数学人教版九年级上册解方程.1

第二十一章 一元二次方程

21．1 一元二次方程

※教学目标※ 【知识与技能】

1.掌握一元二次方程的一般形式以及三种特殊形式，能将一个一元二次方程化为一般形式.

2.理解二次根式的根的概念，会判断一个数是否是一个一元二次方程的根. 【过程与方法】

1.通过根据实际问题列方程，向学生渗透知识来源于生活.

2.通过观察，思考，交流，获得一元二次方程的概念及其一般形式和其他三种特殊形式.

3.经历观察，归纳一元二次方程的概念，一元二次方程的根的概念. 【情感态度】

通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情． 【教学重点】

一元二次方程的概念，一般形式和一元二次方程的根的概念． 【教学难点】

通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，•再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念． ※教学过程※ 一、情境导入

（课件展示问题）雷锋纪念馆前的雷锋雕像高为2m ，设计者当初设计它的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，即下部高度的平方等于上部与全部的积，如果设此雕像的下部高为x m ，则其上部高为(2-x )m ，由此可得到的等量关系如何？它是关于x 的方程吗？如果是，你能看出它和我们以往学过的方程有什么不同吗?

二、探索新知

由上述问题，我们可以得到()222x x =-，即2240x x +-=.显然这个方程只含有一个未知数，且x 的最高次数为2，这类方程在现实生活中有广泛的应用.

探究问题1 如图，有一块矩形铁皮，长100cm ，宽50cm ，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四角突出部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm 2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？

教师设置如下问题学生讨论：

如果设四角折起的正方形的边长为x cm ，则制成的无盖方盒的底面长为多少？宽为多少？由底面积为3600m 2可得到的方程又是怎样的？

讨论结果：设切去的正方形的边长为x cm ，则盒底的长为(100-2x )cm ，

x

宽为(50-2x )cm.根据方盒的底面积为3600m 2，得(100-2x )(50-2x )=3600.整理，得

2430014000x x -+=.化简得2753500x x -+=.由次方程可以得出所切正方形的具体尺寸.

探究问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？

教师提出以下问题，引导学生思考方程的建模过程： （1）这次比赛共安排多少场？

（2）若设应邀请x 个队参赛，则每个队与其他几个队各赛一场？这样共应有多少场比赛？

（3）由此可列出的方程是什么？化简后的方程是什么？

讨论结果：全部比赛的场数为4728?.设应邀请x 个队参赛，每个队要与其他(x -1)个队各赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共()1

12

x x -场.列方程()11282x x -=.整理，得2112822x x -=.化简，得256x x -=，即

2560x x --=.

观察思考，口答下面的问题：

（1）上面的方程整理后含有几个未知数？

（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？ （3）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？ 老师点评：（1）都只含一个未知数x ；（2）它们的最高次数都是2次的；（3）都有等号，是方程．

归纳总结

像这样，等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．

一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式()200ax bx c a ++=?．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中2ax 是二次项，a 是二

次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．

想一想

二次项系数a 为什么不能为0？在指出二次项系数、一次项系数和常数项时，a 、b 、c 一定是正数吗？

探究问题3 探究问题2中可以看出，由于参赛球队的支数x 只能是正整数，由此可列下表：

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...... x 2-x -56

由上表可得，当x =8时，2560x x --=，所以x =8是方程2560x x --=的解,一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 学生思考

方程2560x x --=有一个根为x=8，它还有其他的根吗？

当x =-7时，256x x --=()497560---=，故x=-7也是方程2560x x --=的一个根. 归纳总结

使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的根.一个一元二次方程如果有实数根，则必然有两个实数根，通常记为1x a =，2x b =． 三、掌握新知

例1 求证：关于x 的方程()

22817210m m x mx -+++=，不论m 取何值，该方程都是一元二次方程．

分析：要证明不论m 取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明28170m m -+?即可．

证明：()2

281741m m m -+=-+

∵()2

40

m -?，

∴()2410m -+>，即()2

410m -+?．

∴不论m 取何值，该方程都是一元二次方程．

例2 将方程()()3152x x x -=+化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项．

分析：一元二次方程的一般形式是()200ax bx c a ++=?．因此，方程()()3152x x x -=+必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等．

解：去括号，得233510x x x -=+．

移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式238100x x --=． 其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10． 四、巩固练习

1.在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）

①2370x +=,②20?ax bx c ++=,③()()2251?x x x -+=-,④25

30x x

-=. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

2.已知方程2560x mx +-=的一个根是3x =，则m 的值为________．

3.关于x 的方程()2130a x x -+=是一元二次方程，则a 的取值范围是_________.

4.根据下列问题，列出关于x 的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式，指出其二次项系数、一次项系数和常数项.

（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x ; （2）一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x . 答案：1.A 2.-13 3.a ≠1 4.（1）24250x -=，其中二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为-25；（2）221000x x --=，其中二次项系数为1，一次项系数为12，常数项为-100. 五、归纳小结

1.本节课要掌握：（1）一元二次方程的概念；（2）一元二次方程的一般形式()200ax bx c a ++=?和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它

们的运用．

2.通过这节课的学习，你还有那些收获？ ※布置作业※

从教材习题21．1中选取.