x＝a附近其他点的函数值都小,f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x）〈0，右侧f′(x）>0，则点a叫做函数的极小值点,f（a)叫做函数的极小值. (2）函数的极大值与极大值点若函数f（x）在点x＝b处的函数值f（b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大,f′（b）＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x）〉0，右侧f′（x)<0,则点b叫做函数的极大值点，f(b）叫做函数的极大值.3.函数的最值与导数的关系（1）函数f（x)在a，b]上有最值的条件如果在区间a，b]上函数y＝f（x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2）求y＝f(x）在a，b］上的最大（小)值的步骤①求函数y＝f(x)在（a，b）内的极值；②将函数y＝f（x）的各极值与端点处的函数值f(a)，f（b）比较,其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.一、导数与函数的单调性题型一利用导数研究函数的单调性【典例1】【2016·四川卷节选】设函数f（x）＝ax2－a－ln x,g（x)＝错误!－错误!，其中a∈R，e＝2.718…为自然对数的底数。

（1）讨论f(x)的单调性；（2）证明：当x〉1时，g（x）>0.【解析】(1) 由题意得f′(x）＝2ax－错误!＝错误!(x〉0).当a≤0时,f′（x)<0，f（x）在(0，＋∞）内单调递减.当a>0时，由f′（x)＝0有x＝错误!,当x∈错误!时,f′(x）〈0，f(x)单调递减；当x∈错误!时，f′(x）>0,f（x)单调递增。

高考导数问题常见题型总结

高考导数问题常见题型总结

一、考试内容导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数； 两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。

二、热点题型分析题型一：利用导数研究函数的极值、最值。

1． 32()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是 22．已知函数2)()(2=-==x c x x x f y 在处有极大值，则常数c ＝ 6 ；3．函数331x x y -+=有极小值 －1 ,极大值 3题型二：利用导数几何意义求切线方程1．曲线34y x x =-在点()1,3--处的切线方程是 2y x =- 2．若曲线x x x f -=4)(在P 点处的切线平行于直线03=-y x ，则P 点的坐标为 （1，0）3．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为 430x y --=4．求下列直线的方程：（1）曲线123++=x x y 在P(-1,1)处的切线； （2）曲线2x y =过点P(3,5)的切线；解：（1）123|y k 23 1)1,1(1x /2/23===∴+=∴++=-=－上，在曲线点－x x y x x y P Θ所以切线方程为0211=+-+=-y x x y 即， （2）显然点P （3，5）不在曲线上，所以可设切点为),(00y x A ，则200x y =①又函数的导数为x y 2/=，所以过),(00y x A 点的切线的斜率为/2|0x y k x x ===，又切线过),(00y x A 、P(3,5)点，所以有352000--=x y x ②，由①②联立方程组得，⎩⎨⎧⎩⎨⎧====255 110000y x y x 或，即切点为（1，1）时，切线斜率为;2201==x k ；当切点为（5，25）时，切线斜率为10202==x k ；所以所求的切线有两条，方程分别为2510 12 )5(1025)1(21-=-=-=--=-x y x y x y x y 或即，或题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值1．已知函数))1(,1()(,)(23f P x f y c bx ax x x f 上的点过曲线=+++=的切线方程为y=3x+1 （Ⅰ）若函数2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值； （Ⅲ）若函数)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围解：（1）由.23)(,)(223b ax x x f c bx ax x x f ++='+++=求导数得 过))1(,1()(f P x f y 上点=的切线方程为：).1)(23()1(),1)(1()1(-++=+++--'=-x b a c b a y x f f y 即而过.13)]1(,1[)(+==x y f P x f y 的切线方程为上故⎩⎨⎧-=-=+⎩⎨⎧-=-=++3023323c a b a c a b a 即∵124,0)2(,2)(-=+-∴=-'-==b a f x x f y 故时有极值在 ③由①②③得 a=2，b=－4，c=5 ∴.542)(23+-+=x x x x f （2）).2)(23(443)(2+-=-+='x x x x x f 当;0)(,322;0)(,23<'<≤->'-<≤-x f x x f x 时当时13)2()(.0)(,132=-=∴>'≤<f x f x f x 极大时当 又)(,4)1(x f f ∴=在[－3，1]上最大值是13。

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导数的应用（单调性与极值）
一、求函数单调区间
1、函数y ＝x 3－3x 的单调递减区间是________________
2、函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是_______________
3、函数f (x )＝ln x －ax (a >0)的单调递增区间为( )
A ．(0，1a )
B ．(1
a ，＋∞)
B ．
C ．(－∞，1
a ) D ．(－∞，a )
4、函数y ＝x －2sin x 在(0,2π)内的单调增区间为________．
5、求函数f (x )＝x (e x －1)－x 2
2的单调区间．
6、已知函数f (x )＝a
x ＋x ＋(a －1)ln x ＋15a ，其中a <0，且a ≠－1.讨论函数f (x )的单调性．
二、导函数图像与原函数图像关系
导函数正负决定原函数递增递减
导函数大小等于原函数上点切线的斜率
导函数大小决定原函数陡峭平缓
1、若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，
b]上的图象可能是()
2、若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是先增后减的函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是()
3、设曲线y＝x2＋1在其任一点(x，y)处切线斜率为g(x)，则函数y＝g(x)·cos x 的部分图象可以为()
4、函数f(x)的导函数f′(x)的图象，如图所示，则()
x＝1是最小值点B．x＝0是极小值点
C．x＝2是极小值点D．函数f(x)在(1,2)上单增
三、恒成立问题
1、已知函数f(x)=x 3-2
1x 2+bx+c .
若f(x)在（-∞，+∞）上是增函数，求b 的取
值范围;
2、已知函数 232
()4()3
f x x ax x x R =+-∈在区间[]1,1-上是增函数，求实数a 的
取值范围．
3、若函数y ＝x 3－ax 2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a 的取值范围。

4、已知函数f (x )＝ax －ln x ，若f (x )＞1在区间(1，＋∞)内恒成立，实数a 的取值范围。

四、极值的应用
1、若y ＝a ln x ＋bx 2＋x 在x ＝1和x ＝2处有极值，则a ＝________，b ＝________.
2、当函数y ＝x ·2x 取极小值时，x ＝( ) A.1ln2 B ．－1
ln2 C ．－ln2 D ．ln2
3、函数f (x )＝x 3－3bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则( ) A ．0＜b ＜1 B ．b ＜1
C ．b ＞0
D ．b ＜1
2
4、函数y ＝x 33＋x 2
－3x －4在[0,2]上的最小值是( )
A ．－173
B ．－103
C ．－4
D ．－64
3
5、已知函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x ＋a .
(1)求f(x)的单调递减区间；
(2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
6、设函数f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c在x＝1及x＝2时取得极值．
(1)求a、b的值；
(2)若对任意的x∈[0,3]，都有f(x)<c2成立，求c的取值范围．
7、若函数f(x)＝x3－3x＋a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________．
8、设函数f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.
(1)若f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1x2＝1，求实数a的值；
(2)是否存在实数a，使得f(x)是(－∞，＋∞)上的单调函数？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
9、已知x∈R,求证：e x≥x+1．。

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