数列求通项专项训练

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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
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31、32班数列求通项专项训练第II 卷（非选择题）
评卷人 得分
一、解答题（题型注释）
1.已知等差数列{}n a 满足20a =，6810a a +=-.
（I ）求数列
{}n a 的通项公式；
（II ）求数列12n n a -⎧⎫⎨⎬
⎩⎭的前n 项和.
2.已知数列
{}n a 满足
211232222n n n
a a a a -++++=
，*n N ∈.
(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；
(Ⅱ)设
()21n n
b n a =-，求数列
{}n b 的前n 项和n S .
3.等差数列{am}的前m 项和为Sm ，已知S3=22
a ，且S1，S2，S 4成等比数列，
（1）求数列{am}的通项公式.
（2）若{am}又是等比数列，令bm=19n n S S +⋅ ，求数列{bm}的前m 项和Tm.
4.已知点(1,2)是函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)的图象上一点，数列{a n }的前n 项和S n ＝f (n )－1.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若b n ＝l og a a n ＋1，求数列{a n b n }的前n 项和T n .
5.数列
}
{n a 满足11=a ，
121+=
+n n
n a a a （*N n ∈）.
（1）求证1n a
⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；(要指出首项与公差);
(2) 求数列
}
{n a 的通项公式;
（3）若Tn=
+
+3221a a a a …
1
++n n a a ，求证:
21<
n T .
6.(本小题满分12分)设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为Sn ， 满足*
2
1,144N n n a S n n ∈--=+,且a 2、a 5、a 14构成等比数列. (1)证明5412+=
a a ;
(2)求数列{a n }的通项公式； (3)证明：对一切正整数n ，有
2
111113221<+++n n a a a a a a .
7.已知函数x x f 2log )(=,若),(),(,221a f a f ),(,),(3n a f a f )(,42*
N n n ∈+ 成等差数列。

（1）求数列)}({*
N n a n ∈的通项公式；
（2）设)(k g 是不等式)(32)3(log log *
22N k k x a x k ∈+≥-+整数解的个数，求)(k g ； （3）记数列12n a ⎧⎫⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和为n S ，
是否存在正数λ，对任意正整数,n k ，使2
n k S a λλ-<恒成立？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由。

8.（本小是满分13分）已知数列2
1{}:21(*).2n n n a a a a n N n
=++=-∈ 满足 （I ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设22,{}n n n
n n
b b n a -=数列的前项和为S n ．若对一切*,n n N S M ∈<都有成立（M 为正整数），求M 的最小值．
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试卷答案
1.解：（I ）设等差数列{}
n a 的公差为d ，由已知条件可得110,21210,a d a d +=⎧⎨
+=-⎩ 解得11,
1.a d =⎧⎨
=-⎩故数列{}n a 的通项公式为2.n a n =-
（II ）设数列1
{
}2n n n a n S -的前项和为，即2
111,122n n n a a S a S -=+++= 故，
12.2242n n n S a
a a =+++
所以，当1n >时，
121111111121()22222422
121(1).
222n n n n n n n n n n n S a a a a a n a n n
-------=+++-=-+++--=---=
所以1
.2n n n
S -=
综上，数列11{}.2
2n n n n a n n S --=的前项和 略
2.
3.（1）设数列{am}的公差为d ，由S3=
22a ，可得3a2=2
2a ，解得a2=0或a2=3.
由S1，S2，S4成等比数列，可得
2214S S S = ,由122242,2,42S a d S a d S a d =-=-=+，故2222(2)()(42)a d a d a d -=-+ .
若a2=0，则22
2d d =-，解得d=0.此时Sm=0.不合题意；
若a2=3，则
2
(6)(3)(122)d d d -=-+，解得d=0或d=2，此时am=3或am=2m-1. （2）若{am}又是等比数列，则Sm=3m ，所以bm=19n n S S +⋅=9133(1)(1)n n n n =⋅+⋅+=111n n -
- ，
故Tm=（1－12 ）+（12－1
3 ）+（13－14）+…+（111n n -
+）=1－11n +=1n n +
4.
5.解：（1）由
121+=
+n n n a a a 可得：n n
n a a a 121
1
+=+ 即 111
2n n a a +=+
所以数列}1{
n a 是以首项11
1=a ，公差2d =的等差数列，
（2）由（1）可得 12)1(1
11
-=-+=n d n a a n
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∴
121
-=
n a n
（3）∵
)
121
121(21)12)(12(11+--=+-=
+n n n n a a n n
∴Tn=
1211215131311
1(2113221+-
-++-+-=
++++n n a a a a a a n n )]121
121()121321()7151()5131()311[(21+--+---++-+-+-=n n n n 21)1211(21<+-=n
∴ 21
<
n T .
6.
7.
（1）由题可知()222log 22n n f a n a n =+⇒=+得222n n a += （2）原式化简：
()()221221
221221212log log (3)23log log (32)23
log (32)23
32220220
2,2k k k k k k k k k x a x k x x k x x k x x x x x +++++++++-≥+⇒+⋅-≥+⎡⎤⇒⋅-≥+⎣⎦⇒-⋅+⋅≤⇒--≤⎡⎤⇒∈⎣⎦
其中整数个数()1
2
1k g k +=+
（3）由题意，11111641211414
n n n
S ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦=⨯=--，12k k a +=
又2
n k S a λλ-<恒成立，0n S >，0λ>，
所以当n S 取最大值，k a 取最小值时，n k S a λ-取到最大值 又1n S <，4k a ≥，所以214λλ-≤ 解得25λ≥-+.
8.。