从拓扑学角度看数学分析中某些问题的延伸与发展_王永梅

DOI : 10. 14096 /j . cnki . cn34 1069 /n. 2003. 04. 018
印 年
月 期 词
阜 阳 师 范学 院 学 报 自然 科 学 版
也名 飞 毛
头三
即比
Z
〕
第
卷第
h明
肠 昭
陇 灿阁 段 i
c
a
丫 乞
从 拓 扑 学 角度 看 数 学 分 析 中某 些 问题 的 延 伸 与 发 展
。
大家 知道 度 量 空 间 中对 实 数 稠 密子 集 有 五 点 等价 叙述
( 1 ) D 是 X 的稠密子 集 ; (2 ) D
=
;
,
:
X
( 3 ) X 中 任 意 一 点 的 任 一 邻 域 与 D 的 交非 空 ; (4 ) V `
>
0
,
,
跳(
,
y
,
c
) 。 X
,
. .
o ) ( 5 ) V x 任 X 日几 任 D : t 几 ~ x ( n 、 c 学 过拓 扑 学 的学生知道 ( 2 ) (3 ) 是稠 密子 集 的拓 扑 定 义 那 么 ( 4 ) 由于 表 述 中 涉及 到 了 度 量 只 能 在 度 量
,
:
,
,
。
,
“
”
“
聚点
”
T 空 间 的条 件 下 两 的概 念 合 二 为 一 不加 区 分 事 实 上 它 在 拓扑 空 间 中是 两 个 不 同 的 概 念 只 有 在 l
。
。
,
,
,
) 者 才 能 等价 又 知 ( l
, 。
) 是 在 第 一 可 数 空 间 中 等价 川 那 么 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 在 实 数 空 间 的等价 性 不 言 而 喻 与 (3
r 眯 r 加仁p s i n B Po h 团c
c e s 印a
,
E 劝1 饰 加几t l a l t
19 7 5 5 p 颐7 2
一
.
8 5 6
A
P
r o
bl e m
o n
s
u
e e
k i n g s o l u t io
U
Yd
e n t
u
n
,
to s
Y 由19
e
t 一 V
A ie n i r
a
:
;
基 金 项 目 安 徽 省重 建 设 课 程 ( 编号 2 0
:
1 53 )
。
收 稿 日期 2 ( X 2一 1 ) 2 一 2 5 : : 7 5 一 ) 安 徽 毫 州 人 率 阳 师 范 学院 数 学 系助 教 在读 硕 士 研 究 方 向 拓 扑 学 作 者 简介 王 永 梅 ( 1 9
v e r
t i
l b
。
e
U n r e a
.
t P s
.
a
,
卜 七 1
s
A d T M A v l i
,
o
.
4 卜 如2 1 9
0 8
p 旧扣 rT 坦 。源自〔7 〕P S、.
.
j o Ml
e
i v
o
朋 d W V 众恻 h 扣
〔b 石n
n
. .
耐肠
.
入 工p i P
g n
,
J u r N儿h t A 朋1 a n d
。 。
。
。
序 列 的 收 敛 点 一 定是 唯 一 的 吗 ? 这是 数 学 分析 中关 于 极 限 的 最 基本 的 结 果 之 一 站 在 拓 扑 学 的 高 度 得
知 并 非 如 此 该 知 识 点 的 学 习 颇 费 周 折 因为 原 有 理 论 在 学 生 头 脑 中太 根深 蒂 固 了 在 一 般 拓扑 空 间 中 不 同
x
。
,
。
再看 若
x
是拓扑 空 间 x 中稠 密
己知 ( 5 ) 成 立 由引理 知
子集 则 万
x
从而 对 V
x
x
任 x 由 引理 知 存 在 D 中序 列 收敛 于
二
点 反之 V
任 x
〔
万 于是万〕
, ,
也即 万
x
。
证毕
。
数 学 分 析书 中可看 到 对 聚 点 的 定 义 有 三 种 形 式 ( 1 ) x 是 实 数 在 x 的 任意 一 个 除 去 x 点 的邻域 内都 含 有集合 A 的 点 3 ] [
P A
I 6 P 0
9 7 1
~
t M过 i
明d
t A e h P
d A
一
二一
v a
b il y t o f
Equ
t m a i
ln
朽昭 o 】 v
M加v l a
.
u
司 A
一
1玩 p e r
「 8 ]
I
M 比剐 场
胡d P
.
N咖 i
.
A
O T
e l 阳】 嚷i a
众容
e e
r o f
e l u a v
A
有
] ?这里 [ 的无 限 多 个 点 这 样 岂不 让 学 生 迷 惑 而 第 三种定 义 又 是 用 序 列 语 言 描 述 的 它 们 之 间 关 系 何 在 5
,
。
,
) 是 一 种 拓 扑 定 义 只 是将拓 扑 空 间 中的点 换 成 了 实数 ; ( 1 ) 与 (2 ) 等价 从 拓 扑 学 角 度看 它 们 是 统 一 的 ( 1 扑 空 间 T l 川 要 出 的 空 间 一 T l 空 间 基 于 此 在 学 学 习 收 敛 的条 件 是拓 指 是 度量 是 种 数 分析的 中将 点 与
e e
T h
.1
以〕 y r
l
r o f
.
l尧
.
e s n
.
ll y l 关f i e l d
A
一 1 效。 p
.
r e
N 几I污 i n
t e h 划
v a Vi i t o f 及州 ln a 助 肠 I b 山y e r t a u i
.
.
二
t L 后比 u w h i n de d
明 d N 改云
,
,
,
。
但 该 定 理 之 逆 在 拓 扑 空 间中 不 成
立
那 么 其 充分 性在 何 种 情 况 下 才 能 成 立 呢 ? 拓扑 中也 回 答了 此 问 题 即 在 第 一 可数 的 空 间 这 一 条 件 下 定
。 ,
,
’〕 理 才是 充 要 的 【 一 般 拓 扑 学 的学 习过 程 中 学 生 已 明确 意识 到 在 数 学 分 析 中 研究 的实数 空 间 是 一 个 特殊 的
p:
,
欧 氏 平 面 在该 空 间 中取 定一 个 直 角
,
。
在度 量 内
1
的正 方 形 ( 图
,
这 一 现 象 的 出现 并 非偶然 在 一 个 可 度 量 化 空 间 中 若存 在 着 形 式 不
。
,
同 的 度 量 诱 导 出 该 空 间 那 么 在 同一 集合 不 同 度量 下 作 出 的轨迹 图形 是 不 同 的 该 知 识 点 是 一 般 拓 扑 学 的 中 心 问 题 笔 者 以 为 了解 它 有 利 于 学 生 对度 量 与 图形 及 其 现 代 抽象 画 的 理 解 更 有 利 于 学 科 的 整 合
,
,
,
,
、
。
。
们 意 识 到 以往 所 学 的 概 念 定 理 都 是 针对 一 定 的 空 间 而 存 在的 由 于 数 学 分 析 中零 散 的 易 混 的概 念 在拓 扑 中
整体 化 进 而 使 学 习者 形成一 个更 清 晰 更 系 统 的概 念域 从 拓 扑学 的角度 将数 学 分 析 中 的 问 题 延 伸 出 去 让 学 生 了解 到在 实 数 空 间 线 性 赋 范 空 间 度 量 空 间 以 外 还 有 诸 多 更 为 抽象 内 容更 丰 富 形 式更 多 彩 的 空 间
王 永 梅`
1 阜 阳师 范 学院数 学 系 安 徽 阜 阳 (
.
,
王 秀友 2
.
,
3 6 2 0
32 : 2
阜 阳师 范学院 计 算机 系 安 徽 阜 阳
,
,
236 0
2 3
,
: 摘 要 本 文 从 拓 扑 学 角度 看数 学 分 析 中某 些 问题 的 延 伸 与 发 展 从 而 使 学 生 对 其有 一 个 整 休 的 把 握 该
文主 要 工作是 ( 1 ) 序 列 语 言 描 述 函数 连 续 性 应 用 范 围 的 推 广 ; ( 2 ) 稠 密 子 集五 种 定 义 应 用 与 范 围 ; ( 3 ) 聚点
:
概念 的 三 种定 义分析 ; ( 4 ) 序 列 收 敛 点 的 唯 一 性 条件 ; ( 5 ) 度 量 与图 形
)2
y
:
内 (x
,
二
可证
,
p
l
p:
~ R
{}
R
x l 一 y l
Z
l
,
}
x :
,
一
日
。
Z x
~
R
均 为度 量 且 可诱 导 出 同 一 拓 扑 空 间
2)
。 。
坐 标 系 作 到 坐 标原 点 的 距 离 等 于 定长 1 的 点 轨迹 图形 那 么 在度量 条 件 下轨 迹 为 边 长 是