圆的知识点复习

圆的有关概念和性质（复习）

一、知识点回顾：

1.确定一个圆有两要素，一是 ，二是 ，圆心确定 、半径确定 ；

2.圆既是 对称图形，又是 对称图形；它的对称中心是 ，对称轴是 ，有 条对称轴。

3.在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦三组量之间，如果有一组量相等，那么，它们所对应的其它量也相等。 例1：如图，AB 、CD 是⊙O 的两条弦

① 若AB=CD ， 则有 = ， =

② 若AB=CD ， 则有 = ， =

③ 若∠AOB=∠COD ， 则有 = ， = 4.在在同圆或等圆中，同弧或等弧所对圆周角 ，相等的圆周角所对的弧 ，同弧或

等弧所对圆周角是其所对的圆心角的 。

例2.如图，AB 、AC 、BC 都是⊙O 的弦，∠CAB ＝∠CBA ， ∠COB 与∠COA 相等吗？为什么？ 例3．如图，∠A 是⊙O 的圆周角，∠A ＝30°， 则∠BOC= °，∠OBC= ° 5.半圆或直径所对的圆周角都是 °，90°的圆周角所对的弦是圆是 。

例4．填空：

1、如图，AB 是⊙O 的直径，∠DCB=30°，

则∠ACD= °，∠ABD= ° 2、如图，⊙O 的直径AB=10，弦BC=5，∠B= °

6.垂直于弦的直径平分这条弦，并且平弦所对的弧。

即：如图，若AB ⊥CD ，则有AP PB ，AC ︵ CB ︵

，AD= 典型题：

例5．如上图，若CD=10，AB=8，求PC 的长？

例6．某公园的一石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24 米，拱的半径为13米，则拱高为_____．

7．三角形的内心和外心

（1）确定圆的条件： 三个点确定一个圆．

（2）三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的 ，圆心就是 的交点，叫做三角形的外心．

（3）三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的 ，圆心是 的交点，叫做三角形的内心。

例7. 在△ABC 中，∠A=62°，点I 是外接圆圆心，则∠BIC=___________

O D

C B A

D

B

D C B

8. 与圆有关的角

（1）圆心角： 叫圆心角． 圆心角的度数等于它所对的弧的度数． （2）圆周角： 的角，叫圆周角．

圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半． （3）圆心角与圆周角的关系．

同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 ． 例8.如图，A 、B 、C 是⊙O 上的三点，∠BAC=30° 则∠BOC 的大小是（ ） A ．60○ B ．45○ C ．30○ D ．15○

例9.如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ， 点C 在⊙O 上．如果∠P ＝50○ ，那么∠ACB 等于（ ） A ．40○ B ．50○ C ．65○ D ．130○

二、基础达标练习：

1．如图是中国共产主义青年团团旗上的图案，点A 、B 、C 、D 、E 五等分圆，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数是（ ）

A ．180°

B ．15 0°

C ．135°

D ．120°

（二）填空题：

1．如图，MN 所在的直线垂直平分弦A B ，利用这样的工具最少使用__________次，就可找到圆形工件的圆心．

三、能力提高训练：

1. 小芳在为班级办黑板报时遇到了一个难题，在版面设计过程中需将一个半圆面三等分（如图所示），请你帮助她设计一个合理的等分方案．要求用尺规作出图形，保留作图痕迹，并简要写出作法．

2.在足球比赛中，甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN 进攻，当甲带球冲到A 点时，乙已跟随冲到B 点，如图所示，此时甲自己直接射门好，还是迅速将球传给乙，让乙射门好吗？

圆中的位置关系

1.点与圆的位置关系

A 点在圆 ⇔OA r

B 点在圆 ⇔OB r

C 点在圆 ⇔OC r

2. 直线与圆的位置关系(设⊙O 半径为r ，圆心到直线l 距离为d )

①l 与⊙O 相交⇔d r ②l 与⊙O 相切⇔d r ③l 与⊙O 相离⇔d r 例1．Rt △ABC 中，∠C=90°，∠AC=3cm ，BC ＝4cm ，给出下列三个结论：

①以点C 为圆心1．3 cm 长为半径的圆与AB 相离；②以点C 为圆心，2．4cm 长为半径的圆与AB 相切；③以点C 为圆心，2．5cm 长为半径的圆与AB 相交．上述结论中正确的个数是（ ） A ．0个 B ．l 个 C ．2个 D ．3个

3、切线性质：圆的切线 于经过切点的半径.

4、切线识别：

经过半径的 （内、外）端且 于这条半径的直线是圆的切线。 例2．如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，PO 交 ⊙O 于点B ， PA=4，OA=3，则cos ∠APO 的值为（ ） 3344. . . .4

5

5

3

A B C D

例3.如右图，以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 是小圆的切线，点P 为切点，两圆的半径分别为5cm 和3cm ，则AB= 例4.如图，AB 是⊙O 的直径，∠B ＝45°，AC ＝AB ，

AC 是⊙O 的切线吗？（写出详细的过程）

5. 圆与圆的位置关系 （1）用公共点的个数来区分

①两个圆如果没有公共点，那么就说这两个圆 ，如图3的 ②两个圆有一个公共点，那么就说这两个圆 ，如图3的

③两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆 ，如图3的

（2）用数量关系来区别：设两圆的半径分别为1r 、2r )(21r r ，圆心距为d ：

（例3 4 ）