高等代数 矩阵练习题参考答案

第四章 矩阵习题参考答案

一、 判断题

1. 对于任意n 阶矩阵A ，B ，有A B A B +=+. 错.

2. 如果20,A =则0A =. 错.如2

11,0,011A A A ⎛⎫==≠

⎪--⎝⎭

但. 3. 如果2A A E +=，则A 为可逆矩阵.

正确.2()A A E A E A E +=⇒+=，因此A 可逆，且1A A E -=+.

4. 设,A B 都是n 阶非零矩阵，且0AB =，则,A B 的秩一个等于n ，一个小于n . 错.由0AB =可得()()r A r B n +≤.若一个秩等于n ，则该矩阵可逆，另一个秩为零，与两个都是非零矩阵矛盾.只可能两个秩都小于n . 5．C B A ,,为n 阶方阵，若,AC AB = 则.C B =

错.如112132,,112132A B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫

=== ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭

，有,AC AB =但B C ≠. 6．A 为n m ⨯矩阵，若,)(s A r =则存在m 阶可逆矩阵P 及n 阶可逆矩阵Q ，使

.00

0⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛=s

I PAQ 正确.右边为矩阵A 的等价标准形，矩阵A 等价于其标准形. 7．n 阶矩阵A 可逆，则*A 也可逆.

正确.由A 可逆可得||0A ≠，又**||AA A A A E ==.因此*A 也可逆，且11

(*)||

A A A -=. 8．设

B A ,为n 阶可逆矩阵，则.**)*(A B AB = 正确.*()()||||||.AB AB AB E A B E ==又

()(**)(*)*||*||*||||AB B A A BB A A B EA B AA A B E ====.

因此()()*()(**)AB AB AB B A =.由B A ,为n 阶可逆矩阵可得AB 可逆，两边同时左乘式AB 的逆

可得.**)*(A B AB = 二、 选择题

1．设A 是n 阶对称矩阵，B 是n 阶反对称矩阵()T B B =-,则下列矩阵中为反对称矩阵的是（B ）.

(A) AB BA - (B) AB BA + (C) 2()AB (D) BAB

(A)(D)为对称矩阵，（B ）为反对称矩阵，（C ）当,A B 可交换时为对称矩阵. 2. 设A 是任意一个n 阶矩阵，那么（ A ）是对称矩阵.

(A) T A A (B) T A A - (C) 2A (D) T A A - 3．以下结论不正确的是（ C ）.

(A) 如果A 是上三角矩阵，则2A 也是上三角矩阵； (B) 如果A 是对称矩阵，则 2A 也是对称矩阵； (C) 如果A 是反对称矩阵，则2A 也是反对称矩阵； (D) 如果A 是对角阵，则2A 也是对角阵.

4．A 是m k ⨯矩阵, B 是k t ⨯矩阵, 若B 的第j 列元素全为零，则下列结论正确的是（B ） (A ) AB 的第j 行元素全等于零； (B )AB 的第j 列元素全等于零； (C ) BA 的第j 行元素全等于零； (D ) BA 的第j 列元素全等于零； 5．设,A B 为n 阶方阵，E 为n 阶单位阵，则以下命题中正确的是（D ） (A) 222()2A B A AB B +=++ (B) 22()()A B A B A B -=+- (C) 222()AB A B = (D) 22()()A E A E A E -=+- 6．下列命题正确的是（B ）. (A) 若AB AC =，则B C = (B) 若AB AC =，且0A ≠，则B C = (C) 若AB AC =，且0A ≠，则B C = (D) 若AB AC =，且0,0B C ≠≠，则B C =

7. A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，则（ B ）. (A)当m n >时，必有行列式0AB ≠； (B)当m n >时，必有行列式0AB = (C)当n m >时，必有行列式0AB ≠； (D)当n m >时，必有行列式0AB =.

AB 为m 阶方阵，当m n >时，(),(),r A n r B n ≤≤因此()r AB n m ≤<，所以0AB =.

8．以下结论正确的是（ C ）

(A)如果矩阵A 的行列式0A =,则0A =； (B)如果矩阵A 满足20A =，则0A =；

(C)n 阶数量阵与任何一个n 阶矩阵都是可交换的； (D)对任意方阵,A B ，有22()()A B A B A B -+=-

9．设1234,,,αααα是非零的四维列向量，1234(,,,),*A A αααα=为A 的伴随矩阵，已知

0Ax =的基础解系为(1,0,2,0)T ，则方程组*0A x =的基础解系为（ C ）.

（A ）123,,ααα. （B ）122331,,αααααα+++. （C ）234,,ααα. （D ）12233441,,,αααααααα++++.

由0Ax =的基础解系为(1,0,2,0)T

可得12341310(,,,)0,2020αααααα⎛⎫ ⎪ ⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭

.

因此（A ），（B ）中向量组均为线性相关的，而（D ）显然为线性相关的，因此答案为（C ）.由

可得12,,αα34,αα均为*0A x =的解.

10.设A 是n 阶矩阵，A 适合下列条件（ C ）时，n I A -必是可逆矩阵

(A) n A A = (B) A 是可逆矩阵 (C) 0n A = (B) A 主对角线上的元素全为零

11．n 阶矩阵A 是可逆矩阵的充分必要条件是（ D ）

(A)

1A = (B) 0A = (C) T A A = (D) 0A ≠

12．,,A B C 均是n 阶矩阵，下列命题正确的是（ A ）

(A) 若A 是可逆矩阵，则从AB AC =可推出BA CA = (B) 若A 是可逆矩阵，则必有AB BA = (C) 若0A ≠，则从AB AC =可推出B C = (D) 若B C ≠，则必有AB AC ≠

13．,,A B C 均是n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若ABC E =，则有（C ） (A) ACB E = （B ）BAC E = （C ）BCA E = (D) CBA E = 14．A 是n 阶方阵，*A 是其伴随矩阵，则下列结论错误的是（ D ） (A) 若A 是可逆矩阵，则*A 也是可逆矩阵； (B) 若A 是不可逆矩阵，则*A 也是不可逆矩阵； (C) 若*0A ≠，则A 是可逆矩阵； （Ｄ）*.AA A = 15．设A 是5阶方阵，且0A ≠，则*A =（ Ｄ ）

(A)

A (B) 2

A (C) 3

A (D) 4

A

16．设*A 是()ij n n A a ⨯=的伴随阵，则*A A 中位于(,)i j 的元素为（Ｂ ）

(A) 1

n

jk ki k a A =∑ (B) 1

n

kj ki k a A =∑ (C) 1

n

jk ik k a A =∑ (D) 1

n

ki kj k a A =∑

应为A 的第i 列元素的代数余子式与A 的第j 列元素对应乘积和.

17.设1111n n nn a a A a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L

L L

L L

, 1111n n nn A A B A A ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

L

L L L L

,其中ij A 是ij a 的代数余子式，则（C ）

(A)A 是B 的伴随 (B)B 是A 的伴随 (C)B 是A '的伴随 (D)以上结论都不对

18．设,A B 为方阵，分块对角阵00A C B ⎡⎤=⎢

⎥

⎣⎦

,则*

C = ( Ｃ )