九年级思维拓展：锐角三角函数的综合运用
拓展思维——以初中数学锐角三角函数教学为例分析
拓展思维——以初中数学锐角三角函数教学为例分析【摘要】本文主要以拓展思维——以初中数学锐角三角函数教学为例为重点进行阐述，从营造良好教学情境，激发学生思维意识、小组合作教学，拓展思维宽度几个方面深入说明并探讨，旨意在为相关研究提供参考资料。
【关键词】拓展思维；初中数学；锐角三角函数传统的课堂教学沉闷、压抑，教师不断的向学生传授知识，与学生缺乏一定互动性，导致学生学习效率无法得到有效的提升。
在这个课堂上，教师作为课堂的主体，学生只能被动接受教师传授知识内容，导致学生无法进行深度思考与探究，不利于学生加深对知识内容的掌握，久而久之，当学生遇到问题时，就不知如何下手，从哪个方面进行解决问题，自身思维得不到有效的发散，与教学数学目标背道而驰。
1.营造良好教学情境，激发学生思维意识教师在创和数学情境期间，应该坚持以教学原则为中心，首先，科学性原则。
不管是情境创设的材料，还是情境创设的内容，都要有相关的依据，顺应学生认知发展，科学有效的设置教学目标，同时，设置的问题也需要具有一定的思考价值，充分体现情境创设的价值。
其次，促使学生产生一定启发，教师在创设情境过程中，主要来源灵感就是现实生活，所以，应该拥有一定的启发性，让学生认知结构一直处于不平衡的状态，只有这样才有足够的兴趣去进行探究，有针对性的优化与调整自身认知结构，促使认知结构达到平衡状态。
最后，坚持遵守探究性原则为中心，教师在创设情境过程中，应该结合学生实际情况，有效的选择激发学生探究欲望的材料以及活动类型，把控好探究难易程度，其目的就是让学生动起来、活跃起来，这样一来自身能动性就会释放出来，促使学生数学思维得以发展。
例如，教师在教学锐角三角函数的概念时，需要向学生提出问题A：梯子作为人们生活必备品，如图1，可以看出哪个梯子更加陡峭吗？如何去判断？接着把生活问题数学化，向学生提出对应的问题B：如图2，梯子AB,EF可以看出哪一个更加陡峭吗？如何判断出来的？教师为学生设计此种探究问题【1】，引导学生自主进行思考，在把自身的想法与意见呈现出来。
锐角三角形函数及应用
锐角三角形函数及应用锐角三角形是指三个内角都小于90的三角形。
在锐角三角形中，我们可以应用一些函数来求解各种问题。
以下是一些锐角三角形函数及其应用的例子：1. 正弦函数：在锐角三角形ABC中，以角A为锐角，边BC为斜边，则正弦函数可以定义为sin A = BC / AC。
我们可以利用正弦函数来求解各种问题，如求解角度、边长等。
例如，已知角度A和边长BC，可以通过sin A = BC / AC来求解边长AC。
2. 余弦函数：在锐角三角形ABC中，以角A为锐角，边BC为斜边，则余弦函数可以定义为cos A = AC / BC。
我们可以利用余弦函数来求解各种问题，如求解角度、边长等。
例如，已知角度A和边长AC，可以通过cos A = AC / BC来求解边长BC。
3. 正切函数：在锐角三角形ABC中，以角A为锐角，边BC为斜边，则正切函数可以定义为tan A = BC / AC。
我们可以利用正切函数来求解各种问题，如求解角度、边长等。
例如，已知角度A和边长BC，可以通过tan A = BC / AC来求解边长AC。
4. 余切函数：在锐角三角形ABC中，以角A为锐角，边BC为斜边，则余切函数可以定义为cot A = AC / BC。
我们可以利用余切函数来求解各种问题，如求解角度、边长等。
例如，已知角度A和边长AC，可以通过cot A = AC / BC来求解边长BC。
通过这些函数，我们可以在求解锐角三角形问题时进行角度和边长之间的转换。
例如，已知一个锐角三角形的两边和一个角度，我们可以利用正弦、余弦、正切函数来求解其余的角度和边长。
此外，锐角三角形函数还可以应用于实际生活中的一些问题。
例如，在建筑设计中，我们需要计算一座斜塔的高度。
我们可以通过测量角度和斜塔与地面的距离，利用正切函数来求解其高度。
同样，在地理测量中，我们可以利用正弦、余弦、正切函数来计算两地之间的距离和方位角。
总之，锐角三角形函数是求解锐角三角形问题的重要工具，其应用广泛且实用。
九年级数学寒假专题—锐角三角函数的应用冀教版知识精讲
九年级数学寒假专题—锐角三角函数的应用冀教版【本讲教育信息】一. 教学内容：寒假专题——锐角三角函数的应用1. 理解锐角三角函数的定义，弄清楚直角三角形中的边、角关系．2. 熟练掌握特殊角的锐角三角函数值．3. 运用锐角三角函数解决实际问题．二. 知识要点：1. 直角三角形中除直角外的五个元素之间的关系 （1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2（勾股定理）； （2）两锐角之间的关系：∠A ＋∠B ＝90°；（3）边角之间的关系：sinA ＝a c ，cosA ＝b c ，tanA ＝ab （锐角三角函数）．（4）在锐角三角函数sinA ＝a c ，cosA ＝b c ，tanA ＝ab中，实际上分别给出了三个量的关系：a 、b 、c 是边的长，sinA 、cosA 、tanA 是由∠A 用不同方式来决定的三角函数值，它们都是实数，但它与代数式的不同点在于三角函数的值是有一个锐角的数值参与其中．当这三个实数中有两个是已知数时，它就转化为一个方程，解这个方程，就求出了一个直角三角形的未知的元素．如：已知直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，∠A ＝30°，求BC 边的长．ABCD630°画出图形，可知边AC ，BC 和∠A 三个元素的关系是正切函数的定义给出的，所以有等式tan30°＝BC 6，由于tan30°＝33，它实际上已经转化成了以BC 为未知数的代数方程，解这个方程，得BC ＝6tan30°＝6·33＝2．即得BC 的长为2．3. 非直角三角形的图形向直角三角形转化的途径和方法（1）作高线可以把锐角三角形或钝角三角形转化为两个直角三角形．（2）作高线可以把平行四边形、梯形转化为含直角三角形的图形．（3）连结对角线，可以把矩形、菱形和正方形转化为含直角三角形的图形．4. 把实际问题转化为解直角三角形问题很多实际问题都可以归结为图形的计算问题，而图形计算问题又可以归结为解直角三角形问题．例如：我们知道，机器上用的螺丝钉，它的圆柱部分的侧面可以看作是长方形围成的（如图）．螺纹是以一定的角度旋转上升，使得螺丝旋转时向前推进，问直径是6mm 的螺丝钉，若每转一圈向前推进mm ，螺纹的初始角应是多少度多少分？ACB据题意，螺纹转一周时，把侧面展开可以看作一个直角三角形，直角边AC 的长为AC＝2π·（62）＝6π（mm ），另一条直角边为螺钉推进的距离，所以BC ＝1.25（mm ），设螺纹初始角为θ，则在Rt △ABC 中，有tan θ＝BCAC ＝6π≈0.0663，∴θ≈3°47′，即螺纹的初始角约为3°47′．三. 重点难点：本讲重点是掌握直角三角形中三边之间的关系，两锐角之间的关系，边角之间的关系（锐角三角函数）．难点是正确选用直角三角形中的这些关系求出其它未知元素．四. 考点分析：解直角三角形的知识是近几年各地中考命题的热点之一，考查内容以基础知识与基本技能为主，应用意识进一步增强，联系实际、综合运用知识、技能的要求越来越明显，考查题型为选择题、填空题、解答题、应用题等．【典型例题】例1. 如图所示，P 是α角OA 边上的一点，且点P 的坐标为（3，4），则sin α＝（ ）A ．35B ．45C ．34D ．43OAP B34αx y分析：本题比较容易，考查坐标的意义和求三角函数的值．由图可知，因为点P 的坐标为（3，4），所以OB ＝3，PB ＝4，根据勾股定理可得OP ＝OB 2＋PB 2＝5，所以sin α＝PBOP＝45，所以答案选择B ． 解：B例2. 如图所示，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，tanB ＝cos ∠DAC ． （1）求证：AC ＝BD ；（2）若sinC ＝1213，BC ＝12，求AD 的长．ABCD分析：对于第（1）问中AC 、BD 分别是Rt △ADC 中的斜边和Rt △ABD 中的一直角边，可根据直角三角形中的边角关系和已知条件tanB ＝cos ∠DAC 进行转换．对于第（2）问，因为BD ＝AC ，可根据勾股定理和三角函数求出AD 的长．（1）证明：在Rt △ABD 和Rt △ADC 中，∵tanB ＝AD BD ，cos ∠DAC ＝ADAC ，又tanB ＝cos ∠DAC ，∴AD BD ＝ADAC，∴AC ＝BD ． （2）解：在Rt △ADC 中，由sinC ＝1213，可设AD ＝12k ，则AC ＝13k ．由勾股定理，得CD 2＝（13k ）2－（12k ）2＝25k 2，∴CD ＝5k ． 又由（1）知BD ＝AC ＝13k ．∵BC ＝BD ＋DC ，∴12＝13k ＋5k ，解得k ＝23．∴AD ＝12k ＝12×23＝8．例3. 如图所示，X 伯伯利用假日在某钓鱼场钓鱼．风平浪静时，鱼漂露出水面部分AB＝6cm，微风吹来时，假设铅锤P不动，鱼漂移动了一段距离BC，且顶端恰好与水面平齐（即PA＝PC），水平线l与OC夹角α＝8°（点A在OC上）．请求出铅锤P处的水深h．（参考数据：sin8°≈210，cos8°≈7210，tan8°≈17）lO分析：将实际问题转化成数学问题即：已知AP＝PC，BC⊥AP于B，AB＝6cm，∠ACB ＝∠α＝8°，求BP的长．在Rt△ABC中应用三角函数可求出BC，再根据PB＋AB＝AP ＝PC和勾股定理可求出BP的长．解：根据题意∠ACB＝∠α＝8°，在Rt△ABC中，∵ABBC＝tan∠ACB＝tan8°，AB＝6cm，∴BC＝6tan8°＝42cm，在Rt△BCP中，PC2＝PB2＋BC2，∵PC＝AP＝PB＋AB＝PB＋6，∴（PB＋6）2＝PB2＋422，即：12PB＋36＝422，解得PB＝144，即h＝144cm．答：铅锤P处的水深h为144cm．例4.如图所示，河流两岸a、b互相平行，C、D是河岸a上间隔50m的两个电线杆，某人在河岸b上的A处测得∠DAB＝30°，然后沿河岸走了100m到达B处，测得∠CBF＝60°．求河流的宽度CF的值（结果精确到个位）．A BCDFab分析：在△BCF中，∠CBF＝60°，要求CF必须求出BC或BF．∠DAB＝30°和AB ＝100米、CD＝50米与问题没有直接联系，需将它们进行适当的转化，转化到相关的直角三角形中，应用三角函数求解．解：过点C作CE∥AD交b于点E，则∠DAB＝∠CEB＝30°，AE＝CD＝50米，BE＝AB－AE＝50米．在Rt△BCF中，BF＝CFtan∠CBF＝CF3＝33CF，在Rt△CEF中，EF＝CFtan∠CEF＝3CF．∵EF－BF＝BE＝50，∴3CF－33CF＝50，即CF＝253≈43（m）．A B CD E Fab例5.如图，山脚下有一棵树AB ，小华从点B 沿山坡向上走50米到达点D ，用高为的测角仪CD 测得树顶的仰角为10°，已知山坡的坡角为15°，求树AB 的高．（精确到0.1米）（已知sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈．）分析：延长CD 交PB 于点F ，在Rt △BDF 中求出DF ．树高AB 可分为三段AE 、CD 、DF 来求．解：延长CD 交PB 于F ，则DF ⊥PB ． ∴DF ＝BD ·sin15°≈50×0.26＝13.0． ∴CE ＝BF ＝BD ·cos15°≈50×＝． ∴AE ＝CE ·tan10°≈×＝．∴AB ＝AE ＋CD ＋DF ＝＋＋13＝（米）． 答：树高约为米．例6.某大草原上有一条笔直的公路，在紧靠公路相距40千米的A 、B 两地，分别有甲、乙两个医疗站，如图，在A 地北偏东45°、B 地北偏西60°方向上有一牧民区C ．一天，甲医疗队接到牧民区的求救，立刻设计了两种救助方案，方案I ：从A 地开车沿公路到离牧民区C 最近的D 处，再开车穿越草地沿DC 方向到牧民区C ．方案II ：从A 地开车穿越草地沿AC 方向到牧民区C ．已知汽车在公路上行驶的速度是在草地上行驶速度的3倍． （1）求牧民区到公路的最短距离CD ．（2）你认为甲医疗队设计的两种救助方案，哪一种方案比较合理？并说明理由． （结果精确到0.1．参考数据：3取1.73，2取1.41）ABCD北45°60°分析：（1）AD 的长可以用含CD 的式子表示出来，BD 的长也可以用含CD 的式子表示出来，因为AB 长为40，所以由AD ＋BD ＝40可得含CD 的方程．（2）分别计算两种方案所用时间，时间短的救助方案较合理．解：（1）设CD 为x 千米，由题意得，∠CBD ＝30°，∠CAD ＝45°， ∴AD ＝CD ＝x ．在Rt △BCD 中，tan30°＝xBD，∴BD ＝3x ，AD ＋DB ＝AB ＝40，∴x ＋3x ＝40，解得x ≈14.7， ∴牧民区到公路的最短距离CD 为14.7千米．（2）设汽车在草地上行驶的速度为v ，则在公路上行驶的速度为3v ， 在Rt △ADC 中，∠CAD ＝45°，∴AC ＝2CD ，方案I 用的时间t 1＝AD 3v ＋CD v ＝4CD3v ；方案II 用的时间t 2＝2CDv．∴t 2－t 1＝(32－4)CD3v．∵32－4＞0，∴t 2－t 1＞0，∴方案I 用的时间少，方案I 比较合理．【方法总结】解决锐角三角函数的综合问题时，应根据题目中给出的有关信息构建图形，经过整理数据、加工信息、抽象概念，建立数学模型，然后用解直角三角形的知识解决问题．运用三角函数知识解题时，尽量选择用乘法计算的关系式．可归纳为“有弦用弦，无弦用切；求对用正，求邻用余，宁乘勿除”的基本方法．【预习导学案】 （34.1认识二次函数） 一. 预习前知1. 一次函数的一般表达式是__________．2. 反比例函数的一般表达式是__________． 二. 预习导学1. 下列函数中，__________是一次函数，__________是反比例函数，__________是二次函数．（1）y ＝3x ；（2）y ＝3x －1；（3）y ＝3x 2－1；（4）y ＝13x ；（5）y ＝13x2；（6）y ＝3x 3＋2x 2；（7）y ＝（x ＋2）2－x 2；（8）y ＝x 2＋1x2．2. 正方形的周长为l ，则这个正方形的面积S 与周长l 之间的函数表达式是__________．3. 若y ＝（m 2－1）x 2＋（m ＋2）x 是关于x 的二次函数，求m 的值． 反思：（1）二次函数的一般表达式有什么特征？（2）一次函数、反比例函数、二次函数有什么区别与联系？【模拟试题】（答题时间：50分钟）一. 选择题1. 正方形网格中，∠AOB 如图所示放置，则cos ∠AOB 的值为（ ）A. 55B. 25 5C. 12D. 2AOB2. 如图所示，小雅家（图中点O 处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A 处）位于她家北偏东60°的500m 处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB 是（ ）A. 250mB. 2503mC. 50033m D. 2502mABO 东北3. 如图所示，已知直角三角形ABC 中，斜边AB 的长为m ，∠B ＝40°，则直角边BC 的长是（ ）A. m sin40°B. m cos40°C. m tan40°D. mtan40°ABC40°4.在直角坐标系中，点P （4，y ）在第一象限内，且OP 与x 轴正半轴的夹角为60°，则y 的值是（ ）A. 433 B.4 3 C. －3 D. －1 °，又知水平距离BD ＝10m ，楼高AB ＝24m ，则树高CD 为（ ）A. （24－103）mB. （24－1033）mC. （24－53）mD. 9m*6. 如图所示，已知⊙O 的半径为5cm ，弦AB 的长为8cm ，P 是AB 延长线上一点，BP ＝2cm ，则tan ∠OPA 等于（ ）A. 32B. 23C. 2D. 12OABP**7. 如图所示，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，设∠ADE ＝α，且cos α＝35，AB ＝4，则AD 的长为（ ）A. 3B. 163C. 203D. 165ABCDE二. 填空题1. 如图所示的半圆中，AD 是直径，且AD ＝3，AC ＝2，则sinB 的值是__________．OABCD2. 如图所示，某河堤的横断面是梯形ABCD ，BC ∥AD ，迎水坡AB 长13米，且tan ∠BAE ＝125，则河堤的高BE 为__________米．BCDEA**3. 如图，矩形纸片ABCD ，BC ＝2，∠ABD ＝30°．将该纸片沿对角线BD 翻折，点A 落在点E 处，EB 交DC 于点F ，则点F 到直线DB 的距离为__________．A BCDEF**4. 如图，X 华同学在学校某建筑物的C 点处测得旗杆顶部A 点的仰角为30°，旗杆底部B 点的俯角为45°．若旗杆底部B 点到建筑物的水平距离BE ＝9米，旗杆台阶高1米，则旗杆顶点A 离地面的高度为__________米（结果保留根号）．三. 解答题1. 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝45，AB ＝15，求△ABC 的周长和tanA 的值．A BC2. 小明站在A 处放风筝，风筝飞到C 处时的线长为20米，这时测得∠CBD ＝60°，若牵引底端B 离地面，求此时风筝离地面的高度．（计算结果精确到，3≈1.732）3. 如图所示，一条细绳系着一个小球在平面内摆动，摆动偏离竖直方向最大角度为60°．已知细绳从悬挂点O 到球心的长度为50厘米，你能求出小球在摆动的过程中最高位置和最低位置的高度差吗？OB*4. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥AB ，AD ＝CD ，cosB ＝513，BC ＝26．求（1）cos ∠DAC 的值；（2）线段AD 的长．ABCD*5. 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为66m ，这栋高楼有多高？（结果精确到m ，参考数据：3≈）ABC【试题答案】一. 选择题 1. A2. A 【根据题意OA ＝500，∠AOB ＝30°，则AB ＝500sin30°＝250】3. B 【∵cos40°＝BC AB ＝BCm ，∴BC ＝m cos40°】4. B5. A6. D 【作OC ⊥AP 于C ，则AC ＝BC ＝4，OC ＝3，PC ＝6，∴tan ∠OPA ＝OC PC ＝36＝12】7. B 【由题意知∠BAC ＝α，则cos ∠BAC ＝35＝AB AC ，∵AB ＝4，∴AC ＝203，∴BC ＝AC 2－AB 2＝（203）2－42＝163．】二. 填空题1. 23【∵AD 是直径，∴∠ACD ＝90°．∵∠B ＝∠D ，sinD ＝AC AD ＝23，∴sinB ＝23】2. 123. 233【由题意可知，DF ＝BF ，∠ABD ＝∠EBD ＝30°，BD ＝2AD ＝4，过点F 作FG⊥DB 于点G ，则DG ＝BG ＝2，在Rt △BGF 中，点F 到直线DB 的距离FG ＝BG ·tan30°＝233】 4. 10＋33【过点C 作CD ⊥AB 于D ，在Rt △ACD 中，AD ＝CDtan30°＝9×33＝33；在Rt △BCD 中，BD ＝CDtan45°＝9．所以旗杆顶点A 离地面的高度为33＋9＋1＝10＋33】三. 解答题1. BC ＝ABsinA ＝12，AC ＝AB 2－BC 2＝9，所以△ABC 的周长是36，tanA ＝BC AC ＝43．2. 在Rt △BCD 中，CD ＝BC ×sin60°＝20×32＝103，又DE ＝AB ＝1.5，∴CE ＝CD＋DE ＝CD ＋AB ＝103＋1.5＝18.8（米）3. 过点A 作AD ⊥OB 于D ，因为OA ＝OB ＝50，∠AOB ＝60°，所以OD ＝25，BD ＝OB －OD ＝25厘米，即小球在摆动的过程中最高位置和最低位置的高度差是25厘米．4. （1）在Rt △ABC 中，∵cosB ＝513，BC ＝26，∴AB ＝BC ·cosB ＝10，∴AC ＝BC 2－AB 2＝24．∵AD ∥BC ，∴∠DAC ＝∠ACB ．∴cos ∠DAC ＝cos ∠ACB ＝AC BC ＝2426＝1213．（2）过点D 作DE ⊥AC 于E ，∵AD ＝CD ，∴AE ＝12AC ＝12，∴AD ＝AEcos ∠DAC ＝13．5. 过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，BD ＝ADtan30°＝223，CD ＝ADtan60°＝663，BC ＝BD ＋CD ＝223＋663＝883≈152.2（米）．这栋楼高约为m ．。
初中锐角三角函数及应用
初中锐角三角函数及应用锐角三角函数是指角度小于90度的三角函数，包括正弦、余弦和正切。
这些函数在数学和物理学中有着广泛的应用。
首先，我们来介绍一下锐角三角函数的定义和性质。
在一个直角坐标系中，对于一个锐角ABC（角A小于90度）, 我们可以定义正弦函数sinA 为点B的纵坐标除以斜边AC的长度，余弦函数cosA 为点B的横坐标除以斜边AC的长度，正切函数tanA 为点B的纵坐标除以横坐标。
其中，sinA、cosA和tanA都是角A的函数。
这些函数有许多重要的性质。
首先，它们的定义域都是锐角的正数集合，即(0,90)。
其次，它们的值域都是(-1,1)，即在定义域内，这些函数的值都在-1到1之间变化。
此外，正弦函数和余弦函数还具有周期性，周期为360度或2π弧度。
也就是说，对于一个锐角A，sin(A+360k) = sinA，cos(A+360k) = cosA，其中k 为整数。
在应用方面，锐角三角函数有着广泛的作用。
首先，它们被广泛应用于三角计算。
例如，我们可以利用正弦定理或余弦定理，通过已知边和角来求解三角形的其他未知边和角。
这在测量、建筑、工程等领域都有着重要的应用。
其次，锐角三角函数在物理学中也有着重要的应用。
例如，对于一个斜抛运动的物体，我们可以利用正弦函数和余弦函数来分析其垂直和水平方向上的运动。
它们可以帮助我们计算物体的落点、飞行时间、最大高度等。
另外，锐角三角函数还与周期函数和图像有着密切的关系。
它们的图像可以通过函数的周期性来得到。
例如，正弦函数的图像是一个周期为2π的曲线，具有对称性和单调性，而余弦函数的图像是一个周期为2π的曲线，也具有对称性和反单调性。
此外，锐角三角函数还与三角恒等式有着重要的联系。
三角恒等式是指对于锐角A和B，成立的恒等关系。
利用三角恒等式，我们可以化简复杂的三角函数表达式，简化计算过程。
总的来说，锐角三角函数是数学中一类重要的函数，具有广泛的应用。
它们不仅在三角计算和几何题目中有着重要作用，还与物理学、周期函数和三角恒等式等有着紧密的联系。
初三数学锐角三角函数的简单应用知识点
初三数学锐角三角函数的简单应用知识点
初三数学锐角三角函数的简单应用知识点
读书使学生认识丰富多彩的世界，获取信息和知识，拓展视野。
接下来小编为大家精心准备了锐角三角函数的简单应用知识点，希望大家喜欢!
学习重点难点：
重点：进一步用解直角三角形的.知识解决与仰角、俯角、方位角有关的实际问题.
难点：灵活运用三角函数解决实际问题.
【温故知新】
1.如图所示，小华同学在距离某建筑物6米的点A处测得广告牌B 点、C点的仰角分别为60°和45°，则广告牌的高度BC为_____________米(结果保留根号).
2.如图，一艘核潜艇在海面下500米A点处测得俯角为30°正前方的海底有黑匣子信号发出，继续在同一深度直线航行4000米后再次在B点处测得俯角为60°正前方的海底有黑匣子信号发出，求海底黑匣子C点处距离海面的深度?
变式如图，飞机沿水平方向(A，B两点所在直线)飞行，前方有一座高山，为了避免飞机飞行过低，就必须测量山顶M到飞行路线AB 的距离MN.飞机能够测量的数据有俯角和飞行距离(因安全因素，飞机不能飞到山顶的正上方N处才测飞行距离)，请设计一个求距离MN的方案，要求：
(1)指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出);
(2)用测出的数据写出求距离MN的步骤.。
第28章+锐角三角函数知识点总结及思维导图+2023—2024学年人教版数学九年级下册
第28章锐角三角函数【思维导图】28.1锐角三角函数【知识点】1.Rt△ABC中，∠C=90°.（1）∠A的对边与斜边比，叫做∠A的正弦，记为sinA，即sinA=∠A的对边斜边=aa（2）∠A的邻边与斜边比，叫做∠A的余弦，记为cosA，即cosA=∠A的邻边斜边=aa（3）∠A的对边与邻边比，叫做∠A的正切，记为tanA，即tanA=∠A的对边∠A的邻边=aa∠A的正弦、余弦、正切统称为∠A的锐角三角函数.提示：sin A 不是sin与A的乘积，而是一个整体，cosA和tanA同理；锐角三角函数的三种表示方法：sin A，sin 56°，sin∠DEF.2.一个锐角的三角函数值是一个比值，它与三角形的大小无关，它没有单位.在Rt△ABC中，当锐角A的度数一定时，无论这个直角三角形大小如何，∠A的锐角三角函数值为定值.锐角三角函数锐角α30°45°60°sin α12√22√32cos α√32√2212tan α√331√3（1）正弦值、正切值随角度的增大而增大，余弦值随角度的增大而减小.（2）sin α=cos（90°-α）cos α=sin（90°-α）tan α·tan（90°-α）=1（3）锐角A 的正弦、余弦的取值范围分别为：0<sin A<1,0<cos A<1, （4）cos 2A+sin 2A=1 sin 2A+sin 2（90°-α）=1（5）tan A=sin A cos A4.锐角三角函数值是个常数值，它只与角的度数有关，将来离开了直角三角形也存在.5.若α=45°，则sin α=cos α； 若α<45°，则sin α<cos α； 若α>45°，则sin α>cos α；28.2解直角三角形及其应用 28.2.1 解直角三角形【知识点】1.在直角三角形中，由已知元素求出其余未知元素的过程就是解直角三角形.2.在直角三角形中，三边之间的关系是a 2+b 2=c 2（勾股定理）； 两锐角之间的关系是∠A+∠B=90° 边角之间的关系有sinA=∠A 的对边斜边，cosA=∠A 的邻边斜边，tanA=∠A 的对边∠A 的邻边3.在直角三角形的六个元素中，除直角外的五个元素只要知道其中的两个元素，就可以求出其余三个元素，其中至少有一个是边.4.在Rt △ABC 中，∠C=90°，若已知∠A=α，AB=c ，较简便的方法是用正弦求出BC ，用余弦求出AC ，也可用勾股定理求出AC ，根据直角三角形的两锐角互余求出∠B.单元练习一、选择题1.已知∠α为锐角，且sin a=12,则∠α=( )A.30°B.45°C.60°D.90°2.sin 60°的相反数是( )A.-12B.−√33C.−√32D.−√223.如图，在∠ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB，则cosA的值为( )A．52B．12C．255D．554.如图，在4×5 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，∠ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB 的值为( )A.3√55B.√175C. 35D. 455.在∠ABC中,∠A,∠B均为锐角,且|2sin A-1|与(cos a-√22)2互为相反数,则∠C的度数是( )A.45°B.75°C.105°D.120°6.如图，在∠ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sinB＝35，则AC的长为( )A．3 B．9 C．4 D．127.如图，在离铁塔150米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为α,测倾仪的高A D为1.5米,则铁塔的高BC为( )A.(1.5+150tanα)米a.(1.5+150tan a)米C.(1.5+150sinα)米a.(1.5+150sin a)米8.在Rt∠ABC 中,∠C=90°,AB=2BC,则cos A 的值为 ( ) A.√32 B .12 C .√33 D .√229.如图，在∠ABC 中，CA ＝CB ＝4，cosC ＝14 ，则sinB 的值为( )A.102 B ．153 C ．64 D ．10410.如图，电线杆CD 的高度为h ，两根拉线 AC 与BC 相互垂直，∠CAB=α,则拉线 BC 的长度为(点 A,D,B 在同一条直线上)( ) a .asin a a .acos a a .atan a D. h·cosα11.定义一种运算:cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β,cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β.例如:当α=60°,β=45°时,cos(60°-45°)=12×√22+√32×√22=√2+√64,则cos 75°的值为 ( )A.√6+√24 B .√6-√24C.√6-√22 D .√6+√2212.如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A ，B ，C 都在格点上，以AB 为直径的圆经过点C ，D ，则cos∠ADC 的值为( )A ．21313B ．31313C ．23D ．53 二、填空题,则cos B=_______.13.在∠ABC中, aa=90°,tan a=√3314.已知α为锐角,当无意义时,cos α的值是_______.√3tan a-115.如图，在Rt∠ABC中，∠ACB＝90°，CD∠AB，垂足为D，若AC＝ 5 ，BC ＝2，则sin∠ACD的值为_________．16.某物体沿着坡比为4：3的坡面上升了8米，那么在坡面上移动了_______米.17.如图,已知正方形ABCD和正方形BEFG,点G在AD上,GF与CD交于点,正方形ABCD的边长为8,则BH的长为_______.H,tan∠ABG=1218．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3，0)，点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC＝2，设tan∠BOC＝m，则m的取值范围是_________．三、解答题19.图1是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成.当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中(底盒固定在地面下)，此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图1的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位.图2是其示意图，经测量，钢条AB=AC=50 cm,∠AB C=47°.(1)求车位锁的底盒BC的长；(2)若一辆汽车的底盘高度为30cm，当车位锁上锁时，问这辆汽车能否进入该车位? (参考数据：aaa47°≈0.73,aaa47°≈0.68,aaa47°≈1.07)20.某景区为给游客提供更好的游览体验,拟在如图∠所示的景区内修建观光索道.其设计示意图如图∠所示,以山脚A为起点,沿途修建AB、CD两段长度相等的观光索道,最终到达山顶D处,中途设计了一段与AF平行的观光平台BC,BC长为50 m.索道AB与AF的夹角为15°,CD与水平线的夹角为45°,A、B两处的水平距离AE为576 m,DF∠AF,垂足为点F.(图∠中所有点都在同一平面内,点A、E、F 在同一水平线上)(1)求索道AB的长(结果精确到1 m);(2)求AF的长(结果精确到1 m).(参考数据:sin 15°≈0.25,cos 15°≈0.96,tan 15°≈0.26,√2≈1.41)21.八年级二班学生到某劳动教育实践基地开展实践活动，当天，他们先从基地门口A处向正北方向走了450米，到达菜园B处锄草，再从B处沿正西方向到达果园C处采摘水果，再向南偏东37°方向走了300米，到达手工坊D处进行手工制作，最后从D处回到门口A处，手工坊在基地门口北偏西65°方向上，求菜园与果园之间的距离．(结果保留整数．参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)。
九年级数学锐角三角函数综合提高知识精讲
九年级数学锐角三角函数综合提高【本讲主要内容】锐角三角函数综合提高包括锐角三角函数较为复杂的计算及应用【知识掌握】【知识点精析】1. 了解sin cos()αα=︒-90的推导过程。
2. 用三角函数证明：sin cos 221αα+=。
3. 有关图形的计算。
4. 用三角函数解决一些实际问题。
【解题方法指导】例1. 设α是锐角，证明sin cos()αα=︒-90。
分析：构造一个直角三角形，设两个锐角分别为αα和90︒-，用三角函数定义去推导。
解：画Rt △ABC ，使∠C ＝90°，设∠A ＝α则∠B =︒-90αBA C 90o -α α∵sin α=BC ABcos()90︒-=αBC AB∴sin cos()αα=︒-90 评析：此结论可以叙述为：一个角的正弦，等于它的余角的余弦，证明此类问题时，可以通过构造直角三角形加以解决。
例2. 设α是一个锐角，求证：sin cos 221αα+=。
分析：构造一个直角三角形，用三角函数和勾股定理去证。
解：构造一个直角三角形ABC ，使∠C ＝90°，∠A ＝α则sin cos αα==BC AB AC AB，BA C α∴sin ()2222α==BC AB BC AB cos ()2222α==AC AB AC AB ∴sin cos 222222222αα+=+=+BC AB AC AB BC AC AB 由勾股定理，得BC AC AB 222+=∴sin cos 22221αα+==AB AB 评析：证明此题的前提是先学过了勾股定理。
例3. 在△ABC 中，若|sin ||cos |A B -+-=32120，则△ABC 是（） A. 等腰三角形 B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形分析：由非负数的性质，求出∠A 、∠B 的度数，然后再作判断。
解：∵|sin ||cos |A B -+-=32120 ∴sin cos A B -=-=320120， ∴==sin cos A B 3212， ∵∠A 、∠B 是三角形的角∴∠A ＝60°，∠B ＝60°∴∠C ＝180°－60°－60°＝60°∴△ABC 是等边三角形故选B评析：由非负数的性质解三角函数题，实质上是一致的。
初三锐角三角函数题型及解题方法
初三锐角三角函数题型及解题方法初三数学中，锐角三角函数是一个非常重要的内容。
学习锐角三角函数，不仅需要掌握其概念和公式，还需要掌握一些常见的题型及解题方法。
本文将介绍一些常见的锐角三角函数题型及解题方法，帮助初三学生更好地掌握这一内容。
一、求三角函数值求三角函数值是锐角三角函数中最基本的题型。
一般来说，题目都会给出三角函数的角度，要求求出其对应的正弦、余弦、正切等函数值。
解题方法：对于这类题目，我们需要掌握三角函数的定义和公式。
例如，正弦函数的定义是：在直角三角形中，对于一个锐角角度A，其对边长度与斜边长度的比值称为正弦值sinA。
因此，我们只需要根据这个定义和公式进行计算即可。
举个例子，题目给出角度A=30度，要求求出其正弦值sinA。
根据正弦函数的定义和公式，我们得到：sinA=对边长度/斜边长度=sqrt(3)/2因此，sinA=√3/2。
二、三角函数的基本关系式三角函数的基本关系式指的是三角函数之间的基本等式。
例如，正切函数的基本关系式是tanA=sinA/cosA。
这类题目一般要求将一个三角函数用另外一个三角函数表示出来，或者将两个三角函数相互表示。
解题方法：对于这类题目，我们需要掌握三角函数之间的基本关系式。
例如，正切函数的基本关系式是：tanA=sinA/cosA因此，如果题目给出sinA的值，要求求出tanA的值，我们只需要将sinA/cosA代入上式，即可得到：tanA=sinA/cosA=√3/3三、三角函数值的范围三角函数值的范围是指，每个三角函数的取值范围。
例如，正弦函数的取值范围是[-1,1]，余弦函数的取值范围也是[-1,1]。
解题方法：对于这类题目，我们需要掌握每个三角函数的取值范围。
例如，正弦函数的取值范围是[-1,1]，因此，如果题目给出sinA=-0.5，我们就可以知道sinA的值在[-1,1]范围之内。
四、三角函数的性质三角函数的性质指的是，它们在不同象限中的正负性和大小关系。
九年级数学《锐角三角函数》知识点总结归纳
《锐角三角函数》是九年级数学中的一个重要的章节，它在高中数学中也有重要的应用。
下面是对《锐角三角函数》的知识点进行总结归纳。
一、角度的度和弧度制1.角度的度制：一个圆周分为360等份，每一份称为一度，用符号°表示。
2.角度的弧度制：弧度制通过角对应的弧长与半径的比值来表示。
弧度制度数=角度的度数×π/180二、正弦、余弦、正切关系1. 正弦函数：对于任意锐角A，正弦函数表示为sinA=对边/斜边。
2. 余弦函数：对于任意锐角A，余弦函数表示为cosA=邻边/斜边。
3. 正切函数：对于任意锐角A，正切函数表示为tanA=对边/邻边。
三、特殊角的值1. 30°特殊角的正弦、余弦、正切值：sin30°=1/2，cos30°=√3/2，tan30°=1/√32. 45°特殊角的正弦、余弦、正切值：sin45°=√2/2，cos45°=√2/2，tan45°=13. 60°特殊角的正弦、余弦、正切值：sin60°=√3/2，cos60°=1/2，tan60°=√3四、三角函数的基本性质1. 同角三角函数值的关系：sinA/cosA=tanA，cosA/sinA=1/tanA，sin^2A+cos^2A=12. 三角函数的周期性：sin(A+2π)=sinA，cos(A+2π)=cosA，tan(A+π)=tanA。
3. 正负关系：在第一象限，sinA>0，cosA>0，tanA>0，在第二象限，sinA>0，cosA<0，tanA<0，在第三象限，sinA<0，cosA<0，tanA>0，在第四象限，sinA<0，cosA>0，tanA<0。
五、三角函数的应用1.解三角形：根据已知两边和夹角，用余弦定理和正弦定理求解。
初中数学九年级知识点总结锐角三角函数
初中数学九年级知识点总结锐角三角函数初中数学九年级知识点总结锐角三角函数「篇一」相关的角：1、对顶角：一个角的'两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。
2、互为补角：如果两个角的和是一个平角，这两个角做互为补角。
3、互为余角：如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角。
4、邻补角：有公共顶点，一条公共边，另两条边互为反向延长线的两个角做互为邻补角。
注意：互余、互补是指两个角的数量关系，与两个角的位置无关，而互为邻补角则要求两个角有特殊的位置关系。
角的性质1、对顶角相等。
2、同角或等角的余角相等。
3、同角或等角的补角相等。
初中数学九年级知识点总结锐角三角函数「篇二」1、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2、菱形的性质：⑴矩形具有平行四边形的一切性质;⑵菱形的四条边都相等;⑶菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
⑷菱形是轴对称图形。
提示:利用菱形的性质可证得线段相等、角相等，它的对角线互相垂直且把菱形分成四个全等的直角三角形，由此又可与勾股定理联系，可得对角线与边之间的关系，即边长的平方等于对角线一半的平方和。
3、因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫把这个多项式因式分解。
4、因式分解要素：①结果必须是整式②结果必须是积的形式③结果是等式④因式分解与整式乘法的关系：m(a+b+c)5、公因式：一个多项式每项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式。
6、公因式确定方法：①系数是整数时取各项最大公约数。
②相同字母取最低次幂③系数最大公约数与相同字母取最低次幂的积就是这个多项式各项的公因式。
7、提取公因式步骤：①确定公因式。
②确定商式③公因式与商式写成积的形式。
8、平方根表示法：一个非负数a的平方根记作，读作正负根号a。
a叫被开方数。
9、中被开方数的取值范围：被开方数a≥010、平方根性质：①一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。
锐角三角函数的实际应用
锐角三角函数的实际应用一、仰角、俯角问题例1. 某数学课外活动小组利用课余时间，测量了安装在一幢楼房顶部的公益广告牌的高度．如图，矩形CDEF 为公益广告牌，CD为公益广告牌的高，DM为楼房的高，且C、D、M三点共线．在楼房的侧面A处，测得点C与点D的仰角分别为45°和37.3°，BM＝15米．根据以上测得的相关数据，求这个广告牌的高(CD的长)．(结果精确到0.1米，参考数据：sin37.3°≈0.6060，cos37.3°≈0.7955，tan37.3°≈0.7618)例2.如图，在电线杆上的C处引拉线CE，CF固定电线杆，拉线CE和地面成57.5°角，在离电线杆6米处安置测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°.已知测角仪AB的高为1.5米，求拉线CE的长．(结果精确到0.01米，参考数据：sin57.5°≈0.843，cos57.5°≈0.537，tan57.5°≈1.570，3≈1.732，2≈1.414)二、坡度、坡角问题例3. 如图，水坝的横断面是梯形，背水坡AB的坡角∠BAE＝45°，坝高BE＝20米．汛期来临，为加大水坝的防洪强度，将坝底从A处向后水平延伸到F处，使新的背水坡BF的坡角∠F＝30°，求AF的长度．(结果精确到1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)例4. 如图，点A、B、C表示某旅游景区三个缆车站的位置，线段AB，BC表示连接缆车站的钢缆，已知A，B，C 三点在同一铅直平面内，它们的海拔高度AA′，BB′，CC′分别为110米，310米，710米，钢缆AB的坡度i1＝1∶2，钢缆BC的坡度i2＝1∶1，景区因改造缆车线路，需要从A到C直线架设一条钢缆，那么钢缆AC的长度是多少米？(注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)三、测量问题例5、为解决江北学校学生上学过河难的问题，乡政府决定修建一座桥．建桥过程中需测量河的宽度(即两平行河岸AB与MN之间的距离)．在测量时，选定河对岸MN上的点C处为桥的一端，在河岸点A处，测得∠CAB＝30°，沿河岸AB前行30米后到达B处，在B处测得∠CBA＝60°.请你根据以上测量数据求出河的宽度．(参考数据：2≈1.41，3≈1.73；结果保留整数)例6、如图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图．已知BC＝4米，AB＝6米，中间平台宽度DE＝1米，EN、DM、CB为三根垂直于A B的支柱，垂足分别为N、M、B，∠EAB＝31°，DF⊥BC于F，∠CDF＝45°.求DM和BC的水平距离BM的长度．(结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60)四、方向角问题例7：某海域有A、B两个港口，B港口在A港口北偏西30°的方向上，距A港口60海里．有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处．求该船与B港口之间的距离即CB的长(结果保留根号)．例8：如图，在海面上生产了一股强台风，台风中心（记为点M）位于海滨城市（记作点A）的南偏西15°，距离为612千米，且位于临海市（记作点B）正西方向603千米处．台风中心正以72千米/时的速度沿北偏东60°的方向移动（假设台风在移动过程中的风力保持不变），距离台风中心60千米的圆形区域内均会受到此次强台风的侵袭．（1）滨海市、临海市是否会受到此次台风的侵袭？请说明理由．（2）若受到此次台风侵袭，该城市受到台风侵袭的持续时间有多少小时？巩固练习：1、如图，线段AB，CD表示甲、乙两幢居民楼的高，两楼间的距离BD是60米．某人站在A处测得C点的俯角为37°，D点的俯角为48°(人的身高忽略不计)，求乙楼的高度CD.(参考数据：sin37°≈35，tan37°≈34，sin48°≈710，tan48°≈1110)2. 张老师利用休息时间组织学生测量山坡上一棵大树CD的高度，如图，山坡与水平面成30°角(即∠MAN＝30°)，在山坡底部A处测得大树顶端点C的仰角为45°，沿坡面前进20米，到达B处，又测得树顶端点C的仰角为60°(图中各点均在同一平面内)，求这棵大树CD的高度．(结果精确到0.1米，参考数据：3≈1.732)3.如图，某飞机于空中探测某座山的高度，在点A处飞机的飞行高度是AF＝3700米，从飞机上观测山顶目标C的俯角是45°，飞机继续以相同的高度飞行300米到B处，此时观测目标C的俯角是50°，求这座山的高度CD.(参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20)4、如图，斜坡AC的坡度（坡比）为1:3，AC＝10米．坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连，AB＝14米．试求旗杆BC的高度．5、如图，某军港有一雷达站，军舰停泊在雷达站的南偏东方向36海里处，另一艘军舰位于军舰的正西方向，与雷达站相距海里．求：（1）军舰在雷达站的什么方向？（2）两军舰的距离．（结果保留根号）6、（某中学九年级学生在学习“直角三角形的边角关系”一章时，开展测量物体高度的实践活动，他们要测量学校一幢教学楼的高度．如图，他们先在点C测得教学楼AB的顶点A的仰角为30°，然后向教学楼前进60米到达点D，又测得点A的仰角为45°。
锐角三角函数的应用 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
问题解决探究
探究1.随着锐角A的度数不断增大，sinA有
怎样的变化趋势？cosA呢？tanA呢？
30° 45° 60°
sinα 1
2
cosα 3
2
3
2
2
2
1
2
2
2
tanα 3
1
3
3
问题解决探究
随着锐角A的度数不断增大 sinA逐渐增大
cosA逐渐减小 tanA逐渐增大
问题解决探究
< > >
问题解决探究
探究2.若∠A+∠B=90°,试探究sinA与cosB
的关系，并说明理由？ (提示：利用锐角三角函数的定义)
若 ∠A+∠B=90° 则 sinA=cosB
问题解决探究
问题解决探究
1
1
1?
问题解决探究
探究3.在Rt△ABC中，∠C＝90°
求证：sin 2 A cos2 A 1
1?拓展提升Fra bibliotek 拓展提升2.
课堂小结
1. 随着锐角A的度数不断增大 sinA逐渐增大 cosA逐渐减小 tanA逐渐增大
2.若 ∠A+∠B=90°则 sinA=cosB
3.sin 2 A cos2 A 1
初三锐角三角函数知识点总结、典型例题、练习(精选)
例 2．已知：如图，⊙O 的半径 OA＝16cm，OC⊥AB 于 C 点， sin AOC 3 4
求：AB 及 OC 的长．
2
例 3.已知 A 是锐角， sin A 8 ，求 cos A ， tan A 的值 17
对应训练：
1．在 Rt△ABC 中，∠ C＝90°，若 BC＝1，AB= 5 ，则 tanA 的值为
B．
3
3
C．
4
4
D．
3
8． 如图，在△ABC 中，∠ACB=∠ADC= 90°，若 sinA= 3 ，则 cos∠BCD 的值为 ． 5
C
9.计算： 2 cos 30 2 sin 45 tan 60
A
D
B
10．计算 2sin 60 2 cos 45 3 tan 30 tan 45 .
11．计算： 2 sin 60o 4 cos2 30o+ sin 45o tan 60o．
8
12．已知在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，a= 4 6 ，b=12 2 .解这个直角三角形
13. 已知：在⊙O 中,AB 是直径，CB 是⊙O 的切线，连接 AC 与⊙O 交于点 D,
C
(3) 求证：∠AOD=2∠C
则 sin B 的值是（
）
3
2
A．
3
3
B．
2
3
C．
4
4
D．
3
4. 如图 4，沿 AE 折叠矩形纸片 ABCD ，使点 D 落在 BC 边的点 F 处．已知 AB 8 ，
BC 10 ，AB=8,则 tan∠EFC 的值为 ( )
A
D
3
Ａ．
初中九年级数学中考锐角三角函数知识点总结
九年级数学中，锐角三角函数是一个重要的知识点。
锐角三角函数是指对于锐角的正弦、余弦和正切函数。
下面我将对锐角三角函数的基本概念、性质和应用进行总结。
一、基本概念1.弧度和角度：角度是常用的角度度量单位，弧度是角度的另一种度量单位。
1个弧度对应360°/2π≈57.3°。
角度和弧度之间的关系式：弧度=角度×π/180°。
2.锐角：指角度小于90°的角。
3. 三角函数：对于一个锐角A，定义其正弦(sin A)为对边与斜边的比值，余弦(cos A)为邻边与斜边的比值，正切(tan A)为对边与邻边的比值。
二、性质1.正弦函数的性质：（1）对于锐角A，0 < A < 90°，sin A > 0；（2）sin A = sin (180° - A) = sin (A + 360°)；（3）sin (90° - A) = cos A；（4）sin A ≠ 0，当且仅当A是锐角。
2.余弦函数的性质：（1）对于锐角A，0 < A < 90°，cos A > 0；（2）cos A = cos (180° - A) = cos (360° + A)；（3）cos (90° - A) = sin A；（4）cos A ≠ 0，当且仅当A是锐角。
3.正切函数的性质：（1）对于锐角A，0 < A < 90°，tan A > 0；（2）tan A = tan (180° + A)；（3）tan (90° - A) = 1/tan A；（4）tan A ≠ 0，当且仅当A是锐角。
4.三角函数的关系：（1）sin^2 A + cos^2 A = 1；（2）tan A = sin A / cos A。
三、应用1.解三角形：利用已知角的正弦、余弦和正切的值，可以求解未知边长或角度的三角形问题。
人教版九年级数学下册：28锐角三角函数《锐角三角函数优秀教学案例》教案
2.能够运用锐角三角函数解决实际问题，提高学生的应用能力。
3.学会使用三角板和直尺等工具进行角度测量，培养学生的动手操作能力。
4.能够运用信息技术辅助学习，提高学生的信息素养。
（二）过程与方法
1.通过观察、实验、探究等方法，引导学生主动发现锐角三角函数的规律。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.生活实例引入：教师通过展示一些实际生活中的图片，如建筑物的设计图、物理实验场景等，让学生观察并思考其中涉及到的角度问题。
2.提问引导：教师向学生提出问题，如“这些图片中的角度是如何计算的？”“你能想到一些与角度相关的实际问题吗？”等，激发学生的思考兴趣。
3.学生回答：鼓励学生积极回答问题，分享自己的观点和思考。
三、教学策略
（一）情景创设
1.生活情境：通过设置一些与生活密切相关的实例，如建筑设计、物理实验等，让学生了解锐角三角函数在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣。
2.问题情境：设计一些具有挑战性的问题，让学生在解决问题的过程中自然地引入锐角三角函数的知识，引导学生主动探究。
3.互动情境：创设轻松、愉快的课堂氛围，鼓励学生积极参与课堂讨论，培养学生主动表达自己观点的能力。
2.作业反馈：教师及时批改学生的作业，给予反馈和评价，指出学生的错误和不足，帮助学生提高。
3.学生自我检查：学生对自己的作业进行自我检查，总结自己在作业中的优点和不足，不断提高自己的学习效果。
五、案例亮点
1.生活情境的引入：通过展示与学生生活密切相关的实例，如建筑设计、物理实验等，让学生了解锐角三角函数在实际生活中的应用，使学生感受到数学的实用性，激发学生的学习兴趣。这种生活情境的引入，不仅能够引起学生的兴趣，还能够增强学生对知识的理解和记忆。
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九年级思维拓展：锐角三角函数的综合运用
➢ 知识点睛
1. 利用锐角三角函数解直角三角形
（1）直角三角形中，除直角外，共有五个元素．即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出其余三个未知元素．
（2）利用解直角三角形解决实际问题： ①将实际问题抽象为数学问题
画图平面图形，提取信息并标注，明确所求目标及判断标准，转化为解直角三角形的问题．
②根据问题中的条件，选用适当的锐角三角函数和其他信息解直角三角形 作高是构造直角三角形的常见手段；在分析直角三角形时，往往先从已知边长的直角三角形出发；若没有完整边长，则通常考虑从两个直角三角形的相等线段长出发，先设，然后借助三角函数值表达其他边长后进行求解． ③求解验证，回归实际
结合实际场景和判断标准进行比较后，确定判断结果，回归实际场景． 2. 利用锐角三角函数解三角形
（1）在三角形中，由已知的边、角出发，求未知边、角的过程叫做解三角形．已知边指已知该边的长度，已知角指已知该角的三角函数值．解三角形时，往往会通过作高的方式将三角形分割为2个直角三角形进行研究；作高时，一般要保留已知三角函数值的角． （2）常见的可解三角形 ①1边2角
β
αc C
B A βα
a
C
B
A
②2边1角
αc a
C
B
A
αb
a
C
B
A
注：当一个三角形具有三个元素，但不能利用全等判定确定形状唯一时，三角形可解，但图形不唯一．
③3边
b
c
a
B A
④1边1角2表达
αa
C
B
A
α
b
B
A
AB =mAC AB +BC =n
3. 锐角三角函数在综合问题中的应用
研究题目背景往往是分析综合问题的第一步，可以帮助我们找到题目中隐藏的信息——已知三角函数值的角．
①在直角三角形中研究边，分析直角三角形三边之比，判断两锐角的三角函数值是否已知；
②研究角度，来转移计算，判断背景中是否有特殊角（30°，45°，60°，150°，135°，120°），比如由三角形中60°，75°可以计算出第3个角为45°．
➢ 精讲精练
1. （2019河南）数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）
的高度．如图所示，炎帝塑像DE 在高55 m 的小山EC 上，在A 处测得塑像底部E 的仰角为34°，再沿AC 方向前进21 m 到达B 处，测得塑像顶部D 的仰角为60°，求炎帝塑像DE 的高度．（精确到1 m ．参考数据：sin 34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67
1.73 ）
60°34°
A B
C
D
E
2.（2018济宁）如图，在一笔直的海岸线l上有相距2 km的A，B两个观测站，
B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线l的距离是________km．
3.（2017河南）如图所示，我国两艘海监船A，B在南海海域巡航，某一时刻，
两船同时收到指令，立即前往救援遇险抛锚的渔船C．此时，B船在A船的正南方向5海里处，A船测得渔船C在其南偏东45°方向，B船测得渔船C 在其南偏东53°方向．已知A船的航速为30海里/小时，B船的航速为25海里/小时，问C船至少要等待多长时间才能得到救援？
（参考数据：
4
sin53
5
︒≈，
3
cos53
5
︒≈，
4
tan53
3
︒≈
1.41
≈）
A
B
C
45°
53°
4. （2017赤峰）王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架，如图1
所示．已知AC =20 cm ，BC =18 cm ，∠ACB =50°，王浩的手机长度为17 cm ，宽为8 cm ，王浩同学能否将手机放入卡槽AB 内？请说明你的理由．（提示：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2）
图2
A
B
C
图1
A
B
C
5. 如图，在△ABC 中，AB =5，BC =4，AC =6，则∠B 的正切值为_________．
C
B A
6. （2019盐城）如图，在△ABC 中，BC
C =45°，AB
，则
AC 的长为______．
C
B A
7. （2018山东枣庄）如图，在正方形ABCD 中，AD
=BC 绕点B 逆
时针旋转30°得到线段BP ．连接AP 并延长交CD 于点E ，连接PC ，则三角形PCE 的面积为___________．
A
B
C
D
E
P
8. （2017呼和浩特）如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，E ，F 为BD
所在直线上的两点，若AE
EAF =135°，则以下结论正确的是（ ） A ．DE =1 B ．1
tan 3
AFO ∠=
C ．AF
=
2
D ．四边形
AFCE 的面积为
9
4
F
E
O
D C
B A
C
B′
C′
B
A
第8题图
第
9题图
9. （2018苏州）如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，AB
=BC
．将△
ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90°得到△AB′C′，连接B′C ，则sin ∠ACB′=________．
10. （2017河北）平面内，如图，在□ABCD 中，AB =10，AD =15，tan A =
4
3
，点P 为AD 边上任意一点，连接PB ，将PB 绕点P 逆时针旋转90°得到线段PQ ．
（1）当∠DPQ =10°时，求∠APB 的大小；
（2）当tan ∠ABP :tan A =3:2时，求点Q 与点B 的距离（结果保留根号）．
C
11. （2014河南）如图，矩形ABCD 中，AD =5，AB =7．点E 为DC 上一个动点，
把△ADE 沿AE 折叠，当点D 的对应点D'落在∠ABC 的角平分线上时，DE 的长为__________．
D'
E
D
C
B
A
12. （2018包头）如图，在Rt △ACB 中，∠ACB =90°，以点A 为圆心，AC 长为
半径的圆交AB 于点D ，BA 的延长线交⊙A 于点E ，连接CE ，CD ，F 是⊙A 上一点，点F 与点C 位于BE 两侧，且∠FAB =∠ABC ，连接BF ． （1）求证：∠BCD =∠BEC ；
（2）若BC =2，BD =1，求CE 的长及sin ∠ABF 的值．
13. （2018河南）如图，抛物线y =ax 2+6x +c 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ．直
线y =x -5经过点B ，C ． （1）求抛物线的解析式．
（2）过点A的直线交直线BC于点M．连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．
备用图备用图
14. （2018河南）（1）问题发现
如图1，在△OAB 和△OCD 中，OA =OB ，OC =OD ，∠AOB =∠COD =40°，连接AC ，BD 交于点M ．填空：
①AC BD
的值为_____________； ②∠AMB 的度数为_____________． （2）类比探究
如图2，在△OAB 和△OCD 中，∠AOB =∠COD =90°，∠OAB =∠OCD =30°，
连接AC 交BD 的延长线于点M ．请判断AC
BD
的值及∠AMB 的度数，并说明
理由． （3）拓展延伸
在（2）的条件下，将△OCD 绕点O 在平面内旋转，AC ，BD 所在直线交于点M ．若OD =1，OB
C 与点M 重合时AC 的长．
M
O
D C
B
A M D
C
O B
A
O
A
B
图1 图2 备用
图
【参考答案】
1. 炎帝塑像DE 的高度为51 m ．
2.
3. C 船至少要等待0.94小时才能得到救援．
4. 因为17＜，所以王浩同学能将手机放入卡槽内．
5. 6. 2
7. 9- 8. C
9. 45
10. （1）∠APB 为80°或100°；（2）点Q 与点B 的距离为． 11.
5
2
或53
12. （1）证明略；（2）CE 的长为
5
；sin ∠ABF 的值为50．
13. （1）抛物线的解析式为y =-x 2+6x -5；
（2）点M 的坐标为(
136，176-)或(236，7
6
-)． 14. （1）①1；②40°；
（2）AC BD
AMB 的度数为90°；理由略；
（3）AC 的长为。