2020届上海市徐汇区2017级高三二模考试数学试卷及答案
2020届上海市徐汇区高考二模数学模拟试题有答案(加精)
第二学期徐汇区学习能力诊断卷高三数学一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．已知全集R U =，集合{}0322>--=x x x A ，则=A C U .2．在61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项是.3．函数()lg(32)x x f x =-的定义域为_____________．4．已知抛物线2x ay =的准线方程是14y =-，则a =.5．若一个球的体积为323π，则该球的表面积为_________．6．已知实数x y ，满足001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，，．则目标函数z x y =-的最小值为___________．7．函数()2sin cos 1()11x x f x +-=的最小正周期是___________．8．若一圆锥的底面半径为3，体积是12π，则该圆锥的侧面积等于.9．将两颗质地均匀的骰子抛掷一次，记第一颗骰子出现的点数是m ，记第二颗骰子出现的点数是n ，向量()2,2a m n =--，向量()1,1b =，则向量a b ⊥的概率．．是. 10．已知直线12:0,:20l mx y l x my m -=+--=.当m 在实数范围内变化时，1l 与2l 的交点P 恒在一个定圆上，则定圆方程是.11．若函数222(1)sin ()1x xf x x ++=+的最大值和最小值分别为M 、m ，则函数()()()sin 1g x M m x M m x =+++-⎡⎤⎣⎦图像的一个对称中心是．12．已知向量,a b 的夹角为锐角，且满足||15a =、||b =，若对任意的{}(,)(,)||1,0x y x y xa yb xy ∈+=>，都有||1x y +≤成立，则a b ⋅的最小值为.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题５分）每题有且只有一个正确选项。
2017年-上海各区-数学高三二模试卷和答案
宝山2017二模一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.若集合{}|0A x x =>，{}|1B x x =<，则A B ⋂=____________2.已知复数z1z i ⋅=+（i 为虚数单位），则z =____________ 3.函数()sin cos cos sin x x f x x x=的最小正周期是____________4.已知双曲线()2221081x y a a -=>的一条渐近线方程3y x =，则a =____________ 5.若圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形，则圆柱的体积为____________6.已知,x y 满足0220x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最大值是____________7.直线12x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）与曲线3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的交点个数是____________8.已知函数()()()220log 01xx f x x x ⎧≤⎪=⎨<≤⎪⎩的反函数是()1f x -，则12f -1⎛⎫= ⎪⎝⎭____________9.设多项式()()()()23*11110,nx x x x x n N ++++++++≠∈的展开式中x 项的系数为n T ，则2limnn T n →∞=____________10.生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生的概率分别为0.01和p ，每道工序产生废品相互独立，若经过两道工序得到的零件不是废品的概率是0.9603，则p =____________11.设向量()(),,,m x y n x y ==-，P 为曲线()10m n x ⋅=>上的一个动点，若点P 到直线10x y -+=的距离大于λ恒成立，则实数λ的最大值为____________12.设1210,,,x x x 为1,2,,10的一个排列，则满足对任意正整数,m n ，且110m n ≤<≤，都有m n x m x n +≤+成立的不同排列的个数为____________二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.设,a b R ∈，则“4a b +>”是“1a >且3b >”的（ ） A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件14.如图，P 为正方体1111ABCD A B C D -中1AC 与1BD 的交点，则PAC 在该正方体各个面上的射影可能是（ ）A. ①②③④B.①③C. ①④D.②④15.如图，在同一平面内，点P 位于两平行直线12,l l 同侧，且P 到12,l l 的距离分别为1，3.点,M N 分别在12,l l 上，8PM PN +=，则PM PN ⋅的最大值为（ ）A. 15B. 12C. 10D. 916.若存在t R ∈与正数m ，使()()F t m F t m -=+成立，则称“函数()F x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”，设()()20x f x x xλ+=>，若对于任意()2,6t ∈，总存在正数m ，使得“函数()f x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”，则实数λ的取值范围是（ ）A. (]0,2B. (]1,2C. []1,2D. []1,4三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是线段BC 、1CD 的中点. （1）求异面直线EF 与1AA 所成角的大小； （2）求直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小.18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知抛物线()220y px p =>，其准线方程为10x +=，直线l 过点()(),00T t t >且与抛物线交于A 、B 两点，O 为坐标原点.（1）求抛物线方程，并证明：OA OB ⋅的值与直线l 倾斜角的大小无关； （2）若P 为抛物线上的动点，记PT 的最小值为函数()d t ，求()d t 的解析式.19.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）对于定义域为D 的函数()y f x =，如果存在区间[](),m n D m n ⊆<，同时满足：①()f x 在[],m n 内是单调函数；②当定义域是[],m n 时，()f x 的值域也是[],m n 则称函数()f x 是区间[],m n 上的“保值函数”.（1）求证：函数()22g x x x =-不是定义域[]0,1上的“保值函数”；（2）已知()()2112,0f x a R a a a x=+-∈≠是区间[],m n 上的“保值函数”，求a 的取值范围.20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）数列{}n a 中，已知()12121,,n n n a a a a k a a ++===+对任意*n N ∈都成立，数列{}n a 的前n 项和为n S .（这里,a k 均为实数） （1）若{}n a 是等差数列，求k ； （2）若11,2a k ==-，求n S ; （3）是否存在实数k ，使数列{}n a 是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项12,,m m m a a a ++按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k 的值；若不存在，请说明理由.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）设T,R 若存在常数0M >，使得对任意t T ∈，均有t M ≤，则称T 为有界集合，同时称M 为集合T 的上界.（1）设121|,21x xA y y x R ⎧⎫-==∈⎨⎬+⎩⎭、21|sin 2A x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，试判断1A 、2A 是否为有界集合，并说明理由；（2）已知()2f x x u =+，记()()()()()()11,2,3,n n f x f x f x f f x n -===.若m R ∈，1,4u ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，且(){}*|n B f m n N =∈为有界集合，求u 的值及m 的取值范围；（3）设a 、b 、c 均为正数，将()2a b -、()2b c -、()2c a -中的最小数记为d ，是否存在正数()0,1λ∈，使得λ为有界集合222{|,dC y y a b c ==++a 、b 、c 均为正数}的上界，若存在，试求λ的最小值；若不存在，请说明理由.宝山区答案1.(0,1)2.13. π4.35. 5.16. 37. 28. 19.1210. 0.03 11.212.512 13. B14. C15.A16.A17. （1） （2）arctan 218.（1）24y x =，证明略（2）2)(t),(0t 2)d t ⎧≥⎪=⎨<<⎪⎩19. （1）证明略（2）12a或32a 20. （1）12k =（2）2(21,),(2,)n n n k k N S n n k k N **⎧-=-∈=⎨=∈⎩ （3）25k =-21.（1）1A 为有界集合，上界为1；2A 不是有界集合 （2）14u =，11,22m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ （3）15λ=解析：（2）设()()011,,,1,2,3,...n n a m a f m a f a n -====，则()n n a f m =∵()2114a f m m u ==+≥，则222111111024a a a a u a u ⎛⎫-=-+=-+-≥ ⎪⎝⎭且211111024n n n n n a a a u a a ---⎛⎫-=-+-≥⇒≥ ⎪⎝⎭若(){}*|N n B f m n =∈为有界集合，则设其上界为0M ，既有*0,N n a M n ≤∈∴()()()112211112211......n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a ------=-+-++-+=-+-++-+2222121111111...242424n n a u a u a u m u --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-++-+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭222212111111...22244n n a a a m n u u n u u --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-++-+≥-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦若0n a M ≤恒成立，则014n u u M ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭恒成立，又11044u u ≥⇒-≥ ∴14u =，∴()214f x x =+ 设12m λ=+（i ）0λ>，则()22101011112422a a f m m a a λλλ⎛⎫⎛⎫-=-=++-+=⇒>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴111...2n n a a a m ->>>>>记()()212g x f x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则当1212x x >>时，()()12g x g x >∴()()()2111110n n n n n g a f a a a a g m a a λ----=-=->=-=∴()211n a a n λ>+-，若0na M ≤恒成立，则0λ=，矛盾。
11.2017-2020上海市高三数学二模分类汇编：排列组合
4（2018普陀二模）. 书架上有上、中、下三册的《白话史记》和上、下两册的《古诗文鉴赏辞典》，现将这五本书从左到右摆放在一起，则中间位置摆放中册《白话史记》的不同摆放种数为 （结果用数值表示）
4（2019浦东二模）. 平面上有12个不同的点，其中任何3点不在同一直线上，如果任取3点作为顶点作三角形，那么一共可作 个三角形（结果用数值表示）
7（2018宝山二模）. 在报名的8名男生和5名女生中，选取6人参加志愿者活动，要求男、女都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）
11（2018松江二模）. 设1234,,,{1,0,2}x x x x ∈-，那么满足12342||||||||4x x x x ≤+++≤的所有有序数对1234(,,,)x x x x 的组数为
11（2020徐汇二模）. 如图为某街区道路示意图，图中的实线为道路，每段
道路旁的数字表示单向通过此段道路时会遇见的行人人数，
在防控新冠肺炎疫情期间，某人需要从A 点由图中的道路
到B 点，为避免人员聚集，此人选择了一条遇见的行人总
人数最小的从A 到B 的行走线路，则此人从A 到B 遇见
的行人总人数最小值是。
2020上海高三数学二模汇编-解析几何含答案
解析几何一、直线1、【2020年闵行区二模第3题】若直线10ax by ++=的方向向量为(1,1)，则此直线的倾斜角为 【答案：4π】 2、【2020年黄浦区二模第4题】若直线1:350l ax y +-=与2:210l x y +-=互相垂直，则实数a 的值为 【答案： 6- 】3、【2020年金山区二模第13题】已知直角坐标平面上两条直线的方程分别为1111:0l a x b y c ++=，2222:0l a x b y c ++=，那么“11220a b a b =”是“两直线1l 、2l 平行”的( )． （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件 【答案：B 】4、【2020年徐汇区二模第8题】已知直线(2)(1)30a x a y ++--=的方向向量是直线(1)(23)20a x a y -+++= 的法向量，则实数a 的值为 .【答案：11或- 】5、【2020年松江区二模第13题】若为坐标原点，是直线上的动点，则的最小值为（ ） (A)(B)(C)(D)【答案：B 】6、【2020年金山区二模第12题】设*n ∈N ，n a 为()(2)1nn x x +-+的展开式的各项系数之和，162m t =-+，，1222...333n n n a a na b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（[x ]表示不超过实数x 的最大整数），则()22()n n t b m -+-的最小值为___________.O P 20-+=x y OP 2R t ∈【答案：95解析：赋值法，令1x =，∴32nnn a =-，∴(32)2[][][()]333n n nn n nna n n n -==-⋅， 可用计算器分析2()3n n ⋅单调性及范围，可知2()(0,1)3n n ⋅∈，∴[]13n n na n =-，∴(1)2n n n b -=，22()()n n t b m -+-的 几何意义为点(,)n n b 到点(,)t m 的距离的平方，如图所示， 当3n =时，点(3,3)到直线162y x =-+的距离最小， ∴min 22512d ==+，即2min95d =。
2017-2018届上海市徐汇区高三4月学习能力诊断(二模)文科数学试题及答案
2017-2018学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（文科）4一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分． 1．已知集合1=1,22A ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，集合{}2=|,B y y x x A =∈，则A B = ．2．若复数i i z (21-=为虚数单位），则=+⋅z z z ．3．已知直线l 的一个法向量是(1,n =，则此直线的倾斜角的大小为 ．4．某中学采用系统抽样的方法从该校高一年级全体800名学生中抽取50名学生进行体能测试．现将800名学生从1到800进行编号，求得间隔数1650800==k ．若从16~1中随机抽取1个数的结果是抽到了7，则在编号为48~33的这16个学生中抽取的一名学生其编号应该是 ．5．已知函数cos y x =与sin(2)(0)y x ϕϕπ=+≤≤的图像有一个横坐标为3π的交点，则常数ϕ的值为 ．6．设函数)12(log )(2+=x x f ，则不等式)(2x f 12(log 5)f -≤的解为 ．7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1515S =，则8a 的值为 ．8．从2位男同学和8位女同学中选两人参加志愿者活动，假设每位同学选到的可能性都相同，则选到两位性别相同的同学的概率是 ．（结果用最简分数表示）9．执行如图所示的程序框图，输出的结果a = ．10．矩阵1211222232332123i n i n i n n ni nn a a a a a a a a a n a a a ⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭中每一行都构成公比为2的等比数列，第i 列各元素之和为i S ，则2lim 2nnn S n →∞=⋅ ． 11．一个正三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的体积是 ．12．设)(x f 是定义域为R 的奇函数，)(x g 是定义域为R 的偶函数，若函数)()(x g x f +的值域为)3,1[，则函数)()(x g x f -的值域为 ．13．ABC ∆所在平面上一点P 满足PA PC AB +=，若ABP ∆的面积为6，则ABC ∆的面积为 ．14．对于曲线C 所在平面上的定点0P ，若存在以点0P 为顶点的角α，使得0AP B α≥∠对于曲线C 上的任意两个不同的点B A ,恒成立，则称角α为曲线C 相对于点0P 的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线C 相对于点0P 的“确界角”．曲线:C y =相对于坐标原点O 的“确界角”的大小是 ．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得0分． 15．“1arcsin3α=”是“1sin 3α=”的（ ） 俯视图左视图主视图21（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件16．下列不等式中，与不等式302x x-≥-同解的是（ ）（A ）()()320x x --≥ （B ）()()320x x --> （C ）203x x -≥- （D ）302x x -≥-17．曲线x y =与直线3x =围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是（ ）（A ）003x y x y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩ （B ）003x y x y x -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩ （C ）003x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩ （D ）003x y x y x -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩18．已知函数()2sin f x xx =⋅．给出下列三个命题：(1)()f x 是定义域为R 的奇函数； (2)()f x 在22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增；(3)对于任意的12,22x x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，都有()()()12120x x f x f x ++≥⎡⎤⎣⎦． 其中真命题的序号是（ ）（A ）(1)(2) （B ）(1)(3) （C ） (2)(3) （D ）(1)(2)(3)三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19．(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．如图，在Rt AOB ∆中，6OAB π∠=，斜边4AB =，D是AB 的中点．现将Rt AOB ∆以直角边AO 为轴旋转一周得到一个圆锥，点C 为圆锥底面圆周上的一点，且2BOC π∠=．（1）求该圆锥的全面积；（2）求异面直线AO 与CD 所成角的大小． （结果用反三角函数值表示） 20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．在ABC∆中，角,,A B C所对的边分别为,,a b c，且cos cos 2cos a C c A b A +=．（1）求角A 的大小； （2）若2a c ==，求ABC ∆的面积．21．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．用细钢管焊接而成的花坛围栏构件如S RPQDCBAO右图所示，它的外框是一个等腰梯形PQRS ，内部是一段抛物线和一根横梁．抛物线的顶点与梯形上底中点是焊接点O ，梯形的腰紧靠在抛物线上，两条腰的中点是梯形的腰、抛物线以及横梁的焊接点,A B ，抛物线与梯形下底的两个焊接点为,C D ．已知梯形的高是40厘米，C D 、两点间的距离为40厘米．（1）求横梁AB 的长度; （2）求梯形外框的用料长度．（注:细钢管的粗细等因素忽略不计，计算结果精确到1厘米．）22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知函数11()2f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，11()2g x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． （1）求函数()()()2h x f x g x =+的零点； （2）设()()2()F x f x mf x =+（其中常数0m ≥），求()F x 的最小值；（3）若直线():0,,l ax by c a b c ++=为常数与()f x 的图像交于不同的两点A B 、，与()g x 的图像交于不同的两点C D 、，求证：AC BD=．23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．对于一组向量n a a a a ,,,,321 (*n N ∈)，令n n a a a a S ++++= 321，如果存在p a ({}1,2,3,p n ∈ )，使得||||p n p a S a -≥，那么称p a 是该向量组的“h 向量”．（1）设),(n x n a n +=(*n N ∈)，若3a是向量组321,,a a a 的“h 向量”，求实数x 的取值范围；（2）若11((),0)3n n a -=(*N n ∈)，向量组n a a a a ,,,,321 是否存在“h 向量”？给出你的结论并说明理由；（3）已知123a a a 、、均是向量组321,,a a a 的“h 向量”，其中1a = ，2a = ，求证：222123||+||+||a a a 可以写成一个关于x e 的二次多项式与一个关于x e -的二次多项式的乘积．文科参考答案一、 填空题：（每题4分）1. {}12. 62i -3. 6π 4. 39 5. 6π6. 0x ≤7. 18. 29459. 310. 1411.12. (]3,1-- 13. 12 14.2π二、 选择题：（每题5分）15. A 16. D 17. A 18. D 三、 四、 解答题19、解：（1）Rt AOB ∆中，2OB =即圆锥底面半径为2 圆锥的侧面积8Srl ππ==侧……………….4’故圆锥的全面积=+8+412SS S πππ==全侧底……………….6’（2）过D 作//DM AO 交BO 于M ，连CM则CDM ∠为异面直线AO 与CD 所成角……………….8’ AO OBC ⊥平面Q DM OBC ∴⊥平面DM MC ∴⊥在Rt AOB ∆中，AO =DM ∴=D Q 是AB 的中点 M ∴是OB 的中点 1OM ∴=CM ∴=在Rt CDM ∆中，tan CDM ∠==，……………….10’CDM ∴∠=，即异面直线AO与CD所成角的大小为……………….12’20、解：（1）sin cos sin cos 2sin cos A C C A B A +=……………….3’ 所以()sin 2sin cos A C B A +=，即sin 2sin cos B B A = 由sin 0B ≠1cos 2A ⇒=……………….6’由于0A π<<，故3A π=……………….7’（2）由余弦定理得，222222cos3AC AC π=+-⋅⋅⋅所以1AC =……………….12’故121sin 23ABC S π∆=⋅⋅⋅=……………….14’21、解：（1）如图，以O 为原点，梯形的上底所在直线为x 轴，建立直角坐标系设梯形下底与y 轴交于点M ，抛物线的方程为：()220x py p =< 由题意()20,40D -，得5p =-，210x y =-……….3’取20y x =-⇒=±即()()20,20A B ---y xS RPQMD CBAO()28AB cm=≈答：横梁AB的长度约为28cm………………..6’（2）由题意，得梯形腰的中点是梯形的腰与抛物线唯一的公共点设(():200RQl y k x k+=-<………………..7’(()2220101002010y k xx kxx y⎧+=-⎪⇒+-+=⎨=-⎪⎩则()210040020k k∆=+=⇒=-:20RQl y=-+…………..10’得()(),40Q R-OQ⇒=梯形周长为(()2141cm+=≈答：制作梯形外框的用料长度约为141cm………………..14’22、解：（1）由31()022xh x xx=-=⇒=，函数()h x的零点为x=………4’（2）则()22()24m mF x f x⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦……………..5’函数()f x的值域为(][),11,-∞-+∞……………..6’若(],12m-∈-∞-，即[)2,m∈+∞，()2mf x=-时，有2min()4mF x=-……………..8’若(]1,02m -∈-，即[)0,2m ∈，()1f x =-时，有min ()1F x m =-综上所述：[)[)2min2,()410,2m m F x m m ⎧-∈+∞⎪=⎨⎪-∈⎩…………….10’ （3）设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y()2220112ax by c a b x cx b y x x ++=⎧⎪⇒+++=⎨⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎩，则1222cx x a b+=-+……………..14’ 同理由()2220112ax by c a b x cx b y x x ++=⎧⎪⇒++-=⎨⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎩，则3422c x x a b +=-+ 则AB 中点与CD 中点重合，即AC BD=……………..16’23、解：(1)由题意，得：||||213a a a +≥，则22)32(9)3(9++≥++x x ……………..2’解得：02≤≤-x ……………..4’(2) 1a 是向量组n a a a a ,,,,321 的 “h 向量”，证明如下：)0,1(1=a ，1||1=a而)0,)31(2121()0,311])31(1[31(1132--⋅-=--=+++n n n a a a ……………..7’ 111110()2232n -≤-⋅<，1211110[()],2234n -≤-⋅< 故=+++||32n a a a 1410])31(2121[221<<+⋅--n 即||||321n a a a a +++>所以1a 是向量组n a a a a ,,,,321 的“h 向量”……………..10’(3)由题意得：||||321a a a +≥，23221||||a a a +≥，即23221)(a a a +≥ 322322212a a a a a ⋅++≥，同理312321222a a a a a ⋅++≥，212221232a a a a a ⋅++≥ 三式相加并化简，得：3231212322212220a a a a a a a a a ⋅+⋅+⋅+++≥ 即0)(2321≤++a a a ，0||321≤++a a a ，所以0321=++a a a ……………..13’ 由0321=++a a a ，则3(a = 222222123()||+||+||222x x x x a a e e e e a --=+++22221()2222x x x x e e e e --+++=+ 221x x e e -=++……………..15’2()1x x e e -=+-()(1)1x x x x e e e e --=+++-()(111)1x x x x e e e e--=+++- 22()(1)1x x x x e e e e --=++-+……………..18’（注：分解结果不唯一）。
上海市徐汇区高中高三二模数学卷包括答案.doc
2017 学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷高三数学2018.4一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．已知全集 U R ，集合 A x x 22x 3 0 ，则 C U A.2．在 x1x6的二项展开式中，常数项是.3．函数 f ( x) lg(3 x 2x ) 的定义域为 _____________．4．已知抛物线 x2ay 的准线方程是 y1，则 a .3245．若一个球的体积为 ，则该球的表面积为 _________．3x ，6．已知实数 x ， y 满足，则目标函数 zx y 的最小值为 ___________．y 0x y ．1sin x cos x 217．函数 f ( x)的最小正周期是 ___________．118．若一圆锥的底面半径为3，体积是 12 ，则该圆锥的侧面积等于.9．将两颗质地均匀的骰子抛掷一次，记第一颗骰子出现的点数是r m ，记第二颗骰子出现的rm 2,2 n r r.点数是 n ，向量 a，向量 b 1,1 ，则向量 ab 的概率 是．．10．已知直线 l 1 : mx y 0,l 2 : x my m2 0 . 当 m 在实数围变化时， l 1 与 l 2 的交点 P恒在一个定圆上，则定圆方程是.11 ． 若 函 数f ( x) 2( x 1)2sin x的 最 大 值 和 最 小 值 分 别 为 M 、 m ， 则 函 数x 2 1g( x)Mm x sin Mm x 1 图像的一个对称中心是．r rr 8 r 4， 若 对 任 意 的12 ． 已 知 向 量 a, b 满 足 | a |15、| b |15( x, y)r r1,xyr r( x, y) | xa yb | ， 都 有 | x y | 1 成 立 ， 则 a b 的 最 小 值为 .二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题５分）每题有且只有一个正确选项。
2017年上海市徐汇区高考数学二模试卷
2017年某某市徐汇区高考数学二模试卷一、填空题〔总分为54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分〕1．〔4分〕设全集U={1，2，3，4}，集合A={x|x2﹣5x+4＜0，x∈Z}，如此∁U A=．2．〔4分〕参数方程为〔t为参数〕的曲线的焦点坐标为．3．〔4分〕复数z满足|z|=1，如此|z﹣2i|的取值X围为．4．〔4分〕设数列{a n}的前n项和为S n，假如〔n∈N*〕，如此=．5．〔4分〕假如〔n≥4，n∈N*〕的二项展开式中前三项的系数依次成等差数列，如此n=．6．〔4分〕把1、2、3、4、5、6、7、8、9、10分别写在10X形状大小一样的卡片上，随机抽取一X卡片，如此抽到写着偶数或大于6的数的卡片的概率为．〔结果用最简分数表示〕7．〔5分〕假如行列式中元素4的代数余子式的值为，如此实数x的取值集合为．8．〔5分〕满足约束条件|x|+2|y|≤2的目标函数z=y﹣x的最小值是．9．〔5分〕函数．假如函数g〔x〕=f〔x〕﹣k有两个不同的零点，如此实数k的取值X围是．10．〔5分〕某部门有8位员工，其中6位员工的月工资分别为8200，8300，8500，9100，9500，9600〔单位：元〕，另两位员工的月工资数据不清楚，但两人的月工资和为17000元，如此这8位员工月工资的中位数可能的最大值为元．11．〔5分〕如图，在△ABC中，M为BC上不同于B，C的任意一点，点N满足．假如，如此x2+9y2的最小值为．12．〔5分〕设单调函数y=p〔x〕的定义域为D，值域为A，如果单调函数y=q〔x〕使得函数y=p〔q〔x〕〕的置于也是A，如此称函数y=q〔x〕是函数y=p〔x〕的一个“保值域函数〞．定义域为[a，b]的函数，函数f〔x〕与g〔x〕互为反函数，且h〔x〕是f〔x〕的一个“保值域函数〞，g〔x〕是h〔x〕的一个“保值域函数〞，如此b﹣a=．二、选择题〔本大题共有4题，总分为20分，每题5分〕每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．〔5分〕“x＞1〞是“〞成立的〔〕A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．〔5分〕《九章算术》是我国古代数学著作，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积与米几何？〞其意思为：“在屋内墙角处堆放米〔如图，米堆为一个圆锥的四分之一〕，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积与堆放的米各为多少？〞一斛米的体积约为1.62立方尺，由此估算出堆放的米约有〔〕A．21斛B．34斛C．55斛D．63斛15．〔5分〕函数y=﹣的图象按向量=〔1，0〕平移之后得到的函数图象与函数y=2sinπx 〔﹣2≤x≤4〕的图象所有交点的橫坐标之和等于〔〕A．2B．4C．6D．816．〔5分〕过椭圆〔m＞4〕右焦点F的圆与圆O：x2+y2=1外切，如此该圆直径FQ的端点Q的轨迹是〔〕A．一条射线B．两条射线C．双曲线的一支D．抛物线三、解答题〔本大题共有5题，总分为76分〕17．〔15分〕如图：在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，PA=AD=2．〔1〕求异面直线PC与AB所成角的大小〔结果用反三角函数值表示〕；〔2〕求点E、F分别是棱AD和PC的中点，求证：EF⊥平面PBC．18．〔15分〕函数是偶函数．〔1〕某某数m的值；〔2〕假如关于x的不等式2k•f〔x〕＞3k2+1在〔﹣∞，0〕上恒成立，某某数k的取值X 围．19．〔15分〕如下列图：湖面上甲、乙、丙三艘船沿着同一条直线航行，某一时刻，甲船在最前面的A点处，乙船在中间B点处，丙船在最后面的C点处，且BC：AB=3：1．一架无人机在空中的P点处对它们进展数据测量，在同一时刻测得∠APB=30°，∠BPC=90°．〔船只与无人机的大小与其它因素忽略不计〕〔1〕求此时无人机到甲、丙两船的距离之比；〔2〕假如此时甲、乙两船相距100米，求无人机到丙船的距离．〔准确到1米〕20．〔15分〕如图：椭圆=1与双曲线=1〔a＞0，b＞0〕有一样的焦点F1、F2，它们在y轴右侧有两个交点A、B，满足=0．将直线AB左侧的椭圆局部〔含A，B两点〕记为曲线W1，直线AB右侧的双曲线局部〔不含A，B两点〕记为曲线W2．以F1为端点作一条射线，分别交W1于点P〔x P，y P〕，交W2于点M〔x M，y M〕〔点M在第一象限〕，设此时．〔1〕求W2的方程；〔2〕证明：x P=，并探索直线MF2与PF2斜率之间的关系；〔3〕设直线MF2交W1于点N，求△MF1N的面积S的取值X围．21．〔16分〕现有正整数构成的数表如下：第一行：1第二行：12第三行：1123第四行：11211234…第k行：先抄写第1行，接着按原序抄写第2行，然后按原序抄写第3行，…，直至按原序抄写第k﹣1行，最后添上数k．〔如第四行，先抄写第一行的数1，接着按原序抄写第二行的数1，2，接着按原序抄写第三行的数1，1，2，3，最后添上数4〕．将按照上述方式写下的第n个数记作a n〔如a1=1，a2=1，a3=2，a4=1，…，a7=3，…，a14=3，a15=4，…〕〔1〕用t k表示数表第k行的数的个数，求数列{t k}的前k项和T k；〔2〕第8行中的数是否超过73个？假如是，用表示第8行中的第73个数，试求n0和的值；假如不是，请说明理由；〔3〕令S n=a1+a2+a3+…+a n，求S2017的值．2017年某某市徐汇区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题〔本大题共12题，总分为54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分〕考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1．〔4分〕〔2017•徐汇区二模〕设全集U={1，2，3，4}，集合A={x|x2﹣5x+4＜0，x∈Z}，如此∁U A={1，4}．【分析】求出集合A中的元素，从而求出A的补集即可．【解答】解：U={1，2，3，4}，A={x|x2﹣5x+4＜0，x∈Z}={x|1＜x＜4，x∈Z}={2，3}，如此∁U A={1，4}，故答案为：{1，4}．【点评】此题考查了集合的运算，考查不等式问题，是一道根底题．2．〔4分〕〔2017•徐汇区二模〕参数方程为〔t为参数〕的曲线的焦点坐标为〔1，0〕．【分析】根据题意，将曲线的参数方程变形为普通方程，分析可得该曲线为抛物线，其焦点在x轴上，且p=2，由抛物线焦点坐标公式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，曲线的参数方程为〔t为参数〕，如此其普通方程为：y2=4x，即该曲线为抛物线，其焦点在x轴上，且p=2；如此其焦点坐标为〔1，0〕；故答案为：〔1，0〕【点评】此题考查抛物线的参数方程，关键是将抛物线的参数方程转化为标准方程．3．〔4分〕〔2017•徐汇区二模〕复数z满足|z|=1，如此|z﹣2i|的取值X围为[1，3]．【分析】利用公式：||z1|﹣|z2||≤|z1+z2|≤|z1|+|z2|，以与条件中对应的复数的模进展求解．【解答】解：根据复数模的性质：||z1|﹣|z2||≤|z1+z2|≤|z1|+|z2|，∵|z|=1，|z﹣2i|，∴z2=﹣2i，∴|z2|=2，∴1≤|z﹣2i|≤3，即|z﹣2i|的取值X围为[1，3]，故答案为：[1，3]．【点评】此题考查了复数模的性质应用，即根据条件求出对应的复数模，代入公式进展求解．4．〔4分〕〔2017•徐汇区二模〕设数列{a n}的前n项和为S n，假如〔n∈N*〕，如此=1．【分析】利用数列递推关系、等比数列的求和公式、极限运算性质即可得出．【解答】解：∵〔n∈N*〕，∴n=1时，，解得a1=．n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=1﹣﹣，化为：=．∴数列{a n}是等比数列，首项为，公比为．∴==1．故答案为：1．【点评】此题考查了数列递推关系、等比数列的求和公式、极限运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．〔4分〕〔2017•徐汇区二模〕假如〔n≥4，n∈N*〕的二项展开式中前三项的系数依次成等差数列，如此n=8．【分析】〔n≥4，n∈N*〕的二项展开式中前三项的系数依次为：1，，，由于此三个数成等差数列，可得2×=1+，解出即可得出．【解答】解：〔n≥4，n∈N*〕的二项展开式中前三项的系数依次为：1，，，由于此三个数成等差数列，∴2×=1+，化为：n2﹣9n+8=0，解得n=8或1〔舍去〕．故答案为：8．【点评】此题考查了二项式定理的应用、等差数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．〔4分〕〔2017•徐汇区二模〕把1、2、3、4、5、6、7、8、9、10分别写在10X形状大小一样的卡片上，随机抽取一X卡片，如此抽到写着偶数或大于6的数的卡片的概率为．〔结果用最简分数表示〕【分析】先求出根本事件总数，再求出抽到写着偶数或大于6的数的卡片包含的根本事件个数，由此能求出抽到写着偶数或大于6的数的卡片的概率．【解答】解：把1、2、3、4、5、6、7、8、9、10分别写在10X形状大小一样的卡片上，随机抽取一X卡片，根本事件总数n=10，抽到写着偶数或大于6的数的卡片包含的根本事件个数为7，如此抽到写着偶数或大于6的数的卡片的概率为故答案为：．【点评】此题考查概率的求法，是根底题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．7．〔5分〕〔2017•徐汇区二模〕假如行列式中元素4的代数余子式的值为，如此实数x的取值集合为．【分析】求得元素4的代数余子式，展开，利用二倍角公式，与特殊角的三角函数值，即可求得实数x的取值集合．【解答】解：行列式中元素4的代数余子式A13==，如此cos2﹣sin2=，如此cosx=，解得：x=2kπ±，k∈Z，实数x的取值集合，故答案为：．【点评】此题考查行列式的代数余子式求法，行列式的展开，二倍角公式，特殊角的三角形函数值，考查计算能力，属于中档题．8．〔5分〕〔2012•某某〕满足约束条件|x|+2|y|≤2的目标函数z=y﹣x的最小值是﹣2．【分析】作出约束条件对应的平面区域，由z=y﹣x可得y=x+z，如此z为直线在y轴上的截距，解决越小，z越小，结合图形可求【解答】解：作出约束条件对应的平面区域，如下列图由于z=y﹣x可得y=x+z，如此z为直线在y轴上的截距，截距越小，z越小结合图形可知，当直线y=x+z过C时z最小，由可得C〔2，0〕，此时Z=﹣2最小故答案为：﹣2【点评】借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，表现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．9．〔5分〕〔2017•徐汇区二模〕函数．假如函数g〔x〕=f〔x〕﹣k 有两个不同的零点，如此实数k的取值X围是．【分析】由题意可得函数f〔x〕的图象与直线y=k有二个不同的交点，结合图象求出实数k的取值X围．【解答】解：由题意可得函数f〔x〕的图象与直线y=k有二个不同的交点，如下列图：故实数k的取值X围是，故答案为．【点评】此题主要考查函数的零点与方程的根的关系，表现了化归与转化、数形结合的数学思想，属于中档题．10．〔5分〕〔2017•徐汇区二模〕某部门有8位员工，其中6位员工的月工资分别为8200，8300，8500，9100，9500，9600〔单位：元〕，另两位员工的月工资数据不清楚，但两人的月工资和为17000元，如此这8位员工月工资的中位数可能的最大值为8800元．【分析】由题意知这8位员工月工资的中位数取最大值时，两人的月工资一个大于9100，另一个小于8500，由此能求出这8位员工月工资的中位数的最大值．【解答】解：由题意知这8位员工月工资的中位数取最大值时，两人的月工资一个大于9100，另一个小于8500，此时这8位员工月工资的中位数取最大值为：=8800．故答案为：8800．【点评】此题考查中位数的最大值的求法，是根底题，解题时要认真审题，注意中位数的定义的合理运用．11．〔5分〕〔2017•徐汇区二模〕如图，在△ABC中，M为BC上不同于B，C的任意一点，点N满足．假如，如此x2+9y2的最小值为．【分析】不妨设=λ，0＜λ＜1，根据向量的加减的几何意义可得x=，y=，代入得到x2+9y2=〔λ﹣〕2+，即可求出最值．【解答】解：不妨设=λ，0＜λ＜1，∴==〔+〕=+=+〔﹣〕=+，∵，∴x=，y=，∴x2+9y2=+4λ2=λ2﹣+=〔λ﹣〕2+，当λ=时，x2+9y2有最小值，最小值为，故答案为：．【点评】此题考查了向量的加减的几何意义以与二次函数的性质，属于中档题12．〔5分〕〔2017•徐汇区二模〕设单调函数y=p〔x〕的定义域为D，值域为A，如果单调函数y=q〔x〕使得函数y=p〔q〔x〕〕的置于也是A，如此称函数y=q〔x〕是函数y=p〔x〕的一个“保值域函数〞．定义域为[a，b]的函数，函数f〔x〕与g〔x〕互为反函数，且h〔x〕是f〔x〕的一个“保值域函数〞，g〔x〕是h〔x〕的一个“保值域函数〞，如此b﹣a=1．【分析】由定义可知y=q〔x〕的值域为y=p〔x〕的定义域，根据h〔x〕单调性得出a，b 的X围，求出h〔x〕的值域，从而得出f〔x〕的定义域和g〔x〕的值域，再根据反函数的性质列方程即可解出a，b．【解答】解：由“保值域函数〞的定义可知y=q〔x〕的值域为y=p〔x〕的定义域，∵h〔x〕是定义在[a，b]上的单调函数，∴a＞3或b＜3．〔1〕假如a＞3，如此h〔x〕单调递减，∴h〔x〕的值域为[，]，∵h〔x〕是f〔x〕的一个“保值域函数〞，g〔x〕是h〔x〕的一个“保值域函数〞，∴f〔x〕的定义域为[，]，g〔x〕的值域为[a，b]，∵函数f〔x〕与g〔x〕互为反函数，∴，整理得a=b，与b＞a矛盾〔舍〕．〔2〕假如b＜3，如此h〔x〕单调递增，∴h〔x〕的值域为[，]，同〔1〕可得，解得a=1，b=2．∴b﹣a=1．故答案为1．【点评】此题考查了对新定义的理解，函数定义域与值域的计算，属于中档题．二、选择题〔本大题共有4题，总分为20分，每题5分〕每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．〔5分〕〔2017•徐汇区二模〕“x＞1〞是“〞成立的〔〕A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进展判断即可．【解答】解：假如x＞1，如此0＜，如此成立，即充分性成立，假如当x＜0时，成立，但x＞1不成立，即必要性不成立，即“x＞1〞是“〞成立的充分不必要条件，应当选：A．【点评】此题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质结合充分条件和必要条件的定义是解决此题的关键．14．〔5分〕〔2017•徐汇区二模〕《九章算术》是我国古代数学著作，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积与米几何？〞其意思为：“在屋内墙角处堆放米〔如图，米堆为一个圆锥的四分之一〕，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积与堆放的米各为多少？〞一斛米的体积约为1.62立方尺，由此估算出堆放的米约有〔〕A．21斛B．34斛C．55斛D．63斛【分析】根据米堆的底部的弧度即底面圆周的四分之一为8尺，可求出圆锥的底面半径，从而计算出米堆的体积，用体积除以每斛的体积即可求得斛数．【解答】解：设米堆所在圆锥的底面半径为r尺，如此×2πr=8，解得：r=，所以米堆的体积为V=×πr2×5=≈35.56，所以米堆的斛数是≈21，应当选：A．【点评】考查了圆锥的计算与弧长的计算，解题的关键是从实际问题中抽象出圆锥的知识，难度不大．15．〔5分〕〔2017•徐汇区二模〕函数y=﹣的图象按向量=〔1，0〕平移之后得到的函数图象与函数y=2sinπx〔﹣2≤x≤4〕的图象所有交点的橫坐标之和等于〔〕A．2B．4C．6D．8【分析】y1=的图象由奇函数y=﹣的图象向右平移1个单位而得，所以它的图象关于点〔1，0〕中心对称，再由正弦函数的对称中心公式，可得函数y2=2sinπx的图象的一个对称中心也是点〔1，0〕，故交点个数为偶数，且每一对对称点的横坐标之和为2．由此不难得到正确答案．【解答】解：函数y=﹣的图象按向量=〔1，0〕平移之后得到函数y1=，y2=2sinπx 的图象有公共的对称中心〔1，0〕，作出两个函数的图象如图：当1＜x≤4时，y1＜0，而函数y2在〔1，4〕上出现1.5个周期的图象，在〔1，〕和〔，〕上是减函数；在〔，〕和〔，4〕上是增函数．∴函数y1在〔1，4〕上函数值为负数，且与y2的图象有四个交点E、F、G、H，相应地，y1在〔﹣2，1〕上函数值为正数，且与y2的图象有四个交点A、B、C、D，且：x A+x H=x B+x G═x C+x F=x D+x E=2，故所求的横坐标之和为8，应当选：D．【点评】发现两个图象公共的对称中心是解决此题的入口，讨论函数y2=2sinπx的单调性找出区间〔1，4〕上的交点个数是此题的难点所在．16．〔5分〕〔2017•徐汇区二模〕过椭圆〔m＞4〕右焦点F的圆与圆O：x2+y2=1外切，如此该圆直径FQ的端点Q的轨迹是〔〕A．一条射线B．两条射线C．双曲线的一支D．抛物线【分析】由题意可知：丨QF1丨=2丨OC丨，丨QF丨=2丨CF丨，丨QF1丨﹣丨QF丨=2＜丨FF1丨=4，如此Q的轨迹为以F，F1为焦点的双曲线的右支．【解答】解：椭圆〔m＞4〕右焦点F〔2，0〕，左焦点F1〔﹣2，0〕椭圆右焦点F的圆，圆心C，连接OC，如此OC为△FQF1中位线，由丨QF1丨=2丨OC丨，丨QF丨=2丨CF丨，如此丨QF1丨﹣丨QF丨=2〔丨OC丨﹣丨CF丨〕=2＜丨FF1丨=4，如此Q的轨迹为以F，F1为焦点的双曲线的右支，应当选：C．【点评】此题考查椭圆的性质，考查双曲线的定义，考查数形结合思想，属于中档题．三、解答题〔本大题共有5题，总分为76分〕解答如下各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．〔15分〕〔2017•徐汇区二模〕如图：在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD 是正方形，PA=AD=2．〔1〕求异面直线PC与AB所成角的大小〔结果用反三角函数值表示〕；〔2〕求点E、F分别是棱AD和PC的中点，求证：EF⊥平面PBC．【分析】〔1〕以点A为原点，以AB方向为x轴正方向，AD方向为y轴正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PC与AB所成角的大小．〔2〕求出，，，利用向量法能证明EF⊥平面PBC．【解答】解：〔1〕以点A为原点，以AB方向为x轴正方向，AD方向为y轴正方向，建立空间直角坐标系，如此P〔0，0，2〕，A〔0，0，0〕，B〔2，0，0〕，C〔2，2，0〕，D〔0，2，0〕所以，，，设，的夹角为α，如此，所以，的夹角为，即异面直线PC与AB所成角的大小为．证明：〔2〕因为点E、F分别是棱AD和PC的中点，可得E〔0，1，0〕，F〔1，1，1〕，所以，又，，计算可得，，所以，EF⊥PC，EF⊥BC，又PC∩BC=C，所以EF⊥平面PBC．【点评】此题考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等根底知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查化归转化思想、数形结合思想，是中档题．18．〔15分〕〔2017•徐汇区二模〕函数是偶函数．〔1〕某某数m的值；〔2〕假如关于x的不等式2k•f〔x〕＞3k2+1在〔﹣∞，0〕上恒成立，某某数k的取值X 围．【分析】〔1〕运用偶函数的定义，可得f〔﹣x〕=f〔x〕，化简整理可得m的值；〔2〕由题意可得在〔﹣∞，0〕上恒成立，求出右边函数的取值X围，可得k的不等式，解不等式即可得到所求X围．【解答】解：〔1〕因为函数即f〔x〕=m•2x+2﹣x是定义域为R的偶函数，所以有f〔﹣x〕=f〔x〕，即m•2﹣x+2x=m•2x+2﹣x，即〔m﹣1〕〔2x﹣2﹣x〕=0恒成立，故m=1．〔2〕，且2k•f〔x〕＞3k2+1在〔﹣∞，0〕上恒成立，故原不等式等价于在〔﹣∞，0〕上恒成立，又x∈〔﹣∞，0〕，所以f〔x〕∈〔2，+∞〕，所以，从而≥，即有3k2﹣4k+1≤0，因此，．【点评】此题考查函数的性质，注意定义法的运用，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数别离，以与根本不等式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．19．〔15分〕〔2017•徐汇区二模〕如下列图：湖面上甲、乙、丙三艘船沿着同一条直线航行，某一时刻，甲船在最前面的A点处，乙船在中间B点处，丙船在最后面的C点处，且BC：AB=3：1．一架无人机在空中的P点处对它们进展数据测量，在同一时刻测得∠APB=30°，∠BPC=90°．〔船只与无人机的大小与其它因素忽略不计〕〔1〕求此时无人机到甲、丙两船的距离之比；〔2〕假如此时甲、乙两船相距100米，求无人机到丙船的距离．〔准确到1米〕【分析】〔1〕利用正弦定理，即可求此时无人机到甲、丙两船的距离之比；〔2〕假如此时甲、乙两船相距100米，由余弦定理求无人机到丙船的距离．【解答】解：〔1〕在△APB中，由正弦定理，得，，在△BPC中，由正弦定理，得，又，sin∠ABP=sin∠CBP，故．即无人机到甲、丙两船的距离之比为．〔2〕由BC：AB=3：1得AC=400，且∠APC=120°，由〔1〕，可设AP=2x，如此CP=3x，在△APC中，由余弦定理，得160000=〔2x〕2+〔3x〕2﹣2〔2x〕〔3x〕cos120°，解得，即无人机到丙船的距离为≈275米．【点评】此题考查利用数学知识解决实际问题，考查正弦定理、余弦定理的运用，属于中档题．20．〔15分〕〔2017•徐汇区二模〕如图：椭圆=1与双曲线=1〔a＞0，b＞0〕有一样的焦点F1、F2，它们在y轴右侧有两个交点A、B，满足=0．将直线AB左侧的椭圆局部〔含A，B两点〕记为曲线W1，直线AB右侧的双曲线局部〔不含A，B两点〕记为曲线W2．以F1为端点作一条射线，分别交W1于点P〔x P，y P〕，交W2于点M〔x M，y M〕〔点M在第一象限〕，设此时．〔1〕求W2的方程；〔2〕证明：x P=，并探索直线MF2与PF2斜率之间的关系；〔3〕设直线MF2交W1于点N，求△MF1N的面积S的取值X围．【分析】〔1〕由条件，得F2〔1，0〕，根据知，F2、A、B三点共线，且由椭圆与双曲线的对称性知，A、B关于x轴对称，故AB所在直线为x=1，从而得A，B坐标．可得，又因为F2为双曲线的焦点，可得a2+b2=1，解出即可得出．〔2〕由P〔x P，y P〕M〔x M，y M〕，得，，利用．可得x M，y M．由P〔x P，y P〕，M〔x M，y M〕分别在曲线W1和W2上，代入消去y P得：〔*〕，将代入方程〔*〕，可得x P．从而得到P点坐标．再利用斜率计算公式即可证明．〔3〕由〔2〕知直线PF2与NF2关于x轴对称，结合椭圆的对称性知点P与点N关于x轴对称，可得N坐标．可得，即可得出．【解答】解：〔1〕由条件，得F2〔1，0〕，根据知，F2、A、B三点共线，且由椭圆与双曲线的对称性知，A、B关于x轴对称，故AB所在直线为x=1，从而得，．所以，，又因为F2为双曲线的焦点，所以a2+b2=1，解得．因此，W2的方程为．〔2〕证明：由P〔x P，y P〕M〔x M，y M〕，得，，由条件，得，即，由P〔x P，y P〕M〔x M，y M〕分别在曲线W1和W2上，有，，消去y P，得，〔*〕，将代入方程〔*〕，成立，因此〔*〕有一根，结合韦达定理得另一根为，因为m＞1，所以，舍去．所以，．从而P点坐标为．所以，直线PF2的斜率，由x M=mx P+m﹣1=m，得．所以，直线MF2的斜率．因此，MF2与PF2斜率之和为零．〔3〕由〔2〕知直线PF2与NF2关于x轴对称，结合椭圆的对称性知点P与点N关于x轴对称，故，因此，=，=，因为S在〔1，+∞〕上单调递增，所以S的取值X围是．【点评】此题考查了椭圆与双曲线的标准方程与其性质、一元二次方程的根与系数的关系、中点坐标公式、斜率计算公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．〔16分〕〔2017•徐汇区二模〕现有正整数构成的数表如下：第一行：1第二行：12第三行：1123第四行：11211234…第k行：先抄写第1行，接着按原序抄写第2行，然后按原序抄写第3行，…，直至按原序抄写第k﹣1行，最后添上数k．〔如第四行，先抄写第一行的数1，接着按原序抄写第二行的数1，2，接着按原序抄写第三行的数1，1，2，3，最后添上数4〕．将按照上述方式写下的第n个数记作a n〔如a1=1，a2=1，a3=2，a4=1，…，a7=3，…，a14=3，a15=4，…〕〔1〕用t k表示数表第k行的数的个数，求数列{t k}的前k项和T k；〔2〕第8行中的数是否超过73个？假如是，用表示第8行中的第73个数，试求n0和的值；假如不是，请说明理由；〔3〕令S n=a1+a2+a3+…+a n，求S2017的值．【分析】〔1〕根据题意先求出{t k}的通项公式，再根据等比数列的求和公式计算即可，〔2〕由得第8行中共有27=128个数，得到第8行中的数超过73个，按上述顺序依次写下的第73个数应是第7行的第73﹣63=10个数，同上过程知a73=a10=2，即可求出答案，〔3〕根据错位相减法求出得=2n+1﹣n﹣2，再逐一展开得到S2017=〔211﹣12〕+〔210﹣11〕+〔29﹣10〕+〔28﹣9〕+〔27﹣8〕+〔26﹣7〕+〔24﹣5〕，即可求出．【解答】解：〔1〕当k≥2时，t k=t1+t2+…+t k﹣1+1，t k+1=t1+t2+…+t k+1，于是t k﹣t k=t1，即t k+1=2t k，又t2=2t1，t1=1+1所以，故．〔2〕由得第8行中共有27=128个数，所以，第8行中的数超过73个，，从而，，由26﹣2=63＜73，27﹣1=127＞73，所以，按上述顺序依次写下的第73个数应是第7行的第73﹣63=10个数，同上过程知a73=a10=2，所以，．〔3〕由于数表的前n行共有2n﹣1个数，于是，先计算．在前2n﹣1个数中，共有1个n，2个n﹣1，22个n﹣2，…，2n﹣k个k，…，2n﹣1个1，因此…+2×2n﹣2+1×2n﹣1，如此+k×2k+1+…+2×2n﹣1﹣n﹣2，两式相减，得=2n+1﹣n﹣2．∴S2017=+S994，=++S483，=+++S228，=++++S101，=+++++S38，=++++++S7，=〔211﹣12〕+〔210﹣11〕+〔29﹣10〕+〔28﹣9〕+〔27﹣8〕+〔26﹣7〕+〔24﹣5〕=3986【点评】此题考查新定义的应用，以与等比数列的通项公式公式和求和公式，以与错位相减法，考查了学生的运算能力和转化能力，属于难题．参与本试卷答题和审题的教师有：X教师；danbo7801；gongjy；沂蒙松；zlzhan；铭灏2016；邢新丽；lcb001；whg；zhczcb；maths；w3239003；双曲线〔排名不分先后〕菁优网2017年5月27日。
年上海市徐汇区高三二模数学卷(含答案)
2017学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷高三数学201８.4一、填空题（本大题共有１２题，满分5４分，第１－6题每题４分,第７－１２题每题５分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．已知全集R U =,集合{}0322>--=x x x A ，则=A C U ．2.在61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中,常数项是 .3.函数()lg(32)x x f x =-的定义域为___＿＿________. ４．已知抛物线2x ay =的准线方程是14y =-,则a = . ５．若一个球的体积为323π,则该球的表面积为_____＿___. 6.已知实数x y ，满足001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，，． 则目标函数z x y =-的最小值为____＿______.7．函数()2sin cos 1()11x x f x +-=的最小正周期是__________＿.8.若一圆锥的底面半径为3,体积是12π，则该圆锥的侧面积等于 .9．将两颗质地均匀的骰子抛掷一次,记第一颗骰子出现的点数是m ，记第二颗骰子出现的点数是n ,向量()2,2a m n =--,向量()1,1b =，则向量a b ⊥的概率．．是 . 10．已知直线12:0,:20l mx y l x my m -=+--=.当m 在实数范围内变化时,1l 与2l 的交点P 恒在一个定圆上，则定圆方程是 .11．若函数222(1)sin ()1x xf x x ++=+的最大值和最小值分别为M 、m ，则函数()()()sin 1g x M m x M m x =+++-⎡⎤⎣⎦图像的一个对称中心是 . 12.已知向量,a b 满足||a =、||b =,若对任意的{}(,)(,)||1,0x y x y xa yb xy ∈+=>，都有||1x y +≤成立，则a b ⋅的最小值NMD 1C 1B 1A 1DCBA为 .二、选择题（本大题共有４题，满分2０分，每题5分)每题有且只有一个正确选项。
2020-2021学年上海市徐汇区第二次高考模拟高三数学试卷及答案解析
第二学期 学习能力诊断卷高三年级数学学科一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1. 设全集{}1,2,3,4U =，集合{}2|540,A x x x x Z =-+<∈，则U C A =____________．2. 参数方程为22x t y t⎧=⎨=⎩（t 为参数）的曲线的焦点坐标为____________．3. 已知复数z 满足1z =，则2z -的取值范围是____________．4. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若*21()3n n S a n N =-∈，则lim n n S →∞=____________．5. 若*1()(4,)2nx n n N x+≥∈的二项展开式中前三项的系数依次成等差数列，则n =_____． 6. 把12345678910、、、、、、、、、分别写在10张形状大小一样的卡片上，随机抽取一张卡片，则抽到写着偶数或大于6的数的卡片的概率为____________．（结果用最简分数表示）7. 若行列式124cossin 022sin cos822x xx x 中元素4的代数余子式的值为12，则实数x 的取值集合为____________．8. 满足约束条件22x y +≤的目标函数z y x =-的最小值是____________．9. 已知函数2log 02()25()239x x x f x x <<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩，，．若函数()()g x f x k =-有两个不同的零点，则实数k的取值范围是____________．10. 某部门有8位员工，其中6位员工的月工资分别为8200，8300，8500，9100，9500，9600（单位：元），另两位员工的月工资数据不清楚，但两人的月工资和为17000元，则这8位员工月工资的中位数可能的最大值为____________元．11. 如图：在ABC ∆中，M 为BC 上不同于,B C 的任意一点，点N 满足2AN NM =u u u r u u u u r ．若AN x AB y AC =+u u u r u u u r u u u r，则229x y +的最小值为____________．12. 设单调函数()y p x =的定义域为D ，值域为A ，如果单调函数()y q x =使得函数(())y p q x =的值域也是A ，则称函数()y q x =是函数()y p x =的一个“保值域函数”． 已知定义域为[],a b 的函数2()3h x x =-，函数()f x 与()g x 互为反函数，且()h x 是()f x 的一个“保值域函数”，()g x 是()h x 的一个“保值域函数”，则b a -=___________．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13. “1x >”是“11x<”的（ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件 14. 《九章算术》是我国古代数学著作，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积及堆放的米各为多少？”已知一斛米的体积约为1.62立方尺，由此估算出堆放的米约有（ ） （A ）21斛 （B ）34斛 （C ）55斛 （D ）63斛15. 将函数1y x=-的图像按向量(1,0)a =r 平移，得到的函数图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像的所有交点的横坐标之和等于（ ）（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8N A16. 过椭圆221(4)4x y m m m +=>-右焦点F 的圆与圆22:1O x y +=外切，则该圆直径FQ 的端点Q 的轨迹是（ ）（A ）一条射线 （B ）两条射线 （C ）双曲线的一支 （D ）抛物线三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图：在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，2PA AD ==． （1）求异面直线PC 与AB 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （2）若点E 、F 分别是棱AD 和PC 的中点，求证：EF ⊥平面PBC ．18. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数41()2x xm f x ⋅+=是偶函数．（1）求实数m 的值；（2）若关于x 的不等式22()31k f x k ⋅>+在(,0)-∞上恒成立，求实数k 的取值范围．19. （本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）如图所示：湖面上甲、乙、丙三艘船沿着同一条直线航行，某一时刻，甲船在最前面的A 点处，乙船在中间的B 点处，丙船在最后面的C 点处，且FEA P:3:1BC AB =．一架无人机在空中的P 点处对它们进行数据测量，在同一时刻测得030APB ∠=，090BPC ∠=．（船只与无人机的大小及其它因素忽略不计） （1）求此时无人机到甲、丙两船的距离之比；（2）若此时甲、乙两船相距100米，求无人机到丙船的距离．（精确到1米）20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分5分）如图：椭圆2212x y +=与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>有相同的焦点12F F 、，它们在y 轴右侧有两个交点A 、B ，满足220F A F B +=u u u u r u u u u r r．将直线AB 左侧的椭圆部分（含A ,B 两点）记为曲线1W ，直线AB 右侧的双曲线部分（不含A ,B 两点）记为曲线2W ．以1F 为端点作一条射线，分别交1W 于点(,)p p P x y ，交2W 于点(,)M M M x y (点M 在第一象限),设此时M F 1=1m F P ⋅u u u r.（1）求2W 的方程; （2）证明:1p x m=，并探索直线2MF 与2PF 斜率之间的关系; （3）设直线2MF 交1W 于点N ，求1MF N ∆的面积S 的取值范围.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）现有正整数构成的数表如下： 第一行： 1 第二行： 1 2 第三行： 1 1 2 3第四行： 1 1 2 1 1 2 3 4第五行： 1 1 2 1 1 2 3 1 1 2 1 1 2 3 4 5…… …… ……第k 行：先抄写第1行,接着按原序抄写第2行,然后按原序抄写第3行,⋯,直至按原序抄写第1k -行,最后添上数k .（如第四行，先抄写第一行的数1，接着按原序抄写第二行的数1，2，接着按原序抄写第三行的数1，1，2，3，最后添上数4）.将按照上述方式写下的第n 个数记作n a (如11a =,21a =,32a =,41a =,⋯,73a =,⋯,14153,4,a a ==L )．（1）用k t 表示数表第k 行的数的个数，求数列{}k t 的前k 项和k T ；（2）第8行中的数是否超过73个？若是，用0n a 表示第8行中的第73个数，试求0n 和0n a 的值；若不是，请说明理由；（3）令123n n S a a a a =++++L ，求2017S 的值．参考答案一、填空题：(共54分，第1~6题每题4分；第7~12题每题5分)1. {}1,42. (1,0)3. []1,34. 15. 86. 7107. |2,3x x k k Z ππ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭8. 2- 9. 5(,1)9 10. 8800 11. 25 12. 1二、选择题：(共20分，每题5分)13. A 14. A 15. D 16. C 三、解答题 17、解：（1）以点A 为原点，以AB 方向为x 轴正方向，AD 方向为y 轴正方向，建立空间直角坐标系，则(0,0,2),(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0)P A B C D ,--------2分所以，(2,2,2),(2,0,0)PC AB =-=u u u r u u u r,--------4分 设,PC AB u u u r u u u r的夹角为α，则cos 3PC AB PC AB α⋅===⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ,--------5分 所以，,PC AB u u u r u u u r的夹角为，即异面直线PC 与AB所成角的大小为.--------6分 （2）因为点E 、F 分别是棱AD 和PC 的中点，可得(0,1,0)E ，(1,1,1)F ，所以(1,0,1)EF =u u u r，--------8分 又(0,2,0)BC =u u u r ，(2,2,2)PC =-u u u r，--------10分计算可得0,0EF PC EF BC ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r，--------12分所以，,EF PC EF BC ⊥⊥，又PC BC C =I ，所以EF ⊥平面PBC.--------14分18、(1) 因为函数41()2x xm f x ⋅+=是定义域为R 的偶函数，所以有()()f x f x -=，-2分即414122x x x xm m --⋅+⋅+=，即44122x x x xm m +⋅+=， ------------------------------4分 故m=1. -----------------------------------------6分(2)241()0,3102x xf x k +=>+>，且22()31k f x k ⋅>+在(,0)-∞上恒成立，故原不等式等价于22131()k k f x >+在(,0)-∞上恒成立，--------------------8分又x ∈(,0)-∞，所以()()2,f x ∈+∞， -------------------------------------10分 所以110,()2f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，----------------------------11分 从而221312k k ≥+，----------------------------12分因此，1,13k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.-------------------------------------------------------------------14分 19、(1)在APB ∆中，由正弦定理，得1sin sin 2AP AB ABABP APB==∠∠，-----------2分 在BPC ∆中，由正弦定理，得 sin sin 1CP BC BCCBP CPB ==∠∠，-----------4分 又31BC AB =，sin sin ABP CBP∠=∠，--------------------------------------------6分 故23AP CP =.即无人机到甲、丙两船的距离之比为23.-----------------------7分 (2)由:3:1BC AB =得AC=400，且0120APC ∠=， ------------------------------9分由(1)，可设AP=2x ，则CP=3x ， ---------------------------------------------10分在APC ∆中，由余弦定理，得160000=(2x)2+(3x)2-2(2x)(3x)cos1200，------12分解得19=， 即无人机到丙船的距离为275≈米. ----14分 20、解：（1）由条件，得2(1,0)F ，根据220F A F B +=u u u u r u u u u r r知，F 2、A 、B 三点共线，且由椭圆与双曲线的对称性知，A 、B 关于x 轴对称， 故AB 所在直线为x=1，从而得(1,2A，(1,2B -.--------------2分 所以，221112a b-=,又因为2F 为双曲线的焦点，所以221a b +=， 解得2212a b ==.CB AP---------------------------------------------------------------3分因此，2W 的方程为2211122x y -=(1x >). ------------4分 (2) 由P(x p ,y p )、M(x M ,y M )，得1F P u u u r =(x p +1,y p )，1F M u u u u r=(x M +1,y M )，由条件，得1(1)M p M p x m x y my +=+⎧⎪⎨=⎪⎩，即1M p M px mx m y my =+-⎧⎪⎨=⎪⎩， ---------------5分由P(x p ,y p )、M(x M ,y M )分别在曲线1W 和2W 上，有2222122(1)2()1p p p p x y mx m my ⎧+=⎪⎨⎪+--=⎩，消去y p ，得2234(1)140p p m x m m x m +-+-= (*) ---------------7分将1m 代入方程(*)，成立，因此(*)有一根1p x m=,结合韦达定理得另一根为143p m x m -=，因为1m >,所以143p mx m-=<-1，舍去. 所以，1p x m=. -----------------------------------------------------8分 从而P 点坐标为(1m)，所以，直线2PF的斜率2PF k =，-------------------------------------9分由1M p x mx m m =+-=,得M(m所以，直线2MF的斜率2MF k =.--------------------10分因此，2MF 与2PF 斜率之和为零. ---------------------------------11分（3）由(2)知直线2PF 与2NF 关于x 轴对称，结合椭圆的对称性知点P 与点N 关于x 轴对称，故N (m 1,1m-212-m ), -----------------------------12分 因此，S=21⨯|F 1F 2|(|y M |+|y N |)=21⨯2(212-m +m 1212-m ) =212-m +2211m -，-----------14分 因为S 在()1,+∞上单调递增, ----------------------------------15分 所以,S的取值范围是)+∞.----------------------------------------------------16分21、解：（1）当2k ≥时，1211k k t t t t -=+++L ，----------------------------------------------------------------2分 1121k k t t t t +=+++L ，于是1k k k t t t +-=，即12k k t t +=，又2112,1t t t ==， ---------------------3分所以12k k t -=，故21122221k kk T -=++++=-L . ---------------4分（2）由12k k t -=得第8行中共有27=128个数，所以，第8行中的数超过73个，-------6分70773*******n T =+=-+=，-----7分从而，020073n a a a ==， 由26-1=63<73，27-1=127>73，所以，按上述顺序依次写下的第73个数应是第7行的第73-63=10个数，同上过程知7310a a ==2，--------------------------------------------------------9分 所以，02n a =.--------------------------------------------------------------10分（3）由于数表的前n 行共有21n -个数，于是，先计算21n S -.方法一：在前21n -个数中，共有1个n ，2个1n -，22个2n -，……，2n-k个k ，……，2n-1个1， ---------------------------------------------------12分因此21n S -=n ×1+(n-1)×2+…+ k ×2n-k+…+2×2n-2+1×2n-1则2×21n S -=n ×2+(n-1)×22+…+ k ×2n-k+1+…+2×2n-1+1×2n两式相减，得21n S -=n -+2+22+…+2n-1+2n＝2n+1-n-2. ------------15分方法二：由此数表构成的过程知，121212n n S S n ---=+，---------------12分 则21n S -+n+2=2(121n S --+n+1)，即数列{21n S -+n+2}是以S 1+1+2=4为首项，2为公比的等比数列,所以21n S -+n+2＝4×2n-1，即21n S -=2n+1-n-2. ------------------------------15分S 2017=1021S -+S 994-----------------------------------------------------------------16分=1021S -+921S -+S 483=1021S -+921S -+821S -+S 228＝1021S -+921S -+821S -+721S -+S 101=1021S -+921S -+821S -+721S -+621S -+S 38 =1021S -+921S -+821S -+721S -+621S -+521S -+S 7=(211-12)+(210-11)+(29-10)+(28-9)+(27-8)+(26-7)+(24-5) =3986.------------------------------------------------------------------------18分。
上海市徐汇区2020届高三二模数学卷(含答案)
1 俯视图
A. 2 5 5
B. 2 5 5
C. 5 5
D. 5 5
16．若数列
an
, bn
的通项公式分别为 an
1 n2020 a ， bn 2
1 n2019 n
，且 an
bn 对任意 n N 恒成立，
则实数 a 的取值范围为（ ）
A. 2,1
B.
2,
3 2
C.
记为 mn . 设 bn ni M n mn ，当正整数 n 满足 3 n 2020 时，比较 bn 与 bn1 的大小，并求出 bn 的最大值．
参考答案及评分标准
一． 填空题：（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分
2020.本大题共有 5 题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17．（本题满分 14 分，第（1）小题 6 分，第（2）小题 8 分）
如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， PA 底面 ABCD ， E 是 PC 的中点，已知 AB 2 ，
（2）[解法一]如图所示，以 A 点为原点， AB、AD、AP分别为x轴、y轴、z轴
建立空间直角坐标系，
则 B(2, 0, 0)，C(2, 2 2 ,0)，E(1, 2 , 1)，-------8
z
分
AE (1, 2, 1) ， BC (0, 2 2, 0) .-----------10
P
分
设 AE 与 BC 的夹角为，则
11．如图为某街区道路示意图，图中的实线为道路，每段道路旁的数字表示单向通
过此段道路时会遇见的行人人数，在防控新冠肺炎疫情期间，某人需要从 A 点由图
(完整版)2017年徐汇区高考数学二模试卷含答案,推荐文档
2017年徐汇区高考数学二模试卷含答案2017．4一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1. 设全集，集合，则=____________．{}1,2,3,4U ={}2|540,A x x x x Z =-+<∈UC A2. 参数方程为（为参数）的曲线的焦点坐标为____________．22x t y t⎧=⎨=⎩t 3. 已知复数满足，则的取值范围是____________．z 1z =2z -4. 设数列的前项和为，若，则=____________．{}n a n n S *21()3n n S a n N =-∈lim n n S →∞5. 若的二项展开式中前三项的系数依次成等差数列，则_____．*1()(4,)2nx n n N x+≥∈n =6.把分别写在张形状大小一样的卡片上，随机抽取一张卡片，则抽到写着偶数或大12345678910、、、、、、、、、10于的数的卡片的概率为____________．（结果用最简分数表示）67. 若行列式中元素的代数余子式的值为，则实数的取值集合为___________．124cossin 022sin cos822x xx x 412x 8. 满足约束条件的目标函数的最小值是____________．22x y +≤z y x =-9. 已知函数．若函数有两个不同的零点，则实数的取值范2log 02()25()239x x x f x x <<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩，，()()g x f x k =-k 围是____________．10. 某部门有8位员工，其中6位员工的月工资分别为8200，8300，8500，9100，9500，9600（单位：元），另两位员工的月工资数据不清楚，但两人的月工资和为17000元，则这8位员工月工资的中位数可能的最大值为____________元．11.如图：在中，为上不同于的任意一点，点满足ABC ∆M BC ,B C N ．若，则的最小值为____________．2AN NM = AN xAB y AC =+229x y +12. 设单调函数的定义域为，值域为，如果单调函数使得函数的值域()y p x =D A ()y q x =(())y p q x =也是，则称函数是函数的一个“保值域函数”．A ()y q x =()y p x =已知定义域为的函数，函数与互为反函数，且是的一个“保[],a b 2()3h x x =-()f x ()g x ()h x ()f x 值域函数”，是的一个“保值域函数”，则___________．()g x ()h x b a -=二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13. “”是“”的（ ） 1x >11x<（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分也非必要条件14. 《九章算术》是我国古代数学著作，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为尺，米堆的高为尺，问米堆的体积及堆放的米各为多少？”已知一85斛米的体积约为立方尺，由此估算出堆放的米约有（ ）1.62（A ）斛（B ）斛（C ）斛（D ）斛2134556315. 将函数的图像按向量平移，得到的函数图像与函数的图像1y x=-(1,0)a = 2sin (24)y x x π=-≤≤的所有交点的横坐标之和等于（）（A ）（B ）（C ）（D ）246816. 过椭圆右焦点的圆与圆外切，则该圆直径的端点的轨221(4)4x y m m m +=>-F 22:1O x y +=FQ Q 迹是（ ）（A ）一条射线（B ）两条射线（C ）双曲线的一支（D ）抛物线三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图：在四棱锥中，⊥平面，底面是P ABCD -PA ABCD ABCD 正方形，．2PA AD ==（1）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）PC AB （2）若点、分别是棱和的中点，求证：⊥平面E F AD PC EF ．PBC 18. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数是偶函数．41()2x xm f x ⋅+=（1）求实数的值；m （2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．x 22()31k f x k ⋅>+(,0)-∞k 19. （本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）如图所示：湖面上甲、乙、丙三艘船沿着同一条直线航行，某一时刻，甲船在最前面的点处，乙船在中间的点处，丙A B 船在最后面的点处，且．一架无人机在空中C :3:1BC AB =的点处对它们进行数据测量，在同一时刻测得，P 030APB ∠=．（船只与无人机的大小及其它因素忽略不计）090BPC ∠=（1）求此时无人机到甲、丙两船的距离之比；（2）若此时甲、乙两船相距米，求无人机到丙船的距100离．（精确到米）120.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分5分）如图：椭圆与双曲线有相同的焦点，它们在轴右侧有2212x y +=22221(0,0)x y a b a b-=>>12F F 、y 两个交点、，满足．将直线左侧的椭圆部分（含,两点）记为曲线，直线A B 220F A F B +=AB A B 1W 右侧的双曲线部分（不含,两点）记为曲线．以为端点作一条射线，分别交于点AB A B 2W 1F 1W ，交于点(点在第一象限),设此时=.(,)p p P x y 2W (,)M M M x y M M F 11m F P ⋅（1）求的方程; 2W （2）证明:，并探索直线与斜率之间的关系;1p x m=2MF 2PF （3）设直线交于点，求的面积的取值范围.2MF 1W N 1MF N ∆S 21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）现有正整数构成的数表如下： 第一行： 1第二行： 1 2第三行： 1 1 2 3第四行： 1 1 2 1 1 2 3 4第五行： 1 1 2 1 1 2 3 1 1 2 1 1 2 3 4 5…… …… ……第行：先抄写第1行,接着按原序抄写第2行,然后按原序抄写第3行,⋯,直至按原序抄写第行,k 1k -最后添上数.（如第四行，先抄写第一行的数1，接着按原序抄写第二行的数1，2，接着按k 原序抄写第三行的数1，1，2，3，最后添上数4）.将按照上述方式写下的第个数记作(如,,,,⋯,,⋯,n n a 11a =21a =32a =41a =73a =)．14153,4,a a == （1）用表示数表第行的数的个数，求数列的前项和；k t k {}k t k k T （2）第8行中的数是否超过73个？若是，用表示第8行中的第73个数，试求和的值；0n a 0n 0na若不是，请说明理由；（3）令，求的值．123n n S a a a a =++++ 2017S参考答案一、填空题：(共54分，第1~6题每题4分；第7~12题每题5分)1.2.3.4. 5. 6.{}1,4(1,0)[]1,3187107. 8.9.10.11.12. 1|2,3x x k k Z ππ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭2-5(,1)9880025二、选择题：(共20分，每题5分)13. A 14. A 15. D 16. C三、解答题17、解：（1）以点A 为原点，以AB 方向为x 轴正方向，AD 方向为y 轴正方向，建立空间直角坐标系，则,--------2分(0,0,2),(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0)P A B C D 所以，,--------4分(2,2,2),(2,0,0)PC AB =-=设的夹角为，,PC ABα则分cos PC AB PC AB α⋅===⋅所以，的夹角为，,PC AB即异面直线PC 与AB 所成角的大小为.--------6分（2）因为点、分别是棱和的中点，E F AD PC 可得，，所以，--------8分(0,1,0)E (1,1,1)F (1,0,1)EF =又，，--------10分(0,2,0)BC = (2,2,2)PC =-计算可得，--------12分0,0EF PC EF BC ⋅=⋅=所以，，又，所以EF ⊥平面PBC .--------14分,EF PC EF BC ⊥⊥PC BC C =18、(1) 因为函数是定义域为R 的偶函数，所以有，-2分41()2x xm f x ⋅+=()()f x f x -=即， 414122x x x xm m --⋅+⋅+=即， ------------------------------4分44122x x x xm m +⋅+=故m =1.-----------------------------------------6分(2)，且在上恒成立，241()0,3102x xf x k +=>+>22()31k f x k ⋅>+(,0)-∞故原不等式等价于在上恒成立，--------------------8分22131()k k f x >+(,0)-∞又x ，所以， -------------------------------------10分∈(,0)-∞()()2,f x ∈+∞所以，----------------------------11分110,()2f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭从而，----------------------------12分221312k k ≥+因此，. -------------------------------------------------------------------14分1,13k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦19、(1)在中，由正弦定理，得APB ∆1sin sin 2AP AB ABABP APB==∠∠，-----------2分在中，由正弦定理，得 BPC ∆sin sin 1CP BC BCCBP CPB ==∠∠，-----------4分 又，，--------------------------------------------6分31BC AB =sin sin ABP CBP ∠=∠故.即无人机到甲、丙两船的距离之比为.-----------------------7分23AP CP =23(2)由得AC =400，且， ------------------------------9分:3:1BC AB =0120APC ∠= 由(1)，可设AP =2x ，则CP =3x ， ---------------------------------------------10分 在中，由余弦定理，得160000=(2x )2+(3x )2-2(2x )(3x )cos1200，------12分APC ∆解得x=CBAP即无人机到丙船的距离为CP =3x米. ----14分275≈20、解：（1）由条件，得，根据知，F 2、A 、B 三点共线，2(1,0)F 220F A F B +=且由椭圆与双曲线的对称性知，A 、B 关于x 轴对称，故AB 所在直线为x =1，从而得，.--------------2分A (1,B所以，,又因为为双曲线的焦点，所以，221112a b-=2F 221a b +=解得. ---------------------------------------------------------------3分2212a b ==因此，的方程为(). ------------4分2W 2211122x y -=1x >(2) 由P (x p ,y p )、M (x M ,y M )，得=(x p +1,y p )，=(x M +1,y M )，1F P 1F M由条件，得，即， ---------------5分1(1)M p M p x m x y my +=+⎧⎪⎨=⎪⎩1M p Mp x mx m y my =+-⎧⎪⎨=⎪⎩由P (x p ,y p )、M (x M ,y M )分别在曲线和上，有1W 2W，消去y p ，得2222122(1)2()1p p p p x y mx m my ⎧+=⎪⎨⎪+--=⎩(*) ---------------7分2234(1)140p p m x m m x m +-+-=将代入方程(*)，成立，因此(*)有一根,结合韦达定理得另一根为，因为1m 1p x m =143p m x m-=,所以<-1，舍去.1m >143p mx m-=所以，. -----------------------------------------------------8分1p x m=从而点坐标为(，P 1m所以，直线的斜率，-------------------------------------9分2PF 2PF k =由,得M (1M p x mx m m =+-=m 所以，直线的斜率.--------------------10分2MF 2MF k =因此，与斜率之和为零. ---------------------------------11分2MF 2PF （3）由(2)知直线与关于x 轴对称，结合椭圆的对称性知点P 与点N 关于x 轴对称，故(,2PF 2NF N m1), -----------------------------12分1m-212-m 因此，S=⨯|F 1F 2|(|y M |+|y N |)=⨯2(+)2121212-m m 1212-m =+，-----------14分212-m 2211m -因为S 在上单调递增, ----------------------------------15分()1,+∞所以,S 的取值范围是.----------------------------------------------------16分)+∞21、解：（1）当时，2k ≥ ，----------------------------------------------------------------2分1211k k t t t t -=+++ ，1121k k t t t t +=+++ 于是，即，又， ---------------------3分1k k k t t t +-=12k k t t +=2112,1t t t == 所以，12k k t -=故. ---------------4分21122221k k k T -=++++=- （2）由得第8行中共有27=128个数，12k k t -=所以，第8行中的数超过73个，-------6分，-----7分707732173200n T =+=-+=从而，，020073n a a a ==由26-1=63<73，27-1=127>73，所以，按上述顺序依次写下的第73个数应是第7行的第73-63=10个数，同上过程知=2，--------------------------------------------------------9分7310a a =所以，.--------------------------------------------------------------10分02n a =（3）由于数表的前n 行共有个数，于是，先计算.21n-21n S -方法一：在前个数中，共有1个，2个，22个，……，2n -k 个，21n-n 1n -2n -k ……，2n-1个1， ---------------------------------------------------12分 因此=n ×1+(n -1)×2+…+ k ×2n -k +…+2×2n -2+1×2n -121n S - 则2×=n ×2+(n -1)×22+…+ k ×2n-k+1+…+2×2n-1+1×2n 21n S -两式相减，得=+2+22+…+2n-1+2n ＝2n+1-n -2.------------15分21n S -n -方法二：由此数表构成的过程知，，---------------12分121212n n S S n ---=+则+n +2=2(+n +1)，21n S -121n S --即数列{+n +2}是以S 1+1+2=4为首项，2为公比的等比数列,21n S -所以+n +2＝4×2n-1，即=2n+1-n -2. ------------------------------15分21n S -21n S -S 2017=+S 994 -----------------------------------------------------------------16分1021S -=++S 4831021S -921S -=+++S 2281021S -921S -821S -＝++++S 1011021S -921S -821S -721S -=+++++S 381021S -921S -821S -721S -621S -=++++++S 71021S -921S -821S -721S -621S -521S -=(211-12)+(210-11)+(29-10)+(28-9)+(27-8)+(26-7)+(24-5)=3986. ------------------------------------------------------------------------18分。
07.2017-2020上海市高三数学二模分类汇编：解析几何
1（2018松江二模）. 双曲线22219x y a -=（0a >）的渐近线方程为320x y ±=，则a = 1（2018普陀二模）. 抛物线212x y =的准线方程为2（2017奉贤二模）. 若关于x 、y 的方程组12ax y x y +=⎧⎨+=⎩无解，则a = 2（2017黄浦二模）. 若关于x 、y 的方程组10420ax y x ay +-=⎧⎨+-=⎩有无数多组解，则实数a = 2（2018虹口二模）. 直线(1)10ax a y +-+=与直线420x ay +-=互相平行，则实数a = 2（2018宝山二模）. 设抛物线的焦点坐标为(1,0)，则此抛物线的标准方程为2（2019松江二模）. 抛物线22y x =的准线方程为2（2019杨浦二模）. 方程组3102540x y x y -+=⎧⎨+-=⎩的增广矩阵为2（2019宝山二模）. 圆22266x y x y +-+=的半径r =2（2019普陀二模）. 双曲线22:1169x y C -=的顶点到其渐近线的距离为 3（2018奉贤二模）. 抛物线2y x =的焦点坐标是3（2019宝山二模）. 过点(2,4)A -，且开口向左的抛物线的标准方程是3（2019黄浦二模）. 椭圆2212x y +=的焦距长为 3（2020闵行二模）. 若直线10ax by ++=的方向向量为(1,1)，则此直线的倾斜角为 3（2020松江二模）. 已知动点P 到定点(1,0)的距离等于它到定直线:1l x =-的距离，则点P 的轨迹方程为4（2017虹口二模）. 若方程组2322ax y x ay +=⎧⎨+=⎩无解，则实数a = 4（2017浦东二模）. 抛物线214y x =的焦点到准线的距离为 4（2017长宁二模）. 已知双曲线22221(3)x y a a -=+(0)a >的一条渐近线方程为2y x =，则a =4（2017宝山二模）. 已知双曲线222181x y a -=(0)a >的一条渐近线方程为3y x =，则a = 4（2017崇明二模）. 设m 为常数，若点(0,5)F 是双曲线2219y x m -=的一个焦点，则m =4（2018青浦二模）. 已知抛物线2x ay =的准线方程是14y =-，则a =4（2018长嘉二模）. 已知平面直角坐标系xOy 中动点(,)P x y 到定点(1,0)的距离等于P 到定直线1x =-的距离，则点P 的轨迹方程为4（2019普陀二模）. 设直线l 经过曲线12cos :12sin x C y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数，02θπ≤≤）的中心，且其方向向量(1,1)d =，则直线l 的方程为4（2020黄浦二模）. 若直线1:350l ax y +-=与2:210l x y +-=互相垂直，则实数a 的值为4（2020宝山二模）. 已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的实轴与虚轴长度相等，则C 的渐近线方程是4（2020奉贤二模）. 已知P 为双曲线22:1412x y Γ+=上位于第一象限内的点，1F 、2F 分别为Γ的两焦点，若12F PF ∠是直角，则点P 坐标为5（2019青浦二模）. 在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2214x y -=经过抛物线22y px =（0p >）的焦点，则p =5（2019崇明二模）. 已知椭圆的焦点在x 轴上，焦距为2，且经过点(0,2)，则该椭圆的标准方程为5（2019松江二模）. 若x 、y 的方程组10240x my x y n +-=⎧⎨-+=⎩有无穷多组解，则11m n 的值为 5（2020闵行二模）. 已知圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30°，则该圆锥的侧面积为5（2020青浦二模）. 双曲线22144x y -=的一个焦点到一条渐近线的距离是 6（2017虹口二模）. 已知双曲线2221y x a -=（0a >），它的渐近线方程是2y x =±，则a 的值为6（2019徐汇二模）. 若2i +（i 是虚数单位）是关于x 的实系数方程20x mx n ++=的一个根，则圆锥曲线221x y m n+=的焦距是 6（2019虹口二模）. 已知1F 、2F 是椭圆22:13627x y C +=的两个焦点，点P 为椭圆C 上的点，1||8PF =，若M 为线段1PF 的中点，则线段OM 的长为6（2020金山二模）. 已知双曲线2221x y a-=(0)a >的一条渐近线方程为20x y -=，则实数a =7（2017黄浦二模）. 已知圆22:(4)(3)4C x y -+-=和两点(,0)A m -，(,0)B m ，0m >，若圆C 上至少存在一点P ，使得90APB ︒∠=，则m 的取值范围是7（2018虹口二模）. 已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且2a 、4a 、3a 成等差数列，则q =7（2018金山二模）. 若某线性方程组对应的增广矩阵是421m m m ⎛⎫⎪⎝⎭，且此方程组有唯一一组解，则实数m 的取值范围是7（2019崇明二模）. 已知直线1:(3)(4)10l a x a y -+-+=与2:2(3)230l a x y --+=平行，则a =7（2019浦东二模）. 焦点在x 轴上，焦距为6，且经过点的双曲线的标准方程为 7（2019静安二模）．已知双曲线C 与椭圆131222=+y x 的焦点相同，且双曲线C 的一条渐近线方程为x y 25=，则双曲线C 的方程为___________． 7（2020黄浦二模）. 已知双曲线22221x y a b （0a >，0b >）的一条渐近线平行于直线:210l y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为8（2017嘉定二模）. 已知双曲线1C 与双曲线2C 的焦点重合，1C 的方程为1322=-y x ，若2C 的一条渐近线的倾斜角是1C 的一条渐近线的倾斜角的2倍，则2C 的方程为 8（2017奉贤二模）. 双曲线2213y x -=的左右两焦点分别是1F 、2F ，若点P 在双曲线上，且12F PF ∠为锐角，则点P 的横坐标的取值范围是 8（2017虹口二模）. 在平面直角坐标系中，已知点(2,2)P -，对于任意不全为零的实数a 、b ，直线:(1)(2)0l a x b y -++=，若点P 到直线l 的距离为d ，则d 的取值范围是 8（2018奉贤二模）. 无穷等比数列{}n a 的通项公式(sin )n n a x =，前n 项的和为n S ，若lim 1n n S →∞=，(0,)x π∈ 则x = 8（2018宝山二模）. 设无穷数列{}n a 的公比为q ，则245lim()n n a a a a →∞=++⋅⋅⋅+，则q = 8（2018静安二模）. 已知抛物线顶点在坐标原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点(,4)M a -(0)a >到焦点F 的距离为5，则该抛物线的标准方程为 8（2018崇明二模）. 已知椭圆2221x y a+=（0a >）的焦点1F 、2F ，抛物线22y x =的焦点为F ，若123F F FF =，则a = 8（2018杨浦二模）. 若双曲线2221613x y p-=(0)p >的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p =8（2019奉贤二模）. 双曲线的右焦点恰好是24y x =的焦点，它的两条渐近线的夹角为2π，则双曲线的标准方程为8（2020徐汇二模）. 已知直线(2)(1)30a x a y ++--=的方向向量是直线(1)(23)20a x a y -+++=的法向量，则实数a 的值为8（2020浦东二模）. 已知双曲线的渐近线方程为y x =±，且右焦点与抛物线24y x =的焦点重合，则这个双曲线的方程是9（2018普陀二模）. 设函数()log m f x x =（0m >且1m ≠），若m 是等比数列{}n a （*n N ∈）的公比，且2462018()7f a a a a ⋅⋅⋅=，则22221232018()()()()f a f a f a f a +++⋅⋅⋅+的值为9（2018浦东二模）. 已知抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽为8米，当水面下降1米后，水面的宽为 米9（2019长嘉二模）. 已知直线1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）与抛物线24y x =相交于A 、B 两点，若线段AB 中点的坐标为(,2)m ，则线段AB 的长为________9（2020闵行二模）. 已知直线1:l y x =，斜率为q （01q <<）的直线2l 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点0(0,)B a ，过0B 作x轴的平行线，交1l 于点1A ，过1A 作y 轴的平行线，交2l 于点1B ，再过1B 作x 轴的平行线交1l 于点2A ，⋅⋅⋅，这样依次得线段01B A 、11A B 、12B A 、22A B 、⋅⋅⋅、1n n B A -、n n A B ，记n x 为点n B 的横坐标，则lim n n x →∞= 9. 一个水平放置的等轴双曲线型的拱桥桥洞如图所示，已知当前拱桥的最高点离水面5米时，量得水面宽度30AB =米，则当水面升高1米后，水面宽度为 米（精确到0.1米）10（2017杨浦二模）. 设A 是椭圆222214x y a a +=-(0)a >上的动点，点F 的坐标为(2,0)-，若满足||10AF =的点A 有且仅有两个，则实数a 的取值范围为10（2017闵行/松江二模）. 已知椭圆2221y x b +=(01)b <<，其左、右焦点分别为1F 、2F ，12||2F F c =，若椭圆上存在点P ，使P 到直线1x c=距离是1||PF 与2||PF 的等差中项，则b 的最大值为10（2018静安二模）. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S （n ∈*N ），且63198S S =-，42158a a =--，则3a 的值为 10（2018杨浦二模）. 若为等比数列，0n a >，且20182a =，则2017201912a a +的最小值为 10（2018虹口二模）. 椭圆的长轴长等于m ，短轴长等于n ，则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为10（2018金山二模）. 平面上三条直线210x y -+=，10x -=，0x ky +=，如果这三条直线将平面化分为六个部分，则实数k 的取值组成的集合A =10（2018青浦二模）. 已知直线1:0l mx y -=，2:20l x my m +--=，当m 在实数范围内变化时，1l 与2l 的交点P 恒在一个定圆上，则定圆方程是10（2019杨浦二模）. 古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点(,0)A a -，(,0)B a ，动点P 满足||||PA PB λ=（其中a 和λ是正常数，且1λ≠），则P 的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”，该圆的半径为10（2019虹口二模）. 在平面直角坐标系xOy 中，边长为1的正六边形ABCDEF 的中心为坐标原点O ，如图所示，双曲线Γ是以C 、F 为焦点的，且经过正六边形的顶点A 、B 、D 、E ，则双曲线Γ的方程为10（2019黄浦二模）. 设[0,2)θπ∈，若圆222(cos )(sin )x y r θθ-+-=（0r >）与直线2100x y --=有交点，则r 的最小值为10（2020虹口二模）. 已知1F 、2F 是椭圆222:13x y C a +=（a >点O 且倾斜角为60°的直线与椭圆C 的一个交点为M ，若1212||||MF MF MF MF +=-，则椭圆C 的长轴长为{}na10（2020金山二模）. 若点集22{(,)|1}A x y x y =+≤，{(,)|22,11}B x y x y =-≤≤-≤≤，则点集12121122{(,)|,,(,),(,)}Q x y x x x y y y x y A x y B ==+=+∈∈所表示的区域的面积是 11（2017奉贤二模）. 已知实数x 、y 满足方程22(1)(1)1x a y -++-=，当o y b ≤≤（b R ∈）时，由此方程可以确定一个偶函数()y f x =，则抛物线212y x =-的焦点到点(,)a b 的轨迹上点的距离最大值为11（2017宝山二模）. 设向量(,)m x y =，(,)n x y =-，P 为曲线1m n ⋅=(0)x >上的一个动点，若点P 到直线10x y -+=的距离大于λ恒成立，则实数λ的最大值为11（2018黄浦二模）. 已知数列{}n a 是共有k 个项的有限数列，且满足11(2,,1)n n n n a a n k a +-=-=-，若124a =，251a =，0k a =，则k =11（2018奉贤二模）. 角α的始边是x 轴正半轴，顶点是曲线2225x y +=的中心，角的终边与曲线2225x y +=的交点A 的横坐标是3-，角2α的终边与曲线2225x y +=的交点是B ，则过B 点的曲线2225x y +=的切线方程是 （用一般式表示）11（2018金山二模）. 已知双曲线22:198x y C -=，左、右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 作一直线与双曲线C 的右半支交于P 、Q 两点，使得190F PQ ∠=︒，则1F PQ ∆的内切圆的半径r =11（2018青浦二模）. 已知曲线:9C y x =--，直线:2l y =，若对于点(0,)A m ，存在C 上的点P 和l 上的点Q ，使得0AP AQ +=，则m 取值范围是 11（2020青浦二模）. 已知正三角形ABC 的三个顶点均在抛物线2x y =上，其中一条边所ABC 的三个顶点的横坐标之和为12（2017长宁二模）. 对于给定的实数0k >，函数()k f x x=的图像上总存在点C ，使得以C 为圆心，1为半径的圆上有两个不同的点到原点O 的距离为1，则k 的取值范围是12（2018普陀二模）. 点1F 、2F 分别是椭圆22:12x C y +=的左、右焦点，点N 为椭圆C 的上顶点，若动点M 满足：212||2MN MF MF =⋅，则12|2|MF MF +的最大值为12（2018青浦二模）. 已知22sin 1cos 1a a M a a θθ-+=-+（,a θ∈R ，0a ≠），则M 的取值范围是 12（2018长嘉二模）. 若实数x 、y 满足114422x y x y +++=+，则22x y S =+的取值范围是 12（2019黄浦二模）. 已知复数集合{i |||1,||1,,}A x y x y x y =+≤≤∈R ，F α221133{|(i),}44B z z z z A ==+∈，其中i 为虚数单位，若复数z A B ∈，则z 对应的点Z 在复平面内所形成图形的面积为12（2019金山二模）. 正方形ABCD 的边长为2，对角线AC 、BD 相交于点O ，动点P 满足2||2OP =，若AP mAB nAD =+，其中m 、n ∈R ，则2122m n ++的最大值是 12（2020奉贤二模）. 在平面直角坐标系内有两点(,1)A m -，(2,1)B -，2m <，点A 在抛物线22y px =上，F 为抛物线的焦点，若2||||6AB AF +=，则m =12（2020普陀二模）. 设双曲线222:1x y aΓ-=（0a >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，点M 在Γ的右支上，向量是(1,)d a =是直线1F M 的一个方向向量，若124F MF π∠=，则Γ的焦距为 12（2020金山二模）. 设n ∈*N ，n a 为(2)(1)n n x x +-+的展开式的各项系数之和，162m t =-+，t ∈R ，1222[][][]333n n n na a a b =++⋅⋅⋅+（[]x 表示不超过实数x 的最大整数），则22()()n t b m -+-的最小值为12（2020杨浦二模）. 已知抛物线1Γ与2Γ的焦点均为点(2,1)F ，准线方程分别为0x =与5120x y +=，设两抛物线交于A 、B 两点，则直线AB 的方程为12（2020黄浦二模）. 点A 是曲线22y x =+（2y ≤）上的任意一点，(0,2)P -，(0,2)Q ，射线QA 交曲线218y x =于B 点，BC 垂直于直线3y =，垂足为点C ，则下列结论：（1）||||AP AQ -为定值2（2）||||QB BC +为定值5；（3）||||||PA AB BC ++为定值52；其中正确结论的序号是13（2017普陀二模）. 动点P 在抛物线122+=x y 上移动，若P 与点(0,1)Q -连线的中点为M ，则动点M 的轨迹方程为（ ）A. 22x y =B. 24x y =C. 26x y =D. 28x y =13（2019普陀二模）. 若椭圆的焦点在x 轴上，焦距为263,2)，则该椭圆的标准方程为（ ） A. 22193y x += B. 2213612x y += C. 2213612y x += D. 22193x y += 13（2020静安二模）. 方程222980x xy y -+=的曲线C 所满足的性质为（ ）① 不经过第二、四象限；② 关于x 轴对称；③ 关于原点对称；④ 关于直线y x =对称；A. ①③B. ②③C. ①④D. ①②13（2020普陀二模）. 对于抛物线，“方程24y x =”是“焦点到准线的距离等于2”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件13（2020虹口二模）. 已知抛物线24y x =上的点M 到它的焦点的距离为5，则点M 到y 轴的距离为（ ）A. 2B. 4C. 5D. 613（2020松江二模）. 若O 为坐标原点，P 是直线20x y -+=上的动点，则||OP 的最小值为（ ）A. B. C. D. 213（2020宝山二模）. 抛物线24y x =的准线方程是（ ）A. 2x =-B. 1x =-C. 18y =-D. 116y =- 13（2020金山二模）. 已知直角坐标平面上两条直线的方程分别为1111:0l a x b y c ++=，2222:l a x b y c ++0=，那么“11220a b a b =”是“两直线1l 、2l 平行”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件14（2017崇明二模）. ||2b <是直线y b =+与圆2240x y y +-=相交的（ ） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件14（2018青浦二模）. 若无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为1，公比为12，且lim n n S a →∞=，（n ∈*N ），则复数1z a i=+（i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限14（2018青浦二模）. 若已知极限sin lim0n n n →∞=，则3sin lim sin 2n n n n n →∞--的值为（ ） A. 3- B. 32- C. 1- D. 12- 14（2018奉贤二模）. 设直线l 的一个方向向量(6,2,3)d =，平面α的一个法向量(1,3,0)n =-，则直线l 与平面α的位置关系是（ ）A. 垂直B. 平行C. 直线l 在平面α内D. 直线l 在平面α内或平行 14（2018青浦二模）. 椭圆的参数方程为5cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），则它的两个焦点坐标是（ ）A. (4,0)±B. (0,4)±C. (5,0)±D. (0,3)±14（2019松江二模）. 过点(1,0)与双曲线2214x y -=仅有一个公共点的直线有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条14（2020崇明二模）. 若抛物线28y x =的焦点F 与双曲线2213x y n-=的一个焦点重合，则n 的值为（ ） A. 1- B. 1 C. 2 D. 1315（2017崇明二模）. 若等比数列{}n a 的公比为q ，则关于x 、y 的二元一次方程组152421a x a y a x a y +=⎧⎨+=⎩的解的情况下列说法正确的是（ ） A. 对任意q R ∈（0q ≠），方程组有唯一解 B. 对任意q R ∈（0q ≠），方程组都无解C. 当且仅当12q =时，方程组有无穷多解D. 当且仅当12q =时，方程组无解 15（2017黄浦二模）. 已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，则其渐近线方程为（ ）A. 20x y ±=B. 20x y ±=C. 430x y ±=D. 340x y ±=15（2017静安二模）. 曲线C 为：到两定点(2,0)M -、(2,0)N 距离乘积为常数16的动点P 的轨迹，以下结论正确的个数为（ ）① 曲线C 一定经过原点；② 曲线C 关于x 轴对称，但不关于y 轴对称；③ △MPN 的面 积不大于8；④ 曲线C 在一个面积为60的矩形范围内.A. 0B. 1C. 2D. 315（2018奉贤二模）. 已知正数数列{}n a 是公比不等于1的等比数列，且12019lg lg 0a a +=，若22()1f x x =+，则122019()()()f a f a f a +++=（ ）A. 2018B. 4036C. 2019D. 403815（2018普陀二模）. 设n S 是无穷等差数列{}n a 前n 项和（*n N ∈），则“lim n n S →∞存在”是“该数列公差0d =”的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充分必要D. 既非充分也非必要15（2018虹口二模）. 直线:10l kx y k -++=与圆228x y +=交于A 、B两点，且||AB =，过点A 、B 分别作l 的垂线与y 轴交于点M 、N ，则||MN 等于（ ）A. B. 4 C.D. 815（2018杨浦二模）. 已知22110a b +≠，22220a b +≠，则“11220a b a b =”是“直线1111:0l a x b y c ++=与2222:0l a x b y c ++=平行”的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分也非必要15（2019宝山二模）. 已知双曲线22221x y a b-=（0a b >>）的右焦点为(,0)F c ，直线()y k x c =-与双曲线的右支有两个交点，则（ ） A. ||b k a > B. ||b k a < C. ||c k a > D. ||c k a< 15（2019虹口二模）. 已知直线l 经过不等式组21034020x y x y y -+≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域，且与圆22:16O x y +=相交于A 、B 两点，则当||AB 最小时，直线l 的方程为（ ）A. 20y -=B. 40x y -+=C. 20x y +-=D. 32130x y +-=15（2019金山二模）. 设1F 、2F 是双曲线C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的两个焦点，P 是C 上一点，若12||||6PF PF a +=，12PF F ∠是△12PF F 的最小内角，且1230PF F ︒∠=，则双曲线C 的渐近线方程是（ ）A. 0x ±=B. 0y ±=C. 20x y ±=D. 20x y ±=15（2019崇明二模）. 已知线段AB 上有一动点D （D 异于A 、），线段，且满足（是大于0且不等于1的常数），则点的运动轨迹为（ ）A. 圆的一部分B. 椭圆的一部分C. 双曲线的一部分D. 抛物线的一部分 15（2019徐汇二模）. 已知直线和直线，则抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是（ ）A. B. C. 2 D. 15（2019奉贤二模）. 已知△的周长为12，，(0,2)C ，则顶点的轨迹方程为（ ）A. B. C. D. 15（2019长嘉二模）. 已知圆的圆心为，过点且与轴不重合的直线交圆于、两点，点在点与点之间，过点作直线的平行线交直线于点，则点的轨迹是（ ） B CD AB ⊥2CD AD BD λ=⋅λC 1:4360l x y -+=2:1l x =-24y x =P 1l 2l 371611574ABC (0,2)B -A 2211216x y +=(0)x ≠2211216x y +=(0)y ≠2211612x y +=(0)x ≠2211612x y +=(0)y ≠22(2)9x y -+=C (2,0)M -x l C A B A M B M AC BC P PA. 圆的一部分B. 椭圆的一部分C. 双曲线的一部分D. 抛物线的一部分 15（2020闵行二模）. 已知抛物线的方程为24y x =，过其焦点F 的直线交此抛物线于M 、N 两点，交y 轴于点E ，若1EM MF λ=，2EN NF λ=，则12λλ+=（ ）A. 2-B. 12-C. 1D. 1- 15（2020杨浦二模）. 设1F 、2F 是椭圆22194x y +=的两焦点，A 与B 分别是该椭圆的右顶点与上顶点，P 是该椭圆上的一个动点，O 是坐标原点，记2122s OP F P F P =-⋅，在动点P在第一象限内从A 沿椭圆向左上方运动到B 的过程中，s 的大小的变化情况为（ ） A. 逐渐变大 B. 逐渐变小 C. 先变大后变小 D. 先变小后变大15（2020青浦二模）. 记椭圆221441x ny n +=+围成的区域（含边界）为n Ω（1,2,n =⋅⋅⋅），当点(,)x y 分别在1Ω，2Ω，⋅⋅⋅上时，x y +的最大值分别是1M ，2M ，⋅⋅⋅，则lim n n M →∞=（ ）A. 2B. 4C. 3D. 16（2017虹口二模）. 已知点(,)M a b 与点(0,1)N -在直线3450x y -+=的两侧，给出以下结论：① 3450a b -+>；② 当0a >时，a b +有最小值，无最大值；③ 221a b +>；④ 当0a >且1a ≠时，11b a +-的取值范围是93(,)(,)44-∞-+∞； 正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 416（2017徐汇二模）. 过椭圆2214x y m m +=-(4)m >右焦点F 的圆与圆22:1O x y +=外切，则该圆直径FQ 的端点Q 的轨迹是（ ）A. 一条射线B. 两条射线C. 双曲线的一支D. 抛物线12B. 数列12,,y y ⋅⋅⋅的“准最大项”存在，且为3π C. 数列12,,y y ⋅⋅⋅的“准最大项”存在，且为4π D. 数列12,,y y ⋅⋅⋅的“准最大项”不存在16（2018虹口二模）. 已知数列{}n a 的首项1a a =，且04a <≤，14464n n n n n a a a a a +->⎧=⎨-≤⎩，n S 是此数列的前n 项和，则以下结论正确的是（ ）A. 不存在a 和n 使得2015n S =B. 不存在a 和n 使得2016n S =C. 不存在a 和n 使得2017n S =D. 不存在a 和n 使得2018n S = 16（2018长嘉二模）. 在计算机语言中，有一种函数()y INT x =叫做取整函数（也叫高斯函数），它表示y 等于不超过x 的最大整数，如(0.9)0INT =，(3.14)3INT =，已知2(10)7n n a INT =⨯，11b a =，110n n n b a a -=-（*n N ∈，且2n ≥），则2018b 等于（ ）A. 2B. 5C. 7D. 816（2018崇明二模）. 在平面直角坐标系中，定义1212(,)max{||,||}d A B x x y y =--为两点11(,)A x y 、22(,)B x y 的“切比雪夫距离”，又设点P 及l 上任意一点Q ，称(,)d P Q 的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”，记作(,)d P l ，给出下列三个命题： ① 对任意三点A 、B 、C ，都有(,)(,)(,)d C A d C B d A B +≥； ② 已知点(3,1)P 和直线:210l x y --=，则4(,)3d P l =； ③ 定点1(,0)F c -、2(,0)F c ，动点(,)P x y 满足12|(,)(,)|2d P F d P F a -=（220c a >>）， 则点P 的轨迹与直线y k =（k 为常数）有且仅有2个公共点； 其中真命题的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 316（2019金山二模）. 若实数a 、b 满足01012b a a b a ≥--≤+≤-⎧⎪⎨⎪⎩，则223b ab a -的取值范围是（ ） A. [2,0]- B. [)9,4-+∞ C. 9[,2]4-- D. []9,40-16（2020闵行二模）. 关于x 的实系数方程2450x x -+=和220x mx m ++=有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则m 的取值范围是（ ）A. {5}B. {1}-C. (0,1)D. (0,1){1}- 17（2020静安二模）. 已知抛物线2:4y x Γ=的焦点为F ，若△ABC 的三个顶点都在抛物线Γ上，且0FA FB FC ++=，则称该三角形为“核心三角形”.（1）是否存在“核心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为(0,0)和(1,2)？请说明理由； （2）设“核心三角形”ABC 的一边AB 所在直线的斜率为4，求直线AB 的方程； （3）已知△ABC 是“核心三角形”，证明：点A 的横坐标小于2.18（2017崇明二模）. 设1F 、2F 分别为椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左、右焦点，点A 为椭圆C 的左顶点，点B 为椭圆C 的上顶点，且||AB =12BF F ∆为直角三角形；（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线2y kx =+与椭圆交于P 、Q 两点，且OP OQ ⊥，求实数k 的值；18（2018静安二模）. 已知椭圆Γ的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍，两焦点分别为1F 和2F ，椭圆Γ上一点到1F 和2F 的距离之和为12. 圆22:24210()k A x y kx y k ++--=∈R 的圆心为k A .（1）求△12k A F F 的面积；（2）若椭圆上所有点都在一个圆内，则称圆包围这个椭圆. 问：是否存在实数k 使得圆k A 包围椭圆Γ？请说明理由.18（2018崇明二模）. 已知点1F 、2F 依次为双曲线2222:1x y C a b-=（,0a b >）的左右焦点，12||6F F =，1(0,)B b -，2(0,)B b .（1）若a =，以(3,4)d =-为方向向量的直线l 经过1B ，求2F 到l 的距离； （2）若双曲线C 上存在点P ，使得122PB PB ⋅=-，求实数b 的取值范围.19（2017浦东二模）. 已知双曲线22:143x y C -=，其右顶点为P . （1）求以P 为圆心，且与双曲线C 的两条渐近线都相切的圆的标准方程；（2）设直线l 过点P ，其法向量为(1,1)n =-，若在双曲线C 上恰有三个点1P 、2P 、3P 到 直线l 的距离均为d ，求d 的值.19（2017静安二模）. 设点1F 、2F 是平面上左、右两个不同的定点，12||2F F m =，动点P 满足：21212||||(1cos )6PF PF F PF m ⋅+∠= （1）求证：动点P 的轨迹Γ为椭圆；（2）抛物线C 满足：① 顶点在椭圆Γ的中心；② 焦点与椭圆Γ的右焦点重合. 设抛物线C 与椭圆Γ的一个交点为A ，问：是否存在正实数m ，使得△12AF F 的边长为连 续自然数，若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由.19（2017崇明二模）. 某校兴趣小组在如图所示的矩形域ABCD 内举行机器人拦截挑战赛，在E 处按EP 方向释放机器人甲，同时在A 处按某方向释放机器人乙，设机器人乙在Q 处成功拦截机器人甲，若点Q 在矩形域ABCD 内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败；已知18AB =米，E 为AB 中点，机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，比赛中两机器人均按匀速直线运动方式行进，记EP 与EB 的夹角为θ；（1）若60θ=︒，AD 足够长，则如何设置机器人乙的释放角度才能挑战成功？ （结果精确到0.1︒）（2）如何设计矩形域ABCD 的宽AD 的长度，才能确保无论θ的值为多少，总可以通过 设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形域ABCD 内成功拦截机器人甲？19（2017嘉定二模）. 如图，已知椭圆C ：12222=+b y a x （0>>b a ）过点3(1,)2，两个焦点为)0,1(1-F 和2(1,0)F ，圆O 的方程为222a y x =+；（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过1F 且斜率为k （0>k ）的动直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，与圆O 交于P 、Q 两点（点A 、P 在x 轴上方），当||2AF 、||2BF 、||AB 成等差数列时，求弦PQ 的长；AEBCP19（2017长宁/宝山二模）. 已知抛物线22y px =(0)p >，其准线方程为10x +=，直线l 过点(,0)T t (0)t >且与抛物线交于A 、B 两点，O 为坐标原点. （1）求抛物线方程，并证明：OA OB ⋅的值与直线l 倾斜角的大小无关； （2）若P 为抛物线上的动点，记||PT 的最小值为函数()d t ，求()d t 的解析式.19（2018杨浦二模）. 已知数列{}n a ，其前n 项和为n S ，满足12a =，1n n n S na a λμ-=+，其中2n ≥，n ∈*N ，λ，μ∈R .（1）若0λ=，4μ=，12n n n b a a +=-（n ∈*N ），求数列{}n b 的前n 项和； （2）若23a =，且32λμ+=，求证：数列{}n a 是等差数列.19（2018虹口二模）. 平面内的“向量列” {}n a ，如果对于任意的正整数n ，均有1n n a a d +-=，则称此“向量列”为“等差向量列”， d 称为“公差向量”，平面内的“向量列” {}n b ，如果对于任意的正整数n ，均有1n n b q b +=⋅（0q ≠），则称此“向量列”为“等比向量列”，常数q 称为“公比”.（1）如果“向量列” {}n a 是“等差向量列”，用1a 和“公差向量” d 表示12n a a a ++⋅⋅⋅+； （2）已知{}n a 是“等差向量列”，“公差向量” (3,0)d =，1(1,1)a =，(,)n n n a x y =，{}n b 是“等比向量列”，“公比” 2q =，1(1,3)b =，(,)n n n b m k =，求1122n n a b a b a b ⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅.19（2018黄浦二模）. 已知动点(,)M x y 到点(2,0)F 的距离为1d ，动点(,)M x y 到直线3x =的距离为2d，且12d d = （1）求动点(,)M x y 的轨迹C 的方程；（2）过点F 作直线:(2)(0)l y k x k =-≠交曲线C 于P 、Q 两点，若△OPQ的面积OPQ S ∆=(O 是坐标系原点)，求直线l 的方程.19（2018金山二模）. 已知椭圆22:143x y Γ+=的右焦点为F ，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆Γ交于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点（点A 在x 轴上方），点A 关于坐标原点的对称点为P ，直线PA 、PB 分别交直线:4l x =于M 、N 两点，记M 、N 两点的纵坐标分别为M y 、N y . （1）求直线PB 的斜率（用k 表示）；（2）求点M 、N 的纵坐标M y 、N y （用1x 、1y 表示）， 并判断M N y y ⋅是否为定值？若是，请求出该定值，若不 是，请说明理由.19（2018青浦二模）. 已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的一个顶点坐标为(2,0)A ，且长轴长是短轴长的两倍. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点(1,0)D 且斜率存在的直线交椭圆于G 、H ，G 关于x 轴的对称点为G '，求证：直线G H '恒过定点(4,0).19（2018浦东二模）. 已知双曲线22:1C x y -=.（1）求以右焦点为圆心，与双曲线C 的渐近线相切的圆的方程；（2）若经过点(0,1)P -的直线与双曲线C 的右支交于不同两点M 、N ，求线段MN 的中垂线l 在y 轴上截距t 的取值范围.19（2018普陀二模）. 某市为改善市民出行，大力发展轨道交通建设，规划中的轨道交通s 号线线路示意图如图所示，已知M 、N 是东西方向主干道边两个景点，P 、Q 是南北方向主干道边两个景点，四个景点距离城市中心O 均为52km ，线路AB 段上的任意一点到景点N 的距离比到景点M 的距离都多10km ，线路BC 段上的任意一点到O 的距离都相等，线路CD 段上的任意一点到景点Q 的距离比到景点P 的距离都多10km ，以O 为原点建立平面直角坐标系xOy .（1）求轨道交通s 号线线路示意图所在曲线的方程；（2）规划中的线路AB 段上需建一站点G 到景点Q 的距离最近，问如何设置站点G 的位置？19（2019徐汇二模）. 2018年世界人工智能大会已于2018年9月在上海徐汇西岸举行，某高校的志愿者服务小组受大会展示项目的启发，会后决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏，如图，、两个信号源相距10米，是的中点，过点的直线与直线的夹角为45°，机器猫在直线上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足：接收到点的信号比接收到点的信号晚秒（注：信号每秒传播米），在时刻时，测得机器鼠距离点为4米. （1）以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系（如图），求时刻时机器鼠所在 位置的坐标；（2）游戏设定：机器鼠在距离直线不超过1.5米的区域运动时，有“被抓”风险，如果机 器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？19（2019浦东二模）. 浦东一模之后的“大将”洗心革面，再也没进过网吧，开始发奋学习，2019年春节档非常热门的电影《流浪地球》引发了他的思考：假设地球（设为质点，地球半径忽略不计）借助原子发动机开始流浪的轨道是以木星（看作球体，其半径约为万米）的中心为右焦点的椭圆，已知地球的近木星点（轨道上离木星表面最近的点）到木星表面的距离为100万米，远木星点（轨道上离木星表面最远的点）到木星表面距离为2500万米.（1）求如图给定的坐标系下椭圆的标准方程；（2）若地球在流浪的过程中，由第一次逆时针流浪到与轨道中心的距离为万米时（其中、分别为椭圆长半轴、短半轴的长），由于木星引力，部分原子发动机突然失去了动力，此时地球向着木星方向开始变轨（如图所示），假定地球变轨后的轨道为一条直线，称该直线的斜率为“变轨系数”，求“变轨系数”的取值范围，使地球与木星不会发生碰撞.（精确到小数点后一位）A B O AB O l AB l A B 08v 0v 0t O O AB x 0t l P 700R F C A B C A O ab a b L k k20（2017虹口二模）. 已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>），定义椭圆C 上的点00(,)M x y 的“伴随点”为00(,)x y N a b； （1）求椭圆C 上的点M 的“伴随点”N 的轨迹方程； （2）如果椭圆C 上的点3(1,)2的“伴随点”为13(,)22b，对于椭圆C 上的任意点M 及它的 “伴随点”N ，求OM ON ⋅的取值范围；（3）当2a =，b =l 交椭圆C 于A ，B 两点，若点A ，B 的“伴随点”分别是P ，Q ，且以PQ 为直径的圆经过坐标原点O ，求OAB ∆的面积；20（2017闵行/松江二模）. 设直线l 与抛物线24y x =相交于不同两点A 、B ，与圆222(5)x y r -+=(0)r >相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.（1）若△AOB 是正三角形（O 为坐标原点），求此三角形的边长； （2）若4r =，求直线l 的方程；（3）试对(0,)r ∈+∞进行讨论，请你写出符合条件的直线l 的条数（只需直接写出结果）.20（2017普陀二模）. 已知曲线Γ：13422=+y x ，直线l 经过点()0,m P 与Γ相交于A 、B 两点；（1）若(0,C 且||2PC =，求证：P 必为Γ的焦点；（2）设0>m ，若点D 在Γ上，且||PD 的最大值为3，求m 的值；（3）设O 为坐标原点，若3=m ，直线l 的一个法向量为(1,)n k =，求AOB ∆面积的最大值；20（2017黄浦二模）. 设椭圆2222:1x y M a b+=(0)a b >>的左顶点为A ，中心为O ，若椭圆M 过点11(,)22P -，且AP PO ⊥. （1）求椭圆M 的方程；（2）若△APQ 的顶点Q 也在椭圆M 上，试求△APQ 面积的最大值；（3）过点A 作两条斜率分别为1k 、2k 的直线交椭圆M 于D 、E 两点，且121k k =，求证： 直线DE 恒过一个定点.20（2017徐汇二模）. 如图：椭圆2212x y +=与双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>有相同的焦点1F 、2F ，它们在y 右侧有两个交点A 、B ，满足220F A F B +=，将直线AB 左侧的椭圆部分（含A 、B 两点）记为曲线1W ，直线AB 右侧的双曲线部分（不含A 、B 两点）记为曲线2W ，以1F 为端点作一条射线，分别交1W 于点(,)P P P x y ，交2W 于点(,)M M M x y （点M 在第一象限），设此时11F M mF P =. （1）求2W 的方程； （2）证明：1P x m=，并探索直线2MF 与2PF 斜率之间的关系； （3）设直线2MF 交1W 于点N ，求△1MF N 的面积S 的取值范围.。
上海市徐汇区2020年高三第二学期期中(二模)学科质量检测数学试题(word解析版)
【点睛】本题考查补集的求法，属基础题.
2.不等式 的解集是_________
【答案】
【解析】
【分析】
整理不等式为 ,进而求解.
【详解】由题, ,即 ,则 ,
解得 或 ,
故答案为:
【点睛】本题考查解分式不等式,注意分母不为0,属于基础题.
3.函数 的最小正周期为___________
【答案】6
则方程为 ,即 ,
所以 , ,
则 ,
故答案为:
【点睛】本题考查实系数方程的应用,考查复数的运算.
5.方程 在 上的解是________
【答案】
【解析】
【分析】
由 可得 , ,再由 的范围确定结果.
【详解】由 可得 , ,
因为 ,且 ,
所以 ,
故答案为:
【点睛】本题考查已知三角函数值求角,考查反三角函数.
【详解】由题,因为 ,为指数函数,
由 ,所以该函数单调递增,
故选:D
【点睛】本题考查指数函数的图象,考查数学模型的应用.
14.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由三视图可得该几何体为圆柱的一半,进而求解即可.
【详解】由图,该几何体为圆柱的一半,
【解析】
【分析】
假设从点 往回走到点 处，根据图形，从点 处出发，前两条路遇见的人数可能为 ，或 ，或 ，由此可确定前两条路的走法,进而同理分析，即可得到满足条件的路径，再计算得到结论.
【详解】要使得遇见的行人总数最小，此人应从点 处向上或向右走,即不能后退或向左走，
现在假设从点 往回走到点 处，结合图中数据，观察可得满足条件的路径如图所示：