[整理]塑性力学讲义-全量理论与增量理论教学讲义ppt
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塑性力学讲义-全量理论与增量理论
i2 3 S iS jij , i3 2 e ie jij ,J 2 1 2 S iS jij ,J 2 1 2 e ie jij 以0代.5 入 i Ei1 得到 i 3G i1
则 Sij2G 1eij
这是全量理论的另一种表达形式。
例4-1、在薄壁筒的拉伸与扭转问题中，若
材料为理想弹塑性，且 0。.5设拉力为P，扭 矩为M，筒的平均半径为r，壁厚为t。于是
故
ij
3 2
或ii Sij
Sij
2 i 3 i
ij
又因为 S zzm z 1 3z 3 2,S zz
其展开式为
i , i
i
3i
又由于r 1 2 z 1 2 ,z1 2 z1 2
故
i
2 1 2 （2）
3
（二）对于理想塑性材料： i s （3）
将（2）、（3）代入式（1），得到
2、与初始屈服及后继加载面相关连的某一 流动法则。即要有一个应力和应变（或它们 的增量）间的关系，此关系包括方向关系和 分配关系。实际是研究它们的偏量之间的关 系； 3、确定一种描述材料强化（硬化）特性的 强化条件，即加载函数。有了这个条件才能 确定应力、应变或它们的增量之间的定量关 系。
§4-2 广义Hooke定律
当应力从加载面卸载时，也服从广义Hooke
定律，但是不能写成全量形式，只能写成增
量形式。d ii1 E 2 d ii,
dije 2 1 G dijS
§4-3 全量型本构方程
由于在塑性变形状态应力和应变不存在一 一对应的关系。因此，必须用增量形式来表 示它们之间的关系。只有在知道了应力或应 变历史后，才可能沿加载路径积分得出全量 的关系。由此可见，应力与应变的全量关系 必然与加载的路径有关，但全量理论企图直 接建立用全量形式表示的，与加载路径无关 的本构关系。所以全量理论一般说来是不正 确的。不过，从理论上来讲，沿路径积分总 是可能的。但要在积分结果中引出明确的
塑性力学 ppt课件
或者
l l n ij i j S n ij l i 2 S n n
2 n
（求和约定的缩写形式）
一点的应力状态及应力张量
一点的应力状态：是指通过变形体内某点的单元体所有 截面上的应力的有无、大小、方向等情况。 一点的应力状态的描述： 数值表达：x=50MPa，xz=35MPa 图示表达：在单元体的三个正交面上标出（如图 1-2） 张量表达： (i,j=x,y,z) x xy xz
1 2 2 3 3 1
x
I3 . .
xy xz y yz . z
23 1
讨论：
1. 2. 3. 4. 5. 6. 可以证明，在应力空间，主应力平面是存在的； 三个主平面是相互正交的； 三个主应力均为实根，不可能为虚根； 应力特征方程的解是唯一的； 对于给定的应力状态，应力不变量也具有唯一性； 应力第一不变量I1反映变形体体积变形的剧烈程 度，与塑性变形无关；I3也与塑性变形无关； I2与塑性 变形有关。 7. 应力不变量不随坐标而改变，是点的确定性的判据。
弹性、塑性变形的力学特征
可逆性：弹性变形——可逆；塑性变形——不可逆 -关系：弹性变形——线性；塑性变形——非线性 与加载路径的关系：弹性——无关；塑性——有关 对组织和性能的影响：弹性变形——无影响；塑性变形—— 影响大（加工硬化、晶粒细化、位错密度增加、形成织构等） 变形机理：弹性变形——原子间距的变化； 塑性变形——位错运动为主 弹塑性共存：整体变形中包含弹性变形和塑性变形；塑性变 形的发生必先经历弹性变形；在材料加工过程中，工件的塑 性变形与工模具的弹性变形共存。
金属塑性加工原理
2021塑性力学塑性本构关系最新PPT资料
其中(1)和(3) 在第二章已经解决, 本章要解决第(2)点.
3-2 广义Hooke定律
• 在弹性范围内, 广义Hooke定律可以表达为
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ij E 11ijijkk
• 也可以表示为: ii1 E 2 ii
1 eij 2G Sij
我们来证明一下:
由应力和应变的分解式,即 ij S ij ij m , ij e ij ijm
注意的是上式只是描述了加载过程中的弹塑性变形规律. 加
载的标志是应力强度 i 成单调增长. i 下降时为卸载过 程, 它时服从增量Hooke定律.
3-4 全量理论的基本方程及边值问题的提法
设在物体 V 内给定体力 F i , 在应力边界 S 上给定面
S : pi
力 p i, 在位移边界 S u 上给 定位移为 , 要求确定物 u 在小变形且简单加载的情况下i , 这两个理论是一致的.
(2)增量理论, 又称为流动理论, 它认为在塑性状态下是塑性应 变增量和应力及应力增量之间随关系.有Levy-Mises(莱维-米 泽斯)理论和Prandtl-Reuss(普朗特-罗伊斯)理论.
3-1 建立塑性本构关系的基本要素 Shield和Ziegler指出, 建立塑性本构关系需要考虑三个基本要素: (1)初始屈服条件;(2)流动法则;(3)加载条件.
ii1 E 2 ii
eij 2 1 G Sij
第二个式子是六个方程,但因为有 Sii 0 , 所以有5个是独立的. 从第二式可以看到在弹性范围内应力主轴和应变主轴是一致
的. 应变偏量的分量和相应的应力偏量的分量成正比.
第二式也可以写成 Sij 2Geij ,把它代入应力强度的表达式
就可以得到下面的第二式, 然后有 Gi /3i 再代回上面第
3-2 广义Hooke定律
• 在弹性范围内, 广义Hooke定律可以表达为
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ij E 11ijijkk
• 也可以表示为: ii1 E 2 ii
1 eij 2G Sij
我们来证明一下:
由应力和应变的分解式,即 ij S ij ij m , ij e ij ijm
注意的是上式只是描述了加载过程中的弹塑性变形规律. 加
载的标志是应力强度 i 成单调增长. i 下降时为卸载过 程, 它时服从增量Hooke定律.
3-4 全量理论的基本方程及边值问题的提法
设在物体 V 内给定体力 F i , 在应力边界 S 上给定面
S : pi
力 p i, 在位移边界 S u 上给 定位移为 , 要求确定物 u 在小变形且简单加载的情况下i , 这两个理论是一致的.
(2)增量理论, 又称为流动理论, 它认为在塑性状态下是塑性应 变增量和应力及应力增量之间随关系.有Levy-Mises(莱维-米 泽斯)理论和Prandtl-Reuss(普朗特-罗伊斯)理论.
3-1 建立塑性本构关系的基本要素 Shield和Ziegler指出, 建立塑性本构关系需要考虑三个基本要素: (1)初始屈服条件;(2)流动法则;(3)加载条件.
ii1 E 2 ii
eij 2 1 G Sij
第二个式子是六个方程,但因为有 Sii 0 , 所以有5个是独立的. 从第二式可以看到在弹性范围内应力主轴和应变主轴是一致
的. 应变偏量的分量和相应的应力偏量的分量成正比.
第二式也可以写成 Sij 2Geij ,把它代入应力强度的表达式
就可以得到下面的第二式, 然后有 Gi /3i 再代回上面第
4塑性增量本构理论
d ij 的夹角
p
。
2
即加载面φ必须外凸。
2
如果加载面内凹，如右图，则会使
。
二、Drucker公设的推论
2. d p 的正交性
参见下图（反证法）：如果 d ijp 不与n 重合，就一定可 以找到一点A，使得
ij
A B d ij 0
p
，故而d ijp 必为 的梯度方
d 0 , 加 载 硬化塑性： d 0 , 中 性 变 载 d 0 , 卸 载
§4.2 加载条件与加载准则
二、理想塑性材料的加载准则
1. 正则屈服面上的加载准则
当屈服函数处处可微时，相应的屈服面称正则屈服面。 对于对于理想塑性材料，如果以f(ij)＝0表示屈服面，应 力位于极限曲面之内，材料处于弹性状态；应力位于极限曲 面之上，则塑性变形将可无限发展；而应力点不能达到屈服 之外。因此，保证应力不脱离屈服面就是加载准则： f(ij)＝0
d d
d d
o
o
§4.3 塑性共设
一、Drucker公设
2. 公设的涵义 德鲁克公设可陈述为：对于处在某一状态下的稳定材料 的质点 ( 试件 ) ，借助于一个外部作用，在其原有应力状态之 上，缓慢地施加并卸除一组附加应力，在附加应力的施加和 卸除循环内，外部作用所作之功是非负的。 即：
d d d
n1
n2
§4.2 加载条件与加载准则
三、硬化材料的加载准则
1. 正则屈服面上的加载准则
（ 加载条件：
a
ij
, H a) 0
，则
d
ij
d
ij
p
。
2
即加载面φ必须外凸。
2
如果加载面内凹，如右图，则会使
。
二、Drucker公设的推论
2. d p 的正交性
参见下图（反证法）：如果 d ijp 不与n 重合，就一定可 以找到一点A，使得
ij
A B d ij 0
p
，故而d ijp 必为 的梯度方
d 0 , 加 载 硬化塑性： d 0 , 中 性 变 载 d 0 , 卸 载
§4.2 加载条件与加载准则
二、理想塑性材料的加载准则
1. 正则屈服面上的加载准则
当屈服函数处处可微时，相应的屈服面称正则屈服面。 对于对于理想塑性材料，如果以f(ij)＝0表示屈服面，应 力位于极限曲面之内，材料处于弹性状态；应力位于极限曲 面之上，则塑性变形将可无限发展；而应力点不能达到屈服 之外。因此，保证应力不脱离屈服面就是加载准则： f(ij)＝0
d d
d d
o
o
§4.3 塑性共设
一、Drucker公设
2. 公设的涵义 德鲁克公设可陈述为：对于处在某一状态下的稳定材料 的质点 ( 试件 ) ，借助于一个外部作用，在其原有应力状态之 上，缓慢地施加并卸除一组附加应力，在附加应力的施加和 卸除循环内，外部作用所作之功是非负的。 即：
d d d
n1
n2
§4.2 加载条件与加载准则
三、硬化材料的加载准则
1. 正则屈服面上的加载准则
（ 加载条件：
a
ij
, H a) 0
，则
d
ij
d
ij
塑性力学基础知识ppt课件
• 由于材料的屈服极限是唯一 的，所以 应该用应力或应力的组合作为判断材 料是否进入了塑性状态的准则。
• 根据不同应力路径所进行的实验，可 以定出从弹性阶段进入塑性阶段的各 个界限。这个分界面即称为屈服面， 而描述这个屈服面的数学表达式称为 屈服函数或称为屈服条件。
12
本标准适 用于已 投入商 业运行 的火力 发电厂 纯凝式 汽轮发 电机组 和供热 汽轮发 电机组 的技术 经济指 标的统 计和评 价。燃 机机组 、余热 锅炉以 及联合 循环机 组可参 照本标 准执行 ，并增 补指标 。
19
简单弹塑性力学问题 本标准适用于已投入商业运行的火力发电厂纯凝式汽轮发电机组和供热汽轮发电机组的技术经济指标的统计和评价。燃机机组、余热锅炉以及联合循环机组可参照本标准执行，并增补指标。
• 梁的弯曲 • 圆柱体的扭转 • 旋转圆盘 • 受内压或外压作用的厚壁筒和
厚壁球体
20
本标准适 用于已 投入商 业运行 的火力 发电厂 纯凝式 汽轮发 电机组 和供热 汽轮发 电机组 的技术 经济指 标的统 计和评 价。燃 机机组 、余热 锅炉以 及联合 循环机 组可参 照本标 准执行 ，并增 补指标 。
塑性力学的任务
• 当作用在物体上的外力取消后，物 体的变形不完全恢复，而产生一部 分永久变形时，我们称这种变形为 塑性变形，研究这种变形和作用力 之间的关系，以及在塑性变形后物 体内部应力分布规律的学科称为塑 性力学。
2
本标准适 用于已 投入商 业运行 的火力 发电厂 纯凝式 汽轮发 电机组 和供热 汽轮发 电机组 的技术 经济指 标的统 计和评 价。燃 机机组 、余热 锅炉以 及联合 循环机 组可参 照本标 准执行 ，并增 补指标 。
屈服条件的概念，
• 屈服条件又称塑性条件，它是判断 材料处于弹性阶段还是处于塑性阶 段的准则。.
• 根据不同应力路径所进行的实验，可 以定出从弹性阶段进入塑性阶段的各 个界限。这个分界面即称为屈服面， 而描述这个屈服面的数学表达式称为 屈服函数或称为屈服条件。
12
本标准适 用于已 投入商 业运行 的火力 发电厂 纯凝式 汽轮发 电机组 和供热 汽轮发 电机组 的技术 经济指 标的统 计和评 价。燃 机机组 、余热 锅炉以 及联合 循环机 组可参 照本标 准执行 ，并增 补指标 。
19
简单弹塑性力学问题 本标准适用于已投入商业运行的火力发电厂纯凝式汽轮发电机组和供热汽轮发电机组的技术经济指标的统计和评价。燃机机组、余热锅炉以及联合循环机组可参照本标准执行，并增补指标。
• 梁的弯曲 • 圆柱体的扭转 • 旋转圆盘 • 受内压或外压作用的厚壁筒和
厚壁球体
20
本标准适 用于已 投入商 业运行 的火力 发电厂 纯凝式 汽轮发 电机组 和供热 汽轮发 电机组 的技术 经济指 标的统 计和评 价。燃 机机组 、余热 锅炉以 及联合 循环机 组可参 照本标 准执行 ，并增 补指标 。
塑性力学的任务
• 当作用在物体上的外力取消后，物 体的变形不完全恢复，而产生一部 分永久变形时，我们称这种变形为 塑性变形，研究这种变形和作用力 之间的关系，以及在塑性变形后物 体内部应力分布规律的学科称为塑 性力学。
2
本标准适 用于已 投入商 业运行 的火力 发电厂 纯凝式 汽轮发 电机组 和供热 汽轮发 电机组 的技术 经济指 标的统 计和评 价。燃 机机组 、余热 锅炉以 及联合 循环机 组可参 照本标 准执行 ，并增 补指标 。
屈服条件的概念，
• 屈服条件又称塑性条件，它是判断 材料处于弹性阶段还是处于塑性阶 段的准则。.
塑性力学讲义-全量理论与增量理论
3
（三）在简单加载条件下，材料进入塑性时
各应变分量同时达到屈服，即 s ,， s
又
s
s
3G
,
s
s
G
s
3
1 G
s
3G
分别代入（4）得到
s
s
3G
2
1 3
s
s
3G
2
3G
s
2
0.707 s
由于在塑性变形状态应力和应变不存在一 一对应的关系。因此，必须用增量形式来表 示它们之间的关系。只有在知道了应力或应 变历史后，才可能沿加载路径积分得出全量 的关系。由此可见，应力与应变的全量关系 必然与加载的路径有关，但全量理论企图直 接建立用全量形式表示的，与加载路径无关 的本构关系。所以全量理论一般说来是不正 确的。不过，从理论上来讲，沿路径积分总 是可能的。但要在积分结果中引出明确的
0.002 P
d P 0.002 0.002 P 0.004 P
背应力应为
P
b 46.5
mn 0.004 P n1d P
0.002
93 300 0.004 P 0.3
代入加载条件 b 得s ：0
在 P 0.时00的2 背应力为
b
0.002 0
mn P
n1 d P m P
n
0.002 0
46.5MPa
此时，加载条件变为
f 46.5 s 46.5 200 0
当应力从 246.5开MP始a卸载， ，f直到0 反向
塑性力学第四章(2)-增量理论(流动理论)
ij
0 e 0 ( ij ij )d ij 0
ij
ij
ij d ij
0 W 0 ( ij ij )d ijp 0
ij
1 0 ( ij d ij ij )d ijp 0 2
0 ij
( ij ) 0
p
等效塑性应变增量
2 d d ijp d ijp 3
p
2 1 p2 p2 p2 p p p d x d y d x (d xy2 d yz2 d zx2 ) 3 2
2 z
3 z s2
2
z z
z
2 6 s 9
d rp : d p : d zp : d p 1 : 1 : 2 : 4 6 z
例5 ：不可压缩弹塑性材料的薄壁圆管受轴向拉力和扭矩作用， s s s 使用Mises条件，求当 及 时应 3G E 3G 力分量 , ?
d d
塑性功增量表示的 P－R 理论
1 3dW d z dsz sz 2 2G 2 s d z
1 3dW deij dsij s 2 ij 2G 2 s
d d (d d ) 3G s2
1 3dW d z z 2 G s
s
3d
xy
yz
s
3d
s
zx
L－M 理论的应用：
d ij
3d sij 2 s
1. 已知应变增量求应力偏量或主应力差：
d ij
s ij
s1 , s 2 , s3
1 , 2 , 3
?
1 2 , 2 3 , 3 1
0 e 0 ( ij ij )d ij 0
ij
ij
ij d ij
0 W 0 ( ij ij )d ijp 0
ij
1 0 ( ij d ij ij )d ijp 0 2
0 ij
( ij ) 0
p
等效塑性应变增量
2 d d ijp d ijp 3
p
2 1 p2 p2 p2 p p p d x d y d x (d xy2 d yz2 d zx2 ) 3 2
2 z
3 z s2
2
z z
z
2 6 s 9
d rp : d p : d zp : d p 1 : 1 : 2 : 4 6 z
例5 ：不可压缩弹塑性材料的薄壁圆管受轴向拉力和扭矩作用， s s s 使用Mises条件，求当 及 时应 3G E 3G 力分量 , ?
d d
塑性功增量表示的 P－R 理论
1 3dW d z dsz sz 2 2G 2 s d z
1 3dW deij dsij s 2 ij 2G 2 s
d d (d d ) 3G s2
1 3dW d z z 2 G s
s
3d
xy
yz
s
3d
s
zx
L－M 理论的应用：
d ij
3d sij 2 s
1. 已知应变增量求应力偏量或主应力差：
d ij
s ij
s1 , s 2 , s3
1 , 2 , 3
?
1 2 , 2 3 , 3 1
塑性力学--第四章 塑性本构关系
2
• 当应力从加载面卸载, 也服从广义Hooke定律,写成增量形式 1 2 1 d ii d ii deij dSij E 2G
塑性成形力学基础－－韩志仁
4-3 全量型本构方程 Il’yushin在1943年提出的硬化材料在弹塑性小变形情况下的本 构关系, 这是一个全量型的关系, 类似于广义Hooke定律. 在小 变形的情况下作出下列关于基本要素的假定: 1 2 (1) 体积变形是弹性的, 即 ii ii E (2) 应变偏张量和应力偏张量成比例
塑性成形力学基础－－韩志仁
4-4 全量理论的基本方程及边值问题的提法 设在物体 V 内给定体力 Fi , 在应力边界 S 上给定面 力 pi , 在位移边界 Su 上给 定位移为 ui , 要求确定物 体内处于塑性变形状态的各 点的应力 ij , 应变 ij 和位 移 ui .按照全量理论,确定这 些基本未知量的基本方程有
塑性成形力学基础－－韩志仁 Nhomakorabea4-2 广义Hooke定律
• 在弹性范围内, 广义Hooke定律可以表达为 1 ij 1 ij ij kk E 1 2 1 • 也可以表示为: ii ii eij Sij E 2G 由应力和应变的分解式,即 ij Sij ij m , ij eij ij m 代入上面广义Hooke定律的公式,考虑到 G E / 2 1 1 eij ij m 1 S ij ij m ij kk E 1 1 1 2 1 Sij ij m 3 ij m Sij ij m E 2G E 所以可以写成两个相应分解张量之间的关系. 我们来证明一下:
塑性成形力学基础－－韩志仁
• 当应力从加载面卸载, 也服从广义Hooke定律,写成增量形式 1 2 1 d ii d ii deij dSij E 2G
塑性成形力学基础－－韩志仁
4-3 全量型本构方程 Il’yushin在1943年提出的硬化材料在弹塑性小变形情况下的本 构关系, 这是一个全量型的关系, 类似于广义Hooke定律. 在小 变形的情况下作出下列关于基本要素的假定: 1 2 (1) 体积变形是弹性的, 即 ii ii E (2) 应变偏张量和应力偏张量成比例
塑性成形力学基础－－韩志仁
4-4 全量理论的基本方程及边值问题的提法 设在物体 V 内给定体力 Fi , 在应力边界 S 上给定面 力 pi , 在位移边界 Su 上给 定位移为 ui , 要求确定物 体内处于塑性变形状态的各 点的应力 ij , 应变 ij 和位 移 ui .按照全量理论,确定这 些基本未知量的基本方程有
塑性成形力学基础－－韩志仁 Nhomakorabea4-2 广义Hooke定律
• 在弹性范围内, 广义Hooke定律可以表达为 1 ij 1 ij ij kk E 1 2 1 • 也可以表示为: ii ii eij Sij E 2G 由应力和应变的分解式,即 ij Sij ij m , ij eij ij m 代入上面广义Hooke定律的公式,考虑到 G E / 2 1 1 eij ij m 1 S ij ij m ij kk E 1 1 1 2 1 Sij ij m 3 ij m Sij ij m E 2G E 所以可以写成两个相应分解张量之间的关系. 我们来证明一下:
塑性成形力学基础－－韩志仁
塑性力学第五章本构关系ppt课件
（5-2）
将三个正应变相加，得：
kk
kk
2G
3
E
mkk
1 2
E
kk
记：平均正应变
m
1 3
kk
体积弹性模量 K E / 3(1 2 )
则平均正应力与平均正应变的关系：
m 3K m
（5-4）
（5-2）式用可用应力偏量 sij 和应变偏量 eij 表示为
1 eij 2G sij
（5-5）
包含5个独立方程
利用Mises屈服条件
J 2
2 s
2 s
3,
可以得到
本构关系
d dijdij d 3d
2 J 2
2 s 2 s
将（5-41）式代回（5-39）式，可求出
（5-41）
sij
d ij d
2 sdij d
2 sdij 3d
（5-44）
在（5-39）式中，给定 sij 后不能确定 dij ，但反之却可由 dij
确定 sij 如下：
J 2
1 2
sij sij
1
2(d)2
dijdij ,
将（5-38）式与（5-41）式加以比较就发现：
dW p s d s d
（5-45）
对于刚塑性材料 dW dW p
3、实验验证
本构关系
理想塑性材料与Mises条件相关连的流动法则：
d
p ij
d sij
对应于π平面上，d与p 二S 向量在由坐标原点发出的同一条射线上。
sij
（5-5）
We
1 2G
J 2
1
2
1 G 2
2
1
2
1
弹塑性力学PPT课件
在求解弹塑性边值问题时，有三种不同的 解题方法，即：
1．位移法：用位移作为基本未知量，来求解
边值问题的方法，称为位移法。
2．应力法：用应力作为基本未知量来问题，
叫应力法。
3．混合法：对第三类边值问题则宜以各点的
一部分位移分量和一部分应力分量作为基本未知量
混合求解。这种方法叫混合法。
.
20
上述位移法、应力法和混合法统称为直接解法。 尽管这些方法的建立在理论上有着重大意义，但在实 际解题过程中却很少原原本本地按上述步骤去做，原 因还是在于数学上的困难和复杂性。在弹塑性力学解 题方法中经常采用如下方法：
学科，是研究可变形固体受到外荷载或温度
变化等因素的影响而发生的应力、应变和位
移及其分布规律的一门科学，是研究固体在
受载过程中产生的弹性变形和塑性变形阶段
这两个紧密相连的变形阶段力学响应的一门
科学。
.
3
二、 弹塑性力学的研究对象
在研究对象上，材料力学的研究对象是固 体，且基本上是各种杆件，即所谓一维构件。
①．增量理论（流动理论）： ②．全量理论（形变理论）：
.
14
①．增量理论（流动理论）：
（i）Prandtl-Reuss理论
( 1 )
2
(a)
理想弹塑性材料
deij
1 2G
dsij
3d p 2
sij
，d m 3Kd m
（b）等向强化材料
deij
1 2G
dsij
3d 2
.
17
(4)．边界条件
（A）应力边界条件：
ij l j Fi ， (在ST上)
（B）位移边界条件：
1．位移法：用位移作为基本未知量，来求解
边值问题的方法，称为位移法。
2．应力法：用应力作为基本未知量来问题，
叫应力法。
3．混合法：对第三类边值问题则宜以各点的
一部分位移分量和一部分应力分量作为基本未知量
混合求解。这种方法叫混合法。
.
20
上述位移法、应力法和混合法统称为直接解法。 尽管这些方法的建立在理论上有着重大意义，但在实 际解题过程中却很少原原本本地按上述步骤去做，原 因还是在于数学上的困难和复杂性。在弹塑性力学解 题方法中经常采用如下方法：
学科，是研究可变形固体受到外荷载或温度
变化等因素的影响而发生的应力、应变和位
移及其分布规律的一门科学，是研究固体在
受载过程中产生的弹性变形和塑性变形阶段
这两个紧密相连的变形阶段力学响应的一门
科学。
.
3
二、 弹塑性力学的研究对象
在研究对象上，材料力学的研究对象是固 体，且基本上是各种杆件，即所谓一维构件。
①．增量理论（流动理论）： ②．全量理论（形变理论）：
.
14
①．增量理论（流动理论）：
（i）Prandtl-Reuss理论
( 1 )
2
(a)
理想弹塑性材料
deij
1 2G
dsij
3d p 2
sij
，d m 3Kd m
（b）等向强化材料
deij
1 2G
dsij
3d 2
.
17
(4)．边界条件
（A）应力边界条件：
ij l j Fi ， (在ST上)
（B）位移边界条件：
塑性力学讲义-全量理论与增量理论
（1）
第二式可以写为 m 3K m 其中 K E
31 2
第一式，且 0.5, ij eij ， 故
3 i ij Sij 2 i
2 i ij 或 Sij 3 i
1 2 又因为S z z m z z , Sz z 3 3 i i 其展开式为 i , 3 i
2G
2 i
（因 i E i 21 G i ，而塑性状态 0.5） 当应力从加载面卸载时，也服从广义 Hooke 定律，但是不能写成全量形式，只能写成增 量形式。 1 2 1
d ii E d ii , de ij 2G dS ij
§4-3 全量型本构方程 由于在塑性变形状态应力和应变不存在 一一对应的关系。因此，必须用增量形式来 表示它们之间的关系。只有在知道了应力或 应变历史后，才可能沿加载路径积分得出全 量的关系。由此可见，应力与应变的全量关 系必然与加载的路径有关，但全量理论企图 直接建立用全量形式表示的，与加载路径无 关的本构关系。所以全量理论一般说来是不 正确的。不过，从理论上来讲，沿路径积分 总是可能的。但要在积分结果中引出明确的
P M z , z 2rt 2r 2t
其余应力分量为零。当按照同时拉伸与扭转， 在 的比值保持不变条件下进入塑性状态
到 s 力。
s
E
, s
s
G
，用全量理论求筒中的应
解：（一）由全量理论
3 i eij S ij , i i 2 i 1 2 ii ii E
eij S ij
3 、‘单一曲线假设’：不论应力状态如何， 对于同一种材料来说，应力强度是应变强度 i i 的确定函数 ，是与Mises条件相应的。 （ i E i 1 ，单拉时 E 1 ）
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塑性力学讲义-全量理论与增量 理论
§4-1 建立塑性本构关系的基本要素
描述塑性变形规律的理论可分为两大类： 一类理论认为在塑性状态下仍是应力和应变 全量之间的关系即全量理论；另一类理论认 为在塑性状态下是塑性应变增量（或应变率 和应力及应力增量（应力率）之间的关系即 增量理论或流动理论。
为了建立塑性本构关系，需要考虑三个要 素： 1、初始屈服条件；
加载到
，1，5.5重3M新P 进a f入屈0 服。在此
过程中塑性应变保持不变为
P 0故.00在2 时1，5.5 对3M 应P 的应a变为
0.0032 320.00123
当应力
，将E 产生压缩塑性变形，在
此阶段， 塑性15 应.53变M增P量a为
其绝对值是
，累积塑性应(变P为0.00)20
0.002P
拉伸加载至 P 0.0，0然2后卸载并方向加载，
针对下面两种情况，求出方向加载中的应
力—应变关系。
（1）随动强化；（2）等向强化。
/ MPa
200
100 2
1
随动强化
3
/ 10 3
等向强化
解：（1）随动强化 P 时0.0，0相2 应的应力和应变分别为
24.5M 6 P , a0.003232
e ij
（S ijG即剪切j
S ij 2G
即2
1 G
）
上式自乘求和后开方得：
2G
SijSij eklekl
J2 J2
13i2 2i 43i2 3i
i2 3 S iS jij , i3 2 e ie jij ,J 2 1 2 S iS jij ,J 2 1 2 e ie jij
k P s m (P )n
当应力24.56M ，材P料a进入压缩硬化，等向
硬化的加载条件为
kd P s m (P ) n
于是，应力—应变关系为
1
eP 0.00 4 20 0.3 0
200000 300
§4-4 全量理论的基本方程 及边值问题的提法
全量理论的边值问题及解法 设在物体V内给定体力 f i，在应力边界 上ST 给 定面力 ，f i在位移边界 上S给u 定 ，要u i 求物体 内部各点的应力 、应 变ij 、位 移ij 。确定u i 这 些未知量的基本方程组有：
一、全量理论的基本假设 1、体积的改变是弹性的，且与静水应力成 正比，而塑性变形时体积不可压缩。
e ii 1 E 2 ii , P 0
2、应变偏张量与应力偏张量相似且同轴,即，
eij Sij
3、‘单一曲线假设’：不论应力状态如何，
对于同一种材料来说，应力强度是应变强度
的确定函数i i， 是与Mises条件相应的。
1
eP 0.00 4 10 0.3 7
200000 300
（2）等向强化
当应力从24.56开M始P减a小到
24.56MP
材料重新进入屈服。在此过程中塑性应变保
持不变为 P 0，.00仅2产生弹性应变，因此，
在 24.5时6M ，P 对应a的应变为
0.0032320.000767
E
由此可得强化（硬化）函数为
在 的比值保持不变条件下进入塑性状态
到
s
s
E
,s，G用s 全量理论求筒中的应力。
解：（一）由全量理论
eij
ii
3 i 2 i
Sij , i
1
2
E
ii
i
（1）
第二式可以写为 m3Km
其中
K
E
312
第一式，且 0.5,，ijeij
故
ij
3 2
或ii Sij
Sij
2 i 3 i
ij
又因为 S zzm z 1 3z 3 2,S zz
dP 0 .0 0 0 .0 2 0 P 2 0 .0 0 P4
背应力应为
P
b46 .5
mn0.004P d n1 P
0.002
933000.004P0.3
代入加载条件 b得s ：0
b s 1 0 30 7 0 .0 0 0 P 0 .3 4
因此，导出的应力—应变关系为
（ i Ei，1单拉时
）E1
ii
1 2 E
ii
全量型塑性 本构方程为
e ij
3 i 2 i
S ij
i i
（其中
i
3 2
SijSij,）i
2 3
eijeij
二、依留申小弹塑性形变理论
1943年，依留申考虑了与弹性变形同量
级的塑性变形，给出了微小弹塑性变形下的
应力—应变关系
在弹性阶段：
2、与初始屈服及后继加载面相关连的某一 流动法则。即要有一个应力和应变（或它们 的增量）间的关系，此关系包括方向关系和 分配关系。实际是研究它们的偏量之间的关 系； 3、确定一种描述材料强化（硬化）特性的 强化条件，即加载函数。有了这个条件才能 确定应力、应变或它们的增量之间的定量关 系。
应力—应变的全量关系，而又不包含历史的 因素，只有在某些特殊加载历史下才有可能 因此，这种关系只能在特定条件下应用。
以0代.5 入 i Ei1 得到 i 3G i1
则 Sij2G 1eij
这是全量理论的另一种表达形式。
例4-1、在薄壁筒的拉伸与扭转问题中，若
材料为理想弹塑性，且 0。.5设拉力为P，扭 矩为M，筒的平均半径为r，壁厚为t。于是
筒内应力为均匀应力状态，有
z
2Prt,z
M
2r2t
其余应力分量为零。当按照同时拉伸与扭转，
又 s3 G s,sG s3 s G 13sG
分别代入（4）得到
s
s
3G
2
1 3
s
2
3G
s
3G
s
2
0.707s
3
s
s
3G
2
1 3
s
3G
2
s
3G
s
6
0.408s
例4-2、如图所示，简单拉伸下材料的应力 应变关系曲线可用幂指数硬化模型表示为
EsmPn
0s s
式中 s 2M 0 ,E 0 P 2G 0 a ,m 。 0 P 3M a 0 ,n 0 0 P .3a
塑性模量的表达式为
EPmnPn1
在P 0.时00的2背应力为
b 0 0 .00 m 2P n n 1 dP m P n0 0 .00 4 2.5 M 6 P
此时，加载条件变为
f 4.5 6 s 4.5 6 20 00
当应力从 24.56开M始P卸a载， ，f直到0 反向
其展开式为
i , i
i
3i
又由于r 1 2 z 1 2 ,z1 2 z1 2
故
i
2 1 2 （2）
3
（二）对于理想塑性材料： i s （3）
将（2）、（3）代入式（1），得到
s , s
212
3（42）12
3
3
（三）在简单加载条件下，材料进入塑性时
各应变分量同时达到屈服，即 s,，s
§4-1 建立塑性本构关系的基本要素
描述塑性变形规律的理论可分为两大类： 一类理论认为在塑性状态下仍是应力和应变 全量之间的关系即全量理论；另一类理论认 为在塑性状态下是塑性应变增量（或应变率 和应力及应力增量（应力率）之间的关系即 增量理论或流动理论。
为了建立塑性本构关系，需要考虑三个要 素： 1、初始屈服条件；
加载到
，1，5.5重3M新P 进a f入屈0 服。在此
过程中塑性应变保持不变为
P 0故.00在2 时1，5.5 对3M 应P 的应a变为
0.0032 320.00123
当应力
，将E 产生压缩塑性变形，在
此阶段， 塑性15 应.53变M增P量a为
其绝对值是
，累积塑性应(变P为0.00)20
0.002P
拉伸加载至 P 0.0，0然2后卸载并方向加载，
针对下面两种情况，求出方向加载中的应
力—应变关系。
（1）随动强化；（2）等向强化。
/ MPa
200
100 2
1
随动强化
3
/ 10 3
等向强化
解：（1）随动强化 P 时0.0，0相2 应的应力和应变分别为
24.5M 6 P , a0.003232
e ij
（S ijG即剪切j
S ij 2G
即2
1 G
）
上式自乘求和后开方得：
2G
SijSij eklekl
J2 J2
13i2 2i 43i2 3i
i2 3 S iS jij , i3 2 e ie jij ,J 2 1 2 S iS jij ,J 2 1 2 e ie jij
k P s m (P )n
当应力24.56M ，材P料a进入压缩硬化，等向
硬化的加载条件为
kd P s m (P ) n
于是，应力—应变关系为
1
eP 0.00 4 20 0.3 0
200000 300
§4-4 全量理论的基本方程 及边值问题的提法
全量理论的边值问题及解法 设在物体V内给定体力 f i，在应力边界 上ST 给 定面力 ，f i在位移边界 上S给u 定 ，要u i 求物体 内部各点的应力 、应 变ij 、位 移ij 。确定u i 这 些未知量的基本方程组有：
一、全量理论的基本假设 1、体积的改变是弹性的，且与静水应力成 正比，而塑性变形时体积不可压缩。
e ii 1 E 2 ii , P 0
2、应变偏张量与应力偏张量相似且同轴,即，
eij Sij
3、‘单一曲线假设’：不论应力状态如何，
对于同一种材料来说，应力强度是应变强度
的确定函数i i， 是与Mises条件相应的。
1
eP 0.00 4 10 0.3 7
200000 300
（2）等向强化
当应力从24.56开M始P减a小到
24.56MP
材料重新进入屈服。在此过程中塑性应变保
持不变为 P 0，.00仅2产生弹性应变，因此，
在 24.5时6M ，P 对应a的应变为
0.0032320.000767
E
由此可得强化（硬化）函数为
在 的比值保持不变条件下进入塑性状态
到
s
s
E
,s，G用s 全量理论求筒中的应力。
解：（一）由全量理论
eij
ii
3 i 2 i
Sij , i
1
2
E
ii
i
（1）
第二式可以写为 m3Km
其中
K
E
312
第一式，且 0.5,，ijeij
故
ij
3 2
或ii Sij
Sij
2 i 3 i
ij
又因为 S zzm z 1 3z 3 2,S zz
dP 0 .0 0 0 .0 2 0 P 2 0 .0 0 P4
背应力应为
P
b46 .5
mn0.004P d n1 P
0.002
933000.004P0.3
代入加载条件 b得s ：0
b s 1 0 30 7 0 .0 0 0 P 0 .3 4
因此，导出的应力—应变关系为
（ i Ei，1单拉时
）E1
ii
1 2 E
ii
全量型塑性 本构方程为
e ij
3 i 2 i
S ij
i i
（其中
i
3 2
SijSij,）i
2 3
eijeij
二、依留申小弹塑性形变理论
1943年，依留申考虑了与弹性变形同量
级的塑性变形，给出了微小弹塑性变形下的
应力—应变关系
在弹性阶段：
2、与初始屈服及后继加载面相关连的某一 流动法则。即要有一个应力和应变（或它们 的增量）间的关系，此关系包括方向关系和 分配关系。实际是研究它们的偏量之间的关 系； 3、确定一种描述材料强化（硬化）特性的 强化条件，即加载函数。有了这个条件才能 确定应力、应变或它们的增量之间的定量关 系。
应力—应变的全量关系，而又不包含历史的 因素，只有在某些特殊加载历史下才有可能 因此，这种关系只能在特定条件下应用。
以0代.5 入 i Ei1 得到 i 3G i1
则 Sij2G 1eij
这是全量理论的另一种表达形式。
例4-1、在薄壁筒的拉伸与扭转问题中，若
材料为理想弹塑性，且 0。.5设拉力为P，扭 矩为M，筒的平均半径为r，壁厚为t。于是
筒内应力为均匀应力状态，有
z
2Prt,z
M
2r2t
其余应力分量为零。当按照同时拉伸与扭转，
又 s3 G s,sG s3 s G 13sG
分别代入（4）得到
s
s
3G
2
1 3
s
2
3G
s
3G
s
2
0.707s
3
s
s
3G
2
1 3
s
3G
2
s
3G
s
6
0.408s
例4-2、如图所示，简单拉伸下材料的应力 应变关系曲线可用幂指数硬化模型表示为
EsmPn
0s s
式中 s 2M 0 ,E 0 P 2G 0 a ,m 。 0 P 3M a 0 ,n 0 0 P .3a
塑性模量的表达式为
EPmnPn1
在P 0.时00的2背应力为
b 0 0 .00 m 2P n n 1 dP m P n0 0 .00 4 2.5 M 6 P
此时，加载条件变为
f 4.5 6 s 4.5 6 20 00
当应力从 24.56开M始P卸a载， ，f直到0 反向
其展开式为
i , i
i
3i
又由于r 1 2 z 1 2 ,z1 2 z1 2
故
i
2 1 2 （2）
3
（二）对于理想塑性材料： i s （3）
将（2）、（3）代入式（1），得到
s , s
212
3（42）12
3
3
（三）在简单加载条件下，材料进入塑性时
各应变分量同时达到屈服，即 s,，s