初中数学八年级下册 8.构造直角三角形利用勾股定理

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人教数学八年级下册《勾股定理》典型例题分析.docx

初中数学试卷桑水出品《勾股定理》典型例题分析一、知识要点：1、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c ，那么 a2 + b2= c2。

公式的变形：a2 = c2- b2， b2= c2-a2 。

2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC的三边长分别是a，b，c，且满足a2 + b2= c2，那么三角形ABC 是直角三角形。

这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点：①已知的条件：某三角形的三条边的长度.②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角.④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。

3、勾股数满足a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。

注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。

②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。

常见勾股数有：（3，4，5）(5，12，13) (6，8，10)(7，24，25)(8，15，17)(9，12，15)4、最短距离问题：主要运用的依据是两点之间线段最短。

二、考点剖析考点一：利用勾股定理求面积1、求阴影部分面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆．2. 如图，以Rt △ABC 的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S 1、S 2、S 3，则它们之间的关系是（）A. S 1- S 2= S 3B. S 1+ S 2= S 3C. S 2+S 3< S 1D. S 2- S 3=S 14、四边形ABCD 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积。

5、在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图4所示）。

八年级数学下册《勾股定理的应用》教学设计一等奖3篇

1、八年级数学下册《勾股定理的应用》教学设计一等奖在教学工作者实际的教学活动中，时常需要准备好教学设计，教学设计是根据课程标准的要求和教学对象的特点，将教学诸要素有序安排，确定合适的教学方案的设想和计划。

那么优秀的教学设计是什么样的呢？以下是小编整理的八年级数学下册《勾股定理的应用》教学设计范文，仅供参考，希望能够帮助到大家。

一、教学任务分析勾股定理是平面几何有关度量的最基本定理，它从边的角度进一步刻画了直角三角形的特点。

学习勾股定理极其逆定理是进一步认识和理解直角三角形的需要，也是后续有关几何度量运算和代数学习的必然基础。

《数学课程标准》对勾股定理教学内容的要求是：1、在研究图形性质和运动等过程中，进一步发展空间观念；2、在多种形式的数学活动中，发展合情推理能力；3、经历从不同角度分析问题和解决问题的方法的过程，体验解决问题方法的多样性；4、探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。

本节《勾股定理的应用》是北师大版八年级数学上册第一章《勾股定理》第３节、具体内容是运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题、在这些具体问题的解决过程中，需要经历几何图形的抽象过程，需要借助观察、操作等实践活动，这些都有助于发展学生的分析问题、解决问题能力和应用意识；有些探究活动具有一定的难度，需要学生相互间的合作交流，有助于发展学生合作交流的能力、本节课的教学目标是：1、能正确运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题。

2、经历实际问题抽象成数学问题的过程，学会选择适当的数学模型解决实际问题，提高学生分析问题、解决问题的能力并体会数学建模的思想、教学重点和难点：应用勾股定理及其逆定理解决实际问题是重点。

把实际问题化归成数学模型是难点。

二、教学设想根据新课标提出的“要从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释和运用的同时，在思维能力情感态度和价值观等方面得到进步和发展”的理念，我想尽量给学生创设丰富的实际问题情境，使教学活动充满趣味性和吸引力，让他们在自主探究，合作交流中分析问题，建立数学模型，利用勾股定理及其逆定理解决问题。

八年级数学｜下册勾股定理预习,知识点归纳+五大题型解析

八年级数学｜下册勾股定理预习，知识点归纳+五大题型解析八年级数学学习的勾股定理是初中数学当中为数不多的涉及几何与代数相结合的知识板块之一。

它利用三角形三边的关系与角度的问题相结合，中考当中勾股定理的考点，主要体现在勾股定理的实际应用当中。

由于勾股定理中涉及其三边的关系，所以在涉及到求边长的直角三角形当中，都可以利用三角形作为基础的解题方法。

预习的同学，不仅要了解勾股定理所涉及的内容还要了解其学习中的难点及勾股定理的实际应用，特别是勾股定理涉及到的五大题型当中，最后两种是大家重点关注的内容，它在勾股定理的实际应用当中具有非常典型的代表性。

下面唐老师将带领大家对勾股定理的基础知识归纳以及五大典型题型解析两部分进行综合的讲解与认识，通过这些基础知识的学习，在典型的例题当中该如何进行解答与运用，都是大家在学习勾股定理时应当掌握技巧的具体展现。

一、勾股定理知识点归纳勾股定理主要的知识点就是勾股定理的具体内容，以及勾股定理的逆定理的理解，我们可以通过几何图形的方式，也就是勾股定理的证明，这个过程当中涉及到几种方法，这些方法大家一定要去一一的去整理思路，明白其证明的过程是从何而来的。

虽然在考试当中，勾股定理的证明并不需要大家去掌握，考试也不会考，但是其中涉及到的证明方法可以从代数的方向，左手也可以利用数形结合的方式来进行证明，这种思想对于拓宽大家数学学习的思路都是非常好的，所以对于证明的过程，大家一定要从头到尾理解其证明的思路。

特别提醒，在勾股定理当中，我们都记住其三边的关系为c方等于a 方加b方。

但是在具体的应用过程当中，abc所代表的意义一定要明白，不能用固定的字母来代替，c代表的是直角三角形的斜边，a，b分别代表的是直角三角形的两条直角边，所以当字母发生变化时，我们要提高警惕，以防范低级错误。

二、勾股定理五大题型分类解析类型一、勾股定理的直接应用勾股定理的直接应用其实就是对勾股定理概念的深刻理解，学会利用三边的关系求任意一边的长度，这是利用勾股定理进行其他的运算以及其应用的基础。

八年级数学下册【勾股定理】4种简单应用

八年级数学下册【勾股定理】4种简单应用一、勾股定理在网格中的应用例1、已知正方形的边长为1，(1)如图a，可以计算出正方形的对角线长为根号2.①分别求出图(b)，(c)，(d)中对角线的长＿.②九个小正方形排成一排，对角线的长度(用含n的式子表示)为＿.分析：借助于网格，构造直角三角形，直接利用勾股定理.二、勾般定理在最短距离中的应用例2、如图，已知C是SB的中点，圆锥的母线长为10cm，侧面展开图是一个半圆，A处有一只蜗牛想吃到C处的食物，它只能沿圆锥曲面爬行.请你求出蜗牛爬行的最短路程.分析在求解几何图形两点间最短距离的问题时，将几何体表面展开，求展开图中两点之间的距离，展开过程中必须要弄清楚所要求的是哪两点之间的距离，以及它们在展开图中的相应位置.点评在求立体几何图形的问题时，一般是通过平面展开图，将其转化成平面图形问题，然后求解.三、勾股定理在生活中的应用例3、如图，学校有一块长方形花园，有较少数同学为了避开拐角走“捷径”，在校园内走出了一条“路”.请同学们算一算，其实这些同学仅仅少走多少步路，却踩伤了花草.(假设1步为0.5m)点评：走“捷径”问题为出发点是常遇到情况，在考查勾股定理的同时，融入了环保教育:少走几步路，就可以留下一片期待的绿色.四、勾股定理在实际生活中的应用例4 小华想知道自家门前小河的宽度，于是按以下办法测出了如下数据:小华在河岸边选取点A，在点A的对岸选取一个参照点C，测得∠CAD=30°，小华沿河岸向前走30m 选取点B，并测得∠CBD=60°.请根据以上数据，用你所学的数学知识，帮小华计算小河的宽度.点评：此题考查直角三角形的应用，解答本题的关键在于画出示意图，将问题转化为解直角三角形的问题.。

人教版八年级下册数学专题：第18章勾股定理知识点与常见题型总结

八年级下册第18章.勾股定理知识点与常见题型总结１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．cbaHG F EDCB A方法二：bacbac cabcab四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证a bcc baE D CBA３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：ABC30°D CB A ADB CCB DA题型一：直接考查勾股定理例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长分析：直接应用勾股定理222a b c += 解：⑴2210AB AC BC =+=⑵228BC AB AC =-=题型二：应用勾股定理建立方程例２.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解解：⑴224AC AB BC =-=， 2.4AC BCCD AB⋅==DBAC⑵设两直角边的长分别为3k ，4k ∴222(3)(4)15k k +=，3k ∴=，54S =⑶设两直角边分别为a ，b ，则17a b +=，22289a b +=，可得60ab =1302S ab ∴==2cm例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长21EDCBA分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来解：作DE AB ⊥于E ，12∠=∠，90C ∠=︒ ∴ 1.5DE CD == 在BDE ∆中2290,2BED BE BD DE ∠=︒=-=Rt ACD Rt AED ∆≅∆ AC AE ∴=在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒222AB AC BC ∴=+，222()4AE EB AC +=+3AC ∴=例4. （ 2014•安徽省,第8题4分）如图，Rt △ABC 中，AB =9，BC =6，∠B =90°，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为（）A ．B ．C ．4 D ． 5考点：翻折变换（折叠问题）．分析：设BN =x ，则由折叠的性质可得DN =AN =9﹣x ，根据中点的定义可得BD =3，在Rt △ABC 中，根据勾股定理可得关于x 的方程，解方程即可求解．解答：解：设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x，∵D是BC的中点，∴BD=3，在Rt△ABC中，x2+32=（9﹣x）2，解得x=4．故线段BN的长为4．故选：C．点评：考查了翻折变换（折叠问题），涉及折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性较强，但是难度不大．例5.已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.解析：解题之前先弄清楚折叠中的不变量。

八年级勾股定理知识点总结大全

八年级勾股定理知识点总结大全八年级勾股定理知识点总结勾股定理是初中数学重要的知识点之一，也是数学的经典定理之一。

这个定理的公式很简单，但是背后的数学思想却十分深刻。

本文将从多个角度全面总结和解析八年级勾股定理的相关知识点，让您在学习和应用勾股定理时更加得心应手。

一、勾股定理的概念与表述勾股定理的概念很简单，即在一个直角三角形中，直角边的平方等于斜边上两个其他边长度的平方和。

这个定理可以表述为：设在一个直角三角形 ABC 中，C 为直角，则有 AB²=AC²+BC²。

二、勾股定理的证明方法勾股定理有多种证明方法，我们列举其中几种。

1.图形法证明。

将三角形划分成两个直角三角形，然后用勾股定理证明。

2.代数法证明。

使用代数运算，将勾股定理应用到具体的数字上。

3.几何法证明。

使用几何知识，求一个图形的面积，然后再用勾股定理求得三角形的边长。

三、勾股定理的应用方法1.求未知边长。

利用勾股定理，可以快速计算出一个三角形的任意一条边的长度。

2.判断三角形的形状。

如果知道一个三角形的三条边的长度，就可以通过勾股定理判断它是否为直角三角形。

3.解决日常应用问题。

利用勾股定理，可以解决很多日常生活中的问题，比如建筑、测量等。

四、勾股定理的拓展应用1.勾股定理的推广。

八年级的学生应该知道勾股定理除了直角三角形外，还可以用于等腰直角三角形、等边直角三角形等特殊情况。

2.三角函数的应用。

在数学和物理等学科中，三角函数是经常出现的知识点，而勾股定理和三角函数之间有很密切的联系。

3.计算机图形学的应用。

在计算机图形学中，勾股定理被广泛应用，用于计算三维图形中的距离和位置。

五、勾股定理的基本题型1.已知两边求第三边长度。

2.已知斜边和一个直角边求另外一条直角边。

3.已知两个直角边求斜边的长度。

六、典型例题及解析1.已知一个直角三角形的斜边为10，一条直角边为6，求另一直角边的长。

解析：根据勾股定理，设另一个直角边的长为x，则有x²+6²=10²，解得x=8。

勾股定理的作图及典型计算(课件)八年级数学下册(人教版)

A. 2
B. 5
C. 7
D. 9
2.如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A、B、C均
为格点，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交网格线于点D，则CD的长为
( D)
1
A.
2
1
B.
3
C. 3
D.2- 3
3.如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(-4,3),以点B(-1，0)为圆心，
三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2=2+ 3; 将位置
②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3=3+ 3;
.......按此规律继续旋转，直至得到点P2050为止，则AP2050等于( C )
A.2049+683 3
B.2050+683 3
C.2051+683 3
AD=4, AB=8，则DE的长为_______.
5
7.如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，画出一个三
角形的长分别为 2， 3， 17.
解:如图所示，△ABC为所求.
8.在数轴上作出表示 5， 10的点.
解:如图所示，点C表示 5，点D表示 10.
9.如图，将长方形纸片沿直线折叠，使点C落在边的中点 ′ 处，
是斜边长.
1.如图，点A表示的实数是（ D ）
A. 3
B. 5
C.- 3
D.- 5
2.如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对
角线AC的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为（ C ）
A.2
B. 5 − 1
C. 10 − 1

人教版八年级下册数学《勾股定理》说课复习(第2课时勾股定理的应用)

求证：AD2-AB2=BD·
CD.
A
证明：过A作AE⊥BC于E.
∵AB=AC，∴BE=CE.
在Rt △ADE中，AD2=AE2+DE2.
在Rt △ABE中，AB2=AE2+BE2.
AD2-AB2= DE2- BE2
= (DE+BE)·( DE- BE)
= (DE+CE)·( DE- BE)
=BD·
CD.
10km
藏宝点B的距离是________．
课程讲授
构造直角三角形解决实际问题
例4
一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要
开进厂门形状如图所示的某工厂，问这辆卡车能否通过该
工厂的厂门?说明理由.
解：在Rt△OCD中，∠CDO=90°,由
C
A
O
勾股定理，得
CD＝ OC 2 OD 2 1 0.82 0.6(米).
CH＝0.6＋2.3＝2.9(米)＞2.5(米).
D
B
2.3米
2
答：卡车能通过厂门．
M
2米
H
N
课程讲授
2
构造直角三角形解决实际问题
练一练：
(中考·安顺)如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，
一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，小鸟至少飞行( B )
A．8米
B．10米
C．12米
练一练：
如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB
一样长.已知滑梯的高度 CE=3m, CD=1m,试求滑道AC的长.
解：设滑道AC的长度为xm,则AB的长度为xm,
AE的长度为（x－1）m,

八下数学勾股定理

勾股定理是一个基本的几何定理，它指出直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

如果直角三角形的直角边长度分别为a 和b，斜边长度为c，那么勾股定理可以表示为：a^2 + b^2 = c^2。

勾股定理的应用非常广泛，它可以用于解决各种与直角三角形相关的问题。

例如，如果已知直角三角形的一边和另两边的关系，可以使用勾股定理来求出其他两边。

勾股定理的逆定理是：如果一个三角形的三边满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是直角三角形。

这个逆定理常常用于判断一个三角形是否为直角三角形。

勾股定理和勾股定理的逆定理都是非常重要的数学定理，它们在几何学、三角学、代数学等领域都有广泛的应用。

在中国，勾股定理也被称作商高定理，并且早在周朝时期就已被提出。

在世界范围内，勾股定理也是被广泛接受和应用的数学定理之一，至今已有500多种证明方法。

2024年八年级数学《勾股定理》教案(通用篇)

2024年八年级数学《勾股定理》教案（通用篇）八年级数学《勾股定理》教案 1教学目标1、知识与技能目标学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念．2、过程与方法(1)经历一般规律的探索过程，发展学生的抽象思维能力．(2)在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想．3、情感态度与价值观(1)通过有趣的问题提高学习数学的兴趣．(2)在解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性．教学重点：探索、发现事物中隐含的勾股定理及其逆及理，并用它们解决生活实际问题．教学难点：利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题．教学准备：多媒体教学过程：第一环节：创设情境，引入新课（3分钟，学生观察、猜想）情景：如图：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的.蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？第二环节：合作探究（15分钟，学生分组合作探究）学生分为４人活动小组，合作探究蚂蚁爬行的最短路线，充分讨论后，汇总各小组的方案，在全班范围内讨论每种方案的路线计算方法，通过具体计算，总结出最短路线。

让学生发现：沿圆柱体母线剪开后展开得到矩形，研究“蚂蚁怎么走最近”就是研究两点连线最短问题，引导学生体会利用数学解决实际问题的方法：建立数学模型，构图，计算．学生汇总了四种方案：（１）（２）（3）（4）学生很容易算出：情形（１）中A→B的路线长为：AA’+d，情形（２）中A→B的路线长为：AA’+πd／2所以情形（１）的路线比情形（２）要短．学生在情形（３）和（４）的比较中出现困难，但还是有学生提出用剪刀沿母线AA’剪开圆柱得到矩形，前三种情形A→B是折线，而情形（４）是线段，故根据两点之间线段最短可判断（４）最短．如图：（１）中A→B的路线长为：AA’+d;（２）中A→B的路线长为：AA’+A’B>AB;（３）中A→B的路线长为：AO+OB>AB;（４）中A→B的路线长为：AB.得出结论：利用展开图中两点之间，线段最短解决问题．在这个环节中，可让学生沿母线剪开圆柱体，具体观察．接下来后提问：怎样计算AB？在Rt△AA′B中，利用勾股定理可得，若已知圆柱体高为12c，底面半径为3c，π取3，则.第三环节：做一做（7分钟，学生合作探究）教材23页李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺，（1）你能替他想办法完成任务吗？（2）李叔叔量得AD长是30厘米，AB长是40厘米，BD 长是50厘米，AD边垂直于AB边吗？为什么？（3）小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗？BC边与AB边呢？第四环节：巩固练习（10分钟，学生独立完成）1．甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，某日早晨8：00甲先出发，他以6/h的速度向正东行走，1小时后乙出发，他以5/h的速度向正北行走．上午10：00，甲、乙两人相距多远？2．如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它怎么走最近？并求出最近距离．3．有一个高为1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为0.5米，问这根铁棒有多长？第五环节课堂小结（3分钟，师生问答）内容：1、如何利用勾股定理及逆定理解决最短路程问题？第六环节：布置作业（2分钟，学生分别记录）内容：作业：1．课本习题1．5第1，2，3题．要求：A组（学优生）：1、2、3B组（中等生）：1、2C组（后三分之一生）：1板书设计：教学反思：八年级数学《勾股定理》教案 21、勾股定理勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2＋b2=c2．即直角三角形两直角的平方和等于斜边的平方．因此，在运用勾股定理计算三角形的边长时，要注意如下三点：（1）注意勾股定理的使用条件：只对直角三角形适用，而不适用于锐角三角形和钝角三角形；（2）注意分清斜边和直角边，避免盲目代入公式致错；（3）注意勾股定理公式的变形：在直角三角形中，已知任意两边，可求第三边长．即c2=a2＋b2，a2=c2－b2，b2=c2－a2．2．学会用拼图法验证勾股定理拼图法验证勾股定理的基本思想是：借助于图形的面积来验证，依据是对图形经过割补、拼接后面积不变的原理．如，利用四个如图1所示的直角三角形三角形，拼出如图2所示的三个图形．请读者证明．如上图示，在图（1）中，利用图1边长为a，b，c的'四个直角三角形拼成的一个以c为边长的正方形，则图2（1）中的小正方形的边长为（b－a），面积为（b－a）2，四个直角三角形的面积为4×ab=2ab．由图（1）可知，大正方形的面积=四个直角三角形的面积＋小正方形的的面积，即c2=（b－a）2＋2ab，则a2＋b2=c2问题得证．请同学们自己证明图（2）、（3）．3．在数轴上表示无理数将在数轴上表示无理数的问题转化为化长为无理数的线段长问题．第一步：利用勾股定理拆分出哪两条线段长的平方和等于所画线段（斜边）长的平方，注意一般其中一条线段的长是整数；第二步：以数轴原点为直角三角形斜边的顶点，构造直角三角形；第三步：以数轴原点圆心，以斜边长为半径画弧，即可在数轴上找到表示该无理数的点．二、典例精析例1如果直角三角形的斜边与一条直角边的长分别是13cm和5cm，那么这个直角三角形的面积是cm2．分析：欲求直角三角形的面积，已知一直角三角形的斜边与一条直角边的长，则求得另一直角边的长即可．根据勾股定理公式的变形，可求得．解：由勾股定理，得132－52=144，所以另一条直角边的长为12．所以这个直角三角形的面积是×12×5=30（cm2）．例2如图3(1),一只蚂蚁沿棱长为a的正方体表面从顶点A爬到顶点B,则它走过的最短路程为()A．B．C．3aD．分析:本题显然与例2属同种类型,思路相同．但正方体的各棱长相等,因此只有一种展开图．解:将正方体侧面展开八年级数学《勾股定理》教案 3重点、难点分析本节内容的重点是勾股定理的逆定理及其应用。

初二数学下册：勾股定理处理折叠的三种模型

初二数学下册：勾股定理处理折叠的三种模型01模型一：折叠构造直角三角形折叠构造直角三角形是比较常见的一种模型，将直角三角形沿着某条线段进行折叠，可以得到另外一个直角三角形，然后设未知数，表示出这个三角形的三边长，利用勾股定理列出方程，求出未知数的值。

例题1：如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD对折，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．分析：先通过勾股定理求出线段AB的长度，将直角边AC沿直线AD 对折，使它落在斜边AB上，得到AE=AC=6。

求线段CD的长度，可设CD=x，那么DE=CD=x，再表示出线段DB的长度，求出线段BE，利用勾股定理得到关于x的方程。

解：∵两直角边AC=6cm，BC=8cm，在Rt△ABC中，由勾股定理可知AB=10，现将直角边AC沿直线AD对折，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD=DE，AE=AC=6，∴BE=10-6=4，设DE=CD=x，BD=8-x，在Rt△BDE中，根据勾股定理得：BD^2=DE^2+BE^2，即（8-x）^2=x^2+4^2，解得x=3．即CD的长为3cm．02模型二：折叠构造全等三角形例题2：如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，2），把矩形OABC沿OB折叠，点C落在点D处，DB交OA于点E．（1）求证：OE=BE；（2）求△OEB的面积.分析：（1）通过折叠可知：OC=OD，∠D=∠OCB=90°，由于四边形OABC为矩形可得：OC=AB，∠BAO=90°，那么∠D=∠BAO=90°，再加上对顶角∠BEA、∠OED相等，通过“AAS”判定两个三角形全等；（2）可设OE=BE=x，然后表示出线段AE的长度为4-x，在直角三角形ABE中，通过勾股定理得到关于x的方程，求出x的值，然后利用三角形的面积公式求出三角形OEB的面积。

第18章勾股定理-认识勾股定理拓展课件 2022--2023学年沪科版数学八年级下册

B．勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足：a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形
（2）仿照上面的方法，再结合上面你写出的勾股数，你能否只用绳子，设计一种不同于上面的方法得
到一个直角三角形（在图2中，只需画出示意图．）
分析：
3²+4²=5²
5
∠C是直角
4
10
8
3 C
6
O
图1
图2
例2：古埃及人用下面的方法得到直角三角形，把一根长绳打上等距离的13个结（12段），然后用桩钉钉
（填A或B）
A．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
B．勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足：a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形
（2）仿照上面的方法，再结合上面你写出的勾股数，你能否只用绳子，设计一种不同于上面的方法得
到一个直角三角形（在图2中，只需画出示意图．）
+−

=
2
++
即2ab＝（a+b+c）（a+b-c）
化简得a2+b2＝c2．
B
E
F
C
例3：如图，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，直角三角形
A
ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，正方形IECF中，IE＝EC＝CF＝FI＝x
（1）小明发明了求正方形边长的方法：
+−
2
D
因为AB＝BD+AD，所以a-x+b-x＝c，解得x＝
I
（2）小亮也发现了另一种求正方形边长的方法：
利用S△ABC＝S△AIB+S△AIC+S△BIC可以得到x与a、b、c的关系，请根据小亮的思路完成他

八年级数学下册教学课件《利用勾股定理作图》

2.如图，等边三角形的边长是6. 求：
（1）高AD的长；
（2）这个三角形的面积.
解：（1）Aபைடு நூலகம்⊥BC于D，则BD=CD=3.在Rt△ABD中，由勾股定理AD2=AB2－BD2=62－32=27，故AD=3 3 .
（2）这个三角形的面积为S= 1 BC·AD= 1 ×6×3 3 = 9 3 .
2
2
随堂练习
3.在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，
请在给定网格中以A出发分别画出长度为 2 ， 5 ，8 的线
段AB.
A
A
A
B
B
B
AB= 2
AB= 5
AB= 8
拓展延伸
若△ABC三边的长分别为 2 ，2 5 ， 26 ，请利用图中的正方形网格（每个小正方形的边长均为1 ）画出相应的
△ABC，并求出它的面积.
A
S△ABC=5×2-12×1×1-
1×2×42
1×1×5=3. 2
B
C
课堂小结
1.你能说说勾股定理求线段长的基本思路吗？
2.如何在数轴上表示无理数？
3.本节课你学到哪些数学思想方法？
课后作业
1.从教材习题中选取；
八年级数学下册
情境导入
神奇的勾股树！点击打开几何画板
这个图是怎样绘制出来的呢？
探索新知
在八年级上册中我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？
已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中， ∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′. 求证： △ABC≌△A′B′C′.
练习

八年级数学下册第17章《勾股定理》知识点与常见题型总结

八年级下册 .勾股定理知识点与常见题型总结１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证． c ba HG FEDCB A方法二：b ac b a cca b c a b四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证 a b ccb a E DCB A３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：A B C 30°D CB A AD B CCB D A题型一：直接考查勾股定理例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长分析：直接应用勾股定理222a b c += 解：⑴2210AB AC BC =+= ⑵228BC AB AC =-=题型二：应用勾股定理建立方程例２.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解解： ⑴224AC AB BC =-=， 2.4AC BC CD AB⋅==D B AC⑵设两直角边的长分别为3k ，4k ∴222(3)(4)15k k +=，3k ∴=，54S =⑶设两直角边分别为a ，b ，则17a b +=，22289a b +=，可得60ab =1302S ab ∴==2cm 例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长21E DCBA分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来解：作DE AB ⊥于E ，Q 12∠=∠，90C ∠=︒∴ 1.5DE CD ==在BDE ∆中2290,2BED BE BD DE ∠=︒=-=QRt ACD Rt AED ∆≅∆QAC AE ∴=在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒222AB AC BC ∴=+，222()4AE EB AC +=+3AC ∴=例4. （ 2014•安徽省,第8题4分）如图，Rt △ABC 中，AB =9，BC =6，∠B =90°，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为（）A ．B ．C ． 4D ． 5考点：翻折变换（折叠问题）．分析：设BN =x ，则由折叠的性质可得DN =AN =9﹣x ，根据中点的定义可得BD =3，在Rt △ABC 中，根据勾股定理可得关于x 的方程，解方程即可求解．解答：解：设BN =x ，由折叠的性质可得DN =AN =9﹣x ，∵D是BC的中点，∴BD=3，在Rt△ABC中，x2+32=（9﹣x）2，解得x=4．故线段BN的长为4．故选：C．点评：考查了翻折变换（折叠问题），涉及折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性较强，但是难度不大．例5.已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.解析：解题之前先弄清楚折叠中的不变量。

利用勾股定理解三角形—2023-2024学年八年级数学下册(沪科版)(解析版)

利用勾股定理解三角形正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。

逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。

一、勾股定理在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2．【典例1】如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ，∠CBE =45°，BE 分别交AC 、AD 于E 、F ．（1）如图1，AB =12，BC =8，求AF 的长度；（2）如图2，取BF 中点G ，若BF 2+EF 2=CG 2，求证：AF =BC ；（3）如图3，在（2）的条件下，过点D 作DN ⊥AC 于点N ，并延长ND 交AB 延长线于点M ，请直接写出BMDM 的值． ◆知识点总结 ◆思维方法◆典例分析（1）先根据等腰三角形三线合一的性质得BD=4，由勾股定理计算可得AD的长，由等腰直角三角形性质得DF=4，最后由线段的差可得结论；（2）连接CF，由题意可知AD是BC的垂直平分线，可知CF=BF，∠FCB=∠FBC=45°，可得CF⊥EG，由勾股定理可得CF2+FG2=CG2，结合BF2+EF2=CG2，可得EF=FG，由G是BF的中点，可知EF=FG= BG，可得CF是EG的垂直平分线，易知CE=CG，得∠CEG=∠CGE，则∠AEF=∠CGB，由∠FDB=90°，∠FBD=45°，可知∠AFE=∠DFB=45°，继而可得∠AFE=∠CBG，利用ASA即可证明△AEF≌△CGB，即可证得结论；（3）过点B作BQ⊥MN于Q，过点D作DH⊥AB于H，连接DG，连接CF，利用等腰三角形的性质可得△NCD≌△QBD(AAS)，易知CN=BQ，DN=DQ=DH，由S△DBM=12BM⋅DH=12DM⋅BQ，得BMDM=CNDN，结合（2）中结论，可设EF=FG=BG=a，由勾股定理可得AF=BC=2√2a，CD=BD=12BC=√2a，AE=CG=CE=√5a，AC=2√5a，AD=3√2a，由S△ABC=12AC⋅NQ=12BC⋅AD可得NQ=6√55a，进而求得DN，CN的长即可求解．（1）解：∵AB=AC，AD⊥BC，BC=8，∴BD=CD=12BC=4，∠ADB=∠ADC=90°，由勾股定理得：AD=√AB2−BD2=√122−42=√144−16=√128=8√2，∵∠CBE=45°，∠BDF=90°，∴△BDF是等腰直角三角形，∴DF=BD=4，∴AF=AD−DF=8√2−4；（2）证明：连接CF，∴CD=BD，则AD是BC的垂直平分线，∴CF=BF，∴∠FCB=∠FBC=45°，∴∠CFB=180°−∠FCB−∠FBC=90°，即CF⊥EG，∠CFE=180°−∠CFB=90°，Rt△CFG中，CF2+FG2=CG2，∵BF2+EF2=CG2，CF=BF，∴EF2=FG2，则EF=FG，∵G是BF的中点，∴FG=BG，则EF=FG=BG，∵∠FDB=90°，∠FBD=45°，∴∠DFB=45°，∴∠AFE=∠DFB=45°，即：∠AFE=∠CBG，∵CF⊥EG，EF=FG，∴CF是EG的垂直平分线，∴CE=CG，∴∠CEG=∠CGE，∴∠AEF=∠CGB，∴△AEF≌△CGB(ASA)∴AF=BC；（3）过点B作BQ⊥MN于Q，过点D作DH⊥AB于H，连接DG，连接CF，∴CD=BD，∠CAD=∠BAD，∴DN=DH，∵BQ⊥MN，DN⊥AC，则∠DNC=∠DQB=90°，∴BQ∥AC，则∠NCD=∠QBD，∴△NCD≌△QBD(AAS)，∴CN=BQ，DN=DQ=DH，∵S△DBM=12BM⋅DH=12DM⋅BQ，∴BM⋅DN=DM⋅CN，∴BM DM =CNDN，由（2）可知：EF=FG=BG，CE=CG，△AEF≌△CGB，则AF=BC，AE=CG=CE设EF=FG=BG=a，则BF=CF=2a，∴AF=BC=√BF2+CF2=2√2a，则CD=BD=12BC=√2a，AE=CG=CE=√CF2+FG2=√5a，则AC=AE+CE=2√5a，则AD=√AC2−CD2=3√2a，∵S△ABC=12AC⋅NQ=12BC⋅AD，即：2√5a⋅NQ=2√2a⋅3√2a∴NQ=6√55a，又∵DN=DQ，∴DN=12NQ=3√55a，则CN=√CD2−DN2=√55a，∴BM DM =CNDN=13．1．（2023上·江西赣州·九年级统考阶段练习）已知，在Rt △ABC 中，∠B =90°，∠ACB =30°，点D 为边BC 上一个动点，以AD 为边作其右侧作等边△ADE ．（1）如图1，线段AB 与线段AC 之间的数量关系为__________；（2）如图2，过点E 作EF ⊥AC 于点F ．求证：点F 是AC 的中点；（3）若AB =2．①如图3，当点D 是BC 的中点时，过点E 作EG ⊥BC 于点G ．求EG 的长；②当点D 从点B 运动到点C ，则点E 所经过的路径长__________（直接写出结果）．【思路点拨】（1）由∠B =90°，∠ACB =30°即可求解；（2）证△ABD ≌△AFE (AAS )，即可证明；（3）①作DN ⊥AC ， BC =√AC 2−AB 2=2√3，AD =√AB 2+BD 2=√7， AN =√AD 2−DN 2=52，证△ADN ≌△EDG (AAS )，进而可求；②FH 为E 所经过的路径，当D 在B 点时，点E 恰落在AC 的中点F 处，当D 在C 点时，AH =AC ，进而可求．【解题过程】（1）解：∵∠B =90°，∠ACB =30°，∴AB =12AC ．故答案为：AB =12AC ．（2）∵△ADE 是等边三角形，∴AD =AE,∠DAE =60°，∵∠B =90°，∠ACB =30°，∴∠BAC =60°， ◆学霸必刷∴∠BAD=∠FAE，∵EF⊥AC，∴∠ABD=∠AFE，∴△ABD≌△AFE(AAS)，∴AB=AF=12AC，∴点F是AC的中点．（3）作DN⊥AC，∵AB=12AC，AB=2，∴AC=4，∴BC=√AC2−AB2=2√3，∵D是BC的中点，∴BD=CD=√3，∴AD=√AB2+BD2=√7，∵DN⊥AC，∠ACB=30°，∴DN=12CD=√32，∠CDN=60°，∴AN=√AD2−DN2=52，∵∠ADE=60°，∴∠ADN=∠EDG，∵AD=DE，∴△ADN≌△EDG(AAS)，∴EG=AN=52．如图，FH为E所经过的路径，当D在B点时，点E恰落在AC的中点F处，当D在C点时，AH=AC，∴FH=√AH2−AF2=2√3．2．（2023上·重庆南岸·八年级重庆市珊瑚初级中学校校考期中）如图，分别以△ABC的两边AB、AC为腰向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，其中∠BAD=∠CAE=90°，BC=5．（1）如图1，连接BE、CD．若∠ACB=45°，AC=2，求CD的长；（2）如图2，M为BC的中点，连接DM，过点M作DM⊥MN，交EB的延长线于点N，连接DN，试猜想BE、BN、DN之间有何等量关系并证明你的结论．【思路点拨】（1）先根据SAS证明△ACD≌△AEB，可得CD=BE，再说明△BCE是直角三角形，然后根据勾股定理求出CE，进而求出答案即可；（2）延长NM至K，使MN=MK，连接CK，DK，设NE交AD于点O，与CD的交点为J．先根据“SAS”证明△BMN≌△CMK，可得BN=CK，∠MNB=∠CKM，进而判定CK∥NE，可说明CD⊥CK，再根据勾股定理得DK2=DC2+CK2，然后根据垂直平分线的性质得DK=DN，即可得出答案．【解题过程】（1）∵等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，∴AB=AD，AC=AE，∠EAC=45°，∴∠DAB+∠DAE=∠EAC+∠DAE，即∠EAB=∠CAD，在△EAB和△CAD中，{AB=AD∠EAB=∠CADAE=AC，∴△ACD≌△AEB，∴CD=BE．∵∠ACB=45°，∴∠BCE=∠ACB+∠ECA=45°+45°=90°，在Rt△ACE中，AC=AE=2，∴CE=√AC2+AE2=2√2．∵BC=5，∴BE=√CE2+BC2=√(2√2)2+52=√33，∴CD=BE=√33；（2）结论：DN2=BE2+BN2．理由：如图2中，延长NM至K，使MN=MK，连接CK，DK，设NE交AD于点O，与CD的交点为J．∵△ACD≌△AEB，∴∠EBA=∠CDA，BE=CD．∵∠AOB=DOJ，∴∠OAB=∠DJO=90°，∴BE⊥CD．∵MB=MC，∠BMN=∠CMK，MN=MK，∴△BMN≌△CMK，∴BN=CK，∠MNB=∠CKM，∴CK∥NE．∵CD⊥EN，∴CD⊥CK，∴∠DCK=90°，∴DK2=DC2+CK2.∵MN=MK，DM⊥NK，∴DK=DN，∴DN2=BE2+BN2．3．（2023上·四川成都·八年级校考期中）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=16，D是AC上的一点，CD=3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动，设点P的运动时间为t，连接AP．（1）当t=3秒时，求△BPA的面积；（2）若AP平分∠CAB，求t的值；（3）过点D作DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使DE=CD？【思路点拨】（1）根据动点的运动速度和时间先求出BP，再利用三角形的面积计算公式解答即可求解；（2）作PM⊥AB于M，利用角平分线的性质分别求得BM、PM，再利用勾股定理PB2=PM2+BM2，解得PC=4√5−4，最后利用BP=2t=16−(4√5−4)，求得t的值即可；（3）根据动点运动的不同位置利用勾股定理解答即可求解；本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理，三角形的面积，根据题意，正确作出辅助线是解题的关键．【解题过程】（1）解：由题意可得，BP=2t，∵t=3，AC=8，∴BP=2×3=6，∴S△BPA=12BP·AC=12×6×8=24，∴当t=3秒时，求△BPA的面积为24；（2）解：当线段AP恰好平分∠CAB时，作PM⊥AB于M，如图，∵线段AP平分∠CAB，∠ACB=90°，PM⊥AB，∴∠PAC=∠PAM，∠ACP=∠AMP=∠BMP=90°，又∵AP=AP，∴△ACP≌△AMP(AAS)，∴PC=PM，AC=AM=8，∵AB=√82+162=8√5，∴BM=AB−AM=8√5−8，在Rt△BPM中，PB2=PM2+BM2，∴(16−PC)2=PC2+(8√5−8)2，解得PC=4√5−4，∴BP=2t=16−(4√5−4)，解得t=10−2√5；（3）解：①点P在线段BC上时，过点D作DE⊥AP于E，连接PD，如图，则∠AED=∠PED=90°，∴∠PED=∠ACB=90°，∵PD平分∠APC，∴∠EPD=∠CPD，又∵PD=PD，∴△PDE≌△PDC(AAS)，∴ED=CD=3，PE=PC=16−2t，∴AD=AC−CD=8−3=5，∴AE=4，∴AP=AE+PE=4+16−2t=20−2t，在Rt△APC中，由勾股定理得：82+(16−2t)2=(20−2t)2，解得t=5；②点P在线段BC的延长线上时，过点D作DE⊥AP于E，如图，同①得△PDE≌△PDC(AAS)，∴ED=CD=3，PE=PC=2t−16，∴AD=AC−CD=8−3=5，∴AE=4，∴AP=AE+PE=4+2t−16=2t−12，在Rt△APC中，由勾股定理得：82+(2t−16)2=(2t−12)2，解得t=11；综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为5或11时，能使DE=CD．4．（2024上·河南南阳·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AC=13，BA=5，点P从点C出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线C−A−B运动.设点P的运动时间为t(t>0)秒.（1）求斜边AC上的高线长；（2）①当P在AB上时，AP的长为__________，t的取值范围是__________.（用含t的代数式表示）；②若点P在∠BCA的角平分线上，则t的值为__________；（3）在整个运动过程中，当△PAB是等腰三角形时t的值为__________.【思路点拨】（1）过点B作BD⊥AC于点D，利用面积法求解；（2）①根据点P的运动路径及速度可解；②过点P作PE⊥AC于E，利用角平分线的性质可知PB=PE，再证Rt△BCP≌Rt△ECP(HL)，推出EC=BC=12，最后利用勾股定理解Rt△AEP即可；（3）分AB=AP=5和AB=BP=5两种情况，利用等腰三角形的性质、勾股定理分别求解即可；关键．【解题过程】（1）在△ABC中，∠ABC=90°，AC=13，BA=5，∴BC=√AC2−AB2=√132−52=12，如图所示，过点B作BD⊥AC于点D，S△ABC=12AB⋅BC=12AC⋅BD，即BD=AB⋅BCAC=5×1213=6013，∴斜边AC上的高线长为6013；（2）①∵点P从点C出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线C−A−B运动，AC=13，∴AP=3t−AC=(3t−13)，∴AC3≤t≤AC+AB3，即133≤t≤13+53，∴133≤t≤6，故答案为：(3t−13)，133≤t≤6；②点P在∠BCA的角平分线上时，过点P作PE⊥AC于E，如图所示，∵CP平分∠BCA，∠B=90°，PE⊥，∴PB=PE.又∵PC=PC，∴Rt△BCP≌Rt△ECP(HL)，∴EC=BC=12，则AE=AC−CE=13−12=1，由（2）知AP=3t−13，∴BP=AB−AP=5−(3t−13)=18−3t，∴PE=18−3t，在Rt△AEP中，AP2=AE2+EP2，即(3t−13)2=12+(18−3t)2，解得t=265，∴点P在∠BAC的角平分线上时，t=265故答案为：265；（3）△PAB 是以AB 为一腰的等腰三角形时，有两种情况：当AB =AP =5时，如图所示，则CP =AC −AP =13−5=8，∴t =CP 3=83；当AB =BP =5时，过点B 作BD ⊥AC 于点D ，如图所示，由（2）知BD =6013，AD =√AB 2−BD 2=√52−(6013)2=2513， ∵AB =BP ，BD ⊥AC ，∴AP =2AD =5013，∴CP =AC −AP =13−5013=11913， ∴t =CP 3=11939，△PAB 是以AB 为底的等腰三角形时，t 的值为136，综上，△PAB 是等腰三角形时t 的值为83或11939或136．5．（2023上·重庆南岸·八年级校考开学考试）如图，四边形ABCD中，AC=AD=AB，∠BAC=90°．（1）把△BCD沿BC翻折得到△BCE，过点A作AF⊥BE，垂足为F，求证：BE=2AF；（2）在（2）的条件下，连接DE，四边形ABCD的面积为45，AD=5√2，BC=10，求DE的长．【思路点拨】BD，由折叠的性质可得：（1）作AG⊥BD于G，由等腰三角形的性质可得∠ABD=∠ADB，BG=DG=12BE=BD，CE=CD，∠CBE=∠CBD，证明△ABF≌△BAG得到AF=BG，即可得出结论；（2）作BM⊥AD于M，CN⊥AD于N，延长BC交DE于H，则CH⊥DE，DH=EH，求出△ACD的面积为20，求出CN=4√2，由勾股定理可得AN=3√2，证明△ABM≌△CAN(AAS)得到BM=AN=3√2，求出△ABDBC×DH=30，求出DH=6，即可得出答案．的面积为15，得到△BCD的面积=12【解题过程】（1）证明：如图，作AG⊥BD于，，则∠AGB=90°，∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=45°，∵AB=AD，AG⊥BD，BD，∠AGB=90°，∴∠ABD=∠ADB，BG=DG=12由折叠的性质可得：BE=BD，CE=CD，∠CBE=∠CBD，设∠CBE=∠CBD=x，则∠ABG=45°−x，∠ABF=45°+x，∵AF⊥BE，∴∠BFA=∠AGB=90°，∴∠BAF=90°−∠ABF=90°−(45°+x)=45°−x，∴∠ABG=∠BAF，在△ABF和△BAG中，{∠BFA=∠AGB∠BAF=∠ABGAB=BA，∴△ABF≌△BAG(AAS)，∴AF=BG，∴BE=2AF；（2）解：如图，作BM⊥AD于M，CN⊥AD于N，延长BC交DE于H，，由折叠的性质可得：CH⊥DE，CD，∵CE=CD，CH⊥DE，∴DH=EH，∵△ABC是等腰直角三角形，AD=AB=AC=5√2，∴△ABC的面积=12AB⋅AC=12×5√2×5√2=25，∵四边形ABCD的面积为45，∴△ACD的面积=12×AD×CN=45−25=20，∴12×5√2×CN=20，∴CN=4√2，∴AN=√AC2−CN2=√(5√2)2−(4√2)2=3√2，∵∠BAC=90°，∴∠BAM+∠ABM=∠BAM+∠CAN=90°，∴∠ABM=∠CAN，在△ABM和△CAN中，{∠AMB=∠CNA=90°∠ABM=∠CANAB=CA，∴△ABM≌△CAN(AAS)，∴BM=AN=3√2，∴△ABD的面积=12AD×BM=12×5√2×3√2=15，∴△BCD的面积=12BC×DH=45−15=30，∴12×10×DH=30，∴DH=6，∴DE=2DH=12．6．（2023上·山东济南·八年级统考期末）已知∠AOB=∠COD=90°，OA=OB=10，OC=OD=8（1）如图1，连接AC、BD，问AC与BD相等吗？并说明理由．（2）若将△COD绕点O逆时针旋转，如图2，当点C恰好在AB边上时，请写出AC、BC、OC之间关系，并说明理由．（3）若△COD绕点O旋转，当∠AOC=15°时，直线CD与直线AO交于点F，求AF的长．【思路点拨】（1）根据题意可证得△AOC≌△BOD(SAS)，据此即可解答；（2）连接BD，可证得∠AOC=∠BOD，据此即可证得△AOC≌BOD(SAS)，AC=BD，∠CAO=∠DBO，根据勾股定理可得CD2=2OC2，再根据等腰直角三角形的性质可证得∠CBD=90°，根据勾股定理即可证得结论；（3）过点O作OE⊥CD于点E，利用勾股定理可求得CD=8√2，根据面积公式可求得OE=4√2，再分两种情况，分别计算即可求得．【解题过程】（1）解：AC与BD相等；理由如下：∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，即∠AOC=∠BOD，在△AOC和△BOD中，{OA=OB∠AOC=∠BOD OC=OD∴△AOC≌BOD(SAS)，∴AC=BD；（2）解：结论：BC2+AC2=2OC2理由如下：如图：连接BD，∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOB−∠BOC=∠COD−∠BOC，即∠AOC=∠BOD在△AOC和△BOD中，{OA=OB∠AOC=∠BOD OC=OD∴△AOC≌BOD(SAS)，∴AC=BD，∠CAO=∠DBO，∵∠AOB=∠COD=90°，OA=OB，OC=OD，∴∠BAO=∠ABO=45°，CD2=OC2+OD2=2OC2，∴∠CAO=∠DBO=45°，∴∠CBD=∠ABO+∠DBO=45°+45°=90°，∴BC2+BD2=CD2，∴BC2+AC2=2OC2；（3）解：如图：过点O作OE⊥CD于点E，∵∠COD=90°，OC=OD=8，∴CD=√OC2+OD2=√82+82=8√2，∵S△OCD=12OC⋅OD=12CD⋅OE，∴OE=OC⋅ODCD =8√2=4√2，如图：当点F在OA的延长线上时，∵∠DCO=45°，∠AOC=15°，∴∠F=∠DCO−∠AOC=45°−15°=30°，∴OF=2OE=8√2，∴AF=OF−OA=8√2−10；如图：当点F在线段OA上时，∵∠DCO=45°，∠AOC=15°，∴∠DFO=∠DCO+∠AOC=45°+15°=60°，∴∠FOE=90°−60°=30°，∴EF=12OF，∵OF2=EF2+OE2，∴OF2=(12OF)2+(4√2)2，解得OF=83√6，∴AF=OA−OF=10−83√6，综上，AF的长为8√2−10或10−83√6．7．（2023下·湖北武汉·八年级校考阶段练习）在等腰△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，E为AD上一点，连接BE，CE，∠BAC=∠CED=2∠BED=2x．（1）如图1，若x=45°，求证：CE=2AE（2）如图2，若x=30°，AB=AC=√7．求CE的长．（3）如图3，若x=60°，AB=AC=2√3，点Q为△ABC外一点，且∠BQA=60°,AQ=2，求线段QC的长．【思路点拨】（1）作BH⊥AD，交AD的延长线于H，证明△ACE≌△BAH(AAS)，得到BH=AE,CE=AH，即可得证；（2）在AD上取点H，使BH=EH，作BF⊥AD于F，同（1）法可得，△ACE≌△BAH(AAS)，得到CE=AH,AE= BH，在Rt△ABF中，利用勾股定理进行求解即可；（3）以AQ为边作等腰三角形AQM，使∠QAM=120°，AQ=AM，连接BM，证明△BAM≌△CAQ(SAS)，得到BM=CQ，过点A作AG⊥QM于点G，勾股定理求出BM的长，即可得解．【解题过程】（1）证明：作BH⊥AD，交AD的延长线于H，∵x=45°，∴∠BAC=∠CED=2∠BED=90°，∴∠AEC=90°，∵∠CED=∠EAC+∠ACE,∠BAC=∠EAC+∠BAE，∴∠BAH=∠ACE，∵∠AEC=∠H=90°,AB=AC，∴△ACE≌△BAH(AAS)，∴BH=AE,CE=AH，∵∠BEH=45°,∠H=90°，∴BH=EH，CE,∴AE=EH=12∴CE=2AE；（2）在AD上取点H，使BH=EH BF⊥AD于F，则∠BHE=∠AEC=120°，同（1）法可得，△ACE≌△BAH(AAS)，∴CE=AH,AE=BH，设BH=EH=AE=2x，∵∠BHF=60°，∴HF=x，BF=√3x，在Rt△ABF中，由勾股定理得：(√3x)2+(5x)2=(√7)，解得：x=1（负值舍去），2∴CE=AH=4x=2；（3）解：以AQ为边作等腰三角形AQM，使∠QAM=120°，AQ=AM，连接BM，∵∠BAC=∠QAM=120°，∴∠BAC+∠CAM=∠QAM+∠CAM，即∠BAM=∠CAQ，又∵AB=AC，∴△BAM≌△CAQ(SAS)，∴BM=CQ，∵AQ=AM,∠QAM=120°，∴∠AQM=30°，∵∠BQA=60°，∴∠BQM=∠BQA+∠AQM=60°+30°=90°，过点A作AN⊥BQ于点N，∵AQ=2,∠AQN=60°，∴NQ=AN=√3∵AB=2√3,∴BN=√AB2−AN2=√(2√3)2−(√3)2=3.∴BQ=BN+NQ=3+1=4，过点A作AG⊥QM于点G，∵∠AQG=30°,AQ=2，∴AG=1，GQ=√3,∴QM=2√3∴BM=√BQ2+QM2=√42+(2√3)2=2√7，∴CQ=2√7．8．（2023下·浙江金华·八年级浙江省义乌市后宅中学校考阶段练习）定义：在△ABC，若BC=a，AC=b，AB=c，a，b，c满足b2=ac+a2则称这个三角形为“和谐勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题：（1）命题：“直角三角形都是和谐勾股三角形”是（填“真”或“假”）命题；（2）如图1，若等腰△ABC是“和谐勾股三角形”，其中AB=BC，AC>AB，求∠A的度数；（3）如图2，在三角形ABC中，∠B=2∠A，且∠C>∠A．①当∠A=32°时，你能把这个三角形分成两个等腰三角形吗？若能，请在图2中画出分割线，并标注被分割后的两个等腰三角形的顶角度数；若不能，请说明理由；②请证明△ABC为“和谐勾股三角形【思路点拨】（1）先假设Rt△ABC是和谐勾股三角形，得出ab+a2=c2，再由勾股定理得a2+b2=c2，即可判断出此直角三角形是等腰直角三角形；（2）由“和谐勾股三角形”定义判断出此三角形是等腰直角三角形，即可得出结论；（3）①分三种情况，利用等腰三角形的性质即可得出结论；②先求出CD=CB=a，AD=CD=a，BD=AB−AD=c−a，DG=BG=12(c−a)，AG=12(a+c)，在Rt△ACG与Rt△BCG利用勾股定理分别求CG2，建立方程即可得出结论．【解题过程】（1）解：如图1，假设Rt△ABC是和谐勾股三角形，∴ab+a2=c2，在Rt△ABC中，∠C=90°，根据勾股定理，∴a2+b2=c2，∴ab+a2=a2+b2，∴ab=b2∴a=b，∴△ABC是等腰直角三角形，∴等腰直角三角形是和谐勾股三角形，即原命题是假命题，故答案为：假；（2）∵AB=BC，AC>AB∴a=c，b>c，∵△ABC是和谐勾股三角形，∴ac+a2=b2，∴c2+a2=b2，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠A=45°，（3）①在△ABC中，∠ABC=2∠BAC，∠BAC=32°，∴∠ABC=64°，根据三角形的内角和定理得，=180°−∠ABC−∠BAC=84°，∵把这个三角形分成两个等腰三角形，当射线经过点C，（Ⅰ）当∠BCD=∠BDC时，∵∠ABC=64°，∴∠BCD=∠BDC=58°，∴∠ACD=∠ACB−∠BCD=84°−58°=26°，∠ADC=∠ABC+∠BCD=122°，∴△ACD不是等腰三角形，此种情况不成立；（Ⅱ）当∠BCD=∠ABC=64°时，∴∠BDC=52°，∴∠ACD=∠ACB−∠BCD=84°−64°=20°，∠ADC=128°，∴△ACD不是等腰三角形，此种情况不成立；（Ⅲ）当∠BDC=∠ABC=64°时，∴∠BCD=52°，∴∠ACD=∠ACB−∠BCD=84°−52°=32°=∠BAC，∴△ACD是等腰三角形，即：分割线和顶角标注如图2所示，当射线经过点B，同（Ⅰ当射线经过点A，同（Ⅱ）的方法，判断此种情况不成立；②如图3，在AB边上取点D，连接CD，使∠ACD=∠A，作CG⊥AB于G，∴∠CDB=∠ACD+∠A=2∠A，∵∠B=2∠A，∴∠CDB=∠B，∴CD=CB=a，∵∠ACD=∠A，∴AD=CD=a，∴BD=AB−AD=c−a，∵CG⊥AB，∴DG=BG=12(c−a)，∴AG=AD+DG=a+12(c−a)=12(a+c)，在Rt△ACG中，CG2=AC2−AG2=b2−[12(c+a)]2，在Rt△BCG中，CG2=BC2−BG2=a2−[12(c−a)]2，∴b2−[12(c+a)]2=a2−[12(c−a)]2，∴b2=ac+a2，∴△ABC为“和谐勾股三角形”．9．（2023下·湖北武汉·八年级校考阶段练习）已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=2α，∠ADB=α．（1）如图1，若α=30°，则线段AD，BD，CD之间的数量关系为；（2）若α=45°，①如图2；线段AD，BD，CD满足怎样的数量关系？证明你的结论；②如图3，点E在线段BD上，且∠BAE=45°，AD=5，BD=4，则DE=．【思路点拨】（1）结论：DC2=DA2+DB2．如图1中，将△DCB绕点C顺时针旋转60°得到△MAC，连接DM．首先证明△DCM是等边三角形，再证明△ADM是直角三角形即可解决问题；（2）①结论：DC2=DB2+2DA2．如图2中，作AM⊥AD交DB的延长线于M，连接CM．由△DAB≌△MAC，推出BD=CM，∠ADB=∠AMC=45°推出∠DMC=90°，推出DC2=CM2+DM2，由CM=DB，DM=√2AD，即可证明；②如图3中，在图2的基础上将△AMB绕点A顺时针旋转90°得到△ADG．则△AEG≌△AEB，∠GDE=90°，可得EB=EG，设DE=x．EB=EG=4−x，由AD=AM=5，推出DM=5√2，BM=DG=5√2−4，在RtΔDEG中，根据DG2+DE2=EG2，列出方程即可解决问题．【解题过程】（1）解：结论：DC2=DA2+DB2．理由如下：将△DCB绕点C顺时针旋转60°得到△MAC，连接DM，如图1所示：∵CD=CM，∠DCM=60°，∴△DCM是等边三角形，∴DM=CD=CM，∵∠ADB=30°，∴∠DAB+∠DBA=150°，∵∠MAC=∠DBC，∴∠MAC+∠DAB=∠DBC+∠DAB=∠DBA+∠ABC+∠DAB=150°+60°=210°，∴∠DAM=360°−210°−60°=90°，∴DM2=DA2+AM2，∵AM=DB，DM=DC，∴DC2=DA2+DB2．故答案为DC2=DA2+DB2；（2）解：①结论：DC2=DB2+2DA2．理由如下：作AM⊥AD交DB的延长线于M，连接CM，如图2所示：∵∠ADM=45°，∠DAM=90°，∴∠ADM=∠AMD=45°，∴DA=AM，DM=√2DA，∵∠DAM=∠BAC，∴∠DAB=∠MAC，∵AB=AC，∴△DAB≌△MAC，∴BD=CM，∠ADB=∠AMC=45°∴∠DMC=90°，∴DC2=CM2+DM2，∵CM=DB，DM=√2AD，∴DC2=DB2+2DA2；②在图2的基础上将△AMB绕点A顺时针旋转90°得到△ADG，如图3所示：则△AEG≌△AEB，∠GDE=90°，∴EB=EG，设DE=x，则EB=EG=4−x，∵AD=AM=5，∴DM=5√2，BM=DG=5√2−4，在RtΔDEG中，由勾股定理知DG2+DE2=EG2，则(5√2−4)2+x2=(4−x)2，解得x=20√2−254，故答案为5√2−254．10．（2023下·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考期中）在△ABC中，∠B=45°，E为平面内一点，连接AE、CE．（1）如图1，若点E在线段BC上，AC=EC，AB=4√2，BE=3，求线段AC的长；（2）如图2，若点E在△ABC内部，AC=EC，∠BAE=∠ACE，求证：AE+2AB=√2BC；（3）如图3，若点E在△ABC内部，连接BE，AB=4，BC=6√2，请直接写出12EC+√52EB+EA的最小值．【思路点拨】（1）过点A作AF⊥BC于F，则可得△AFB是等腰直角三角形，由勾股定理可求得AF=BF=4，则可得EF=1，再设AC=x，则CF=CE−EF=x−1，在Rt△AFC中由勾股定理建立方程即可求解；（2）过C作CG⊥BC交BA的延长线于点G，在AG上取AH=AE，连接CH；首先可证明△AEC≌△AHC，其次再证明△ABC≌△HGC，则得GH=AB，从而由勾股定理即可证明结论成立；（3）过点B作BN⊥BE，且BN=BE，作BM⊥BC，BM=BC，连接MN；分别取BM、BN的中点D、F，连接DF，过A作AP⊥BD交DB延长线于点P，连接EF、AD、FD；证明△BEC≌△BNM，则MN=CE，由中点及中位线定理知BF=12BE，BD=12BC，DF=12MN=12CE，在Rt△EBF中，由勾股定理得EF=√5 2BE；则12EC+√52EB+EA=DF+FE+AE，则当点A、E、F、D四点共线时，12EC+√52EB+EA的最小值为AD的长，由勾股定理求解即可．【解题过程】（1）解：如图，过点A作AF⊥BC于F，则∠AFB=∠AFC=90°，∴∠FAB=∠FBA=45°，∴AF=BF即△AFB是等腰直角三角形，由勾股定理得：AF2+BF2=AB2=32，∴AF=BF=4，∴EF=BF−BE=1；设AC=x，则CE=AC=x，∴CF=CE−EF=x−1；在Rt△AFC中，AF2+CF2=AC2，即42+(x−1)2=x2，解得：x=172；（2）解：如图，过C作CG⊥BC交BA的延长线于点G，在AG上取AH=AE，连接CH；∵AC=CE，∴∠CAE=∠CEA；∵∠CAE+2∠CAE=180°，∠BAE+∠CAE+∠CAH=180°，∠BAE=∠ACE，∴∠CAE=∠CAH，∵AC=AC，AE=AH，∴△AEC≌△AHC(SAS)，∴CE=CH，∵CA=CE，∴CA=CH，∴∠CHA=∠CAH，∴∠CHG=∠CAB；∵CG⊥BC，∠B=45°，∴∠G=∠B=45°，∴△ABC≌△HGC(AAS)，∴GH=AB，∴BG=AB+AH+CG=AE+2AB；∵∠G=∠B=45°，CG⊥BC，∴CB=CG，由勾股定理得：BG=√2BC，∴AE+2AB=√2BC；（3）解：如图，过点B作BN⊥BE，且BN=BE；作BM⊥BC，BM=BC，连接MN；分别取BM、BN的中点D、F，连接DF；过A作AP⊥BD交DB延长线于点P，连接EF、AD；∵∠EBN=∠CBM=90°，∴∠EBC=∠NBM；∵BN=BE，BC=BM，∴△BEC≌△BNM(SAS)，∴MN=CE，∵BM、BN的中点分别为D、F，∴BF=12BE，BD=12BC，DF=12MN=12CE，在Rt△EBF中，由勾股定理得EF=√BF2+BE2=√52BE；∴1 2EC+√52EB+EA=DF+FE+AE，∴当点A、E、F、D四点共线时，12EC+√52EB+EA取得最小值，且最小值为AD的长；∵BD⊥BCP，A⊥BP，∠ABC=45°，∴∠PBA=∠PAB=45°，∴PA=PB=√22AB=2√2；∵BM=BC=6√2，∴BD=12BM=3√2，∴PD=PB+BD=2√2+3√2=5√2；在Rt△PDA中，由勾股定理得AD=√PA2+PD2=√8+50=√58，∴1 2EC+√52EB+EA的最小值为√58．11．（2023上·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考开学考试）已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，连接BD、CE．（1）如图1，若点B、D、E在同一直线上，已知AD=2√2，BD=2，求线段BC的长度．（2）如图2，当∠ADB=90°时，过点B作BG⊥ED并交ED的延长线于点G，EG与BC交于点F，求证：DE=2FG．（3）如图3，已知若AB=4，直线BD与直线CE相交于点P，过点C作直线CH垂直于CB，点Q是直线CH上一点，直接写出AQ+PQ的最小值．【思路点拨】（1）如图1中，设AC与BE交于点O，证明△BAD≌△CAE(SAS)，推出BD=CE=2,∠ABD=∠ACE，推出∠CEO=∠BAO=90°，可得结论；（2）连接AF，过点A作AN⊥EG于点N，过点C作CM⊥EF与M，则∠CME=∠ANF=90°，依次证明△BAD≌△∠CAE(SAS)，再求出△GBD≌△MEC(AAS)，△BFG≌△CFM(AAS)，△BFG≌△FAN，即可得出结论；（3）如图3，作点A关于CH的对称点J，连接CJ，AJ，过点J作JM⊥BC交BC的延长线于点M，取BC的中点O，连接OP，OJ．求出PJ的最小值，可得结论．【解题过程】（1）解：如图1中，设AC与BE交于点O∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形∴AB=AC,AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°∴∠BAD=∠CAE在△BAD和△CAE中，{AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE∴△BAD≌△CAE(SAS)∴BD=CE=2,∠ABD=∠ACE∵∠AOB=∠COE∴∠CEO=∠BAO=90°∵AD=AE=2√2∴DE=√2AD=4∴BE=6∴BC=√CE2+BE2=√22+62=2√10；（2）证明：如图，连接AF，过点A作AN⊥EG于点N，过点C作CM⊥EF与M，则∠CME=∠ANF=90°，∵∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE，∴∠BAD＝∠CAE，∠ABC=∠ACB=∠ADE=∠AED=45°，∴△BAD≌△∠CAE(SAS)，∴CE＝BD，∠AEC＝∠ADB=90°，∴∠BDG=180°−∠ADB−∠ADE=45°，∠DEC=∠AEC−∠AED=90°−45°=45°，∵BG⊥ED，∴∠G=90°，∴∠CME=∠G=90°，∠BDG=∠DEC=45°，CE＝BD，∴△GBD≌△MEC(AAS)，∴BG=CM，又∵∠G=∠CMF，∠BFG=∠CFM，∴△BFG≌△CFM(AAS)，∴BF=CF．∵AB=AC,∠BAC=90°，∴AF=BF=CF，AF⊥BC，∴∠AFN+∠BGG=90°，∵∠FBG+∠BFG=90°,∴∠AFN=∠FBG，∴∠G=∠ANF=90°，∴△BFG≌△FAN，∴AN=FG∵AD=AE，∠DAE=90°，AN⊥DE，∴DE=2AN=2FG．（3）解：如图3，作点A关于CH的对称点J，连接CJ，AJ，过点J作JM⊥BC交BC的延长线于点M，取BC的中点O，连接OP，OJ．∵AB=AC=4,∠BAC=90°∴BC=√2AB=4√2∴OB=OC=2√2∵CH⊥BC，A，J关于CH对称∴CJ=CA=4,∠JCH=45°∴∠JCM=45°∵JM⊥CM∴CM=JM=2√2∴OM=OC+CM=4√2∴OJ=√JM2+OM2=√(2√2)2+(4√2)2=2√10由（2）得△BAD≌△CAE∴∠ABD=∠ACE∴∠CPB=∠BAC=90°∵OB=OC∴OP=2√2∴PJ≥OJ−OP=2√10−2√2∴PJ的最小值为2√10−2√2∵A，J关于CH对称∴AQ=QJ∴AQ+PQ=QP+QJ≥PJ=2√10−2√2∴AQ+QP的最小值为2√10−2√2．12．（2023上·陕西西安·八年级西安市第三中学校考期中）如图，长方形纸片ABCD，AB=6，BC=8，点E、F分别是边AB、BC上的点，将△BEF沿着EF翻折得到△B′EF．（1）如图1，点B′落在边AD上，若AE=2，则AB′=______，FB′=______；（2）如图2，若BE=2，F是BC边中点，连接B′D、FD，求△B′DF的面积；（3）如图3，点F是边BC上一动点，作EF⊥DF，将△BEF沿着EF翻折得到△B′EF，连接DB′，当△DB′F是以DF为腰的等腰三角形时，请直接写出CF的长．【思路点拨】（1）根据题意，折叠的性质可得△BEF≌△B′EF，根据在Rt△AB′E中，AE=2，B′E=4，AB′=√3AE= 2√3，设BF=x，则由等面积法列式求解，可得答案；（2）延长FB′交AB于K，设KE=x，KB′=y，则∠EB′K=90°，由勾股定理可得{x2=y2+4(x+2)2+16=(y+4)2，结合面积法可得S△BEFS△FEK =BFKF=BEEK，可得y=2x−4，可得AK=23，由S△DKF=S长方形ABCD−S△AKD−S△BFK−S△DCF可得三角形面积，结合S△B′KDS△DB′F =23，从而可得答案；（3）分两种情况讨论：由△DB′F是以DF为腰的等腰三角形，当DF=DB′时，过D作DH⊥B′F于H，证明△DHF≌△DCF，可得HF=CF，易得CF=83；当DF=B′F时，同理△DHF≌△DCF，设HF=CF=n,DH= CD=6，可得DF=B′F=BF=8−n，利用勾股定理可得(8−n)2=n2+62，从而可得答案．【解题过程】（1）解：∵四边形ABCD是长方形，AB=6,BC=8,AE=2，∴∠A=∠B=90°,BE=AB−AE=6−2=4，∵△BEF沿着EF翻折得到△B′EF，∴△BEF≌△B′EF，∴BE=B′E=4，在Rt△AB′E中，AE=2,B′E=4，∴AB′=√3AE=2√3，设BF=B′F=x，如下图，连接AF，则由等面积法可得12AE⋅BF+12AB′⋅AB=12BF⋅BE+12AE⋅AB′，即12×2x+12×2√3×6=12×4x+12×2×2√3，解得x=4√3，∴BF=B′F=4√3．故答案为：2√3，4√3；（2）∵四边形ABCD是长方形，AB=6,BC=8,BE=2，F是BC边中点，∴AE=AB−BE=6−2=4，BF=CF=12BC=12×8=4，∵△BEF沿着EF翻折得到△B′EF，∴B′F =BF =4,BE =B′E =2,∠B =∠EB′F =90°，∴B′F =CF =4，如图2，延长FB′交AB 于K ，设KE =x ，KB′=y ，∴∠EB′K =90°，∴由勾股定理可得{x 2=y 2+4(x +2)2+16=(y +4)2 ， ∴x =2y −2，∴S △BEFS △FEK=BF KF =BE EK ， ∴44+y =2x ，即y =2x −4，∴{x =2y −2y =2x −4，解得{x =103y =83，经检验符合题意； ∴AK =6−103−2=23， ∴S △DKF =S 长方形ABCD −S △AKD −S △BFK −S △DCF=48−12×23×8−12×163×4−12×4×6 =683； ∵B ′K B ′F =834=23， ∴S△B ′KD S △DB ′F =23，∴S △DB ′F =35S △DKF =35×683=685；（3）∵△DB′F 是以DF 为腰的等腰三角形，当DF =DB′时，如图3，过D 作DH ⊥B′F 于H ，∴B′H =FH ，由折叠可得∠BFE =∠B′FE ，且EF ⊥DF ，∴∠B′FE +∠DFB′=90°=∠BFE +∠DFC ，∴∠DFB′=∠DFC ，∵∠DHF =∠C =90°，DF =DF ，∴△DHF ≌△DCF(AAS)，∴HF =CF ，∴BF =B′F =2FH =2FC ，∴3CF =8，即CF =83，当DF =B′F 时，同理△DHF ≌△DCF(AAS)，设HF =CF =n ，DH =CD =6，∴DF =B′F =BF =8−n ，∴由勾股定理可得(8−n)2=n 2+62，解得n =74，即CF =74．综上所述，CF =83或74．13．（2023下·四川成都·八年级统考期末）在△ABC 中，AB =12AC ，点D 为直线BC 上一动点，AD =AE ，∠BAC =∠DAE ．（1）如图1，连接ED 交AC 于F ，∠BAC =90°，F 为AC 中点，若BD =3√2，DF =√2，求AD 的长；（2）如图2，延长CB至点G使得BG=DB，连接AG，CE，求证：AG=CE；（3）如图3，∠BAC=120°，AB=2√7，作点E关于直线BC的对称点E′，连接BE′，EE′，当BE′最小时，直接写出线段EE′的长．【思路点拨】（1）由同角的余角相等可得∠BAD=∠EAF，由SAS可证明△BAD≌△EAF，得到BD=EF=3√2，由∠EAD= 90°，AD=AE结合勾股定理得到AD2+AD2=BD2，计算即可得到答案；（2）延长AB至H，使BH=AB，连接DH，由SAS证明△ABG≌△HBD，得到AG=DH，由SAS证明△AHD≌△ACE，得到CE=AH，从而得证；（3）取AC的中点M，连接EM并延长交BC于N，令BC与EE′相交于点O，由SAS可证明△BAD≌△MAE(SAS)，得到∠ABD=∠AME=∠CMN，由∠BAC=120°，可得∠BAH=60°，∠MNB=60°，点E的轨迹为直线EM，EM交BC于N，连接AN，再将该直线沿BC翻折可得到E′的轨迹，则AN⊥NE′，此时∠ANB=30°，作AH⊥CA 交CA的延长线于H，作AG⊥BC交BC于G，由含有30°角的直角三角形的性质以及勾股定理可得，AH=√7，AM=CM=AB=2√7，BH=√21，CH=5√7，BC=14，由等面积法可得AG=2√3，从而得到BG=4，AN=4√3，GN=6，BN=10，由对称的性质可得∠E′NB=60°，BN⊥EE′，OE′=OE，当BE′⊥E′N时，BE′最小，在△BE′N中，由含有30°角的直角三角形的性质、勾股定理以及等面积法可求得OE′的长，从而得到答案．【解题过程】（1）解：∵F为AC中点，AB=12AC，∴AF=12AC=AB，∵∠BAD+∠DAF=∠BAC=90°，∠EAF+∠DAF=∠EAD=90°，∴∠BAD=∠EAF，在△BAD和△EAF中，{AD=AE∠BAD=∠EAFAB=AF，∴△BAD≌△EAF(SAS)，∴BD=EF=3√2，∴BD=EF+DF=4√2，∵∠EAD=90°，AD=AE，∴AD2+AE2=BD2，∴AD2+AD2=BD2，∴AD=4；（2）证明：延长AB至H，使BH=AB，连接DH，，在△ABG和△HBD中，{GB=DB∠ABG=∠HBDAB=HB，∴△ABG≌△HBD(SAS)，∴AG=DH，∵∠HAD+∠DAC=∠HAC，∠DAC+∠CAE=∠DAE，∠BAC=∠DAE，∴∠HAD=∠CAE，∵AB=12AC，AB=BH，∴AH=AC，在△AHD和△ACE中，{AH=AC∠HAD=∠CAEAD=AE，∴△AHD≌△ACE(SAS)，∴CE=AH，∴CE=AG；（3）解：如图，取AC的中点M，连接EM，令BC、EE′交于点O，，∵AB=12AC，∴AM=AB，∵∠BAD+∠DAC=∠BAC，∠DAC+∠EAM=∠EAD，∠BAC=∠EAD，∴∠BAD=∠MAE，在△BAD和△MAE中，{AB=AM∠BAD=∠MAEAD=AE，∴△BAD≌△MAE(SAS)，∴∠ABD=∠AME=∠CMN，∵∠BAC=120°，∴∠ABC+∠C=60°，∠BAH=60°，∴∠MNB=∠CMN+∠C=60°，∴点E的轨迹为直线EM，EM交BC于N，连接AN，再将该直线沿BC翻折可得到E′的轨迹，则AN⊥NE′，此时∠ANB=30°，作BH⊥CA交CA的延长线于H，∵AB=2√7，∴AH=12AB=√7，AM=CM=12AC=AB=2√7，AC=2AB=4√7，∴BH=√AB2−AH2=√(2√7)2−(√7)2=√21，CH=AC+AH=5√7，∴BC=√BH2+CH2=√(√21)2+(5√7)2=14，作AG⊥BC交BC于G，∵S△ABC=12AC⋅BH=12BC⋅AG，∴12×4√7×√21=12×14×AG，∴AG=2√3，∴AN=2AG=4√3，BG=√AB2−AG2=4，∴GN=√AN2−AG2=6，∴BN=BG+GN=10，∵点E关于直线BC的对称点E′，∴∠E′NB=60°，BN⊥EE′，OE′=OE，∴当BE′⊥E′N时，BE′最小，∴E′N=12BN=5，∴E′B=√BN2−E′N2=5√3，∵S△BE′N=12E′B⋅E′N=12BN⋅OE′，∴5√3×5=10×OE′，∴OE′=5√32，∴EE′=5√3．14．（2023下·辽宁沈阳·八年级沈阳市南昌初级中学（沈阳市第二十三中学）校联考期中）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠CAB=60°，AB=4，E为直线AB上一动点，连接CE，将CE绕点C顺时针旋转60°得到CD，连接AD．（1）BC=______（2）①如图1，当点E与点B重合时，AD=______．②如图2，当点E在线段AB上时，若BE=1，求AD的长度．（3）若∠ECB=15°，直接写出AD的长度．【思路点拨】（1）在Rt△ABC中，由30°所对的直角边是斜边的一半，再由勾股定理得到BC=4√3，即可得到答案；（2）①利用旋转性质，证得△ABC≌△ADC(SAS)，由全等性质即可得到AD=AB=4；②在AC上截取AF= AE，如图所示，由“手拉手模型”证得△DAE≌△CFE(SAS)，则AD=CF，根据（1）中AC=8，结合已知条件即可得到答案；（3）由于E为直线AB上一动点，当∠ECB=15°，分两种情况：①E在直线BC上方；②E在直线BC下方；作图分析求解即可得到答案．【解题过程】（1）解：在Rt△ABC中，∠CAB=60°，则∠ACB=30°，∵AB=4，则AC=8，∴BC=√AC2−AB2=√82−42=4√3，故答案为：4√3；（2）解：①由（1）知∠ACB=30°，∵将CE绕点C顺时针旋转60°得到CD，∴当点E与点B重合时，∠DCA=∠ACB=30°，CB=CD，在△ABC和△ADC，{CB=CD∠DCA=∠ACBAC=AC，∴△ABC≌△ADC(SAS)，∴AD=AB=4，故答案为：4；②在AC上截取AF=AE，如图所示：∵∠CAB=60°，∴△AEF是等边三角形，∴AE=EF,∠AEF=60°，∵将CE绕点C顺时针旋转60°得到CD，∴△CDE是等边三角形，∴DE=CE,∠CED=60°，∵∠AED=∠AEF−∠DEF=60°−∠DEF，∠CEF=∠CED−∠DEF=60°−∠DEF，∴∠AED=∠CEF，在△DAE和△CFE中，{AE=EF∠AED=∠CEFED=EC，∴△DAE≌△CFE(SAS)，∴AD=CF，∵AB=4，BE=1，∴AF=AE=AB−BE=4−1=3，由（1）知AC=8，∴CF=AC−AF=8−3=5，则AD=CF=5；（3）解：由题意可知，分两种情况讨论：①E在直线BC上方；②E在直线BC下方；由（1）知在Rt△ABC中，∠ACB=30°，当∠ECB=15°时，∠ACE=∠BCE=15°，即CE是∠ACB的角平分线，∴过E作EG⊥AC于G，如图所示：∴BE=BG，在Rt△AEG中，∠EAG=60°，则∠AEG=30°，设AG=x，则AE=2x，由勾股定理可得BE=EG=√AE2−AG2=√3x，∵AB=4，∴AB=AE+EB，即4=2x+√3x，解得x=8−4√3，则BE=√3x=8√3−12，当E在直线BC上方，在AC上截取=AE，如图所示：由（2）②的求解过程可知，AD=FC，当BE=8√3−12时，AF=AE=AB−BE=4−(8√3−12)=16−8√3，∴AD=FC=AC−AF=8−(16−8√3)=8√3−8；当E在直线BC下方，过D作DH⊥AC于H，如图所示：∴∠DHC=90°，由（1）知在Rt△ABC中，∠ACB=30°，AB=4,BC=4√3,AC=8，∵将CE绕点C顺时针旋转60°得到CD，∠ECB=15°，∴∠ACD=60°−30°−15°=15°=∠BCE，CE=CD，在△DHC和△EBC中，{∠ACD=∠BCE=15°∠DHC=∠EBC=90°CD=EC，∴△DHC≌△EBC(SAS)，∴HC=BC=4√3,DH=BE，作点E关于直线BC的对称点I，如图所示：则DH=BE=BI，由（3）可知，BI=8√3−12，则DH=BE=BI=8√3−12，∵AH=AC−HC=8−4√3，在Rt△AHD中，∠DHA=90°，AH=8−4√3，DH=8√3−12，则AD=√AH2+DH2=16−8√3，综上所述，若∠ECB=15°，AD的长度为8√3−8或16−8√3．15．（2023下·辽宁沈阳·八年级沈阳市第七中学校考阶段练习）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C作AB的平行线l，点P是直线l上异于点C的动点，连接AP，过点P作AP的垂线交直线BC于点D．（1）如图1，当点P在点C的右侧时，①求证：PA=PD；（提示：作PE垂直直线l交CD于点E．）②试判定线段CA，CD，CP之间有何数量关系？写出你的结论，并证明；（2）若AC=5√2，AP=13，直接写出线段BD的长．【思路点拨】（1）①过P作PE⊥l，交CD于E，由∠ACB=90°，AC=BC，AB∥l，可得∠ACP=∠ACB+∠ECP=135°，△ECP是等腰直角三角形，所以CP=EP，∠DEP=∠ECP+∠CPE=135°=∠ACP，即可证明△ACP≌△DEP(ASA)，得PA=PD；②由①知△ACP≌△DEP，△ECP是等腰直角三角形，故AC=DE，CE=√2CP，即得CD=AC+√2CP；（2）分两种情况：当P在C右侧时，过A作AH⊥l于H；当P在C左侧时，过P作PF⊥l交BD的延长线于F，分别求解即可得到答案．【解题过程】（1）①证明：过P作PE⊥l，交CD E，如图所示，，∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠ABC=45°，∵AB∥l，∴∠ECP=∠ABC=45°，∴∠ACP=∠ACB+∠ECP=135°，△ECP是等腰直角三角形，∴CP=EP，∠DEP=∠ECP+∠CPE=135°=∠ACP，∵∠APD=90°=∠EPC，∴∠APC=∠EPD，∴△ACP≌△DEP(ASA)，∴PA=PD；②解：CD=AC+√2CP，由①可知：△ACP≌△DEP，△ECP是等腰直角三角形，∴AC=DE，CE=√2CP，∵CD=DE+CE，∴CD=AC+√2CP；（2）解：当P在C右侧时，过A作AH⊥l于H，如图所示，，∵∠ABC=∠BCP=45°，∠ACB=90°，∴∠ACH=45°，∴△ACH是等腰直角三角形，∵AC=5√2，∴AH=CH=5，在Rt△APH中，HP=√AP2−AH2=√132−52=12，∴CP=HP−CH=12−5=7，由②可知，CD=AC+√2CP，∴CD=5√2+√2×7=12√2，∴BD=CD−BC=CD−AC=12√2−5√2=7√2；当P在C左侧时，过P作PF⊥l交BD的延长线于F，如图所示，。

人教版初中数学八年级下册勾股定理知识点与常见题型总结

勾股定理一．知识归纳１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证． c ba HG FEDCB A方法二：b ac b a cca b c a b四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证 a b ccb a E DCB A３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c =b，a =②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：A B C 30°D CB A AD B CCB D A题型一：直接考查勾股定理例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长分析：直接应用勾股定理222a b c +=解：⑴10AB ==⑵8BC题型二：应用勾股定理建立方程例２.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解解：⑴4AC ==， 2.4AC BC CD AB⋅== DB A C⑵设两直角边的长分别为3k ，4k ∴222(3)(4)15k k +=，3k ∴=，54S =⑶设两直角边分别为a ，b ，则17a b +=，22289a b +=，可得60ab =1302S ab ∴==2cm 例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长21E DCBA分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来解：作DE AB ⊥于E ，12∠=∠，90C ∠=︒∴ 1.5DE CD ==在BDE ∆中90,2BED BE ∠=︒=Rt ACD Rt AED ∆≅∆AC AE ∴=在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒222AB AC BC ∴=+，222()4AE EB AC +=+3AC ∴=例4.如图Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积答案：6题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 mAB CD E分析：根据题意建立数学模型，如图8AB =m ，2CD =m ，8BC =m ，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，则6AE =m ，8DE =m在Rt ADE ∆中，由勾股定理得10AD =答案：10m题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三边长为a ，b ，c ，判定ABC ∆是否为Rt ∆ ① 1.5a =，2b =， 2.5c = ②54a =，1b =，23c = 解：①22221.52 6.25a b +=+=，222.5 6.25c ==∴ABC ∆是直角三角形且90C ∠=︒ ②22139b c +=，22516a =，222bc a +≠ABC ∴∆不是直角三角形例7.三边长为a ，b ，c 满足10a b +=，18ab =，8c =的三角形是什么形状？解：此三角形是直角三角形理由：222()264a b a b ab +=+-=，且264c =222a b c ∴+= 所以此三角形是直角三角形题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例8.已知ABC ∆中，13AB =cm ，10BC =cm ，BC 边上的中线12AD =cm ，求证：AB AC =证明：D CB AAD 为中线，5BD DC ∴==cm在ABD ∆中，22169AD BD +=，2169AB =222AD BD AB ∴+=， 90ADB ∴∠=︒，222169AC AD DC ∴=+=，13AC =cm ，AB AC ∴=.。

八年级数学下册课件(人教版)勾股定理

5 如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC 和△A′B′C ′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C ′落在边AB上，连接B′C. 若∠ACB＝∠AC′B ′ ＝90°，AC＝BC＝3，则B′C 的长为( A )
A．3 3 B．6 C．3 2 D. 21
知识点 2 勾股定理与面积的关系
在一张纸上画4个与图所示的全等的直角三边形，并把它们剪下来．如图所示，用这四个直角三角形进行拼摆，将得到一个
17.1 勾股定理
第1课时
相传2500年前，一次毕达哥拉斯去朋友家作客，发现朋友家用砖铺成的地面反映直角三角形三边的某种数量关系，同学们，我们也来观察下面的图案，看看你能发现什么？
A、B、C 的面积有什么关系？
直角三角形三边有什么关系？
A
B
C
让我们一起探索这个古老的定理吧！
知识点 1 勾股定理
正方形B的面积是 9 个单位面积.
正方形C的面积是 18 个单位面积.
C A
B
图2-1
C A
B
图2-2
(图中每个小方格代表一个单位面积)
分“割”成若干个直角边为整数的三角形
S正方形c
= 4 133 2
=18(单位面积)
C A
B
图2-1
C A
B
图2-2
(图中每个小方格代表一个单位面积)
(2)在图2-2中，正方形A，B， C 中各含有多少个小方格？
A．3 B．4 C．5 D．7
4 如图，已知△ABC 为直角三角形，分别以直角边AC，BC 为直径作半圆AmC 和BnC，以AB 为直径作半圆ACB，记两个月牙形阴影部分的面积之和为S1，△ABC 的面积为S2，则S1与S2的大小关

八年级数学下册【勾股定理】基础知识+规律方法指导+重要题型!

八年级数学下册【勾股定理】基础知识+规律方法指导+重要题型！基础知识点1：勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。

1：勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。

（即：a2+b2＝c2）要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形（若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2<a2+b2，则△ABC为锐角三角形）。

3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。

4：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

5：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理规律方法指导1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。

2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。

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优翼微课
初中数学知识点精讲课程
构造直角三角形利用勾股定理
1.通过构造直角三角形来解决问题（重点）。 2.构造合理的直角三角形：（难点）（1）绝不破坏已知角（2）尽量不破坏已知边（3）见特殊角作高构造直角三角形（30°,45°,60°,120°,135°,150°）（4）无图时，考虑问题要全面，分类讨论。
AB 10
课堂小结
利用分割作垂线构法构造直造直角三角三角形角形
BD 3
∴BC=BD+DC=3+4=7
D
变Hale Waihona Puke 题22 x 1x1
解：在Rt△ACD中，AD=x,DC=x AD 2 DC 2 AC 2 2 x2 x2 2 x 1

在Rt△ABD中，AD=1,BD=BC+CD=3
D
AB 2 AD 2 BD 2 AB 2 12 32 10
典例精讲类型一：利用分割法构造直角三角形
例1：如图，在四边形ABCD中，AB= 2 ,AD= 3 ,BC=1，求CD的长。
2
1
BD 2 AB 2 AD 2 2 3 5
BD 5
5
3
CD 2 BD 2 BC 2 5 1 4
CD 2
典例精讲
类型二：作垂线构造直角三角形
例2：
典例精讲解：过A点作AD⊥BC交BC于D点在Rt△ACD中，AD=x,DC=x
AD 2 DC 2 AC 2
x 4
x x 4 2
2 2

2
在Rt△ABD中，AB=5,AD=4
5 x 4 3
4 2
x4
BD 2 AB 2 AD 2