蝴蝶定理的八种证明及三种推广

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六年级奥数蝴蝶模型

蝴蝶模型一、蝴蝶模型与任意四边形在任意四边形中，两对角线将四边形分成四个三角形，两组相对三角形面积之积相等。

推导：由等积变形模型可知：OC AOS S BOC AOB =∆∆ OC AOS S COD AOD =∆∆ COD AODBOC AOB S S S S ∆∆∆∆=∴2431S S S S =即4321S S S S ⨯=⨯∴二、蝴蝶模型与梯形①②推导：① 同上② 过点A 作三角形ABC 的高1h ，过点D 作△BCD 的高2h BC AD //21h h =∴（两平行线之间高相等）121h BC S ABC ⨯⨯=∆221h BC S BDC ⨯⨯=∆B DC A B C S S ∆∆=∴ 3231S S S S +=+∴ 21S S =∴三、蝴蝶模型与平行四边形（一） ①②推导：① 同上② BCD ABC S S ∆∆= A C D B C D S S ∆∆= （同底等高） 4241S S S S +=+∴ 2324S S S S +=+ 21S S =∴ 43S S = OD OB = OC OA = 31S S =∴ 42S S =即：对角平行四边形面积乘积相等（在平行四边形ABCD 内作两条分别平行于两组相对边的线段GH 、EF ）推导：连接GE 、EH 、HF 、FG ，过点E 作EM 垂直于GH 于点MEM OG S OGE ⨯⨯=∴∆21EM OG S S ⨯==∴1平行四边形121S S O G E=∴∆同理可得：321S S OGF =∴∆ 221S S O F H =∆ 421S S E O H =∆ 由蝴蝶定理可知：EOH OGF OFH OGE S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯432121212121S S S S ⨯=⨯∴4321S S S S ⨯=⨯∴ 四、蝴蝶模型与长方形（一）①②即：对角长方形面积乘积相等五、蝴蝶模型与正方形“子母图”——两共线相邻的正方形在上面两个图形中，每组正方形的对角线均互相平行，即a//b、c//d 重要结论：两共线相邻的正方形对角线互相平行。

数书九章蝴蝶定理

数书九章蝴蝶定理一、定理描述蝴蝶定理是数书九章中的一条著名定理，其表述为：在任意一个二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)中，其对称轴两侧的两个端点A、B和函数图像的最低点P构成的直线AP和BP的斜率之和等于零。

即：k1 + k2 = 0，其中k1、k2分别为直线AP、BP的斜率。

二、证明方法蝴蝶定理的证明方法有很多种，其中一种常用的证明方法是利用二次函数的性质和对称性。

通过设A、B、P三点的坐标，并利用对称性质和斜率公式，我们可以推导出k1 + k2 = 0。

三、应用举例蝴蝶定理在数学、物理、工程等多个领域有着广泛的应用。

例如，在解决一些几何问题时，可以利用蝴蝶定理来求解一些未知量；在解决一些物理问题时，可以利用蝴蝶定理来研究一些物体的运动轨迹；在解决一些工程问题时，可以利用蝴蝶定理来优化一些设计。

四、推广和变形蝴蝶定理可以推广到更高维度的空间中，并可以在不同的数学分支中得到应用。

此外，蝴蝶定理还有许多变种形式，如双曲线的蝴蝶定理等。

五、历史背景蝴蝶定理最早出现在中国的数书九章中，是古代数学家们研究二次函数时的一个重要成果。

随着时间的推移，蝴蝶定理逐渐被世界各地的数学家所认识和应用，成为数学史上的一个经典定理。

六、文化内涵蝴蝶定理不仅是一个数学定理，更是一种文化现象。

在中国文化中，蝴蝶常常被视为美丽、优雅和自由的象征。

因此，蝴蝶定理也被赋予了这些美好的寓意，成为了一种具有文化内涵的数学定理。

七、与其他数学定理的关系蝴蝶定理与其他数学定理之间有着密切的联系。

例如，它可以与勾股定理、射影定理等其他几何定理结合使用，来解决一些更复杂的数学问题。

此外，蝴蝶定理还可以被应用到复数、矩阵等领域中，与其他数学分支相互渗透。

八、当代研究现状随着数学的发展，蝴蝶定理的研究也在不断深入。

现代数学家们利用代数、几何、拓扑等各种工具对蝴蝶定理进行了深入的研究，揭示了它更深层次的数学内涵和意义。

同时，随着计算机技术的发展，数值计算和符号计算等方法也被应用到蝴蝶定理的研究中，为定理的应用提供了更多的可能性。

几何中的蝴蝶定理

几何中的蝴蝶定理1. 哎呀，今天咱们来聊一个特别有意思的几何定理，叫蝴蝶定理！说实话，光听这名字就觉得美滋滋的，像是在数学花园里看见了一只翩翩起舞的蝴蝶。

2. 这个定理说的是啥呢？想象一下，在一个圆里面，画了两条相交的弦，就像蝴蝶的两个翅膀一样交叉在一起。

这时候就神奇了！3. 这两条弦交叉的那个点，把每条弦都分成了两段。

要是把这四段线段相乘，你猜怎么着？两组乘积居然完全相等！这就跟变魔术一样神奇。

4. 打个比方啊，假如咱们画了两条弦，一条被分成3厘米和5厘米两段，另一条被分成4厘米和3.75厘米两段。

你用计算器算算：3×5=15，4×3.75=15，这不就神了吗？5. 有的同学可能要问了：这定理咋这么像蝴蝶呢？你仔细看啊，两条相交的弦就像蝴蝶的翅膀，交点就像蝴蝶的身体，这不是活脱脱一只几何蝴蝶嘛！6. 这个定理还有个特别实用的地方。

要是你在做几何题时遇到圆里面有两条相交的弦，立马就能用上这个定理，分分钟解出来！7. 说到证明过程，其实也不难。

就像是把蝴蝶的翅膀折来折去，用相似三角形就能证明。

不过今天咱们主要是理解这个定理的妙处，就不钻牛角尖啦！8. 这个定理还告诉我们一个道理：看似不相关的东西，其实暗藏玄机。

就像蝴蝶翅膀上看似随意的花纹，背后却藏着严谨的数学规律。

9. 在实际应用中，蝴蝶定理经常和其他定理一起使用。

比如说和圆幂定理搭配，简直就是几何题的双保险！解题的时候，就像蝴蝶飞舞一样轻松自如。

10. 有意思的是，这个定理还能推广到更复杂的情况。

要是在圆里面画更多的弦，它们相交的点也会形成一些有趣的规律，就像一群蝴蝶在跳舞。

11. 学习数学最重要的就是找到乐趣。

蝴蝶定理就是个很好的例子，它把枯燥的几何变成了生动的图画，让人感受到数学之美。

12. 所以啊，下次你看到蝴蝶，别光顾着欣赏它的美丽，也想想它身上藏着的数学奥秘。

这不就是数学最迷人的地方吗？它把大自然的美和严谨的逻辑完美地结合在了一起！。

蝴蝶定理的八种证明及三种推广

蝴蝶定理的证明定理：设M 为圆内弦PQ 的中点，过M 作弦AB 和CD 。

设AD 和BC 各相交PQ 于点E 和F ，则M 是EF 的中点。

在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！证法1 如图2，作OU AD OV BC ⊥⊥，，则垂足U V ，分别为AD BC 、的中点，且由于 EUO EMO 90∠=∠=︒ FVO FMO 90∠=∠=︒得M E U O 、、、共圆；M F V O 、、、共圆。

则AUM=EOM MOF MVC ∠∠∠=∠，又MADMCB ，U V 、为AD BC 、的中点，从而MUA MVC ∆∆，AUM MVC ∠=∠ 则 EOM MOF ∠=∠，于是ME=MF 。

证法2 过D 作关于直线OM 的对称点D'，如图3所示，则 FMD'EMD MD=MD'∠=∠， ○1 联结D'M 交圆O 于C'，则C 与C'关于OM 对称，即PC'CQ =。

又111CFP=QB+PC =QB+CC'+CQ =BC'=BD'C'222∠∠（）（）故M F B D'、、、四点共圆，即MBF MD'F ∠=∠而 MBF EDM ∠=∠ ○2 由○1、○2知，DME D'MF ∆≅∆，故ME=MF 。

证法 3 如图4，设直线DA 与BC 交于点N 。

对NEF ∆及截线AMB ，NEF ∆及截线CMD 分别应用梅涅劳斯定理，有FM EA NB 1ME AN BF ⋅⋅=，FM ED NC1ME DN CF⋅⋅= 由上述两式相乘，并注意到 NA ND NC NB ⋅=⋅ 得22FM AN ND BF CF BF CF ME AE ED BN CN AE ED⋅=⋅⋅⋅=⋅ ()()()()2222PM MF MQ MF PM MF PM ME MQ+ME PM ME -==-+--化简上式后得ME=MF 。

蝴蝶定理的证明与推广

蝴蝶定理（Butterfly theorem），是古典欧氏平面几何的最精彩的结果之一。

这个命题最早出现在1815年，而“蝴蝶定理”这个名称最早出现在《美国数学月刊》1944年2月号，题目的图形象一只蝴蝶。

这个定理的证法多得不胜枚举，至今仍然被数学热爱者研究，在考试中时有出现各种变形。

最基本的叙述为：设M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。

设AD和BC各相交PQ于点X和Y，则M是XY的中点。

该定理实际上是射影几何中一个定理的特殊情况，有多种推广：
从向和作垂线，设垂足分别为和。

类似地，从向和作垂
线，设垂足分别为和。

证明蝴蝶定理
现在，由于
从这些等式，可以很容易看出：
由于 =
现在，
因此，我们得出结论：，也就是说，是的中点。

椭圆中的蝴蝶定理是什么？

椭圆中的蝴蝶定理是什么？
蝴蝶定理起源于圆，并可推广至圆锥曲线（椭圆、双曲线和抛物线），椭圆中的蝴蝶定理是高考中最常见的情况，对综合分析能力要求甚高。

一·何谓蝴蝶定理：
1815年，英国伦敦出版社，著名的数学科普刊物《男士日记》上刊登了如下的命题：
以上问题的图形，像一只翩翩起舞的蝴蝶，这正是该命题被称之为“蝴蝶定理”的原因。

由于蝴蝶定理意境优美，结论简洁，内涵丰富，两百多年来引无数数学家为之流连忘返，浮想联翩。

时至今日，人们不仅发现了蝴蝶定理的六十多种证明方法，而且还给出了定理的各种变形与推广。

二·蝴蝶定理的证明：
蝴蝶定理的证明方法非常之多，但利用曲线系方程来证明蝴蝶定理干净简洁，内涵丰富。

另外，如果将圆的方程换成圆锥曲线（椭圆、双曲线或抛物线）的方程，则得到对应这些曲线中的蝴蝶定理。

三·蝴蝶定理的推广：
对蝴蝶定理的探索与研究至今仍然没有结束，由人称它为欧氏平面几何里的一颗璀璨明珠。

四·典型高考题示例：
蝴蝶定理在高考数学中曾多次出现，下面仅举一例进行说明：
蝴蝶定理，butterfly thearem，古典欧氏几何最精彩的结果之一。

1815年首次被一个自学成才的中学教师W·霍纳以初等方式证明。

足可见，高等的东西用初等方法解决未必完全不可能。

以上，祝你好运。

蝴蝶定理的证明方式

蝴蝶定理的证明方式1. 用射影几何中的交比性质证明蝴蝶定理。

- 设M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。

设AD与PQ交点为X，BC与PQ交点为Y。

- 以M为中心，考虑线束MA, MX, MB, MP和线束MC, MY, MD, MP。

- 根据交比的性质，对于线束MA, MX, MB, MP，交比(MA,MX;MB,MP)等于(A,X;B,P)（这是通过中心投影得到的交比不变性）。

- 同理，对于线束MC, MY, MD, MP，交比(MC,MY;MD,MP)等于(C,Y;D,P)。

- 由于圆的射影性质，(A,X;B,P)=(C,Y;D,P)，即(MA,MX;MB,MP)=(MC,MY;MD,MP)。

- 又因为M是PQ中点，MP = MQ，在交比(MA,MX;MB,MP)和(MC,MY;MD,MP)中，利用交比的计算(a,b;c,d)=((a - c)(b - d))/((a - d)(b - c))，经过计算可得MX=MY。

2. 利用面积法证明蝴蝶定理。

- 连接OM、OA、OB、OC、OD。

- 因为M是弦PQ的中点，所以OM⊥ PQ。

- 设∠ AOM=α，∠ COM=β，圆的半径为r。

- 根据三角形面积公式S = (1)/(2)absin C。

- 对于AXM和BXM，frac{S_ AXM}{S_ BXM}=(frac{1)/(2)AX· MX·sin∠AXM}{(1)/(2)BX· MX·sin∠ BXM}。

- 由于∠ AXM+∠ BXM = π，sin∠ AXM=sin∠ BXM，所以frac{S_AXM}{S_ BXM}=(AX)/(BX)。

- 同理frac{S_ CXM}{S_ DXM}=(CX)/(DX)。

- 又S_ AOM=(1)/(2)r^2sin2α，S_ BOM=(1)/(2)r^2sin2(π - α)= (1)/(2)r^2sin2α，S_ COM=(1)/(2)r^2sin2β，S_ DOM=(1)/(2)r^2sin2(π-β)=(1)/(2)r^2sin2β。

中学几何之蝴蝶定理大全

中学几何之蝴蝶定理大全在中学几何学中，蝴蝶定理是一项重要的定理，在解题过程中经常会用到。

本文就蝴蝶定理的各个方面进行全面介绍和总结。

定理的描述蝴蝶定理是指在平面几何中，如果一个三角形的两边分别与另外两个三角形的两边平行，并且这三个三角形的顶点都在同一直线上，那么这三个三角形的面积之比相等。

定理的证明蝴蝶定理的证明可以通过几何法或代数法进行。

几何法主要是利用平行线的性质和面积的性质进行推导，而代数法则是基于坐标系来进行计算。

定理的应用蝴蝶定理在求解平面几何问题时具有广泛的应用。

它可以简化问题的分析和计算过程，节省解题时间。

在解决平行线、相似三角形等问题时，可以通过蝴蝶定理的运用来得到解答。

注意事项在使用蝴蝶定理时需要注意以下几点：1. 确保题目中给出了足够的条件，以满足使用蝴蝶定理的要求。

2. 使用几何工具绘制图形，进行直观的观察和推导。

3. 确认计算中使用的单位和坐标系，保证计算的准确性。

例题分析以下是一个关于蝴蝶定理的例题分析：已知在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接EF并延长交BA于G，线段CG与线段EF交于H。

如果CG= 12 cm，EG = 9 cm，那么求CH。

根据蝴蝶定理，我们可以利用平行线的性质解答这个问题。

首先，由于EF为平行四边形的对角线，所以EF平分了CG。

根据平分线性质，可知EG = GF = 9/2 cm。

由此，我们可以通过相似三角形CGH和EGF的比例关系来计算出CH的长度。

通过以上的例题分析，我们可以看到蝴蝶定理在解决几何问题中的实际应用。

结论蝴蝶定理是中学几何中一个重要而实用的定理，它在求解平面几何问题时具有广泛的应用。

通过研究和掌握蝴蝶定理，我们可以更轻松地解答相关的几何题目，并在解题过程中提高思维能力和逻辑推理能力。

以上是关于中学几何之蝴蝶定理的全面介绍和总结，希望对读者有所帮助。

读者可以在实际的几何问题中尝试运用蝴蝶定理，提高解题的效率和准确性。

小学几何之蝴蝶定理完整版

小学几何之蝴蝶定理 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】CFE ADBCBEFDA几何之蝴蝶定理一、基本知识点定理1：同一三角形中，两个三角形的高相等，则面积之比等于对应底边之比。

S 1 : S 2 = a : b 定理2：等分点结论( 鸟头定理)如图，三角形△AED 的面积占三角形△ABC 的面积的定理3：任意四边形中的比例关系( 蝴蝶定理)1） S 1∶S 2 =S 4∶S 3 或 S 1×S 3 = S 2×S 4上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积 2）AO ∶OC = （S 1＋S 2）∶（S 4＋S 3）梯形中的比例关系( 梯形蝴蝶定理) 1）S 1∶S 3 =a 2∶b 2上、下部分的面积比等于上、下边的平方比2）左、右部分的面积相等3）S 1∶S 3∶S 2∶S 4 =a 2∶b 2 ∶ab ∶ab 4）S 的对应份数为（a+b ）2 定理4：相似三角形性质1） HhC c B b A a ===2） S 1 ∶S 2 = a 2 ∶A 2 定理5：燕尾定理S △ABG ∶ S △AGC = S △BGE ∶ S △GEC = BE ∶EC S △BGA ∶ S △BGC = S △AGF ∶ S △GFC = AF ∶FC S △AGC ∶ S △BCG = S △ADG ∶ S △DGB = AD ∶DB二、例题分析例1、如图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC 的面积是多少平方厘米？例2、有一个三角形ABC 的面积为1，如图，且12AD AB =，13BE BC =，14CF CA =，求三角形DEF 的面积.例3、如图，在三角形ABC 中，，D 为BC 的中点，E 为AB 上的一点，且BE=13AB,已知四边形EDCA 的面积是35，求三角形ABC 的面积.例4、例1 如图，ABCD 是直角梯形，求阴影部分的面积和。

蝴蝶定理推广证明

蝴蝶定理推广证明1. 圆中的蝴蝶定理推广形式及证明。

- 设M为圆O内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。

设AD与PQ交点为X，BC与PQ交点为Y，则XM = MY。

- 证明：- 连接OA，OB，OC，OD。

- 根据圆的性质，AXM和DXM中，由正弦定理得：(XM)/(sin∠XAM)=(AM)/(sin∠ AXM)，(XM)/(sin∠ XDM)=(DM)/(sin∠ DXM)。

- 因为∠ AXM=∠ DXM（对顶角相等），∠ XAM与∠ XDM所对的弧分别为overset{frown}{BD}和overset{frown}{AC}，根据圆周角定理，∠ XAM=∠XDM。

- 所以(XM)/(AM)=(sin∠ XDM)/(sin∠ AXM)=(XM)/(DM)，即AM = DM （因为M是弦PQ中点）。

- 同理，对于BYM和CYM，可得BM=CM。

- 由相交弦定理：AX· XD = PX· XQ，BY· YC=PY· YQ。

- 考虑ADM和BCM，根据同弧所对的圆周角相等，可得ADMsim BCM。

- 则(AX)/(BY)=(DM)/(CM)，(XD)/(YC)=(AM)/(BM)。

- 因为AM = DM，BM = CM，所以(AX)/(BY)=(XD)/(YC)，即AX·YC=BY· XD。

- 又因为PX· XQ=(PM - XM)(PM + XM)=PM^2-XM^2，PY· YQ=(PM - MY)(PM + MY)=PM^2-MY^2。

- 由AX· XD = PX· XQ，BY· YC = PY· YQ，AX· YC=BY· XD，可得XM = MY。

2. 椭圆中的蝴蝶定理推广形式及证明。

- 设椭圆frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2} = 1(a>b>0)，M为弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。

几何里的蝴蝶定理

几何里的蝴蝶定理一、蝴蝶定理的内容1. 定理表述- 设M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。

设AD和BC各相交PQ 于点X和Y，则M是XY的中点。

2. 图形示例- 画出一个圆，圆内有弦PQ，M为PQ中点。

然后画出弦AB和CD，连接AD与PQ交于X点，连接BC与PQ交于Y点。

从图上直观地看，似乎XM = MY。

二、蝴蝶定理的证明方法（以初中几何知识为例）1. 利用相似三角形证明（一种常见方法）- 连接AC、BD。

- 因为∠AXM = ∠DYM（对顶角相等），∠AMX=∠DMY（对顶角相等），且由圆内接四边形的性质可知∠CAB = ∠CDB（同弧所对的圆周角相等），∠ACD = ∠ABD（同弧所对的圆周角相等）。

- 所以△AXM∽△DYM，△AMC∽△DMB。

- 根据相似三角形的性质，在△AXM和△DYM中，有(XM)/(YM)=(AM)/(DM)；在△AMC和△DMB中，有(AM)/(DM)=(CM)/(BM)。

- 又因为在圆中，由相交弦定理可得AM× BM = CM× DM，即(AM)/(DM)=(CM)/(BM)。

- 所以(XM)/(YM) = 1，即XM = YM，从而证明了蝴蝶定理。

2. 面积法证明（另一种思路）- 设∠ AXM=α，∠ DYM = β。

- 根据三角形面积公式S=(1)/(2)absin C。

- 对于 AXM和 DYM，frac{S_{ AXM}}{S_{ DYM}}=(frac{1)/(2)AX· XM·sin α}{(1)/(2)DY· YM·sinβ}。

- 因为α=β（对顶角相等），所以frac{S_{ AXM}}{S_{ DYM}}=(AX· XM)/(DY· YM)。

- 同理，通过连接其他线段，利用圆内的角关系和面积关系，经过一系列的等量代换，可以得出XM = YM的结论。

三、蝴蝶定理的拓展与应用1. 在椭圆中的推广- 在椭圆中也有类似蝴蝶定理的结论。

蝴蝶定理及其推广

蝴蝶定理及其推广本文介绍蝴蝶定理、坎迪定理及相关结论的解析法证明蝴蝶定理最开始是一个关于圆的定理，因其图形像一只翩翩起舞的蝴蝶，被称为蝴蝶定理，并可推广到了任意二次曲线之中，而坎迪定理是蝴蝶定理的一般形式。

圆中的蝴蝶定理蝴蝶定理的霍纳证法证法1.霍纳证法证明:作OU⊥AD,OV⊥BC,则U,V分别是AD,BC的中点注意到∠EUO=ZEMO=90°，从而E,M,O,U四点共圆，进而∠EOM=∠EUM，同理，可知∠FOM=ZFVM注意到△ADM∽△CBM，且U,V是这对相似三角形的对应点，那么∠AUM=∠CVM，即∠EOM=∠FOM，从而ME=MF，证毕。

证法2.单墫证法1983年，中国科技大学单墫教授给出一个简洁的解析法证明: 以M为原点，弦PQ所在直线为x轴，视圆O为单位圆，建立直角坐标系，如图:设圆O的方程为x²+(y-a)²=1，直线AB、CD的方程分别为y=k1x、y=k2x,由圆和直线组成的二次曲线系方程为:μ[x²+(y-a)²-1]+λ(y-k1x)(y-k2x)=0令y=0,则xE,xF满足方程(μ+λk1k2)x²+μ(a²-1)=0，由于x的系数为0，结合韦达定理可得xE+xF=0，即xE=-xF，故ME=MF外接图形为任意二次曲线的蝴蝶定理我们将圆换成一个任意的二次曲线，结论也是一样成立的:蝴蝶定理外接曲线型的推广证明:这里我们仍以单墫教授在上例的解析法证明思路:以M为原点，MP所在直线为x轴，设P(m,0),Q(-m,0)，且过这六点的圆锥曲线方程为:Ax²+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 (1)将(m,0)和(-m,0)代入，得F=-Am²,D=0，不妨设A=1,则(1)化为:x²+Bxy+Cy²+Ey-m²=0设直线AB：x=k1y,CD:x=k2y,那么经过A,B,C,D的二次曲线系方程为:x²+Bxy+Cy2+Ey-m²+λ（x-k1y)(x-k2y)=0 (2)注意到两条直线是退化的二次曲线，当y=0时，方程(1+λ)x²=m²的两根即为xE，xF，由代数方程根与系数的关系，易知:x E+x F=0,故ME=MF。

蝴蝶定理

第33讲蝴蝶定理精讲摘要风华绝代之蝴蝶定理1815年英国伦敦出版的著名数学科普刊物《男士日记》刊登了如下的问题：蝴蝶定理：设M 是⨀O 中弦AB 的中点，过M 点的两条弦CD ，EF ，连结DE ，CF 交AB 于P 、Q 两点，则M 是线段PQ 的中点. 这个问题的图形，像一只在圆中翩翩起舞的蝴蝶，这正是该问题被冠以“蝴蝶定理”的美名的缘由.此定理的纯几何证明很多，为便于推广，现改用解析法证明如下：证明：如图，以M 点为坐标原点．AB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，设OM =b ．则⨀O 的方程可写成： x 2+y 2–2by +f =0. ①设直线CD ，EF 的方程分别为y =k 1x ，y =k 2x ，合并为:(y –k 1x )(y –k 2x )=0 ②于是过①②的交点C ，F ．D ，E 的二次曲线系为：x 2+ y 2–2by +f +λ(y –k 1x )(y –k 2x )=0 ③ 曲线③与AB 的交点P ，Q 的横坐标满足(令y =0)(1+λk 1k 2)x 2+f =0．由韦达定理x p +x q =0，即MP +(–MQ )=0，∴ MP =MQ ．若在蝴蝶定理的图形中，把圆改成椭圆、双曲线、抛物线，结论是否成立呢？回答是肯定的．现以椭圆为例给出证明．如图，以M 点为坐标原点．AB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，设椭圆方程为： b 2x 2+a 2(y +h )2 – a 2b 2=0.直线CD 的方程为y =k 1x ，直线EF 的方程为y =k 2x ，则过点C ，F ，D ，E 的二次曲线系为b 2x 2+a 2(y +h )2 – a 2b 2+λ(y – k 1x )( y – k 2x )=0，令y =0，得(b 2–λk 1k 2)x 2+a 2h 2–b 2a 2=0．由韦达定理x p +x q =0，即MP = MQ ．命题得证．类似地可以证明把圆改为抛物线、双曲线结论也成立.若在蝴蝶定理的条件中把中点M 改为AB 上任一点，结论是：=④ (证明略)这是蝴蝶定理的更一般性结论，显然当MA =MB 时．MP =MQ ．ABF D QMP CEA BFDQM PEOCx yAB FD Q MPEOCxyA BDFP M Q CExy④式成立的条件是AB 是⨀O 的弦，M 是AB 上任一点，若把圆改为圆锥曲线，结论仍然成立．=.蝴蝶定理对于圆或圆锥曲线，④式仍然成立，一般地，结论可用矢量法表示：=(点M 也可以是AB 延长线上的点)．A PMQ BDExy 图1FC定理1：在圆锥曲线中，过弦AB 中点M 任作两条弦CD 和EF ，直线CE 与DF 交直线AB 于P ，Q ，则有|MP |=|MQ |.另一种证明：如图1，以M 为原点，AB 所在的直线为y 轴，建立直角坐标系.设圆锥曲线的方程为Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0 (*)，设A (0，t )，B (0，–t )，知t ，–t 是Cy 2+Ey +F =0的两个根，所以E =0. 若CD ，EF 有一条斜率不存在，则P ，Q 与A ，B 重合，结论成立.若CD ，EF 斜率都存在，设C (x 1，k 1x 1)，D (x 2，k 1x 2)，E (x 3，k 2x 3)，F (x 4，k 2x 4)，P (0，p )，Q (0，q )，CE :y =(x –x 1)+ k 1x 1，p =(0–x 1)+ k 1x 1=，同理q =，所以p +q =将y =k 1x 代入(*)得(A +Bk 1+Ck )x 2+(D +Ek 1)x +F =0，又E =0. 得x 1+x 2=, x 1x 2=，同理 x 3+x 4=, x 3x 4=，所以p +q =0，即|MP |=|MQ |.定理2：在圆锥曲线中，过弦AB 端点的切线交于点M ，过M 的直线l ∥AB ，过M 任作两条弦CD 和EF ，直线CE 与DF 交直线l 于P ，Q ，则有| MP |=| MQ |.证明：如图2，以M 为原点，AB 所在的直线为y 轴，建立直角坐标系.设圆锥曲线的方程为Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0 (*)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则切线MA 的方程是x 1+y 1+F =0，切线MB 的方程是x 1+y 2+F =0，得E (y 1–y 2)=0，所以E =0.（下面与定理1的证明相同，略）特别的，当弦AB 垂直圆锥曲线的对称轴时，点M 在圆锥曲线的该对称轴上.ACPM Q BD Elxy 图5F 调研精讲答案（I ）e =22a b a-；（II ）见解析 (Ⅲ)见解析．解析（I ）椭圆方程为22x a +22()y r b -=1焦点坐标为F 1(22a b --，r )，F 2(22a b -，r )，离心率e =22a b a-.（Ⅱ）证明：将直线CD 的方程y =k 1x 代入椭圆方程，得b 2x 2+a 2(k 1x – r )2 =a 2b 2，整理得：(b 2+a 2k 21)x 2– 2k 1a 2rx (a 2r 2– a 2b 2)=0．根据韦达定理，得：x 1+x 2=2122212k a rb a k +，x 1∙x 2=22222221a r a b b a k -+，所以1212x x x x +=2212r b k r- ①将直线GH 的方程y =k 2x 代入椭圆方程，同理可得3434x x x x +=2222r b k r- ② (韦达定理真的“很伟大”)由①，②得：11212k x x x x +=222r b r -=23434k x x x x +，所以结论成立.（Ⅲ）证明：设点P (p ，0)，点Q (q ，0)，由C 、P 、H 共线，得：12x p x p --=1122k x k x ，解得p =12121122()k k x x k x k x --.由D 、Q 、G 共线，同理可得：q =12231223()k k x x k x k x --.由11212k x x x x +=23434k x x x x +，变形得231223x x k x k x --=141124x x k x k x - 【调研1】如图，椭圆的长轴A 1A 2(=2a )与x 轴平行，短轴B 1B 2(=2b )在y 轴上，中心为M (0，r )(b >r >0)(Ⅰ)写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率； (Ⅱ)直线y =k 1x 交椭圆于两点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)(y 2>0)；直线y =k 2x 交椭圆于两点G (x 3，y 3)，H (x 4，y 4)(y 4>0). 求证：=；(Ⅲ)对于(Ⅱ)中的C ，D ，G ，H ，设CH 交x 轴于点P ，GD 交x 轴于点Q . 求证：| OP |=| OQ |. (证明过程不考虑CH 或GD 垂直于x 轴的情形)A 1B 1HGQMP D O Cxy A 2B 2即12231223()k k x x k x k x ---=12141124()k k x x k x k x --，所以| p |=| q |，即| OP |=| OQ |.答案（1）24x +y 2=1；(2，1)；（2）见解析．解析（1）由已知，a =2b ．又椭圆22x a +22y b =1(a >b >0)过点13,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故234b+214b =1，解得b 2=1. 所以椭圆E 的方程24x +y 2=1. （2）设直线l 的方程为y =12x +m (m ≠0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由方程组221412x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得x 2+2mx +2m 2 – 2=0 ① 方程①的判别式为∆=4(2 – m 2)，由∆>0，即2 – m 2>0，解得m 由①得x 1+x 2= –2m ，x 1x 2=2m 2 – 2．所以M 点坐标为,2m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线OM 方程为y =12-x ，由方程组221412x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得C ⎛ ⎝⎭，D ⎭．所以|MC |∙|MD |=25)(2)4m m m -=-． |MA |∙|MB | =14|AB |2=14221212()()x x y y ⎡⎤-+-⎣⎦=212125()416x x x x ⎡⎤+-⎣⎦ 【调研2】已知椭圆E : +=1(a >b >0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点在椭圆E 上．（1）求椭圆E 的方程；（2）设不过原点O 且斜率为的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆E 交于C ，D ，证明：|MA |∙|MB | = |MC |∙|MD |．=22544(22)16m m ⎡⎤--⎣⎦=25(2)4m -. 所以|MA |∙|MB | = |MC |∙|MD |．答案（I ）26x +23y =1；(2，1)；（II ）λ=45．解析（Ⅰ）设短轴一端点为C (0，b )，左右焦点分别为F 1(–c ，0)，F 2(c ，0)，其中c >0，则c 2+b 2=a 2；由题意，△F 1F 2C 为直角三角形， ∴ |F 1F 2|2=|F 1C |2+|F 2C |2，解得b =c =2a ，∴椭圆E 的方程为222xb +22y b =1；代入直线l ：y = – x +3，可得3x 2–12x +18–2b 2=0，又直线l 与椭圆E 只有一个交点，则△=122 – 4×3(18 – 2b 2)=0，解得b 2=3，∴椭圆E 的方程为26x +23y =1；由b 2=3，解得x =2，则y = – x +3=1，所以点T 的坐标为(2，1)；（Ⅱ）设P (x 0，3 – x 0)在直线l 上，由k OT =12，直线l ′平行OT ，得直线l ′的参数方程为0023x x ty x t =+⎧⎨=-+⎩，代入椭圆E 中，得：(x 0+2t )2+2(3 – x 0+t )2=6，整理得2t 2+4t +x 20– 4x 0+4=0；设两根为t A ，t B ，由韦达定理，则有t A ∙t B =20(2)2x -；而|PT |22=2(x 0–2)2， |P A A |， |PB B |，且|PT |2=λ|P A |∙|PB |，【调研3】已知椭圆E :+=1(a >b >0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线l ：y = – x +3与椭圆E 有且只有一个公共点T ．（Ⅰ）求椭圆E 的方程及点T 的坐标；（Ⅱ）设O 是坐标原点，直线l ′平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P ．证明：存在常数λ，使得|PT |2=λ|P A |∙|PB |，并求λ的值．∴λ=2||||||PT PA PB ⋅=20202(1)5(1)2x x --=45，即存在满足题意的λ值．答案（1）24x +22y =1；（2）（ii ）62．解析（1）由题意得22224222a c a b c =⎧⎪=⎨⎪=+⎩，解得222a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆的方程为24x +22y =1．（2）（i ）设N (x N ，0)，P (x P ，y P )，直线P A ：y =kx +m ，因为点N 为直线P A 与x 轴的交点，所以x N =m k-，因为点M (0，m )为线段PN 的中点，所以2N P x x +=0，02Py +=m ，得x P =mk，y P =2m ，所以点Q ,2m m k⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以k '=()20m m m k---= –3k ，故'k k = –3为定值．（ii ）直线P A ：y =kx +m ，与椭圆方程联立22142y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得：(2k 2+1)x 2+4kmx +2m 2– 4=0，所以∆=16k 2m 2– 4(2k 2+1)(2m 2– 4)=32k 2 – 8m 2+16>0 ① x 1+x 2=2421kmx k -+，y 1+y 2=2221mk +，所以A 222264(21)21k m m k m k k k ⎛⎫+--⎪++⎝⎭，，直线QM : y = –3kx +m 与椭圆方程联立223142y kx mx y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，【调研4】已知椭圆C :+=1(a >b >0)的长轴长为4，焦距为．（1）求椭圆C 的方程；（2）过动点M (0，m )(m >0)的直线交x 轴于点N ，交C 于点A ，P (P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点，过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长Q 交C 于点B ．（i ）设直线PM ，QM 的斜率分别为k ，k '，证明为定值；（ii ）求直线AB 的斜率的最小值．AQMPONxy B得(18k 2+1) x 2– 12kmx +2m 2– 4=0，所以x 1+x 2=212181km k +，y 1+y 2=22181mk +，所以B ()()22224916,181181m k k m m k k k ⎛⎫++ ⎪- ⎪++⎝⎭，k AB =B A B A y y x x --=2614k k +=32k +14k ，因为点P 在椭圆上，所以224m k +242m =1，得m 2=22481k k + ②将②代入①得(4k 2+1)2>0恒成立，所以k 2≥0，所以k ≥0，所以k AB =32k +14k≥(当且仅当k时取“=”)，所以当k时，k AB．分析：该题中的椭圆C 的方程易知为24x +22y =1；第(Ⅱ)小题中由已知|AP | ∙ |QB | =|AQ | ∙ |PB |，即||||AP PB =||||AQ QB ，说明Q 点在极点P 关于椭圆C 对应的极线上，其方程为44x +2y =1，即x +2y =1．答案（1）24x +22y =1；（2）见解析；解析 (1)由题意：2222222211⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪=-⎩c ab c a b，解得a 2=4，b 2=2，所求椭圆方程为24x +22y =1.(2)方法一:设点Q (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题设知|PA |，|PB |，|AQ |，|QB |均不为零，记λ=||||AP PB =||||AQ QB ，则λ>0且λ≠1. 又A ，P ，B ，Q 四点共线，从而AP = – λPB ，AQ =λQB ，于是 4=121λλ--x x ，1=121λλ--y y ，x =121λλ++x x ，y =121λλ++y y . 从而 2221221λλ--x x =4x ① 2221221λλ--y y =y ②【调研5】设椭圆C :+=1(a >b >0)过点M (，1)，且左焦点为F 1(，0)，（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）当过点P (4，1)的动直线l 与椭圆C 相交与两不同点A ，B 时，在线段AB 上取点Q ，满足|| ∙ || =|| ∙ ||，证明：点Q 总在某定直线上.又点A 、B 在椭圆C 上，即 x 21+2y 21=4 ③x 22+2y 22=4 ④①+②×2并结合③，④得4s +2y =4 即点Q (x ，y )总在定直线2x +y –2=0上方法二:设点Q (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题设知|PA |，|PB |，|AQ |，|QB |均不为零，且||||PA AQ =||||PB QB . 又P ，A ，Q ，B 四点共线，可设PA =λAQ ，PB =λBQ (λ≠0，±1)，于是x 1=41λλ--x ，y 1=11λλ--y① x 2=41λλ++x ，y 2=11λλ++y② 由于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在椭圆C 上，将①，②分别代入C 的方程x 2+2y 2=4，整理得(x 2+2y 2– 4)λ2 – 4(2x +y –2)λ+14=0 ③ (x 2+2y 2– 4)λ2 + 4(2x +y –2)λ+14=0 ④④–③得 8(2x +y –2)λ=0∵ λ≠0，∴2x +y –2=0 即点Q (x ，y )总在定直线2x +y –2=0上. A NMTOF xyB蝴蝶定理的推广 1．椭圆+=1(a >b >0)的左右顶点为A ，B ，T 为定直线x =t (t ≠0)上的任一点，直线TA ，TB 与椭圆分别交于点M ，N ，则直线MN 恒过定点C (，0)．2．如图，过有心圆锥曲线mx 2+ny 2=1的中心O 和形内定点(x 0，y 0)的直线交曲线于A ，B ，T 为定直线l ：mx 0x +ny 0y =1上的任一点，直线TA ，TB 与椭圆分别交于点M ，N ，则直线MN 恒过定点(x 0，y 0)．证明：连结MN 交AB 于点C ，过点C 作l 的平行线交圆锥曲线于点P ，Q ，又设直线AB 交l 于点D ．先证点C 为PQ 的中点．设C (x C ，y C )，因C 在过点(x 0，y 0)的直线上，所以可设x C =tx 0，y C =ty 0，由于直线PQ 与直线l ：mx 0x +ny 0y =1平行，且过点C (tx 0，ty 0)，故直线PQ 方ANM T OF xyBDl PQ CE 快速提高高考成绩，轻松考取理想名校，提分奇书，巧学妙解王，火爆淘宝，订购店铺或淘宝直接搜索书名：巧学妙解王或拼多多搜索书名：巧学妙解王今天你真的提分了吗？还不赶快使用巧学妙解王！高考数学满分突破50讲——《妙妙题》即将上架！官网在线阅读：凡是有高中的地方，必有巧学妙解王！程为mx 0x +ny 0y =t (mx +ny )，联立mx 2+ny 2=1得m (mx +ny )x 2– 2mx 0t (mx +ny )x +t 2(mx +ny )2–ny =0，由根与系数关系得x P + x Q =2tx 0=2x C ，据此知C 即PQ 的中点. 由圆锥曲线的蝴蝶定理知| CE | = | CF |，因此===，即=，注意到x A = –x B 化简得x C =.另一方面，将直线AB 方程x 0y –y 0x =0联立mx 2+ny 2=1得(mx +ny )x 2– x =0∴x A x B =，即x =；将直线AB 方程x 0y –y 0x =0联立mx 0x +ny 0y =1得x D =，因此可得x C ==x 0，又C (x C ，y C )在直线x 0y –y 0x =0上，∴ y C =y 0，故直线MN 恒过定点(x 0，y 0)．值得说明的是，对于抛物线也有类似的结论，证明方法类似，读者不妨自行研究．蝴蝶定理推论性质1：过点M (m ，0)做椭圆、双曲线±=1的弦CD ，EF 是其焦点轴，则直线CE 、DF 的连线交点G 在直线l ：x =上.特别的，当M 为焦点时，l 就是准线.当M 为准线与焦点轴所在直线的交点时，l 就是过焦点的直线.证明：如图3，过M 做直线AB 垂直焦点轴所在的直线，直线CE 与FD 交直线AB 于P ，Q ，则|MP |=|MQ |.过G 做GH 垂直焦点轴所在直线于H ，得===，设M (m ，0)，H (n ，0)，焦点轴长为2a ，则有=，得mn =a 2.A C OP MQ BD E lHxy 图3G F 蝴蝶定理推论性质2：若圆锥曲线为抛物线，把无穷远点作为其虚拟顶点，把图3中的DF 看作与焦点轴平行的直线，于是得到性质2.性质2：过点M (m ，0)做抛物线y 2=2px 的弦CD ，E 是抛物线的顶点，直线DF 与抛物线的对称轴平行，则直线CE 、DF 的连线交点在直线l ：x = –m 上.特别的，当M 为焦点时，l 就是准线.当M 为准线与焦点轴的交点时，l 就是过焦点的直线.蝴蝶定理推论性质3：直线l ：x =，过点M (m ，0)作椭圆、双曲线±=1的弦CD ，直线l 与CD 交于点I ，则=.证明：如图，由定理1，定理2及性质1得：.A C OP M Q BD E l IxyG F 蝴蝶定理推论性质4：过点M (m ，0)做椭圆、双曲线±=1的弦CD 、EF ，则直线CE 、DF 的连线交点G 在直线l ：x =上.证明：如图5，过G 做GH 垂直焦点轴所在的直线，由定理1，定理2得：===，由性质3得，点I 在直线l ：x =上，所以点G 在直线l ：x =上.A C OP M Q BDE lH x y图5G F蝴蝶定理推论性质5：直线l ：x = –m ，过点M (m ，0)做抛物线y 2=2px 的弦CD ，直线l 与CD 交于点I ，则=. 蝴蝶定理推论性质6：过点M (m ，0)做抛物线y 2=2px 的弦CD 、EF ，则直线CE 、DF 的连线交点G 在直线l ：x = –m 上.OFGMDExy图6lC 蝴蝶定理推论性质7：过点M (m ，0)做椭圆、双曲线±=1的弦CD ，则以C ，D 为切点的圆锥曲线的切线的交点G 在直线l ：x =上.证明：如图6，设切线CG 交直线l 于G 1，连接G 1D ，若G 1D 与圆锥曲线有除D 点外的公共点F ，做直线FM交圆锥曲线于E ，由性质4知CE 与DF 的交点在直线l 上，所以C 、E 、G 1三点共线，与CG 1是圆锥曲线的切线矛盾，所以G 1D 与圆锥曲线只有一个公共点D ，G 1D 是圆锥曲线的切线，G 1与G 重合， G 在直线l 上.蝴蝶定理推论性质8：过点M (m ，0)做抛物线y 2=2px 的弦CD ，则以C ，D 为切点的圆锥曲线的切线的交点G 在直线l ： x = – m 上. OPG M DExyl CQ蝴蝶定理推论性质9：直线l ：x =，过点M (m ，0)做椭圆、双曲线±=1的弦CD ，C 、D 在l 上的射影为E 、G ，在焦点轴所在直线上的射影为Q 、P ，则=.蝴蝶定理推论性质10：直线l ：x = –m ，过点M (m ，0)做抛物线y 2=2px 的弦CD ，C 、D 在l 上的射影为C 1、D 1，在对称轴上的射影为C 2、D 2，则=.蝴蝶定理推论性质12：在圆锥曲线中，过弦AB 端点的切线交于点M ，过M 任作两条弦CD 和EF ，直线CE 与DF 交于点G ，过G 做GI ∥AB ，直线GI 交FE 于I ，则=.【调研6】在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆+=1的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F ．设过点T (t ，m )的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，其中m >0，y 1>0，y 2<0．（1）设动点P 满足PF 2–PB 2=4，求点P 的轨迹；（2）设x 1=2，x 2=，求点T 的坐标；（3）设t =9，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点(其坐标与m 无关)．ANMTOF xyB蝴蝶定理推论性质11：在圆锥曲线中，过弦AB 中点M 任作两条弦CD 和EF ，直线CE 与DF 交于点G ，过G 做GI ∥AB ，直线GI 交FE 于I ，则=.证明：如图8，直线CE 与DF 交直线AB 于P ，Q ，由定理1得：|MP |=|MQ |，所以===.A PM Q BDE图8FCGI答案 (1)x =92；(2)T (7，103) (3) 见解析．解析（1）设点P (x ，y )，则F (2，0)、B (3，0)、A (–3，0)．由PF 2–PB 2=4，得(x –2)2+y 2–[(x –3)2+y 2]=4，化简得x =92．故所求点P 的轨迹为直线x =92．（2）将x 1=2，x 2=13分别代入椭圆方程，以及y 1>0，y 2<0，得M (2，53)、N (13，209-) 直线MTA 方程为：0503--y =323++x ，即y =13x +1，直线NTB 方程为：2009---y =3133--x ，即y =56x –52．联立方程组，解得：7103=⎧⎪⎨=⎪⎩x y ，所以点T 的坐标为(7，103)．（3）设点T 的坐标为(9，m ) 直线MTA 方程为：00--y m =393++x ，即y =12m(x +3)，直线NTB 方程为：00--y m =393--x ，即y =6m(x –3)．分别与椭圆29x +25y =1联立方程组，同时考虑到x 1≠ –3，x 2≠3，解得：M 2223(80)40(,)8080-++m m m m 、N 2223(20)20(,)2020--++m mm m ．（方法一）当x 1≠x 2时，直线MN 方程为：222202040208020+++++m y m m m m m =2222223(20)203(80)3(20)8020--+---++m x m m m m m . 令y =0，解得：x =1．此时必过点D (1，0)；当x 1=x 2时，直线MN 方程为：x =1，与x 轴交点为D (1，0)．所以直线MN 必过x 轴上的一定点D (1，0)． (方法二)若x 1=x 2，则由22240380-+m m =2236020-+m m 及m >0，得m此时直线MN 的方程为x =1，过点D (1，0)．若x 1≠x 2，则m ≠，直线MD 的斜率k MD =22240802403180+--+mm m m =21040-mm ，直线ND 的斜率k ND =2222020360120-+--+mm m m =21040-m m ，得k MD =k ND ，所以直线MN 过D 点．因此，直线MN 必过x 轴上的点(1，0)．【点评】本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识．考查运算求解能力和探究问题的能力1．设过抛物线y 2=2px (p >0)上任意一点P (异于原点O )的直线与抛物线y 2=8px (p >0)交于A ，B 两点，直线OP 与抛物线y 2=8px (p >0)的另一个交点为Q ，则ABQ ABOS S ∆∆=________.解析：设直线OP 的方程为y =kx (k ≠0)，联立得22y kx y px=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得P 222,p p kk ⎛⎫⎪⎝⎭，联立得28y kx y px=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得Q 288,p p k k ⎛⎫⎪⎝⎭， ∴|OP |=，|PQ ， ∴ABQ ABOS S ∆∆=||||PQ OP =3.2．已知椭圆2x m +2y n =1 (m >n >0)的离心率e 的值为12，右准线方程为x =4．如图所示，椭圆C 左右顶点分别为A ，B ，过右焦点F 的直线交椭圆C 于M ，N ，直线AM ，MB 交于点P ．精讲巩固ANM POFx B(1)求椭圆的标准方程；(2)若点P (4，，直线AN ，BM 的斜率分别为k 1，k 2，求12k k ． (3)求证点P 在一条定直线上．解析：(1) 椭圆2x m +2y n =1 (m >n >0)的离心率e 的值为12，即c a =12，右准线方程为x =4，即2a c =4．解得：a =2，c =1，∵a 2= b 2+c 2，∴b 故椭圆的标准方程为：24x +23y =1．(2)点P (4，)，A (–2，0)，故得直线AP 方程为y (x +2)，与椭圆方程24x +23y =1联立，求解点M 的坐标为(0．那么可得MN 直线程为y =l – 3x ，与椭圆方程24x +23y =1联立，求解点N 的坐标为(85，．那么AN 的斜率为k 1=BM 斜率为k 2=，则12kk =13. (3) 设斜率存在的MN 的直线方程为y =k (x – l)，利用设而不求的思想，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，与椭圆方程24x +23y =1联立，可得：(4k 2+3) x 2 – 8k 2x +4k 2 – 12=0，那么：x 1+x 2=22843k k + ①， x 1x 2=2241243k k -+ ② 由A ，M 的坐标可得直线AM 的方程为y =112y y +(x +2) 由B ，N 的坐标可得直线BN 的方程为y =222y y +(x –2) 直线AM 与直线BN 联立，可得：x =21212122334x x x x x x -++-∴ x =21212212223()442x x x x x x x x -+++-+ ③将①②代入③解得：x =4．故点P 存在直线x =4上．当k 不存在时，经验证，点P 在直线x =4上满足题意.3．已知菱形ABCD 的顶点A ，C 在椭圆x 2+3y 2=4上，对角线BD 所在直线的斜率为1． (1)当直线BD 过点(0，1)时，求直线AC 的方程； (2)当∠ABC =60°时，求菱形ABCD 面积的最大值．解析：(1)由题意，得直线BD 的方程为y =x +1，因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD ．于是可设直线AC 的方程为y =–x +n ．由2234x y y x n⎧+=⎪⎨=-+⎪⎩，得4x 2– 6nx +3n 2– 4=0．因为A ，C 在椭圆上，所以∆= –12n 2+64＞0，解得<n. 设A ，C 两点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1+x 2=32n，x 1x 2=2344n -，y 1= –x 1+n ，y 2= –x 2+n .所以y 1+y 2=2n .所以AC 的中点坐标为(34n ，4n ). 由四边形ABCD 为菱形可知，点(34n ，4n)在直线y =x +1上，所以4n=34n+1，解得n = – 2．所以直线AC 的方程为y = – x – 2，即x +y +2=0． (2)因为四边形ABCD 为菱形，且∠ABC =60°，所以|AB |=|BC |=|CA |．所以菱形ABCD 的面积S|AC |2. 由(1)可得|AC |2=(x 1 – x 2)2+(y 1 – y 2)2=23162n -+，所以S–3n 2+16) (<n)．所以当n =0时，菱形ABCD的面积取得最大值4．已知椭圆C :22x a +22y b =1 (a >b >0)的离心率为12，以原点为圆心，以椭圆的短半轴为半径的圆与直线x – y相切． (1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆的右焦点F 的直线l 1与椭圆交于A 、B ，过F 与直线l 1垂直的直线l 2与椭圆交于C 、D ．与直线l 3：x =4交于P ；①求证：直线P A 、PF 、PB 的斜率k P A ，k PF ，k PB 成等差数列；②是否存在常数λ使得|AB |+|CD | =λ|AB |∙|CD |成立，若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由.解析：∵椭圆C ：22x a +22y b =1 (a >b >0)的离心率为12，∴e =c a =12， AFCPO xyBDF∵ 椭圆C 的短半轴为半径的圆与直线x – y相切，b，则a 2= b 2+c 2=4．故椭圆C 的方程为：24x +23y =1．(2)①证明：∵椭圆24x +23y =1的左焦点F (1，0)，当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 的方程为x =l ，联立直线方程和椭圆方程可得：A (1，32)，B (1，32-)，此时k P A 与k PB 互为相反数，则k P A ，k PF ，k PB 成等差数列；当直线AB 的斜率存在时，设过其右焦点F 的直线AB 的方程为：y =k (x –1)，k ≠0， CD 的直线程为：y =1k-(x –1)，由方程组22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得(3+4k 2)x 2– 8k 2x +4k 2 – 12=0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1+x 2=22834k k +，x 1x 2=2241234k k -+. 由直线CD 的方程中，取x =4，的y =3k-，∴P (4，3k-)，则k P A +k PB =1134y k x ---+2234y k x ---=12211233()(4)()(4)(4)(4)y x y x k k x x ---+-----=12121212243(5)()82164()k x x k kx x k k x x x x -+-+++-++=222222222438412(5)82343484121643434k k k k k k k k k k k k k--+-⋅++⋅++--⋅+++=2727236(1)k k k -+=2k -=2k PF . 综上，k P A ，k PF ，k PB 成等差数列；② ∵椭圆24x +23y =1的左焦点F (1，0)，设过其右焦点F 的直线AB 的方程为：y =k (x –1)，k ≠0，由方程组22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得(3+4k 2)x 2– 8k 2x +4k 2 – 12=0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1+x 2=22834k k +， x 1x 2=2241234k k -+. 由弦长公式得|AB2212(1)34k k ++. 同理设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，则|CD | =22112(1)134k k++⋅=2212(1)34k k ++.∵ |AB |+|CD | =λ|AB |∙|CD |，∴λ=||||||||AB CD AB CD +⋅=1||AB +1||CD =223412(1)k k +++223412(1)k k ++=227(1)12(1)k k ++=712.∴存在常数λ=712，使得|AB |+|CD | =λ|AB |∙|CD |成立. 5．在平面直角坐标系中，已知焦距为4的椭圆C :22x a +22y b =1 (a >b >0)左、右顶点分别为A 、B ，（1）求椭圆C 的方程；（2）设Q (t ，m )是直线x =9上的点，直线QA 、QB 与椭圆C 分别交于点M 、N ，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点，并求出此定点的坐标．代入椭圆方程，得(80+m 2) x 2+6x +9m 2 – 720=0 代入椭圆方程，得(20+m 2) x 2– 6x +9m 2–180=0①若x 1=MN 方程为x =1，与x 轴交点为(1，0)． ②若m 2≠40，直线MN 方程为y +22020m m +x ANMQOxyB9令y =0，解得：x =1．综上所述，直线MN 必过x 轴上的定点(1，0)．6．如图，F 是抛物线y 2=2px (p >0)的焦点，过F 的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，其中y 1>0，y 1y 2= – 4．过点A 作y 轴的垂线交抛物线的准线于点H ，直线HF 交抛物线于点P ，Q ．（1）求p 的值；（2）求四边形APBQ 的面积S 的最小值．解析：（I ）易得直线AB 的方程为(y 1+y 2)y =2px +y 1y 2，代入02p⎛⎫ ⎪⎝⎭，，得 y 1y 2= – p 2= – 4，所以p =2；（II ）点A (214y ，y 1)，B (224y ，y 2)，则H (–1，y 1)，直线PQ : y =12y-(x –1)，代入y 2=4x ，得y 21x – (2y 21+16)+ y 21=0. 设P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)，则| PQ |= x 3+x 4+2=21214(4)y y +. 设A ，B 到PQ 的距离分别为d 1，d 2，由PQ : y 1x +2y – y 1=0，得d 1+d 2321121121|2(2)|+--+-y y y y y y y311221|(2)|+--+-y y y y y3112|2|+-y y y3114|2|++y y22因此S APBQ =12|PQ |∙( d 1+d 2)=1设函数f (x )=256(4)+x x (x >0)，则f '(x )=24274(4)(6)+-x x x ，可得，当x ∈(0时，f (x )单调递减；当x ∈+∞)时，f (x )单调递增，从而当y 1S．。

数学蝴蝶定理证明

数学中的蝴蝶定理是一个关于圆的射影几何定理，其表述如下：设M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。

设AD和BC各相交PQ于点X和Y，则M是XY的中点。

该定理有多种证明方法，以下是其中一种常用的证明方法：
利用相似三角形证明：
首先，作过M的两个弦AB和CD，分别交PQ于X和Y。

接着，作圆心O关于PQ的垂线MO，分别交AD、BC于点E和F。

由于角EMO和角FMO都是直角，所以三角形EMO与三角形FMO相似。

根据相似三角形的性质，我们有：
MX/ME = MY/MF
MX/MY = ME/MF
由于ME和MF分别是AD和BC的中线，所以ME/MF = AE/CF。

由于AE和CF平行于PQ，根据平行线的性质，我们知道MX/MY = AE/CF。

由于AE和CF分别是AD和BC的两条弦，所以AE/CF = AD/BC。

从而得到：
MX/MY = AD/BC
这就是蝴蝶定理的证明。

蝴蝶定理的多种证法

蝴蝶定理的多种证法蝴蝶定理：AB为圆上的弦，C为AB的中点，DE和FG为过C点的弦，DG、EF分别交AB于H、I,则C为HI的中点。

证法一（霍纳证法）：过圆心O作OL⊥ED，OT⊥CF，垂足为L、T连接ON，OM，OS，SL，ST，易明△ESD∽△CSF∴DS/FS=DE/FC根据垂径定理得：DL=DE/2，FT=FC/2∴DS/FS=DL/FT又∵∠D=∠F∴△DSL∽△FST∴∠SLD=∠STF即∠SLN=∠STM∵S是AB的中点∴OS⊥AB∴∠OSN=∠OLN=90°∴O，S，N，L四点共圆（对角互补的四边形共圆）同理，O，T，M，S四点共圆∴∠STM=∠SOM，∠SLN=∠SON∴∠SON=∠SOM∵OS⊥AB∴△SOM≌△SON(ASA)∴MS=NS证法二（作图法）：分别过H、I作DE的垂线，垂足为H1、I1，再过H、I作FG的垂线，垂足为H2、I2∵△CHH1∽△CII1∴CH/CI=HH1/II1∵△CHH2∽△CII2∴CH/CI=HH2/II2∵△DHH1∽△FII2∴HH1/II2=DH/FI∵△GHH2∽△EII1∴HH2/II1=GH/EI∴(CH/CI)²=(HH1/II1)•(HH2/II2)=(DH•GH)/(FI•EI)=(AH•BH)/(AI•BI) =(AC－HC)(CB＋HC)/[(AC＋CI)(BC－CI)]∵AC=BC∴(CH/CI)²=(AC²-HC²)/(AC²-CI²)∴CH=CI∴C是HI的中点证法三（对称法）：过F点作AB的平行线交圆于I点，连接MI、HI、DI∵AB∥FI，M是AB的中点∴由圆的对称性得：FM=MI∴∠MFI=∠MIF又∵AB∥FI∴∠HMI=∠MIF=∠MFI=∠GMF又∵∠HDI+∠MFI=180°(E、D、I、F共圆）∴∠HDI+∠HMI=180°∴D、H、M、I共圆∴∠MIH=∠HDM又∵∠HDM=∠GFM∴∠GFM=∠MIH∴易得△GFM≌△HIM(ASA)。

蝴蝶定理及其证明

蝴蝶定理及其证实［蝴蝶定理］圆O, PQ是一条弦,设M为弦PQ的中点,过M作弦AB和CD 设AD和BC各相交PQ于点X和Y,那么M是XY的中点.证实：过圆心O作AD与BC垂线,垂足为S、T,连接OX OY OM SM MTSMD^ACMB 且SD=1/2ADBT=1/2BC・. DS/BT=DM/BMZ「/ D=Z B・.△ MSDo△ MTB / MSDW MTB / MSX= MTY又O S, X, M与O To Yo M均是四点共圆, ・ ./ XOM=YOM. OML PQ.•.XM=YM还有一种解析几何法,给出了推广.［推广］二次曲线S的三条弦AB,CD,EF交于一点M,ED交AB于Q,CF交AB于P, 那么1/QM-1/PM=1/AM-1/BM.以M为原点,AB为x 轴,S:Ax A2+Bxy+Cy A2+Dx+Ey+F=0,CD:y=k1x,EF:Y=k2x,过C,D,E,F四点的二次曲线系方程：S+t(y-k1x)(y-k2x)=0.令y=0,得(A+tk1k2)xA2+Dx+F=0,其根为曲线与横轴交点的横坐标,那么FxA2+Dx+A+tk1k2=0根为横坐标的倒数,其和=-D/F为定值.即1/QM+1/(-PM)=1/AM+1/(-BM).得证.蝴蝶定理蝴蝶定理蝴蝶定理最先是作为一个征求证实的问题,刊载于1815年的一份通俗杂志?男士日记?上.由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶,便以此命名,定理内容：圆O中的弦PQ的中点M过点M任作两弦AB,CD,弦AD与BC分另U交PQ于X,Y,那么M为XY之中点.出现过许多优美奇特的解法,其中最早的,应首推霍纳在职1815年所给出的证法.至于初等数学的证法,在国外资料中,一般都认为是由一位中学教师斯特温首先提出的,它给予出的是面积证法,其中应用了面积公式：S=1/2 BCSINA . 1985年,在河南省?数学教师?创刊号上,杜锡录同志以?平面几何中的名题及其妙解?为题, 载文向国内介绍蝴蝶定理,从此蝴蝶定理在神州大地到处传开.这里介绍一种较为简便的初等数学证法.证实：过圆心O作AD与BC的垂线,垂足为S、T,连接OXOY,OM SMM工AM/△ CMBAM/CM=AD/BC••• SD=1/2AD, BT=1/2BC AM/CM=AS/CT又・. / A=Z C•AM8 △ CMT/ MSX=Z MTY••• / OMX4 OSX=9O°• ./ OMX吆OSX=18O°••.O, S, X, M四点共圆同理,O, T, Y, M四点共圆/ MTY=Z MOY / MSX=Z MOX/ MOX=/ MOY ,••• OML PQXM=YM这个定理在椭圆中也成立,如图1,椭圆的长轴A1、A2与x轴平行,短轴B1B2在y轴上,中央为M (o, r) (b > r > 0).(I)写出椭圆的方程,求椭圆的焦点坐标及离心率；(n)直线y=k1x 交椭圆于两点C (x1,y1 ) ,D(x2 , y2) (y2 > 0 );直线y=k2x 交椭圆于两点G ( x3, y3) , H ( x4, y4) ( y 4 >0).求证：k 1 x 1 x2/(x1+x2)=k2x3x4 /(x3+x4)(m)对于(n)中的C, D, G, H,设CH交X轴于点P, GD交X轴于点Q.求证：| OP | = | OQ |.(证实过程不考虑CH或GD垂直于X轴的情形)2 .解答：北京教育测试院招生测试办公室专家在公布的?2003年全国普通高等学校招生统一测试试题答案汇编?中给出的参考解答如下：(18)本小题主要考查直线与椭圆的根本知识,考查分析问题和解决问题的水平.总分值15分.(I)解：椭圆方程为x2/a2+(y-r)2/b2=1焦点坐标为x代入椭圆方程,得b2x2+a2(k1x-r)2=a2b2,1(n)证实：将直线CD的方程y=k整理,得(b2+a2k12)x2-2k1a2rx+(a2r2-a2b2)=0根据韦达定理,得x1+x2=2k1a2r/(b2+a2k12), x1 - x2=(a2r2-a2b2)/( b2+a2k12),所以x1x2/(x1+x2)=( r2-b2)/2k1r①将直线GH的方程y=k2x代入椭圆方程,同理可得x3x4/(x3+x4)=( r2-b2)/2k2r②由①,②得k1x1x2/(x1+x2)=(r2-b2/2r=k2x3x4/(x3+x4)所以结论成立.(出)证实：设点P (p, o),点Q (q, o).由C, P, H共线,得(x1-p)/( x4-p)=k1x1/k2x4解得P=(k1-k2)x1x4/(k1x1-k2x4)由D, Q, G共线,同理可得q=(k1-k2)x2x3/(k1x2-k2x3)由k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4),变形得：x2x3/(k1x2-k2x3)=x1x4/(k1x1-k2x4)即：(k1-k2)x2x3/(k1x2-k2x3)=(k1-k2)x1x4/(k1x1-k2x4)所以|p|二|q|,即,|OP|=|OQ| .3 .简评本小题主要考查直线与椭圆等根本知识,考查分析问题和解决问题的水平.试题入门容易,第(I)问考查椭圆方程、待定系数法、坐标平移和椭圆性质：焦点坐标、离心率、看图说话即可解决问题,但考查的却都是重点内容.第(n)问是典型的直线与椭圆的位置关系问题.待证式子中含有x1x2 , x1+x2 ,x3x4 , x3+x4这样的对称式,式子结构对称优美,和谐平衡,使人很容易联想起一元二次方程根与系数关系的韦达定理,启示了证实问题的思路.这里用到了解析几何最根本的思想和最根本的方法.解两个联立的二元二次方程组,用代入消元法得到一元二次方程,别离系数利用韦达定理给出关于x1x2 , x1+x2 , x3x4 , x3+x4的表达式,再分别代入待证式两边运算即到达证实目的.证实的过程中,由两个联立方程组结构的相似性运用了“同理可得〞,整个证实过程也令人赏心悦目,感受到了逻辑证实与表达的顺畅、简约的美的魅力.第(出)问证实中用到了三点共线的充要条件,用到了过两点的直线的斜率公式,分别解出p, q以后,|OP|=|OQ|等价转化成了p= -q (或p+q=0.)此时分析前提条件(n)及待证结论p= -q ,关键在于沟通k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4) 与x1x4 Z(k1x1-k2x4)=-x2x3/(k1x2-k2x3) 的联系.参考解答中的表述略去了一些变形的中间过程,使人不易看出沟通的线索,以及命题人变形的思路,因此读者理解起来感到困难.如果将两式做如下变形,那么思路就显然顺畅自然.设：k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)为①式,两边同取倒数,得1/k1x2+1/k1x1=1/k2x4+1/k2x3①'设：x1x4/(k1x1-k2x4)=-x2x3/(k1x2-k2x3)为②式,两边同取倒数,得k1/x4-k2/x1=k2/x2-k1/x3,移项得k2/x1+k2/x2=k1/x3+k1/x4②‘将①’两边同乘以k1 • k2,即得k2/x1+k2/x2=k1/x3+k1/x4它与②‘完全一样.这里利用两式同时变形的方法可以较容易实现目的,有分析、有综合,有思维,有运算.思路的选择有赖于对式子特征的观察联想.综观这道题的题目特征及解答过程,我们看到了用代数方程但方法处理几何问题的作用与威力.4 .赏析：上面我们看到,试题的结构及其解答都令人感到赏心悦目,至此,我们不禁要追问一句：试题是怎么命制出来的它的背景是什么它对我们的数学学习与教学、高三复习与备考有什么启示关于圆,有一个有趣的定理：蝴蝶定理设AB是圆O的弦,M是AB的中点.过M作圆O的两弦CD EF, CF、D E分别交AB于H、G.贝U MH=MG这个定理画出来的几何图,很像一只翩翩飞舞的蝴蝶,所以叫做蝴蝶定理 (图2).盯着试题的图1仔细看,它像不像椭圆上翩翩飞舞的蝴蝶像,而且像极了.试题的证实过程及结果告诉我们,椭圆中蝴蝶定理依然成立, 而且是用解析方法证实的.如果令椭圆的长轴,短轴相等,即a=b,那么椭圆就变成了圆,椭圆中的蝴蝶定理就变成了圆上的蝴蝶定理,上面的证实一样适用.由于椭圆也可以看作将一个圆经“压缩变换〞而得,故圆上的蝴蝶定理经“压缩变换〞也可以变成椭圆上的蝴蝶定理.“翩翩蝴蝶舞椭圆,飞落高考数学花.〞读者诸君欣赏至此, 是否体会到了数学命题几何专家命制高测试题的“高招〞及良苦用心［关于“椭圆上的蝴蝶〞,张景中院士在其献给中学生的礼物一书?数学家的眼光?“巧思妙解〞一节中有着精妙的论述,有兴趣的读者请参阅该书P54-59］.5 .启示椭圆上的蝴蝶翩翩飞舞,飞落到了北京数学高测试题的百花(草)园,令人欣喜异常.它虽然有着竞赛数学、仿射变换、数学名题的背景,然而这里证实它,却只用到了教科书里反复提到的三点共线问题和斜率公式,用到了解析几何最根本的方法. 高级中学课本?平面解析几何?全一册(必修)数处提到三点共线问题,如P13习题一第14题：三点A ( 1 , -1 )、B (3, 3)、C (4, 5).求证：三点在一条直线上：P17练习4:证实：三点AB、C,如果直线AB、AC的斜率相等,那么这三点在同一条直线上；P27习题二第9题：证实三点A (1,3)、B (5, 7)、C (10, 12)在同一条直线上；P47复习参考题一第3题：用两种方法证实：三点A (-2 , 12)、B (1, 3)、C (4,-6)在同一条直线上.你看,课本上的练习、习题、复习参考题, 反复提到了三点共线的证实,并且强调用不同的方法来证实.为什么你(老师、学生)关注到了它吗实际上,三点共线的不同证实,可以把解析几何第一章的重点根底知识充分调动起来,组织起来.你可以用根本公式一一平面上两点间的距离公式证实| AC| = | ABI + I BCI ;你也可以应用定比分点公式x= (x1+入x2) / (1 + 入),y= (y1+ 入y2) / ( 1+ 入)去证入=(x1-x ) / (x-x2 ) = (y1-y ) / (y-y2 )；你可以用过两点的直线的斜率公式Kp1p2= (y2-y1 ) / ( x2-x1 ),去证KAB=KAC你还可以先建立直线AB的方程f(x,y)=0 ,然后验证点C的坐标适合直线AB的方程即f(x, y)=0 ;你也可以在建立直线AB的方程之后,利用点到直线的距离公式证实dc-AB=0 ;你还可以计算△ ABC的面积,去证ABC=0.你看,有五、六种方法可以解决同一个问题,当然难度有高有低.一题多解中选择方法、优化方法也是水平(洞察、观察)的表达,从比拟中才可以鉴别方法的优劣.据说测试下来,有一些重点中学的尖子生对自己没能解答出第(出)问很懊悔,一些老师也说这个题目“运算量太大难以完成〞！不知读者诸君欣赏至此,能不能发现上述问题的症结究竟发生在哪里北京市有许多重点中学的师生,对高中数学课本的习题不屑一顾,很少去钻研教材中的例题、习题,去寻求与发现知识之间的内在联系,去总结解题的原那么、思路与规律.各种各样的复习资料,几十套几十套的各地模拟试卷,使高三学生跳进题海做得昏天黑地而难以自拔,这哪里还谈得上素质教育与培养水平我们应当从欣赏“翩翩飞舞的椭圆蝴蝶〞中去用心体会“精选题目充分利用题目的“营养〞价值〞在数学教学与复习中的重要作用,从而解放思想,勇敢大胆地摒弃“题海战术〞.而要使学生跳出题海,老师就必须首先跳入题海,“题海探珠〞,感悟数学教育改革的真谛.一一注重根底、注重理解、注重联系、注重水平.补充：混沌论中蝴蝶定理数学的一门分支是混沌论.混沌论中有一个非常著名的定理一一蝴蝶定理.它是说,一些最稍微的因素,能够在复杂的环境中,引起滔天的巨浪,就好比地球南半球一只蝴蝶轻轻地扇动美丽的翅膀,那微小的气流,已足已引起北半球的飓风和海啸.而我们怎能跟踪那叶尖的微微一颤呢所以经济和气象都是不可预测的,正如人生无法预测.蝴蝶定理的推广如图I ,是“蝴蝶定理〞,有结论EP=PF;如图II ,是“蝴蝶定理〞的演变,点P, Q, R, S是否也存在某种关系呢所以过圆心O的两个同心圆内弦中点M作两条直线交圆于A、B、C、D、E、F G H,连AF BE CH DG分别交弦于点P、Q、R、S,那么有等式：成立.证实：引理,如右图,有结论由及正弦定理即可得到：原结论作OM1AM M1, OM2EH^ M2,于是,MA - MD = MB - MC = 2MM1 = 2Msin ;MH - ME = MG - MF = 2MM2 = 2Msin且MA*MD = ME*MH, MB*MC = MF*MG,代入上式,又故原式成立证毕.蝴蝶定理的证实蝴蝶定理1815年,西欧?男士日记?杂志上刊登一那么难题征解,题目如下：过圆的弦AB 的中点M,引任意两条弦 CD EF,连接ED CF 分别交AB 于巳Q 两点.求PM=QM 〔见图〕由于形状酷似蝴蝶,该命题被人们称为“蝴蝶定理〞.一值四年来都无人解答.1819年7月四边形蝴蝶定理假设四边形一条对角线平分另一对角线,那么过其交点的两条直线,以四边交点〔邻边〕的连线,与被平分的对角线的两个交点到对角线焦点距离相等. 证实过程中用到共边比例定理、共角比例定理. 如图：BG=CG 求证：EG=FG连接 CP, BS, BR, CQEG/BE*CF/FG=S △ PGQ/SA PBQ* S △ SCR/SA SGR=S^ ABD/SA PBQ * S △ SCR/SA AC2-22D * S △ PGQ/SA SGR=AB*BD/BP*BQ * SC*CR/AC*DC * PG*QG/RG*SG=SA ABC*SA BCD/SA BCP*BCQ * S △ BCS*SA BCR/SA ABC*SA BCD * S △ BCP*SA B CQ/SA BCR*SA BCS=1EG/BG=GF/CGEG=GF,一位自学成才的中学教师霍纳给出第一个答案,但繁琐难懂.但从1819年开始,人们寻求简洁易懂的新证实,直到1973年,中学教师斯特温给出十分初等的证法,之后又有许多新证法发表.斯特温证实：令MQ=x MA=y AM=BM=a / E=/ C=a , / D=Z F=3 , / BMFW AME=5 , /DMAh CMB彳用△1,*2, A3,△ 4 分别代表^ PME AQMC △ PDM △QFM0 积.那么4 1/A2*A2/A3*A3/A4*A4/ A1=(EP*EMsin a/CQ*CMsim〞)* ( MQ*CMsin T /PM*MDsin 丫)* (PD*MDsin)3 /MF*QFsin 3 )* (MQ*MFsinS /MP*MEsin 8 ) = ( EP*PD*MQ*MQ/ (CQ*FQ*MP*MP =1由相交弦定理EP*PD=AP*PB=(a-y ) ( a+y)CQ*FQ=BQ*QA = a-x ) ( a+x)(E P*PD*M Q*MQ= (CQ*FQ*MP*MP, ( aa-yy ) xx= (aa-xx) yy 化解,得x=y即PM=MQ证毕.由于,椭园面是正柱面的斜截面.如图圆柱的底是椭圆的投影,所以,蝴蝶定理对椭圆也成立.什么是蝴蝶定理如何证实蝴蝶定理蝴蝶定理：在圆 .中,CD EF为过AB弦的中点M的任意两条弦,连接CF、DE分别交AB 于H K,那么有MK=MH：如图8-30乙所示.在圆 .中,CD EF为过AB弦的中点M的任意两条弦,连接CF、DE分别交AB于H、Ko求证：MK=MH、路2:根据圆的对称性,作出弦心距；从三角形相似再推导出三角形相似, 由四点共圆,推导出/ MOH =MO愿关键；各位读者：如果你是初中学生,又希望成为北京市著名中学-人大附中、四中、北师大实验中学、北师大二附中、八中的一员,你可以参加我开设的辅导班,你也可购置我主编的?初中几何1000问?、?初中代数1000问?、?初中物理1000问?、?初中化学1000问?教材.联系方式：：138******** ,邮箱：hjp vc@sohu .图B-3 □乙证实：过O 作OS! FC、OT± DE 连OH OK SM M］再连MQ AM=MBOM! AR / AMON BMO=90 ;在△ FC刷△ DEMfr;/ CMF=/ DME 〔对顶角相等〕；/ MFCN MDE 〔等弧对等圆周角〕•••AFChM^ ADEM 〔AA〕/FCMh DEM;FS=SC=? FC; DT=TE=? DEFS/FC =TD/ED ;FC/ED = FM/MDFS/FM = TD/MD在△ FSM^ △ DTM;/MFS之MDT 〔等弧对等圆周角〕；FS/FM = TD/MD ;△ FSW △ DTM 〔 SAS〕/ FSM=/ DTM/ MSHh MTK/AMO=90、/ HSO=90 ; O、S H、M 四点共圆；/ MSH= MOH/BMO=90、/ KTO=9O ; O、T、K、M 四点共圆；/ MT" MOK/ MOH= MOK在△ MOHF口△ MO造；/ MOH= MOKMO=M O/ AMO= BMO=90 ;•••AMO库A MOK (ASA)MH=MK结论：作出弦心距是最有效的辅助线,本证法的出发点是证实^HOKM等腰三角形,利用等腰三角形的三线合一性来证实最终的结论.该命题还有很多其他证法,不再赘述.。

蝴蝶定理

“蝴蝶”齐飞王晓龙指导教师邱发文一．第一只蝴蝶1815年在西欧的一本通俗杂志《男士日记》上，有一个征求证明的几何问题。

题目是：过一圆的AB弦中点M引任意两弦CD和EF，连结CF和ED，交AB弦于P,Q两点，则有：PM=PQ （图一）。

题目的圆形酷似一只蝴蝶，因此被后人称为“蝴蝶定理”。

二．飞翔的Butterfly“蝴蝶定理”的内容要求CF与ED与弦AB有交点，这就限制了弦CD与EF的范围，为了让“蝴蝶定理”再放光彩，两个简单的推论产生了：定理1：过圆的AB弦中点M，引任意两条弦CD和EF，直线CF与ED与直线AB交于P，Q两点，则有：MP=MQ(图二)。

定理2：l为圆O外一条直线，OM垂直l于M，，过M引圆的任两条割线MCO与MEF，直线CF和ED与直线l交于P,Q两点则有:MP=MQ（图三）。

这两个推论解除了“蝴蝶”身上的枷锁，使蝴蝶真正地飞上了天空。

三．奇妙的“变种”随着任识的增多，了解了椭圆的我们又对其产生了浓厚的兴趣。

数学爱好者总是追逐着命题的变化与延伸。

椭圆与圆的联系不可谓不紧密，于是我开始有了进军椭圆的想法。

令人高兴的是，“蝴蝶定理”在椭圆中仍然成立。

定理3：过椭圆的AB弦中点，作任两弦CD和EF,直线CF和ED交直线AB于P,Q 两点，则有：PM=MQ（图四）。

这奇妙的蝴蝶在椭圆中安家落户了，好像是一只精心培育的变种蝴蝶，万分妩媚。

在高兴的同时，我还想到了其它一些东西，圆与椭圆本质上是一种二次曲线，而是不是二次曲线都有类似性质呢？经过反复验证，我得到了以下定理：定理4：在二次曲线c中，过弦AB中点M任作两条弦CD和EF，直线CF与ED交直线AB于P，Q，则有：PM=MQ于是，这只变种蝴蝶又找到两个漂亮的胞妹，与它一起飞翔。

四．双蝶齐飞偶尔看了本校同学写作的一篇小议论文，讨论了双圆蝴蝶定理，我受这一推论的影响，又推出了几个美妙的结论，被我称为“双蝶定理”。

双蝶定理1：对于有心曲线说，如果与关于中心位似，则任作一条l交于四点，过中点M作分别交于，直线分别交l于P1P2Q1Q2，求证：（图5,6）。

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