树与森林的遍历共38页

树与森林的遍历

第十七讲
∑p ×I
i =1 i
7
i
= 0.40 × 1 + 0.30 × 2 + 0.15 × 3 + 0.05 × 5 + 0.04 × 5 + 0.03 × 5 + 0.03 × 5 = 2.20
第十七讲
举例：数据传送中的二进制编码。要传送数据 state, seat, act, tea, cat, set, a, eat，如何使传送的长度最短？首先规定二叉树的构造为左走0，右走1 ，如图6.31所示。为了保证长度最短，先看字符出现的次数，然后将出现次数当作权，如图6.32所示。
第十七讲
2. 森林的遍历森林的遍历森林的遍历方法主要有以下三种： 1）先序遍历若森林非空，则遍历方法为： (1) 访问森林中第一棵树的根结点。 (2) 先序遍历第一棵树的根结点的子树森林。 (3) 先序遍历除去第一棵树之后剩余的树构成的森林。例如，图6.24(a)中森林的先序遍历序列为ABCDEFGHIJ。
第十七讲作业：
1.二叉树的层次遍历算法（二叉链表存储）； 2.求二叉树中最大结点值（二叉链表存储）。
第十七讲
哈夫曼树及其应用
第十七讲
1. 哈夫曼树
1. 路径和路径长度路径和路径长度路径是指从一个结点到另一个结点之间的分支序列，路径路径长度是指从一个结点到另一个结点所经过的分支数目。路径长度树的路径长度是从树根到每一结点的路径长度之和。树的路径长度
图6.30 构造哈夫曼树示例
第十七讲
表 6 – 3 指令的哈夫曼编码
指令 I1 I2 I3 I4 I5 I6 I7 使用频率(Pi） 0 10 110 11100 11101 11110 11111

树的遍历实验报告

树的遍历实验报告简介树是一种重要的数据结构，广泛应用于计算机科学和其他领域。

在树的结构中，每个节点可以有零个或多个子节点。

树可以是空的（零个节点），也可以由一个称为根的节点以及零个或多个附加节点组成。

树的遍历是指按照某种方式访问树的所有节点。

本实验旨在实现树的遍历算法，并通过编写代码进行验证和测试。

实验目的1. 理解树的基本结构和遍历方式；2. 掌握树的深度优先遍历和广度优先遍历算法；3. 使用编程语言实现树的遍历算法，并验证算法的正确性。

实验过程树的深度优先遍历（DFS）深度优先遍历是一种递归算法，通过从根节点开始，依次访问每一个子节点，再递归地访问每个子节点的子节点，直到遍历到树的末端节点。

接下来我们以二叉树为例，进行深度优先遍历的实验。

1. 定义树节点类首先，我们定义一个树节点类，用于表示树的节点。

每个节点具有一个值和左右子节点。

pythonclass Node:def __init__(self, value):self.value = valueself.left = Noneself.right = None2. 构建二叉树接下来，我们构建一棵二叉树，用于测试深度优先遍历算法。

python构建二叉树root = Node(1)root.left = Node(2)root.right = Node(3)root.left.left = Node(4)root.left.right = Node(5)我们构建的二叉树如下所示：1/ \2 3/ \4 53. 实现深度优先遍历算法最后，我们实现深度优先遍历算法，并打印遍历结果。

pythondef dfs(root):if root is None:returnprint(root.value, end=' ')dfs(root.left)dfs(root.right)4. 运行结果运行深度优先遍历算法，并打印结果。

pythonprint("深度优先遍历结果：")dfs(root)输出结果如下：深度优先遍历结果：1 2 4 5 3树的广度优先遍历（BFS）广度优先遍历是一种逐层遍历的算法，通过从根节点开始，逐层遍历每个节点的子节点，直到遍历到树的末端节点。

8哈夫曼树

a
b d e c
2 3 4 5 6 7 b c d e
d
e f g f g h
f
g
h
8
h
25
3、用孩子兄弟表示法来存储
思路：用二叉链表来表示树，但链表中的两个指针域含义不同。左指针指向该结点的第一个孩子；右指针指向该结点的下一个兄弟结点。
firstchild data nextsibling
100
40
21 32 g e 17 7 a
60
28 11 10 h 6 d 2 c 5 3 f
10
对应的哈夫曼编码（左0右1）：
符编码频率符编码频率
100
a
b
1100
00
0.07
0.19
a
b
000
001
0.07
0.19 0.06
0 b
0 40
1
1
0 60 1 28 1 0 6 d 0 2 c 11 1d Path Length
树的带权路径长度如何计算？ WPL = 哈夫曼树则是：WPL 最小的树。
w kl k
k=1
n
经典之例：
4 d
2 c 7 a (b) 5 b
Huffman树
7 a
7 a
5
2 b c
4 d
5 b
2 c (c)
4 d
(a)
WPL=36
WPL=46
WPL= 35
3
构造霍夫曼树的基本思想：权值大的结点用短路径，权值小的结点用长路径。构造Huffman树的步骤（即Huffman算法）：
(1) 由给定的 n 个权值{w0, w1, w2, …, wn-1}，构造具有 n 棵扩充二叉树的森林F = { T0, T1, T2, …, Tn-1 }，其中每一棵扩充二叉树 Ti 只有一个带有权值 wi 的根结点，其左、右子树均为空。 (2) 重复以下步骤, 直到 F 中仅剩下一棵树为止： ① 在 F 中选取两棵根结点的权值最小的扩充二叉树, 做为左、右子树构造一棵新的二叉树。置新的二叉树的根结点的权值为其左、右子树上根结点的权值之和。 ② 在 F 中删去这两棵二叉树。 ③ 把新的二叉树加入 F。

树的遍历(先序、中序、后序详解)

树的遍历(先序、中序、后序详解) 树的遍历主要有三种
1、先序遍历：先遍历根节点，再遍历左节点，最后遍历右节点；
2、中序遍历：先遍历左节点，再遍历根节点，最后遍历右节点；
3、后序遍历：先遍历左节点，再遍历右节点，最后遍历根节点；
总结：先、中、后就表⽰根节点的遍历处于哪个位置，⽰总是先左节点后右节点。

例如先序遍历，“先”表⽰根节点最先遍历，再左节点，
最后右节点。

依此类推中序遍历，后序遍历。

接下来看⽰个题⽰，看⽰下你们是怎么做的。

我们以中序遍历为例来讲（每次以三个节点为⽰个整体）：
⽰先从树的根节点开始即C F E
我们再依次来看，先看C，则以C为根节点的三个节点（即A C D）按中序遍历则为A C D。

故A放在C之前，把D放在C之后。

故A C D F E
再看A，由于以A为根节点的三个节点中其他两个没有，故看下⽰个D 同理可得B D
故把B放在D之前，即A C B D F E
类似可得中序遍历为A C B D F H E M G
这样是不是再也不怕树的遍历了。

二叉树,树,森林遍历之间的对应关系

二叉树,树,森林遍历之间的对应关系一、引言在计算机科学中，数据结构是非常重要的知识点之一。

而树这一数据结构，作为基础的数据结构之一，在软件开发中有着广泛的应用。

本文将重点探讨二叉树、树和森林遍历之间的对应关系，帮助读者更加全面地理解这些概念。

二、二叉树1. 二叉树的定义二叉树是一种特殊的树结构，每个节点最多有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。

二叉树可以为空，也可以是一棵空树。

2. 二叉树的遍历在二叉树中，有三种常见的遍历方式，分别是前序遍历、中序遍历和后序遍历。

在前序遍历中，节点的访问顺序是根节点、左子树、右子树；在中序遍历中，节点的访问顺序是左子树、根节点、右子树；在后序遍历中，节点的访问顺序是左子树、右子树、根节点。

3. 二叉树的应用二叉树在计算机科学领域有着广泛的应用，例如用于构建文件系统、在数据库中存储有序数据、实现算法中的搜索和排序等。

掌握二叉树的遍历方式对于理解这些应用场景非常重要。

三、树1. 树的定义树是一种抽象数据类型，由n(n>0)个节点组成一个具有层次关系的集合。

树的特点是每个节点都有零个或多个子节点，而这些子节点又构成了一颗子树。

树中最顶层的节点称为根节点。

2. 树的遍历树的遍历方式有先根遍历、后根遍历和层次遍历。

在先根遍历中，节点的访问顺序是根节点、子树1、子树2...；在后根遍历中，节点的访问顺序是子树1、子树2...，根节点；在层次遍历中，节点的访问顺序是从上到下、从左到右依次访问每个节点。

3. 树的应用树广泛用于分层数据的表示和操作，例如在计算机网络中的路由算法、在操作系统中的文件系统、在程序设计中的树形结构等。

树的遍历方式对于处理这些应用来说至关重要。

四、森林1. 森林的定义森林是n(n>=0)棵互不相交的树的集合。

每棵树都是一颗独立的树，不存在交集。

2. 森林的遍历森林的遍历方式是树的遍历方式的超集，对森林进行遍历就是对每棵树进行遍历的集合。

3. 森林的应用森林在实际编程中经常用于解决多个独立树结构的问题，例如在数据库中对多个表进行操作、在图像处理中对多个图形进行处理等。

树的遍历和哈夫曼树

}
2021/4/18 北京化工大学信息学院数据结构 33
求二叉树高度的递归算法
int Height ( BinTreeNode * T ) { if ( T == NULL ) return -1; else { int m = Height ( T->leftChild ); int n = Height ( T->rightChild ) ); return (m > n) ? m+1 : n+1;
中序遍历 (Inorder Traversal)
中序遍历二叉树算法的框架是：
若二叉树为空，则空操作；
-
否则中序遍历左子树 (L)；
+
/
访问根结点 (V)；
a *e f
中序遍历右子树 (R)。
遍历结果
b-
a+b*c-d-e/f
cd
2021/4/18 北京化工大学信息学院数据结构 20
二叉树递归的中序遍历算法
如果 n = 0，称为空树；如果 n > 0，则 ▪ 有一个特定的称之为根(root)的结点，
它只有直接后继，但没有直接前驱； ▪ 除根以外的其它结点划分为 m (m 0)
个互不相交的有限集合T0, T1, …, Tm-1，每个集合又是一棵树，并且称之为根的子树。
2021/4/18 北京化工大学信息学院数据结构 3
typedef struct node { //树结点定义
TreeData data;
//结点数据域
struct node * leftChild, * rightchild;
//子女指针域
} BinTreeNode;
typedef BinTreeNode * BinTree; //树定义，代表树的根指针

数据结构-第6章树和二叉树---4. 树和森林(V1)

ElemType data ; struct CSnode *firstchild, *nextsibing ; }CSNode;
6.4.1 树的存储结构
R AB C D EG F
R⋀
A
⋀D
⋀B
⋀E ⋀
C⋀
⋀G
⋀F ⋀
6.4.2 树、森林和二叉树的转换
1. 树转换为二叉树将树转换成二叉树在“孩子兄弟表示法”中已给出，其详细步骤是： ⑴ 加线。在树的所有相邻兄弟结点之间加一条连线。 ⑵ 去连线。除最左的第一个子结点外，父结点与所有其它子结点的连线都去掉。 ⑶ 旋转。将树以根结点为轴心，顺时针旋转 450，使之层次分明。
B C
D
A E
L HK
M
技巧：无左孩子者即为叶子结点
6.4.3 树和森林的遍历
1. 树的遍历由树结构的定义可知，树的遍历有二种方法。 ⑴ 先序遍历：先访问根结点，然后依次先序遍历完每棵子树等。价于对应二叉树的先序遍历
⑵ 后序遍历：先依次后序遍历完每棵子树，然后访问根结点。等价于对应二叉树的中序遍历
0 R -1 1A 0 2B 0 3C 0
}Ptree ; R
4D 1 5E 1
AB C
6F 3
7G 6
DE
F
8H 6
9I 6
G H I 10~MAX_Size-1 ... ...
6.4.1 树的存储结构
2. 孩子表示法
每个结点的孩子结点构成一个单链表，即有n 个结点就有n个孩子链表；
n个孩子的数据和n个孩子链表的头指针组成一个顺序表；结点结构定义：顺序表定义：
typedef struct PTNode { ElemType data ;

数据结构第七章树和森林

7.5 树的应用
➢判定树
在实际应用中，树可用于判定问题的描述和解决。
•设有八枚硬币，分别表示为a，b，c，d，e，f，g，h，其中有一枚且仅有一枚硬币是伪造的，假硬币的重量与真硬币的重量不同，可能轻，也可能重。现要求以天平为工具，用最少的比较次数挑选出假硬币，并同时确定这枚硬币的重量比其它真硬币是轻还是重。
的第i棵子树。 ⑺Delete（t，x，i）在树t中删除结点x的第i棵子树。 ⑻Tranverse（t）是树的遍历操作，即按某种方式访问树t中的每个
结点，且使每个结点只被访问一次。
7.2.2 树的存储结构
顺序存储结构链式存储结构不管哪一种存储方式，都要求不但能存储结点本身的数据信息，还要能够唯一的反映树中各结点之间的逻辑关系。 1.双亲表示法 2.孩子表示法 3.双亲孩子表示法 4.孩子兄弟表示法
21
将二叉树还原为树示意图
A BCD
EF
A
B
C
E
D
F
A
B
C
E
D
F
22
练习：将下图所示二叉树转化为树
1 2
4
5
3
6
2 4
1 53
6
23
7.3.2 森林转换为二叉树
由森林的概念可知，森林是若干棵树的集合，只要将森林中各棵树的根视为兄弟，森林同样可以用二叉树表示。森林转换为二叉树的方法如下：
⑴将森林中的每棵树转换成相应的二叉树。 ⑵第一棵二叉树不动，从第二棵二叉树开始，依次把后一棵二叉树的根结点作为前一棵二叉树根结点的右孩子，当所有二叉树连起来后，此时所得到的二叉树就是由森林转换得到的二叉树。
相交的集合T1，T2，…，Tm，其中每一个集合Ti（1≤i≤m）本身又是一棵树。树T1，T2，…，Tm称为这个根结点的子树。 • 可以看出，在树的定义中用了递归概念，即用树来定义树。因此，树结构的算法类同于二叉树结构的算法，也可以使用递归方法。

数据结构习题及答案与实验指导(树和森林)7

第7章树和森林树形结构是一类重要的非线性结构。

树形结构的特点是结点之间具有层次关系。

本章介绍树的定义、存储结构、树的遍历方法、树和森林与二叉树之间的转换以及树的应用等内容。

重点提示：●树的存储结构●树的遍历●树和森林与二叉树之间的转换7-1 重点难点指导7-1-1 相关术语1．树的定义：树是n（n>=0）个结点的有限集T，T为空时称为空树，否则它满足如下两个条件：①有且仅有一个特定的称为根的结点；②其余的结点可分为m（m>=0）个互不相交的子集T1，T2，…，T m，其中每个子集本身又是一棵树，并称为根的子树。

要点：树是一种递归的数据结构。

2．结点的度：一个结点拥有的子树数称为该结点的度。

3．树的度：一棵树的度指该树中结点的最大度数。

如图7-1所示的树为3度树。

4．分支结点：度大于0的结点为分支结点或非终端结点。

如结点a、b、c、d。

5．叶子结点：度为0的结点为叶子结点或终端结点。

如e、f、g、h、i。

6．结点的层数：树是一种层次结构，根结点为第一层，根结点的孩子结点为第二层，…依次类推，可得到每一结点的层次。

7．兄弟结点：具有同一父亲的结点为兄弟结点。

如b、c、d；e、f；h、i。

8．树的深度：树中结点的最大层数称为树的深度或高度。

9．有序树：若将树中每个结点的子树看成从左到右有次序的（即不能互换），则称该树为有序树，否则称为无序树。

10．森林：是m棵互不相交的树的集合。

7-1-2 树的存储结构1．双亲链表表示法以图7-1所示的树为例。

（1）存储思想:因为树中每个元素的双亲是惟一的，因此对每个元素，将其值和一个指向双亲的指针parent构成一个元素的结点，再将这些结点存储在向量中。

（2）存储示意图:-1 data:parent:（3）注意: Parrent域存储其双亲结点的存储下标，而不是存放结点值。

下面的存储是不正确的：-1 data:parent:2．孩子链表表示法（1）存储思想：将每个数据元素的孩子拉成一个链表，链表的头指针与该元素的值存储为一个结点，树中各结点顺序存储起来，一般根结点的存储号为0。

树形结构——树和森林

树形结构——树和森林树形结构——树和森林
TT
讨论的问题
1、树的概念 2、树的遍历 3、树的存储方式 4、二叉树
树的概念
树是一种常见的非线性的数据结构。树是一种常见的非线性的数据结构。树的递归定义如下：树是n(n> 个结点的有限集， n(n>0 树是n(n>0)个结点的有限集，这个集合满足以下条件：有且仅有一个结点没有前件（父亲结点） ⑴有且仅有一个结点没有前件（父亲结点），该结点称为树的根；点称为树的根；除根外，其余的每个结点都有且仅有一个前件； ⑵除根外，其余的每个结点都有且仅有一个前件；除根外，每一个结点都通过唯一的路径连到根上。 ⑶除根外，每一个结点都通过唯一的路径连到根上。这条路径由根开始，而未端就在该结点上，这条路径由根开始，而未端就在该结点上，且除根以路径上的每一个结点都是前一个结点的后件（外，路径上的每一个结点都是前一个结点的后件（儿子结点）子结点）；
树的表示方法
树的表示方法一般有两种：自然界的树形表示法：用结点和边表示树， ⑴自然界的树形表示法：用结点和边表示树，例如上图采用的就是自然界的树形表示法。树形表示法一般用于分析问题。是自然界的树形表示法。树形表示法一般用于分析问题。
⑵括号表示法：先将根结点放入一对圆括号中，然后把它的子树括号表示法：按由左而右的顺序放入括号中，而对子树也采用同样方法处理：同层子树与它的根结点用圆括号括起来，同层子树之间用逗号隔开，最后用闭括号括起来。例如图可写成如下形式（r（a（w，x（d（h），e）），b（f），c（s，t（i（m，o， n），j），u）））
1、二叉树的递归定义和基本形态
二叉树是以结点为元素的有限集，它或者为空，二叉树是以结点为元素的有限集，它或者为空，或者满足以下条件： ⑴有一个特定的结点称为根； ⑵ 余下的结点分为互不相交的子集 L 和 R ，其中 R 是根的余下的结点分为互不相交的子集L 其中R 左子树；L是根的右子树；L 左子树；L是根的右子树；L和R又是二叉树；由上述定义可以看出，由上述定义可以看出，二叉树和树是两个不同的概念 ⑴树的每一个结点可以有任意多个后件，而二叉树中每树的每一个结点可以有任意多个后件，个结点的后件不能超过2 个结点的后件不能超过2； ⑵树的子树可以不分次序（除有序树外）；而二叉树的树的子树可以不分次序（除有序树外）子树有左右之分。我们称二叉树中结点的左后件为左儿子，子树有左右之分。我们称二叉树中结点的左后件为左儿子，右后件为右儿子。右后件为右儿子。

二叉树的遍历PPT-课件

4 、二叉树的创建算法
利用二叉树前序遍历的结果可以非常方便地生成给定的
二叉树，具体做法是：将第一个输入的结点作为二叉树的根结点，后继输入的结点序列是二叉树左子树前序遍历的结果，由它们生成二叉树的左子树；再接下来输入的结点序列为二叉树右子树前序遍历的结果，应该由它们生成二叉树的右子树；而由二叉树左子树前序遍历的结果生成二叉树的左子树和由二叉树右子树前序遍历的结果生成二叉树的右子树的过程均与由整棵二叉树的前序遍历结果生成该二叉树的过程完全相同，只是所处理的对象范围不同，于是完全可以使用递归方式加以实现。
void createbintree(bintree *t) { char ch; if ((ch=getchar())==' ') *t=NULL; else { *t=(bintnode *)malloc(sizeof(bintnode)); /*生成二叉树的根结点*/ (*t)->data=ch; createbintree(&(*t)->lchild); /*递归实现左子树的建立*/ createbintree(&(*t)->rchild); /*递归实现右子树的建立*/ }
if (s.top>-1) { t=s.data[s.top]; s.tag[s.top]=1; t=t->rchild; }
else t=NULL; }
}
7．5 二叉树其它运算的实现
由于二叉树本身的定义是递归的，因此关于二叉树的许多问题或运算采用递归方式实现非常地简单和自然。 1、二叉树的查找locate(t,x)
（1）对一棵二叉树中序遍历时，若我们将二叉树严
格地按左子树的所有结点位于根结点的左侧，右子树的所

数据结构第6章树和二叉树3树和森林ppt课件

§6.4 树和森林 ❖树的存储结构——孩子兄弟表示法
这种存储结构便于实现各种树的操作。首先易于实现找结点孩子等的操作。如果为每个结点增设一个 (parent)域，则同样能方便地实现Parent(T, x)操作。
§6.4 树和森林
❖森林和二叉树的转换
1. 树和二叉树的对应关系由于二叉树和树都可用二叉链表作为存储结构，
R AB C
DE
F
GHK
R^
A
^D
^B
^E ^
C^
F^
^G
^H
^K ^
§6.4 树和森林
❖树的二叉链表（孩子 - 兄弟）存储表示
typedef struct CSNode { Elem data; struct CSNode *firstchild , *nextsibling;
} CSNode, *CSTree;
A BC D E F GH
A BC D
E F GH A
BC D
1）在兄弟之间加一条连线； 2）对每个结点，除了左孩子外，去除其与其余孩子之间的联系； 3）以根结点为轴心，将整个树顺时针转45°。
Ia
A B
Ib
E F
d
C D
G H I
c E F G H I
§6.4 树和森林
❖森林和二叉树的转换
2. 森林和二叉树的对应关系从树的二叉链表表示的定义可知，任何一棵
§6.4 树和森林
3
6^
5^
0
1
7
8
2^ 9^
R AB C
DE
F
GHK
§6.4 树和森林 ❖树的存储结构——孩子兄弟表示法
或称二叉树表示法，或称二叉链表表示法。即以二叉链表作树的存储结构。链表中结点的两个链域分别指向该结点的第一个孩子结点和下一个兄弟结点。

7-树与森林的遍历

2
2.树和森林的遍历
AJ K LM
NO
先序遍历：A B E F I GC D HJ KL N OM 后序遍历：E I F G B C J K N O L M H D A 层次遍历：A B C D E F G H I J K L MN O
3
2. 树和森林的遍历
森林的遍历 1. 先序遍历 ① 访问森林中第一棵树的根结点 ② 先序遍历第一树中根结点的子树森林 ③ 先序遍历除去第一棵树之后剩余的森林 2. 中序遍历 ① 中序遍历森林中第一棵树的根结点的子树森林 ② 访问第一棵树的根结点 ③ 中序遍历除去第一棵树之后剩余的森林
3.3.3 树和森林的基本操作
2. 树和森林的遍历
树的遍历：按一定规律走遍树的各个顶点，且使每一顶点仅被访问一次，即找一个完整而有规律的走法，以得到树中所有顶点的一个线性排列
遍历方法 ① 先根（序）遍历：先访问树的根结点，然后依次先根遍历根的每棵子树 ② 后根（序）遍历：先依次后根遍历每棵子树，然后访问根结点 ③ 按层次遍历：先访问第一层上的结点，然后依次遍历第二层，……第n层的结点
2. 树和森林的遍历
森林的遍历
A
E
G
B
C
D
H F
I
J
先序遍历：A B C D E F G H I J 中序遍历：B C D A F E H J I G
5

树的前序遍历、中序遍历、后序遍历详解

树的前序遍历、中序遍历、后序遍历详解1.前序遍历图1对于当前节点，先输出该节点，然后输出他的左孩⼦，最后输出他的右孩⼦。

以上图为例，递归的过程如下：（1）：输出 1，接着左孩⼦；（2）：输出 2，接着左孩⼦；（3）：输出 4，左孩⼦为空，再接着右孩⼦；（4）：输出 6，左孩⼦为空，再接着右孩⼦；（5）：输出 7，左右孩⼦都为空，此时 2 的左⼦树全部输出，2 的右⼦树为空，此时 1 的左⼦树全部输出，接着 1 的右⼦树；（6）：输出 3，接着左孩⼦；（7）：输出 5，左右孩⼦为空，此时 3 的左⼦树全部输出，3 的右⼦树为空，⾄此 1 的右⼦树全部输出，结束。

2.中序遍历对于当前结点，先输出它的左孩⼦，然后输出该结点，最后输出它的右孩⼦。

以上图为例：（1）：1-->2-->4，4 的左孩⼦为空，输出 4，接着右孩⼦；（2）：6 的左孩⼦为空，输出 6，接着右孩⼦；（3）：7 的左孩⼦为空，输出 7，右孩⼦也为空，此时 2 的左⼦树全部输出，输出 2，2 的右孩⼦为空，此时 1 的左⼦树全部输出，输出1，接着 1 的右孩⼦；（4）：3-->5，5 左孩⼦为空，输出 5，右孩⼦也为空，此时 3 的左⼦树全部输出，⽽ 3 的右孩⼦为空，⾄此 1 的右⼦树全部输出，结束。

3.后序遍历对于当前结点，先输出它的左孩⼦，然后输出它的右孩⼦，最后输出该结点。

依旧以上图为例：（1）：1->2->4->6->7，7 ⽆左孩⼦，也⽆右孩⼦，输出 7，此时 6 ⽆左孩⼦，⽽ 6 的右⼦树也全部输出，输出 6，此时 4 ⽆左⼦树，⽽ 4的右⼦树全部输出，输出 4，此时 2 的左⼦树全部输出，且 2 ⽆右⼦树，输出 2，此时 1 的左⼦树全部输出，接着转向右⼦树；（2）：3->5，5 ⽆左孩⼦，也⽆右孩⼦，输出 5，此时 3 的左⼦树全部输出，且 3 ⽆右孩⼦，输出 3，此时 1 的右⼦树全部输出，输出 1，结束。

树,二叉树,森林

二叉树
二叉树性质（续） ② 高度为k的二叉树最多有2k-1个结点(k≥1) 证明：
高度为k的二叉树只有在每一层都达到最大结点数时，整个二叉树的结点数才能达到最大。即当每层的结点数目都达到该层的最大结点数2i-1时（性质 2），对应的二叉树的结点数目取得最大值(等比数列求和) a1(1-qn)/(1-q)
因此如果把完全二叉树的各个结点按编号顺序依次存放到一个一维数组，对于完全二叉树中任意结点i的双亲结点序号、左孩子结点序号和右孩子结点序号都可由公式计算得到，具体做法是将n个结点存放到一维数组 a[n+1]中。这便是完全二叉树的顺序存储。
二叉树
带有结点编号的完全二叉树
二叉树
对于非完全二叉树是构造虚结点完成顺序存储
树的基本概念
A B E K L F C G H M D I J
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树的基本概念
3、树的表示方法（4种）
树形表示文氏图表示凹入表示
嵌套括号表示
A(B,C(D,E))
二叉树
二叉树是树型结构的一个重要类型，许多实际问题抽象出来的数据结构都是二叉树的形式，此外一般的树也可以简单的转换为二叉树，因此二叉树是特别重要的一种树结构。 1、二叉树的定义：二叉树（Binary Tree）是n（n≥0）个有限结点构成、每个结点最多有两个孩子且有左右区分的有序树合。 n=0的树称为空二叉树；n>0的二叉树由一个根结点和两个互不相交的、分别称作左子树和右子树的子二叉树构成。
树、森林和二叉树的关系
树、森林和二叉树的关系
孩子兄弟表示法（二叉链表表示法）：链表中每个结点设有两个链域，分别指向该结点的第一个孩子结点和下一个兄弟（右兄弟）结点。
树、森林和二叉树的关系

森林——数据结构课件PPT

王道考研/CSKAOYAN.
树与二叉树
如何将一棵二叉树转化成树？
逆过程！
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二叉树转换成树的手动模拟方法：
①将二叉树从上到下分层，并调节成水平方向。 (分层方法：每遇到左孩子则为一层)
②找到每一层的双亲结点，方法为它的上一层相连的那个结点就是双亲结点。例如bcd这一层，与它相连的上一层结点即为a,所以bcd这三个结点的双亲结点都是a. ③将每一层结点和其双亲结点相连，同时删除该双亲结点各个孩子结点之间的。 d
森林与二叉树
如何将二叉树转换成森林？
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ecfg来自二叉树转换成森林的手动模拟方法：反复断开二叉树根结点的右孩子的右子树指针，直到不存在根结点有右孩子的二叉树为止。
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王道考研/CSKAOYAN.
树与森林的遍历
树的遍历包含先序和后序
先序：先访问根结点，再访问根结点的每棵子树。访问子树也是按照先序的要求
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王道考研/CSKAOYAN.
森林与二叉树
森林转换成树的手动模拟方法： ①将森林中每棵树都转换成二叉树 ②将第二棵树作为第一棵树的根结点的右子树，将第三棵树作为第二棵树的根结点的右子树..依次类推
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树和森林的遍历方式

树和森林的遍历方式
树和森林是常见的数据结构，它们有着广泛的应用。

在处理树和森林的过程中，遍历方式是必不可少的。

树的遍历方式包括前序遍历、中序遍历和后序遍历。

前序遍历先访问根节点，然后依次访问左子树和右子树；中序遍历先访问左子树，然后访问根节点，最后访问右子树；后序遍历先访问左子树和右子树，最后访问根节点。

森林的遍历方式可以采用多种方式，其中最常见的是先序遍历。

先序遍历先访问每个树的根节点，然后依次遍历每个树的左子树和右子树。

除了以上遍历方式外，还有层次遍历、逆序遍历等方式。

层次遍历是按照每层从左到右的顺序遍历树或森林；逆序遍历是将遍历顺序反转，即先访问右子树再访问左子树，最后访问根节点。

不同的遍历方式适用于不同的问题，选择合适的方式可以提高算法的效率。

在实际应用中，需要根据具体问题来选择遍历方式，以达到最佳的效果。

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数据结构第六章-树

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A B C D
E
F
G H
I J
A
E F H
G
B C
D A
I J
A
B C F
E H
G
B C D F
E G H I J
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I
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J
5. 二叉树转换成树和森林
二叉树转换成树 1. 加线：若p结点是双亲结点的左孩子，则将p的右孩子，右孩子的右孩子，……沿分支找到的所有右孩子，都与p的双亲用线连起来 2. 抹线：抹掉原二叉树中双亲与右孩子之间的连线 3. 调整：将结点按层次排列，形成树结构7Fra bibliotek6.3.2
树和森林的存储结构
树的存储结构有很多，既可以采用顺序存储结构，也可以采用链式存储结构。但无论采用哪种存储方式，都要求存储结构不仅能存储各结点本身的数据信息，还要能惟一地反映树中各结点之间的逻辑关系。双亲表示法孩子链表表示法孩子兄弟表示法
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1.双亲表示法除根外，树中的每个结点都有惟一的一个双亲结点，所以可以用一组连续的存储空间存储树中的各结点。一个元素表示树中一个结点，包含树结点本身的信息及结点的双亲结点的位臵。 A B E F C G H D I
}CTBox;
//树结构 typedef struct {CTBox nodes[MAX_TREE_SIZE]; int n, r; }Ctree
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3. 孩子-兄弟表示法（树的二叉链表）
孩子兄弟表示法用二叉链表作为树的存储结构。将树中的多支关系用二叉链表的双支关系体现。 ※ 结点的左指针指向它的第一个孩子结点
//孩子结点结构 typedef struct CTNode
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树与森林的遍历共38页