北师大版九年级数学 反比例函数 培优专题训练(附答案)
北师大版2020九年级数学上册第六章反比例函数自主学习培优测试卷A(附答案详解)
北师大版2020九年级数学上册第六章反比例函数自主学习培优测试卷A （附答案详解） 1．如图，点A ，B 是反比例函数y=kx（x ＞0）图象上的两点，过点A ，B 分别作AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥x 轴于点D ，连接OA 、BC ，已知点C （2，0），BD=3，S △BCD =3，则S △AOC 为( )A ．2B ．3C ．4D ．62．已知反比例函数y=，下列结论中不正确的是（ ） A ．图象必经过点（1，﹣5） B ．若x ＞1，则﹣5＜y ＜0 C ．图象在第二、四象限内 D ．y 随x 的增大而增大3．若反比例函数ky x=的图象经过点(2, 3)，那么此图象也经过点( ) A ．(2，-3)B ．(3, 2)C ．(3,-2)D ．(-3，2)4．已知点 A （2 ，3）在 双 曲 线 y=上，则下列哪个点也在改双曲线上（ ） A ．（﹣1，6） B ．（6，﹣1）C ．（﹣2，﹣3）D ．（﹣2，3）5．若反比例函数ky x=的图象过点()1,6，则不在这个反比例函数图象上的点是（ ）A ．()3,2B ．()2,3--C ．()6,1D ．()2,36．已知一次函数y 1=x －1和反比例函数y 2=2x的图象在平面直角坐标系中交于A 、B 两点，当y 1＞y 2时，x 的取值范围是( ) A ．x ＞2B ．－1＜x ＜0C ．x ＞2，－1＜x ＜0D ．x ＜2，x ＞07．如图为反比例函数y=kx的图象，则k 等于（ ）A ．5 B ．25C ．10D ．－108．若112233(,)(,)(,)A x y B x y C x y 是反比例函数1y x=的图象上的点，且1x ＜2x ＜0＜3x ，则1y ，2y ，3y 的大小关系正确的是（ ）A ．1y ＞2y ＞3yB ．3y ＞1y ＞2yC ．2y ＞1y ＞3yD ．3y ＞2y ＞1y9．关于反比例函数y ＝﹣3x，下列说法不正确的是（ ） A ．点（3，﹣1）在它的图象上 B ．它的图象在第二、四象限 C ．当x ＞3时，﹣1＜y ＜0 D ．当x ＞0时，y 随x 的增大而减小10．反比例函数y =kx的图象与函数y =2x 的图象没有交点，若点(－2，y 1)，(－1，y 2)，(1，y 3)在这个反比例函数y =kx的图象上，则下列结论中正确的是（ ）A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 2＞y 1＞y 3C ．y 3＞y 1＞y 2D ．y 3＞y 2＞y 111．如图，11OP A ，122A P A ，233A P A …都是等腰直角三角形，直角顶点1P ，2P ，3P …都在函数4(0)y x x=>的图象上，若三角形依次排列下去，则2009A 的坐标是________．12．若直线11(0)y k x k =≠和双曲线22(0)k y k x=≠在同一坐标系内的图象无交点，则12k k _______0．（填“＞”或“＜”或“=”）13．如果反比例函数ky x=的图象经过点A （2，y 1）与B （3，y 2），那么12y y 的值等于_____________.14．如图：P 是反比例函数ky x=的图象上的点，过点P 作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为A 、B ，且四边形PAOB 的面积为4，则y 与x 的函数关系式是________．15．计划修建铁路1200km，那么铺轨天数y（天）是每日铺轨量x的反比例函数吗？解：因为________，所以y是x的反比例函数．16．若双曲线42kyx-=与直线12y x=无交点，则k的取值范围是_____．17．对于函数y=2x，当x＞0时，y_________0，这部分图象在第_________象限.对于函数y=－2x，当x＜0时，y_________0，这部分图象在第_________象限.18．函数y1＝x与y2＝4x的图象如图所示，下列关于函数y＝y1+y2的结论：①函数的图象关于原点中心对称；②当x＜2时，y随x的增大而减小；③当x＞0时，函数的图象最低点的坐标是（2，4），其中所有正确结论的序号是_____．19．在平面直角坐标系中，O是坐标原点．点P（m，n）在反比例函数kyx=的图象上．若m=k，n=k-2，则点P的坐标为________；20．如图，点A的坐标是（2，0），△ABO是等边三角形，点B在第一象限，若反比例函数kyx=的图象经过点B，则k的值是_____．21．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（8，1），B（0，﹣3），反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点A，动直线x=t（0＜t＜8）与反比例函数的图象交于点M，与直线AB交于点N．（1）k的值是______；（2）当t=4时，求△BMN面积．22．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于A（﹣2，1），B（1，n）．（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；（2）求△ABO的面积；（3）根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数值的自变量x的取值范围．23．如图一次函数y=kx+b与反比例函数y=mx（x＞0）的图象交于A（1，6），B（n，2）两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式（2）求△AOB的面积．24．如图,平面直角坐标系xOy中,双曲线y＝4x(x＞0)与直线y＝kx－k的交点为点A(m，2)．(1) 求k的值；(2) 当x＞0时，直接写出不等式kx－k ≤4x的解集：；(3) 设直线y＝kx－k与y轴交于点B，若C是x轴上一点，且满足△ABC的面积是4，求点C的坐标．25．如图1，已知矩形AOCB，AB=6cm，BC=16cm，动点P从点A出发，以3cm/s的速度向点O运动，直到点O为止；动点Q同时从点C出发，以2cm/s的速度向点B运动，与点P同时结束运动．（1）点P到达终点O的运动时间是s，此时点Q的运动距离是cm；（2）当运动时间为2s时，P、Q两点的距离为cm；（3）请你计算出发多久时，点P和点Q之间的距离是10cm；（4）如图2，以点O为坐标原点，OC所在直线为x轴，OA所在直线为y 轴，1cm长为单位长度建立平面直角坐标系，连结AC，与PQ相交于点D，若双曲线y=kx过点D，问k的值是否会变化？若会变化，说明理由；若不会变化，请求出k的值．26．如图，点A、B分别是x轴、y轴上的点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M坐标为（1，1）（1）如图1中的第一象限内，若a=2，b=1，画出线段AB关于点M（1，1）的中心对称线段CD，并写出C、D两点的坐标；（2）如图，若AB关于M（1，1）中心对称的线段为CD，点C、点D在双曲线y=kx（x＞0）上，且2，求k的值；（3）若a=12，b=13，直接写出直线CD的解析式．27．如图，一次函数23y mx m =++的图像与12y x =-的图像交于点C ，与x 轴和y 轴分别交于点A 和点B ，且点C 的横坐标为3-. (1)求m 的值与AB 的长;(2)若点Q 为线段OB 上一点，且14OCQ BAO S S ∆∆=，求点Q 的坐标.28．如图已知函数y=kx（k ＞0，x ＞0）的图象与一次函数y=mx+5（m ＜0）的图象相交不同的点A 、B ，过点A 作AD ⊥x 轴于点D ，连接AO ，其中点A 的横坐标为x 0，△AOD 的面积为2．（1）求k 的值及x 0=4时m 的值；（2）记[x]表示为不超过x 的最大整数，例如：[1.4]=1，[2]=2，设t=OD•DC ，若﹣32＜m ＜﹣54，求[m 2•t]值．参考答案1．D【解析】【分析】先求CD长度，再求点B坐标，再求函数解析式，可求得面积. 【详解】因为，BD=3，S△BCD=1•2CD BD=3，所以，1•33 2CD=,解得，CD=2，因为，C(2，0) 所以，OD=4，所以，B（4，3）把B(4，3)代入y=kx，得k=12,所以，y=12 x所以，S△AOC=16 2xy=故选D【点睛】本题考核知识点：反比例函数. 解题关键点：熟记反比例函数性质. 2．D【解析】【分析】利用反比例函数的性质一一判断即可．【详解】对于反比例函数y=，经过（1，﹣5），故A选项正确，若x＞1，则﹣5＜y＜0，故B选项正确，图象在二四象限，故C选项正确，在每个象限y随x的增大而减小，故D选项错误，故选D．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键. 3．B【解析】解：根据题意得k=2×3=6，所以反比例函数解析式为y=6x．∵2×（﹣3）=-6，3×2=6，3×（﹣2）=﹣6，﹣3×2=﹣6，∴点（3，2）在反比例函数y=6x的图象上．故选B．4．C【解析】【分析】在同一双曲线上的点的横纵坐标之积相等.【详解】解：由题意得2×3=6=﹣2×(-3)，则C点在该双曲线上，其他点均不在，故选择C.【点睛】本题考查了反比例函数的定义.5．D【解析】【分析】由题意得出k的值，再进行选择即可．【详解】∵反比例函数y=kx的图象过点)，∴，∵点A. B. C，∴点A. B. C都在这个反比例函数图象上.故答案选D.【点睛】本题考查了求反比例函数解析式，解题的关键是熟练的掌握待定系数法求反比例函数的解析式.【解析】 【分析】因为一次函数和反比例函数交于A 、B 两点，可知x-1=2x，解得x=-1或x=2，进而可得A 、B 两点的坐标，据此，再结合函数解析式画图，据图可知当x>2时，以及当-1<x<0时，y 1>y 2． 【详解】解方程x −1=2x，得 x =−1或x =2，那么A 点坐标是(−1,−2),B 点坐标是(2,1)， 如右图，当x >2时, 12y y >,以及当−1<x <0时, 12y y >. 故选C. 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，解题的关键是能根据解析式画出函数的图象，并能根据图象解決问题 7．C 【解析】 【分析】据k=xy 即横纵坐标相乘得比例系数解答. 【详解】因为，反比例函数y=kx的图象经过点(－2, 5)，则k=-2×5=-10. 故选：D 【点睛】本题考核知识点：反比例函数性质.解题关键点：熟记反比例函数性质.【解析】 【分析】先根据反比例函数1y x=的比例系数1＞0，判断出函数图象在一、三象限，在每个象限内，y 随x 的增大而减小，再根据x 1＜x 2＜0＜x 3，判断出y 1、y 2、y 3的大小． 【详解】 ∵反比例函数1y x=的比例系数1>0，∴该反比例函数的图象如图所示，该图象在第一、三象限，在每个象限内，y 随x 的增大而减小，又∵x 1<x 2<0<x 3， ∴y 3>y 1>y 2. 故选B. 【点睛】考查反比例函数的图象与性质，反比例函数()0,ky k x=≠ 当0k >时，图象在第一、三象限.在每个象限，y 随着x 的增大而减小， 当k 0<时，图象在第二、四象限.在每个象限，y 随着x 的增大而增大. 9．D 【解析】 【分析】由题意利用反比例函数的性质可解． 【详解】∵当k ＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y 随x 的增大而增大． ∴反比例函数y=-3x的图象分别位于第二、第四象限，在每一象限内y 随x 的增大而增大． 故选D ．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键．10．B【解析】因为反比例函数y=kx的图象与函数y=2x的图象没有交点,所以反比例函数y=kx的图象分布在二,四象限,根据反比例函数的图象性质画出反比例函数图象,观察图象可得:y2＞y1＞y3,故选B.11．()42009,0【解析】【分析】由于△OP1A1是等腰直角三角形，可知直线OP1的解析式为y＝x，将它与y＝4x联立，求出方程组的解，得到点P1的坐标，则A1的横坐标是P1的横坐标的两倍，从而确定点A1的坐标；由于△P1OA1，△P2A1A2都是等腰直角三角形，则A1P2∥OP1，直线A1P2可看作是直线OP1向右平移OA1个单位长度得到的，因而得到直线A1P2的解析式，同样，将它与y＝4x联立，求出方程组的解，得到点P2的坐标，则P2的横坐标是线段A1A2的中点，从而确定点A2的坐标；依此类推，从而确定点A2009的坐标．【详解】过P1作P1B1⊥x轴于B1，易知B1（2，0）0）是OA1的中点，∴A1（4，0）．可得P1的坐标为（2，2），∴P 1O 的解析式为：y ＝x ，∵P 1O∥A 1P 2，∴A 1P 2的表达式与P 1O 的解析式一次项系数相等，将A 1（4，0）代入y ＝x ＋b ，∴b＝−4，∴A 1P 2的表达式是y ＝x −4，与y ＝4x（x ＞0）联立，解得P 2（2＋，−2＋）， 仿上，A 2（0）．P 3（＋，−），A 3（0）．依此类推，点A 2009的坐标是（0）．故答案为（0）．【点睛】本题考查了反比例函数的综合应用，解决此题的关键是要根据等腰直角三角形的性质以及反比例函数的解析式进行求解．12．＜【解析】【分析】由直线()11y k x k 0=≠和双曲线22k y (k 0)x =≠在同一坐标系内的图象无交点，可得方程21k k x x=无解，由此即可得. 【详解】∵直线()11y k x k 0=≠和双曲线22k y (k 0)x =≠在同一坐标系内的图象无交点， ∴方程21k k x x =无解， 即x 2=21k k ＜0， ∴k 1、k 2异号，∴12k ?k ＜0， 故答案为：＜.【点睛】本题综合考查反比例函数与方程组的相关知识点，以及任何一个数的平方都大于等于0，否则无解.13．32【解析】分析：由已知条件易得2y 1=k ，3y 2=k ，由此可得2y 1=3y 2，变形即可求得12y y 的值. 详解：∵反比例函数k y x =的图象经过点A （2，y 1）与B （3，y 2）， ∴2y 1=k ，3y 2=k ，∴2y 1=3y 2， ∴1232y y =. 故答案为：32. 点睛：明白：若点A ()a b ，和点B ()m n ，在同一个反比例函数k y x=的图象上，则ab mn =是解决本题的关键.14．4y x =-【解析】【分析】根据反比例函数k 的几何意义可得|k|=4，再根据图象在二、四象限可确定k=-4，进而得到解析式．【详解】解：∵S 矩形P AOB =4，∴|k |=4，∵图象在二、四象限，∴k <0，∴k =−4， ∴反比例函数解析式为4y x=-，故答案为4y x=-. 【点睛】 本题考查反比例函数系数k 的几何意义,过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线,与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|.本知识点是中考的重要考点,同学们应高度关注.15．1200y x= 【解析】【分析】根据反比例函数的定义作答即可.【详解】一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成y=k/x (k 为常数，k≠0)的形式，那么称y 是x 的反比例函数，铺轨天数y （天）和每日铺轨量x 可以表达成反比例函数的形式1200y x =，所以正确答案是1200.y x= 【点睛】本题主要考察反比例函数的相关定义，熟练掌握反比例函数相关知识是解答本题的关键. 16．2k >【解析】解：∵双曲线y =2k x -与直线12y x =无交点，∴2﹣k 与12异号，∴2﹣k ＜0，∴k ＞2．故答案为：k ＞2．17．＞ 一 2＞ 二【解析】【分析】根据反比例函数的比例系数的符号以及所给的自变量的取值可得函数值，进而得知所在的具体象限.【详解】在函数y =x中，∵系数k ＞0，∴函数图象在一，三象限内，又∵x＞0，∴函数图象在一象限内，y＞0；在函数y=－2x中，∵系数k=﹣2＜0，∴函数图象在二，四象限内，又∵x＜0，∴函数图象在二象限内，y＞0.故答案为＞，一，＞，二.18．①③【解析】分析：结合图形判断各个选项是否正确即可．详解：①由图象可以看出函数图象上的每一个点都可以找到关于原点对称的点，故正确；②在每个象限内，不同自变量的取值，函数值的变化是不同的，故错误；③y=x+4x=（x﹣x）2+4≥4，当且仅当x=2时取“=”．即在第一象限内，最低点的坐标为（2，4），故正确；∴正确的有①③．故答案为①③．点睛：考查根据函数图象判断相应取值；正确理解图形是解决本题的关键．19．（3，1）【解析】∵把m=k，n=k-2代入反比例函数y= kx中，得k-2=1，解得k=3，∴m=3，n=3-2=1，∴点P的坐标为（3，1）．故答案为（3，1）．点睛：本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上点的坐标一定适合反比例函数的解析式． 20．3．【解析】【分析】已知△ABO 是等边三角形，通过作高BC ，利用等边三角形的性质可以求出OB 和OC 的长度；由于Rt △OBC 中一条直角边和一条斜边的长度已知，根据勾股定理还可求出BC 的长度，进而确定点B 的坐标；将点B 的坐标代入反比例函数的解析式k y x =中，即可求出k 的值. 【详解】过点B 作BC 垂直OA 于C ，∵点A 的坐标是（2，0），∴AO=2，∵△ABO 是等边三角形，∴OC=1，BC=3，∴点B 的坐标是()1,3,把()1,3代入k y x=，得3k =． 故答案为3．【点睛】考查待定系数法确定反比例函数的解析式，只需求出反比例函数图象上一点的坐标； 21．8【解析】分析：(1)、根据点A 的坐标得出k 的值；(2)、利用待定系数法求出直线AB 的解析式，然后得出MN 的长度，根据铅锤×水平÷2得出三角形的面积．详解：（1）把点A（8，1）代入反比例函数y=kx（x ＞0），得：k=1×8=8，即k=8；（2）设直线AB 的解析式为：y=ax+b，根据题意得：813a bb+=⎧⎨=-⎩，解得：123ab⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴直线AB的解析式为：y=12x﹣3；当t=4时，M（4，2），N（4，﹣1），则MN=3，∴△BMN 的面积=12×3×4=6.点睛：本题主要考查的是反比例函数的性质，属于基础题型．在求三角形面积的时候我们可以用割补法，也可以利用铅锤×水平÷2进行求解．22．（1）y=-2x，y=-x-1（2）1.5（3）﹣2＜x＜0或x＞1【解析】（1）把A（﹣2，1）代入y=；得m=﹣2；∴反比例函数为y=﹣；把B（1，n）代入y=﹣得：n=﹣2；∴点B坐标为（1，﹣2），把A（﹣2，1），B（1，﹣2）代入一次函数y=kx+b得，解得，∴一次函数的解析式为y=﹣x﹣1．（2）令y=0得：﹣x﹣1=0，即x=﹣1，∴S△ABO=×1×2+×1×1=1.5．（3）由函数图象可知，反比例函数的值大于一次函数的值时x的取值范围为x<-2或．0<x<1.23．（1）6yx=，y=﹣2x+8；（2）8【解析】试题分析：，对于（1），先把A（1，6）坐标代入y=mx求出m的值，进而得到两点的坐标，再将其代入一次函数表达式，列出关于系数k、b的方程组，通过解方程组求得它们的值，从而求出函数的解析式；对于（2），根据图形可知S△AOB=S△AOC-S△BOC，至此，再结合三角形的面积公式计算即可. 解：（1）∵A（1，6），B（n，2）在反比例函数y=（x＞0）的图象上，∴m=6，∴反比例函数的解析式是y=．∴2n=6，解得n=3，∴B（3，2），∵一次函数y=kx+b与反比例函数y=（x＞0）的图象交于A、B两点．∴，解得，∴一次函数解析式为y=﹣2x+8；（2）设直线y=﹣2x+8与x轴相交于点C，C的坐标是（4，0）．S△AOB=S△AOC﹣S△BOC=OC|y A|﹣OC|y B）=8．24．(1)k=2 ；(2)0＜x≤2；(3)C(-1，0)或(3，0)【解析】分析: （1）利用待定系数法即可解决问题．（2）观察图象，直线y=kx-k的图象在y=4x的下方（包括交点A），由此可以写出不等式的解集．（3）设点C坐标（m，0），直线y=2x-2与x轴的交点D坐标为（1，0），根据S△ABC=S△CDA+S△CDB=4，列出方程即可解决．详解: （1）∵点A在双曲线y=4x上，∴2=4m，∴m=2，∴点A（2，2）．∵点A在直线y=kx-k上，∴2=2k-k，∴k=2．（2）由图象可知，x＞0时，不等式kx-k≤4x的解集为0<x≤2．故答案为0<x≤2．（3）设点C坐标（m，0）．∵直线y=2x-2与x轴的交点D坐标为（1，0），与y轴的交点B坐标为为（0，-2），∴S△ABC=S△CDA+S△CDB=4，∴12|m-1|×（2+2）=4，∴m=3或-1．∴点C坐标为（3，0）或（-1，0）．点睛: 本题考查反比例函数与一次函数图象的交点，待定系数法，利用函数图像解不等式等知识，解题的关键是掌握待定系数法确定函数解析式，学会利用分割法求三角形面积，属于中考常考题型．25．（1）163，323；（2）62（3）t=85或t=245；（4）57625.【解析】分析：（1）先求出OA，进而求出时间，即可得出结论；（2）构造出直角三角形，再求出PE，QE，利用勾股定理即可得出结论；（3）同（2）的方法利用勾股定理建立方程求解即可得出结论；（4）先求出直线AC解析式，再求出点P，Q坐标，进而求出直线PQ解析式，联立两解析式即可得出结论．详解：（1）∵四边形AOCB是矩形，∴OA=BC=16，∵动点P从点A出发，以3cm/s的速度向点O运动，∴t=163，此时，点Q的运动距离是163×2=323cm；（2）如图1，由运动知，AP=3×2=6cm，CQ=2×2=4cm，过点P作PE⊥BC于E，过点Q作QF⊥OA于F，∴四边形APEB是矩形，∴PE=AB=6，BE=6，∴EQ=BC﹣BE﹣CQ=16﹣6﹣4=6，根据勾股定理得，；（3）设运动时间为t秒时，由运动知，AP=3t，CQ=2t，同（2）的方法得，PE=6，EQ=16﹣3t﹣2t=16﹣5t，∵点P和点Q之间的距离是10cm，∴62+（16﹣5t）2=100，∴t=85或t=245；（4）k的值是不会变化，理由：∵四边形AOCB是矩形，∴OC=AB=6，OA=16，∴C（6，0），A（0，16），∴直线AC的解析式为y=﹣83x+16①，设运动时间为t，∴AP=3t，CQ=2t，∴OP=16﹣3t，∴P（0，16﹣3t），Q（6，2t），∴PQ解析式为y=5166tx+16﹣3t②，联立①②解得，x=185，y=325，∴D（185，325），∴k=185×325=57625是定值．点睛：此题是反比例函数综合题，主要考查了勾股定理，待定系数法，构造出直角三角形是解本题的关键．26．（1）C（0，1），D（2，1）;（2）k=2;（3）y=﹣x+72．【解析】【分析】（1）如图1中，设C（m，n），D（p，q）．利用中点坐标公式计算即可；（2）如图2中，由题意点C的纵坐标为2，点D的横坐标为2，由点C、D在反比例函数y=kx上，可以假设C（m，2），D（2，m），根据AB=CD=2，2-m=1，可得m=1，求出点D坐标即可解决问题；（3）设C（m，n），D（p，q）．利用中点坐标公式求出C、D两点坐标，再利用待定系数法即可解决问题；【详解】解：（1）如图1中，设C（m，n），D（p，q）．由题意A（2，0），B（0，1），∵A、C关于M对称，B、D关于M对称，∴22m+=1，2m+=1，0+p2=1，q12+=1，解得m=0，n=2，p=2，q=1，∴C（0，1），D（2，1）．（2）如图2中，由题意点C的纵坐标为2，点D的横坐标为2，∵点C、D在反比例函数y=kx上，∴可以假设C（m，2），D（2，m），∵AB=CD=2，∴2﹣m=1，∴m=1，∴C（1，2），D（2，1），把C（1，2）代入y=kx中，得到k=2．（3）设C（m，n），D（p，q）．由题意A（12，0），B（0，13），∵A、C关于M对称，B、D关于M对称，∴122m+=1，2n+=1，0+p2=1，132q+=1，解得m=32，n=2，p=2，q=53，∴C（32，2），D（2，53），设直线CD的解析式为y=kx+b，则有3k22523bk b⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得k172b=-⎧⎪⎨=⎪⎩，∴直线CD的解析式为y=﹣x+72．【点睛】本题考查反比例函数综合题、一次函数的应用、中心对称、中点坐标公式等知识，解题的关键是学会用方程的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．27．(1)32m=，213AB=；(2) (0,2)Q.【解析】【分析】（1）把点C的横坐标代入正比例函数解析式，求得点C的纵坐标，然后把点C的坐标代入一次函数解析式即可求得m的值，从而得到一次函数的解析式，则易求点A、B的坐标，然后根据勾股定理即可求得AB；（2）由14OCQ BAOS S∆∆=得到OQ的长，即可求得Q点的坐标．【详解】(1)∵点C在直线12y x=-上，点C的横坐标为−3，∴点C坐标为3 (3,)2 -，又∵点C在直线y=mx+2m+3上，∴3 3232 m m-++=，∴32 m=，∴直线AB的函数表达式为362y x=+，令x=0,则y=6,令y=0,则3602x+=，解得x=−4，∴A(−4,0)、B(0,6)，∴2246213 AB=+=；(2)∵14OCQ BAOS S∆∆=，∴111346 242OQ⨯⋅=⨯⨯⨯，∴OQ=2，∴点Q坐标为(0,2).【点睛】考查两条直线相交问题，一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，三角形的面积公式等，比较基础，难度不大.28．（1）k= 4；m=﹣1；（2）[m2•t]=5．【解析】【分析】（1）设A（x0，y0），可表示出△AOD的面积，再结合k=x0y0可求出k的值，根据A的横坐标可得纵坐标，代入一次函数可得m的值.（2）先根据一次函数与x轴的交点确定OC的长，表示出DC的长，从而可以表示t，根据A的横坐标x0，即x0满足45mxx=+，可得20054mx x+=,再根据m的取值计算m2·t，最后利用新定义可得所求值.【详解】（1）设A（x0，y0），则OD=x0，AD=y0，∴S△AOD=O D•AD==2，∴k=x0y0=4；当x0=4时，y0=1，∴A（4，1），代入y=mx+5中得4m+5=1，m=﹣1；（2）∵，，mx2+5x﹣4=0，∵A的横坐标为x0，∴mx02+5x0=4，当y=0时，mx+5=0，x=﹣，∵OC=﹣，OD=x0，∴m2•t=m2•（OD•DC），=m2•x0（﹣﹣x0），=m（﹣5x0﹣mx02），=﹣4m，∵﹣＜m＜﹣，∴5＜﹣4m＜6，∴[m2•t]=5．【点睛】本题主要考察一元二次方程、反比例函数的解析式以及反比例函数的图形与性质.。
北师大版九年级数学上学期期末培优训练第六章：反比例函数(含答案)
九年级上学期期末培优训练：反比例函数1．如图，O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四边形OACB是平行四边形，点A的横纵坐标之比为3：4，反比例函数y＝（k＞0）在第一象限内的图象经过点A，且与BC 交于点F．（1）若OA＝10，求反比例函数解析式；（2）若点F为BC的中点，且△AOF的面积S＝12，求OA的长和点C的坐标．解：（1）过点A作AH⊥OB于H，∵点A的横纵坐标之比为3：4，∴sin∠AOB＝，OA＝10，∴AH＝8，OH＝6，∴A点坐标为（6，8），根据题意得：8＝，可得：k＝48，∴反比例函数解析式：y＝（x＞0）；（2）设OA＝a（a＞0），过点F作FM⊥x轴于M，过点C作CN⊥x轴于点N，由平行四边形性质可证得OH＝BN，∵点A的横纵坐标之比为3：4，∴sin∠AOB＝，∴AH＝a，OH＝a，＝×a•a＝a2，∴S△AOH＝12，∵S△AOF∴S 平行四边形AOBC ＝24， ∵F 为BC 的中点， ∴S △OBF ＝6，∵BF ＝a ，∠FBM ＝∠AOB ，∴FM ＝a ，BM ＝a ，∴S △BMF ＝BM •FM ＝×a ×a ＝a 2，∴S △FOM ＝S △OBF +S △BMF ＝6+a 2，∵点A ，F 都在y ＝的图象上，∴S △AOH ＝S △FOM ＝k ，∴a 2＝6+a 2，∴a ＝，∴OA ＝，∴AH ＝，OH ＝2，∵S 平行四边形AOBC ＝OB •AH ＝24， ∴OB ＝AC ＝3，∴ON ＝OB +OH ＝5，∴C （5，）．2．平面直角坐标系xOy中，横坐标为a的点A在反比例函数y1＝（x＞0）的图象上，点B与点A关于原点O对称，一次函数y2＝mx+n的图象经过点B．（1）设a＝2，点C（4，2）在函数y1，y2的图象上．分别求函数y1，y2的表达式．（2）如图，设函数y1，y2的图象相交于点C，点C的横坐标为3a，△ABC的面积为16，求k的值．解：（1）∵点C（4，2）在函数y1＝（x＞0）的图象上，∴k＝4×2＝8，∴函数y1的表达式为y1＝．∵点A在y1＝的图象上，∴x＝a＝2，y＝4，∴点A（2，4）．∵A和点B关于原点对称，∴点B的坐标为（﹣2，﹣4）．∵一次函数y2＝mx+n的图象经过点A'和点B，∴，解之，得：，∴函数y2的表达式为y2＝x﹣2；（2）∵点A的横坐标为a，∴点A（a，）．∵A和点B关于原点对称，∴点B的坐标为（﹣a，﹣）．∵点B在y2＝mx+n的图象上，∴点B的坐标为（﹣a，﹣am+n）．∴﹣＝﹣am+n，a2m＝an+k①．∵点C的横坐标为3a，∴点C（3a，3am+n）或（3a，），∴3am+n＝，即9a2m+3an＝k②由①②得：a2m＝，an＝﹣．过点A作AD⊥x轴，交BC于点D，则点D（a，am+n），∴AD＝﹣am﹣n．＝AD（x c﹣x b）＝•4a（﹣am﹣n）＝16，∵S△ABc∴k﹣a2m﹣an＝8，∴k﹣﹣（﹣）＝8，∴k＝6．3．如图，已知正比例函数图象经过点A（2，2），B（m，3）（1）求正比例函数的解析式及m的值；（2）分别过点A与点B作y轴的平行线，与反比例函数在第一象限的分支分别交于点C、D（点C、D均在点A、B下方），若BD＝4AC，求反比例函数的解析式；（3）在第（2）小题的前提下，联结AD，试判断△ABD的形状，并说明理由．解：（1）设正比例函数的解析式为y＝kx，∵正比例函数图象经过点A（2，2），∴2＝2k，∴k＝1，∴比例函数的解析式为y＝x；把B（m，3）代入解析式得，m＝3；（2）∵AC∥BD∥y轴，∴C点的横坐标为2，D点的横坐标为3，设反比例函数的解析式为y＝，分别代入得y C＝，y D＝，∴AC＝2﹣，BD＝3﹣，∵BD＝4AC，∴3﹣＝4（2﹣），解得m＝3，∴反比例函数的解析式为y＝；（3）△ABD是等腰直角三角形；理由是：由（2）得：D（3，1），A（2，2），B（3，3），∴AB2＝（3﹣2）2+（3﹣2）2＝2，AD2＝（3﹣2）2+（2﹣1）2＝2，BD2＝（3﹣3）2+（3﹣1）2＝4，∴BD 2＝AB 2+AD 2，且AB ＝AD ， ∴△ABD 是等腰直角三角形．4．如图，直线y ＝x +3分别交x 轴、y 轴于点A 、C ．点P 是该直线与双曲线在第一象限内的一个交点，PB ⊥x 轴于B ，且S △ABP ＝16． （1）求证：△AOC ∽△ABP ； （2）求点P 的坐标；（3）设点Q 与点P 在同一个反比例函数的图象上，且点Q 在直线PB 的右侧，作QD ⊥x 轴于D ，当△BQD 与△AOC 相似时，求点Q 的横坐标．（1）证明：∵PB ⊥x 轴于B ，QC ⊥x 轴， ∴OC ∥PB ， ∴△AOC ∽△ABP ；（2）解：对于直线y ＝x +3， 令x ＝0，得y ＝3； 令 y ＝0，得x ＝﹣6， ∴A （﹣6，0），C （0，3）， ∴OA ＝6，OC ＝3 ∵△AOC ∽△ABP ，∴，∵S △ABP ＝16，S △AOC ＝，∴，∴，即，∴PB＝4，AB＝8，∴OB＝2，∴点P的坐标为（2，4）；（3）设反比例函数的解析式为y＝，把P（2，4）代入，得k＝xy＝2×4＝8，∴反比例函数的解析式为y＝；点Q在双曲线上，可设点Q的坐标为（n，）（n＞2），则BD＝n﹣2，QD＝，①当△BQD∽△ACO时，，∴，整理得，n2﹣2n﹣16＝0，解得n1＝1+，n2＝1﹣；②当△BQD∽△CAO时，，∴，整理得，n2﹣2n﹣4＝0，解得n3＝1+，n4＝1﹣，综上①②所述，点Q的横坐标为1+或1+．5．如图，已知反比例函数y＝的图象经过点A（﹣，b），过点A作x轴的垂线，垂足为B，△AOB的面积是．（1）求k和b的值；（2）若一次函数y＝ax+1的图象经过点A，且与x轴交于点C，求△AOC的面积．解：（1）∵点A的坐标是（﹣，b），∴AB＝b，OB＝，∵△AOB的面积是，∴×b＝，解得：b＝2，即A（﹣，2），把A的坐标代入y＝得：k＝2×（﹣）＝﹣2；（2）把A的坐标（﹣，2）代入y＝ax+1得：2＝﹣a+1，解得：a＝﹣，即y＝﹣x+1，当y＝0时，0＝﹣x+1，解得：x＝，即C点的坐标为（，0），∴△AOC的面积是＝．6．如图，已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）是一次函数y＝kx+b图象与反比例函数y＝图象的两个交点．（1）求此反比例函数和一次函数的解析式； （2）直接写出△AOB 的面积；（3）根据图象直接写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x 的取值范围．解：（1）把（﹣4，2）代入y ＝得2＝，则m ＝﹣8．则反比例函数的解析式是y ＝﹣；把（n ，﹣4）代入y ＝﹣得n ＝﹣＝2，则B 的坐标是（2，﹣4）． 根据题意得：解得，所以一次函数的解析式是y ＝﹣x ﹣2；（2）设AB 与x 轴的交点是C ，则C 的坐标是（﹣2，0）． 则OC ＝2，S △AOC ＝2，S △BOC ＝4， 则S △AOB ＝6；（3）由函数图象可知x 的取值范围时﹣4＜x ＜0或x ＞2．7．已知：如图，点A （1，m ）是正比例函数y ＝k 1x 与反比例函数y ＝的图象在第一象限的交点，AB⊥x轴，垂足为点B，△ABO的面积是2．（1）求m的值以及这两个函数的解析式；（2）若点P在x轴上，且△AOP是以OA为腰的等腰三角形，求点P的坐标．解：（1）∵△ABO的面积是2，∴k2＝2×2＝4，∴反比例函数的解析式为y＝．当x＝1时，m＝＝4，∴点A的坐标为（1，4）．又∵点A（1，4）在正比例函数y＝k1x的图象上，∴k1＝4，∴正比例函数的解析式为y＝4x．（2）∵△AOP是以OA为腰的等腰三角形，∴OA＝OP或OA＝AP．①当OA＝OP时，∵点A的坐标为（1，4），∴OA＝＝，∴OP＝，∴点P的坐标为（﹣，0）或（，0）；②当OA＝AP时，OP＝2OB＝2，∴点P的坐标为（2，0）．综上所述：点P的坐标为（﹣，0），（，0），（2，0）．8．已知：A（a，y1），B（2a，y2）是反比例函数y＝（k＞0）图象上的两点．（1）比较y1与y2的大小关系；（2）若A、B两点在一次函数y＝﹣2x+b第一象限的图象上（如图所示），分别过A、B＝12，求a的值；两点作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连接OA、OB，且S△OAB（3）在（2）的条件下，如果m＝﹣2x+12，n＝，求使得m＞n的x的取值范围．解：（1）∵A、B是反比例函数y＝（k＞0）图象上的两点，∴a≠0，当a＞0时，A、B在第一象限，由a＜2a可知，y1＞y2，同理，a＜0时，y1＜y2；（2）∵A（a，y1）、B（2a，y2）在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，∴AC＝y1＝，BD＝y2＝，∴y1＝2y2．又∵点A（a，y1）、B（2a，y2）在一次函数y＝﹣2a+b的图象上，∴y1＝﹣2a+b，y2＝﹣4a+b，∴﹣2a +b ＝2（﹣4a +b ）， ∴b ＝6a ，∵S △AOC +S 梯形ACDB ＝S △AOB +S △BOD ， 又∵S △AOC ＝S △BOD ， ∴S 梯形ACDB ＝S △AOB ，∴ [（﹣2a +b ）+（﹣4a +b ）]•a ＝12， ∴a 2＝4， ∵a ＞0， ∴a ＝2；（3）由（2）得，一次函数的解析式为y ＝﹣2x +12，反比例函数的解析式为：y ＝，A 、B 两点的横坐标分别为2、4，且m ＝﹣2x +12、n ＝，因此使得m ＞n 的x 的取值范围就是反比例函数的图象在一次函数图象下方的点中横坐标的取值范围，从图象可以看出2＜x ＜4或x ＜0．9．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点C 与原点O 重合，点B 在y 轴的正半轴上，点A 在反比例函数y ＝（x ＞0）的图象上，点D 的坐标为（4，3）．设AB 所在的直线解析式为y ＝ax +b （a ≠0），若将菱形ABCD 沿x 轴正方向平移m 个单位， ①当菱形的顶点B 落在反比例函数的图象上，求m 的值；②在平移中，若反比例函数图象与菱形的边AD 始终有交点，求m 的取值范围．解：①∵点D 的坐标为（4，3），点C 和原点O 重合，∴CD＝＝5．∵四边形ABCD为菱形，∴BC＝AD＝CD＝5，∴点A的坐标为（4，8），点B的坐标为（0，5）．∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴k＝4×8＝32，∴反比例函数解析式为y＝．当y＝5时，＝5，解得：x＝，∴当菱形的顶点B落在反比例函数的图象上时，m的值为．②当y＝3时，＝3，解得：x＝，∵﹣4＝，∴当菱形的顶点D落在反比例函数的图象上时，m的值为，∴在平移中，若反比例函数图象与菱形的边AD始终有交点，m的取值范围为0≤m≤．10．如图，已知∠AOB＝90°，∠OAB＝30°，反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象过点B（﹣3，a），反比例函数y＝（x＞0）的图象过点A．（1）求a和k的值；（2）过点B作BC∥x轴，与双曲线y＝交于点C．求△OAC的面积．解：（1）∵比例函数y＝﹣（x＜0）的图象过点B（﹣3，a），∴a＝﹣＝1，∴OE＝3，BE＝1，分别过点A、B作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，∴∠BOE+∠OBE＝90°，∵∠AOB＝90°，∠OAB＝30°，∴∠BOE+∠AOD＝90°，tan30°＝＝，∴∠OBE＝∠AOD，∵∠OEB＝∠ADO＝90°，∴△BOE∽△OAD∴＝＝＝，∴AD＝•OE＝＝3，OD＝•BE＝＝∴A（，3），∵反比例函数y＝（x＞0）的图象过点A，∴k＝×＝9；（2）由（1）可知AD＝3，OD＝，∵BC∥x轴，B（﹣3，1），∴C点的纵坐标为1，过点C作CF⊥x轴于F，∵点C在双曲线y＝上，∴1＝，解得x ＝9， ∴C （9，1）， ∴CF ＝1，∴S △AOC ＝S △AOD +S 梯形ADFC ﹣S △COF ＝S 梯形ADCF＝（AD +CF ）（OF ﹣OD ）＝（3+1）（9﹣）＝13．11．如图已知直线y ＝kx +5（k ＜0）与x 、y 轴分别交于点A 、B ，与双曲线y ＝（x ＞0）交于点C ，过点C 作CD ⊥x 轴于点D ，连接OC ，设C 点坐标为（a ，b ），t ＝OD •DA （1）当a ＝4时，求k •t 的值； （2）求证：ka 2+5a ＝4；（3）随着a 的变化，k •t 的值是否变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．解：（1）设C 点坐标为（a ，b ）， 当a ＝4时，∴C （4，b ），∵点C 在双曲线y ＝上，∴b＝＝1，∴C（4，1），∵点C在直线y＝kx+5上，∴1＝4k+5，∴k＝﹣1，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+5，令y＝0，则﹣x+5＝0，∴x＝5，∴A（5，0），∴OA＝5，∵CD⊥x轴于D，C（4，1），∴OD＝4，∴DA＝OA﹣OD＝1，∴t＝OD•DA＝4×1＝4，∴k•t＝﹣1×4＝﹣4；（2）∵点C（a，b）在双曲线y＝上，∴ab＝4，∵点C在直线y＝kx+5上，∴b＝ak+5，∴a（ak+5）＝4，∴ka2+5a＝4；（3）不变，理由：在直线AB：y＝kx+5中，令y＝0，则kx+5＝0，∴x＝﹣，∴A（﹣，0），∴OA＝﹣，∵CD⊥x轴于D，∴OD＝a，∴DA＝OA﹣OD＝﹣﹣a，∴t＝OD•DA＝a（﹣﹣a）＝﹣（a2k+5a），由（2）知，ka2+5a＝4，∴t＝﹣（a2k+5a）＝﹣×4＝﹣∴k•t＝k•（﹣）＝﹣4．12．如图1，点A（0，8）、点B（2，a）在直线y＝﹣2x+b上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B．（1）求a和k的值；（2）将线段AB向右平移m个单位长度（m＞0），得到对应线段CD，连接AC、BD．①如图2，当m＝3时，过D作DF⊥x轴于点F，交反比例函数图象于点E，求的值；②在线段AB运动过程中，连接BC，若△BCD是以BC为腰的等腰三角形，求所有满足条件的m的值．解：（1）∵点A（0，8）在直线y＝﹣2x+b上，∴﹣2×0+b＝8，∴b＝8，∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+8，将点B（2，a）代入直线AB的解析式y＝﹣2x+8中，得﹣2×2+8＝a，∴a＝4，∴B（2，4），将B（2，4）在反比例函数解析式y＝（x＞0）中，得k＝xy＝2×4＝8；（2）①由（1）知，B（2，4），k＝8，∴反比例函数解析式为y＝，当m＝3时，∴将线段AB向右平移3个单位长度，得到对应线段CD，∴D（2+3，4），即：D（5，4），∵DF⊥x轴于点F，交反比例函数y＝的图象于点E，∴E（5，），∴DE＝4﹣＝，EF＝，∴＝＝；②如图，∵将线段AB向右平移m个单位长度（m＞0），得到对应线段CD，∴CD＝AB，AC＝BD＝m，∵A（0，8），B（2，4），∴C（m，8），D（（m+2，4），∵△BCD是以BC为腰的等腰三形，∴Ⅰ、当BC＝CD时，∴BC＝AB，∴点B在线段AC的垂直平分线上，∴m＝2×2＝4，Ⅱ、当BC＝BD时，∵B（2，4），C（m，8），∴BC＝，∴＝m，∴m＝5，即：△BCD是以BC为腰的等腰三角形，满足条件的m的值为4或5．13．平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在函数y1＝（x＞0），与y2＝﹣（x＜0）的图象上，A、B的横坐标分别为a、b．（a、b为任意实数）（1）若AB∥x轴，求△OAB的面积；（2）作边长为2的正方形ACDE，使AC∥x轴，点D在点A的左上方，那么，当a≥3时，CD边与函数y1＝（x＞0）的图象有交点，请说明理由．解：（1）A、B的横坐标分别为a、b，则点A、B的坐标分别为（a，）、（b，﹣），AB∥x轴，则，则a＝﹣b，AB＝a﹣b＝2a，S＝×2a×＝3；△OAB（2）如图所示：∵a≥3，AC＝2，则直线CD在y轴右侧且平行于y轴，CD一定与函数有交点，设交点为F，设点A（a，），则点C（a﹣2，），点D（a﹣2，），点F（a﹣2，）则2﹣FC＝2﹣+＝，∵a≥3，∴a﹣3≥0，a﹣2＞0，故2﹣FC≥0，FC≤2，即点F在线段CD上，即当a≥3时，CD边与函数y1＝（x＞0）的图象有交点．14．如图，直线AB：y＝kx+b与x轴、y轴分别相交于点A（1，0）和点B（0，2），以线段AB为边在第一象限作正方形ABCD．（1）求直线AB的解析式；（2）求点D的坐标；（3）若双曲线（k＞0）与正方形的边CD始终有一个交点，求k的取值范围．解：（1）将A（1，0），B（0，2）代入y＝kx+b，得：，解得：，∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+2．（2）作DF⊥x轴于F，则∠AFD＝90°，∵正方形ABCD，∴BA＝AD，∠BAD＝90°，∠BAO+∠DAF＝90°，∵∠BAO+∠ABO＝90°，∴∠ABO＝∠DAF．在△ADF和△BAO中，，∴△ADF≌△BAO（AAS），∴AF＝BO＝2，DF＝AO＝1，∴点D的坐标为（3，1）．（3）同（2）可得出点C的坐标为（2，3）．当双曲线过点D时，k＝3×1＝3；当双曲线过点C时，k＝2×3＝6，∴当双曲线（k＞0）与正方形的边CD始终有一个交点时，k的取值范围为3≤k≤6．15．如图，直线y1＝k1x+b与双曲线在第一象限内交于A、B两点，已知A（1，m），B（2，1）．（1）直接写出不等式y2＞y1的解集；（2）求直线AB的解析式；（3）设点P是线段AB上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，E是y轴上一点，求△PED的面积S的最大值．解：（1）∵A（1，m），B（2，1）．根据函数图象得，不等式y2＞y1的解集为0＜x＜1或x＞2；（2）∵点B（2，1）在双曲线上，∴k2＝2×1＝2，∴双曲线的解析式为y2＝，∵A（1，m）在双曲线y2＝上，∴m＝1×2＝2，∴A（1，2），∵直线AB：y1＝k1x+b过A（1，2）、B（2，1）两点，∴，∴，∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+3；（3）设点P（x，﹣x+3），且1≤x≤2，则S＝PD•OD＝＝∵∴当时，S有最大值，最大值为．。
北师版九年级数学上册 第6章 6.2.1 反比例函数的图象 培优训练卷(含答案)
第6章反比例函数6.2.1 反比例函数的图象培优训练卷一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．若反比例函数y ＝k x 的图象经过点(2，－1)，则该反比例函数的图象在( )A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第二、三象限D ．第二、四象限2．下列各点中，在反比例函数y ＝8x 的图象上的是( )A ．(－1，8)B ．(－2，4)C ．(1，7)D ．(2，4)3. 反比例函数y ＝－7x 的大致图象是( )4．关于反比例函数y ＝3x 图象的对称性，下列叙述错误的是( )A ． 关于x 轴对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于直线y ＝－x 对称D ．关于原点对称5．反比例函数y ＝m x 的图象的两支分布在第一、三象限，则点(－m ，m ＋2)在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6. 在同一平面直角坐标系中，函数y ＝x ＋k 与y ＝k x (k 为常数，k≠0)的图象大致是()7. 关于反比例函数y ＝4x的图象，下列说法正确的是( ) A ．必经过点(1，1)B ．两个分支分布在第二、四象限C ．两个分支关于x 轴成轴对称D ．两个分支关于原点成中心对称8．若点A(a ，b)在反比例函数y ＝2x的图象上，则代数式ab －4的值为( ) A ．0 B ．－2 C ．2 D ．－69．如图，已知OA ＝6，∠AOB ＝30°，则经过点A 的反比例函数的表达式为( )A ．y ＝－93xB ． y ＝9xC ．y ＝93xD ．y ＝－9x10. 如图，平行于x 轴的直线与函数y ＝k 1x (k 1＞0，x ＞0)，y ＝k 2x(k 2＞0，x ＞0)的图象分别相交于A ，B 两点，点A 在点B 的右侧，C 为x 轴上的一个动点，若△ABC 的面积为4，则k 1－k 2的值为( )A ．8B ．－8C ．4D ．－4二．填空题（共8小题，3*8=24） 11. 若反比例函数y ＝8x的图象经过点(－2，m)，则m 的值是________. 12. 如图，它是反比例函数y ＝m －5x图象的一支，根据图象可知常数m 的取值范围是_____________．13. ．已知函数y＝(m＋1)xm2－5是反比例函数，且图象在第二、四象限内，则m的值是__________．14．若正比例函数y＝－2x与反比例函数y＝kx图象的一个交点坐标为(－1，2)，则另一个交点坐标为______________.15. 已知反比例函数y＝2k－3x的图象经过点(1，1)，则k的值为_____.16. A(3，－4)，B(－2，m)在同一个反比例函数的图象上，则m的值为____.17. 若一个反比例函数的图象经过点A(m，m)和B(2m，－1)，则这个反比例函数的表达式为_____.18. 如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，点A的坐标为(2，1)，BO＝25，反比例函数y＝kx的图象经过点B，则k的值为________．三．解答题（共7小题，46分）19．(6分) 在同一坐标系中画出y＝5x和y＝－5x的图象，它们有什么相同点和不同点．20．(6分)已知反比例函数y1＝kx的图象与一次函数y2＝kx＋m的图象相交于A(2，1)，分别求出这两个函数的表达式，并在同一坐标系内画出它们的大致图象．21．(6分) 在平面直角坐标系中，反比例函数y＝kx(k≠0)的图象与一次函数y＝x＋2的图象的一个交点为P，且点P的横坐标为1，求该反比例函数的表达式．22．(6分)如图，Rt△ABC的两个锐角顶点A，B在函数y＝kx(x＞0)的图象上，AC∥x轴，AC＝2，若点A的坐标为(2，2)，求点B的坐标．23．(6分) 点P(1，a)在反比例函数y＝kx的图象上，它关于y轴的对称点在一次函数y＝2x＋4的图象上，求此反比例函数的表达式．24．(8分)已知反比例函数y＝k－1x(k为常数，且k≠1)．(1)若点A(1，2)在这个函数的图象上，求k的值；(2)若k＝13，试判断点B(3，4)，C(2，5)是否在这个函数的图象上，并说明理由．25．(8分)如图，某反比例函数图象的一支经过点A(2，3)和点B(点B在点A的右侧)，作BC⊥y轴，垂足为点C，连接AB，AC.(1)求该反比例函数的表达式；(2)若△ABC的面积为6，求直线AB的表达式．参考答案：1-5DDDAB 6-10BDBCA 11．－412. m＞513. 214．(1，－2)15. 216. 617. y＝4 x18. -819. 解：如图所示．相同点：①都是双曲线，②都是轴对称图形，③都是中心对称图形，④与坐标轴无交点．不同点：k>0时，图象在第一、三象限，k<0时图象在第二、四象限20. 解：∵反比例函数y1＝kx的图象与一次函数y2＝kx＋m的图象相交于A(2，1)，∴k＝2×1＝2，k×2＋m＝1.∴k＝2，m＝－3.∴y1＝2x，y2＝2x－3.它们的图象如图所示21. 解：∵当x＝1时，y＝x＋2＝3，∴点P的坐标为(1，3)．将点P的坐标(1，3)代入y＝kx，得k＝3，∴反比例函数的表达式为y＝3 x22. 解：∵点A(2，2)在函数y＝k(x＞0)的图象上，∴2＝k，得k＝4.∴点B的横坐标是4，∴y＝44＝1，∴点B的坐标为(4，1)．23. 解：点P(1，a)关于y轴的对称点是P′(－1，a)．∵点P′(－1，a)在一次函数y＝2x＋4的图象上，∴a＝2×(－1)＋4＝2.∵点P(1，2)在反比例函数y＝kx的图象上，∴k＝2，∴反比例函数的表达式为y＝2 x.24. 解：(1)∵点A(1，2)在这个函数的图象上，∴2＝k－1，解得k＝3(2)∵k＝13，∴反比例函数的表达式为y＝12 x.将点B的坐标代入y＝12x，可知点B的坐标满足函数关系式，∴点B在函数y＝12x的图象上；将点C的坐标代入y＝12x，由5≠122＝6可知点C的坐标不满足函数关系式，∴点C不在函数y＝12x的图象上25. 解：(1)设该反比例函数的表达式为y＝kx，由题意，得k＝2×3＝6，∴设反比例函数的表达式为y＝6 x(2)设点B的坐标为(a，b)，过点A作AD⊥BC于点D，则D(2，b)．∵反比例函数y＝6x的图象经过点B(a，b)，∴b＝6a，∴AD＝3－6a，∴S△ABC＝12BC·AD＝12a(3－6a)＝6，解得a＝6，∴b＝6a＝1，∴B(6，1)．。
北师大版九年级数学 反比例函数 培优专题训练(含答案)
北师大版九年级数学反比例函数培优专题训练（含答案）【基础演练】（1）反比例函数y＝的图象位于（）A.第一、三象限B.第二、三象限C.第一、二象限D.第二、四象限（2）如果反比例函数y＝（a是常数）的图象在第一、三象限，那么a的取值范围是（）A.a<0B.a>0C.a<2D.a>2（3）如图Z3-4-1，点P是反比例函数y＝（k≠0）的图象上任意一点，过点P作PM⊥x 轴，垂足为M.若△POM的面积等于2，则k的值等于（）A.-4B.4C.-2D.2图Z3-4-1 图Z3-4-2（4）如图Z3-4-2所示，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C为反比例函数y＝（k>0）上不同的三点，连接OA，OB，OC，过点A作AD⊥y轴于点D，过点B，C分别作BE，CF 垂直x轴于点E，F，OC与BE相交于点M，记△AOD、△BOM、四边形CMEF的面积分别为S1、S2、S3，则（）A.S1＝S2+S3B.S2＝S3C.S3>S2>S1D.S1S2<S32（5）已知点A 是直线y ＝2x 与双曲线y ＝（m 为常数）一支的交点，过点A 作x 轴的垂线，垂足为B ，且OB ＝2，则m 的值为（ ）A.-7B.-8C.8D.7 （6）如图Z3-4-3，一次函数y 1＝ax+b 和反比例函数y 2＝的图象相交于A ，B 两点，则使y 1>y 2成立的x 取值范围是（ ）A.-2<x<0或0<x<4B.x<-2或0<x<4C.x<-2或x>4D.-2<x<0或x>4图Z3-4-3 图Z3-4-4（7）如图Z3-4-4，正比例函数y ＝kx 与反比例函数y ＝的图象相交于A ，C 两点，过点A 作x 轴的垂线交x 轴于点B ，连接BC ，则△ABC 的面积等于（ ）A.8B.6C.4D.2（8）验光师测得一组关于近视眼镜的度数y （度）与镜片焦距x （米）的对应数据如下表，根据表中数据，可得y 关于x 的函数表达式为（ ） 近视眼镜的度数y （度）200 250 400 5001 000 镜片焦距x（米）0.50 0.40 0.250.20 0.10A.y＝B.y＝C.y＝D.y＝【能力提升】（1）如图Z3-4-5，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B 两点的纵坐标分别为4，2，反比例函数y＝（x>0）的图象经过A，B两点，若菱形ABCD 的面积为，则k的值为（）A.2B.3C.4D.6图Z3-4-5 图Z3-4-6（2）如图Z3-4-6，⊙O的半径为2，双曲线的解析式分别为y＝和y＝-，则阴影部分的面积是（）A.4πB.3πC.2πD.π（3）如图Z3-4-7，正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2＝（x>0）的图象相交于点A（，），点B是反比例函数图象上一点，它的横坐标是3，连接OB，AB，则△AOB的面积是.图Z3-4-7 图Z3-4-8（4）教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10 ℃，加热到100 ℃停止加热，水温开始下降，此时水温y（℃）与开机后用时x（min）成反比例关系，直至水温降至30 ℃，饮水机关机，饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序.若在水温为30 ℃时接通电源，水温y（℃）与时间x（min）的关系如图Z3-4-9所示：（1）分别写出水温上升和下降阶段y与x之间的函数关系式.（2）怡萱同学想喝高于50 ℃的水，请问她最多需要等待多长时间?【拓展培优】（1）某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜.如图Z3-4-10是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y （℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB，BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段.请根据图中信息解答下列问题：（1）求这天的温度y与时间x（0≤x≤24）的函数关系式.（2）求恒温系统设定的恒定温度.（3）若大棚内的温度低于10 ℃时，蔬菜会受到伤害.问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？图Z3-4-10（2）长为300 m的春游队伍，以v（m/s）的速度向东行进，如图Z3-4-11①和②，当队伍排尾行进到位置O时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为2v（m/s），当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进.设排尾从位置O开始行进的时间为t（s），排头与O的距离为S头（m）.①②图Z3-4-11（1）当v＝2时，解答：①求S头与t的函数关系式（不写t的取值范围）；②当甲赶到排头位置时，求S头的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置O的距离为S甲（m），求S甲与t的函数关系式（不写t的取值范围）.（2）设甲这次往返队伍的总时间为T（s），求T与v的函数关系式（不写v的取值范围），并写出队伍在此过程中行进的路程.答案；【基础演练】1 A.2 D.3 A.4 B5 D6 B.7 C8 A【能力提升】1 C.2 C. 34解：（1）观察图象，可知当x＝7 min时，水温y＝100（℃）当0≤x≤7时，设y关于x的函数关系式为y＝kx+b，得即当0≤x≤7时，y关于x的函数关系式为y＝10x+30，当x>7时，设y＝，100＝，得a＝700，即当x>7时，y关于x的函数关系式为y＝.当y＝30时，x＝，∴ y与x的函数关系式为y＝y与x的函数关系式每min重复出现一次.（2）将y＝50代入y＝10x+30，得x＝2，将y＝50代入y＝，得x＝14，∵ 14-2＝12，-12＝，.∴ 怡萱同学想喝高于50 ℃的水，她最多需要等待 min..【拓展培优】1 解：（1）设线段AB的关系式为y＝k1x+b（k≠0）.∵ 线段AB过点（0，10），（2，14），代入得解得∴ AB的关系式为y＝2x+10（0≤x<5）.∵ B在线段AB上，当x＝5时，y＝20，∴ B坐标为（5，20），∴ 线段BC的关系式为y＝20（5≤x<10）.设双曲线CD的关系式为y＝（k2≠0），∵ C（10，20）在双曲线上，∴ k2＝200，∴ 双曲线CD的关系式为y＝（10≤x≤24）.∴ y关于x的函数关系式为y＝（2）由（1）知恒温系统设定恒温为20 ℃.（3）把y＝10代入y＝中，解得x＝20.∴ 20-10＝10.答：恒温系统最多关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害.2 解：（1）①排尾从位置O开始行进的时间为t（s），则排头也离开原排头t（s），∴ S头＝2t+300.②甲从排尾赶到排头的时间为300÷（2v-v）＝300÷v＝300÷2＝150（s），此时S头＝2t+300＝600（m），甲返回时间为（t-150）s，∴ S甲＝S头-S甲回＝2×150+300-4（t-150）＝-4t+1 200.因此，S头与t的函数关系式为S头＝2t+300，当甲赶到排头位置时，求S的值为600 m，在甲从排头返回到排尾过程中，S甲与t的函数关系式为S甲＝-4t+1 200.（2）T＝t追及+t返回＝+＝，在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程为v×＝400.因此T与v的函数关系式为T＝，此时队伍在此过程中行进的路程为400 m.。
北师大版九年级数学上册《6.1反比例函数》同步测试题及答案
北师大版九年级数学上册《6.1反比例函数》同步测试题及答案一、单选题1．下列函数：①y=x−2，②y=3x ，③y=x−1，④y=2x+1，⑤xy=11，⑥y=kx，⑦y=5x2，⑧yx=1．其中y是x的反比例函数的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．下列问题中，两个变量成反比例的是（）A．商一定时（不为零），被除数与除数；B．等腰三角形周长一定时，它的腰长与它底边的长；C．一个因数（不为零）不变时，另一个因数与它们的积；D．货物的总价A一定时，货物的单价a与货物的数量x．3．当x=−3时，反比例函数y=−12x的函数值为（）A．−14B．4C．−4D．144．下列各点在反比例函数y=−8x的图象上的是（）A．(−2,−4)B．(2,4)C．(13,24)D．(−12,16)5．若一个反比例函数的图象经过A(2，−4)、B(m，−2)两点，则m的值为（）A．−4B．4C．8D．−86．如果点A(a，−b)在反比例函数y=2x的图象上，则代数式ab−4的值为（）A．0B．−2C．2D．−67．已知点A(3,m)和点B(n,2)关于x轴对称，则下列各点不在反比例函数y=mnx的图象上的点是（）A．(3,−2)B．(−3,2)C．(−1,−6)D．(−1,6)8．现有A、B两枚均匀的小立方体(立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6).用小莉掷A立方体朝上的数字为x、小明掷B立方体朝上的数字为y来确定点P(x,y)，那么他们各掷一次所确定的点P落在双曲线y=6x上的概率为（）A．19B．23C．118D．16二、填空题9．已知反比例函数y=−8x的图像经过(−2,m)，则m=10．已知反比例函数y=8x的图象经过点A(m,−2)，则A关于原点对称点A′坐标为．11．已知y与x-2成反比例，且比例系数为k≠0，若x=3时，y=4，则k=．12．已知y−3与x+2成反比例，且x=2时y=7，则当y=1时，x的值为13．已知点A(x1,y1)，B(x2,y2)都在反比例函数y=4x的图象上．若x1⋅x2=−2，则y1⋅y2的值为．14．点A(x1,y1)，B(x2,y2)在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上，若x1+x2=0，则y1+y2=．15．已知点P（a，b）是反比例函数y=1x 图像上异于点（－1，－1）的一个动点，则21+a+21+b＝．16．如图，平面直角坐标系中，若反比例函数y=kx(k≠0)的图象过点A和点B，则a的值为．三、解答题17．已知y=(a−2)x a2−a−1，当a为何值时，y为x的正比例函数？当a为何值时，y为x的反比例函数？18．写出下列问题中的函数关系式，并指出其比例系数.（1）当圆锥的体积是150cm³时，它的高ℎ（cm）与底面积S（cm²）的函数关系式；（2）功是常数W时，力F与物体在力的方向上通过的距离s的函数关系式；（3）某实验中学八（2）班同学为校运动会制作小红花1000朵，完成的天数y与该班同学每天制作的数量x 之间的函数关系式；（4）某商场推出分期付款购买电脑的活动，一台电脑售价1.2万元，首期付款4千元后，分x次付清，每次付款相同. 每次的付款数y（元）与付款次数x的函数关系式.19．已知反比例函数y=−12x．(1)说出这个函数的比例系数和自变量的取值范围．(2)求当x=−3时函数的值．(3)求当y=−√3时自变量x的值．20．已知函数y=y1+y2，其中y1与x成正比例，y2与x−3成反比例，当x=2时y=16；当x=4时，y=20．求：(1)y关于x的函数解析式及定义域；(2)当x=5时的函数值．21．已知y−3与x+1成反比例关系，且当x=2时y=1．(1)求y与x的函数表达式．)是否在该函数图象上，并说明理由．(2)试判断点B(3,−1222．在面积为定值的一组矩形中，当矩形的一边长为7.5cm时，它的另一边长为8cm．(1)设矩形相邻的两边长分别为x(cm),y(cm)，求y关于x的函数表达式．这个函数是反比例函数吗？如果是，指出比例系数．(2)若其中一个矩形的一条边长为5cm，求这个矩形与之相邻的另一边长．23．服装厂承揽一项生产1600件夏凉小衫的任务，计划用t天完成.(1)写出每天生产夏凉小衫w(件）与生产时间t(天)（t>4）之间的函数关系式；(2)服装厂按计划每天生产100件夏凉小衫，那么需要多少天能够完成任务？(3)由于气温提前升高，商家与服装厂商议调整计划，决定提前6天交货，那么服装厂每天要多做多少件夏凉小衫才能完成任务？参考答案：题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 C D B D B D C A(k≠0)，xy=k(k≠0)，y=kx−1(k≠0)．1．解：反比例的三种形式分别为：y=kx①中x的次数是1，是一次函数，不是反比例函数；②，③是反比例函数；④中分母是x+1，故不是反比例函数；⑤是反比例函数；⑥中没有k≠0，故不是反比例函数；⑦分母是x2，故不是反比例函数；⑧中x的次数是1，是一次函数，不是反比例函数．故有三个是反比例函数．故选C．2．解：A、商一定时（不为零），被除数和除数成正比例关系，故A错误；B、等腰三角形周长一定时，它的腰长与它底边的长成一次函数关系；故B错误；C 、一个因数（不为零）不变时，另一个因数与它们的积成正比例关系；故C 错误；D 、货物的总价A 一定时，货物的单价a 与货物的数量x 成反比例关系；故D 正确． 故选D3．解：当x =−3时 故选：B ．4．解：A.当x =−2时y =−8−2=4，故该点不在反比例函数y =−8x图象上；B. 当x =2时y =−82=−4，故该点不在反比例函数y =−8x 图象上； C. 当x =13时y =−813=−24，故该点不在反比例函数y =−8x 图象上；D. 当x =−12时y =−8−12=16，故该点在反比例函数y =−8x 图象上；故选：D ．5．解：设反比例函数的表达式为y =kx（k ≠0）∵反比例函数的图象经过A(2，−4)、B(m ，−2)两点 ∵k =2×(−4)=−2m 解得：m =4 故选：B ．6．解：∵点A(a ，−b)在反比例函数y =2x 的图象上 ∵−b =2a ∵ab =−2∵ab −4=−2−4=−6 故选D ．7．解：∵点A (3,m )和点B (n,2)关于x 轴对称 ∵{m =−2n =3∵反比例函数解析式为y =mn x=−6x∵在反比例函数图象上的点一定满足横纵坐标的乘积为−6 ∵四个选项中只有C 选项符合题意 故选C ．8．解：表格列示所有投掷情况如下小明小莉12345611,11,21,31,41,51,622,12,22,32,42,52,633,13,23,33,43,53,644,14,24,34,44,54,655,15,25,35,45,55,666,16,26,36,46,56,6点P若落在y=6x上，则xy=6．如上表，两人掷的组合情况共有6×6=36种，其中满足要求的有4种：2,3；3,2；1,6；6,1，故概率为436=19；故选：A9．解：把(−2,m)代入y=−8x即m=−8−2=4故答案为：4．10．解：∵反比例函数y=8x的图象经过点A(m,−2)∵−2m=8解得m=−4∴A(−4,−2)则A关于原点对称点A′(4,2)故答案为：(4,2)．11．解：由题意知k=y（x-2）∵x=3时，y=4∵k=4×（3-2）=4．故答案为：412．解：∵y −3与x +2成反比例 ∵可设：y −3=k x+2(k ≠0)又∵x =2,y =7 ∵7−3=k 2+2解之得：k =16 ∵得：y −3=16x+2，即：y =16x+2+3∵当y =1时得：1=16x+2+3 解之得：x =−10 故答案为：−10．13．解：∵点A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)都在反比例函数y =4x 的图象上∴x 1y 1=4，x 2y 2=4 ∴x 1y 1x 2y 2=16且x 1⋅x 2=−2 ∴y 1⋅y 2=−8． 故答案为：−8．14．解：∵点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)在反比例函数y =k x (k ≠0)的图象上 ∵y 1=k x 1，y 2=k x 2∵y 1+y 2=kx 1+kx 2=k(x 1+x 2)x 1x 2．∵x 1+x 2=0 ∵k(x 1+x 2)x 1x 2=0，即y 1+y 2=0．故答案为：0．15．解：∵点P(a,b)是反比例函数y =1x 图象上异于点(−1,−1)的一个动点∴ab =1∴ 21+a +21+b =2(1+b)(1+a)(1+b)+2(1+a)(1+a)(1+b)=2(1+b+1+a)1+b+a+ab=2(2+a+b)2+a+b=2．故答案为2．16．解：依题意，将点A (1,−3)代入y =kx ，得出k =−3∵反比例数解析式为y =−3x当x =−2时y =32即a =32 故答案为：32．17．解：当y 为x 的正比例函数时{a −2≠0a 2−a −1=1解得：a =−1．所以：当a =−1时，y 为x 的正比例函数． 当y 为x 的反比例函数时{a −2≠0a 2−a −1=−1解得：a =0或a =1．所以：当a =0或a =1时，y 为x 的反比例函数． 18．解：（1）∵hS=450，∵ℎ=450S，∵比例系数为450.（2）∵Fs=W ，∵F =W s，∵比例系数为W . （3）∵xy=1000，∵y =1000x，∵比例系数为1000.（4）∵xy=12000-4000，∵y =8000x，∵比例系数为8000.19．（1）解：∵y =−12x∵k =−12,x ≠0；（2）解：把x =−3，代入y =−12x 得：y =−12−3=4； ∵当x =−3时函数的值为：4；（3）解：把y =−√3，代入y =−12x 得：−√3=−12x ，解得：x =4√3；∵当y =−√3时x 的值为：4√3．20．（1）解：∵ y 1与x 成正比例，y 2与x −3成反比例 ∴设y 1=ax(a ≠0)∴y =y 1+y 2=ax +bx −3∵当x =2时y =16；当x =4时∴{2a +b2−3=164a +b4−3=20解得：a =6∴y =6x −4x −3∵x −3≠0 ∴x ≠3∴y =6x −4x −3(x ≠3) （2）解：由（1）可知y =6x −4x−3，则当x =5时y =6×5−45−3=28． 21．（1）解：设y −3=k x+1∵当x =2时y =1 ∵1−3=k2+1 ∵k =−6 ∵y =−6x+1+3； （2）不在；理由如下： 当x =3时y =−63+1+3=32∵B (3,−12)不在该函数图象上．22．（1）解：设矩形的面积为Scm 2，则S =7.5×8=60 即xy =60，y =60x即y 关于x 的函数解析式是y =60x，这个函数是反比例函数，系数为60；（2）解：当x =5时y =60x=12故这个矩形与之相邻的另一边长为12cm ． 23．解：（1）根据题意，得wt =1600 所以w =1600t(t >4)；(2)当w=100时1600t=100，解得t=16.即服装厂需要16天能够完成任务.(3)当t=16−6=10时w=1600t =160010=160（件）.160−100=60(件)即服装厂每天要多做60件夏凉小衫才能完成任务.。
北师大版九年级上册第六章反比例函数与几何综合培优专题(真题含答案)
9
（1） SOAB ＝ _____， m ＝ _____；
（2）已知点
P
6,
0 在线段
OE
上，当
PDE
CBO
时，求点
D
的坐标．
23．（2019·四川中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线 AB 与 y 轴交于点
B(0, 7) ，与反比例函数
y
8 x
在第二象限内的图象相交于点
A(1,
y3 y4 ，求 x3 x4 的值； ④若直线 y a 与函数图象有三个不同的交点，求 a 的取值范围．
yk 26．（2019·江苏中考真题）如图， A 为反比例函数 x (x>0)图象上的一点，在 x 轴 正半轴上有一点 B ， OB 4 .连接 OA ， AB ，且 OA AB 2 10 .
D． 5
3．（2019·山东中考真题）如图，点 A 的坐标是(-2,0)，点 B 的坐标是(0,6)，C 为 OB
的中点，将△ABC
绕点
B
逆时针旋转
90°后得到
ABC
．若反比例函数
y
k x
的图
象恰好经过 AB 的中点 D，则 k 的值是（ ）
A．9
B．12
C．15
D．18
4．（2019·重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形 OABC 的边 OA 在 x 轴
y
k x
(k
0)
的图象交于第二、四象限内的点
A(a,
4)
和点
B(8, b)
．过点
A
作
x
轴的
10
垂线，垂足为点 C ， AOC 的面积为 4．
北师大版九年级数学上册第六章B反比例函数图形与面积培优专题训练(含答案)
第六章反比例函数图形面积与培优专题训练（一）知识梳理1. 过反比例函数（k ≠0）图象上一点向坐标轴作垂线，与坐标轴形成的矩形的面积等于 |k| 。
2.基本模型：（1）||k S OABC=矩形 （2） AB=CD （3） AB=CD（4）ABCD OCDS S 梯形△= （5） AB//CD（二）典型例题 例1.如图1，点A 是反比例函数图象上的一点，过点A 作AB ⊥y 轴于点B ，若△ABO 的面积是2，则该反比例函数的关系式是 。
如图2，点A 是反比例函数图象上的一点，过点A 作AB ⊥y 轴于点B ，若△ABP 的面积是2，则该反比例函数的关系式是 。
如图3，点A 是反比例函数图象上的一点，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，若△ABP 的面积是2，则该反比例函数的关系式是 。
答案：图1：y=；图2：y=；图3：y= -分析：（1）|k|=2△ABO 的面积；（2） 由同底等高三角形面积相等可得：△ABP 的面积=△ABO 的面积 （3）根据双曲线所在象限确定k 的符号 例2.如图，A,B 是双曲线y=上的两点，过A 点作AC ⊥x 轴于点C ，交OB 于D 点，若△ADO 的面积为2，D 为OB 的中点，则k 的值为（ ） A.B.C.6D.8答案答案：选A方法一：作BE ⊥x 轴于点E△AOC 与△BOE 面积相等，∴四边形BECD=△AOD 面积=1 D 为OB 中点，∴△ODC 面积是1/3 ∴△AOC 面积是1+1/3=4/3，k=8/3 方法二：连接ABD 为OB 中点，∴△ODA 的面积=△ABD 的面积=1 ∴梯形ABEC 面积=△AOB 的面积=2设A(m,k/m),则B(2m,k/2m),计算梯形面积得k=8/3 （三）练习1.如图，点P 在反比例函数的图象上，且PD ⊥x 轴于点D ，连接OP ，若△POD的面积为6，则k的值是（ ）A ．6 B ．12 C ．﹣6 D ．﹣12（1题）（2题）（3题）2.如图，P1、P2、P3是双曲线上的三点．过这三点分别作y轴的垂线，得到三个△P1A10，△P2A20，△P3A30，设它们的面积分别是S1、S2、S3，则（）A．S1＜S2＜S3B．S2＜S1＜S3C．S1＜S3＜S2D．S1=S2=S33. 如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴上一个定点，点B是双曲线xy3（x>0）上一个动点，当点B的横坐标逐渐增大时，△OAB的面积将会（）A.逐渐增大B.不变C.逐渐减小D.先增大后减小4.已知点，点都在反比例函数的图象上，过点分别作两坐标轴的垂线，两垂线与两坐标轴围成的矩形面积为（）A. B. C. D.5.如图，平面直角坐标系中，点是轴上任意一点，平行于轴，分别交、的图象于、两点，若的面积为，则值为（）A. B. C. D.(5)（6）（7）6.如图，过轴上任意一点作轴的平行线，分别与反比例函数，的图象交于点和点，若为轴任意一点．连接、，则的面积为____．7.如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠，若点在反比例函数的图象上，则经过点的反比例函数解析式为（）A. B. C. D.8.（2018河南中考）如图，反比例函数的图象过格点（网格线的交点）P.（1）求反比例函数的解析式；（2）在图中用直尺和2B铅笔画出两个矩形（不写画法），要求每个矩形均需满足下列两个条件：①四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点O，点P；②矩形的面积等于的值．9.如图，平行四边形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A，C在反比例函数y= (x＞0)的图象上，点A的横坐标为4，点C的横坐标2，且平行四边形OABC的面积为9，则k的值为．11.如图，反比例函数的图象经过矩形OABC 对角线的交点M ，分别于AB 、BC 交于点D 、E ，若四边形ODBE 的面积为9，则k 的值为（ ）答案：（三）练习 1. D ． 2. D ．3. C.分析：双曲线xy 3（x>0）的k=3>0,y 随x 的增大而减小，所以点B 的横坐标逐渐增大时，点B 的纵坐标逐渐减小，即△OAB 的高逐渐减小，△OAB 的底部OA 不变，所以△OAB 的面积将会逐渐减小。
北师大版九年级数学上册第六章反比例函数提高培优讲义：反比例函数和一次函数综合(含答案)
北师大版九年级数学上册第六章反比例函数提高培优讲义：反比例函数和一次函数综合知识梳理：模块一：反比例函数和一次函数图象综合模块二：反比例函数的对称性(第14题)模块三：平行和相等模型AM BN =AM BN =模块四、例题讲解:例1、（1）函数y kx k =+与()ky k x=≠0在同一直角坐标系中的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．（2）在同一坐标系内，表示函数y kx b =+与kby x=（k ≠0，b ≠0）的图像只可能是下图中的（ ）D C B AD C BD CDA ．B ．C ．D ．（1）C ；（2）B ．例2、如图，反比例函数ky x=与一次函数y mx b =+的图象交于(,)A 13，(,)B n -1两点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）据图象回答：当x 取何值时，反比例函数的值小于一次函数的值．（1）y x3=，y x =+2； （2）x -3<<0或x >1．例3、（1）如图3-1，直线()y kx k =>0与双曲线y x2=交于A 、B 两点，坐标分别为(,)A x y 11，(,)B x y 22，则x y x y 1221+的值为_________．（2）如图3-2，已知直线y x 1=2与双曲线()ky k x=>0交于A 、B 两点，且点A 的横坐标为4．过原点O 的另一条直线l 交双曲线()ky k x=>0于P 、Q 两点（P 点在第一象限），若由点P 、Q 、A 、B 为顶点组成的四边形面积为24，则点P 的坐标为____________．图3-1 图3-2（1）-4；（提示：x x 21=-，y y 21=-）（2）由对称性可得，OP OQ =，OA OB =，则四边形APBQ 是平行四边形，∴△POA APBQ S S 11==⨯24=644，设P 点坐标为,p p x x 8⎛⎫ ⎪⎝⎭，若p x 0<<4，则()p p x x 18⎛⎫2+4-=6 ⎪2⎝⎭，解得p x =2（舍负），∴(,)P 24；若p x >4，则()p p x x 18⎛⎫2+-4=6 ⎪2⎝⎭，解得p x =8（舍负），∴(,)P 81，故P 点坐标为(,)24或(,)81．例4、（1）已知一次函数y x b =-+的图象与反比例函数()ky k x=>0的图象的一个交点坐标是(,)26，则另一个交点的坐标是_________．（2）已知一次函数y x b =+的图象与反比例函数()ky k x=<0的图象的一个交点坐标是(,)-15，则另一个交点的坐标是_________．（1）(,)62；（2）(,)-51．例5、（1）如图5-1，直线y x =-+1与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与反比例函数ky x=在第一象限内的图象交于C 、D 两点，已知C 点的横坐标为14．则△OCD 的面积为______________．（2）如图5-2，已知直线y x m n =-++与双曲线y x1=交于两个不同的点(,)A m n (≥m 2)和(,)B p q ．直线y x m n =-++与y 轴交于点C ，则△OBC 的面积S 和m 的函数关系式为_________________．（3）如图5-3，等腰直角三角形ABC 位于第一象限，AB AC ==2，直角顶点A 直线y x =上，其中A 点的横坐标为1，且两条直角边AB 、AC 分别平行于x 轴、y 轴，若双曲线()ky k x=≠0与△ABC 有交点，则k 的取值范围是 ．图5-1 图5-2 图5-3（1）由题意，C 点的坐标为,13⎛⎫ ⎪44⎝⎭，∴D 点的坐标为31⎛⎫⎪44⎝⎭，，∴△OCD S 13111⎛⎫=+⨯⨯= ⎪44224⎝⎭．（2）由题意，点A 与点B 关于直线y x =对称，则B 点坐标为(,)n m ，∴(△)OBC S S m n n mn n 2111==+⋅=+222，又n m 1=，∴S m 211=+22．（3）≤≤k 14．例6、在平面直角坐标系中，函数my x=（x >0，m 是常数）的图象经过点(,)A 14，点(,)B a b ，其中a >1，过点A 作x 轴的垂线，垂足为C ，过点B 作y 轴的垂线，垂足为D ，AC 与BD 相交于点M ，连接AD ，DC ，CB 与AB ． （1）求m 的值； （2）求证：DC//AB ；（3）当AD BC =时，求直线AB 的函数解析式．（1）m =4；（2）略；（3）当四边形ABCD 为平行四边形或为等腰梯形时，对应的直线AB 的解的式为y x =-2+6或y x =-+5．例7、（1）如图7-1，一次函数y ax b =+的图象与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，与反比例函数ky x=的图象相交于C ，D 两点，分别过C ，D 两点作y 轴，x 轴的垂线，垂足为E ，F ，连接CF ，DE ．有以下四个结论：①△CEF 与△DEF 的面积相等；②△≌△AOB FOE ；③△≌△DCE CDF ；④AC BD =．其中正确的结论是________（把你认为正确结论的序号都填上）．（2）如图7-2，在平面直角坐标系xOy 中，直线y x 3=2与双曲线y x6=相交于A ，B 两点，C 是第一象限内双曲线上一点，连接CA 并延长交y 轴于点P ，连接BP ，BC ．若△PBC 的面积是20，则点C 的坐标为___________．（3）如图7-3，在平面直角坐标系xOy 中，△OAB 的顶点A 在x 轴正半轴上，OC 是△OAB的中线，点B ，C 在反比例函数()y x x3=>0的图象上，则△OAB 的面积等于________．图7-1 图7-2 图7-3（1）①④（2）,149⎛⎫⎪37⎝⎭；（3）92．模块五、课后作业：1、（1）已知关于x 的函数()y k x =+1和()≠ky k x=-0，它们在同一坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．（2）已知a ≠0，b ≠0，a b +≠0，则函数y ax b =+与a by x+=在同一坐标系中的图象不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．（1）A ；（2）B ．2、（1）若一次函数y x b =3+和反比例函数b y x-3=的图像有两个交点，当b =______时，有一个交点的纵坐标为6．（2）如图是一次函数y kx b 1=+和反比例函数my x2=的图象，观察图象写出y y 12>时，x 的取值范围为____________．（1）由题意可得y =6，代入y x b =3+，b y x-3=可得b =5． （2）观察图象得3x >或20x -<<．3、如图，双曲线my x=在第一象限的一支上有一点(,)C 15，经过点C 的直线()y kx b k =-+>0与x 轴交于点(,)A a 0． （1）求点A 的横坐标a 与k 之间的函数关系式； （2）当这条直线与双曲线的另一交点D 的横坐标为9时，求△COA 的面积．（1）由(,)A a 0、(,)C 15两点在直线y kx b =-+上， 有,.k b ka b -+=5⎧⎨-+=0⎩消去b 得a k 5=1+． （2）容易求得双曲线解析式5y x =，从而交点59,9D ⎛⎫⎪⎝⎭， 可得，解得 由（1）的结论，可得，故． 4、（1）如图4-1，直线()y ax a =>0与双曲线y x3=交于(,)A x y 11，(,)B x y 22两点，则x y x y 12214-3=_______．（2）如图4-2，已知反比例函数y x4=与直线y x b =-+交于P 、Q 两点，其中点Q 为(4, m )，则△OPQ 的面积为________．5599k b k b -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，5950.9k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，51a k =+10a =1105252COA S ∆=⨯⨯=图4-1 图4-2（1）-3；（提示：x x 21=-，y y 21=-）； （2）152． 5、一次函数y ax b =+的图象分别于x 轴、y 轴交于点M 、N ，与反比例函数ky x=的图象相交于A 、B ，过点A 分别作AC x ⊥轴，AE y ⊥轴，垂足分别为C 、E ；过点B 分别作BF x ⊥轴，BD y ⊥轴，垂足分别为F 、D ；AC 与BD 交于点K ，连结CD ．（1）若点A 、B 在反比例函数ky x=的图象的同一分支上，如图5-1，试证明：①AEDK CFBK S S =四边形四边形；②AN BM =．（2）若点A 、B 分别在反比例函数ky x=的图象的不同分支上，如图5-2，则AN 与BM 还相等吗？试证明你的结论．图5-1 图5-2（1）①AEOC BDOF S S k ==矩形矩形，AEOC DOCK BDOF DOCK S S S S ∴-=-矩形矩形矩形矩形，即AEDK CFBK S S =四边形四边形．②如图①，连AD 、BC ，得△△ADK BCK S S =， △△ADC BDC S S ∴=，得BC//AB ．AC //y 轴，∴四边形ACDN 是平行四边形，AN CD ∴=，同理BM CD =，故AN BM =；（2）AN 与BM 仍然相等，证法同①．6、平行四边形AOBC 中，对角线交于点E ，双曲线()k y k x=>0经过A ，E 两点，若平行四边形AOBC 的面积为18，则k =________．k=6．。
北师大版九年级数学上学期期末压轴题培优第六章：反比例函数(含答案)
九年级上学期期末压轴题培优：反比例函数1．如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（x＞0）的图象和△ABC都在第一象限内，AB＝AC＝，BC∥x轴，且BC＝4，点A的坐标为（3，5）．（1）若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B，求此反比例函数的解析式；（2）若将△ABC向下平移m（m＞0）个单位长度，A，C两点的对应点同时落在反比例函数图象上，求m的值．解：（1）∵AB＝AC＝，BC＝4，点A（3，5）．∴B（1，），C（5，），若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B，则＝，解得，k＝，∴反比例函数的解析式为y＝；（2）∵点A（3，5）．C（5，），将△ABC向下平移m个单位长度，∴A（3，5﹣m），C（5，﹣m），∵A，C两点同时落在反比例函数图象上，∴3（5﹣m）＝5（﹣m），∴m＝．2．一次函数y ＝kx +b 的图象与反比例函数y ＝的图象相交于A （﹣1，m ），B （n ，1）两点．（1）求出这个一次函数的表达式； （2）求△OAB 的面积．解：（1）把A （﹣1，m ），B （n ，﹣1）分别代入y ＝得﹣m ＝﹣2，﹣n ＝﹣2，解得m＝2，n ＝2，所以A 点坐标为（﹣1，2），B 点坐标为（2，﹣1），把A （﹣1，2），B （2，﹣1）代入y ＝kx +b 得，解得，所以这个一次函数的表达式为y ＝﹣x +1； （2）设直线AB 交y 轴于P 点，如图， 当x ＝0时，y ＝1，所以P 点坐标为（0，1），所以S △OAB ＝S △AOP +S △BOP ＝×1×1+×1×2＝．3．如图所示，已知双曲线y＝（k＞0，x＞0）的图象上有两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），且x1＜x2，分别过P1，P2向x轴作垂线，垂足为B，D，过P1，P2向y轴作垂线，垂足分别为A，C．（1）若记四边形AP1BO和四边形CP2DO的面积分别为S1，S2，试比较S1和S2的大小．（2）若记四边形AP1BO和四边形CP2DO的周长分别为C1和C2，试比较C1，C2的大小．（3）若P是双曲线y＝（k＞0，x＞0）上一点，分别过P向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M，N．试问当P在何处时四边形PMON的周长最小，最小值为多少？解：（1）根据反比例函数系数k的几何意义可知S1＝S2＝k；（2）∵C1＝2OB+2AO＝2BO+2CO+2AC，C2＝2CO+2OD＝2CO+2OB+2BD，∴当y1﹣y2＝x2﹣x1，即AC＝BD时，C1＝C2；当y1﹣y2＜x2﹣x1，即AC＜BD时，C1＜C2；当y1﹣y2＞x2﹣x1，即AC＞BD时，C1＞C2．（3）设P（x，y），即（x，），四边形PMON的周长＝2（x+y）＝2（x+），因为面积相等的四边形中正方形的周长最小，所以x＝，即x2＝k，解得x＝，故P点坐标为（，）．∴最小值为4．4．如图，在平面直角坐标系中，过点M （0，2）的直线l 与x 轴平行，且直线l 分别与反比例函数y ＝（x ＞0）和y ＝（x ＜0）的图象分别交于点P ，Q ． （1）求P 点的坐标；（2）若△POQ 的面积为9，求k 的值．解：（1）∵PQ ∥x 轴， ∴点P 的纵坐标为2，把y ＝2代入y ＝得x ＝3， ∴P 点坐标为（3，2）；（2）∵S △POQ ＝S △OMQ +S △OMP ，∴|k |+×|6|＝9， ∴|k |＝12， 而k ＜0， ∴k ＝﹣12．5．如图，四边形OABC是矩形，A、C分别在y轴、x轴上，且OA＝6cm，OC＝8cm，点P 从点A开始以2cm/s的速度向B运动，点Q从点B开始以1cm/s的速度向C运动，设运动时间为t．（1）如图（1），当t为何值时，△BPQ的面积为4cm2？（2）当t为何值时，以B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？（3）如图（2），在运动过程中的某一时刻，反比例函数y＝的图象恰好同时经过P、Q 两点，求这个反比例函数的解析式．解：（1）由题意AB＝OC＝8cm，AO＝BC＝6cm，∠B＝90°，∵P A＝2t，BQ＝t，∴PB＝8﹣2t，∵△BPQ的面积为4cm2，∴•（8﹣2t）•t＝4，解得t＝2，∴t＝2s时，△PBQ的面积为4．（2）①当△BPQ∽△BAC时，＝，∴＝，解得t＝．②当△BPQ∽△BCA时，＝，∴＝，解得t＝，∴t为s或s时，以B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．（3）由题意P（2t，6），Q（8，6﹣t），∵反比例函数y＝的图象恰好同时经过P、Q两点，∴12t＝8（6﹣t），解得t＝，∴P（，6），∴m＝，∴反比例函数的解析式为y＝．6．如图1，在平面直角坐标系中，点A（0，4），B（1，m）都在直线y＝﹣2x+b上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B．（1）直接写出m和k的值；（2）如图2，将线段AB向右平移n个单位长度（n≥0），得到对应线段CD，连接AC，BD．①在平移过程中，若反比例函数图象与线段AB有交点，求n的取值范围；②在平移过程中，连接BC，若△BCD是直角三角形，请直接写出所有满足条件n的值．解：（1）∵点A（0，4）在直线y＝﹣2x+b上，∴﹣2×0+b＝4，∴b＝4，∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+4，将点B（1，m）代入直线AB的解析式y＝﹣2x+4中，得﹣2×1+4＝m，∴b＝2，∴B（1，2），将B（1，2）在反比例函数解析式y＝（x＞0）中，得k＝xy＝1×2＝2；（2）①∵将线段AB向右平移n个单位长度，∴A（n，4），把A（n，4）代入y＝中，得，4＝，∴n＝，∴在平移过程中，若反比例函数图象与线段AB有交点，n的取值范围为0≤n≤；②∵将线段AB向右平移n个单位长度（n≥0），得到对应线段CD，∴AB∥CD，∴∠CDB≠90°，当∠CBD＝90°时，△BCD是直角三角形，∴CB⊥BC，∴C（1，4），∴n＝1；当∠BCD＝90°，△BCD是直角三角形，则C（n，4），D（n+1，2），∵BC2+CD2＝BD2，∴（n﹣1）2+（4﹣2）2+12+（4﹣2）2＝n2，解得：n＝5，综上所述，若△BCD是直角三角形，n的值为1或5．7．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+1与图数y＝的限象交于A（﹣2，a），B两点．（1）求a，k的值；（2）已知点P（0，n），过点P作平行于x轴的直线l，交函数y＝的图象于点C（x1，y1），交直线y＝﹣x+1的图象于点D（x2，y2），若|x1|≤|x2|，结合函数图象，请求出m的取值范围．解：（1）∵直线y＝﹣x+1与函数y＝的图象交于A（﹣2，a），把A（﹣2，a）代入y＝﹣x+1解得a＝3，∴A（﹣2，3）．把A（﹣2，3）代入y＝，解得k＝﹣6；（2）画出函数图象如图解得或，∵A （﹣2，3）， ∴B （3，﹣2），根据图象可得：若|x 1|≤|x 2|，则m ≥3或﹣2≤m ＜0．8．如图，在直角坐标系xOy 中，矩形ABCD 的DC 边在x 轴上，D 点坐标为（﹣6，0）边AB 、AD 的长分别为3、8，E 是BC 的中点，反比例函数y ＝的图象经过点E ，与AD 边交于点F ．（1）求k 的值及经过A 、E 两点的一次函数的表达式；（2）若x 轴上有一点P ，使PE +PF 的值最小，试求出点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，连接EF 、PE 、PF ，在直线AE 上找一点Q ，使得S △QEF ＝S △PEF 直接写出符合条件的Q 点坐标．解：（1）在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝8， ∴CD ＝AB ＝3，BC ＝AD ＝8， ∵D （﹣6，0），∴A （﹣6，8），C （﹣3，0），B （﹣3，8）， ∵E 是BC 的中点， ∴E （﹣3，4），∵点D 在反比例函数y ＝的图象上， ∴k ＝﹣3×4＝﹣12，设经过A 、E 两点的一次函数的表达式为y ＝k 'x +b ，∴，∴，∴经过A 、E 两点的一次函数的表达式为y ＝﹣x ；（2）如图1，由（1）知，k ＝﹣12，∴反比例函数的解析式为y ＝﹣，∵点F 的横坐标为﹣6， ∴点F 的纵坐标为2， ∴F （﹣6，2），作点F 关于x 轴的对称点F '，则F '（﹣6，﹣2）， 连接EF '交x 轴于P ，此时，PE +PF 的值最小， ∵E （﹣3，4），∴直线EF '的解析式为y ＝2x +10， 令y ＝0，则2x +10＝0， ∴x ＝﹣5， ∴P （﹣5，0）；（3）如图2，由（2）知，F '（﹣6，﹣2）， ∵E （﹣3，4），F （﹣6，2），∴S △PEF ＝S △EFF '﹣S △PFF '＝×（2+2）×（﹣3+6）﹣（2+2）×（﹣5+6）＝4， ∵E （﹣3，4），F （﹣6，2），∴直线EF 的解析式为y ＝x +6，由（1）知，经过A 、E 两点的一次函数的表达式为y ＝﹣x ，设点Q （m ，﹣m ），过点Q 作y 轴的平行线交EF 于G ，∴G （m ， m +6），∴QG ＝|﹣m ﹣m ﹣6|＝|2m +6|， ∵S △QEF ＝S △PEF ，∴S △QEF ＝|2m +6|×（﹣3+6）＝4，∴m ＝﹣或m ＝﹣，∴Q （﹣，）或（﹣，）．9．如图，直线y ＝2x +6与反比例数y ＝（x ＞0）的图象交于点A （1，m ），与x 轴交于点B ，与y 轴交于点D ．（1）求m 的值和反比例函数的表达式；（2）在y 轴上有一动点P （0，n ）（n ＜6），过点P 作平行于x 轴的直线，交反比例函数的图象于点M ，交直线AB 于点N ，连接OM ，MN①当n ＝4时，判断四边形BOMN 的形状，并简要写出证明思路； ②若S △BDM ＞S △BOD ，直接写出点P 的纵坐标n 的取值范围．解：（1）当x＝1时，m＝2x+6＝8，∴点A的坐标为（1，8）．∵点A（1，8）在反比例数y＝的图象上，∴k＝1×8＝8，∴反比例函数的解析式为y＝．（2）①四边形BOMN为平行四边形．证明：当y＝0时，2x+6＝0，解得：x＝﹣3，∴点A的坐标为（﹣3，0），OB＝3；当y＝4时，2x+6＝4，＝4，解得：x＝﹣1，x＝2，∴点M的坐标为（2，4），点N的坐标为（﹣1，4），∴MN＝2﹣（﹣1）＝3，∴MN＝OB．∵MN∥x轴，OB在x轴上，∴MN∥OB，∴四边形BOMN为平行四边形．②过点O作直线l∥AB，交反比例数y＝（x＞0）的图象于点M．∵直线AB的解析式为y＝2x+6，∴直线l的解析式为y＝2x．联立直线l 和反比例函数解析式成方程组，得：，解得：，（舍去），∴点M 的坐标为（2，4）；同理，可求出直线y ＝2x +12与反比例函数y ＝的图象交点M 3（﹣3﹣，6﹣2）（舍去），M 4（﹣3+，6+2）（舍去）．∵S △BDM ＞S △BOD ， ∴0＜n ＜4．10．小明家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热（此过程中水温y （℃）与开机时间x （分）满足一次函数关系），当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降（此过程中水温y （℃）与开机时间x （分）成反比例关系），当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）当0≤x≤10时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式；（2）求图中t的值；（3）若小明在通电开机后即外出散步，请你预测小明散步57分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少℃？解：（1）当0≤x≤10时，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系为：y＝kx+b，依据题意，得，解得：，故此函数解析式为：y＝8x+20；（2）在水温下降过程中，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为：y＝，依据题意，得：100＝，即m＝1000，故y＝，当y＝20时，20＝，解得：t＝50；（3）∵57﹣50＝7≤10，∴当x＝7时，y＝8×7+20＝76，答：小明散步57分钟回到家时，饮水机内的温度约为76℃．11．如图，平面直角坐标系中，一次函数y＝kx﹣2的图象与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于点B，与x轴，y轴交于点D，E，BC⊥x轴于C，BA⊥y轴于A，＝，△ABE 的面积为24．（1）点E的坐标是（0，﹣2）；（2）求一次函数和反比例函数的表达式；（3）以BC为边作菱形CBMN，顶点M在点B左侧的一次函数y＝kx﹣2的图象上，判断边MN与反比例函数y＝（x＜0）的图象是否有公共点．解：（1）∵一次函数y＝kx﹣2的图象与y轴交于点E，令x＝0，得到y＝﹣2，∴E（0，﹣2），故答案为（0，﹣2）．（2）∵BC⊥x轴于C，BA⊥y轴于A，∴∠BCO＝∠BAO＝∠AOD＝90°，∴四边形ACOB是矩形，∴OC∥AB，OC＝AB，∵＝，∴＝＝＝，∵OE＝2，∴EA＝6，∴OA＝4，＝×AB×6＝24，∵S△ABE∴AB＝8，∴B（﹣8，4），∵点B在y＝上，∴m＝﹣32，把B（﹣8，4）代入y＝kx﹣2得到k＝﹣，∴一次函数的解析式为y ＝﹣x ﹣2，反比例函数的解析式为y ＝﹣．（3）设M （m ，﹣m ﹣2），延长MN 交x 轴于H ．由题意D （﹣，0），∵BC ＝BM ＝4，BD ＝＝，∵BC ∥MH ，∴＝，∴＝，解得m ＝﹣，∴M （﹣，），N （﹣，），对于反比例函数y ＝﹣，当x ＝﹣时，y ＝，∵＜，∴线段MN 与反比例函数的图象有交点．12．如图，已知一次函数y 1＝ax +b 的图象与x 轴、y 轴分别交于点D ，C ，与反比例函数y 2＝的图象交于A ，B 两点，且点A 的坐标是（1，3）、点B 的坐标是（3，m ）． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求C 、D 两点的坐标，并求△AOB 的面积；（3）根据图象直接写出：当x 在什么取值范围时，y 1＞y 2？解：（1）把点A （1，3）代入y 2＝， ∴3＝，即k ＝3，故反比例函数的解析式为：y 2＝．把点B 的坐标是（3，m ）代入y 2＝，得：m ＝＝1， ∴点B 的坐标是（3，1）．把A （1，3），B （3，1）代入y 1＝ax +b ，得，解得，故一次函数的解析式为：y 1＝﹣x +4；（2）令x ＝0，则y 1＝4； 令y 1＝0，则x ＝4， ∴C （0，4），D （4，0），∴S △AOB ＝S △AOD ﹣S △BOD ＝×4×3﹣×4×1＝4；（3）当x 满足1＜x ＜3时，则y 1＞y 2．13．如图，正比例函数y ＝2x 的图象与反比例函数的图象交于A 、B 两点，过点A 作AC 垂直x 轴于点C ，连结BC ．若△ABC 的面积为2． （1）求k 的值；（2）直接写出：①点A 坐标 （1，2） ；点B 坐标 （﹣1，﹣2） ；②当时，x 的取值范围 x ≥1或0＞x ≥﹣1 ；（3）x 轴上是否存在一点D ，使△ABD 为直角三角形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，∴A、B两点关于原点对称，∴OA＝OB，∴△BOC的面积＝△AOC的面积＝2÷2＝1，又∵A是反比例函数y＝图象上的点，且AC⊥x轴于点C，∴△AOC的面积＝|k|，∴|k|＝1，∵k＞0，∴k＝2；（2）①解得，或，∴点A坐标（1，2），点B坐标（﹣1，﹣2），②当时，x的取值范围为x≥1或0＞x≥﹣1；故答案为：（1，2），（﹣1，﹣2），x≥1或0＞x≥﹣1；（3）x轴上存在一点D，使△ABD为直角三角形．∵A（1，2），B（﹣1，﹣2），①当AD⊥AB时，如图1，设直线AD的关系式为y＝﹣x+b，将A（1，2）代入上式得：b＝，∴直线AD的关系式为y＝﹣x+，令y＝0得：x＝5，∴D（5，0）；②当BD⊥AB时，如图2，设直线BD的关系式为y＝﹣x+b，将B（﹣1，﹣2）代入上式得：b＝﹣，∴直线BD的关系式为y＝﹣x﹣，令y＝0得：x＝﹣5，∴D（﹣5，0）；③当AD⊥BD时，如图3，∵O为线段A的中点，∴OD＝AB＝OA，∵A（1，2），∴OC＝1，AC＝2，由勾股定理得：OA＝＝＝，∴OD＝，∴D（，0）．根据对称性，当D为直角顶点，且D在x轴负半轴时，D（﹣，0）．故x轴上存在一点D，使△ABD为直角三角形，点D的坐标为（5，0）或（﹣5，0）或（，0）或（﹣，0）．14．如图，平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＜0）的图象经过点A（﹣1，6），直线y ＝mx﹣2与x轴交于点B（﹣1，0）．（1）求k，m的值．（2）点P是直线y＝﹣2x位于第二象限上的一个动点，过点P作平行于x轴的直线，交直线y＝mx﹣2于点C，交函数y＝（x＜0）的图象于点D，设P（n，﹣2n）．①当n＝﹣1时，判断线段PD与PC的数量关系，并说明理由②当PD≥2PC时，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．解：（1）∵函数y＝（x＜0）的图象经过点A（﹣1，6），∴k＝﹣1×6＝﹣6；将B（﹣1，0）代入y＝mx﹣2，得：0＝﹣m﹣2，解得：m＝﹣2．（2）①PD＝2PC，理由如下：当n＝﹣1时，点P的坐标为（﹣1，2）．当y＝2时，﹣2x﹣2＝2，＝2，解得：x＝﹣2，x＝﹣3，∴点C 的坐标为（﹣2，2），点D 的坐标为（﹣3，2）， ∴PC ＝1，PD ＝2， ∴PD ＝2PC ．②当n ＝﹣3时，点P 的坐标为（﹣3，6）．当y ＝6时，﹣2x ﹣2＝6，＝6，解得：x ＝﹣4，x ＝﹣1，∴点C 的坐标为（﹣4，6），点D 的坐标为（﹣1，6）， ∴PC ＝1，PD ＝2， ∴PD ＝2PC ．∵点P 是直线y ＝﹣2x 位于第二象限上的一个动点， ∴当PD ≥2PC 时，﹣1≤n ＜0或n ≤﹣3．15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的顶点A 在x 轴的正半轴上，顶点C 在y 轴的正半轴上，D 是BC 边上的一点，OC ：CD ＝5：3，DB ＝6．反比例函数y ＝（k ≠0）在第一象限内的图象经过点D ，交AB 于点E ，AE ：BE ＝1：2． （1）求这个反比例函数的表达式；（2）动点P 在矩形OABC 内，且满足S △P AO ＝S 四边形OABC ． ①若点P 在这个反比例函数的图象上，求点P 的坐标；②若点Q 是平面内一点使得以A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形求点Q 的坐标．解：（1）设点B 的坐标为（m ，n ），则点E 的坐标为（m ， n ），点D 的坐标为（m ﹣6，n ）．∵点D ，E 在反比例函数y ＝（k ≠0）的图象上， ∴k ＝mn ＝（m ﹣6）n ， ∴m ＝9．∵OC ：CD ＝5：3， ∴n ：（m ﹣6）＝5：3， ∴n ＝5，∴k ＝mn ＝×9×5＝15，∴反比例函数的表达式为y ＝．（2）∵S △P AO ＝S 四边形OABC ，∴OA •y P ＝OA •OC ，∴y P ＝OC ＝4．①当y ＝4时，＝4，解得：x ＝，∴若点P 在这个反比例函数的图象上，点P 的坐标为（，4）．②由（1）可知：点A 的坐标为（9，0），点B 的坐标为（9，5）， ∵y P ＝4，y A +y B ＝5，∴y P ≠，∴AP ≠BP ，∴AB不能为对角线．设点P的坐标为（t，4）．分AP＝AB和BP＝AB两种情况考虑（如图所示）：（i）当AB＝AP时，（9﹣t）2+（4﹣0）2＝52，解得：t1＝6，t2＝12（舍去），∴点P1的坐标为（6，4）．又∵P1Q1＝AB＝5，∴点Q1的坐标为（6，9）；（ii）当BP＝AB时，（9﹣t）2+（5﹣4）2＝52，解得：t3＝9﹣2，t4＝9+2（舍去），∴点P2的坐标为（9﹣2，4）．又∵P2Q2＝AB＝5，∴点Q2的坐标为（9﹣2，﹣1）．综上所述：点Q的坐标为（6，9）或（9﹣2，﹣1）．16．（1）如图1，已知△ABC与△ABD的面积相等，证明AB∥CD；（2）①如图2，点M，N在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，过点M作ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，垂足分别为E，E，请利用（1）的结果，证明：MN∥EF；②若①中的其他条件不变，只改变点M，N的位置如图3所示，请判断MN与EF是否平行（不用写理由）．（1）证明：在图1中，过点C 作CP ⊥AB 于点P ，过点D 作DQ ⊥AB 于点Q ，则∠CP A ＝∠DQB ＝90°， ∴CP ∥DQ ．∵△ABC 与△ABD 的面积相等， ∴CP ＝DQ ，∴四边形CPQD 为平行四边形， ∴AB ∥CD ．（2）①证明：在图2中，连接FM ，EN ．设点M 的坐标为（x 1，y 1），点N 的坐标为（x 2，y 2）．∵点M ，N 在反比例函数y ＝（k ＞0）的图象上， ∴k ＝x 1y 1＝x 2y 2． ∵ME ⊥y 轴，NF ⊥x 轴，∴OE ＝y 1，OF ＝x 2，ME ＝x 1，NF ＝y 2．∵S △EFM ＝ME •OE ＝x 1y 1＝k ，S △EFN ＝NF •OF ＝x 2y 2＝k ， ∴S △EFM ＝S △EFN ， ∴MN ∥EF ；②解：MN ∥EF ，理由如下： 在图3中，连接MN ，FM ，EN ．设点M 的坐标为（x 1，y 1），点N 的坐标为（x 2，y 2）．∵点M ，N 在反比例函数y ＝（k ＞0）的图象上， ∴k ＝x 1y 1＝x 2y 2．∵ME ⊥y 轴，NF ⊥x 轴，∴OE ＝y 1，OF ＝x 2，ME ＝x 1，NF ＝y 2．∵S △EFM ＝ME •OE ＝x 1y 1＝k ，S △EFN ＝NF •OF ＝x 2y 2＝k ， ∴S △EFM ＝S △EFN ， ∴MN ∥EF ；17．如图，正比例函数y 1＝kx 与反比例函数y ＝（x ＞0）交于点A （2，3），AB ⊥x 轴于点B ，平移直线y 1＝kx 使其经过点B ，得到直线y 2，y 2与y 轴交于点C ，与y ＝交于点D ．（1）求正比例函数y 1＝kx 及反比例函数y ＝的解析式；（2）求点D 的坐标； （3）求△ACD 的面积．解：（1）将点A （2，3）分别代入y 1＝kx 、得3＝2k 、，解得k ＝，m ＝6，∴正比例函数及反比例函数的解析式分别为y 1＝x 、；（2）∵y 2由y 1平移得到，所以设y 2＝x +b ，∵AB ⊥x 轴，∴B （2，0），将其代入y 2＝x +b 得b ＝﹣3，∴y 2＝x ﹣3，由题意得：解得：，（舍去），∴点D 坐标为（，）；（3）连接OD ，过点D 作DE ⊥y 轴，垂足为E ，则DE ＝1+，把x ＝0代入y 2＝x ﹣3得，y ＝﹣3， ∴C （0，﹣3） ∵直线y 1∥y 2，∴S △ACD ＝S △OCD ＝OC •DE ＝×3×（）＝．答：△ACD 的面积为．18．已知，矩形OABC在平面直角坐标系内的位置如图所示，点O为坐标原点，点A的坐标为（10，0），点B的坐标为（10，8），已知直线AC与双曲线y＝（m≠0）在第一象限内有一交点Q（5，n）．（1）求直线AC和双曲线的解析式；（2）若动点P从A点出发，沿折线AO→OC的路径以每秒2个单位长度的速度运动，到达C处停止．求△OPQ的面积S与的运动时间t秒的函数关系式，并求当t取何值时S＝10．解：设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），过A（10，0）、C（0，8），，解得：，∴直线AC的解析式为y＝﹣x+8，又∵Q（5，n）在直线AC上，∴n＝﹣×5+8＝4，又∵双曲线y＝过Q（5，4），∴m＝5×4＝20，∴双曲线的解析式为：y＝；②当0≤t≤5时，OP＝10﹣2t，过Q作QD⊥OA，垂足为D，如图1，∵Q（5，4），∴QD＝4，∴S＝（10﹣2t）×4＝20﹣4t，当S＝10时，20﹣4t＝10解得t＝2.5，当5＜t≤9时，OP＝2t﹣10，过Q作QE⊥OC，垂足为E，如图2∵Q（5，4），∴QE＝5，∴S＝（2t﹣10）×5＝5t﹣25，当S＝10时，5t﹣25＝10，解得t＝7，综上，S＝，当t＝5秒时，△OPQ的面积不存在，∴当t＝2.5秒或t＝7秒时，S＝10．19．如图，一次函数y1＝k1x+2与反比例函数y2＝的图象交于点A（4，m）和B（﹣8，﹣2），与y轴交于点C．（1）k1＝，k2＝16；（2）根据函数图象可知，当y1＞y2时，x的取值范围是﹣8＜x＜0或x＞4；（3）过点A作AD⊥x轴于点D，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点．设直线OP与线段AD交于点E，当S四边形ODAC ：S△ODE＝3：1时，求直线OP的解析式．解：（1）把B（﹣8，﹣2）代入y1＝k1x+2得﹣8k1+2＝﹣2，解得k1＝，∴一次函数解析式为y1＝x+2；把B（﹣8，﹣2）代入y2＝得k2＝﹣8×（﹣2）＝16，∴反比例函数解析式为y2＝，故答案为：，16；（2）∵当y1＞y2时即直线在反比例函数图象的上方时对应的x的取值范围，∴﹣8＜x＜0或x＞4；故答案为：﹣8＜x＜0或x＞4；（3）把A（4，m）代入y2＝得4m＝16，解得m＝4，∴点A的坐标是（4，4），而点C的坐标是（0，2），∴CO＝2，AD＝OD＝4．∴S梯形ODAC＝×（2+4）×4＝12，∵S梯形ODAC ：S△ODE＝3：1，∴S△ODE＝×12＝4，∴OD•DE＝4，∴DE＝2，∴点E的坐标为（4，2）．设直线OP的解析式为y＝kx，把E（4，2）代入得4k＝2，解得k＝，∴直线OP的解析式为y＝x．20．如图，在平面直角坐标系中，边长为4的等边△OAB的边OB在x轴的负半轴上，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过AB边的中点C，且与OA边交于点D．（1）求k的值；（2）连接OC，CD，求△OCD的面积；（3）若直线y＝mx+n与直线CD平行，且与△OAB的边有交点，直接写出n的取值范围．解：（1）∵等边△OAB，∴AB＝BO＝AO＝4，∠ABO＝∠BOA＝∠OAB＝60°，∵点C是AB的中点，∴BC＝AC＝2，过点C作CM⊥OB，垂足为M，在Rt△BCM中，∠BCM＝90°﹣60°＝30°，BC＝2，∴BM＝1，CM＝，∴OM＝4﹣1＝3，∴点C的坐标为（﹣3，），代入y＝得：k＝﹣3答：k的值为﹣3．（2）过点A作AN⊥OB，垂足为N，由题意得：AN＝2CM＝2，ON＝OB＝2，∴A（﹣2，2），设直线OA的关系式为y＝kx，将A的坐标代入得：k＝﹣，∴直线OA的关系式为：y＝﹣x，31由题意得：，解得：舍去，，∴D（﹣，3） 过D 作DE ⊥OB ，垂足为E ，S △OCD ＝S CMED +S △DOE ﹣S △COM ＝S CMED＝（+3）×（3﹣）＝3， 答：△OCD 的面积为3．（3）①当与直线CD 平行的直线y ＝mx +n 过点O 时，此时y ＝mx +n 的n ＝0， ②当与直线CD 平行的直线y ＝mx +n 经过点A 时，设直线CD 的关系式为y ＝ax +b ，把C 、D 坐标代入得：，解得：a ＝1，b ＝3+∴直线CD 的关系式为y ＝x+3+， ∵y ＝mx +n 过与直线y ＝x+3+平行， ∴m ＝1，把A （﹣2，2）代入y ＝x +n 得：n ＝2+2因此：0≤n ≤2+2．答：n 的取值范围为：0≤n ≤2+2．。
北师大版九年级上册数学第六章 反比例函数含答案(能力提升)
北师大版九年级上册数学第六章反比例函数含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如果反比例函数y=的图象经过点(-1，-2)，则k的值是( )．A.2B.-2C.-3D.32、在反比例函数的图象的每个象限内，y随x的增大而增大，则k值可以是（）A.－1B.1C.2D.33、如图，正方形ABCD在平面直角坐标系中的点A和点B的坐标为A(1，0)、B(0，3)，点D在双曲线y= (k≠0)上.若正方形沿x轴负方向平移m个单位长度后，点C恰好落在该双曲线上，则m的值是( )A.1B.2C.3D.44、已知是反比例函数，则该函数的图象在( )A.第一、三象限B.第二、四象限C.第一、二象限D.第三、四象限5、若A（1，y1），B（2，y2）两点都在反比例函数y= 的图象上，则y1与y2的大小关系是（）A.y1＜y2B.y1=y2C.y1＞y2D.无法确定6、已知函数y＝(m＋1) 是反比例函数，且其图象在第二、四象限内，则m的值是( )A.2B.－2C.±2D.－7、根据图1所示的程序，得到了y与x的函数图象，如图2．若点M是y轴正半轴上任意一点，过点M作PQ∥x轴交图象于点P，Q，连接OP，OQ．则以下结论：①x＜0时，y＝②△OPQ的面积为定值．③x＞0时，y随x的增大而增大．④MQ=2PM．⑤∠POQ可以等于90°．其中正确结论是（）A.①②④B.②④⑤C.③④⑤D.②③⑤8、反比例函数y＝的图象经过点P(a，b)，其中a，b是一元二次方程x2＋kx＋4＝0的两根，那么点P的坐标是( )A.(1，4)B.(－1，－4)C.(2，2)D.(－2，－2)9、反比例函数的图象经过点，则当时，函数值的取值范围是（）A. B. C. D.10、下列函数：①；②；③；④中，y随x的增大而减小的函数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个11、矩形面积为3cm2，则它的宽y(cm)与x(cm)长之间的函数图象位于（）A.第一、三象限B.第二象限C.第三象限D.第一象限12、如果双曲线过点（3，－2），那么下列的点在该双曲线上的是（）A.（3，0）B.（0，6）C.（－1.25，8）D.（－1.5，4）13、若反比例函数（k≠0）的图像经过点（-2,6），则下列各点在这个函数图像上的是（）.A. B. C. D.14、如图所示，平行四边形的顶点C在轴的正半轴上，O为坐标原点，以为斜边构造等腰，反比例函数的图象经过点A，交于点E，连接.若，轴，，则k的值为（）A.12B.16C.18D.2415、某村粮食总产量为a（a为常量）吨，设该村粮食的人均产量y（吨），人口数为x（人），则y与x之间的函数图象应为图中的（）A. B. C.D.二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，面积为6的菱形AOBC的两点A，B在反比例函数（x>0）的图象上,则点C的坐标为________.17、如图，已知点A、C在反比例函数y= 的图象上，点B，D在反比例函数y= 的图象上，a＞b＞0，AB∥CD∥x轴，AB，CD在x轴的两侧，AB= ，CD= ，AB与CD间的距离为6，则a﹣b的值是________．18、在平面直角坐标系xOy中，当m，n满足mn＝k（k为常数，且m＞0，n＞0）时，就称点（m，n）为“等积点”．若直线y＝﹣x+b（b＞0）与x轴、y轴分别交于点A和点B，并且该直线上有且只有一个“等积点”，过点A与y轴平行的直线和过点B与x轴平行的直线交于点C，点E是直线AC上的“等积点”，点F是直线BC上的“等积点”，若△OEF的面积为，则OE=________．19、如图，Rt△ABC的直角边BC在x轴负半轴上，斜边AC上的中线BD的反向延长线交y轴正半轴于点E，双曲线y= （x＜0）的图象经过点A，S△BEC=8，则k=________．20、把一个长、宽、高分别是3 dm，2 dm，1 dm的长方体铜块铸成一个圆柱体铜块，则该圆柱体铜块的底面积S(单位：dm2)与高h(单位：dm)之间的函数关系式是________．21、如图，一次函数y=x+m（m＞0）的图像与x轴和y轴分别相交点A和点B，与反比例函数的图像在第一象限内交于点C，CD⊥x轴，CE⊥y轴，垂足分别为点D、E，当S四边形ODCE =S△OAB，则m的值为________．22、如图，已知点P（6，3），过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，反比例函数y= 的图象交PM于点A，交PN于点B．若四边形OAPB的面积为12，则k=________．23、若点和点在反比例函数的图象上，则与的大小关系为________.24、如图，点A是双曲线y= 在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边作等腰Rt△ABC，点C在第二象限，随着点A的运动，点C的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为________．25、若反比例函数y= 的图象经过点A（a，2），则a的值是________．三、解答题(共5题，共计25分)26、已知, 与成正比例, 与成反比例，且当时,; 时, .试求当时, 的值.27、已知：如图所示，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于A、B，作AC⊥ 轴于C，连BC，则△ABC的面积为3，求反比例函数的解析式．28、已知A（1，）是反比例函数图象上的一点，直线AC经过点A及坐标原点且与反比例函数图象的另一支交于点C，求C的坐标及反比例函数的解析式．29、若函数y=（m+1）是反比例函数，求m的值．30、已知函数y=是关于x的反比例函数，求m的值并写出函数表达式．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、D2、A3、B4、B5、C6、B7、B8、D9、D10、A11、D12、D14、D15、C二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、28、29、30、。
北师大版九年级上册 6.2 反比例函数图像与性质 热点题型汇编-培优篇(含答案)
北师大版九年级上册 反比例函数图像与性质 热点题型汇编-培优篇（含答案）一、单选题1．如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A 、B 在双曲线k y x=（ 0)x >上，BC 与x 轴交于点.D 若点A 的坐标为()1,2，则点B 的坐标为（ ）A.23,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B.14,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C.94,29⎛⎫⎪⎝⎭D.25,5⎛⎫ ⎪⎝⎭2．如图，已知直线12y x =与双曲线(0)k y k x =>交于A 、B 两点，点B 坐标为(-4,-2)，C 为双曲线(0)ky k x =>上一点，且在第一象限内，若△AOC 面积为6，则点C 坐标为（ ）A.（4,2）B.（2,3）C.（3,4）D.（2,4）3．如图，已知双曲线11y x =（x ＞0），24y x =（x ＞0），点P 为双曲线24y x=上的一点，且P A ⊥x 轴于点A ，PB ⊥y 轴于点B ，P A 、PB 分别交双曲线11y x=于D 、C 两点，则△PCD 的面积为（ ）A.1B.98C.2D.44．如图，直线12y x m=-+（0m>）与x轴交于点C，与y轴交于点D，以CD为边作矩形ABCD，点A在x轴上．双曲线6yx=-经过点B，与直线CD交于点E。
则点E的坐标为（）A.（154，85-） B.（4，32-） C.（92，43-） D.（6，1-）5．如图，A、B是双曲线y=kx（k＞0）上的点，A、B两点的横坐标分别是a、3a，线段AB的延长线交x轴于点C，若S△AOC=3．则k的值为（）A.2B.1.5C.4D.66．两个反比例函数y＝kx和y＝1x在第一象限内的图象如图所示，点P在y＝kx的图象上，PC⊥x轴于点C，交y＝1x的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交y＝1x的图象于点B，当点P在y＝kx的图象上运动时，以下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②四边形PAOB的面积不会发生变化；③PA与PB始终相等；④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．其中一定正确的是()A ．①②③B ．②③④C ．①②④D ．①③④7．如图，四边形ABCD 是平行四边形，顶点A 、B 的坐标分别是A （1，0），B （0，﹣2），顶点C 、D 在双曲线y=kx上，边AD 与y 轴相交于点E ，S 四边形BEDC =5S △ABE =10，则k 的值是（ ）A.-16B.-9C.-8D.-128．如图，一次函数y ax b =+的图象与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，与反比例函数ky x=的图象相交于C 、D 两点，分别过C 、D 两点作y 轴，x 轴的垂线，垂足为E 、F ，连接CF 、DE ，有下列结论：①CEF 与DEF 的面积相等；②//EF CD ；③DCE CDF ≅；④AC BD =；⑤CEF 的面积等于2k，其中正确的个数有（ ）A.2B.3C.4D.59．如图，点A （,1m ），B （2,n ）在双曲线ky x=（0k ≠）上，连接OA ，OB .若8ABO S ∆=，则k 的值是（ ）A.- 12B.-8C.-6D.-410．如图，矩形AOBC的面积为4，反比例函数y=kx的图象的一支经过矩形对角线的交点P，则k的值是（）A.4B.2C.1D.1 211．如图，A，B是反比例函数y=4x在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，则△OAB的面积是（）A．4 B．3 C．2 D．112．如图，平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，BC平行于x轴，分别交y=3x（x＞0）、y=kx（x＜0）的图象于B、C两点，若△ABC的面积为2，则k值为（）A.﹣1B.1C.12-D.1213．如图，过点A （4，5）分别作x 轴、y 轴的平行线，交直线y=﹣x+6于B 、C 两点，若函数y=kx（x ＞0）的图象△ABC 的边有公共点，则k 的取值范围是（ ）A.5≤k≤20B.8≤k≤20C.5≤k≤8D.9≤k≤2014．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点A ，B 在反比例函数ky x=（0k >，0x >）的图象上，横坐标分别为1，4，对角线BD x ∥轴．若菱形ABCD 的面积为452，则k 的值为（ ）A ．54B ．154C ．4D ．515．如图，点A ，B 在反比例函数的图象上，点C ，D 在反比例函数的图象上，AC//BD//y 轴，已知点A ，B 的横坐标分别为1，2，△OAC 与△ABD 的面积之和为，则k 的值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．16．如图，双曲线32y x=-（x ＜0）经过▱ABCO 的对角线交点D ，已知边OC 在y 轴上，且AC ⊥OC 于点C ，则▱OABC 的面积是（ ）A ．32B ．94C ．3D ．6二、填空题17．如图，反比例函数()0ky x x=>的图象经过矩形OABC 对角线的交点M ，分别交AB ，BC 于点D 、E ．若四边形ODBE 的面积为12，则k 的值为______．18．如图，点A （m ，6），B （n ，1）在反比例函数ky x=的图象上，AD ⊥x 轴于点D ，BC ⊥x 轴于点C ，点E 在CD 上，CD ＝5，△ABE 的面积为10，则点E 的坐标是_____．19．如图，点A 是反比例函数y=k x （x ＞0）的图象上一点，OA 与反比例函数y= 1x（x ＞0）的图象交于点C ，点B 在y 轴的正半轴上，且AB=OA ，若△ABC 的面积为6，则k 的值为________．20．如图，已知反比例函数(0)ky x x=>的图象经过点()3,4A ，在该图象上年找一点P ，使45POA ∠=，则点P 的坐标为______．21．如图，菱形ABCD 的边AD ⊥y 轴，垂足为点E ，顶点A 在第二象限，顶点B 在y 轴的正半轴上，反比例函数y=kx（k≠0，x ＞0）的图象同时经过顶点C ，D ．若点C 的横坐标为5，BE=3DE ，则k 的值为__________.22．如图，点A 、B 在双曲线上，连接OA 、AB ，以OA 、AB 为边作□OABC ，若点C 恰落在双曲线上，此时□OABC 的面积为_____．23．如图，直线122y x =-与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，点C 在直线AB 上，且点C 的纵坐标为一1 ，点D 在反比例函数y=k x 的图象上 ，CD 平行于y 轴，△OCD 的面积S=72，则k 的值为_____．24．如图：已知点A 、B 是反比例函数y=﹣6x上在第二象限内的分支上的两个点，点C （0，3），且△ABC 满足AC=BC ，∠ACB=90°，则线段AB 的长为__．25．如图，己知直线y ax b =+过()1,6A -与m y x =交于A 点、B 点，与ky x=交于E 点，直线y ax b =+与x 轴交于C 点，且2AB BC BE ==，则k =________．26．如图，已知直线25y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，将AOB ∆沿直线AB 翻折后，设点O 的对应点为点C ，双曲线(0)ky x x=>经过点C ，则k 的值为___________；27．如图，直线y=x+m 与双曲线y=3x相交于A ，B 两点，BC ∥x 轴，AC ∥y 轴，则△ABC 面积的最小值为_____．28．如图，已知动点A 在函数y=4x（x ＞0）的图象上，AB ⊥x 轴于点B ，AC ⊥y 轴于点C ，延长CA 至点D ，使AD=AB ，延长BA 至点E ，使AE=AC ，直线DE 分别交x 轴，y 轴于点P ，Q ，当QE ：DP=9：25时，图中的阴影部分的面积等于___．29．如图，点A 为函数y=9x （x ＞0）图象上一点，连结OA ，交函数y=1x（x ＞0）的图象于点B ，点C 是x 轴上一点，且AO=AC ，则△ABC 的面积为__．30．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=kx（x＞0）的图象交矩形OABC的边AB于点D，交BC于点E，且BE=2EC，若四边形ODBE的面积为8，则k=_____．31．直线AB交双曲线y=kx（x＞0）于点A，点B，交x轴于点C，点B为线段AC的中点，连接OA，若S△OAC=12，则k=_______．32．如图，已知反比例函数y=6x的图象经过点A（3，2），直线l经过点A，与反比例函数y=6x的图象的另外一个交点为B，与x轴的正半轴交于点C，且AB=2AC，则点B的坐标为_______．33．如图，已知反比例函数y=kx（k ＞0）的图象经过Rt △OAB 斜边OB 的中点C ，且与直角边AB 相交于点D ，若B 的坐标为（4，6），则△BOD 的面积为___________．34．如图，点A ，B 是反比例函数y=kx（x ＞0）图象上的两点，过点A ，B 分别作AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥x 轴于点D ，连接OA ，BC ，已知点C （2，0），BD=2，S △BCD =3，则S △AOC =__．35．如图，点D 为矩形OABC 的AB 边的中点，反比例函数(0)ky x x=>的图象经过点D ，交BC 边于点E.若△BDE 的面积为1，则k =________参考答案1．B 【解析】 【分析】由矩形OABC 的顶点A 、B 在双曲线ky x=()0x >上，BC 与x 轴交于点D .若点A 的坐标为()1,2，利用待定系数法即可求得反比例函数与直线OA 的解析式，又由OA AB ⊥，可得直线AB 的系数为：12，继而可求得直线AB 的解析式，将直线AB 与反比例函数联立，即可求得点B 的坐标. 【详解】矩形OABC 的顶点A 、B 在双曲线ky x=()0x >上，点A 的坐标为()1,2， ∴21k =， 解得：2k =，∴双曲线的解析式为：2y x=，直线OA 的解析式为：2y x =， OA AB ⊥，∴设直线AB 的解析式为：12y x b =-+，∴1212b =-⨯+，解得：52b =， ∴直线AB 的解析式为：1522y x =-+，将直线AB 与反比例函数联立得出：21522y xy x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩， 解得：412x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或12x y =⎧⎨=⎩， ∴点14,2B ⎛⎫⎪⎝⎭.故选：B . 【点睛】本题主要考查了反比例函数的综合应用以及待定系数法求一次函数和反比例函数解析式.此题难度适中，注意掌握垂直直线的系数的关系，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用. 2．D 【解析】试题解析：因为B 点坐标为（-4，-2），所以A 点坐标为（4,2），那么双曲线的解析式为8y x=，设C 点坐标为()m n ， ，那么8114622mn n m =⎧⎪⎨⎛⎫-⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭⎩ ，解得24m n =⎧⎨=⎩ ，所以C 点的坐标为（2,4）. 故本题应选D. 3．B 【解析】 【分析】根据BC×BO=1，BP×BO=4，得出BC=14BP ，再利用AO×AD=1，AO×AP=4，得出AD=14AP ，进而求出34PB×34PA=CP×DP=94，即可得出答案．【详解】作CE⊥AO于E，DF⊥CE于F，∵双曲线y1= 1x(x>0),y2=4x(x>0),且PA⊥x轴于点A,PB⊥y轴于点B,PA、PB分别依次交双曲线y1=1x(x>0)于D. C两点，∴矩形BCEO的面积为：xy=1，∵BC×BO=1，BP×BO=4，∴BC= 14 BP，∵AO×AD=1，AO×AP=4，∴AD= 14 AP，∵PA⋅PB=4，∴34PB×34PA=916PA⋅PB=CP×DP=916×4=94∴△PCD的面积为：12CP×DP=98.故选B.【点睛】本题考查双曲线的应用，解题的关键是清楚双曲线性质. 4．D【解析】根据题意,直线12y x m =-+与x 轴交于C ，与y 轴交于D ， 分别令x =0，得y =m ，令y =0，得x =2m ，即D (0,m ),C (2m ,0)， 又AD ⊥DC 且过点D ，所以直线AD 所在函数解析式为：y =2x +m .令y =0,得12x m =-，即1,02A m ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 作BH ⊥AC 于H ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD =BC ，∠DAO =∠BCH ， 在△AOD 和△CHB 中∵∠DAO =∠B ，CH ∠AOD =∠CHB =90°，AD =BC ∴△AOD ≌△CHB (AAS )，∴BH =OD =m ,12CH OA m ==，32OH m ∴= ，∴B 点的坐标为3,2B m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭ . 又B 在双曲线双曲线6y x=-(k <0)上， ()362m m ∴-⋅-=- ，解得m =±2，∵m >0，∴m =2，∴直线CD 的解析式为122y x =-+ .解6{122y xy x =-=-+ 得，6{1x y ==- 或23x y =-⎧⎨=⎩，故点E 的坐标为(6,−1)，故选D. 5．B 【解析】 【分析】分别过点A,B 作AF 垂直于y 轴于点F ,作AD 垂直于x 轴于点D,BG 垂直于y 轴于点G,BE 垂直于x 轴于点E,由于反比例函数的图象在第一象限,所以k >0,由点A 是反比例函数图象上的点可得:2AODAOFk S S==,再由点A,B 的横坐标分别是a,3a 可得AD=3BE ,故点B 是AC 的三等分点,故DE=2a,CE=a,所以3AOCAOFACOF S S S=-=梯形,故可得出k 的值. 【详解】 如图,分别过点A,B 作AF 垂直于y 轴于点F ,作AD 垂直于x 轴于点D,BG 垂直于y 轴于点G,BE 垂直于x 轴于点E, 因为k >0,点A 是反比例函数图象上的点,所以2AODAOFk SS==,因为点A,B 的横坐标分别是a,3a,所以AD=3BE,所以点B 是AC 的三等分点, 所以 DE=2a,CE=a, 所以3AOCAOFACOF SS S=-=梯形,所以15322k k a a ⨯⨯⨯=, 解得k =1.5, 故选B. 【点睛】本题主要考查反比例函数图象性质,解决本题的关键是要熟练掌握反比例函数图象的性质. 6．C 【解析】①由于点A 和点D 均在同一个反比例函数1y x =的图象上,所以S △ODB =12,S △OCA =12,故△ODB 与△OCA 的面积相等,故本选项正确,②根据反比例函数的几何意义,四边形P AOB 的面积始终等于|k |-1,故本选项正确,③由图可知,当OC ＜OD 时,P A ＞PB ,故本选项错误,④由于反比例函数是轴对称图形,当A 为PC 的中点时,B 为PD 的中点,故本选项正确,故选C. 7．D 【解析】试题解析：如图，过C 、D 两点作x 轴的垂线，垂足为F 、G ，DG 交BC 于M 点，过C 点作CH ⊥DG ，垂足为H ，∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠ABC=∠ADC ， ∵BO ∥DG ， ∴∠OBC=∠GDE ， ∴∠HDC=∠ABO ， 在△CDH 和△ABO 中，ABO HDC AOB CDH AB CD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△CDH ≌△ABO （AAS ）， ∴CH=AO=1，DH=OB=2， 设C （m+1，n ），D （m ，n+2）， 则（m+1）n=m （n+2）=k ，解得n=2m ，则D 的坐标是（m ，2m+2），设直线AD 解析式为y=ax+b ，将A 、D 两点坐标代入得22a b ma b m +⎧⎨++⎩＝＝，由①得：a=-b ，代入②得：mb+b=2m+2， 即b （m+1）=2（m+1），解得b=2，则22a b ＝＝-⎧⎨⎩，∴y=-2x+2， ∴E （0，2），BE=4，∴S △ABE =12×BE×AO=2， ∵S 四边形BCDE =5S △ABE =5×12×4×1=10，∵S 四边形BCDE =S △ABE +S 四边形BEDM =10， 即2+4×m=10， 解得：m=2， ∴n=2m=4， ∴|k|=（m+1）n=12． ∵双曲线图形在第二象限， ∴k=-12 故选D ． 8．C 【解析】 【分析】此题要根据反比例函数的性质进行求解，解决此题的关键是要证出CD ∥EF ，可从①问的面积相等入手；△DFE 中，以DF 为底，OF 为高，可得S △DFE ＝12|x D |•|y D |＝122k ，同理可求得△CEF 的面积也是12k ，因此两者的面积相等；若两个三角形都以EF 为底，那么它们的高相同，即E 、F 到AD 的距离相等，由此可证得CD ∥EF ，然后根据这个条件来逐一判断各选项的正误． 【详解】设点D 的坐标为（x ，xk），则F （x ，0）． 由函数的图象可知：x ＞0，k ＞0．∴S △DFE ＝12DF•OF ＝12|x D |•|y D |＝12k ， 同理可得S △CEF ＝12k ，故⑤正确； 故S △DEF ＝S △CEF ．故①正确；若两个三角形以EF 为底，则EF 边上的高相等，故CD ∥EF ．故②正确； ③条件不足，无法得到判定两三角形全等的条件，故③错误； ④∵CD ∥EF ，DF ∥BE ， ∴四边形DBEF 是平行四边形， ∴S △DEF ＝S △BED ， 同理可得S △ACF ＝S △ECF ； 由①得：S △DBE ＝S △ACF ．又∵CD ∥EF ，BD 、AC 边上的高相等， ∴BD ＝AC ，故④正确；因此正确的结论有4个：①②④⑤． 故选：C ． 【点睛】本题通过反比例函数的性质来证图形的面积相等，根据面积相等来证线段的平行或相等，设计巧妙，难度较大． 9．C 【解析】分析：由点A ，点B 在函数ky x=的图象上得m=2n ，在直线上则可设直线AB 的解析式为y=kx+b,求得解析式，从而求出直线与x 轴的交点坐标，根据S △ABO =8即可得解. 详解：∵A （,1m ），B （2,n ）在双曲线ky x=（0k ≠）上， ∴m=2n∵点A ，点B 在直线AB 上，设直线AB 的解析式为：y=kx+b,则有212nk b k b n+=⎧⎨+=⎩ 解得：121k b n⎧=-⎪⎨⎪=+⎩∴直线AB 的解析式为：112y x n =-++ 令y=0，则x=2n+2. ∵S △ABO =8 ∴1122122822n n n +⨯++⨯= 整理得:n 2=9∴n=-3或n=3（舍去） ∴k=2n=-6. 故选C.点睛：本题考查了反比例函数与一次函数的交点，待定系数法求函数的解析式，正确理解△AOB 的面积的计算方法是关键. 10．C 【解析】【分析】作PE⊥x轴，PF⊥y轴，根据矩形的性质得矩形OEPF的面积=14矩形AOBC的面积=14×4=1，然后根据反比例函数y=kx（k≠0）系数k的几何意义即可得到k=1．【详解】作PE⊥x轴，PF⊥y轴，如图，∵点P为矩形AOBC对角线的交点，∴矩形OEPF的面积=14矩形AOBC的面积=14×4=1，∴|k|=1，而k＞0，∴k=1，∴过P点的反比例函数的解析式为y=1x．故选C．【点睛】本题考查了反比例函数y=k x （k≠0）系数k 的几何意义：从反比例函数y=kx（k≠0）图象上任意一点向x 轴和y 轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|． 11．B 【解析】【分析】先根据反比例函数图象上点的坐标特征及A ，B 两点的横坐标，求出A （2，2），B （4，1）．再过A ，B 两点分别作AC ⊥x 轴于C ，BD ⊥x 轴于D ，根据反比例函数系数k 的几何意义得出S △AOC =S △BOD =12×4=2．根据S 四边形AODB =S △AOB +S △BOD =S △AOC +S 梯形ABDC ，得出S △AOB =S 梯形ABDC ，利用梯形面积公式求出S 梯形ABDC =12（BD+AC ）•CD=12×（1+2）×2=3，从而得出S △AOB =3． 【详解】∵A ，B 是反比例函数y=4x在第一象限内的图象上的两点， 且A ，B 两点的横坐标分别是2和4， ∴当x=2时，y=2，即A （2，2）， 当x=4时，y=1，即B （4，1），如图，过A ，B 两点分别作AC ⊥x 轴于C ，BD ⊥x 轴于D ， 则S △AOC =S △BOD =12×4=2， ∵S 四边形AODB =S △AOB +S △BOD =S △AOC +S 梯形ABDC ， ∴S △AOB =S 梯形ABDC ， ∵S 梯形ABDC =12（BD+AC ）•CD=12×（1+2）×2=3， ∴S △AOB =3， 故选B ．【点睛】本题考查了反比例函数()0ky k x=≠中k 的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，梯形的面积，熟知反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 与k 的关系为S=12|k|是解题的关键． 12．A 【解析】【分析】连接OC 、OB ，如图，由于BC ∥x 轴，根据三角形面积公式得到S △ACB =S △OCB ，再利用反比例函数系数k 的几何意义得到12×|3|+12•|k|=2，然后解关于k 的绝对值方程可得到满足条件的k 的值． 【详解】连接OC 、OB ，如图，∵BC ∥x 轴， ∴S △ACB =S △OCB ，而S △OCB =12×|3|+12•|k|， ∴12×|3|+12•|k|=2， 而k ＜0， ∴k=﹣1， 故选A ．【点睛】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是12|k|，且保持不变． 13．A 【解析】若反比例函数与三角形交于A(4，5)，则k=20；若反比例函数与三角形交于C(4，2)，则k=8；若反比例函数与三角形交于B(1，5)，则k=5.故520k ≤≤. 故选A.14．D 【解析】 【分析】设A(1，m)，B(4，n)，连接AC 交BD 于点M ，BM=4-1=3，AM=m-n ，由菱形的面积可推得m-n=154，再根据反比例函数系数的特性可知m=4n ，从而可求出n 的值，即可得到k 的值.设A(1，m)，B(4，n)，连接AC交BD于点M，则有BM=4-1=3，AM=m-n，∴S菱形ABCD =4×12BM•AM，∵S菱形ABCD =45 2，∴4×12×3（m-n）=452，∴m-n=154，又∵点A，B在反比例函数kyx ，∴k=m=4n，∴n=54，∴k=4n=5，故选D.【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义、菱形的性质、菱形的面积等，熟记菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键. 15．B【解析】首先根据A,B两点的横坐标，求出A,B两点的坐标，进而根据AC//BD// y 轴,及反比例函数图像上的点的坐标特点得出C,D两点的坐标，从而得出AC,BD的长，根据三角形的面积公式表示出S△OAC,S△ABD的面积，再根据△OAC 与△ABD的面积之和为，列出方程，求解得出答案.【详解】把x=1代入得：y=1,∴A(1,1),把x=2代入得：y=,∴B(2, ),∵AC//BD// y轴,∴C(1,K),D(2,k)∴AC=k-1,BD=k-，∴S△OAC=（k-1）×1,S△ABD=(k-)×1,又∵△OAC与△ABD的面积之和为，∴（k-1）×1＋(k-)×1=，解得：k=3;故答案为B.【点睛】:此题考查了反比例函数系数k的几何意义，以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解本题的关键.16．C解：∵点D 为▱ABCD 的对角线交点，双曲线32y x=-（x ＜0）经过点D ，AC ⊥y 轴，∴S 平行四边形ABCO =4S △COD =4×12×|﹣32|=3．故选C ． 点睛：本题考查了反比例函数系数k 的几何意义以及平行四边形的性质，根据平行四边形的性质结合反比例函数系数k 的几何意义，找出出S 平行四边形ABCO =4S △COD =2|k |是解题的关键． 17．4 【解析】 【分析】本题可从反比例函数图象上的点E 、M 、D 入手，分别找出OCE ∆、OAD ∆、OABC X 的面积与k 的关系，列出等式求出k 值． 【详解】∵E 、M 、D 位于反比例函数图象上， ∴12OCE S k ∆=，12OAD S k ∆=， 过点M 作MG y ⊥轴于点G ，作MN x ⊥轴于点N ， ∴四边形ONMG 是矩形， ∴ONMG S k =矩形，∵M 为矩形ABCO 对角线的交点， ∴44ABCO ONMG S S k ==矩形矩形， ∵函数图象在第一象限， ∴0k >，∴ABCO S =矩形OCE S ∆+OAD S ∆+S 四边形ODBE =12422k kk ++=， 解得：4k =．故答案为：4 【点睛】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|． 18．(3,0) 【解析】试题解析：由题意得：65m nm n ⎧⎨+⎩＝＝，解得：16m n ⎧⎨⎩＝＝，∴A （1，6），B （6，1）， 将A （1，6）代入ky x=得：k=6， 则反比例解析式为6y x=； 设E （x ，0），则DE=x-1，CE=6-x ， ∵AD ⊥x 轴，BC ⊥x 轴，∴∠ADE=∠BCE=90°， 连接AE ，BE ，则S △ABE =S 四边形ABCD -S △ADE -S △BCE=12（BC+AD ）•DC -12DE•AD -12CE•BC =12×（1+6）×5-12（x-1）×6-12（6-x ）×1 =352-52x=10， 解得：x=3， 则E （3，0）． 故答案为：（3，0） 19．9 【解析】 【分析】过A 作AH ⊥BO 于H ，AE ⊥x 轴于E ，过C 作CD ⊥x 轴于D ，由点A 是反比例函数y=kx（x ＞0）的图象上一点，得到S △AHO =S △AOE =1２k ，根据等腰三角形的性质得到S △ABH =S △AOH =1２k ，求得S △AOB =k ，由点C 反比例函数y=1ｘ（x＞0）的图象上，得到S △COD =1２，根据相似三角形的性质得到OC OA=1k ，根据三角形的面积列方程即可得到结论．【详解】解：过A 作AH ⊥BO 于H ，AE ⊥x 轴于E ，过C 作CD ⊥x 轴于D ，∵点A 是反比例函数y=kx（x ＞0）的图象上一点， ∴S △AHO =S △AOE =1２k ， ∵AB=AO ， ∴BH=OH ， ∴S △ABH =S △AOH =1２k ， ∴S △AOB =k ， ∵点C 反比例函数y=1ｘ（x ＞0）的图象上， ∴S △COD =1２， ∵CD ∥AE ， ∴△COD ∽△AOE ， ∴COD AOES S=（OC OA）2=1ｋ，∴OC OA=1k ，∴BOC AOBSS=1k，∵△ABC的面积为6，∴1k =6k k- ， 解得k=9，k=4（不合题意，舍去）， ∴k=9． 故答案为：9． 【点睛】本题考查反比例函数系数k 的几何意义，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题关键．20．221221,7⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】分析：作AE ⊥y 轴于E ，将线段OA 绕点O 顺时针旋转90°得到OA′，作A′F ⊥x 轴于F ，则△AOE ≌△A′OF ，可得OF=OE=4，A′F=AE=3，即A′（4，-3），求出线段AA′的中垂线的解析式，利用方程组确定交点坐标即可． 详解：作AE ⊥y 轴于E ，将线段OA 绕点O 顺时针旋转90°得到OA′，作A′F ⊥x 轴于F ，则△AOE ≌△A′OF ，可得OF=OE=4，A′F=AE=3，即A′（4，-3）∵反比例函数y=kx（x ＞0）的图象经过点A （3，4）， 所以由勾股定理可知：OA=5，∴4=3k，OA=5， ∴k=12，∴y=12x，∴AA′的中点K（72，12），∴直线OK的解析式为y=17x，由1712y xyx⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝，解得2212217xy⎧=⎪⎨=⎪⎩或2212217xy⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，∵点P在第一象限，∴P（221，2217），故答案为（221，2217）．点睛：本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数的应用等知识，解题的关键是学会构造全等三角形解决问题，学会构建一次函数，利用方程组确定交点坐标21．15 4【解析】【分析】由已知，可得菱形边长为5，设出点D坐标，即可用勾股定理构造方程，进而求出k值．【详解】过点D做DF⊥BC于F由已知，BC=5∵四边形ABCD是菱形∴DC=5∵BE=3DE∴设DE=x，则BE=3x∴DF=3x，BF=x，FC=5-x在Rt△DFC中，DF2+FC2=DC2∴（3x）2+（5-x）2=52∴解得x=1∴DE=1，FD=3设OB=a则点D坐标为（1，a+3），点C坐标为（5，a）∵点D、C在双曲线上∴1×（a+3）=5a∴a=3 4∴点C坐标为（5，34）∴k=15 4【点睛】本题是代数几何综合题，考查了数形结合思想和反比例函数k值性质．解题关键是通过勾股定理构造方程．22．27【解析】作AE ⊥x 于点E ，作BF ⊥x 于点F ，作CG ⊥x 于点G ，作AH ⊥BF 于点H ，连接OB .设3,A a a ⎛⎫-⎪⎝⎭ , 3,B b b ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 在△ABH 和△OCG 中 ∵∠AHB =∠OGC , ∠BAH =∠COG , AB =OC ,∴△ABH ≌△OCG∴OG =AH =b -a ,33CG BH b a==-+ ， 33,C b a b a ⎛⎫∴--+ ⎪⎝⎭把33,C b a b a ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭代入，整理得223830a ab b -+= ，473a b +∴=. ∵点A ，点B 在的图像上，∴OF =AE ,BF =OE , 又∵∠BFO =∠AEO , ∴△BFO ≌△AEO . ∴S △ABO =S 梯形AEFB .()13372AEFB S b a b a ⎛⎫=-⋅-+=⎪⎝⎭梯形 ， 227ABCOAEFB SS 梯形∴== .23．5 【解析】;∵把y =-1代入直线122y x =-，， ∴x =2， ∴点C (2,−1)， ∵CD 平行于y 轴， ∴O 到CD 的距离是2， 设D (2,y )，则DC =y +1 ∵S △OCD =12×2×(y +1)=7 2，∴y =52， ∴D (2,5 2)∵点D 在反比例函数y =kx的图象上 ∴k =xy=2×52=524．25 【解析】过点A 作AD ⊥y 轴于点D ，过点B 作BE ⊥y 轴于点E ，过点A 作AF ⊥BE 轴于点F ，如图所示．∵∠ACB =90°， ∴∠ACD +∠BCE =90°， 又∵AD ⊥y 轴，BE ⊥y 轴，∴∠ACD +∠CAD =90°，∠BCE +∠CBE =90°， ∴∠ACD =∠CBE ，∠BCE =∠CAD ．在△ACD 和△CBE 中，由，∴△ACD ≌△CBE （ASA ）． 设点B 的坐标为（m ，﹣）（m ＜0），则E （0，﹣），点D （0，3﹣m ），点A （﹣﹣3，3﹣m ），∵点A （﹣﹣3，3﹣m ）在反比例函数y=﹣上，6363m m∴-=--- ，解得：m =﹣3，m =2（舍去）．∴点A 的坐标为（﹣1，6），点B 的坐标为（﹣3，2），点F 的坐标为（﹣1，2），∴BF=2，AF=4，222425AB ∴=+=故答案为：2．【点睛】过点A 作AD ⊥y 轴于点D ，过点B 作BE ⊥y 轴于点E ，过点A 作AF ⊥BE 轴于点F ,根据角的计算得出“∠ACD =∠CBE ，∠BCE =∠CAD ”，由此证出△ACD ≌△CBE ；再设点B 的坐标为（m ，﹣），由三角形全等找出点A 的坐标，将点A 的坐标代入到反比例函数解析式中求出m 的值，将m 的值代入A ，B 点坐标即可得出点A ，B 的坐标，并结合点A ，B 的坐标求出点F 的坐标，利用勾股定理即可得出结论． 25．10 【解析】 【分析】过点A 作AE ⊥x 轴于E ，过点B 作BG ⊥x 轴于G ，先利用待定系数法求得函数my x=的解析式，再根据2AB BC BE ==，求得BG=2，从而求得B 点坐标，然后用待定系数法求得一次函数的解析式，再求得C 点坐标，根据对称点的性质求得E 点坐标，最后求得k 的值即可.【详解】过点A 作AE ⊥x 轴于E ，过点B 作BG ⊥x 轴于G ，易得△BCG ∽△ACO ，将A 坐标代入反比例函数my x=，得m=﹣6， 即反比例函数的解析式为6y x=-， ∵A （﹣1，6）， ∴AF=6，OF=1， ∵2AB BC BE ==，∴13BC BG AC AF ==， ∴BG=13AF=2， 把y=2代入6y x=-， 解得：x=﹣3，即B （﹣3，2）， 将A ，B 坐标代入直线y ax b =+中得，326a b a b -+=⎧⎨-+=⎩， 解得：a=2，b=8，∴直线AB 的解析式为y=2x+8， 令y=0，得到x=﹣4，即C （﹣4，0）， ∵BE=2BC ， ∴C 为BE 中点， ∴E （﹣5，﹣2）， 将E 坐标代入ky x=，得：k=10. 故答案为：10. 【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，难度较大，解此题的关键在于利用待定系数法与相似三角形的性质求得相关解析式与点的坐标. 26．8 【解析】【分析】作CD y ⊥轴于D ，CE x ⊥轴于E ，如图，设()C a,b ，先利用一次函数解析式求出()B 0,5，5A ,02⎛⎫⎪⎝⎭，再根据折叠的性质得BC BO 5==，5AC AO 2==，接着根据勾股定理得到222a (5b)5+-=，22255(a )b ()22-+=，从而解关于a 、b 的方程组得到()C 4,2，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征求k 的值． 【详解】作CD y ⊥轴于D ，CE x ⊥轴于E ，如图，设()C a,b ， 当x 0=时，y 2x 55=-+=，则()B 0,5，当y 0=时，2x 50-+=，解得5x 2=，则5A ,02⎛⎫⎪⎝⎭， AOB 沿直线AB 翻折后，设点O 的对应点为点C ，BC BO 5∴==，5AC AO 2==，在Rt BCD 中，222a (5b)5+-=，①在Rt ACD 中，22255(a )b ()22-+=，②-①②得a 2b =，把a 2b =代入①得2b 2b 0-=，解得b 2=，a 4∴=， ()C 4,2∴，k 428∴=⨯=．故答案为8．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数ky(kx=为常数，k0)≠的图象是双曲线，图象上的点()x,y的横纵坐标的积是定值k，即xy k.=也考查了折叠的性质．27．6【解析】【分析】根据双曲线y=3x过A，B两点，可设A（a，3a），B（b，3b），则C（a，3b）．将y=x+m代入y=3x，整理得x2+mx-3=0，由于直线y=x+m与双曲线y=3x相交于A，B两点，所以a、b是方程x2+mx-3=0的两个根，根据根与系数的关系得出a+b=-m，ab=-3，那么（a-b）2=（a+b）2-4ab=m2+12．再根据三角形的面积公式得出S△ABC=12AC•BC=12m2+6，利用二次函数的性质即可求出当m=0时，△ABC的面积有最小值6．【详解】设A（a，3a），B（b，3b），则C（a，3b）．将y=x+m代入y=3x，得x+m=3x，整理，得x2+mx-3=0，则a+b=-m，ab=-3，∴（a-b）2=（a+b）2-4ab=m2+12．∵S△ABC=12 AC•BC=12（3a-3b）（a-b）=12•()3b aab-•（a-b）=12（a-b）2=12（m2+12）=12m2+6，∴当m=0时，△ABC的面积有最小值6．故答案为6．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了函数图象上点的坐标特征，根与系数的关系，三角形的面积，二次函数的性质．28．68 15【解析】【分析】作DF⊥x轴于点F，EG⊥y轴于G，得到△QEG∽△PDF，于是得到EG QEPF DP=＝925，设EG=9t，则PF=25t，然后根据△ADE∽△FPD，据此即可得到关于t的方程，求得t的值，进而求解．【详解】解：作DF⊥x轴于点F，EG⊥y轴于G，∴△QEG∽△DPF，∴EG QEPF DP＝925，设EG=9t，则PF=25t，∴A（9t，49t），由AC=AE AD=AB，∴AE=9t，AD=49t，DF=49t，PF=25t，∵△ADE∽△FPD，∴AE：DF=AD：PF，9t：49t=49t：25t，即t2=4135，图中阴影部分的面积=12×9t×9t+12×49t×49t=6815，故答案为：68 15．【点睛】本题考查了反比例函数y=kx（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y=kx（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为k．也考查了相似三角形的判定与性质．29．6【解析】BD x AE x ⊥⊥轴，轴 ,垂足分别为D 、E,设A(a,9a)，OC=2a ，因为1,,,99OD BD b ab OBD OAE OE AE a ba∆~∆===得：即 得：a=3b, 则△ABC 的面积为91119111222662222a a ab a b a b ⋅⨯-⋅⨯=⋅⨯-⋅⨯= .故答案：6.30．4 【解析】 【分析】连接OB ，由矩形的性质和已知条件得出△OBD 的面积=△OBE 的面积=12四边形ODBE 的面积，再求出△OCE 的面积为2，即可得出k 的值． 【详解】连接OB ，如图所示： ∵四边形OABC 是矩形，∴∠OAD=∠OCE=∠DBE=90°，△OAB 的面积=△OBC 的面积，∵D 、E 在反比例函数y=kx（x>0）的图象上， ∴△OAD 的面积=△OCE 的面积，∴△OBD 的面积=△OBE 的面积=12四边形ODBE 的面积=4， ∵BE=2EC ， ∴△OCE 的面积=12△OBE 的面积=2， ∴k=4．故答案为：4． 【点睛】本题考查了反比例函数的系数k 的几何意义：在反比例函数y=xk 图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是 |k|，且保持不变． 31．8 【解析】 【分析】设A 点坐标为（a ，k a ），C 点坐标为（b ，0），根据线段中点坐标公式得到B 点坐标为（2a b+，2k a），利用反比例函数图象上点的坐标特征得到2a b +•2ka =k ，得到b=3a ，然后根据三角形面积公式得到12b•k a=12，即可求得k 的值． 【详解】设A 点坐标为（a ，k a），C 点坐标为（b ，0）， ∵B 恰为线段AC 的中点，∴B 点坐标为（2a b +，2k a），∵B 点在反比例函数图象上， ∴2a b +•2ka=k ， ∴b=3a ， ∵S △OAC =12，∴12b•ka =12， ∴12•3a•ka =12，∴k=8， 故答案为8． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键． 32．（1，6） 【解析】 【分析】作AD ⊥x 轴于D ，BE ⊥x 轴于E ，根据△CBE 与△CAD 是相似三角形，求出点B 的纵坐标，再求出点B 的横坐标即可． 【详解】如图：作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，∵A点的坐标为（3，2），∴AD=2，∵AB=2AC，∴BC=3AC，∵BE∥AD，∴△CBE∽△CAD，∴BE BC AD AC=∴1 23 BE=∴BE=6，∴B点的纵坐标为6，把y=6代入y=6x得x=1，∴B点坐标为（1，6）,故答案为:（1，6）.【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题及三角形相似的判定，熟练掌握相关知识并正确添加辅助线是解题的关键.33．9 【解析】∵点B 的坐标为（4，6）， ∴点C 的坐标为（2,3）.把（2,3）代入y=kx得k=6, ∴y=6x. 当x=4时，y=32. ∴点D 的坐标为（4,3 2）.BOD BOA DOA S S S ∆∆∆∴=-113464222=⨯⨯-⨯⨯ 9=34．5． 【解析】 【分析】由三角形BCD 为直角三角形，根据已知面积与BD 的长求出CD 的长，由OC+CD 求出OD 的长，确定出B 的坐标，代入反比例解析式求出k 的值，利用反比例函数k 的几何意义求出三角形AOC 面积即可． 【详解】∵BD ⊥CD ，BD=2， ∴S △BCD =12BD•CD=3， 即CD=3．∵C （2，0）， 即OC=2，∴OD=OC+CD=2+3=5，∴B （5，2），代入反比例解析式得：k=10，即y=10x， 则S △AOC =5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义，以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数k 的几何意义是解答本题的关键． 35．4 【解析】分析：设D （a ，k a ），利用点D 为矩形OABC 的AB 边的中点得到B （2a ，k a ），则E （2a ，2k a ），然后利用三角形面积公式得到12•a•（k a -2ka）=1，最后解方程即可．详解：设D （a ，k a）， ∵点D 为矩形OABC 的AB 边的中点，∴B （2a ，k a ）， ∴E （2a ，2ka），∵△BDE 的面积为1， ∴12•a•（k a -2k a）=1，解得k=4．故答案为4．点睛：本题考查了反比例函数解析式的应用，根据解析式设出点的坐标，结合矩形的性质并利用平面直角坐标系中点的特征确定三角形的两边长，进而结合三角形的面积公式列出方程求解，可确定参数k的取值．。
北师大版九年级数学上册《6.1反比例函数》同步练习题带答案
北师大版九年级数学上册《6.1反比例函数》同步练习题带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________考试时间:60分钟满分100分一、单选题（本大题共8小题，总分24分）1．下列函数中，y是关于x的反比例函数的是（）A．y＝2x B．y=8x C．y=2x−1D．y=2x−12．下面几组相关联的量中，不成反比例关系的是（）A．车间计划加工800个零件，加工时间与每天加工的零件个数B．社团共有50名学生，按各组人数相等的要求分组，组数与每组人数C．圆柱体的体积为6m3，圆柱的底面积与高D．计划用100元购买苹果和香蕉两种水果，购买苹果的金额与购买香蕉的金额3．下面的三个问题中都有两个变量：①面积一定的等腰三角形，底边上的高y与底边长x；②计划从A地到B地铺设一段铁轨，每日铺设长度y与铺设天数x；③将泳池中的水匀速放出，直至放完，泳池中的剩余水量y与放水时间x．其中，变量y与变量x满足反比例函数关系的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③4．如图，某同学用自制密度计测量液体的密度，下表是他记录的密度计悬浮在不同的液体中时的数据．当密度计悬浮在另一种液体中时h＝25cm，该液体的密度ρ是（）液体的密度ρ（单位：g/cm3）20105 2.5浸在液体中的高度h（单位：cm）1248A．20g/cm3B．25g/cm3C．0.8g/cm3D．0.4g/cm35．若x和y成反比例关系，当x的值分别为2，3时，y的值如表所示，则表中a的值是（）x23y a4A．2B．4C．6D．86．建设中的G107马头南至冀豫界段是我省“十四五”建设项目，其某段施工需运送土石方104m3，则土石方日运送量V（m3/天）与完成运送任务所需时间t（天）满足（）A．反比例函数关系B．正比例函数关系C．一次函数关系D．二次函数关系7．下列函数中：①xy=−1 2②y＝3x③y=5−5x④y=2kx（k为常数，且k≠0）；属于反比例函数的个数为（）A．1B．2C．3D．48．将x=23代入反比例函数y=−1x中，所得函数值记为y1，又将x＝y1+1代入函数中，所得函数值记为y2，再将x＝y2+1代入函数中，所得函数值记为y3，…，如此继续下去，则y2012的值为（）A．2B．−32C．23D．6二、填空题（本大题共6小题，总分24分）9．若函数y＝﹣2x m是反比例函数，则m的值是．10．若函数y=(m+2)x3−m2是反比例函数，则m的值为．11．若y＝（m﹣3）x|m|﹣4是反比例函数，则m的值是．12．某校为推进校园劳动课程建设，准备在校园内规划一片蔬菜基地，其中蔬菜基地以墙体为背面，总面积为28m2，并用栅栏围成四个长宽均相等的小蔬菜基地，每个小蔬菜基地都是一边长为x m，另一边长为ym的矩形（如图所示），依题意可得y关于x的函数关系式为（不必写明自变量x的取值范围）．13．若函数y=k−1x是关于x的反比例函数，则k的取值范围是．14．函数y＝（m+1）x m2−2m−4是y关于x的反比例函数，则m＝．三、解答题（本大题共6小题，总分52分）15．若函数y＝（m+1）x m2+3m+1是反比例函数，求m的值．16．已知函数y=13x2m+1是反比例函数，求m的值．17．已知函数y＝（m2+2m）x m2−m−1（1）如果y是x的正比例函数，求m的值；（2）如果y是x的反比例函数，求出m的值，并写出此时y与x的函数关系式．18．已知：P=m2−n2m2−mn÷（m+2mn+n2m）．（1）化简P；（2）若函数y＝3x m+n为反比例函数，求P的值．19．（1）已知y=(k−1)x k2−k−1是关于x的反比例函数，求k的值．（2）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且∠DEF＝90°，求证：△ADE∽△BEF．20．列出下列问题中的函数关系式，并判断它们是否为反比例函数．（1）某农场的粮食总产量为1500t，则该农场人数y（人）与平均每人占有粮食量x（t）的函数关系式；（2）在加油站，加油机显示器上显示的某一种油的单价为每升4.75元，总价从0元开始随着加油量的变化而变化，则总价y（元）与加油量x（L）的函数关系式；（3）小明完成100m赛跑时，时间t（s）与他跑步的平均速度v（m/s）之间的函数关系式．参考答案一、单选题（本大题共8小题，总分24分）1-8．BDACCACA．二、填空题（本大题共6小题，总分24分）9．﹣1．10．2．11．﹣3．12．y=7x．13．k≠1．14．3．三、解答题（本大题共6小题，总分52分）15．解：由函数y＝（m+3）\;x4{{m}^{2}+3m+1}$为反比例函数可知m2+3m+1＝﹣1，且m+1≠0解得m＝﹣1（舍去），m＝﹣2m的值是﹣2．16．解：依题意得：2m+1＝1解得m＝0．17．解：（1）由y＝（m2+2m）x m2−m−1是正比例函数，得m2﹣m﹣1＝1且m2+2m≠0解得m＝2或m＝﹣1；（2）由y＝（m2+2m）x m2−m−1是反比例函数，得m2﹣m﹣1＝﹣1且m2+2m≠0解得m＝1．故y与x的函数关系式y＝3x﹣1．18．解：（1）P=m 2−n2m2−mn ÷（m+2mn+n2m）=(m+n)(m−n)m(m−n)÷m2+2mn+n2m=m+nm ÷(m+n)2m=m+nm •m (m+n)2=1m+n；（2）∵函数y＝3x m+n为反比例函数∴m+n＝﹣1∴P=1−1=−1．19．（1）解：∵函数y=(k−1)x k2−k−1是y关于x的反比例函数∴{k2−k−1=−1k−1≠0①②解①得，k1＝0，k2＝1解②得，k≠1∴k的值为0．（2）证明：∵在正方形ABCD中，∠A＝∠B＝90°∴∠BEF+∠EFB＝90°又∵∠DEF＝90°∴∠BEF+∠AED＝90°∴∠EFB＝∠AED∴△ADE∽△BEF．20．解：（1）由平均数，得x=1500y ，即y=1500x是反比例函数；（2）由单价乘以油量等于总价，得y＝4.75x，即y＝4.75x是正比例函数改为不是反比例函数．（3）由路程与时间的关系，得t=100v ，即t=100v是反比例函数。
北师大版数学九年级上学期期末备考压轴题培优：反比例函数(含答案)
期末备考压轴题培优：反比例函数1．如图，在直角坐标系xOy中，直线y＝mx与双曲线y＝相交于A（﹣1，a）、B两点，BC⊥x轴，垂足为C，△AOC的面积是1．（1）求m、n的值；（2）求直线AC的解析式．（3）点P在双曲线上，且△POC的面积等于△ABC面积的，求点P的坐标．2．如图，一次函数y＝﹣x+的图象与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A，B两点，过点A做x轴的垂线，垂足为M，△AOM面积为1．（1）求反比例函数的解析式；并直接写出不等式≤﹣+的解集．（2）在x轴上求一点P，使|P A﹣PB|的值最大，并求出其最大值和P点坐标．（3）连接OB，求三角形AOB的面积．3．如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A （1，a）和B两点，与x轴交于点C．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P在x轴上，且△APC的面积为5，求点P的坐标；（3）直接写出不等式﹣x+3＜的解集．4．已知A（a，﹣2a）、B（﹣2，a）两点是反比例函数y＝与一次函数y＝kx+b图象的两个交点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求△ABO的面积；（3）观察图象，直接写出不等式kx+b﹣＞0的解集．5．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x与反比例函数y＝的图象交于A，B两点（点A在点B左侧），已知A点的纵坐标是2；（1）求反比例函数的表达式；（2）根据图象直接写出﹣x＞的解集；（3）将直线l1：y＝x沿y向上平移后的直线l2与反比例函数y＝在第二象限内交于点C，如果△ABC的面积为30，求平移后的直线l2的函数表达式．6．如图所示，双曲线y＝（x＞0，k＞0）与直线y＝ax+b（a≠0，b为常数）交于A（2，4），B（m，2）两点．（1）求m的值；（2）若C点坐标为（n，0），当AC+BC的值最小时，求出n的值；（3）求△AOB的面积．7．如图，在平面直角坐标系xOy内，点P在直线y＝x上（点P在第一象限），过点P作P A⊥x轴，垂足为点A，且OP＝2．（1）求点P的坐标；（2）如果点Q在直线OP上，且S＝6，求点Q的坐标；△APQ（3）如果点M和点P都在反比例函数y＝（k≠0）图象上，过点M作MN⊥x轴，垂足为点N，如果△MNA和△OAP全等（点M、N、A分别和点O、A、P对应），求点M 的坐标．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过等边三角形BOC 的顶点B，OC＝2，点A在反比例函数图象上，连接AC，OA．（1）求反比例函数y＝（k≠0）的表达式；（2）若四边形ACBO的面积是3，求点A的坐标．9．如图，反比例函数y1＝的图象与一次函数y2＝ax+b的图象相交于点A（1，4）和B（﹣2，n）．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）请根据图象直接写出y1＜y2时，x的取值范围．10．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（8，1），B（0，﹣3），反比例函数（x＞0）的图象经过点A，动直线x＝t（0＜t＜8）与反比例函数的图象交于点M，与直线AB交于点N．（1）求k的值；（2）当t＝4时，求△BMA面积；（3）若MA⊥AB，求t的值．12（1）求A、B两点的坐标和反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积．12．如图1，点A（0，8）、点B（2，a）在直线y＝﹣2x+b上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B．（1）求a和k的值；（2）将线段AB向右平移m个单位长度（m＞0），得到对应线段CD，连接AC、BD．①如图2，当m＝3时，过D作DF⊥x轴于点F，交反比例函数图象于点E，求E点的坐标；②在线段AB运动过程中，连接BC，若△BCD是等腰三形，求所有满足条件的m的值．12两点．（1）求反比例函数的解析式；（2）观察图象，直接写出使一次函数值不大于反比例函数值的x的取值范围；（3）求△AOB的面积．14．如图，一次函数y＝k1x﹣3（k1＞0）的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，与反比例函y＝（k2＞0）的图象交于C，D两点，作CE⊥y轴，垂足为点E，作DF⊥y轴，垂足为点F，已知CE＝1．（1）①直接写出点C的坐标（用k1来表示）②k2﹣k1＝；（2）若B为AC的中点，求反比例函数的表达式；（3）在（2）的条件下，设点M是x轴负半轴上一点，将线段MF绕点M旋转90°，得到线段MN，当点M滑动时，点N能否在反比例函数的图象上？如果能，求出点N的坐标；如果不能，请说明理由．15．对于一个函数给出如下定义：对于函数y，当a≤x≤b，函数值y满足c≤y≤d，且满足k（b﹣a）＝d﹣c，则称此函数为“k属函数”．例如：正比例函数y＝﹣3x，当1≤x≤3，﹣9≤y≤﹣3，则k（3﹣1）＝﹣3﹣（﹣9），求得：k＝3，所以函数y＝﹣3x为“3属函数”．（1）反比例函数y＝（1≤x≤5）为“k属函数”，求k的值；（2）若一次函数y＝ax﹣1（1≤x≤5）为“2属函数”，求a的值．16．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象交反比例函数的图象于点A（2，﹣4）和点B（n，﹣2），交x轴于点C．（1）求这两个函数的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）请直接写出使一次函数值大于反比例函数值的x的范围．17．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝k1x（x≥0）与双曲线y＝（x＞0）相交于P （2，4），已知点A、B的坐标分别为（4，0）、（0，3），连结AB．将Rt△AOB沿OP方向平移，得到△A′PB′，点O与点P是对应点．过点A′作A′C∥y轴交双曲线于点C．（1）求k1、k2的值；（2）求点C的坐标；（3）判断四边形PCA′B′是否为平行四边形，请说明理由．18．探索函数y＝x+（x＞0）的图象和性质．已知正比例函数y＝x与反比例函数y＝在第一象限内的图象如图所示．若P为函数y ＝x+（其中x＞0）图象上任意一点，过P作PC垂直于x轴且与已知函数的图象、x 轴分别交于点A、B、C，则PC＝x+＝AC+BC，从而发现下述结论：“点P可以看作点A沿竖直方向向上平移BC个长度单位（P A＝BC）而得到”．（1）根据该结论，在图中作出函数y＝x+（x＞0）图象上的一些点，并画出该函数的图象；（2）观察图象，写出函数y＝x+（x＞0）两条不同类型的性质．19．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数的图象经过点A（﹣1，6），直线y ＝mx﹣2与x轴交于点B（﹣1，0）．（1）求k，m的值；（2）过第二象限的点P（n，﹣2n）作平行于x轴的直线，交直线y＝mx﹣2于点C，交函数的图象于点D．①当n＝﹣1时，判断线段PD与PC的数量关系，并说明理由；②若PD≥2PC，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．参考答案1．解：（1）∵直线y＝mx与双曲线y＝相交于A（﹣1，a）、B两点，∴B点横坐标为1，即C（1，0），∵△AOC的面积为1，∴A（﹣1，2），将A（﹣1，2）代入y＝mx，y＝可得m＝﹣2，n＝﹣2；（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b，∵y＝kx+b经过点A（﹣1，2）、C（1，0）∴，解得k＝﹣1，b＝1，∴直线AC的解析式为y＝﹣x+1；（3）∵A（﹣1，2），C（1，0），∴B（1，﹣2），∴S＝×2×2＝2，△ABC∵△POC的面积等于△ABC面积的，＝，∴S△POC∵S＝OC•|y P|，△POC∴＝•|y P|，解得y P＝±1，∴P（﹣2，1）或（2，﹣1）．2．解：（1）∵反比例函数y＝（k＞0）的图象过点A，过A点作x轴的垂线，垂足为M，△AOM面积为1，∴|k|＝1，∵k＞0，∴k＝2，故反比例函数的解析式为：y＝，由，解得或，∴A（1，2），B（4，），∴不等式≤﹣+的解集为1≤x≤4或x≤0；（2）一次函数y＝﹣x+的图象与x轴的交点即为P点，此时|P A﹣PB|的值最大，最大值为AB的长．∵A（1，2），B（4，），∴AB＝＝，∴|P A﹣PB|的最大值为；∵一次函数y＝﹣x+，令y＝0，则﹣x+＝0，解得x＝5，∴P点坐标为（5，0）；（3）∵P （5，0），∴OP ＝5，∴S △AOB ＝S △AOP ﹣S △BOP ＝×5×2﹣＝．3．解：（1）把点A （1，a ）代入y ＝﹣x +3，得a ＝2，∴A （1，2）把A （1，2）代入反比例函数y ＝，∴k ＝1×2＝2；∴反比例函数的表达式为y ＝；（2）∵一次函数y ＝﹣x +3的图象与x 轴交于点C ，∴C （3，0），设P （x ，0），∴PC ＝|3﹣x |，∴S △APC ＝|3﹣x |×2＝5，∴x ＝﹣2或x ＝8，∴P 的坐标为（﹣2，0）或（8，0）；（3）解得或，∴B （2，1），由图象可知：不等式﹣x +3＜的解集是0＜x ＜1或x ＞2．4．解：（1）∵A （a ，﹣2a ）、B （﹣2，a ）两点在反比例函数y ＝的图象上， ∴m ＝﹣2a •a ＝﹣2a ，解得a ＝1，m ＝﹣2，∴A （1，﹣2），B （﹣2，1），反比例函数的解析式为y ＝﹣．将点A （1，﹣2）、点B （﹣2，1）代入到y ＝kx +b 中， 得：，解得：，∴一次函数的解析式为y ＝﹣x ﹣1．（2）在直线y ＝﹣x ﹣1中，令y ＝0，则﹣x ﹣1＝0，解得x ＝﹣1，∴C （﹣1，0），∴S △AOB ＝S △AOC +S △BOC ＝×1×2+×1＝；（3）观察函数图象，发现：当x ＜﹣2或0＜x ＜1时，反比例函数图象在一次函数图象的上方，∴不等式kx +b ﹣＞0的解集为x ＜﹣2或0＜x ＜1．5．解：（1）∵直线l 1：y ＝﹣x 经过点A ，A 点的纵坐标是2，∴当y ＝2时，x ＝﹣4，∴A （﹣4，2），∵反比例函数y ＝的图象经过点A ，∴k ＝﹣4×2＝﹣8，∴反比例函数的表达式为y ＝﹣；（2）∵直线l 1：y ＝﹣x 与反比例函数y ＝的图象交于A ，B 两点， ∴B （4，﹣2）， ∴不等式﹣x ＞的解集为x ＜﹣4或0＜x ＜4；（3）如图，设平移后的直线l 2与x 轴交于点D ，连接AD ，BD ，∵CD ∥AB ，∴△ABC 的面积与△ABD 的面积相等，∵△ABC 的面积为30，∴S △AOD +S △BOD ＝30，即OD （|y A |+|y B |）＝30， ∴×OD ×4＝30，∴OD ＝15，∴D（15，0），设平移后的直线l2的函数表达式为y＝﹣x+b，把D（15，0）代入，可得0＝﹣×15+b，解得b＝，∴平移后的直线l2的函数表达式为y＝﹣x+．6．解：（1）把A（2，4）代入y＝（x＞0，k＞0），∴k＝2×4＝8，∴反比例函数的解析式为y＝，把B（m，2）代入y＝得，2＝，解得m＝4；（2）由（1）可知：A（2，4），B（4，2），∴B点关于x轴的对称点B′（4，﹣2），连接AB′，交x轴与C，此时AC+BC＝AB′，AC+BC的值最小，设直线AB′的解析式为y＝mx+t，把A（2，4），B′（4，﹣2）代入得，解得：，∴直线AB′的解析式为y＝﹣3x+10，把（n，0）代入得y＝﹣3n+10，∴n＝；（3）把A（2，4），B（4，2）代入y＝ax+b得，解得，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+6，∴直线AB 与x 轴的交点C （6，0），∴S △AOB ＝S △AOC ﹣S △BOC ＝×6×4﹣×6×2＝6．7．解：（1）设AP ＝h ，则OA ＝2h ，由勾股定理得，OP 2＝AP 2+OA 2，即（2）2＝h 2+（2h ）2， 解得，h ＝2，∴AP ＝h ＝2，则OA ＝2h ＝4，∴点P 的坐标为（4，2）；（2）设点Q 到AP 的距离为a ， 由题意得，×2×a ＝6， 解得，a ＝6，∴点Q 的横坐标为4﹣6或4+6， 当x ＝4﹣6时，y ＝2﹣3， 当x ＝4+6，y ＝2+3，综上所述，点Q 的坐标为（4﹣6，2﹣3）或（4+6，2+3）； （3））∵点P （4，2）在反比例函数y ＝的图象上，∴2＝，解得，k ＝8，∴y ＝，在Rt △P AO 中，∠P AO ＝90°，P A ＝2，AO ＝4，∵∠MNA ＝90°，∴当△MNA 和△APO 全等时，分以下两种情况：①点N 在点A 的左侧时，MN ＝AO ＝4，AN ＝AP ＝2，∴ON ＝OA ﹣AN ＝4﹣2＝2，∴M（2，4），且点M在反比例函数y＝的图象上．②点N在点A的右侧时，AO＝MN＝4，AN＝AP＝2，∴ON＝AN+AO＝4+2＝6．∴M（6，4），但点M不在反比例函数y＝的图象上，综合①②，满足条件的点M的坐标为（2，4）．8．解：（1）作BD⊥OC于D，∵△BOC是等边三角形，∴OB＝OC＝2，OD＝OC＝1，∴BD＝＝，＝OD×BD＝，∴S△OBDS＝|k|，△OBD∴|k|＝，∵反比例函数y＝（k≠0）的图象在一三象限，∴k＝，∴反比例函数的表达式为y＝；＝OC•BD＝＝，（2）∵S△OBC∴S＝3﹣＝2，△AOC＝OC•y A＝2，∵S△AOC∴y A＝2，把y＝2代入y＝，求得x＝，∴点A的坐标为（，2）．9．解：（1）∵反比例函数y1＝的图过点A（1，4），∴4＝，即k＝4，∴反比例函数的解析式为：y1＝，∵反比例函数y1＝的图象过点B（﹣2，n），∴n＝＝﹣2，∴B（﹣2，﹣2），∵一次函数y2＝ax+b的图象过点A（1，4）和点B（﹣2，﹣2），∴，解得：∴一次函数的解析式为：y2＝2x+2；（2）由图象可知：当﹣2＜x＜0或x＞1．10．解：（1）∵反比例函数（x＞0）的图象经过点A，∴1＝，解得k＝8；（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，把点A（8，1），B（0，﹣3）代入得，解得，∴直线AB的解析式为y＝x﹣3，当t＝4时，则M（4，2），N（4，﹣1），∴MN＝2﹣（﹣1）＝3，∴S△BMA＝×3×8＝12；（3）由题意可知M（t，），∵A（8，1），B（0，﹣3），∴MA2＝（t﹣8）2+（﹣1）2，MB2＝t2+（+3）2，AB2＝82+（1+3）2＝80，∵MA⊥AB，∴MB2＝MA2+AB2，即t2+（+3）2＝（t﹣8）2+（﹣1）2+80，整理得：2t+＝17，解得t＝或t＝8（舍去），故若MA⊥AB，t的值为．11．解：（1）分别把A（1，m）、B（4，n）代入y1＝﹣x+5，得m＝﹣1+5＝4，n＝﹣4+5＝1，所以A点坐标为（1，4），B点坐标为（4，1），把A（1，4）代入y2＝，得k＝1×4＝4，所以反比例函数解析式为y2＝；（2）如图，设一次函数图象与x轴交于点C，当y＝0时，﹣x+5＝0，解得x＝5，则C点坐标为（5，0），所以S△AOB ＝S△AOC﹣S△BOC＝×5×4﹣×5×1＝7.5．12．解：（1）∵点A（0，8）在直线y＝﹣2x+b上，∴﹣2×0+b＝8，∴b＝8，∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+8，将点B（2，a）代入直线AB的解析式y＝﹣2x+8中，得﹣2×2+8＝a，∴a＝4，∴B（2，4），将B（2，4）代入反比例函数解析式y＝（x＞0）中，得k＝xy＝2×4＝8；（2）①由（1）知，B（2，4），k＝8，∴反比例函数解析式为y＝，当m＝3时，将线段AB向右平移3个单位长度，得到对应线段CD，∴D（2+3，4），即D（5，4），∵DF⊥x轴于点F，交反比例函数y＝的图象于点E，∴E（5，）；②如图，∵将线段AB向右平移m个单位长度（m＞0），得到对应线段CD，∴CD＝AB，AC＝BD＝m，∵A（0，8），B（2，4），∴C（m，8），D（（m+2，4），∵△BCD是以BC为腰的等腰三形，当BC＝CD时，BC＝AB，∴点B在线段AC的垂直平分线上，∴m＝2×2＝4，当BC＝BD时，B（2，4），C（m，8），∴BC＝，∴＝m，∴m＝5，当BD＝AB时，m＝AB＝＝2，综上所述，△BCD是以BC为腰的等腰三角形，满足条件的m的值为4或5或2．13．解：（1）∵点A（2，4）在反比例函数y2＝的图象上，∴k＝2×4＝8，∴反比例函数的解析式为y2＝．（2）∵点B（﹣4，n）在反比例函数y2＝的图象上，∴n＝＝﹣2，∴点B的坐标为（﹣4，﹣2）．观察函数图象，发现：使一次函数值不大于反比例函数值的x的取值范围为x≤﹣4或0＜x≤2．（3）将点A（2，4）、B（﹣4，﹣2）代入到y1＝ax+b中，得：解得：，∴一次函数的解析式为y＝x+2，令y＝0，求得x＝﹣2，∴S △AOB ＝S △AOC +S △BOC ＝×2×2+2×4＝6．14．解：（1）如图1，∵CE ⊥y 轴于点E 且CE ＝1，∴C 的横坐标为1，当x ＝﹣1时，y ＝﹣k 1﹣3∴C （﹣1，﹣k 1﹣3），∵C 在反比例函数的图象上，∴﹣1×（﹣k 1﹣3）＝k 2，∴k 2﹣k 1＝3；故答案为（﹣1，﹣k 1﹣3），3；（2）如图1，∵CE ⊥y 轴，DF ⊥y 轴，∴CE ∥DF ，∵B 为AC 的中点，∴AB ＝BC ，∵∠AOB ＝∠BEC ＝90°，∠ABO ＝∠CBE ，∴△ABO ≌△CBE （AAS ），∴AO ＝CE ＝1，∴A （1，0），当x ＝1时，y ＝k 1+3＝0，∴k 1＝3，由（1）得：k 2﹣k 1＝3，∴k 2＝6；∴反比例函数的解析式：y ＝；（3）当点M 滑动时，点N 能在反比例函数的图象上如图2，MF ＝MN ，∠FMN ＝90°过N 作NH ⊥x 轴于H ，易得：△MNH ≌△FMO ，∴FO ＝MH ，OM ＝NH ，由（2）知：反比例函数的解析式：y＝；设D（m，），∵tan∠ABO＝＝＝，∴＝，解得：m＝2，m＝﹣1（舍去），∴N（2，3），∴OF＝MH＝3，设M（x，0），∴N（x+3，x），当点N落在反比例函数的图象上时，x（x+3）＝6，x2+3x﹣6＝0，解得x＝（舍去），x＝，∴点N的坐标为（，）．15．解：（1）∵反比例函数y＝中，k＝5＞0，∴y随x的增大而减小，当1≤x≤5时，1≤y≤5，∴k（5﹣1）＝5﹣1，∴k＝1；（2）①a＞0时，对于一次函数y＝ax﹣1，y随x增大而增大，当1≤x≤5时，a﹣1≤y≤5a﹣1，∴k（5﹣1）＝4a，∵k＝2，∴a＝2；②当a＜0时，y随x增大而减小，当1≤x≤5时，a﹣1≤y≤5a﹣1，∴k（5﹣1）＝﹣4a，∵k＝2，∴a＝﹣2．16．解：（1）把A（2，﹣4）的坐标代入得：，∴4﹣2m＝﹣8，反比例函数的表达式是；把B（n，﹣2）的坐标代入得，解得：n＝4，∴B点坐标为（4，﹣2），把A（2，﹣4）、B（4，﹣2）的坐标代入y＝kx+b得，解得，∴一次函数表达式为y＝x﹣6；（2）当y＝0时，x＝0+6＝6，∴OC＝6，∴△AOB的面积＝×6×4﹣×6×2＝6；（3）由图象知，一次函数值大于反比例函数值的x的范围为0＜x＜2或x＞4．17．解：（1）∵直线y＝k1x过点P（2，4），∴4＝2k1，∴k1＝2，∵双曲线y＝（x＞0）过点P（2，4），∴k2＝2×4＝8；（2）由平移知，点O（0，2）向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到点P（2，4），∴点A（4，0）也向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到点A'（6，4），∵A'C∥y轴，∴点C的横坐标为6，由（1）知，k2＝8，双曲线的解析式为y＝，∵点C在双曲线y＝上，∴y＝＝，∴C（6，）；（3）四边形PCA′B′不是平行四边形，理由：∵B（0，3），∴OB＝3，由平移知，PB'＝OB＝3，PB'∥y轴，∵A'C∥y轴，∴PB'∥A'C，由（2）知，A'（6，4），C（6，），∴A'C＝4﹣＝≠PB'，∴四边形PCA′B′不是平行四边形．18．解：（1）如图所示：（2）函数两条不同类型的性质是：①图象是轴对称图形：②当0＜x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大；③当x＝1时，函数y＝x+（x＞0）的最小值是2；19．解：（1）∵函数的图象经过点A（﹣1，6），∴k＝﹣6．∵直线y＝mx﹣2与x轴交于点B（﹣1，0），∴m＝﹣2．（2）①判断：PD＝2PC．理由如下：当n＝﹣1时，点P的坐标为（﹣1，2），∵y＝﹣2x﹣2交于于点C，且点P（﹣1，2）作平行于x轴的直线，∴点C的坐标为（﹣2，2），∵函数的图象于点D，且点P（﹣1，2）作平行于x轴的直线，点D的坐标为（﹣3，2）．∴PC＝1，PD＝2．∴PD＝2PC．②当PD＝2PC时，有两种情况，分别为：y＝2，或者y＝6．若PD≥2PC，0＜y≤2，或y≥6即0＜﹣2n≤2，或﹣2n≤6解得﹣1≤n＜0．或n≤﹣3。
北师大版九年级上数学反比例函数专题练习题(含答案)
北师大版九年级上数学反比例函数专题练习题一．选择题（共18小题）1．若函数y＝（m2﹣3m+2）x|m|﹣3是反比例函数，则m的值是（）A．1B．﹣2C．2或﹣2D．22．下列函数中，是反比例函数的是（）A．y＝﹣B．y＝﹣C．y＝﹣2x2D．y＝﹣2x+13．下列关系式中，y是x的反比例函数的是（）A．y＝4x B．y＝C．y＝﹣D．y＝4．若反比例函数y＝的图象经过点（﹣2，﹣3），则该函数图象位于（）A．第一、二象限B．第二、四象限C．第三、四象限D．第一、三象限5．已知反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点（1，﹣3），若x＜﹣1，则y的取值范围为（）A．y＞3B．y＜3C．﹣3＜y＜0D．0＜y＜36．反比例函数y＝的图象在每一象限内，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（）A．k＞1B．k＜1C．k＝1D．k≠17．对于反比例函数，下列说法不正确的是（）A．图象经过点（1，﹣3）B．图象分布在第二、四象限C．点A（x1，y1），B（x2，y2）都在反比例函数的图象上，若x1＜x2，则y1＜y2D．当x＞0时，y随x的增大而增大8．已知反比例函数（k≠0），当x＜0时，y随x的增大而增大，那么一次函数y＝kx﹣k的图象经过（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限9．在同一坐标系中，函数和y＝kx+2的图象大致是（）A．B．C．D．10．函数y＝﹣的图象在（）A．第一、三象限B．第二、四象限C．第一、二象限D．第三、四象限11．反比例函数y＝的图象如图所示，点A是该函数图象上一点，AB垂直于x轴垂足是点B，如果S△AOB ＝1，则k的值为（）A．1B．﹣1C．2D．﹣212．如图，正比例函数y＝kx与反比例函数y＝的图象相交于A、C两点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，连接BC，则△ABC的面积等于（）A．8B．6C．4D．213．如图，设P是函数y＝在第二象限的图象上的任意一点，点P关于原点的对称点P′．过P作P A∥y 轴，过P′作P′A∥x轴，P A与P′A交于点A，则△P AP′的面积是（）A．2B．4C．8D．随P的变化而变化14．如图所示，直线l和反比例函数y＝（k＞0）的图象的一支交于A，B两点，P是线段AB上的点（不与A，B重合），过点A，B，P分别向x轴作垂线，垂足分别是C，D，E，连接OA，OB，OP，设△AOC 面积是S1，△BOD面积是S2，△POE面积是S3，则（）A．S1＜S2＜S3B．S1＞S2＞S3C．S1＝S2＞S3D．S1＝S2＜S315．如图，A、B是双曲线y＝上关于原点对称的任意两点，AC∥y轴，BD∥y轴，则四边形ACBD的面积S满足（）A．S＝1B．1＜S＜2C．S＝2D．S＞216．如图，在x轴的正半轴上依次截取OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5，过点A1、A2、A3、A4、A5分别作x轴的垂线与反比例函数y＝（x＞0）的图象相交于点P1、P2、P3、P4、P5，得直角三角形OP1A1、A1P2A2、A2P3A3、A3P3A4、A4P5A5，并设其面积分别为S1、S2、S3、S4、S5，则S1+S2+S3+S4+S5的值为（）A．2B．C．3D．17．如图，点A、B是函数y＝x与y＝的图象的两个交点，作AC⊥x轴于C，作BD⊥x轴于D，则四边形ACBD的面积为（）A．S＞2B．S＞1C．S＜1D．S＝218．如图，过反比例函数y＝（x＞0）图象上任意两点A、B分别作x轴的垂线，垂足为C、D，连接OA、OB．设AC与OB的交点为E，△AOE与梯形ECDB的面积分别为S1、S2，则（）A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．S1、S2的大小关系不确定二．填空题（共13小题）19．如图，已知点A，B在双曲线y＝（x＞0）上，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，AC与BD交于点P，P是AC的中点．若△ABP的面积为4，则k＝．20．如图，已知矩形OABC的面积为，它的对角线OB与双曲线y＝相交于点D，且OB：OD＝5：3，则k＝．21．如图，已知双曲线y＝经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C，若△OBC 的面积为9，则k＝．22．如图，已知双曲线y＝（k＞0）经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C，若△OBC的面积为6，则k＝．23．如图，已知双曲线y＝（k＞0）经过Rt△OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C．点A在x轴上．若△DOC的面积为3，则k＝．24．双曲线y＝（k＜0）经过Rt△OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C，若△OAB的面积为3，则k＝．25．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数（k为常数，且k＞0）在第一象限的图象交于点E，F．过点E作EM⊥y轴于M，过点F作FN⊥x轴于N，直线EM与FN交于点C．若（m为大于l的常数）．记△CEF的面积为S1，△OEF的面积为S2，则＝．（用含m的代数式表示）26．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN 沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是．27．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x与双曲线y＝相交于A，B两点，C是第一象限内双曲线上一点，连接CA并延长交y轴于点P，连接BP，BC．若△PBC的面积是20，则点C的坐标为．28．已知菱形A1B1C1D1的边长为2，∠A1B1C1＝60°，对角线A1C1，B1D1相交于点O，以点O为坐标原点，分别以OA1，OB1所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的直角坐标系，以B1D1为对角线作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，再以A2C2为对角线作菱形A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2，再以B2D2为对角线作菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2，…，按此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点A1，A2，A3，…，A n，则点A n的坐标为．29．在平面直角坐标系xOy中，对于不在坐标轴上的任意一点P（x，y），我们把点P′（，）称为点P的“倒影点”，直线y＝﹣x+1上有两点A，B，它们的倒影点A′，B′均在反比例函数y＝的图象上．若AB＝2，则k＝．30．设双曲线y＝（k＞0）与直线y＝x交于A，B两点（点A在第三象限），将双曲线在第一象限的一支沿射线BA的方向平移，使其经过点A，将双曲线在第三象限的一支沿射线AB的方向平移，使其经过点B，平移后的两条曲线相交于P，Q两点，此时我们称平移后的两条曲线所围部分（如图中阴影部分）为双曲线的“眸”，PQ为双曲线的“眸径“，当双曲线y＝（k＞0）的眸径为6时，k的值为．31．若m，n是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则m2+4m+2n的值是．三．解答题（共29小题）32．已知一次函数y＝（m﹣1）x+m﹣2与反比例函数y＝（k≠0）．（1）若一次函数与反比例函数的图象都经过点A（m，﹣1），求m与k的值．（2）已知点B（x1，y1），C（x2，y2）在该一次函数图象上，设k＝（x1﹣x2）（y1﹣y2），判断反比例函数y＝的图象所在的象限，说明理由．33．如图，一次函数y1＝x+4的图象与反比例函数y2＝的图象交于A（﹣1，a），B两点，与x轴交于点C．（1）求k．（2）根据图象直接写出y1＞y2时，x的取值范围．（3）若反比例函数y2＝与一次函数y1＝x+4的图象总有交点，求k的取值．34．如图，已知反比例函数y1＝的图象与一次函数y2＝ax+b的图象交于点A（1，4）和点B（m，﹣2）．（1）求这两个函数的解析式；（2）观察图象，写出使得y1＜y2成立的自变量x的取值范围．35．已知一次函数y1＝x﹣a+2的图象与反比例函数的图象相交．（1）判断y2是否经过点（k，1）．（2）若y1的图象过点（k，1），且2a+k＝5．①求y2的函数表达式．②当x＞0时，比较y1，y2的大小．36．如图，一次函数y1＝k1x+b（k1、b为常数，k1≠0）的图象与反比例函数y2＝（k2≠0，x＞0）的图象交于点A（m，8）与点B（4，2）．①求一次函数与反比例函数的解析式．②根据图象说明，当x为何值时，k1x+b﹣＜0．37．M（1，a）是一次函数y＝3x+2与反比例函数y＝图象的公共点，将一次函数y＝3x+2的图象向下平移4个单位得到的解析式为y＝kʹx+b（1）求y＝kʹx+b和y＝的解析式；（2）若A1（x1，x2），A2（x2，y2），A3（x3，y3）为双曲线y＝上三点，且x1＜0＜x2＜x3，请直接写出y1，y2，y3大小关系；（3）画出图象，观察图象直接写出不等式kʹx+b＞的解集．38．心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）：（1）根据图象填空：AB的解析式为（0≤x≤10）；BC的解析式为（10≤x≤25）；CD的解析式为（x≥25）；（2）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？（3）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？39．武汉某钢材市场调进1200吨钢材产品，需要入库存放．（1）入库所需要的时间t（单位：天）与入库速度V（单位：吨/天），有怎样的函数关系；（2）市场计划安排40名工人，每天最多可入库300吨，预计这批产品最快可在几天内完成入库工作；（3）这批工人连续工作2天后，接到通知要在第二天之内将剩下的产品全部入库，需要增加多少人帮忙才能完成任务？40．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（1，2），B（m，n）（m＞1），过点B作y轴的垂线，垂足为C．（1）求该反比例函数解析式；（2）当△ABC面积为2时，求点B的坐标．41．在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（x＞0，k＞0）的图象经过点A（m，n），B（2，1），且n＞1，过点B作y轴的垂线，垂足为C，若△ABC的面积为2，求点A的坐标．42．将x＝代入函数y＝﹣中，所得函数值记为y1，又将x＝y1+1代入函数y＝﹣中，所得的函数值记为y2，再将x＝y2+1代入函数中，所得函数值记为y3…，继续下去．y1＝；y2＝；y3＝；y2006＝．43．如图，已知动点P在函数y＝（x＞0）的图象上运动，PM丄x轴于点M，PN丄y轴于点N，线段PM、PN分别与直线AB：y＝﹣x+1交于点E，F，求AF•BE的值．44．如图，在平面直角坐标系中，函数（x＞0，常数k＞0）的图象经过点A（1，2），B（m，n），（m ＞1），过点B作y轴的垂线，垂足为C．若△ABC的面积为2，求点B的坐标．45．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点A（1，2），B（m，n）（m＞1），过点B作y轴的垂线，垂足为C．（1）求该反比例函数解析式；（2）当△ABC面积为2时，求点B的坐标．46．将x＝代入反比例函数y＝﹣中，所得函数值记为y1，又将x＝y1+1代入函数中，所得函数值记为y2，再将x＝y2+1代入函数中，所得函数值记为y3，…，如此继续下去．（1）完成下表y1y2y3y4y5（2）观察上表，你发现了什么规律？猜想y2004＝．47．如图，已知反比例函数的图象上有一点P，过点P分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为A、B，使四边形OAPB为正方形．又在反比例函数的图象上有一点P1，过点P1分别作BP和y轴的垂线，垂足分别为A1、B1，使四边形BA1P1B1为正方形，求点P和点P1的坐标．48．如图，P1（x1，y1），P2（x2，y2），…P n（x n，y n）在函数y＝（x＞0）的图象上，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…△P n A n﹣1A n都是等腰直角三角形，斜边OA1、A1A2、A2A3，…A n﹣1A n都在x轴上（1）求P1的坐标；（2）求y1+y2+y3+…y10的值．49．如图，一次函数y＝﹣2x+b（b为常数）的图象与反比例函数（k为常数，且k≠0）的图象交于A，B两点，且点A的坐标为（﹣1，4）．（1）分别求出反比例函数及一次函数的表达式；（2）求点B的坐标．50．如图，点B在线段AC上，点D、E在AC同侧，∠A＝∠C＝90°，BD⊥BE，AD＝BC．（1）求证：AC＝AD+CE；（2）若AD＝3，CE＝5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ⊥DP，交直线BE于点Q；（i）当点P与A、B两点不重合时，求的值；（ii）当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径（线段）长．（直接写出结果，不必写出解答过程）51．如图，一次函数y＝kx+5（k为常数，且k≠0）的图象与反比例函数y＝﹣的函数交于A（﹣2，b），B两点．（1）求一次函数的表达式；（2）若将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求m 的值．52．如图，矩形ABCD中，AD＝2AB，E是AD边上一点，DE＝AD（n为大于2的整数），连接BE，作BE的垂直平分线分别交AD，BC于点F，G，FG与BE的交点为O，连接BF和EG．（1）试判断四边形BFEG的形状，并说明理由；（2）当AB＝a（a为常数），n＝3时，求FG的长；（3）记四边形BFEG的面积为S1，矩形ABCD的面积为S2，当＝时，求n的值．（直接写出结果，不必写出解答过程）53．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝xm．（1）若花园的面积为192m2，求x的值；（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值．54．如图，一次函数y＝﹣x+4的图象与反比例函数y＝（k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B 两点．（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；（2）在x轴上找一点P，使P A+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标及△P AB的面积．55．如图，在平面直角坐标xOy中，正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y＝的图象都经过点A（2，﹣2）．（1）分别求这两个函数的表达式；（2）将直线OA向上平移3个单位长度后与y轴交于点B，与反比例函数图象在第四象限内的交点为C，连接AB，AC，求点C的坐标及△ABC的面积．56．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝的图象交于A（a，﹣2），B两点．（1）求反比例函数的表达式和点B的坐标；（2）P是第一象限内反比例函数图象上一点，过点P作y轴的平行线，交直线AB于点C，连接PO，若△POC的面积为3，求点P的坐标．57．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+b的图象经过点A（﹣2，0），与反比例函数y＝（x ＞0）的图象交于B（a，4）．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）设M是直线AB上一点，过M作MN∥x轴，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点N，若A，O，M，N为顶点的四边形为平行四边形，求点M的坐标．58．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+5和y＝﹣2x的图象相交于点A，反比例函数y＝的图象经过点A．（1）求反比例函数的表达式；（2）设一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y＝的图象的另一个交点为B，连接OB，求△ABO的面积．59．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（3，4），过点A的直线y＝kx+b 与x轴、y轴分别交于B，C两点．（1）求反比例函数的表达式；（2）若△AOB的面积为△BOC的面积的2倍，求此直线的函数表达式．60．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象相交于点A（a，3），与x轴相交于点B．（1）求反比例函数的表达式；（2）过点A的直线交反比例函数的图象于另一点C，交x轴正半轴于点D，当△ABD是以BD为底的等腰三角形时，求直线AD的函数表达式及点C的坐标．参考答案与试题解析一．选择题（共18小题）1．若函数y＝（m2﹣3m+2）x|m|﹣3是反比例函数，则m的值是（）A．1B．﹣2C．2或﹣2D．2【解答】解：∵函数y＝（m2﹣3m+2）x|m|﹣3是反比例函数，∴|m|﹣3＝﹣1，且m2﹣3m+2≠0，∴m＝±2，当m＝2时，m2﹣3m+2＝0，不合题意舍去，当m＝﹣2时，m2﹣3m+2＝12≠0，∴m＝﹣2，故选：B．2．下列函数中，是反比例函数的是（）A．y＝﹣B．y＝﹣C．y＝﹣2x2D．y＝﹣2x+1【解答】解：A、是正比例函数，不是反比例函数，故此选项不合题意；B、是反比例函数，故此选项符合题意；C、是二次函数，不是反比例函数，故此选项不符合题意；D、是一次函数，不是反比例函数，故此选项不符合题意；故选：B．3．下列关系式中，y是x的反比例函数的是（）A．y＝4x B．y＝C．y＝﹣D．y＝【解答】解：A、是正比例函数，不是反比例函数，故此选项不合题意；B、不是反比例函数，故此选项不合题意；C、是反比例函数，故此选项符合题意；D、不是反比例函数，故此选项不合题意；故选：C．4．若反比例函数y＝的图象经过点（﹣2，﹣3），则该函数图象位于（）A．第一、二象限B．第二、四象限C．第三、四象限D．第一、三象限【解答】解：将点（﹣2，﹣3）代入y＝得，k＝6，可知函数图象位于一、三象限．故选：D．5．已知反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点（1，﹣3），若x＜﹣1，则y的取值范围为（）A．y＞3B．y＜3C．﹣3＜y＜0D．0＜y＜3【解答】解：把（1，﹣3）代入y＝（k≠0）得k＝1×（﹣3）＝﹣3，∴反比例函数y＝﹣的图象在二、四象限，在每个象限，y随x的增大而增大，当x＝﹣1时，y＝﹣＝3；所以当x＜﹣1时，函数值y的取值范围为0＜y＜3，故选：D．6．反比例函数y＝的图象在每一象限内，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（）A．k＞1B．k＜1C．k＝1D．k≠1【解答】解：∵反比例函数y＝的图象在每一象限内，y随x的增大而减小，∴k﹣1＞0，解得：k＞1，故选：A．7．对于反比例函数，下列说法不正确的是（）A．图象经过点（1，﹣3）B．图象分布在第二、四象限C．点A（x1，y1），B（x2，y2）都在反比例函数的图象上，若x1＜x2，则y1＜y2D．当x＞0时，y随x的增大而增大【解答】解：A．把（1，﹣3）代入得：左边＝﹣3，右边＝﹣3，左边＝右边，所以点（1，﹣3）在该函数的图象上，故本选项说法正确；B．∵反比例函数中﹣3＜0，∴该函数的图象在第二、四象限，故本选项说法正确；C．∵反比例函数中﹣3＜0，∴函数的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，∴若A（x1，y1），B（x2，y2）在同一象限，x1＜x2，则y1＜y2，故本选项说法不正确；D．反比例函数的图象在第四象限，y随x的增大而增大，故本选项说法正确；故选：C．8．已知反比例函数（k≠0），当x＜0时，y随x的增大而增大，那么一次函数y＝kx﹣k的图象经过（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限【解答】解：因为反比例函数（k≠0），当x＜0时，y随x的增大而增大，根据反比例函数的性质，k＜0，再根据一次函数的性质，一次函数y＝kx﹣k的图象经过第一、二、四象限．故选：B．9．在同一坐标系中，函数和y＝kx+2的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：∵两个函数的比例系数均为k，∴两个函数图象必有交点，y＝kx+2交y轴的正半轴，符合这两个条件的选项只有C，故选：C．10．函数y＝﹣的图象在（）A．第一、三象限B．第二、四象限C．第一、二象限D．第三、四象限【解答】解：∵反比例函数y＝﹣中k＝﹣，∴函数y＝﹣的图象在第二、四象限．故选：B．11．反比例函数y＝的图象如图所示，点A是该函数图象上一点，AB垂直于x轴垂足是点B，如果S△AOB ＝1，则k的值为（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2【解答】解：由于点A在反比例函数y＝的图象上，则S△AOB＝|k|＝1，k＝±2；又由于函数的图象在第二象限，故k＜0，则k＝﹣2．故选：D．12．如图，正比例函数y＝kx与反比例函数y＝的图象相交于A、C两点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，连接BC，则△ABC的面积等于（）A．8B．6C．4D．2【解答】解：∵点A、C位于反比例函数图象上且关于原点对称，∴A、C两点到x轴的距离相等，∴S△OBA＝S△OBC，∵S△OBA＝|k|＝×4＝2，∴S△OBC＝2∴S△ABC＝S△OBA+S△OBC＝4．故选：C．13．如图，设P是函数y＝在第二象限的图象上的任意一点，点P关于原点的对称点P′．过P作P A∥y 轴，过P′作P′A∥x轴，P A与P′A交于点A，则△P AP′的面积是（）A．2B．4C．8D．随P的变化而变化【解答】解：连接OA，P A交x轴于B，如图，∵点P关于原点的对称点P′，∴PO＝P′0，∵P′A∥x轴，∴OB∥AP′，∴PB＝AB，∵S△POB＝×|﹣4|＝2，∴S△POA＝2S△POB＝4，∴S△P AP′＝2S△POA＝8．故选：C．14．如图所示，直线l和反比例函数y＝（k＞0）的图象的一支交于A，B两点，P是线段AB上的点（不与A，B重合），过点A，B，P分别向x轴作垂线，垂足分别是C，D，E，连接OA，OB，OP，设△AOC 面积是S1，△BOD面积是S2，△POE面积是S3，则（）A．S1＜S2＜S3B．S1＞S2＞S3C．S1＝S2＞S3D．S1＝S2＜S3【解答】解：结合题意可得：AB都在双曲线y＝上，则有S1＝S2；而线段AB之间，直线在双曲线上方；故S1＝S2＜S3．故选：D．15．如图，A、B是双曲线y＝上关于原点对称的任意两点，AC∥y轴，BD∥y轴，则四边形ACBD的面积S满足（）A．S＝1B．1＜S＜2C．S＝2D．S＞2【解答】解：∵A，B是函数y＝的图象上关于原点O对称的任意两点，且AC平行于y轴，BD平行于y轴，∴S△AOC＝S△BOD＝，假设A点坐标为（x，y），则B点坐标为（﹣x，﹣y），则OC＝OD＝x，∴S△AOD＝S△AOC＝，S△BOC＝S△BOD＝，∴四边形ABCD面积＝S△AOD+S△AOC+S△BOC+S△BOD＝×4＝2．故选：C．16．如图，在x轴的正半轴上依次截取OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5，过点A1、A2、A3、A4、A5分别作x轴的垂线与反比例函数y＝（x＞0）的图象相交于点P1、P2、P3、P4、P5，得直角三角形OP1A1、A1P2A2、A2P3A3、A3P3A4、A4P5A5，并设其面积分别为S1、S2、S3、S4、S5，则S1+S2+S3+S4+S5的值为（）A．2B．C．3D．【解答】解：由于OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5，S1＝|k|，S2＝|k|，S3＝|k|，S4＝|k|，S5＝|k|；则S1+S2+S3+S4+S5＝（++++）|k|＝×2＝，故选：B．17．如图，点A、B是函数y＝x与y＝的图象的两个交点，作AC⊥x轴于C，作BD⊥x轴于D，则四边形ACBD的面积为（）A．S＞2B．S＞1C．S＜1D．S＝2【解答】解：根据反比例函数的对称性可知：OB＝OA，OD＝OC，∴四边形ABCD的面积为S△AOC+S△ODA+S△ODB+S△OBC＝1×2＝2．故选：D．18．如图，过反比例函数y＝（x＞0）图象上任意两点A、B分别作x轴的垂线，垂足为C、D，连接OA、OB．设AC与OB的交点为E，△AOE与梯形ECDB的面积分别为S1、S2，则（）A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．S1、S2的大小关系不确定【解答】解：∵S△AOC＝S△OBD，即S△AOE+S△OEC＝S△OEC+S梯形ECDB，∴S△AOE＝S梯形ECDB．即S1＝S2．故选：B．二．填空题（共13小题）19．如图，已知点A，B在双曲线y＝（x＞0）上，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，AC与BD交于点P，P是AC的中点．若△ABP的面积为4，则k＝16．【解答】解：∵△ABP的面积为•BP•AP＝4，∴BP•AP＝8，∵P是AC的中点，∴A点的纵坐标是B点纵坐标的2倍，又∵点A、B都在双曲线y＝（x＞0）上，∴B点的横坐标是A点横坐标的2倍，∴OC＝DP＝BP，∴k＝OC•AC＝BP•2AP＝16．故答案为：16．20．如图，已知矩形OABC的面积为，它的对角线OB与双曲线y＝相交于点D，且OB：OD＝5：3，则k＝6．【解答】解：设D的坐标是（3m，3n），则B的坐标是（5m，5n）．∵矩形OABC的面积为，∴5m•5n＝，∴mn＝．把D的坐标代入函数解析式得：3n＝，∴k＝9mn＝9×＝6．故答案为6．21．如图，已知双曲线y＝经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C，若△OBC 的面积为9，则k＝6．【解答】解：过D点作x轴的垂线交x轴于E点，∵△ODE的面积和△OAC的面积相等．∴△OBC的面积和四边形DEAB的面积相等且为9．设D点的横坐标为x，纵坐标就为，∵D为OB的中点．∴EA＝x，AB＝，∴四边形DEAB的面积可表示为：（+）x＝9k＝6．故答案为：6．22．如图，已知双曲线y＝（k＞0）经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C，若△OBC的面积为6，则k＝4．【解答】解：过D点作x轴的垂线交x轴于E点，∵△ODE的面积和△OAC的面积相等．∴△OBC的面积和四边形DEAB的面积相等且为6．设D点的横坐标为x，纵坐标就为，∵D为OB的中点．∴EA＝x，AB＝，∴四边形DEAB的面积可表示为：（+）x＝6k＝4．故答案为：4．23．如图，已知双曲线y＝（k＞0）经过Rt△OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C．点A在x轴上．若△DOC的面积为3，则k＝4．【解答】解：如图，过D点作DE⊥x轴，垂足为E．∵Rt△OAB中，∠OAB＝90°，∴DE∥AB，∵D为Rt△OAB斜边OB的中点D，∴DE为Rt△OAB的中位线，∵△OED∽△OAB，∴＝．∵双曲线的解析式是，∴S△AOC＝S△DOE＝k，∴S△AOB＝4S△DOE＝2k，由S△AOB﹣S△AOC＝S△OBC＝2S△DOC＝6，得2k﹣k＝6，解得k＝4．故答案为：4．24．双曲线y＝（k＜0）经过Rt△OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C，若△OAB的面积为3，则k＝﹣．【解答】解：过D点作DE⊥x轴，垂足为E，由双曲线y＝（k＜0），可知S△AOC＝S△DOE＝﹣k，∵D为Rt△OAB斜边OB的中点D，∴DE为Rt△OAB的中位线，S△AOB＝4S△DOE＝﹣2k，由S△AOB＝3，得﹣2k＝3，解得k＝﹣．故答案为：﹣．25．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数（k为常数，且k＞0）在第一象限的图象交于点E，F．过点E作EM⊥y轴于M，过点F作FN⊥x轴于N，直线EM与FN交于点C．若（m为大于l的常数）．记△CEF的面积为S1，△OEF的面积为S2，则＝．（用含m的代数式表示）【解答】解：方法一：过点F作FG⊥y轴于点G，∵S四边形MEFO＝S△MEO+S△OEF＝+S△OEF，又∵S四边形MEFO＝S梯形MEFG+S△FGO＝S梯形MEFG+，∴S△OEF＝S梯形MEFG＝S2，则＝，又∵CF＝MG，∴＝，由＝，得：＝，∵OB∥NC，∴＝＝，则＝，∴＝．方法二：如图2，过点F作FD⊥BO于点D，EW⊥AO于点W，∵，∴＝，∵ME•EW＝FN•DF，∴＝，∴＝，设E点坐标为：（x，my），则F点坐标为：（mx，y），∴△CEF的面积为：S1＝（mx﹣x）（my﹣y）＝（m﹣1）2xy，∵△OEF的面积为：S2＝S矩形CNOM﹣S1﹣S△MEO﹣S△FON，＝MC•CN﹣（m﹣1）2xy﹣ME•MO﹣FN•NO，＝mx•my﹣（m﹣1）2xy﹣x•my﹣y•mx，＝m2xy﹣（m﹣1）2xy﹣mxy，＝（m2﹣1）xy，＝（m+1）（m﹣1）xy，∴＝＝．故答案为：．26．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN 沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是﹣1．【解答】解：如图所示：∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上时，过点M作MF⊥DC于点F，∵在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M为AD中点，∴2MD＝AD＝CD＝2，∠FDM＝60°，∴∠FMD＝30°，∴FD＝MD＝，∴FM＝DM×cos30°＝，∴MC＝＝，∴A′C＝MC﹣MA′＝﹣1．故答案为：﹣1．27．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x与双曲线y＝相交于A，B两点，C是第一象限内双曲线上一点，连接CA并延长交y轴于点P，连接BP，BC．若△PBC的面积是20，则点C的坐标为（，）．【解答】解：BC交y轴于D，如图，设C点坐标为（a，）解方程组得或，∴A点坐标为（2，3），B点坐标为（﹣2，﹣3），设直线BC的解析式为y＝kx+b，把B（﹣2，﹣3）、C（a，）代入得，解得，∴直线BC的解析式为y＝x+﹣3，当x＝0时，y＝x+﹣3＝﹣3，∴D点坐标为（0，﹣3）设直线AC的解析式为y＝mx+n，把A（2，3）、C（a，）代入得，解得，∴直线AC的解析式为y＝﹣x++3，当x＝0时，y＝x++3＝+3，∴P点坐标为（0，+3）∵S△PBC＝S△PBD+S△CPD，∴×2×6+×a×6＝20，解得a＝，∴C点坐标为（，）．故答案为：（，）．28．已知菱形A1B1C1D1的边长为2，∠A1B1C1＝60°，对角线A1C1，B1D1相交于点O，以点O为坐标原点，分别以OA1，OB1所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的直角坐标系，以B1D1为对角线作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，再以A2C2为对角线作菱形A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2，再以B2D2为对角线作菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2，…，按此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点A1，A2，A3，…，A n，则点A n的坐标为（3n﹣1，0）．【解答】解：∵菱形A1B1C1D1的边长为2，∠A1B1C1＝60°，∴OA1＝A1B1•sin30°＝2×＝1，OB1＝A1B1•cos30°＝2×＝，∴A1（1，0）．∵菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，∴OA2＝＝＝3，∴A2（3，0）．同理可得A3（9，0）…∴A n（3n﹣1，0）．故答案为：（3n﹣1，0）．29．在平面直角坐标系xOy中，对于不在坐标轴上的任意一点P（x，y），我们把点P′（，）称为点P的“倒影点”，直线y＝﹣x+1上有两点A，B，它们的倒影点A′，B′均在反比例函数y＝的图象上．若AB＝2，则k＝﹣．【解答】解：（方法一）设点A（a，﹣a+1），B（b，﹣b+1）（a＜b），则A′（，），B′（，），∵AB＝＝＝（b﹣a）＝2，∴b﹣a＝2，即b＝a+2．∵点A′，B′均在反比例函数y＝的图象上，∴，解得：k＝﹣．（方法二）∵直线y＝﹣x+1上有两点A、B，且AB＝2，∴设点A的坐标为（a，﹣a+1），则点B的坐标为（a+2，﹣a﹣1），点A′的坐标为（，），点B′的坐标为（，﹣）．∵点A′，B′均在反比例函数y＝的图象上，∴，解得：．故答案为：﹣．30．设双曲线y＝（k＞0）与直线y＝x交于A，B两点（点A在第三象限），将双曲线在第一象限的一支沿射线BA的方向平移，使其经过点A，将双曲线在第三象限的一支沿射线AB的方向平移，使其经过点B，平移后的两条曲线相交于P，Q两点，此时我们称平移后的两条曲线所围部分（如图中阴影部分）为双曲线的“眸”，PQ为双曲线的“眸径“，当双曲线y＝（k＞0）的眸径为6时，k的值为．【解答】解：以PQ为边，作矩形PQQ′P′交双曲线于点P′、Q′，如图所示．联立直线AB及双曲线解析式成方程组，，解得：，，∴点A的坐标为（﹣，﹣），点B的坐标为（，）．∵PQ＝6，∴OP＝3，点P的坐标为（﹣，）．根据图形的对称性可知：PP′＝AB＝QQ′，∴点P′的坐标为（﹣+2，+2）．又∵点P′在双曲线y＝上，∴（﹣+2）•（+2）＝k，解得：k＝．故答案为：．31．若m，n是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则m2+4m+2n的值是﹣3．【解答】解：∵m是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的根，∴m2+2m﹣1＝0，∴m2+2m＝1，∵m、n是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个根，∴m+n＝﹣2，∴m2+4m+2n＝m2+2m+2m+2n＝1+2×（﹣2）＝﹣3．故答案为：﹣3．三．解答题（共29小题）32．已知一次函数y＝（m﹣1）x+m﹣2与反比例函数y＝（k≠0）．（1）若一次函数与反比例函数的图象都经过点A（m，﹣1），求m与k的值．（2）已知点B（x1，y1），C（x2，y2）在该一次函数图象上，设k＝（x1﹣x2）（y1﹣y2），判断反比例函数y＝的图象所在的象限，说明理由．【解答】解：（1）一次函数的图象都经过点A（m，﹣1），∴﹣1＝m（m﹣1）+m﹣2且m﹣1≠0，∴m＝﹣1，∴A（﹣1，﹣1），∵反比例函数的图象都经过点A（﹣1，﹣1），∴k＝1；（2）∵点B（x1，y1），C（x2，y2）在该一次函数图象上，∴①﹣②得y1﹣y2＝（m﹣1）（x1﹣x2），∵k＝（x1﹣x2）（y1﹣y2），∴k＝（m﹣1）（x1﹣x2）2，∴当m＞1时，k＞0，反比例函数的图象在一三象限；当m＜1时，k＜0，反比例函数的图象在二四象限．33．如图，一次函数y1＝x+4的图象与反比例函数y2＝的图象交于A（﹣1，a），B两点，与x轴交于点C．（1）求k．（2）根据图象直接写出y1＞y2时，x的取值范围．（3）若反比例函数y2＝与一次函数y1＝x+4的图象总有交点，求k的取值．【解答】解：（1）一次函数y1＝x+4的图象过A（﹣1，a），∴a＝﹣1+4＝3，∴A（﹣1，3）代入反比例函数y2＝得，k＝﹣3（2）反比例函数y2＝﹣，由题意得，，解得，，，∴点B（﹣3，1）当y1＞y2，即一次函数的图象位于反比例函数图象上方时，自变量的取值范围为：﹣3＜x＜﹣1或x＞0；（3）若反比例函数y2＝与一次函数y1＝x+4的图象总有交点，即，方程＝x+4有实数根，也就是x2+4x﹣k＝0有实数根，∴16+4k≥0，解得，k≥﹣4，∵k≠0，∴k的取值范围为：k≥﹣4且k≠0．34．如图，已知反比例函数y1＝的图象与一次函数y2＝ax+b的图象交于点A（1，4）和点B（m，﹣2）．（1）求这两个函数的解析式；（2）观察图象，写出使得y1＜y2成立的自变量x的取值范围．【解答】解：（1）∵A（1，4）在反比例函数y1＝的图象上，∴k＝4，∴反比例函数解析式为y1＝，∵点B（m，﹣2）在反比例函数y1＝的图象上，∴﹣2m＝4，解得m＝﹣2，∴B点坐标为（﹣2，﹣2），∴一次函数y2＝ax+b的图象过点A（1，4）和点B（﹣2，﹣2），∴，解得，∴一次函数解析式为y2＝2x+2；（2）由图象可知当反比例函数图象在一次函数图象下方时，对应的x的取值范围为﹣2＜x＜0或x＞1，∴使得y1＜y2成立的自变量x的取值范围﹣2＜x＜0或x＞1．35．已知一次函数y1＝x﹣a+2的图象与反比例函数的图象相交．（1）判断y2是否经过点（k，1）．（2）若y1的图象过点（k，1），且2a+k＝5．①求y2的函数表达式．②当x＞0时，比较y1，y2的大小．【解答】解：（1）点（k，1）满足反比例函数的关系式，因此y2经过点（k，1）．（2）①把（k，1）代入一次函数y1＝x﹣a+2得，k﹣a+2＝1，又∵2a+k＝5，解得：a＝2，k＝1，∴y2的函数表达式为y2＝．②由函数的图象可知：当0＜x＜1时，y1＜y2，当x＝1时，y1＝y2，当x＞1时，y1＞y2．36．如图，一次函数y1＝k1x+b（k1、b为常数，k1≠0）的图象与反比例函数y2＝（k2≠0，x＞0）的图象交于点A（m，8）与点B（4，2）．①求一次函数与反比例函数的解析式．②根据图象说明，当x为何值时，k1x+b﹣＜0．【解答】解：①把点B（4，2）代入反比例函数y2＝（k2≠0，x＞0）得，k2＝4×2＝8，∴反比例函数的解析式为y2＝，将点A（m，8）代入y2得，8＝，解得m＝1，∴A（1，8），将A、B的坐标代入y1＝k1x+b（k1、b为常数，k1≠0）得，解得，∴一次函数的解析式为y1＝﹣2x+10；②由图象可知：当0＜x＜1或x＞4时，y1＜y2，即k1x+b﹣＜0．37．M（1，a）是一次函数y＝3x+2与反比例函数y＝图象的公共点，将一次函数y＝3x+2的图象向下平移4个单位得到的解析式为y＝kʹx+b（1）求y＝kʹx+b和y＝的解析式；。
北师大版九年级数学上册 第六章 反比例函数 同步练习+两专题训练+单元测试(含参考答案)
第六章 反比例函数6．1 反比例函数基础题知识点1 反比例函数的概念1．下列函数是反比例函数的是( )A ．y ＝xB ．y ＝kx －1C ．y ＝－8xD ．y ＝8x22．反比例函数y ＝－25x 中，k 的值是( )A ．2B ．－2C ．－25D ．－523．若函数y ＝x 2m ＋1为反比例函数，则m 的值是( )A ．1B ．0 C.12D ．－14．在函数y ＝1x －1中，自变量x 的取值范围是( )A ．x ≠1B ．x ≠0C ．x<1D ．一切实数5．若y ＝m （m －3）x是反比例函数，则满足的条件是( )A ．m ≠0B ．m ＝3C ．m ＝0或m ＝3D ．m ≠0且m≠3知识点2 判断反比例函数关系6．如果直角三角形的面积一定，那么下列关于这个直角三角形边的关系中，正确的是( ) A ．两条直角边成正比例 B ．两条直角边成反比例C ．一条直角边与斜边成正比例D ．一条直角边与斜边成反比例7．用电器的输出功率P 与通过的电流I 、用电器的电阻R 之间的关系是P ＝I 2R ，下面说法正确的是( ) A ．P 为定值，I 与R 成反比例B ．P 为定值，I 2与R 成反比例 C ．P 为定值，I 与R 成正比例D ．P 为定值，I 2与R 成正比例8．下列问题中，两个变量间的函数关系式是反比例函数的是( ) A ．小颖每分钟可以制作2朵花，x 分钟可以制作y 朵花B ．体积为10 cm 3的长方体，高为h cm ，底面积为S cm 2C ．用一根长50 cm 的铁丝弯成一个矩形，一边长为x cm ，面积为S cm 2D ．汽车油箱中共有油50升，设平均每天用油5升，x 天后油箱中剩下的油量为y 升知识点3 建立反比例函数模型9．小华以每分钟x 个字的速度书写，y 分钟写了300个字，则y 与x 的函数关系式为( ) A ．y ＝x 300 B ．y ＝300xC ．y ＝300－xD ．y ＝300－xx10．近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25 m ，则y 与x 的函数关系式为( )A ．y ＝400xB ．y ＝14xC ．y ＝100xD ．y ＝1400x11．若y 与x 成反比例，且x ＝3时，y ＝7，则y 与x 的函数关系式为________．12．计划修建铁路1 200 km ，试写出铺轨天数y(d)与每天铺轨量x(km/d)之间的函数关系式，并判断该函数是否是反比例函数．中档题13．已知y 与x 成正比例，z 与y 成反比例，那么z 与x 之间的关系是( ) A ．成正比例 B ．成反比例C ．有可能成正比例，也有可能成反比例D ．无法确定14．已知函数y ＝(n ＋2)xn 2＋n －3(n 是常数)，当n ＝________时，此函数是反比例函数． 15．列出下列问题中的函数关系式，并判断它们是否为反比例函数．(1)某农场的粮食总产量为1 500 t ，则该农场人数y(人)与平均每人占有粮食量x(t)的函数关系式；(2)在加油站，加油机显示器上显示的某一种油的单价为每升4.75元，总价从0元开始随着加油量的变化而变化，则总价y(元)与加油量x(L)的函数关系式；(3)小明完成100 m 赛跑时，时间t(s)与他跑步的平均速度v(m/s)之间的函数关系式．16．已知函数y 与x ＋1成反比例，且当x ＝－3时，y ＝2. (1)求y 与x 的函数关系式；(2)当x ＝3时，求y 的值．17．已知函数y＝(5m－3)x2－n＋(n＋m)．(1)当m，n为何值时，为一次函数？(2)当m，n为何值时，为正比例函数？(3)当m，n为何值时，为反比例函数？综合题18．(丽水中考)如图，科技小组准备用材料围建一个面积为60 m2的矩形科技园ABCD，其中一边AB靠墙，墙长为12 m．设AD的长为x m，DC的长为y m.(1)求y与x之间的函数关系式；(2)若围成矩形科技园ABCD的三边材料总长不超过26 m，材料AD和DC的长都是整米数，求出满足条件的所有围建方案．参考答案1．C 2.C 3.D 4.A 5.D 6.B 7.B 8.B 9.B 10.C 11.y ＝21x 12.∵铺轨天数＝铁路长÷每天铺轨量，∴y＝1 200x .∴y 是x 的反比例函数． 13.B 14.1 15.(1)y ＝1 500x，是反比例函数．(2)y ＝4.75x ，不是反比例函数．(3)t ＝100v ，是反比例函数． 16.(1)由题意，设y 与x ＋1的函数关系式为y ＝k x ＋1(k≠0)，将x ＝－3，y ＝2代入，得k －3＋1＝2.解得k ＝－4.所以y 与x 的函数关系式为y ＝－4x ＋1.(2)将x ＝3代入，得y ＝－43＋1＝－1. 17.(1)由题意，得2－n ＝1，且5m －3≠0，解得n ＝1且m≠35.(2)由题意，得2－n ＝1，5m －3≠0，且m ＋n ＝0，解得n ＝1，m ＝－1.(3)由题意，得2－n ＝－1，5m －3≠0，且m ＋n ＝0，解得n ＝3，m ＝－3. 18.(1)由题意，得S矩形ABCD＝AD·DC＝xy ，故y ＝60x .(2)由y ＝60x ，且x ，y 都是正整数，可得x 可取1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60.∵2x ＋y≤26，0＜y≤12，∴符合条件的围建方案为AD ＝5 m ，DC ＝12 m 或AD ＝6 m ，DC ＝10 m 或AD ＝10 m ，DC＝6 m.第2课时 反比例函数的性质基础题知识点1 反比例函数图象的增减性1．反比例函数y ＝1x(x ＞0)的图象如图所示，随着x 值的增大，y 值( )A ．减小B ．增大C ．不变D ．先减小，后不变2．(随州中考)关于反比例函数y ＝2x 的图象，下列说法正确的是( )A ．图象经过点(1，1)B ．两个分支分布在第二、四象限C ．两个分支关于x 轴成轴对称D ．当x ＜0时，y 随x 的增大而减小3．(宁夏中考)已知两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在函数y ＝5x 的图象上，当x 1＞x 2＞0时，下列结论正确的是( )A ．0＜y 1＜y 2B ．0＜y 2＜y 1C ．y 1＜y 2＜0D ．y 2＜y 1＜04．(永州中考)已知点A(1，y 1)，B(－2，y 2)在反比例函数y ＝kx (k ＞0)的图象上，则y 1_______y 2.(填“＞”“＜”或“＝”)5．(上海中考)已知反比例函数y ＝kx (k 是常数，k ≠0)，在其图象所在的每一个象限内，y 的值随着x 的值的增大而增大，那么这个反比例函数的表达式是________________(只需写一个)．6．已知下列反比例函数：①y＝1x ；②y＝－1x ；③y＝12x ；④y ＝1－2x ；⑤y＝k 2＋1x ，在其图象所在的每个象限内，y 随x 的值的增大而增大的函数有______________(填序号)． 7．反比例函数y ＝(2m －1)xm 2－2，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，求m 的值．知识点2 反比例函数中k 的几何意义8．(宜昌中考)如图，点B 在反比例函数y ＝2x (x>0)的图象上，横坐标为1，过B 分别向x 轴，y 轴作垂线，垂足分别为A ，C ，则矩形OABC 的面积为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．49．如图，正方形ABOC 的边长为2，反比例函数y ＝kx 的图象经过点A ，则k 的值是( )A ．2B ．－2C ．4D ．－4中档题10．已知反比例函数y ＝－5x ，下列结论中不正确的是( )A ．图象必经过点(1，－5)B ．y 随x 的增大而增大C ．图象在第二、四象限内D ．若x ＞1，则－5＜y ＜011．(贵州中考)如果点A(－2，y 1)，B(－1，y 2)，C(2，y 3)都在反比例函数y ＝kx (k>0)的图象上，那么y 1，y 2，y 3的大小关系是( )A ．y 1＜y 3＜y 2B ．y 2＜y 1＜y 3C ．y 1＜y 2＜y 3D ．y 3＜y 2＜y 112．(黔东南中考)如图，正比例函数y ＝x 与反比例函数y ＝1x 的图象相交于A ，B 两点，BC ⊥x 轴于点C ，则△ABC的面积为( )A ．1B ．2 C.32 D.5213．已知反比例函数y ＝2k ＋1x (k 为常数，k ≠－12)．(1)若在这个函数图象的每一分支上，y 随x 的增大而增大，求k 的取值范围；14．(柳州中考)如图，函数y ＝kx 的图象过点A(1，2)．(1)求该函数的表达式；(2)过点A 分别向x 轴和y 轴作垂线，垂足为B 和C ，求四边形ABOC 的面积；(3)求证：过此函数图象上任意一点分别向x 轴和y 轴作垂线，这两条垂线与两坐标轴所围成矩形的面积为定值．综合题15．(苏州中考)如图，已知函数y ＝kx (x ＞0)的图象经过点A ，B ，点A 的坐标为(1，2)，过点A 作AC∥y 轴，AC ＝1(点C 位于点A 的下方)，过点C 作CD∥x 轴，与函数的图象交于点D ，过点B 作BE⊥CD，垂足E 在线段CD 上，连接OC ，OD.(1)求△OCD 的面积；(2)当BE ＝12AC 时，求CE 的长．参考答案1．A 2.D 3.A 4.＞ 5.y ＝－1x (不唯一，只要k ＜0即可) 6.②④ 7.根据题意，得m 2－2＝－1，解得m ＝±1.∵当x ＞0时，y 随x 的值的增大而增大，∴2m －1＜0.解得m ＜12.∴m ＝－1. 8.B 9.D 10.B 11.B 12.A 13.(1)∵在这个函数图象的每一分支上，y 随x 的增大而增大，∴2k ＋1<0.解得k<－12.(2)点M(3，－3)在这个函数的图象上．理由：∵当k ＝－5时，2k ＋1＝－9，∴反比例函数的表达式为y ＝－9x .当x ＝3时，y ＝－3，∴点M(3，－3)在这个函数的图象上． 14.(1)∵函数y ＝k x 的图象过点A(1，2)，∴将点A 的坐标代入反比例函数表达式，得2＝k1.解得k ＝2.∴反比例函数的表达式为y ＝2x .(2)∵点A 是反比例函数上一点，∴矩形ABOC 的面积S ＝AC·AB＝|xy|＝|k|＝2.(3)证明：设图象上任一点的坐标为(x ，y)．∴过这点分别向x 轴和y 轴作垂线，矩形面积为|xy|＝|k|＝2.∴矩形的面积为定值． 15.(1)∵y＝kx (x ＞0)的图象经过点A(1，2)，∴k ＝2.∵AC∥y 轴，AC ＝1，∴点C 的坐标为(1，1)．∵CD ∥x 轴，点D 在函数图象上，∴点D 的坐标为(2，1)．∴S △OCD ＝12×1×1＝12.(2)∵BE＝12AC ，∴BE ＝12.∵BE ⊥CD ，∴点B 的横坐标是43，纵坐标是32.∴CE ＝43－1＝13.6.3 反比例函数的应用基础题知识点1 反比例函数的实际应用1．(临沂中考)已知甲、乙两地相距20千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶时间t(单位：小时)关于行驶速度v(单位：千米/小时)的函数关系式是( ) A ．t ＝20v B ．t ＝20v C ．t ＝v 20 D ．t ＝10v2．(河北中考)一台印刷机每年可印刷的书本数量y(万册)与它的使用时间x(年)成反比例关系，当x ＝2时，y ＝20，则y 与x 的函数图象大致是( )3．某蓄水池的排水管每时排水8 m 3，6 h 可将满池水全部排空．如果增加排水管，使每时的排水量达到Q(m 3)，那么将满池水排空所需的时间为t(h)．写出t 与Q 之间的关系：________. 知识点2 反比例函数跨学科应用4．(台州中考)在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体，当改变容器的体积时，气体的密度也随之改变．密度ρ(单位：kg/m 3)与体积V(单位：m 3)满足函数关系式ρ＝k V (k 为常数，k ≠0)，其图象如图所示，则k 的值为( )A ．9B ．－9C ．4D ．－45．水平地面上重1 500 N 的物体，与地面的接触面积为x m 2，那么该物体对地面的压强y(单位：N/m 2)与地面的接触面积x(m 2)之间的函数关系可以表示为________．6．蓄电池的电压为定值．使用此电源时，电流I(A)是电阻R(Ω)的反比例函数，其图象如图所示． (1)求这个反比例函数的表达式；(2)当R ＝10 Ω时，电流能是4 A 吗？为什么？知识点3 反比例函数与一次函数的综合应用7．(广安中考)如图，一次函数y 1＝k 1x ＋b(k 1，b 为常数，且k 1≠0)的图象与反比例函数y 2＝k 2x (k 2为常数，且k 2≠0)的图象都经过点A(2，3)．则当x ＞2时，y 1与y 2的大小关系为( ) A ．y 1＞y 2 B ．y 1＝y 2C ．y 1＜y 2D ．以上说法都不对8．(枣庄中考)已知正比例函数y ＝－2x 与反比例函数y ＝kx 的图象的一个交点坐标为(－1，2)，则另一个交点的坐标为________．9．(黔南中考)如图，正比例函数y 1＝k 1x 与反比例函数y 2＝k 2x 的图象交于A ，B 两点，根据图象可直接写出当y 1＞y 2时，x 的取值范围是____________．中档题10．某种气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(kPa)是气球体积V 的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于120 kPa 时，气球将爆炸，为了安全，气球的体积应该( ) A ．不大于54 m 3 B ．小于54 m 3C ．不小于45 m 3D ．小于45m 311．随着私家车的增加，城市的交通也越来越拥挤，通常情况下，某段高架桥上车辆的行驶速度y(千米/时)与高架桥上每百米拥有车的数量x(辆)的关系如图所示，当x≥10时，y 与x 成反比例函数关系，当车速度低于20千米/时，交通就会拥堵，为避免出现交通拥堵，高架桥上每百米拥有车的数量x 应该满足的范围是________．12．(益阳中考)我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18 ℃的条件下生长最快的新品种．图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y(℃)随时间x(小时)变化的函数图象，其中BC 段是双曲线y ＝kx 的一部分．请根据图中信息解答下列问题：(1)恒温系统在这天保持大棚内温度18 ℃的时间有多少小时？(2)求k 的值；(3)当x ＝16时，大棚内的温度约为多少度？综合题13．(玉林中考)工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料烧到800 ℃，然后停止煅烧进行锻造操作，经过8 min 时，材料温度降为600 ℃.煅烧时，温度y(℃)与时间x(min)成一次函数关系；锻造时，温度y(℃)与时间x(min)成反比例函数关系(如图)．已知该材料初始温度是32 ℃. (1)分别求出材料煅烧和锻造时y 与x 的函数关系式，并且写出自变量x 的取值范围；(2)根据工艺要求，当材料温度低于480 ℃时，须停止操作．那么锻造的操作时间有多长？参考答案1．B 2.C 3.t ＝48Q 4.A 5.y ＝1 500x 6.(1)设I ＝k R (k≠0)，把(4，9)代入，得k ＝4×9＝36，∴I ＝36R .(2)当R＝10 Ω时，I ＝3.6 A ≠4 A ，∴电流不可能是4 A ． 7.A 8.(1，－2) 9.－1＜x ＜0或x ＞1 10.C 11.0＜x≤40 12.(1)恒温系统在这天保持大棚温度18 ℃的时间为10小时．(2)∵点B(12，18)在双曲线y ＝k x 上，∴18＝k12.解得k ＝216.(3)当x ＝16时，y ＝21616＝13.5，所以当x ＝16时，大棚内的温度约为13.5 ℃. 13.(1)停止加热时，设y＝k x (k≠0)，由题意得600＝k 8.解得k ＝4 800.当y ＝800时，4 800x ＝800，解得x ＝6.∴点B 的坐标为(6，800)．材料加热时，设y ＝ax ＋32(a≠0)，由题意得800＝6a ＋32，解得a ＝128.∴材料加热时，y 与x 的函数关系式为y ＝128x ＋32(0≤x≤6)；停止加热进行操作时，y 与x 的函数关系式为y ＝4 800x (6＜x≤150)．(2)把y ＝480代入y ＝4 800x ，得x ＝10，故锻造的操作时间为10－6＝4(分钟)．专题训练 反比例函数中k 的几何意义1．如图，在平面直角坐标系中，点A 是双曲线y ＝3x (x ＞0)上的一个动点，过点A 作x 轴的垂线，交x 轴于点B ，点A 运动过程中△AOB 的面积将会( ) A ．逐渐增大 B ．逐渐减小 C ．先增大后减小 D ．不变2．如图，过反比例函数y ＝2x (x ＞0)图象上任意两点A ，B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，连接OA ，OB ，设AC 与OB 的交点为E ，△AOE 与梯形ECDB 的面积分别为S 1，S 2，比较它们的大小，可得( ) A ．S 1＞S 2 B ．S 1＜S 2 C ．S 1＝S 2D ．S 1、S 2的大小关系不能确定3．(鄂州中考)点A 为双曲线y ＝kx (k ≠0)上一点，B 为x 轴上一点，且△AOB 为等边三角形，△AOB 的边长为2，则k 的值为( )A ．2 3B ．±2 3 C. 3 D ．± 34．设P 是函数y ＝2x 在第一象限的图象上的任意一点，点P 关于原点的对称点为点P ′，过点P 作PA 平行于y 轴，过点P ′作P ′A 平行于x 轴，PA 与P ′A 交于A 点，则△PAP ′的面积( ) A ．随P 点的变化而变化 B ．等于1 C ．等于2 D ．等于45．如图，点A 是反比例函数y ＝kx 图象上的一点，过点A 作AB ⊥x 轴，垂足为点B ，点C 为y 轴上的一点，连接AC ，BC.若△ABC 的面积为3，则k 的值是( ) A ．3 B ．－3 C ．6 D ．－66．(黔西南中考)如图，点A 是反比例函数y ＝kx 图象上的一个动点，过点A 作AB ⊥x 轴，AC ⊥y 轴，垂足点分别为B 、C ，矩形ABOC 的面积为4，则k ＝________．7．(陕西中考)如图，在平面直角坐标系中，过点M(－3，2)分别作x 轴，y 轴的垂线与反比例函数y ＝4x 的图象交于A ，B 两点，则四边形MAOB 的面积为________．8．(临沂中考)如图，反比例函数y ＝4x 的图象经过直角△OAB 的顶点A ，D 为斜边OA 的中点，则过点D 的反比例函数的表达式为________．9．如图，矩形ABCD 的边AB 与y 轴平行，顶点A 的坐标为(1，2)，点B 与点D 在反比例函数y ＝6x (x ＞0)的图象上，则点C 的坐标为________．10．(铁岭中考)如图，点P 是正比例函数y ＝x 与反比例函数y ＝kx 在第一象限内的交点，PA ⊥OP 交x 轴于点A ，△POA的面积为2，则k 的值是________．11．(资阳中考)如图，在平面直角坐标系中，点M 为x 轴正半轴上一点，过点M 的直线l ∥y 轴，且直线l 分别与反比例函数y ＝8x (x ＞0)和y ＝kx(x ＞0)的图象交于P 、Q 两点，若S △POQ ＝14，则k 的值为________．12．如图，已知反比例函数y ＝kx (k ＜0)的图象经过点A(－3，m)，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，且△AOB 的面积为 3.求k 和m 的值．13．反比例函数y ＝1x 和y ＝k x (k ≠0)在第一象限内的图象如图所示，点P 在y ＝kx 的图象上，PC ⊥x 轴，垂足为C ，交y ＝1x 的图象于点A ，PD ⊥y 轴，垂足为D ，交y ＝1x 的图象于点B.已知点A(m ，1)为线段PC 的中点． (1)求m 和k 的值；(2)求四边形OAPB 的面积．参考答案1．D 2.C 3.D 4.D 5.D 6.－4 7.10 8.y ＝1x 9.(3，6) 10.2 11.－20 12.设点A 的坐标为(x ，y)．∵△AOB 的面积为3，∴12|x|·|y|＝12|k|＝ 3.解得|k|＝2 3.又∵k ＜0，∴k ＝－2 3.∴反比例函数表达式为y ＝－23x .∵反比例函数图象经过点A(－3，m)，∴m ＝－23－3.解得m ＝2.综上可知：k ＝－23，m ＝2. 13.(1)把A(m ，1)代入y ＝1x ，得m ＝1，∴A 点坐标为(1，1)．∵点A(1，1)为线段PC 的中点，∴点P 坐标为(1，2)．把(1，2)代入y ＝k x ，得k ＝1×2＝2.(2)∵点P 坐标为(1，2)，∴四边形OCPD 的面积为1×2＝2.又∵△ODB 的面积为12，△OAC 的面积为12，∴四边形O APB 的面积为2－12－12＝1.专题训练 反比例函数与一次函数综合1．(益阳中考)正比例函数y ＝6x 的图象与反比例函数y ＝6x 的图象的交点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第一、三象限2．若在同一坐标系中，直线y ＝k 1x(k 1≠0)与双曲线y ＝k 2x 无交点，则有( )A ．k 1＋k 2＞0B ．k 1＋k 2＜0C ．k 1k 2＞0D ．k 1k 2＜03．(怀化中考)已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象如图，那么正比例函数y ＝kx 和反比例函数y ＝kx 在同一坐标系中的图象大致是( )4．(菏泽中考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过点A(1，0)，与反比例函数y ＝mx (x>0)的图象相交于点B(2，1)． (1)求m 的值和一次函数的表达式；(2)结合图象直接写出：当x>0时，不等式kx ＋b>mx 的解集．5．(宜昌中考)下表中，y 是x 的一次函数．x －2 1 2 5(2)已知该函数图象上一点M(1，－3)也在反比例函数y ＝mx 图象上，求这两个函数图象的另一交点N 的坐标．6．(成都中考)如图，一次函数y ＝kx ＋5(k 为常数，且k≠0)的图象与反比例函数y ＝－8x 的函数交于A(－2，b)，B 两点．(1)求一次函数的表达式；(2)若将直线AB 向下平移m(m ＞0)个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求m 的值．7．(自贡中考)如图，一次函数y ＝kx ＋b 与反比例函数y ＝6x (x ＞0)的图象交于A(m ，6)，B(3，n)两点．(1)求一次函数的表达式；(2)根据图象直接写出kx ＋b －6x ＜0的x 的取值范围；参考答案1．D 2.D 3.B 4.(1)反比例函数y ＝mx (x>0)的图象经过点B(2，1)，则m ＝1×2＝2.∵一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过点A(1，0)，B(2，1)两点，∴一次函数的表达式为y ＝x －1.(2)x>2. 5.(1)4 －6 设该一次函数为y ＝kx ＋b(k≠0)．∵当x ＝－2时，y ＝6，当x ＝1时，y ＝－3，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2k ＋b ＝6，k ＋b ＝－3.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－3，b ＝0.∴一次函数的表达式为y ＝－3x.当x ＝2时，y ＝－6；当y ＝－12时，x ＝4.(2)∵点M(1，－3)在反比例函数y ＝m x (m≠0)上，∴－3＝m1.∴m ＝－3.∴反比例函数表达式为y ＝－3x .∵⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3x ，y ＝－3x .解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝3.∴另一交点坐标为(－1，3)． 6.(1)把A(－2，b)代入y ＝－8x ，得b ＝4.∴A 点坐标为(－2，4)．把A(－2，4)代入y ＝kx ＋5，得－2k ＋5＝4.解得k ＝12.∴一次函数表达式为y ＝12x ＋5.(2)将直线AB 向下平移m(m ＞0)个单位长度得直线表达式为y ＝12x＋5－m.根据题意方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－8x ，y ＝12x ＋5－m只有一组解，消去y 得－8x ＝12x ＋5－m ，整理得12x 2－(m －5)x ＋8＝0.Δ＝(m－5)2－4×12×8＝0.解得m 1＝9，m 2＝1，即m 的值为1或9. 7.(1)∵A(m，6)，B(3，n)两点在反比例函数y ＝6x(x＞0)图象上．∴m＝1，n ＝2，即A(1，6)，B(3，2)．又∵A(1，6)，B(3，2)在一次函数y ＝kx ＋b 图象上，∴⎩⎪⎨⎪⎧6＝k ＋b ，2＝3k ＋b.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝8.∴一次函数表达式为y ＝－2x ＋8.(2)根据图象可知kx ＋b －6x <0的x 的取值范围是0＜x ＜1或x ＞3.(3)分别过A ，B 点作AE⊥x 轴，BC ⊥x 轴，垂足分别为E ，C 点，直线AB 交x 轴于D 点．令y ＝－2x ＋8＝0，得x ＝4，即D(4，0)．∵A(1，6)，B(3，2)，∴AE ＝6，BC ＝2.∴S △AOB ＝S △AOD －S △DOB ＝12×4×6－12×4×2＝8.单元测试 反比例函数(满分：150分，考试用时120分钟)一、选择题(本大题共15个小题，每小题3分，共45分) 1.下列函数中，变量y 是x 的反比例函数的是( ) A ．y ＝1x 2 B ．y ＝x －1C ．y ＝2x ＋3D ．y ＝1x－12．已知y ＝8x n －2，当n ＝________时，y 是x 的反比例函数( )A ．1B ．－1C ．1或－1D ．0 3．下列各点中，在反比例函数y ＝3x 图象上的是( )A ．(3，1)B ．(－3，1)C ．(3，13)D ．(13，3)4．若反比例函数y ＝k －1x 的图象位于第二、四象限，则k 的取值可以是( )A ．0B ．1C ．2D ．以上都不是5．对于反比例函数y ＝2x，下列说法正确的是( )A ．点(－2，1)在它的图象上B ．它的图象经过原点C ．它的图象在第一、三象限D ．当x>0时，y 随x 的增大而增大6．已知三角形的面积一定，则它底边a 上的高h 与底边a 之间的函数关系的图象大致是( )7．下面关于反比例函数y ＝－3x 与y ＝3x的说法，不正确的是( )A ．其中一个函数的图象可由另一个函数的图象沿x 轴或y 轴翻折“复印”得到B ．它们的图象都是轴对称图形C ．它们的图象都是中心对称图形D ．当x>0时，两个函数的函数值都随自变量的增大而增大 8．反比例函数y ＝kx 的图象如图所示，则k 的值可能是( )A ．－1 B.12C ．1D ．29．已知反比例函数y ＝10x ，当1＜x ＜2时，y 的取值范围是( )A ．0＜y ＜5B ．1＜y ＜2C ．5＜y ＜10D ．y ＞1010．如图，M 为反比例函数y ＝kx 的图象上的一点，MA 垂直于y 轴，垂足为点A ，△MAO 的面积为2，则k 的值为( )A ．－4B ．4C ．－2D ．211．已知直线y ＝mx 与双曲线y ＝kx 的一个交点坐标为(3，4)，则它们的另一个交点坐标为( )A ．(－3，4)B ．(－4，－3)C ．(－3，－4)D ．(4，3) 12．若y 与1x 成反比例，x 与1z 成正比例，则y 是z 的( )A ．正比例函数B ．反比例函数C ．一次函数D ．以上均不对13．若A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)是反比例函数y ＝3x 图象上的点，且x 1＜x 2＜0＜x 3，则y 1、y 2、y 3的大小关系正确的是( )A ．y 3＞y 1＞y 2B ．y 1＞y 2＞y 3C ．y 2＞y 1＞y 3D ．y 3＞y 2＞y 114．在同一直角坐标系中，函数y ＝kx ＋1与y ＝－kx(k ≠0)的图象大致是( )15．如图，A ，B 两点在双曲线y ＝4x上，分别经过A ，B 两点向轴作垂线段，已知S 阴影＝1，则S 1＋S 2＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)16．若反比例函数y ＝kx的图象经过点(－1，2)，则k 的值是________．17．小玲将一篇8 000字的社会调查报告录入电脑，那么完成录入的时间t(秒)与录入文字的速度v(字/秒)的函数关系式是________．18．已知y 是x 的反比例函数，当x>0时，y 随x 的增大而减小．请写出一个满足以上条件的函数表达式：________________________．19．如图，已知函数y ＝kx 的图象经过点A(2，2)，结合图象，请直接写出函数值y≥－2时，自变量x 的取值范围是____________．20．如图，反比例函数y ＝kx (k ＞0)的图象与矩形ABCO 的两边相交于E ，F 两点，若E 是AB 的中点，S △BEF ＝2，则k的值为________．三、解答题(本大题共7个小题，各题分值见题号后，共80分)21．(8分)已知反比例函数的图象与直线y ＝2x 相交于点A(1，a)，求这个反比例函数的表达式．22．(8分)反比例函数y ＝kx ，当x 的值由4增加到6时，y 的值减少3，求这个反比例函数的表达式．23．(10分)已知反比例函数y ＝k －1x(k 为常数，k ≠1)．(1)若在这个函数图象的每一分支上，y 随x 的增大而减小，求k 的取值范围；(2)若k ＝13，试判断点C(2，5)是否在这个函数的图象上，并说明理由．24．(12分)如图，在平面直角坐标系中，点O 为原点，反比例函数y ＝kx 的图象经过点(1，4)，菱形OABC 的顶点A在函数的图象上，对角线OB 在x 轴上．(1)求反比例函数的表达式； (2)直接写出菱形OABC 的面积．25．(12分)如图，已知反比例函数y ＝kx (k ＞0)的图象经过点A(1，m)，过点A 作AB⊥y 轴于点B ，且△AOB 的面积为1.(1)求m ，k 的值；(2)若一次函数y ＝nx ＋2(n≠0)的图象与反比例函数y ＝kx 的图象有两个不同的公共点，求实数n 的取值范围．26．(14分)一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间t(h)与行驶速度v(km/h)满足函数关系：t ＝kv ，其图象为如图所示的一段曲线，且端点为A(40，1)和B(m ，0.5)．(1)求k 和m 的值；(2)若行驶速度不得超过60 km/h ，则汽车通过该路段最少需要多少时间？27．(16分)已知：如图，反比例函数y ＝kx 的图象与一次函数y ＝x ＋b 的图象交于点A(1，4)、点B(－4，n)．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)求△OAB 的面积；(3)直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x 的取值范围．参考答案1．B 2.A 3.A 4.A 5.C 6.D 7.D 8.B 9.C 10.B 11.C 12.B 13.A 14.D 15.D 16.－2 17.t ＝8 000v 18.答案不唯一，只要k>0即可，如：y ＝2x 19.x≤－2或x ＞0 20.8 21.设反比例函数表达式为y ＝kx .将点A(1，a)代入直线y ＝2x ，得a ＝2×1＝2.∴点A 的坐标为(1，2)，代入y ＝kx ，得k ＝2.∴反比例函数的表达式为y ＝2x . 22.当x ＝4时，y ＝k 4；当x ＝6时，y ＝k 6.∵当x 的值由4增加到6时，y 的值减少3，∴k 4－k6＝3.解得k＝36.∴这个反比例函数的表达式为y ＝36x . 23.(1)∵这个函数图象的每一分支上，y 随x 的增大而减小，∴k －1＞0.解得k ＞1.(2)点C(2，5)不在这个函数的图象上．理由：∵当k ＝13时，k －1＝12，∴反比例函数的表达式为y ＝12x .当x ＝2时，y ＝6≠5，∴点C(2，5)不在这个函数的图象上． 24.(1)∵反比例函数y ＝kx 的图象经过点(1，4)，∴4＝k 1.即k ＝4.∴反比例函数的表达式为y ＝4x .(2)8. 25.(1)由已知，得S △AOB ＝12×1×m ＝1，解得m ＝2.把A(1，2)代入反比例函数表达式，得k ＝2.(2)由(1)知反比例函数表达式是y ＝2x ，由题意知2x ＝nx ＋2有两个不同的解，方程去分母，得nx 2＋2x －2＝0，则Δ＝4＋8n ＞0，解得n ＞－12且n≠0. 26.(1)将(40，1)代入t ＝k v ，得1＝k 40，解得k ＝40.∴该函数的表达式为t ＝40v .当t ＝0.5时，0.5＝40m，解得m ＝80.所以k ＝40，m ＝80.(2)令v ＝60，得t ＝4060＝23.结合函数图象可知，汽车通过该路段最少需要23小时． 27.(1)把A 点(1，4)分别代入反比例函数y ＝k x ，一次函数y ＝x ＋b ，得k ＝1×4，1＋b ＝4，解得k ＝4，b ＝3.反比例函数的表达式是y ＝4x ，一次函数表达式是y ＝x ＋3.(2)设AB 与x 轴交于点C.当x ＝－4时，y ＝－1，∴B(－4，－1)．当y ＝0时，x ＋3＝0，x ＝－3，∴C(－3，0)．∴S △AOB ＝S △AOC ＋S △BOC ＝12×3×4＋12×3×1＝152.(3)∵B(－4，－1)，A(1，4)，∴根据图象可知：当x ＞1或－4＜x ＜0时，一次函数值大于反比例函数值．。
北师大版数学九年级上册同步提优训练：6.1 反比例函数(word版 含解析)
1 反比例函数命题点1反比例函数的概念1.下列函数中不是反比例函数的是()A.y=-x3B.y=3xC.y=3x-1D.xy=12.若函数y=(m+1)x m2+3m+1是关于x的反比例函数,求m的值.命题点2利用待定系数法确定反比例函数的表达式3.已知y是x的反比例函数,且当x=2时,y=3,则该函数的表达式是()A.y=6xB.y=16x C.y=6xD.y=6x-14.已知y-2与x成反比例,且当x=2时,y=4,求y与x之间的函数表达式.命题点3实际问题中的反比例函数关系5.在温度不变的条件下,通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压,测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强,如下表:体积x(mL) 100 80 60 40 20压强y(kPa) 60 75 100 150 300则可以反映y与x之间的关系的式子是()A.y=3000xB.y=6000xC.y=3000x D.y=6000x命题点4反比例函数与其他函数的简单综合6.已知y=y1+y2,y1与x成正比例,y2与x成反比例,并且当x=1时,y=4;当x=3时,y=5.求当x=4时,y的值.7.如图E为矩形ABCD的边CD上的一个动点,BF⊥AE于点F,AB=2,BC=4,设AE=x,BF=y,求y与x之间的函数表达式,并写出x的取值范围.答案1 反比例函数1.A2.解:由函数y=(m+1)x m 2+3m+1是关于x 的反比例函数可知m 2+3m+1=-1,且m+1≠0.解得m=-2.∴m 的值是-2.3.C4.解:设y-2=kx.因为当x=2时,y=4,所以k=4,所以y-2=4x,所以y=2+4x.5.D6.解:∵y 1与x 成正比例,y 2与x 成反比例,∴设y 1=k 1x ,y 2=k2x . ∵y=y 1+y 2,∴y=k 1x+k2x .把x=1,y=4;x=3,y=5分别代入上式,得{4=k 1+k 2,5=3k 1+k 23.解得{k 1=118,k 2=218. ∴y=118x+218x .∴当x=4时,y=19732.7.解:∵在矩形ABCD 中,∠BAD=∠D=90°,∴∠BAF+∠DAE=90°. ∵BF ⊥AE ,∴∠AFB=90°. ∴∠BAE+∠ABF=90°. ∴∠ABF=∠DAE.又∵∠AFB=∠D=90°,∴△ABF ∽△EAD. ∴AB AE =BFAD ,即2x =y4.∴y=8x .当点E 与点D 重合时,AE=4;当点E 与点C 重合时,AE=√22+42=2√5,∴4≤x ≤2√5.。
北师版九年级数学上册6.2.2 反比例函数的性质 培优训练卷(含答案)
北师版九年级数学上册6.2.2 反比例函数的性质 培优训练卷（含答案）一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．反比例函数y ＝(x ＞0)的图象如图所示，随着x 值的增大，y 值()1x A ．减小 B ．增大C ．不变D ．先减小，后不变2．下列关于反比例函数y ＝－的说法正确的是()5x A ．y 随x 的增大而增大B ．函数图象过点(2，)52C ．图象位于第一、第三象限D ．x ＞0时，y 随x 的增大而增大3. 下列函数中，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小的是()A ．y ＝x B ．y ＝2x ＋1C ．y ＝－D ．y ＝4x 1x 4. 已知反比例函数y ＝－，下列结论：8x ①图象必经过(－2，4)；②图象在二、四象限内；③y 随x 的增大而增大；④当x ＞－1时，则y ＞8.其中错误的结论有()A ．3个 B ．2个C ．1个D ．0个5．在反比例函数y ＝的每一条曲线上，y 都随着x 的增大而减小，则k 的值可以是()1－k x A ．0 B ．1C ．2D ．36. 反比例函数y ＝图象上三个点的坐标为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)、(x 3，y 3)，若x 1＜x 2＜0＜x 3，则3x y 1，y 2，y 3的大小关系是 ()A ．y 1＜y 2＜y 3 B ．y 2＜y 1＜y 3C ．y 2＜y 3＜y 1D ．y 1＜y 3＜y 27. 已知反比例函数y ＝的图象上有A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)两点，且当x 1<x 2<0时，y 1<y 2，则m 5m －2x 的取值范围是( )A ．m>B ．m<－5252C ．m< D ．m>25258. 反比例函数y ＝－(x ＜0)的图象如图所示，则矩形OAPB 的面积是()3x A ．3B ．－3C. D ．－32329. 如图，点B 在反比例函数y ＝(x ＞0)的图象上，横坐标为1，过点B 分别向x 轴、y 轴作垂线，2x 垂足分别为A ，C ，则矩形OABC 的面积为()A ．1B ．2C ．3D ．410．如图，在平面直角坐标系中，点A 是x 轴正半轴上的一个定点，点B 是双曲线y ＝(x>0)上的3x 一个动点，当点B 的横坐标逐渐增大时，△OAB 的面积将会()A ．逐渐增大B ．不变C ．逐渐减小D ．先增大后减小二．填空题（共8小题，3*8=24）11．已知点A(1，y 1)，B(－2，y 2)在反比例函数y ＝(k ＞0)的图象上，则y 1________y 2.(填“＞”“＜”k x 或“＝”)12．已知反比例函数y ＝，当x ＞3时，y 的取值范围是__________________．6x13. 已知反比例函数y ＝(k≠0)的图象过点(－1，2)，则当_______时，y 随x 的增大而增大．k x 14. 若点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)都是反比例函数y ＝－图象上的点，并且y 1＜0＜y 2，则x 1，x 2与0的大6x 小关系为__________.15. 如图，反比例函数y ＝(k 为常数，k≠0)的图象经过点A ，过A 点作AB ⊥x 轴，垂足为B.若△k x AOB 的面积为1，则k ＝_________．16. 如图，菱形ABCD 的面积为6，边AD 在x 轴上，边BC 的中点E 在y 轴上，反比例函数y ＝的图象经过顶点B ，则k 的值为_________．k x17. 如图，A ，B 是反比例函数y ＝在第一象限内的图象上的两点，且A ，B 两点的横坐标分别是24x 和4，则△OAB 的面积是__________.18．如图，点A 、B 是双曲线y ＝上的点，分别过点A 、B 作x 轴和y 轴的垂线段，若图中阴影部6x 分的面积为2，则两个空白矩形面积的和为__________．三．解答题（共7小题，46分）19．(6分) 如图，双曲线y ＝的图象经过A(1，2)，B(2，b)两点．k x (1)求双曲线的表达式；(2)试比较b 与2的大小．20．(6分) 如图，点A ，B 是反比例函数y ＝(x ＞0)图象上的两点，过点A ，B 分别作AC ⊥x 轴于k x 点C ，BD ⊥x 轴于点D ，连接OA ，BC ，已知点C(2，0)，BD ＝2，S △BCD ＝3，求S △AOC 的值．21．(6分) 如图，直线y ＝k 1x ＋b 与双曲线y ＝相交于点A(1，2)，B(m ，－1)两点．k2x (1)分别求直线和双曲线的表达式；(2)若A 1(x 1，y 1)，A 2(x 2，y 2)，A 3(x 3，y 3)为双曲线上的三点，且x 1<x 2<0<x 3，请直接写出y 1，y 2，y 3的大小关系．22．(6分) 如图，已知反比例函数y ＝(k≠0)的图象经过点A(－2，8)．k x (1)求这个反比例函数的表达式；(2)若(2，y 1)，(4，y 2)是这个反比例函数图象上的两个点，请比较y 1，y 2的大小，并说明理由．23．(6分) 反比例函数y ＝和y ＝(k≠0)在第一象限内的图象如图所示，点P 在y ＝的图象上，1x k x k x PC ⊥x 轴，垂足为C ，交y ＝的图象于点A ，PD ⊥y 轴，垂足为D ，交y ＝的图象于点B.1x 1x 已知点A(m ，1)为线段PC 的中点．(1)求m 和k 的值；(2)求四边形OAPB 的面积．24．(8分) 如图，A ，B 两点在反比例函数y ＝(x ＞0)的图象上，其中k ＞0，AC ⊥y 轴于点k x C ，BD ⊥x 轴于点D ，且AC ＝1.(1)若k ＝2，则AO 的长为____，△BOD 的面积为___；(2)若点B 的横坐标为k ，且k ＞1，当AO ＝AB 时，求k 的值．25．(8分) 如图，已知点A 在反比例函数y ＝(x ＞0)的图象上，作Rt △ABC ，边BC 在x 轴上，k x 点D 为斜边AC 的中点，连接DB 并延长交y 轴于点E ，若△BCE 的面积为4.(1)求证：△BOE ∽△CBA ；(2)求反比例函数的表达式．参考答案：1-5ADDBA 6-10BCABC11. ＞12. 0＜y ＜213. x ＞014.x 2＜0＜x 115. -216. 317．318. 819. 解：(1)因为点A(1，2)在函数y ＝上，k x 所以2＝，即k ＝2，k 1所以双曲线的表达式为y ＝2x(2)由函数y ＝的性质可得在第一象限y 随x 的增大而减小，2x 因为2>1，所以b<220. 解：∵BD ⊥CD ，BD ＝2，∴S △BCD ＝BD·CD ＝3，∴CD ＝3.12又∵C(2，0)，∴OC ＝2，∴OD ＝OC ＋CD ＝2＋3＝5，∴B(5，2)．将点B(5，2)代入y ＝，得k ＝10，k x ∴S △AOC ＝|k|＝×10＝5121221. 解：(1)∵y ＝过点A(1，2)，k2x ∴k 2＝2，∴y ＝，2x 当y ＝－1时，m ＝－2，∴y ＝k 1x ＋b 过点A(1，2)，B(－2，－1)，∴k 1＝1，b ＝1，∴y ＝x ＋1 (2)y 2<y 1<y 322. 解：(1)把(－2，8)代入y ＝，k x 得8＝，解得k ＝－16.k－2∴这个反比例函数的表达式为y ＝－.16x (2)y 1＜y 2.理由如下：∵k ＝－16＜0，∴在每一个象限内，函数值y 随x 值的增大而增大．∵点(2，y 1)，(4，y 2)都在第四象限，且2＜4，∴y 1＜y 2.23. 解：(1)把A(m ，1)代入y ＝，得m ＝1，∴A(1，1)．1x ∵点A(m ，1)为线段PC 的中点，∴P(1，2)．把P(1，2)代入y ＝，得k ＝1×2＝2k x (2)S 四边形OAPB ＝S 四边形OCPD －S △ODB －S △OAC＝|k|－×1－×11212＝2－－1212＝124. 解：(1) ，15 (2)∵A ，B 两点在函数y ＝(x ＞0)的图象上，kx ∴A(1，k)，B(k ，1)，∴AO ＝.延长CA ，DB 交于点E ，则E(k ，k)，12＋k2∴AE ＝k －1，BE ＝k －1，∠AEB ＝90°，∴AB ＝.（k －1）2＋（k －1）2∵AO ＝AB ，∴＝，解得k ＝2＋或k ＝2－.12＋k2（k －1）2＋（k －1）233∵k ＞1，∴k ＝2＋325. 解：(1)证明：∵BD 为Rt △ABC 的斜边AC 上的中线，∴BD ＝DC ，∴∠DBC ＝∠ACB.又∵∠DBC ＝∠EBO ，∴∠EBO ＝∠ACB.又∵∠BOE ＝∠CBA ＝90°，∴△BOE ∽△CBA(2)由(1)可知△BOE ∽△CBA ，∴＝，∴BC·OE ＝BO·AB.BO BC OEAB 又∵S △BEC ＝4，∴BC·EO ＝4，12∴BO·AB ＝BC·OE ＝8，∴|k|＝8，∴k ＝±8.又∵反比例函数图象在第一象限，k ＞0，∴k ＝8，∴y ＝8x。
2024-2025北师大版九年级(上)第六单元 反比例函数 单元测试卷(含答案)
第六单元反比例函数测试卷(时间:100分钟 满分:120分)一、选择题(每小题3分，共30分，下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的)1.下列函数中，y 是x 的反比例函数的是 ( )A. x(y-1)=1B.y =1x +1 C.y =1x2 D.y =13x 2.已知甲、乙两地相距s( km)，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t(h)与行驶速度 v( km/h)的函数关系图象大致是 ( )3.已知反比例函数 y =kx(k ≠0)的图象经过点(2，3)，若点(1，n)在反比例函数的图象上，则n 等于( )A.(-2,3)B.(-2,-3)C.(2,3)D.(3,2)5.已知反比例函数 y =−3x,则下列描述不正确的是 ( )A.图象位于第二、第四象限B.图象必经过点(-3,1)C.图象不可能与坐标轴相交D. y 随x 的增大而增大6.如果等腰三角形的面积为10，底边长为x ，底边上的高y ，则y 与x 的函数关系式为( ）A.y =10xB.y =5xC.y =20xD.y =x 207.如图，在同一平面直角坐标系中，直线y =k ₁x (k ₁≠0)与双曲线y =k 2x(k 2≠0)相交于A ，B 两点，已知点 A 的坐标为(1,2),则点B 的坐标为 ( )A.(-1,-2) B.(-2,-1) C.(-1,-1) D.(-2,-2)8.如图所示，A ，B 是函数 y =1x的图象上关于原点O 的任意一对对称点,AC 平行于y 轴,BC平行于x 轴,△ABC 的面积为S ，则 ( )A. S=1 B. S=2 C.1<S<2 D. S>29.在同一直角坐标系中，函数y= kx-k 与 y =kx (k ≠0)的图象大致是 ( )10.如图，在第一象限内，A 是反比例函数y= k1x (k 1⟩0)图象上的任意一点，AB 平行于 y 轴交反比例函数 y =k 2x(k 2<0)的图象于点 B ，作以 AB 为边的平行四边形 ABCD,其顶点 C,D在 y 轴上,若 S ABCD =7,则这两个反比例函数可能是 ( )A.y =2x 和y =−3x B.y =3x 和y =−4x C.y =4x 和y =−5x D.y =5x和y =−6x 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)11.反比例函数 y =(m +2)x m 2−10的图象分布在第二、四象限内,则m 的值为 .12.若A(-2,y ₁),B(--1,y ₂),C(1,y ₃)三点都在函数 y =kx(k<0)的图象上,则 y ₁,y ₂,y ₃的大小关系是 (用“>”“<”或“=”连接)。
北师大版2020九年级数学上册第六章反比例函数自主学习培优测试卷B(附答案详解)
北师大版2020九年级数学上册第六章反比例函数自主学习培优测试卷B（附答案详解）1．已知点（3，﹣4）在反比例函数kyx=的图象上，则下列各点也在该反比例函数图象上的是（）A．（3，4）B．（﹣3，﹣4）C．（﹣2，6）D．（2，6）2．已知点A（2，－3）和点B（a，6）都在反比例函数y=的图象上，则a的值为（）A．－1 B．－2 C．1 D．－43．已知一个反比例函数的图像经过点A（3，﹣4），那么不在这个函数图像上的点是（）A．（﹣3，﹣4）B．（﹣3，4）C．（2，﹣6）D．（22，﹣122）4．如图，将矩形ABCO放在直角坐标系中，其中顶点B的坐标为(10， 8)，E是BC边上一点将△ABE沿AE折叠，点B刚好与OC边上点D重合，过点E的反比例函数y=k x的图象与边AB交于点F, 则线段AF的长为( )A．154B．2 C．158D．325．正比例函数y＝2x与反比例函数y＝的图象有一个交点为(2，4)，则另一个交点的坐标为( )A．(2，－4) B．(－2，－4) C．(－2，4) D．(－2，－2)6．已知函数y＝(m＋1)25x m-是反比例函数，且其图象在第二、四象限内，则m的值是( )A．2B．－2C．±2D．－1 27．矩形OABC在平面直角坐标系中如图，已知AB=10，BC=8，EB是C上一点，将△ABE 沿AE折叠，点B刚好与OC边上点D重合，过点E的反比例函数y=kx（k＞0）与AB相交于点F，则线段AF的长为（）A．158B．154C．2 D．3 28．在同一直角坐标系中，函数(0)ky k x=≠与(0)y kx k k =+≠的图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ．9．关于反比例函数y ＝﹣3x，下列说法不正确的是（ ） A ．点（3，﹣1）在它的图象上 B ．它的图象在第二、四象限 C ．当x ＞3时，﹣1＜y ＜0 D ．当x ＞0时，y 随x 的增大而减小10．若反比例函数()0ky k x=≠的图象经过点()23-，，则k 的值为()A ．5B ．5-C ．6D ．6-11．已知函数1y x=的图象过点()11,x y ，()22,x y ，且210x x >>，试比较1y 、2y 的大小：1y ________2y ． 12．已知反比例函数5ky (k 0)x=>的图象与一次函数()y k x k =-的图象在第一象限交于点A ，且点A 的纵坐标为4，则反比例函数的解析式为________ 13．若点()12,A y -、()21,B y -在反比例函数1y x=图象上，则1y 、2y 大小关系是________．14．函数y=－56x的图象位于_________象限，且在每个象限内y 随x 的增大而_________. 15．如图，在平面直角坐标系中，点A 在函数(0,0)ky k x x=<<的图象上，过点A 作//AB y 轴交x 轴于点B ，点C 在y 轴上，连结AC 、BC ．若ABC 的面积是3，则k =________．16．在双曲线23k y x+=上有三个点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），若x 1＜x 2＜0＜x 3，则y 1，y 2 ，y 3的大小关系是______________．（用“＜”连接） 17．如图，在平面直角坐标系中，直线44y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，以AB 为边在第一象限内作正方形ABCD ，顶点D 在双曲线ky x=上，将该正方形沿x 轴负方向平移a 个单位长度后，顶点C 恰好落在双曲线ky x=上，则a 的值是_________．18．如图，点A 是双曲线y=kx（x ＞0）上的一点，连结OA ，在线段OA 上取一点B ，作BC⊥x 轴于点C ，以BC 的中点为对称中心，作点O 的中心对称点O′，当O′落在这条双曲线上时，OBOA=________．19．点（x 1，y 1），（x 2，y 2），（x 3，y 3）在2y x=的图象上，若1230x x x <<<，则1y ，2y ，3y 的大小关系（用“<”连接）是______________.20．如图，直线(0)y kx k =>与双曲线4y x=交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，则122127x y x y -＝______．21．如图,已知一次函数y 1=kx+b 的图象与反比例函数2ky x=的图象交于A 、B 两点, 且点A 的坐标为（-2,3），点B 的纵坐标是-2,求: (1)一次函数与反比例函数的解析式;（2）利用图像指出，当x 为何值时有1y >2y ；当x 为何值时有1y ＜2y （3）利用图像指出，当x >3时2y 的取值范围。
九年级数学反比例函数的专项培优练习题(含答案)附详细答案
九年级数学反比例函数的专项培优练习题(含答案)附详细答案一、反比例函数1．在平面直角坐标系内，双曲线：y= （x＞0）分别与直线OA：y=x和直线AB：y=﹣x+10，交于C，D两点，并且OC=3BD．（1）求出双曲线的解析式；（2）连结CD，求四边形OCDB的面积．【答案】（1）解：过点A、C、D作x轴的垂线，垂足分别是M、E、F，∴∠AMO=∠CEO=∠DFB=90°，∵直线OA：y=x和直线AB：y=﹣x+10，∴∠AOB=∠ABO=45°，∴△CEO∽△DEB∴= =3，设D（10﹣m，m），其中m＞0，∴C（3m，3m），∵点C、D在双曲线上，∴9m2=m（10﹣m），解得：m=1或m=0（舍去）∴C（3，3），∴k=9，∴双曲线y= （x＞0）（2）解：由（1）可知D（9，1），C（3，3），B（10，0），∴OE=3，EF=6，DF=1，BF=1，∴S四边形OCDB=S△OCE+S梯形CDFE+S△DFB= ×3×3+ ×（1+3）×6+ ×1×1=17，∴四边形OCDB的面积是17【解析】【分析】（1）过点A、C、D作x轴的垂线，垂足分别是M、E、F，由直线y=x和y=﹣x+10可知∠AOB=∠ABO=45°，证明△CEO∽△DEB，从而可知 = =3，然后设设D（10﹣m，m），其中m＞0，从而可知C的坐标为（3m，3m），利用C、D在反比例函数图象上列出方程即可求出m的值．（2）求分别求出△OCE、△DFB△、梯形CDFE的面积即可求出答案．2．给出如下规定：两个图形G1和G2，点P为G1上任一点，点Q为G2上任一点，如果线段PQ的长度存在最小值，就称该最小值为两个图形G1和G2之间的距离．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点．（1）点A的坐标为A（1，0），则点B（2，3）和射线OA之间的距离为________，点C （﹣2，3）和射线OA之间的距离为________；（2）如果直线y=x+1和双曲线y= 之间的距离为，那么k=________；（可在图1中进行研究）（3）点E的坐标为（1，），将射线OE绕原点O顺时针旋转120°，得到射线OF，在坐标平面内所有和射线OE，OF之间的距离相等的点所组成的图形记为图形M．①请在图2中画出图形M，并描述图形M的组成部分；（若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示）．②将射线OE，OF组成的图形记为图形W，直线y=﹣2x﹣4与图形M的公共部分记为图形N，请求出图形W和图形N之间的距离．【答案】（1）3；（2）﹣4（3）解：①如图，x轴正半轴，∠GOH的边及其内部的所有点（OH、OG分别与OE、OF垂直），；②由①知OH所在直线解析式为y=﹣ x，OG所在直线解析式为y= x，由得，即点M（﹣，），由得：，即点N（﹣，），则﹣≤x≤﹣，图形N（即线段MN）上点的坐标可设为（x，﹣2x﹣4），即图形W与图形N之间的距离为d，d===∴当x=﹣时，d的最小值为 = ，即图形W和图形N之间的距离．【解析】【解答】解：（1）点（2，3）和射线OA之间的距离为3，点（﹣2，3）和射线OA之间的距离为 = ，故答案分别为：3，；（2）直线y=x+1和双曲线y= k x 之间的距离为，∴k＜0（否则直线y=x+1和双曲线y= 相交，它们之间的距离为0）．过点O作直线y=x+1的垂线y=﹣x，与双曲线y= 交于点E、F，过点E作EG⊥x轴，如图1，由得，即点F（﹣，），则OF= = ，∴OE=OF+EF=2 ，在Rt△OEG中，∠EOG=∠OEG=45°，OE=2 ，则有OG=EG= OE=2，∴点E的坐标为（﹣2，2），∴k=﹣2×2=﹣4，故答案为：﹣4；【分析】（1）由题意可得出点B（2，3）到射线OA之间的距离为B点纵坐标，根据新定义得点C（﹣2，3）和射线OA之间的距离；（2）根据题意即可得k＜0（否则直线y=x+1和双曲线y= k x 相交，它们之间的距离为0）．过点O作直线y=x+1的垂线y=﹣x，与双曲线y= k x 交于点E、F，过点E作EG⊥x 轴，如图1，将其联立即可得点F坐标，根据两点间距离公式可得OF长，再由OE=OF+EF 求出OE长，在Rt△OEG中，根据等腰直角三角形的性质可得点E的坐标为（﹣2，2），将E点代入反比例函数解析式即可得出k值.（3）①如图，x轴正半轴，∠GOH的边及其内部的所有点（OH、OG分别与OE、OF垂直）；②由①知OH所在直线解析式为y=﹣ x，OG所在直线解析式为y= x，分别联立即可得出点M、N坐标，从而得出x取值范围，根据题意图形N（即线段MN）上点的坐标可设为（x，﹣2x﹣4），从而求出图形W与图形N之间的距离为d，由二次函数性质知d 最小值.3．如图，已知直线y＝ x与双曲线y＝交于A、B两点，且点A的横坐标为 .（1）求k的值；（2）若双曲线y＝上点C的纵坐标为3，求△AOC的面积；（3）在坐标轴上有一点M，在直线AB上有一点P，在双曲线y＝上有一点N，若以O、M、P、N为顶点的四边形是有一组对角为60°的菱形，请写出所有满足条件的点P的坐标.【答案】（1）解：把x= 代入，得y= ，∴A（，1），把点代入，解得：；（2）解：∵把y=3代入函数，得x= ，∴C ，设过，两点的直线方程为：，把点，，代入得：，解得：，∴，设与轴交点为，则点坐标为，∴；（3）解：设点坐标，由直线解析式可知，直线与轴正半轴夹角为，∵以、、、为顶点的四边形是有一组对角为的菱形，在直线上，∴点只能在轴上，∴点的横坐标为，代入，解得纵坐标为：，根据，即得：，解得： .故点坐标为：或 .【解析】【分析】（1）先求的A点纵坐标，然后用待定系数法求解即可；（2）先求出C 点坐标，再用待定系数法求的直线AC的解析式，然后求得直线AC与x的交点坐标，再根据求解即可；（3）设点坐标，根据题意用关于a的式子表示出N的坐标，再根据菱形的性质得，求出a的值即可.4．如图，在平面直角坐标系中，矩形OADB的顶点A，B的坐标分别为A（﹣6，0），B（0，4）．过点C（﹣6，1）的双曲线y= （k≠0）与矩形OADB的边BD交于点E．（1）填空：OA=________，k=________，点E的坐标为________；（2）当1≤t≤6时，经过点M（t﹣1，﹣ t2+5t﹣）与点N（﹣t﹣3，﹣ t2+3t﹣）的直线交y轴于点F，点P是过M，N两点的抛物线y=﹣ x2+bx+c的顶点．①当点P在双曲线y= 上时，求证：直线MN与双曲线y= 没有公共点；②当抛物线y=﹣ x2+bx+c与矩形OADB有且只有三个公共点，求t的值；③当点F和点P随着t的变化同时向上运动时，求t的取值范围，并求在运动过程中直线MN在四边形OAEB中扫过的面积．【答案】（1）6；-6；（﹣，4）（2）解：①设直线MN解析式为：y1=k1x+b1由题意得：解得∵抛物线y=﹣过点M、N∴解得∴抛物线解析式为：y=﹣ x2﹣x+5t﹣2∴顶点P坐标为（﹣1，5t﹣）∵P在双曲线y=﹣上∴（5t﹣）×（﹣1）=﹣6∴t=此时直线MN解析式为：联立∴8x2+35x+49=0∵△=352﹣4×8×48=1225﹣1536＜0∴直线MN与双曲线y=﹣没有公共点．②当抛物线过点B，此时抛物线y=﹣ x2+bx+c与矩形OADB有且只有三个公共点∴4=5t﹣2，得t=当抛物线在线段DB上，此时抛物线与矩形OADB有且只有三个公共点∴，得t=∴t= 或t=③∵点P的坐标为（﹣1，5t﹣）∴y P=5t﹣当1≤t≤6时，y P随t的增大而增大此时，点P在直线x=﹣1上向上运动∵点F的坐标为（0，﹣）∴y F=﹣∴当1≤t≤4时，随者y F随t的增大而增大此时，随着t的增大，点F在y轴上向上运动∴1≤t≤4当t=1时，直线MN：y=x+3与x轴交于点G（﹣3，0），与y轴交于点H（0，3）当t=4﹣时，直线MN过点A．当1≤t≤4时，直线MN在四边形AEBO中扫过的面积为S=【解析】【解答】解：（1）∵A点坐标为（﹣6，0）∴OA=6∵过点C（﹣6，1）的双曲线y=∴k=﹣6y=4时，x=﹣∴点E的坐标为（﹣，4）故答案为：6，﹣6，（﹣，4）【分析】（1）根据A点的坐标即可得出OA的长，将C点的坐标代入双曲线y=，即可求出k的值，得出双曲线的解析式，根据平行于x轴的直线上的点的坐标特点得出点E的纵坐标为4，将y=4代入双曲线的解析式即可算出对应的自变量的值，从而得出E点的坐标；（2）①用待定系数法求出直线MN解析式，将M,N两点的坐标代入抛物线y=﹣x2+bx+c，得出关于b,c的方程组，求解得出b,c的值，根据顶点坐标公式表示出P点的坐标，再将P点的坐标代入双曲线即可求出t的值，从而得出直线MN解析式，解联立直线MN解析式与双曲线的解析式组成的方程组，根据根的判别式的值小于0，得出直线MN与双曲线没有公共点；②当抛物线过点B，此时抛物线y=﹣x2+bx+c与矩形OADB有且只有三个公共点，故4=5t﹣2，求解得出t的值，当抛物线在线段DB上，此时抛物线与矩形OADB有且只有三个公共点，故,求解得出t的值，综上所述得出答案；③根据P点的坐标判断出当1≤t≤6时，y P随t的增大而增大，此时，点P在直线x=﹣1上向上运动进而表示出F点的坐标，将F点的纵坐标配成顶点式，得出当1≤t≤4时，随者y F随t的增大而增大，此时，随着t的增大，点F在y轴上向上运动，故1≤t≤4，当t=1时，直线MN：y=x+3与x轴交于点G（﹣3，0），与y轴交于点H（0，3），当t=4﹣时，直线MN过点A．根据割补法算出当1≤t≤4时，直线MN在四边形AEBO中扫过的面积。
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北师大版九年级数学反比例函数培优专题训练（含答案）【基础演练】
（1）反比例函数y＝的图象位于（）
A.第一、三象限
B.第二、三象限
C.第一、二象限
D.第二、四象限
（2）如果反比例函数y＝（a是常数）的图象在第一、三象限，那么a的取值范围是（）
A.a<0
B.a>0
C.a<2
D.a>2
（3）如图Z3-4-1，点P是反比例函数y＝（k≠0）的图象上任意一点，过点P作PM⊥x 轴，垂足为M.若△POM的面积等于2，则k的值等于（）
A.-4
B.4
C.-2
D.2
图Z3-4-1 图Z3-4-2
（4）如图Z3-4-2所示，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C为反比例函数y＝（k>0）上不同的三点，连接OA，OB，OC，过点A作AD⊥y轴于点D，过点B，C分别作BE，CF 垂直x轴于点E，F，OC与BE相交于点M，记△AOD、△BOM、四边形CMEF的面积分别为S1、S2、S3，则（）
A.S1＝S2+S3
B.S2＝S3
C.S3>S2>S1
D.S1S2<S32
（5）已知点A 是直线y ＝2x 与双曲线y ＝
（m 为常数）一支的交点，过点A 作x 轴的垂线，
垂足为B ，且OB ＝2，则m 的值为（ ）
A.-7
B.-8
C.8
D.7 （6）如图Z3-4-3，一次函数y 1＝ax+b 和反比例函数y 2＝
的图象相交于A ，B 两点，则
使y 1>y 2成立的x 取值范围是（ ）
A.-2<x<0或0<x<4
B.x<-2或0<x<4
C.x<-2或x>4
D.-2<x<0或x>4
图Z3-4-3 图Z3-4-4
（7）如图Z3-4-4，正比例函数y ＝kx 与反比例函数y ＝的图象相交于A ，C 两点，过点A 作x 轴的垂线交x 轴于点B ，连接BC ，则△ABC 的面积等于（ ）
A.8
B.6
C.4
D.2
（8）验光师测得一组关于近视眼镜的度数y （度）与镜片焦距x （米）的对应数据如下表，根据表中数据，可得y 关于x 的函数表达式为（ ）
A.y＝
B.y＝
C.y＝
D.y＝
【能力提升】
（1）如图Z3-4-5，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B 两点的纵坐标分别为4，2，反比例函数y＝（x>0）的图象经过A，B两点，若菱形ABCD 的面积为，则k的值为（）
A.2
B.3
C.4
D.6
图Z3-4-5 图Z3-4-6
（2）如图Z3-4-6，⊙O的半径为2，双曲线的解析式分别为y＝和y＝-，则阴影部分的面积是（）
A.4π
B.3π
C.2π
D.π
（3）如图Z3-4-7，正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2＝（x>0）的图象相交于点A（，），点B是反比例函数图象上一点，它的横坐标是3，连接OB，AB，则△AOB的面积是.
图Z3-4-7 图Z3-4-8
（4）教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10 ℃，加热到100 ℃停止加热，水温开始下降，此时水温y（℃）与开机后用时x（min）成反比例关系，直至水温降至30 ℃，饮水机关机，饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序.若在水温为30 ℃时接通电源，水温y（℃）与时间x（min）的关系如图Z3-4-9所示：
（1）分别写出水温上升和下降阶段y与x之间的函数关系式.
（2）怡萱同学想喝高于50 ℃的水，请问她最多需要等待多长时间?
【拓展培优】
（1）某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜.如图Z3-4-10是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y （℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB，BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段.
请根据图中信息解答下列问题：
（1）求这天的温度y与时间x（0≤x≤24）的函数关系式.
（2）求恒温系统设定的恒定温度.
（3）若大棚内的温度低于10 ℃时，蔬菜会受到伤害.问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？
图Z3-4-10
（2）长为300 m的春游队伍，以v（m/s）的速度向东行进，如图Z3-4-11①和②，当队伍排尾行进到位置O时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为2v（m/s），当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进.设排尾从位置O开始行进
的时间为
t（s），排头与O的距离为S头（m）.
①
②
图Z3-4-11
（1）当v＝2时，解答：
①求S头与t的函数关系式（不写t的取值范围）；
②当甲赶到排头位置时，求S头的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置O
的距离为S甲（m），求S甲与t的函数关系式（不写t的取值范围）.
（2）设甲这次往返队伍的总时间为T（s），求T与v的函数关系式（不写v的取值范围），并写出队伍在此过程中行进的路程.
答案；
【基础演练】
1 A.
2 D.
3 A.
4 B
5 D
6 B.
7 C
8 A
【能力提升】
1 C.
2 C. 3
4
解：（1）观察图象，可知当x＝7 min时，水温y＝100（℃）
当0≤x≤7时，设y关于x的函数关系式为y＝kx+b，
得
即当0≤x≤7时，y关于x的函数关系式为y＝10x+30，
当x>7时，设y＝，100＝，得a＝700，
即当x>7时，y关于x的函数关系式为y＝.
当y＝30时，x＝，∴ y与x的函数关系式为y＝y与x的函数关系式每min重复出现一次.
（2）将y＝50代入y＝10x+30，得x＝2，
将y＝50代入y＝，得x＝14，
∵ 14-2＝12，-12＝，
.∴ 怡萱同学想喝高于50 ℃的水，她最多需要等待 min..
【拓展培优】
1 解：（1）设线段AB的关系式为y＝k1x+b（k≠0）.
∵ 线段AB过点（0，10），（2，14），
代入得
解得
∴ AB的关系式为y＝2x+10（0≤x<5）.
∵ B在线段AB上，当x＝5时，y＝20，
∴ B坐标为（5，20），
∴ 线段BC的关系式为y＝20（5≤x<10）.
设双曲线CD的关系式为y＝（k2≠0），
∵ C（10，20）在双曲线上，
∴ k2＝200，
∴ 双曲线CD的关系式为y＝（10≤x≤24）.
∴ y关于x的函数关系式为
y＝
（2）由（1）知恒温系统设定恒温为20 ℃.
（3）把y＝10代入y＝中，
解得x＝20.
∴ 20-10＝10.
答：恒温系统最多关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害.
2 解：（1）①排尾从位置O开始行进的时间为t（s），则排头也离开原排头t（s），
∴ S头＝2t+300.
②甲从排尾赶到排头的时间为300÷（2v-v）＝300÷v＝300÷2＝150（s），此时S头＝2t+300＝600（m），
甲返回时间为（t-150）s，
∴ S甲＝S头-S甲回＝2×150+300-4（t-150）＝-4t+1 200.
因此，S头与t的函数关系式为S头＝2t+300，当甲赶到排头位置时，求S的值为600 m，在甲从排头返回到排尾过程中，
S甲与t的函数关系式为S甲＝-4t+1 200.
（2）T＝t追及+t返回＝+＝，在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程为v×＝400.
因此T与v的函数关系式为T＝，此时队伍在此过程中行进的路程为400 m.。