2018届高三数学一轮复习坐标系与参数方程第二节参数方程课件文

+y2=1, x 2
y 3 t sin α
4
得(cos2α+4sin2α)t2+(8 3sin α+4cos α)t+12=0,
解析 (1)由x=1+ 1 t得t=2x-2,
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2
∴y=2+ 3 (2x-2),
2
∴ 3x-y+2- =3 0,此方程表示直线.
(2)
x
t
由1t ①, ① 2-②2得x2-y2=4,此方程表示双曲线.
y
1
t,②
t
方法技巧 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数,常用的消参方法有代入 法、加减法、恒等式(三角的或代数的)法.另外,消参时要注意参数的范 围.
故所求的普通方程为y2=2-x,x∈[0,2].
(2)由参数方程得et=x+y,e-t=x-y,
∴(x+y)(x-y)=1, 即x2-y2=1(x≥1).
考点二 参数方程的应用
典例2 (2016豫南九校3月联考)在直角坐标系xOy中,设倾斜角为α的直
线l:
x
(t2为 参t co数sα),与曲线C:
x
(0≤5 cθo<sπθ),和
y sin θ
则它们的交点坐标为
.
(t∈R )x,
5 4
t2,
y t
答案
12, 5
5
解析 消去参数θ得普通方程为 x 2 +y2=1(0≤y≤1),表示椭圆的一部分.
5
消去参数t得普通方程为y2= 4 x,表示抛物线,联立两方程,可知两曲线有
5
一个交点,解得交点坐标为 12, 5 .
3
直线l的方程为
x
2
1 t,
(t为2 参数),
y
3 3t 2
代入曲线C的普通方程 x 2 +y2=1,得13t2+56t+48=0,
4
设直线l上的点A,B对应的参数分别为t1,t2.
则t0= t 1 =t 2-
2
2,所8 以点M的坐标为
13
1. 2
13
,
3 13
(2)将
x
代2 入t 曲cos线α,C的普通方程
g (t)
方程,变数t叫做参变数,简称③ 参数 .
注意:相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做
④ 普通方程 .
2.直线、圆、圆锥曲线的参数方程
(1)过点M0(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程为
x y
(⑤ t⑥为 xy00
t cosα , t sinα
参数),设M是直线l上任一点,则相应的参数t的绝对值等于M到M0的距
1-1 将下列参数方程化为普通方程.
(1)
x y
(θ1为 s参in 2数θ,);
sinθ cosθ
(2)
x
y
1 (et et),
2 (t为参数).
1 (et et)
解析 (21)由(sin θ+cos θ)2=1+sin 2θ=2-(1-sin 2θ),
得y2=2-x.又x=1-sin 2θ∈[0,2],
)
A.在直线y=2x上 B.在直线y=-2x上
C.在直线y=x-1上 D.在直线y=x+1上
答案
B
曲线
x y
(θ为1 参co数s θ),的普通方程为(x+1)2+(y-2)2=1,该
2 sin θ
曲线为圆,圆心(-1,2)为曲线的对称中心,其在直线y=-2x上,故选B.
4.已知两曲线的参数方程分别为
离.
(2)圆心为点M0(x0,y0),半径为r的圆的参数方程为
x y
(⑦ θ为 x0
⑧ y0
r cosθ , r sinθ
参数).
(3)圆锥曲线的参数方程:
椭圆 x 2
a2
+y 2
b2
=1(a>b>0)的参数方程为xy
(⑨φ为 参a c数osφ). ,
⑩ bsin φ
双曲线 x 2
答案
C
由
x y
(t13为 参43 tt , 数)消去t得4x+3y-15=0.
∴原点到直线l的距离d= | =1 35 ,|故选C.
42 32
2.曲线C的参数方程为
x y
(θs为in θ参, 数),则曲线C上的点P到原点O
cos 2θ 1
的距离的最大值为 ( )
A.1 B. 2 C. 3 D. 5
答案
D
由
x y
(θsi为n θ参, 数)消去参数θ得y=-2x2(-1≤x≤1).如图.
cos 2θ 1
则当P点的坐标为(±1,-2)时, |PO|max= (=1)2,故(选2D)2. 5
3.(2014北京,3,5分)曲线
x y
(θ为1 参co数s θ),的对称中心(
2 sin θ
由
y y
3x, 2 x2
4
得x2= 1 ,即x=± 2 ,
2
2
则|AB|= 1|xAk-Ax2BB|= × =21 .32 2
5
考点突破
考点一 化参数方程为普通方程
典例1 把下列参数方程化为普通方程,并说明它们各表示什么曲线.
(1)
x
1
1 t,
(t为2 参数);(2)
y
2
3t 2
(t为xy 参t1t 数 1tt ), .
y 3 t sin α
两点A,B.
(θ为参数 xy)相 2s交icno于θs θ不, 同的
(1)若α= ,求线段AB的中点M的坐标;
3
(2)若|PA|·|PB|=|OP|2,其中P(2, 3),求直线l的斜率.
解析 (1)将曲线C的参数方程化为普通方程是 x 2 +y2=1.
4
当α= 时,设点M对应的参数为t0.
a2
-y
b
2 2
=1(a>0,b>0)的参数方程为
x y
(φa s为e c参φ , 数).
b tan φ
抛物线y2=2px的参数方程为
x
(t2为p t参2 , 数).
y 2 pt
1.已知直线l的参数方程为
x y
(t3为 参3 t ,数),则原点到l的距离为
1 4t
(
)
A.1 B.2 C.3 D.4
5
5.(2015湖北,16,5分)在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极 轴建立极坐标系.已知直线l的极坐标方程为ρ(sin θ-3cos θ)=0,曲线C的
参数方程为
x y
t t
1,
(t为t 参数),l与C相交于A,B两点,则|AB|=
1 t
.
答案 2 5
解析 直线l的直角坐标方程为y-3x=0,曲线C的普通方程为y2-x2=4.
文数
课标版
第二节 参数方程
教材研读
1.参数方程的概念 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线C上① 任意一点 P的坐标x,y
都是某个变数t的函数
x y
并f 且( t )对, 于t的每一个允许值,由
g (t),
所
x y
f (t), g (t)
确定的点P(x,y)都在②
曲线C上
,那么
x y
叫f 做( t )这, 条曲线的参数