第五章 方差分析(第一节)
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方差分析(1)
品 A B C D 合计 种 2 6 3 8.5
3 8 5 9.5
4 10 7 10.5
Tig 9 24 15 28.5 T.. 76.5
xi 3 8 5 9.5 x.. 6.4
一、线性模型与基本假定
线性模型 每个观察值的大小取决于两个方面的原因：处理 和误差。因此，任一观察值可分解为：
xij x.. (xi. x..) (xij xi.) x.. ti eij
其中 ti xi. x.. : N (0, 2 )
处理效应
eij xij xi. :
N
(0,
2 e
)
试验误差
一、线性模型与基本假定
线性模型 本例 xij x.. (xi. x..) (xij xi.)
2 6.4 （3 6.4）（2 3） 6 6.4 （8 6.4）（6 8）
然后判断品种间的差异显著性
方差分析的基本步骤
一、线性模型与基本假定 二、平方和与自由度的分解 三、方差的比较—F测验 四、平均数的比较—多重比较 五、方差分析的结论
方差分析的基本步骤
例5.1 现有四个水稻品种A、B、C和D，完全随机地种 在一个划分为12个小区的试验地中，每品种种了3个小 区。田间排列和小区产量如图7.1所示。欲了解这四个 品种的产量是否有显著差异。
第一节 方差分析的基本原理与步骤
方差分析的思路: 将总方差分解来研究
1. 将试验数据的总变异分解为各个原因变异 2. 比较各个原因变异的重要性 3. 判断各个样本所属总体平均数是否有显著差异
第一节 方差分析的基本原理与步骤
方差分析的思路: 将总方差分解来研究
1. 将试验数据的总变异分解为各个原因变异 2. 比较各个原因变异的重要性 3. 判断各个样本所属总体平均数是否有显著差异
5章 方差分析
检验或F检验，两个以上样本均数的比较只能用F检验。 2、回归方程的线性假设检验；
3、检验两个或多个因素间有无交互作用。
应用条件（P63）
1、各个样本是相互独立的随机样本； 2、各个样本来自正态总体； 3、各个处理组的总体方差方差相等， 即方差齐。
不满足应用条件时处理方法
1、进行变量变换，以达到方差齐或 正态的要求；
H0:三种卡环抗拉强度的总体均数相等；各区组 卡环抗拉强度的总体均数相等
H1:三种卡环抗拉强度的总体均数不全相等；各 区组卡环抗拉强度的总体均数不全相等
0.05
2、计算F值
方差分析表
──────────────────────────
变异来源 SS
V
MS
F
──────────────────────────
2、如果方差分析无差别，分析结束。
多样本均数之间的多重比较
两两比较，又称基于方差分析的后续 检验（post hoc test）。
LSD-t检验和SNK检验
多个样本均数的比较一般分为两种情况:
①证实性实验研究:在设计阶段就根据研究目的或专业 知识决定某些均数间的两两比较，例如多个处理组与 对照组的比较，处理后不同时间与处理前的比较等。
MS组内 2
1 nA
1 nB
a 指样本均数排序后，比较的两组间包含的组数。
例5-3，SNK多重比较：
处理组
甲组
乙组
丙组
丁组
xi
ni
组次
0.2913 8 1
1.0200 8 2
2.1488 8 3
2.2650 8 4
S xA xB
MS组内 2
3、检验两个或多个因素间有无交互作用。
应用条件（P63）
1、各个样本是相互独立的随机样本； 2、各个样本来自正态总体； 3、各个处理组的总体方差方差相等， 即方差齐。
不满足应用条件时处理方法
1、进行变量变换，以达到方差齐或 正态的要求；
H0:三种卡环抗拉强度的总体均数相等；各区组 卡环抗拉强度的总体均数相等
H1:三种卡环抗拉强度的总体均数不全相等；各 区组卡环抗拉强度的总体均数不全相等
0.05
2、计算F值
方差分析表
──────────────────────────
变异来源 SS
V
MS
F
──────────────────────────
2、如果方差分析无差别，分析结束。
多样本均数之间的多重比较
两两比较，又称基于方差分析的后续 检验（post hoc test）。
LSD-t检验和SNK检验
多个样本均数的比较一般分为两种情况:
①证实性实验研究:在设计阶段就根据研究目的或专业 知识决定某些均数间的两两比较，例如多个处理组与 对照组的比较，处理后不同时间与处理前的比较等。
MS组内 2
1 nA
1 nB
a 指样本均数排序后，比较的两组间包含的组数。
例5-3，SNK多重比较：
处理组
甲组
乙组
丙组
丁组
xi
ni
组次
0.2913 8 1
1.0200 8 2
2.1488 8 3
2.2650 8 4
S xA xB
MS组内 2
假设检验与方差分析
这是不合理的，应拒绝原假设。
三、假设检验的步骤
1、提出原假设(null hypothesis)和备择假设 (alternative hypothesis)
原假设为正待检验的假设：H0； 备择假设为可供选择的假设：H1 一般地，假设有三种形式：
（1）双侧检验：
H0 : 0; H1 :0 （2）左侧检验：
这两个例子中都是要对某种“陈述”做出判
断：
例1要判明工艺改革后零件平均 长度是否仍为4cm；
进行这种判断 的信息来自
例2要判明该批产品的次品率是 所抽取的样本
否低于3%。
所谓假设检验，就是事先对总体参数或总体分 布形式作出一个假设，然后利用样本信息来判断 原假设是否合理，即判断样本信息与原假设是否 有显著差异，从而决定是否接受或否定原假设
对比来构造检验统计量。
可以证明，若H0为真，则
2
(n 1)S 2
2 0
~
2 (n 1)
因此，可构造2 统计量进行总体方差
的假设检验。
当H0成立时，S2/02 接近于1，2的 值在一个适当的范围内，
当H0不成立时，S2/02远离1，2的值 相当大或相当小。
在例2中，由于所抽样本只为10，为小样本，因 此无法构造Z统 计量进行总体比例的假设检验。
如果总体X~N(,2)，在方差已知的情况下，对总体均 值进行假设检验。
由于
因此，可通过构造Z统计量来进行假设检验：
注意： 如果总体方差未知，且总体分布未知，但如果是大样
本（n>=30），仍可通过 Z 统计量进行检验，只不过总体 方差需用样本方差 s 替代。
例3：根据以往的资料，某厂生产的产品的使用寿命服从正 态分布N(1020, 1002)。现从最近生产的一批产品中随机抽取16 件，测得样本平均寿命为1080小时。问这批产品的使用寿命 是否有显著提高（显著性水平：5%）？
三、假设检验的步骤
1、提出原假设(null hypothesis)和备择假设 (alternative hypothesis)
原假设为正待检验的假设：H0； 备择假设为可供选择的假设：H1 一般地，假设有三种形式：
（1）双侧检验：
H0 : 0; H1 :0 （2）左侧检验：
这两个例子中都是要对某种“陈述”做出判
断：
例1要判明工艺改革后零件平均 长度是否仍为4cm；
进行这种判断 的信息来自
例2要判明该批产品的次品率是 所抽取的样本
否低于3%。
所谓假设检验，就是事先对总体参数或总体分 布形式作出一个假设，然后利用样本信息来判断 原假设是否合理，即判断样本信息与原假设是否 有显著差异，从而决定是否接受或否定原假设
对比来构造检验统计量。
可以证明，若H0为真，则
2
(n 1)S 2
2 0
~
2 (n 1)
因此，可构造2 统计量进行总体方差
的假设检验。
当H0成立时，S2/02 接近于1，2的 值在一个适当的范围内，
当H0不成立时，S2/02远离1，2的值 相当大或相当小。
在例2中，由于所抽样本只为10，为小样本，因 此无法构造Z统 计量进行总体比例的假设检验。
如果总体X~N(,2)，在方差已知的情况下，对总体均 值进行假设检验。
由于
因此，可通过构造Z统计量来进行假设检验：
注意： 如果总体方差未知，且总体分布未知，但如果是大样
本（n>=30），仍可通过 Z 统计量进行检验，只不过总体 方差需用样本方差 s 替代。
例3：根据以往的资料，某厂生产的产品的使用寿命服从正 态分布N(1020, 1002)。现从最近生产的一批产品中随机抽取16 件，测得样本平均寿命为1080小时。问这批产品的使用寿命 是否有显著提高（显著性水平：5%）？
医学统计：方差分析
研究目的是推断各样本所代表的总体均数是 否相等。
变异分解
单因素方差分析是把总变异的离均差平方 和与自由度分别分解成组间和组内 2 部分， 各部分的离均差平方和相互之间有以下关系
SS总 SS组间 SS组内
总 组间 组内
单因素方差分析的计算公式
变异来源
SS
MS
F
总变异
1122.68( x )
26( n )
43.18( x ) 56923.11( x 2 )
计算步骤
1．建立检验假设，确定检验水准
H0 :4 组家兔的血清 ACE 浓度总体均数相等， 1 2 3 4
H1 :4 组家兔的血清 ACE 浓度总体均数不等
或不全相等，各 i 不等或不全相等
称为均方差，简称均方(mean square，MS)。组
间均方和组内均方的计算公式为:
MS组间
SS组间
组间
MS组内
SS组内
组内
均方之比＝F value
如果各组样本的总体均数相等（H0： 1 2 … k ），
即各处理组的样本来自相同总体，无处理因素的作用，则组 间变异同组内变异一样，只反映随机误差作用的大小。组间
372.592 6
229.172 191.002
484.77.3224
7
7
5515.3665
SS组内 SS 总 - SS 组间 8445.7876 5515.3665
2930.4211
计算步骤
总 n－1 26－1 25 组间 k 1 4 1 3
形形状，因此 F 分布可用 F (1, 2 ) 表示。以 F 为横轴， f (F) 为纵轴可绘制 F 分布的图形。
变异分解
单因素方差分析是把总变异的离均差平方 和与自由度分别分解成组间和组内 2 部分， 各部分的离均差平方和相互之间有以下关系
SS总 SS组间 SS组内
总 组间 组内
单因素方差分析的计算公式
变异来源
SS
MS
F
总变异
1122.68( x )
26( n )
43.18( x ) 56923.11( x 2 )
计算步骤
1．建立检验假设，确定检验水准
H0 :4 组家兔的血清 ACE 浓度总体均数相等， 1 2 3 4
H1 :4 组家兔的血清 ACE 浓度总体均数不等
或不全相等，各 i 不等或不全相等
称为均方差，简称均方(mean square，MS)。组
间均方和组内均方的计算公式为:
MS组间
SS组间
组间
MS组内
SS组内
组内
均方之比＝F value
如果各组样本的总体均数相等（H0： 1 2 … k ），
即各处理组的样本来自相同总体，无处理因素的作用，则组 间变异同组内变异一样，只反映随机误差作用的大小。组间
372.592 6
229.172 191.002
484.77.3224
7
7
5515.3665
SS组内 SS 总 - SS 组间 8445.7876 5515.3665
2930.4211
计算步骤
总 n－1 26－1 25 组间 k 1 4 1 3
形形状，因此 F 分布可用 F (1, 2 ) 表示。以 F 为横轴， f (F) 为纵轴可绘制 F 分布的图形。
湖南大学-应用统计学 第五章 方差分析
各yij间总的差异大小可用总偏差平方和 rm
ST
( yij y )2
i1 j 1
表示，其自由度为fT=n1；
仅由随机误差引起的数据间的差异可以用
rm组内偏差平方和来自Se ( yij
2
yi. )
表示，
i1 j 1
也称为误差偏差平方和，其自由度为 fe=nr ；
如今要对因子平方和 SA 与误差平方和 Se 之间进
行比较，用其均方和 MSA= SA /fA ， MSe= Se /fe 进
行比较更为合理，故可用 F MSA SA / fA 作为
检验H0的统计量。
MSe Se / fe
25 June 2019
湖南大学
第五章 方差分析
第22页
定理2 在单因子方差分析模型 (3) 及前述符号 下，有
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第五章 方差分析
第2页
例1 在饲料养鸡增肥的研究中，某研究所提 出三种饲料配方：A1是以鱼粉为主的饲料， A2是以槐树粉为主的饲料，A3是以苜蓿粉 为主的饲料。为比较三种饲料的效果，特
选 24 只相似的雏鸡随机均分为三组，每 组各喂一种饲料，60天后观察它们的重量。 试验结果如下表所示：
25 June 2019
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第五章 方差分析
第25页
常用的各偏差平方和的计算公式如下：
ST
r i 1
m j 1
yi2j
T2 n
SA
1 m
r i 1
Ti 2
T2 n
Se ST SA
（10）
一般可将计算过程列表进行。
25 June 2019
方差分析
X i ~ N (i , 2 ), i 1,2,3,4
假设从总体中抽取容量为 n i 的样本： X i 1 , X i 2 ,..., X in , i 1,2,3,4
i
• 假设4个样本相互独立，则 X ij相互独立， 这里 4
n ni
i 1
• 提出假设：
H0 : 1 2 3 4
原假设等价于
H0 : 1 2 ... r 0
5.4
5.1.3. 统计分析
（一）假设检验 • 构造（5.4）的统计量。 n 1 记 X X ,
i
ni
j 1 ni j 1
i
ij
1 2 Si ni
(X
ij
Xi ) ,
2
i 1,2,...,r
分别为第i个总体的样本均值和方差。
——单因素方差分析数学模型
• 假设
H 0 : 1 2 ... r
• 引入记号： n ni（总次数）
i 1 r
1 r ni i n i 1
（理论总均值）
i i
（因素对指标的效应）
•
i 之间的差异等价于 i 之间的差异，
且
n
Tests of Between-Subjects Effects Dep endent Variable: 杀 虫率 Source Corrected Model Intercept 农药 Error Total Corrected Total Type III Sum of Squares 3794.500a 95340.115 3794.500 178.000 118693.000 3972.500 df 5 1 5 12 18 17 Mean Square 758.900 95340.115 758.900 14.833 F 51.162 6427.424 51.162 Sig . .000 .000 .000
假设从总体中抽取容量为 n i 的样本： X i 1 , X i 2 ,..., X in , i 1,2,3,4
i
• 假设4个样本相互独立，则 X ij相互独立， 这里 4
n ni
i 1
• 提出假设：
H0 : 1 2 3 4
原假设等价于
H0 : 1 2 ... r 0
5.4
5.1.3. 统计分析
（一）假设检验 • 构造（5.4）的统计量。 n 1 记 X X ,
i
ni
j 1 ni j 1
i
ij
1 2 Si ni
(X
ij
Xi ) ,
2
i 1,2,...,r
分别为第i个总体的样本均值和方差。
——单因素方差分析数学模型
• 假设
H 0 : 1 2 ... r
• 引入记号： n ni（总次数）
i 1 r
1 r ni i n i 1
（理论总均值）
i i
（因素对指标的效应）
•
i 之间的差异等价于 i 之间的差异，
且
n
Tests of Between-Subjects Effects Dep endent Variable: 杀 虫率 Source Corrected Model Intercept 农药 Error Total Corrected Total Type III Sum of Squares 3794.500a 95340.115 3794.500 178.000 118693.000 3972.500 df 5 1 5 12 18 17 Mean Square 758.900 95340.115 758.900 14.833 F 51.162 6427.424 51.162 Sig . .000 .000 .000
第5章 方差分析
F检验
若实际计算的F值大于 F 0 . 0 5 ( d f , d f ) ，则 F 值在 α=0.05的水平上显著，我们以95% 的可靠性推断 2 2 St代表的处理间方差大于Se 代表的处理内方差。
1 2
这种用F值出现概率的大小推断两个总体方差 是否相等的方法称为 F检验。
F检验时，是将由试验资料所算得的F值与根 ,F 据df1=dft 和df2=dfe查表所得的临界F值F 相比较作出统计推断的。
1 1
k
n
x ) n (x i x )
2 2 1
k
(x
1 1
k
n
xi )
2
上式可简写成：SST=SSt+SSe 分别表示总 平方和，处理间平方和，处理内平方和。 即：总平方和=处理间平方和+处理内平
方和。
C=T2/kn：
SST
x C
2
1 2 SS t Ti C n SS e SS T SS t
P ( F F ) 1 F ( F )
F
f (F )d F
F表列出的是不同df1和df2下， P(F≥Fα)=0.05和P(F≥Fα)=0.01时的F值， 即右尾概率α=0.05和α=0.01时的临界F 值，一般记作F0.05(df1,df2), F0.01(df1,df2) 。
所以 d f T d f t d f e 综合以上各式得：
df T kn 1 df t k 1 df e df T df t
均方差，均方(mean square，MS)
变异程度除与离均差平方和的大小有关外， 还与其自由度有关，由于各部分自由度不相等， 因此各部分离均差平方和不能直接比较，须将 各部分离均差平方和除以相应自由度，其比值 称为均方差，简称均方 (mean square ， MS )。组 间均方和组内均方的计算公式为 :
田间统计第5章_方差分析(第1节)
在计算处理内平方和时，kn个离均差
( xij xi ) 要受k个条件的约束，即
(x
j 1
n
ij
xi ) 0 （i=1,2,…,k）
故处理内自由度为资料中观测值的总个数
减 k ，即 kn - k 。 处理内自由度记为 dfe
dfe=kn-k=k(n-1)
因为
nk 1 (k 1) (nk k ) (k 1) k (n 1)
F 分布密度曲线是随自由度df1、df2的
变化而变化的一簇偏态曲线，其形态随着df1、 df2的增大逐渐趋于对称，如图3-15所示。
特点：1、F分布的平均数μ F=1； 2、取值范围[0，+∞]； 3、只有一尾概率，右尾概率； 4、F分布是一组曲线系，当V1、V2都 趋近于+∞时，F分布趋于对称分布。
（二）、F检验
用 F 值出现概率的大小推断一个总
体方差是否大于另一个总体方差的方法
称为F检验(F-test)。F检验是一尾检验。
对于单因素完全随机设计试验资料的方差
分析:
无效假设H0：μ1=μ2=…=μk
备择假设HA：各μi不全相等 或 假设 H0：σt2=σe2 对 HA：σt2﹥σe2， F=MSt / MSe，也就是要判断处理间均方
j
Hale Waihona Puke LSDa t a ( dfe ) S xi x j
t ( df e ) 为在F 检验中误差项自由度下，显著水平
为α的临界t 值， S x x 为均数差数标准误， i j
S xi x j
2MS e / n
MS e 为F 检验中的误差均方，n为各处理的重复数。
当显著水平α=0.05和0.01时，从t 值表中查出
第五章方差分析
1方差分析的基本步骤：①建立假设和确定检验水准②计算检验统计量③查表确定P值和作出推断结论2两样本均数比较的t检验与完全随机化设计多个样本均数比较的方差分析之间的关系：①当比较的均数为两组时，F = t2 ，此时方差分析与t检验所得结果是等价的。
②两样本均数比较的t检验只能用于两个样本，而完全随机化设计多个样本均数比较的方差分析还可以用于多个样本。
配对设计的t检验与随机区组设计的方差分析之间的关系：①当比较的均数为两组时，F = t2 ，此时方差分析与t检验所得结果是等价的。
②配对设计的t检验只能用于同一对象或者匹配的两个对象接受两种处理的情况，而随机区组设计的方差分析可以用于两种以上的处理。
③配对设计的t检验只能分析处理因素的作用，随机区组设计的方差分析除了可以分析处理因素外，还可以分析区组因素。
3ν1= 3，ν2 = 21，查表得F0.05,(3,21) = 3.07 < F，得出p<0.05，可以认为这四组结果不等或者不全相等，但并非任两组之间都有差别。
若想进一步知道任两组之间的关系，还需要进行两两比较。
4①建立假设和确定检验水准H0：四组大鼠的血清SOD活性的总体均数相等，即μ1=μ2=μ3=μ4。
H1：四组总体均数不等或不全相等。
α=0.05②计算检验统计量F值SS总=6134.890，SS组间=3166.012，SS组内=2968.869ν组间=k-1=4-1=3，ν组内=N-k=40-4=36MS组间=1055.340，MS组内=82.469，将上述结果列成方差分析表：③确定p值，作出推断结论查表得F0.05,(3,36)=2.87,F> F0.05,(3,36),p<0.05,故拒绝H0，接受H1，差别有统计学意义，可以认为四组大鼠的血清SOD活性的总体均数不等或不全相等。
5①建立假设和确定检验水准H0：三种降糖药降糖效果的总体均数相等，即μ1=μ2=μ3。
方差分析ppt课件
推断控制变量是否给观测变量带来了显 著影响。
在观测变量总离差平方和中，如果组
间离差平方和所占比例较大，则说明观 测变量的变动主要是由控制变量引起的， 可以由控制变量来解释，控制变量给观 测变量带来了显著影响；反之，如果组 间离差平方和所占比例小，则说明观测 变量的变动不是主要由控制变量引起的， 不可以主要由控制变量来解释，控制变 量的不同水平没有给观测变量带来显著 影响，观测变量值的变动是由随机变量 因素引起的。
不同饲料对牲畜体重增长的效果等， 都可以使用方差分析方法去解决。
方差或叫均方，是标准差的平方，是
表示变异的量。在一个多处理试验中， 可以得到一系列不同的观测值。造成观 测值不同的原因是多方面的，有的是处 理不同引起的，叫处理效应或条件变异， 有的是试验过程中偶然性因素的干扰和 测量误差所致，称为实验误差。
dfT nk 1 20 1 19
dft k 1 5 1 4
dfe 5(4 1) 15
st 2
SSt dft
103.94 3
34.65
se2
SSe dfe
109.36 12
9.11
进行F检验：
F st2 34.65 50.15 se2 9.11
F0.05(4,15) 3.06, F0.01(4,15) 4.89, F
x1 x2
ts x1 x2
x1 x2
LSD0.05 t s 0.05 x1x2
LSD0.01
t0.01
s x1 x2
若
x1
x 2 ＞t0.05
s x1
x2
或
x1
ห้องสมุดไป่ตู้
x2
＞
t0.01
s x1 x2
在观测变量总离差平方和中，如果组
间离差平方和所占比例较大，则说明观 测变量的变动主要是由控制变量引起的， 可以由控制变量来解释，控制变量给观 测变量带来了显著影响；反之，如果组 间离差平方和所占比例小，则说明观测 变量的变动不是主要由控制变量引起的， 不可以主要由控制变量来解释，控制变 量的不同水平没有给观测变量带来显著 影响，观测变量值的变动是由随机变量 因素引起的。
不同饲料对牲畜体重增长的效果等， 都可以使用方差分析方法去解决。
方差或叫均方，是标准差的平方，是
表示变异的量。在一个多处理试验中， 可以得到一系列不同的观测值。造成观 测值不同的原因是多方面的，有的是处 理不同引起的，叫处理效应或条件变异， 有的是试验过程中偶然性因素的干扰和 测量误差所致，称为实验误差。
dfT nk 1 20 1 19
dft k 1 5 1 4
dfe 5(4 1) 15
st 2
SSt dft
103.94 3
34.65
se2
SSe dfe
109.36 12
9.11
进行F检验：
F st2 34.65 50.15 se2 9.11
F0.05(4,15) 3.06, F0.01(4,15) 4.89, F
x1 x2
ts x1 x2
x1 x2
LSD0.05 t s 0.05 x1x2
LSD0.01
t0.01
s x1 x2
若
x1
x 2 ＞t0.05
s x1
x2
或
x1
ห้องสมุดไป่ตู้
x2
＞
t0.01
s x1 x2
第五章SPSS方差分析课件
TARGET DEVICE
1
1
2
1
3
1
4
1
1
2
2
2
3
2
4
2
1
3
2
3
3
3
4
3
…………
LIGHT SCORE 12 19 1 10 18 11 19 1 10 1 11 15 15 17 12
数据准备：一个分析变量SCORE ，三个因素 变量TARGET, DEVICE , LIGHT 。
数据文件：spssjiaoan\例题数据\多维交互效 应方差分析
误差Error），还有很多选项相应的结果。
结果解释：两种药物A和B均对治疗缺铁性贫 血有显著疗效，两种药物A和B的协同作用也 很显著。
输出文件：spssjiaoan\例题数据\ 2×2析因实验
方差分析
5.1.4拉丁方区组设计的方差分析 拉丁方实验设计的特点:有两个以上因素变量,
每个因素变量的水平数相等。
分析过程：
Analyze->General Linear Model-> Univariate
Dependent：Score Fixed Factors： Target、 Device、 Light Model：保留全模型选项（不对Model操作） 选择输出Option选项：选Target*Device* Light进
Dependent：redcell Fixed Factors：drugA、drugB 保留全模型选项（不对Model操作） 选择Plot选项： 作三个图drugA、drugB、
drugA*drugB 选择输出Option选项：选 drugA、drugB、
第5章 方差分析的原理与步骤(田间试验与统计分析 四川农业大学)
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田间试验与统计分析
Field Experiment and Statistical Analysis
计算各变异来源的平方和与自由度
Copyright © 2019
Sichuan Agricultural University Producer: Dr. Liu Yongjian
SST
k i 1
n j 1
xi2j
x2 nk
平方和：SSt
1 n
k i 1
xi2
x2 nk
SSe SST SSt
自由度：ddffTt
nk k
1
1
dfe dfT dft
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i1 j 1
i1 j 1
kn
[(xi x )2 2(xi x )(xij xi ) (xij xi )2 ]
i1 j 1
k
k
n
kn
n (xi x )2 2 (xi x ) (xij xi )
处理
A1(氨水1)
24 30 28 26
108
27.0
A2(氨水2)
27 24 21 26
98
24.5
A3(碳酸氢铵)
31 28 25 30
114
28.5
A4(尿素)
32 33 33 28
126
31.5
A5(不施) 合计
第5章 方差分析
x1
x2
xi
K xk
1 xi = ni
∑x
j =1
ni
ij
1 总均数 x = N
1 ∑∑ xij = N i j
∑n x
i =1
k
i i
总离差平方和： 总离差平方和：即所有样本值与其总均数偏差的平方和
SS = ∑∑ ( xij − x ) = ∑∑ ( xij − xi ) + ( xi − x )
有六种不同的中药杀虫剂,为了分析它们的杀虫效果, 例2 有六种不同的中药杀虫剂,为了分析它们的杀虫效果,对其 杀虫率做了如下试验, 杀虫率做了如下试验,推断这六种杀虫剂的效果差异是否有显 著意义. 著意义. 药物
杀 虫 率 一 87.4 85.0 80.2 二 90.5 88.5 87.3 94.7 361.0 三 56.2 62.4 四 55.0 48.2 五 92.0 99.2 95.3 91.5 378.0 六 75.2 72.3 81.3
∑n (x − x)
i =1 i i
2
它表示系统误差， 它表示系统误差，即各组均数对总均数的离差平方和 结论：总离差平方和=组内离差平方和+ 结论：总离差平方和=组内离差平方和+组间离差平方和
根据:自由度=统计量中独立变量的个数根据:自由度=统计量中独立变量的个数-约束条件个数
SSe中
∑( x
j =1
− xi ) + ∑ ni ( xi − x )
2 k i =1
2
从上式可看出，SS可分解成两项之和 从上式可看出，SS可分解成两项之和 组内离差平方和： 组内离差平方和： =1 j =1
k
ij
− xi
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田间试验与统计分析
Field Experiment and Statistical Analysis
方差分析的线性数学模型
• 方差分析的数学模型就是指试验资料的数
田间试验与统计分析
Field Experiment and Statistical Analysis
总变异：dfT nk 1
nk 1 (k 1) (nk k ) (k 1) k (n 1)
dfT df t df e
df t k 1, df e k (n 1)
因为 MSe 是σ2 的无偏估计量， MSt
是
n
2
2 的无偏估计量，所以
为2
MSe的数学期望（mathematical
2 expectation）， n 2 为MSt的数学
期望。又因为它们是均方的期望值
（expected value），故又称期望均方，
简记为EMS（expected mean squares）。
田间试验与统计分析
Field Experiment and Statistical Analysis
第一节
方差分析的基本原理与步骤
一、线性模型与基本假定 二、自由度与平方和的分解 三、F检验 四、多重比较 五、单一自由度的正交比较*
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田间试验与统计分析
Field Experiment and Statistical Analysis
• 其中SSi、dfi（i=1,2,…ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱk）分别表示由试验
资料中第i个 处理的n个观测值算得的平方 和与自由度。这就是说，处理内均方MSe是 误差方差的无偏估计量。
i
）间的差异，二是本身的
所计算的处理间均方MSt实际上是 的无偏估计量。
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n
n
2
2
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田间试验与统计分析
Field Experiment and Statistical Analysis
n
k
n
( xij x ) [( xi x ) ( xij xi )]2
2 i 1 j 1 i 1 j 1
k
n
k
[( xi x ) 2 2( xi x )( xij xi ) ( xij xi ) 2 ]
Field Experiment and Statistical Analysis
2 • 显然，各 S 的合并方差 S（以各处理内 e 的自由度n-1为权的加权平均数）也是σ2的 无偏估计量，且估计的精确度更高。很容 2 易推证处理内均方MSe就是各 S的合并。 i
2 i
SSe MSe df e
i 1 j 1 k
k
n
n ( xi x ) 2 ( xi x ) ( xij xi ) ( xij xi ) 2
2 i 1 k i 1 j 1 i 1 j 1
k
n
k
n
n ( xi x ) ( xij xi ) 2
田间试验与统计分析
Field Experiment and Statistical Analysis
一、线性模型与基本假定 • 假设某单因素试验有k个处理，n次重 复，完全随机设计，则共有nk个观察 值，其数据结构和符号如表5.1。
• 每个观察值可用如下数学模型表示：
xij i ij
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田间试验与统计分析
Field Experiment and Statistical Analysis
自由度和平方和的简便计算公式
2 k n x 2 SST xij nk i 1 j 1 2 1 k 2 x 平方和：SS t xi n i 1 nk SS SS SS T t e
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田间试验与统计分析
Field Experiment and Statistical Analysis
• 试验中各处理所属总体的本质差异体现在处
理效应
i
的差异上。我们把
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田间试验与统计分析
Field Experiment and Statistical Analysis
•
（i=1,2,…,k）表示第i个处理观测值
2 i
总体的方差。如果所分析的资料满足这 个方差同质性的要求，那么各处理的样 本方差 S , S ,, S
2 1 2 2 2 k
田间试验与统计分析
Field Experiment and Statistical Analysis
三、F检验
• 方差分析的一个基本假定是要求各处理观
测值总体的方差相等，即
2 1 2 2 2 k
2
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xij x .. ( xi . x ..) ( xij xi .) x .. ti eij
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四川农业大学生物统计课程组 Sichuan Agricultural University
Dr. 刘永建 All Rights Reserved
田间试验与统计分析
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Field Experiment and Statistical Analysis
2 当处理效应的方差 =0，亦即各处理
观测值总体平均数μ i（i=1，2，…,k）相等时， 处理间均方MSt与处理内均方一样，也是误差
ai2 k 1
( i ) 2 k 1
称为效应方差，它也反映了各处理观测值总体 平均数的变异程度，记为 。
2
k 1
2 a 2 i
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方差σ2的估计值。
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田间试验与统计分析
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方差分析就是通过MSt 与MSe的比较来推 2 断 是否为零即 i 是否相等。统计学已证 2 明，在 =0的条件下，服从自由度df1=k-1 与df2=k（n-1）的F分布。即
dfT nk 1 自由度：df t k 1 df df df T t e
SSt SS e SST MST , MS t , MS e dfT df t df e
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x ij i ij
•
x ij 表示为总平均数μ、处理效应α 、试验
误差εij 之和。由εij相互独立且服从正态分布 N（0，σ2），可知各处理Ai(i=1，2，…，k) 所属总体亦应具正态性，即服从正态分布 N(μi,σ2)。尽管各总体的均数可以不等或相 等，σ2则必须是相等的。
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田间试验与统计分析
Field Experiment and Statistical Analysis
• 这是因为处理观测值的均数间的差异实际上
包含了两方面的内容：一是各处理本质上的
差异即 i（或
(xi x)2 抽样误差。统计学上已经证明， 2 k 1 2 是 的无偏估计量。因而，我们前面
据结构或者说是每个观察值的线性组成部 分，它是进行方差分析的基础。
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田间试验与统计分析
Field Experiment and Statistical Analysis
Field Experiment and Statistical Analysis
• 所以，单因素试验的数学模型可归纳为： 效应的可加性（additivity）、分布的正 态性（normality）、方差的同质性 （homogeneity）。 • 这也是进行其它类型方差分析的前提或 基本假定。
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(xij xi )2 k (n 1)
SS1 SS2 SSk k (n 1) df1 df 2 df k
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方差分析的线性数学模型
• 方差分析的数学模型就是指试验资料的数
田间试验与统计分析
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总变异：dfT nk 1
nk 1 (k 1) (nk k ) (k 1) k (n 1)
dfT df t df e
df t k 1, df e k (n 1)
因为 MSe 是σ2 的无偏估计量， MSt
是
n
2
2 的无偏估计量，所以
为2
MSe的数学期望（mathematical
2 expectation）， n 2 为MSt的数学
期望。又因为它们是均方的期望值
（expected value），故又称期望均方，
简记为EMS（expected mean squares）。
田间试验与统计分析
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第一节
方差分析的基本原理与步骤
一、线性模型与基本假定 二、自由度与平方和的分解 三、F检验 四、多重比较 五、单一自由度的正交比较*
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• 其中SSi、dfi（i=1,2,…ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱk）分别表示由试验
资料中第i个 处理的n个观测值算得的平方 和与自由度。这就是说，处理内均方MSe是 误差方差的无偏估计量。
i
）间的差异，二是本身的
所计算的处理间均方MSt实际上是 的无偏估计量。
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n
n
2
2
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n
k
n
( xij x ) [( xi x ) ( xij xi )]2
2 i 1 j 1 i 1 j 1
k
n
k
[( xi x ) 2 2( xi x )( xij xi ) ( xij xi ) 2 ]
Field Experiment and Statistical Analysis
2 • 显然，各 S 的合并方差 S（以各处理内 e 的自由度n-1为权的加权平均数）也是σ2的 无偏估计量，且估计的精确度更高。很容 2 易推证处理内均方MSe就是各 S的合并。 i
2 i
SSe MSe df e
i 1 j 1 k
k
n
n ( xi x ) 2 ( xi x ) ( xij xi ) ( xij xi ) 2
2 i 1 k i 1 j 1 i 1 j 1
k
n
k
n
n ( xi x ) ( xij xi ) 2
田间试验与统计分析
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一、线性模型与基本假定 • 假设某单因素试验有k个处理，n次重 复，完全随机设计，则共有nk个观察 值，其数据结构和符号如表5.1。
• 每个观察值可用如下数学模型表示：
xij i ij
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自由度和平方和的简便计算公式
2 k n x 2 SST xij nk i 1 j 1 2 1 k 2 x 平方和：SS t xi n i 1 nk SS SS SS T t e
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• 试验中各处理所属总体的本质差异体现在处
理效应
i
的差异上。我们把
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•
（i=1,2,…,k）表示第i个处理观测值
2 i
总体的方差。如果所分析的资料满足这 个方差同质性的要求，那么各处理的样 本方差 S , S ,, S
2 1 2 2 2 k
田间试验与统计分析
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三、F检验
• 方差分析的一个基本假定是要求各处理观
测值总体的方差相等，即
2 1 2 2 2 k
2
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2 当处理效应的方差 =0，亦即各处理
观测值总体平均数μ i（i=1，2，…,k）相等时， 处理间均方MSt与处理内均方一样，也是误差
ai2 k 1
( i ) 2 k 1
称为效应方差，它也反映了各处理观测值总体 平均数的变异程度，记为 。
2
k 1
2 a 2 i
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方差分析就是通过MSt 与MSe的比较来推 2 断 是否为零即 i 是否相等。统计学已证 2 明，在 =0的条件下，服从自由度df1=k-1 与df2=k（n-1）的F分布。即
dfT nk 1 自由度：df t k 1 df df df T t e
SSt SS e SST MST , MS t , MS e dfT df t df e
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x ij i ij
•
x ij 表示为总平均数μ、处理效应α 、试验
误差εij 之和。由εij相互独立且服从正态分布 N（0，σ2），可知各处理Ai(i=1，2，…，k) 所属总体亦应具正态性，即服从正态分布 N(μi,σ2)。尽管各总体的均数可以不等或相 等，σ2则必须是相等的。
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• 这是因为处理观测值的均数间的差异实际上
包含了两方面的内容：一是各处理本质上的
差异即 i（或
(xi x)2 抽样误差。统计学上已经证明， 2 k 1 2 是 的无偏估计量。因而，我们前面
据结构或者说是每个观察值的线性组成部 分，它是进行方差分析的基础。
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• 所以，单因素试验的数学模型可归纳为： 效应的可加性（additivity）、分布的正 态性（normality）、方差的同质性 （homogeneity）。 • 这也是进行其它类型方差分析的前提或 基本假定。
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SS1 SS2 SSk k (n 1) df1 df 2 df k