从拓扑学角度看数学分析中某些问题的延伸与发展_王永梅

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二
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明 d N 改云
实 数 空 间 中任 意 收 敛 到
x
,
。
:
R
~
R
在 R 上 连续 当且仅 当
, ,
点 的 数 列 其 象点 也 收敛 且 收 敛 于 f (
、
,
x
) 若 学 生 在 数 学 分 析 中学 习 了 归 结 原 则 在
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。
以 后 的 学 习过程 中 不 加 任何 说 明就将 其 运 用 到 线 性 赋泛 空 间
。
大家 知道 度 量 空 间 中对 实 数 稠 密子 集 有 五 点 等价 叙述
( 1 ) D 是 X 的稠密子 集 ; (2 ) D
=
;
,
:
XBaidu Nhomakorabea
( 3 ) X 中 任 意 一 点 的 任 一 邻 域 与 D 的 交非 空 ; (4 ) V `
>
0
,
,
跳(
,
y
,
c
) 。 X
,
. .
o ) ( 5 ) V x 任 X 日几 任 D : t 几 ~ x ( n 、 c 学 过拓 扑 学 的学生知道 ( 2 ) (3 ) 是稠 密子 集 的拓 扑 定 义 那 么 ( 4 ) 由于 表 述 中 涉及 到 了 度 量 只 能 在 度 量
, 。
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空 间 以 及 度 量 空 间 中 则 将造 成 初 学
,
者 直 观 的认 为 它 在 任 何 条 件 下 都 成 立 实 则 不 然 在 一 般 拓 扑 学 中明 确 给 出 如果 从拓 扑 空 间
Y
X
到拓 扑 空 间
的 映 射在
` 〕。 「
Y
点 处 连续 则 X 中 任 意 收 敛 于 x 的 序列 其 象收 敛 于 f ( x )
。 。
。
。
序 列 的 收 敛 点 一 定是 唯 一 的 吗 ? 这是 数 学 分析 中关 于 极 限 的 最 基本 的 结 果 之 一 站 在 拓 扑 学 的 高 度 得
知 并 非 如 此 该 知 识 点 的 学 习 颇 费 周 折 因为 原 有 理 论 在 学 生 头 脑 中太 根深 蒂 固 了 在 一 般 拓扑 空 间 中 不 同
p:
,
欧 氏 平 面 在该 空 间 中取 定一 个 直 角
,
。
在度 量 内
1
的正 方 形 ( 图
,
这 一 现 象 的 出现 并 非偶然 在 一 个 可 度 量 化 空 间 中 若存 在 着 形 式 不
。
,
同 的 度 量 诱 导 出 该 空 间 那 么 在 同一 集合 不 同 度量 下 作 出 的轨迹 图形 是 不 同 的 该 知 识 点 是 一 般 拓 扑 学 的 中 心 问 题 笔 者 以 为 了解 它 有 利 于 学 生 对度 量 与 图形 及 其 现 代 抽象 画 的 理 解 更 有 利 于 学 科 的 整 合
x
。
,
。
再看 若
x
是拓扑 空 间 x 中稠 密
己知 ( 5 ) 成 立 由引理 知
子集 则 万
x
从而 对 V
x
x
任 x 由 引理 知 存 在 D 中序 列 收敛 于
二
点 反之 V
任 x
〔
万 于是万〕
, ,
也即 万
x
。
证毕
。
数 学 分 析书 中可看 到 对 聚 点 的 定 义 有 三 种 形 式 ( 1 ) x 是 实 数 在 x 的 任意 一 个 除 去 x 点 的邻域 内都 含 有集合 A 的 点 3 ] [
,
,
,
。
但 该 定 理 之 逆 在 拓 扑 空 间中 不 成
立
那 么 其 充分 性在 何 种 情 况 下 才 能 成 立 呢 ? 拓扑 中也 回 答了 此 问 题 即 在 第 一 可数 的 空 间 这 一 条 件 下 定
。 ,
,
’〕 理 才是 充 要 的 【 一 般 拓 扑 学 的学 习过 程 中 学 生 已 明确 意识 到 在 数 学 分 析 中 研究 的实数 空 间 是 一 个 特殊 的
。
。
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肠 白毋
,
空 间的
特例
。
单 位 圆 的 图形 一 定 一 个 圆周 吗 ? 我 们 从 拓 扑 的 角 度 研究 一 下
比如 定 义
V
p:
x
:
尸1 。 2 : R
, ,
Z x
R
l
,
Z
”
y Z
R
=
,
}x
,
y
l
x Z
}
,
夕
=
(y
,
1
) 〔 (x
尺2
,
2
(x
) )
,
=
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:
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)2 +
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。
可 以 看 到 通过 拓扑 学的 学 习 极大 解放 了学 生 的 思 想 拓 宽 了 学 生 的 视 野 增 进 了 他们 思 维 的 严 密 性 逻 辑性 更能使 学 生 初 步 领会 到 拓 扑 学 内 容的 宏 大 打 破 学 生 头 脑 中 固有 的 实 数 空 间 一 统天 下 的 局 面 使 同 学
:
;
基 金 项 目 安 徽 省重 建 设 课 程 ( 编号 2 0
:
1 53 )
。
收 稿 日期 2 ( X 2一 1 ) 2 一 2 5 : : 7 5 一 ) 安 徽 毫 州 人 率 阳 师 范 学院 数 学 系助 教 在读 硕 士 研 究 方 向 拓 扑 学 作 者 简介 王 永 梅 ( 1 9
文主 要 工作是 ( 1 ) 序 列 语 言 描 述 函数 连 续 性 应 用 范 围 的 推 广 ; ( 2 ) 稠 密 子 集五 种 定 义 应 用 与 范 围 ; ( 3 ) 聚点
:
概念 的 三 种定 义分析 ; ( 4 ) 序 列 收 敛 点 的 唯 一 性 条件 ; ( 5 ) 度 量 与图 形
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、
,
这 一 间 题 仍有进 一 步 深 入 研 究 的 价 值 笔 者 将 另 文研 究
注 作 者 感 谢姚 云 飞 教 授 对 本 文 的 指 导
:
。
。
。
( 下转 第 6 5 页)
第
【 ]
.
期 g 玖拿 块 姚 h 扣 玩 in
,
李 羽 等 一 类 集合 值 算 子 方 程 的求 解 间 题
一维 欧 氏空间
,
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维欧 氏 空 间 又 是 一 种 度 量 空 间 线性 赋 范 空 间 也 是 一 种 度量 空 间 而 度 量 空 间是 第 一 可 数
。
,
,
,
的 当 然 第 一 数 空 间 一 定是 拓扑 空 间 掌 握 住这 一脉 络 学 生 对 归 结 原 则 的源 头 就有 一 个 整 体 认识
的 空 间形 成 收 敛 点 的情 况 是不 同 的 比 如 平 庸 空 间 中 所 有 的 点 均 为 收 敛 点 而 离 散 空 间 中 除 常值 序 列 外其 它 序 列 均无 收 敛 点 拓扑 学 告 诉 学 生 在
。
,
。
,
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空 间 中 序 列 收 敛 点 是 唯 一 的 〔` ] 度 量 空 间是
,
:
,
,
。
,
“
”
“
聚点
”
T 空 间 的条 件 下 两 的概 念 合 二 为 一 不加 区 分 事 实 上 它 在 拓扑 空 间 中是 两 个 不 同 的 概 念 只 有 在 l
。
。
,
,
,
) 者 才 能 等价 又 知 ( l
, 。
) 是 在 第 一 可 数 空 间 中 等价 川 那 么 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 在 实 数 空 间 的等价 性 不 言 而 喻 与 (3
:
,
, , ,
。
第
期
()
x
x 的每 一 邻 域 中都 含 有
一
中无 限 多 个 点 ’
x 以 上 均称 点
,
( ) 集合
到 中 有 一 个互异 的序 列 收 敛 于
,
x 是集 合
的聚点
,
。
) 是说 仔 细 分析 ( 1
,
) 明 确 指 出 在 x 的 任 意 邻域 中 一 定 要 的任 意邻 域 内除x 点 外 要 求 含 有 A 中点 即可 并 没 有 强 调 多 少个 而 ( 2
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DOI : 10. 14096 /j . cnki . cn34 1069 /n. 2003. 04. 018
印 年
月 期 词
阜 阳 师 范学 院 学 报 自然 科 学 版
也名 飞 毛
头三
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第
卷第
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肠 昭
陇 灿阁 段 i
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丫 乞
从 拓 扑 学 角度 看 数 学 分 析 中某 些 问题 的 延 伸 与 发 展
,
,
,
,
、
。
。
们 意 识 到 以往 所 学 的 概 念 定 理 都 是 针对 一 定 的 空 间 而 存 在的 由 于 数 学 分 析 中零 散 的 易 混 的概 念 在拓 扑 中
整体 化 进 而 使 学 习者 形成一 个更 清 晰 更 系 统 的概 念域 从 拓 扑学 的角度 将数 学 分 析 中 的 问 题 延 伸 出 去 让 学 生 了解 到在 实 数 空 间 线 性 赋 范 空 间 度 量 空 间 以 外 还 有 诸 多 更 为 抽象 内 容更 丰 富 形 式更 多 彩 的 空 间
: 关键 词 拓 扑 学 :
。
;
数 学分 析
;
延伸
;
发展
:
中 图 分类 号 0 1 7 4
文献标 识码
A
: 1 0 4 文章编号 0
一
43 2 9 《2 0
) 0 3 4
一
0 0 6
一
2 0
在 数 学 分析 中对连 续 性 的描 述有 一 个 著 名定 理 即 归 结 原 则 它 是 说 函 数 f
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有
] ?这里 [ 的无 限 多 个 点 这 样 岂不 让 学 生 迷 惑 而 第 三种定 义 又 是 用 序 列 语 言 描 述 的 它 们 之 间 关 系 何 在 5
,
。
,
) 是 一 种 拓 扑 定 义 只 是将拓 扑 空 间 中的点 换 成 了 实数 ; ( 1 ) 与 (2 ) 等价 从 拓 扑 学 角 度看 它 们 是 统 一 的 ( 1 扑 空 间 T l 川 要 出 的 空 间 一 T l 空 间 基 于 此 在 学 学 习 收 敛 的条 件 是拓 指 是 度量 是 种 数 分析的 中将 点 与
王 永 梅`
1 阜 阳师 范 学院数 学 系 安 徽 阜 阳 (
.
,
王 秀友 2
.
,
3 6 2 0
32 : 2
阜 阳师 范学院 计 算机 系 安 徽 阜 阳
,
,
236 0
2 3
,
: 摘 要 本 文 从 拓 扑 学 角度 看数 学 分 析 中某 些 问题 的 延 伸 与 发 展 从 而 使 学 生 对 其有 一 个 整 休 的 把 握 该
, ,
,
空 间 中 成 立 对 于 ( 5 ) 它 是在 第 一 可数 的 空 间 中成 立 的 这 一 点需 简 要 证 明 先 引
。
,
。
人
,
引理 拓 扑 空 间 X 是 第 一
D
,
:
可 数空 间
,
,
A
=
是 x 的子 集 则
x
,
,
x
任
j[ 元的 充要 条 件 是 存 在 A 中序 列 收敛 于 x 2
)2
y
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内 (x
,
二
可证
,
p
l
p:
~ R
{}
R
x l 一 y l
Z
l
,
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x :
,
一
日
。
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~
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均 为度 量 且 可诱 导 出 同 一 拓 扑 空 间
2)
。 。
坐 标 系 作 到 坐 标原 点 的 距 离 等 于 定长 1 的 点 轨迹 图形 那 么 在度量 条 件 下轨 迹 为 边 长 是
。
,
— 条 件下 轨迹 是 圆 周 ( 图 1 )