量子力学 态和力学量的表象

ˆ ( x x) x ( x x) 。 x
所以， x ( x) ( x x)
第四章 态和力学量的表象 4.1、 态的表象
4.1.3、任意 表象，态的矩阵表示
ˆ 表象，态的矩阵表示 4.1.3、任意 Q
ˆ 来表示：坐标表象， 态函数以及力学量都用坐标 x
ˆ 来表示：动量表象， 态函数以及力学量都用动量 p
q q dq 之间的几率。
第四章 态和力学量的表象 4.1、 态的表象
4.1.3、任意 表象，态的矩阵表示
因此， 在 Q 表象中，( x, t ) 所描写的态仍可以用矩阵表示，
a1 (t ) a (t ) 2 M † * * * * ， (a1 (t ), a2 (t ),L , an (t ),L aq (t )) 。 an (t ) M a (t ) q
4.1.1、 坐标表象与动量表象
4.1、 态的表象 4.1.1、 坐标表象与动量表象 假设体系的状态在坐标表象中用波函数 ( x, t ) 描写， 则 动量的本征函数，
p x
i exp px ， 1/2 h 2 h 1
பைடு நூலகம்
下面讨论此状态如何用以动量为变量的波函数来描写。
是 ，那么， ， 对应的本征函数
第四章 态和力学量的表象 4.1、 态的表象
4.1.3、任意 表象，态的矩阵表示
( x, t ) an (t )un ( x) aq (t )uq ( x)dx ，
n
* * ( x)dx ； aq ( x, t )uq ( x)dx 。 式中， an ( x, t )un
4.2.1、 算符的矩阵表示
ˆ 的本征值有连续值的情况 （2） Q
ˆ 在 Q 表象中仍然是一个矩 上面的讨论依然适用， 算符 F
阵，矩阵元为，
ˆ x, ih u ( x)dx ， Fq q uq* ( x) F q x
只是这个矩阵的行列不再可数，而用连续的下表来表示。 例：
ˆ 的本征函数在自身表象中的表示 ˆ 和坐标 x 4.1.2、 动量 p
ˆ （1）动量 p
如果 x, t 所描写的状态是具有动量 p 的自由粒子的 状态，即： ( x, t ) p ( x)e 则， c( p, t ) ( x) p ( x)e
* p
i E p t h
仍有归一化条件， † 1。
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4.1.4、 希尔伯特空间
4.1.4、 希尔伯特空间 从上面的讨论中，同一个态可以在不同的表象中用波 函数来描写，所取的表象不同，波函数的形式也不同，但 它们描写同一个态。类比几何空间的矢量表示，可以得到 量子力学中的态在无限维函数空间中的表示，这个空间是 希尔伯特空间，其中描写量子态的矢量为态矢量。
。
i E p t h
dx
。
第四章 态和力学量的表象 4.1、 态的表象 4.1.2、 动量 和坐标 的本征函数在自身表象中的表示
动量表象中：具有确定动量 p 的粒子的波函数是以动量 p 为变量的 函数。
ˆ （2）坐标 x
同样，x 在坐标表象中的对应于确定值 x 的本征函数是
( x x) ，这可由下列本征值方程看出，
4.1.3、任意 表象，态的矩阵表示
ˆ所 由此可知 | an |2 是在 ( x ,t ) 所描写的态中测量力学量 Q
得结果为 Qn 的几率。 数列， ，就是 ( x, t ) 所描写的态在 Q 表象中的表示。可写为矩阵形式，
a1 (t ) a (t ) 2 M ， an (t ) M
令，
第四章 态和力学量的表象 4.2、 算符的矩阵表示
4.2.1、 算符的矩阵表示
ˆ x, ih u ( x)dx ， Fmn um* ( x) F n x
则在 Q 表象中，
bm (t ) an (t ) Fmn ，
n
上式便是（*）式在 Q 表象中的表示，表示为矩阵，
第四章 态和力学量的表象 4.1、 态的表象
4.1.4、 希尔伯特空间
Q.M. 态 ，态矢量 力学量表象，如 Q 表象 基 矢 组成正交归一完备系 波函数 矢量
几何
坐标系，如直角坐标系 单位矢量，
Ax , Ay , Az 为
沿
是 在 Q 表象中沿 各个基 的分量， 矢方向的分量，
第四章 态和力学量的表象 4.1、 态的表象
{un }构成正交归一的完全系.
ˆ 的本征函数展开， 波函数 ( x, t ) 按照 Q
( x, t ) an (t )un ( x) ，
n
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4.1.3、任意 表象，态的矩阵表示
式中，
* an (t ) ( x, t )un ( x)dx 。
ˆ x, ih ( x, t ) ( x, t ) 在坐标表象中： F x
现在来看这个方程在 Q 表象中的表达式。
(*) 。
ˆ 具有分立的本征值 设Q
，对应的本征函
第四章 态和力学量的表象 4.2、 算符的矩阵表示
4.2.1、 算符的矩阵表示
数是
，本征方程，
第四章 态和力学量的表象 4.1、 态的表象
4.1.3、任意 表象，态的矩阵表示
的共轭矩阵是一个行矩阵，用 † 标记，
* * * † (a1 (t ), a2 (t ),L , an (t ),L ) 。
这样，归一化条件记为：
Y † Y =| an |2 = 1。
ˆ 的本征值既有分立谱又有连续谱 （2） Q ˆ 具有分立的本征值 设Q
设 x, t 是归一化的波函数，则由归一化条件，很容易证 明，
| ( x, t ) |
2
dx | c p, t |2 dp 1，
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4.1.1、 坐标表象与动量表象
其中，
| ( x, t ) |2 dx ： 在 x, t 所描写的态中测量粒子位置所得结
果在 x x dx 范围内的几率。 在 x, t 所描写的态中测量粒子动量所得结 | c p, t |2 dp ： 果在 p p dp 范围内的几率。 可以看出：当 x, t 已知，就可完全确定 c p, t 。 反之， 当 c p, t 已知，就可完全确定 x, t 。
ˆ 来表示： Q 表象。 态函数以及力学量都用任意力学量 Q
第四章 态和力学量的表象 4.1、 态的表象
4.1.3、任意 表象，态的矩阵表示
下面分析 Q 表象中 ( x, t ) 所描写的量子态如何表示。
ˆ 具有分立的本征值 （1） Q ˆ 具有分立的本征值 设Q
数是 ，对应的本征函
ˆ ( x, h )u ( x) Q u ( x) ，即： Q n n n i x
将 ( x, t ), ( x, t ) 代入，
* * u ( x ) F x , i h m an (t )un ( x)dx um ( x) bn (t )un ( x)dx x n n
* a ( t ) u ( x ) F x , i h u ( x ) dx bn (t ) um* ( x)un ( x)dx n n m x n n bm
第四章 态和力学量的表象
第四章 态和力学量的表象
第四章 态和力学量的表象 引言
引言 量子力学：态和力学量的具体表示方式称为表象。 如：前面所采用的坐标表象， ， 。
这种表示方法在量子力学中并不是唯一的，正如几何 学中选用坐标系不是唯一的一样。这一章我们将讨论其他 的表象。并介绍常用的狄拉克符号。
第四章 态和力学量的表象 4.1、 态的表象
ˆ x, h u ( x ) Q u ( x ) ， Q n n n i x
{un }构成正交归一的完全系，
( x, t ) an (t )un ( x),
n
an (t ) un* ( x) ( x, t )dx bn (t ) un ( x)( x, t )dx
*
( x, t ) bn (t )un ( x),
n
。
an , bn 分别为 ( x, t ), ( x, t ) 在 Q 表象中的表示。
对（*）左乘 um* ( x) ，在对全空间做积分，
第四章 态和力学量的表象 4.2、 算符的矩阵表示
4.2.1、 算符的矩阵表示
* * u ( x ) F x , i h ( x, t )dx um ( x)( x, t )dx m x
若 ( x, t ) 是归一化的，则，
å| a (t ) | + ò | a (t ) |
2 n q n
2
dq = 1
ˆ 所得结果为 Q 的几率， | an |2 ：在 ( x, t ) 态中测量力学量 Q n ˆ 所得结果在 | aq (t ) |2 dq ： 在 ( x, t ) 态 中 测 量 力 学 量 Q
第四章 态和力学量的表象 4.2、 算符的矩阵表示
4.2.1、 算符的矩阵表示
b1 (t ) F11 F12 L b (t ) F 2 21 F22 L M = M M b ( t ) m Fm1 Fm 2 L M M M
设 ( x, t ) 和 un ( x) 都是归一化的，那么，
ò |Y ( x, t ) |
2
* * dx = å am (t )an (t ) ò um ( x )un ( x )dx mn
* am (t )an (t ) mn mn
* = å an (t )an (t ) =1 n
第四章 态和力学量的表象 4.1、 态的表象
第四章 态和力学量的表象 4.2、 算符的矩阵表示
4.2.1、 算符的矩阵表示
ˆ 的矩阵元 坐标表象中 F
ˆ x, ih u ( x)dx ， Fmn um* ( x) F n x ˆ x, ih ( x x)dx Fxx ( x x) F x ˆ x, ih ( x x) 。 F x ˆ 的矩阵元为， 在动量表象中 F ˆ x, ih ( x)dx 。 Fp p p* ( x) F p x
4.1.4、 希尔伯特空间
* an (t ) ( x, t )un ( x)dx
无限维函数空间 希尔伯特 三维空间 空间
第四章 态和力学量的表象 4.2、 算符的矩阵表示
4.2.1、 算符的矩阵表示
4.2、 算符的矩阵表示 4.2.1、 算符的矩阵表示
ˆ 的本征值只有分立值的情况 （1） Q
的表示，
L a1 (t ) a (t ) F2 n L 2 M M Fmn L an (t ) M M F1n
ˆ 在 Q 表象中的矩阵元，矩阵 F 为 F ˆ 在 Q 表象中 Fmn 即为 F
F 。
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第四章 态和力学量的表象 4.1、 态的表象
4.1.1、 坐标表象与动量表象
p ( x) 组成完全系，任意波函数 ( x, t ) 可以按 p ( x) 展开，
x, t c p, t p x dp ，
系数 c p, t 由下式给出，
c( p, t ) p* ( x)( x, t )dx 。
第四章 态和力学量的表象 4.1、 态的表象 4.1.2、 动量 和坐标 的本征函数在自身表象中的表示
x, t 和 c p, t 描写同一状态。 x, t ：坐标表象中的波函数， c p, t ：动量表象中的波函数。
第四章 态和力学量的表象 4.1、 态的表象 4.1.2、 动量 和坐标 的本征函数在自身表象中的表示