初中数学湘教版八年级下册4.1函数和它的表示法

变量与函数教学目标知识与技能：借助简单实例，学生初步感知用常量与变量来刻画一些简单的数学问题，能指出具体问题中的常量、变量．初步理解存在一类变量可以用函数方式来刻画，能举出涉及两个变量的实例，并指出由哪一个变量确定另一个变量，这两个变量是否具有函数关系。

初步理解对应的思想，体会函数概念的核心是两个变量之间的特殊对应关系，能判断两个变量间是否具有函数关系。

过程与方法：借助简单实例，引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,体会从生活实例抽象出数学知识的方法，感知现实世界中变量之间联系的复杂性，数学研究从最简单的情形入手，化繁为简。

情感态度与价值观：从学生熟悉、感兴趣的实例引入课题，引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,体验“发现、创造”数学知识的乐趣。

学生初步感知实际生活蕴藏着丰富的数学知识，感知数学是有用、有趣的学科。

教学重难点重点:借助简单实例，从两个变量间的特殊对应关系抽象出函数的概念难点:怎样理解“唯一对应”教学过程一、创设情境、导入新课我们生活在一个运动的世界中，周围的事物都是运动的，例如：地球在宇宙中的运动这一问题，此时地球在宇宙中的位置随着时间的变化而变化，这是生活中的常识，学生都很容易理解。

再例如，气温随着高度的升高而降低，年龄随着时间的增长而增长。

这几个问题中都涉及两个量的关系，地球的位置与时间，温度与高度，年龄与时间。

二、合作交流、解读探究1、气温问题：上图是北京春季某一天的气温Ｔ随时间t变化的图象，看图回答：（1）这天的8时的气温是℃，14时的气温是℃，最高气温是℃，最低气温是℃；（2）这一天中，在4时~12时，气温（），在16时~24时，气温（）。

A.持续升高B.持续降低C.持续不变思考：（1）天气温度随的变化而变化，即T随的变化而变化；（2）当时间t取定一个确定的值时，对应的温度T的取值是否唯一确定？2、当正方形的边长x分别取1、2、3、4、5、6、7……时，正方形的面积S分别是多少？3、某城市居民用的天然气，1m3收费2.88元，使用x（m3）天然气应缴纳费用y=2.88x ,当x=10时，缴纳的费用为多少？思考：上述三个问题中，分别涉及哪些量的关系？那些量是变化的？那些量是不变的？哪个量的变化导致另一个量的变化而变化？在一个问题中，当一个量取了确定的值之后，另一个量对应的能取几个值？在上面的三个问题中，其中一个量的变化引起另一个量的变化（按照某种规律变化），变化的量叫做变量；有些量的值始终不变（例如正方形的面积……）．并且当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就随之确定，且它的对应值只有一个。

教师根据学生的回答，在黑板上板书：时间－－－－气温正方形边长－－－－正方形面积天然气费用－－－－－－－－天然气体积学生们会得出：⎪⎩⎪⎨⎧只有一个值与之对应取一个确定值的时候，当的变化而变化随着都是变量都有两个变量y x x y y x ,师生对上述三个问题进行分析，找出它们的共性，归纳出函数的概念。

在某一变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 总有唯一的值与它对应，我们就说x 是自变量，y 是x 的函数。

三、应用迁移、巩固提高例1 已知圆柱的高是4cm ，底面半径是rcm ，当圆柱的底面半径r 由小变大时，圆柱的体积Vcm 3是r 的函数。

（1）用含r 的代数式来表示圆柱的体积V ，指出自变量r 的取值范围；（2）当r=5,10时，V 是多少（结果保留π）？（1）r 的变化会引起圆柱中哪些量发生变化？这些变量是高r 的函数吗？（2）试求体积V 随r 变化的关系式，并指出其中的常量、变量与自变量。

课堂练习1.请同学们找出这些函数的常量、变量、自变量和函数：(1) y =3000-300x ；(2) y=x ；(3) S= 2r •π；解：(1)常量是3000，－300；变量是x ，y ；自变量是x ；y 是x 的函数。

(2)常量是1；变量是x ，y ；自变量是x ；y 是x 的函数。

(3)常量是π；变量是r ，s ；自变量是r ；s 是r 的函数。

2.根据所给的条件，写出y 与x 的函数关系式：① y 比 x 的1/3 少2。

② y 是 x 的倒数的4倍。

③ 矩形的周长是18 cm ,它的长是ycm ，宽是x cm 。

④ 等腰三角形的顶角度数y 与底角x 的关系。

练习 教材P112页 练习1、2题四、全课小结1．这一节课你有什么收获？还有什么疑问？你可以编一道题考一考同学，也可以向同学请教。

2．函数是一种“数”吗？五、作业：教材 P116页 A 组 1题课后反思：函数的表示法教学目标知识与技能：1、了解函数的三种表示法：(1)解析法(2)列表法(3)图象法;2、进一步理解函数值的概念;3、会在简单情况下，根据函数的表示式求函数的值。

过程与方法：1. 经历回顾思考，训练提高归纳总结能力。

2. 利用数形结合思想，根据具体情况选用适当方法解决问题的能力。

情感态度与价值观：积极参与活动，提高学习兴趣。

教学重难点重点: 认清函数的不同表示方法，知道各自的优缺点，能按具体情况选用适当的方法。

难点: 函数表示方法的应用教学过程一、创设情境问题1 小明的哥哥是一名大学生，他利用暑假去一家公司打工，报酬按16元／时计算．设小明的哥哥这个月工作的时间为t 时，应得报酬为m 元，填写下表后回答下列问题：（1）在上述问题中，哪些是常量？哪些是变量？（常量16，变量t 、m ） （2）能用t 的代数式来表示m 的值吗？（能，m =16t ）教师指出：在这个变化过程中，有两个变量t ，m ，对t 的每一个确定的值，m 都有唯一确定的值与它对应．问题 2 跳远运动员按一定的起跳姿势，其跳远的距离s (米)与助跑的速度v (米／秒)有关．根据经验，跳远的距离2085.0v s =(0<v <10.5) 然后回答下列问题：（1）在上述问题中，哪些是常量？哪些是变量？（常量0.085，变量v 、s ） (2)计算当v 分别为7.5，8，8.5时，相应的跳远距离s 是多少(结果保留3个有效数字)? (3)给定一个v 的值，你能求出相应的s 的值吗?教师指出：在这个变化过程中，有两个变量v ，s ，对v 的每一个确定的值，s 都有唯一确定的值与它对应．二、探究新知：函数的表示法：①解析法：问题1、2中，m =16t 和2085.0v s =这两个函数用等式来表示，这种表示函数关系的等式，叫作函数解析式，简称函数式．用函数解析式表示函数的方法也叫解析法．②列表法：有时把自变量x 的一系列值和函数y 的对应值列成一个表．这种表示函数关系的方法是列表法．（如表教材P110页动脑筋问题2表示的是正方形面积与边长的函数关系） ③图象法: 我们还可以用法来表示函数，例如图中的图象就表示骑车时热量消耗W (焦)与身体质量x (千克)之间的函数关系．解析法、图象法和列表法是函数的三种常用的表示方法． 教师指出：（1）解析法、列表法、图象法是表示函数的三种方法，都很重要，不能有所偏颇．尤其是列表法、图象法在今后代数、统计领域的学习中经常用到，教学中应引起学生的重视．工作时间t （时）1 5 10 15 20 …… 报酬m （元）（2）对于列表法，图象法，如何表示两个变量之间的函数关系，学生可能不太容易理解，教学中可以用课本表7-2和图7-1来具体说明它们表示两个变量之间的函数关系的方法．（3）函数值概念：与自变量对应的值叫做函数值，它与自变量的取值有关，通常函数值随着自变量的变化而变化．若函数用解析法表示，只需把自变量的值代人函数式，就能得到相应的函数值．例如函数m=16t，当t=5时，把它代入函数解析式，得m=16×5=80(元)．m=80叫做当自变量t=5时的函数值．由于函数值的概念是由函数的概念派生出来，用列表法、图象法表示函数时同样存在函数值的概念，教学中也可以增加一些具体例子，来加深学生的印象．若函数用列表法表示．我们可以通过查表得到．例如正方形面积与边长的函数关系中，当x=2时，函数值S=4；当x=6时，函数值S=36．若函数用图象法表示．例如骑车时热量消耗W(焦)与身体质量x(千克)之间的函数关系中，对给定的自变量的值，怎样求它的函数值呢？如x=50，我们只要作一直线垂直于x轴，且垂足为点(50，0)，这条直线与图象的交点P(50，399)的纵坐标就是就是当函数值x=50时的函数值，即W=399(焦)．学生看书P113—114页自学动脑筋和例2内容并完成P115页练习。

三、应用迁移、巩固提高例1 等腰△ABC的周长为20，底边BC长为y，腰AB长为x，求：（1）y关于x的函数解析式；（2）当腰长AB=7时，底边的长；（3）当x=11和x=4时，函数值是多少？答案：（1）y=20-2x；（2）腰长AB=7，即x=7时，y=6，所以底边长为6；（3）当x=11和x=4时，函数值不再有意义．说明（1）第1问中的函数解析式不能写成20+xy的形式，一定要把y写成x的代数式，2=（2）实际问题中，自变量的取值范围往往受到条件的限制，本题的自变量的取值范围是5<x<10,具体的求法本节课不作介绍，放到下一节课中去完成，当x=11和x=4时，尽管可求出它对应的值，但自变量x的值都不在相应的取值范围内，因此当x=11和x=4时，函数值不再有意义．例2 某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示:月用水量x(度) 0<x≤12 12<x≤18 x>18收费标准y2.00 2.503.00（元/度）（2）分别求当x=10,16,20时的函数值，并说明它的实际意义．答案：（1）是，根据函数的概念，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值；（2）当x=10时，y=2×10=20（元）．月用水量10度需交水费20（元）；当x=16时，y=2×12+4×2.50=34（元）．月用水量16度需交水费34（元）；当x=20时，y=2×12+6×2.50+2×3=45（元）．月用水量45度需交水费45（元）．说明本例安排的目的两个：①是让学生进一步巩固函数的概念；②让学生体会当函数用列表法给出时函数值的求法．本例教学时教师应向学生解释“收费实行阶梯水价”的含义，即月用水量不超过12度时每度2元，超过12度不超过18度时每度2.5元，超过18度时每度3元，如月用水量为38度时，应交水费y =2×12+6×2.5+3×20=99（元）．例3 下图是小明放学回家的折线图，其中t表示时间，s表示离开学校的路程．请根据图象回答下面的问题：(1)这个折线图反映了哪两个变量之间的关系？路程s可以看成t的函数吗？(2)求当t=5分时的函数值？(3)当 10≤t≤15时对应的函数值是多少并说明它的实际意义？(4)学校离家有多远？小明放学骑自行车回家共用了几分钟？答案：（1）折线图反映了s、t两个变量之间的关系，路程s可以看成t的函数；（2）当t=5分时函数值为1km；（3）当 10≤t≤15时，对应的函数值是始终为2，它的实际意义是小明回家途中停留了5分钟；（4）学校离家有3.5km，放学骑自行车回家共用了20分钟．四、全课小结：1、我们认识了函数的三种不同的表示方法：(1)解析法(2)列表法(3)图象法。