菲涅尔圆孔衍射和圆屏衍射讲义

取：A1
A1
2
A1
A3
A3
2
A3
···
A1 A3 Ak
A2
A1
2
A3
A4
A3
2
A5
…
则有：
A(P0 )
1 2
[
A1
(1) ( n1)
An ]
I A2 (P0 )
A(P) A2 A4
(a) k为奇数 A1 A3
Ak
A2 A4 (b) k为偶数
A(P)
波带法中的振幅矢量
（5）求遮住前n个半波带的圆屏衍射中心场 点Po处的合振幅
4）比较各个振幅的大小
球冠面积：
M
R
r
2R2 (1 cos) S
O b P0
， 其中：cos R2 (R b)2 r 2
2R(R b)
d 2R2 sin d sin d rdr
R(R b)
得： d 2Rdr
r Rb
把d看成半波带面积 k
则：dr l / 2
k Rl 是一个常量
M4 Cb+2l b+3l/2
M3
b+l
R M2
M1 b+l/2
P0
S
O
b
圆孔的菲涅耳衍射与波带分割原则
2）写出每个半波带的复振幅
U1(P0 ) A1(P0 )ei1 U2 (P0 ) A2 (P0 )ei(1 )
U3(P0 ) A3(P0 )ei(12 )
3) 求P0点的合振幅
U (P0 ) A(P0 )ei ( A1 A2 A3 )ei1 则：A(P0 ) A1 A2 A3 (1)(n1) An
菲涅尔圆孔衍射和圆屏衍射讲义
2）实验现象
➢ 衍射图样是亮暗相间的同心圆环，中 心点可能是亮的，也可能是暗的。
➢ 孔径变化，衍射图样中心的亮暗交替 变化。
➢ 移动屏幕，衍射图样中心的亮暗交替
变化，中心强度随 的变化很敏感，随
距离 b 的变化迟缓。
➢ 圆屏的衍射图样也是同心圆环，但衍 射图样的中心总是一个亮点。
2．半波带法 （1）要解决的问题
求菲涅耳衍射中心场点Po处的光强度 （2）解决方法
采用近似处理的方法
U(P) dU(P) Ui (P)
()
（3）步骤
1）把波前分割成为一系列环形半波带，使得相邻
两个波带的边缘点到P点的光程差等于半个波长
l
M 1 P O P M 2 P M 1 P M 3 P M 2 P 2
解：从波源S发出的球面波，自由传播到 R和R+b处的Q和P点时复振幅分别为
U (Q) a eikR R
U (P) a eik (Rb) Rb
由衍射积分公式得
U1(P) K
U0 (Q)F( ,0 )
eikr r
d
F(,0) 1
U0(Q)=U(Q)
d 2Rdr
r Rb
U1(P) K
U0 (Q)F( ,0 )
由菲涅耳原理可知：wenku.baidu.com
Ak
k ( k
)
Rl
Rb
rk
Ak
R
k( k(k )
b
k
)
k rk
Ak仅随 k(k ) 变化，随k的增加缓慢减小，最后
趋近于零。即：
A1 A2 A3 Ak1 Ak2 A 0
（4）求露出前n个半波带的圆孔衍射中心场点Po
处的合振幅
A P 0 A 1 A 2 A 3 A 4 1 k 1 A k
)
(
1 2
A3
A4
1 2
A5
)
1 2
(
1 )n1
An
1 2 [ A1
(1) ( n1)
An ]
2）自由传播时，由于 An A 0
A(P0 )
1 2
A1 (P0 )
3）若衍射圆孔逐渐增大
n 1 时，A(P0 ) A1 ，Po点处是亮点 n 2 时， A(P0 ) A1 A2 0 ，Po点处是暗点
分割，使被限制的波面细分为许多面积大小 相等的细波带。
(3）处理步骤
1) 将半波带分割成 m个更窄的小环带
2) 写出每个小环带在P0点的复振幅
U1(P0 ) A(P0 )ei0 U2 (P0 ) A(P0 )ei(0 m) U3 (P0 ) A(P0 )ei(0 2 /m)
………….
Um (P0 ) A(P0 )ei(0 )
eikr r
d
2 RK
Rb
bl b
/
2
U
0
(Q)eikr
A( P0 ) An1 An2 A
1 2
[
An1
( 1)
A
]
1 2
An1
1 A(P0 ) 2 An1
I A2 (P0 )
（6）讨论：
1）圆孔衍射中心场点P0处的总振幅近似为：
A(P0 ) A1 A2 A3 (1)(n1) An
1 2
A1
(
1 2
A1
A2
1 2
A3
3)画出矢量图
注意： 矢量图是正多边形， 一个完整半波带首尾矢量的
位相差是
4)连接首尾矢量，得到合成 矢量，则半波带在P0点产生的 光强为：
I (P0 ) A2
m M Am
A
O A1
A2
A3
（4)讨论
1）若被分割的是一整个半波带，
弧m线，合时成矢, 矢量量A1 图为为半半圆圆的形直径。
Ak 0 m
O
2）如果露出m个半波带
由于倾斜因子的影响，随半波带 序号的增长，每个半波带形成的 合矢量（半园的半径）逐渐收缩， 矢量图形成螺旋线。
A1
A2
A1
A1- A2
细波带的叠加
[A1+(-1)k+1Ak+1]/2
3）量自由A0为传第播一时个，半螺圆旋的线半旋径绕到A圆0 (P心0 ) C 。12 A合1(P成0 )矢
n 3 时， A(P0 ) A1 A2 A3 A1
Po 点处是亮点
n 3 时， A(P0 ) A1 A2 A3 A1
Po 点处是亮点
n 4时， A(P0 ) A1 A2 A3 A4 0
Po点处是暗点
随包含的半波带数目逐渐增多， 中心强度的亮暗交替变化。
随着距离b的变化， 中心强度的亮暗也交替变化。
4）由圆屏衍射的振幅公式 可知：
随圆屏半径的增大，
A(P0 )
1 2
An1
无论n是奇还是偶，中心场点总是亮的。
5）半波带法的适用条件 能将圆孔或圆屏整分成半波带时的情况， 较简单，否则较困难。
3．矢量图解法
(1) 菲涅耳波半带法的优缺点： 简便，但近似性较大.
(2) 振幅矢量叠加法的基本思路： 将由菲涅耳波带法分割的每个波带再行
（5）例1 求圆孔包含1/2个半波带时轴上点P0处的衍射强度
解：此时圆孔露出部分是 半个半波带
作图过程仍然如前所述
但首尾矢量的位相差是 / 2
____
A' OB 2 A0，I ' 2A02
0
光强为自由传播时的两倍
例2 以自由传播为例，验证惠更斯-菲涅尔
原理，并定出公式中的比例系数：K = -i /l