余弦定理的推导方法

a b c 2bc cos A 2 2 2 b a c 2ac cos B 2 2 2 c a b 2ab cos C
2 2 2
C b a B
A
c
（2）解析法
证明：以CB所在的直线为x y 轴，过C点垂直于CB的直线 为y轴，建立如图所示的坐标 系，则A、B、C三点的坐标 分别为： C (0, 0) B(a, 0) A(b cos C, b sin C)
2.余弦定理
设 CB a, CA b , AB c 由向量减法的三角形法则得
思考： 在△ABC中，已知CB=a,CA=b，CB 与CA 的夹角为∠C， 求边c. （1）向量法
2 c c c ( a b) ( a b)
2 a b 2 a b cos C
c a b
aa b b 2 a b 2
2 2
﹚
a b 2ab cos C 2 2 2 c a b 2ab cos C
思考： 若△ABC为任意三角形，已知角C， BC=a,CA=b,求AB 边 c.
设 CB a, CA b , AB c
2 2 2
推论：
b c a cos A 2bc
2 2
2
a c b cos B 2ac
2 2
2
a b c cos C 2ab
2 2
2
a b 2ab cos C
2 2
﹚
余弦定理
c a b 2ab cos C 2 2 2 a b c 2bc cos A 2 2 2 b a c 2ac cos B
2 2 2
余 弦 定 理
三角形任何一边的平方等于其他两边平方 的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两 倍。
由向量减法的三角形法则得
c a b 2 c c c ( a b) ( a b) aa b b 2a b 2 2 a b 2 a b cos C
﹚
c a b 2ab cos C 2 2 2 a b c 2bc cos A
x
AB (b cosC a) (b sin C 0)
2 2
2
b 2 cos2 C 2ab cosC a 2 b 2 sin 2 C
a b 2abcosC
2 2
c a b 2ab cos C
2 2 2
C
（3）几何法
a
b
余弦定理作为勾股定理的推 广，考虑借助勾股定理来证明 余弦定理。
a B
b sin
2
A 2 bc cos A cos b
A
b c22bccos A
2
同理有：
2 2 2accos B b a c 2 2 2 c a b 2abcosC 2
a b c 2bc cos A 2 2 2 b a c 2ac cos B 2 2 2 c a b 2ab cos C
2 2 2
a 2 b 2 2ab cos C
思考： 若△ABC为任意三角形，已知角C， BC=a,CA=b,求AB 边 c.
设 CB a, CA b , AB c
由向量减法的三角形法则得
c a b 2 c c c ( a b) ( a b) aa b2 b 2a b 2 a b 2 a b cos C
B
wk.baidu.com
A
c
当角C为锐角时
A
当角C为钝角时
A c
b
C
c a D
B D
b
C a B
证明：在三角形ABC中，已知AB=c,AC=b和 A, 作CD⊥AB，则CD=bsinA,BD=c-bcosA
C
2
2 2 a CD BD
2
(bsin A) (cbcos A)
2A 2 2 c 2
2
b c D