求曲线的方程

求曲线方程学案 课前预习学案

一、预习目标

回顾圆锥曲线的定义, 并会利用定义和性质求圆锥曲线的方程。 二、预习内容

1．到顶点)0,5(F 和定直线516=

x 的距离之比为4

5

的动点的轨迹方程是 2．直线l 与椭圆14

22

=+y x 交于P 、Q 两点, 已知l 过定点（1, 0）, 则弦PQ 中点的轨迹方程是

3．已知点P 是双曲线122

22=-b

y a x 上任一点, 过P 作x 轴的垂线, 垂足为Q, 则PQ 中点M

的轨迹方程是

4．在ABC ∆中, 已知)0,2(),0,2(B A -, 且BC AB AC 、、成等差数列, 则C 点轨迹方程为

课堂探究学案

【学习目标】

1．了解用坐标法研究几何问题的方法, 了解解析几何的基本问题．

2．理解曲线的方程、方程的曲线的概念, 能根据曲线的已知条件求出曲线的方程, 了解两条曲线交点的概念．

3．通过曲线方程概念的教学, 培养学生数与形相互联系、对立统一的辩证唯物主义观点．

4.通过求曲线方程的教学, 培养学生的转化能力和全面分析问题的能力, 帮助学生理解解析几何的思想方法.

5.进一步理解数形结合的思想方法． 【学习重难点】

学习重点：熟练掌握求曲线方程的常用方法：定义法、代入法、待定系数法、参数法等, 并能灵活应用。

学习难点：曲线方程的概念和求曲线方程的方法． 【学习过程】 一、 新课分析

解析几何主要研究两大类问题：一是根据题设条件, 求出表示平面曲线的方程；二是

y y

C

通过方程, 研究平面曲线的性质．求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方程, 其实质就是利用题设中的几何条件, 用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义, 性质等基础知识的掌握, 还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力, 因此这类问题成为高考命题的热点, 也是同学们的一大难点.解答轨迹问题时, 若能充分挖掘几何关系, 则往往可以简化解题过程．

二、典型例题

例1．设动直线l 垂直于x 轴, 且与椭圆422

2

=+y x 交于B A 、两点, P 是l 上满足

1=•PB PA 的点, 求点P 的轨迹方程。

方法点拨：用直接法：若曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量关系, 则只需直接把这种关系“翻译”成关于动点的坐标y x 、的方程。经化简所得同解的最简方程, 即为所求轨迹方程。其一般步骤为：建系——设点——列式——代换——化简——检验。

例2．如图, 在ABC Rt ∆中, 2),1,2()1,2(,90=

-=∠∆ABC S B A BAC 、ο 平

方单位, 动点P 在曲线E )1(≥y 上运动, 若曲线E 过点C 且满足PB PA +的值为常数。 （1） 求曲线E 的方程；

（2） 设直线l 的斜率为1, 若直线l 与曲线E 有两个不同的交点R, 求线段的轨迹方程。

B

x A B

O

x

O

方法点拨：用圆锥曲线的定义求方程。如果题目中的几何条件能够满足圆、椭圆、双曲线, 抛物线的第一、二定义, 则直接利用曲线定义写出其轨迹方程。

例3．如图所示, 过椭圆E ：12

32

2=+y x 上任一点P, 作右准线l 的垂线PH, 垂足为H 。延长PH 到Q, 使HQ=)0(>⋅λλPH

（1）当P 点在E 上运动时, 求点Q 的轨迹G 的方程； （2）当λ取何值时, 轨迹G 是焦点在平行于y 轴的直线上的椭圆？证明这些焦点都在同一个椭圆'

E 上, 并写出椭圆的方程；

（3）当λ取何值时, 轨迹G 是一个圆？判断这个圆与椭圆'

E 的右准线'

l 的位置关系。

方法点拨：求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一。求符合某种条件的动点

的轨迹方程, 其实质就是利用题设中的几何条件, 通过“坐标互化”将其转化为变量间的关系。在确定了轨迹方程之后, 有时需要对方程中的参数进行讨论, 因为参数取值的变化会使方程表示不同的曲线, 会使其与其他曲线的位置关系不同, 会引起另外某些变量取值范围的变化。

例4．设椭圆方程为14

2

2

=+y x , 过点)1,0(M 的直线l 交椭圆于点A 、B, O 是坐标原点, 点P 满足),(2

1

+=

点N 的坐标为)21,21(, 当l 绕点M 旋转时, 求：

（1）动点P 的轨迹方程；

（2

方法点拨：本题是运用参数法求的轨迹。当动点P 的坐标y x 、之间的直接关系不易建立时, 可适当地选取中间变量t , 并用t 表示动点P 的坐标y x 、, 从而得到动点轨迹的参数方程

⎩

⎨

⎧==)()

(t g y t f x , 消去参数t , 便可得到动点P 的轨迹普通方程。其中应注意方程的等价性, 即由t 的范围确定出y x 、范围。

三、小结: 求曲线方程的两类问题：一是动点变动的根本原因, 二是动点变动的约束 条件；求曲线方程的常用方法：定义法、代入法、待定系数法、参数法等。

课后题高与练习

1.若点M （x,y |3|0x y -+=, 则点M 的轨迹是（ ） A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D 抛物线.

2.点M 为抛物线2

y x =上的一个动点, 连结原点O 与动点M, 以OM 为边作一个正方形MNPO, 则动点P 的轨迹方程为（ ）

A.2

y x = B. 2

y x =- C. 2

y x =± D. 2

x y =±

3.20=化简的结果是（ ）

A.

22110036x y += B. 22110064x y += C.22136100x y += D. 22

164100

x y +=

4.一动圆M 与两定圆2222

12:(4)1,:(4)9C x y C x y ++=-+=e e 均外切, 则动圆圆心M 的轨迹方程是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

5.抛物线2

4y x =关于直线:2l y x =+对称的曲线方程是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.