九年级思维拓展：锐角三角函数的综合运用

九年级思维拓展：锐角三角函数的综合运用
➢ 知识点睛
1. 利用锐角三角函数解直角三角形
（1）直角三角形中，除直角外，共有五个元素．即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出其余三个未知元素．
（2）利用解直角三角形解决实际问题： ①将实际问题抽象为数学问题
画图平面图形，提取信息并标注，明确所求目标及判断标准，转化为解直角三角形的问题．
②根据问题中的条件，选用适当的锐角三角函数和其他信息解直角三角形 作高是构造直角三角形的常见手段；在分析直角三角形时，往往先从已知边长的直角三角形出发；若没有完整边长，则通常考虑从两个直角三角形的相等线段长出发，先设，然后借助三角函数值表达其他边长后进行求解． ③求解验证，回归实际
结合实际场景和判断标准进行比较后，确定判断结果，回归实际场景． 2. 利用锐角三角函数解三角形
（1）在三角形中，由已知的边、角出发，求未知边、角的过程叫做解三角形．已知边指已知该边的长度，已知角指已知该角的三角函数值．解三角形时，往往会通过作高的方式将三角形分割为2个直角三角形进行研究；作高时，一般要保留已知三角函数值的角． （2）常见的可解三角形 ①1边2角
β
αc C
B A βα
a
C
B
A
②2边1角
αc a
C
B
A
αb
a
C
B
A
注：当一个三角形具有三个元素，但不能利用全等判定确定形状唯一时，三角形可解，但图形不唯一．
③3边
b
c
a
B A
④1边1角2表达
αa
C
B
A
α
b
B
A
AB =mAC AB +BC =n
3. 锐角三角函数在综合问题中的应用
研究题目背景往往是分析综合问题的第一步，可以帮助我们找到题目中隐藏的信息——已知三角函数值的角．
①在直角三角形中研究边，分析直角三角形三边之比，判断两锐角的三角函数值是否已知；
②研究角度，来转移计算，判断背景中是否有特殊角（30°，45°，60°，150°，135°，120°），比如由三角形中60°，75°可以计算出第3个角为45°．
➢ 精讲精练
1. （2019河南）数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）
的高度．如图所示，炎帝塑像DE 在高55 m 的小山EC 上，在A 处测得塑像底部E 的仰角为34°，再沿AC 方向前进21 m 到达B 处，测得塑像顶部D 的仰角为60°，求炎帝塑像DE 的高度．（精确到1 m ．参考数据：sin 34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67
1.73 ）
60°34°
A B
C
D
E
2.（2018济宁）如图，在一笔直的海岸线l上有相距2 km的A，B两个观测站，
B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线l的距离是________km．
3.（2017河南）如图所示，我国两艘海监船A，B在南海海域巡航，某一时刻，
两船同时收到指令，立即前往救援遇险抛锚的渔船C．此时，B船在A船的正南方向5海里处，A船测得渔船C在其南偏东45°方向，B船测得渔船C 在其南偏东53°方向．已知A船的航速为30海里/小时，B船的航速为25海里/小时，问C船至少要等待多长时间才能得到救援？
（参考数据：
4
sin53
5
︒≈，
3
cos53
5
︒≈，
4
tan53
3
︒≈
1.41
≈）
A
B
C
45°
53°
4. （2017赤峰）王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架，如图1
所示．已知AC =20 cm ，BC =18 cm ，∠ACB =50°，王浩的手机长度为17 cm ，宽为8 cm ，王浩同学能否将手机放入卡槽AB 内？请说明你的理由．（提示：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2）
图2
A
B
C
图1
A
B
C
5. 如图，在△ABC 中，AB =5，BC =4，AC =6，则∠B 的正切值为_________．
C
B A
6. （2019盐城）如图，在△ABC 中，BC
C =45°，AB
，则
AC 的长为______．
C
B A
7. （2018山东枣庄）如图，在正方形ABCD 中，AD
=BC 绕点B 逆
时针旋转30°得到线段BP ．连接AP 并延长交CD 于点E ，连接PC ，则三角形PCE 的面积为___________．
A
B
C
D
E
P
8. （2017呼和浩特）如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，E ，F 为BD
所在直线上的两点，若AE
EAF =135°，则以下结论正确的是（ ） A ．DE =1 B ．1
tan 3
AFO ∠=
C ．AF
=
2
D ．四边形
AFCE 的面积为
9
4
F
E
O
D C
B A
C
B′
C′
B
A
第8题图
第
9题图
9. （2018苏州）如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，AB
=BC
．将△
ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90°得到△AB′C′，连接B′C ，则sin ∠ACB′=________．
10. （2017河北）平面内，如图，在□ABCD 中，AB =10，AD =15，tan A =
4
3
，点P 为AD 边上任意一点，连接PB ，将PB 绕点P 逆时针旋转90°得到线段PQ ．
（1）当∠DPQ =10°时，求∠APB 的大小；
（2）当tan ∠ABP :tan A =3:2时，求点Q 与点B 的距离（结果保留根号）．
C
11. （2014河南）如图，矩形ABCD 中，AD =5，AB =7．点E 为DC 上一个动点，
把△ADE 沿AE 折叠，当点D 的对应点D'落在∠ABC 的角平分线上时，DE 的长为__________．
D'
E
D
C
B
A
12. （2018包头）如图，在Rt △ACB 中，∠ACB =90°，以点A 为圆心，AC 长为
半径的圆交AB 于点D ，BA 的延长线交⊙A 于点E ，连接CE ，CD ，F 是⊙A 上一点，点F 与点C 位于BE 两侧，且∠FAB =∠ABC ，连接BF ． （1）求证：∠BCD =∠BEC ；
（2）若BC =2，BD =1，求CE 的长及sin ∠ABF 的值．
13. （2018河南）如图，抛物线y =ax 2+6x +c 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ．直
线y =x -5经过点B ，C ． （1）求抛物线的解析式．
（2）过点A的直线交直线BC于点M．连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．
备用图备用图
14. （2018河南）（1）问题发现
如图1，在△OAB 和△OCD 中，OA =OB ，OC =OD ，∠AOB =∠COD =40°，连接AC ，BD 交于点M ．填空：
①AC BD
的值为_____________； ②∠AMB 的度数为_____________． （2）类比探究
如图2，在△OAB 和△OCD 中，∠AOB =∠COD =90°，∠OAB =∠OCD =30°，
连接AC 交BD 的延长线于点M ．请判断AC
BD
的值及∠AMB 的度数，并说明
理由． （3）拓展延伸
在（2）的条件下，将△OCD 绕点O 在平面内旋转，AC ，BD 所在直线交于点M ．若OD =1，OB
C 与点M 重合时AC 的长．
M
O
D C
B
A M D
C
O B
A
O
A
B
图1 图2 备用
图
【参考答案】
1. 炎帝塑像DE 的高度为51 m ．
2.
3. C 船至少要等待0.94小时才能得到救援．
4. 因为17＜，所以王浩同学能将手机放入卡槽内．
5. 6. 2
7. 9- 8. C
9. 45
10. （1）∠APB 为80°或100°；（2）点Q 与点B 的距离为． 11.
5
2
或53
12. （1）证明略；（2）CE 的长为
5
；sin ∠ABF 的值为50．
13. （1）抛物线的解析式为y =-x 2+6x -5；
（2）点M 的坐标为(
136，176-)或(236，7
6
-)． 14. （1）①1；②40°；
（2）AC BD
AMB 的度数为90°；理由略；
（3）AC 的长为。